Оснащенные соответствия Воеводского и их применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Цыбышев Алексей Евгеньевич

• Цыбышев Алексей Евгеньевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Цыбышев Алексей Евгеньевич

1.3 Линейная теорема о конусе

1.4 Фильтрации (%¥™'к )<Л(Б, М, В; /1, ••• /п) и (1^'к-1)<л'к (Б, М, В; /1, •••/„)

1.5 Лемма о смещении

1.6 Локальная связность пространств С*^г(-, (Х,и))

1.7 Треугольники Майера-Виеториса

2 Кобордизм-фрейм-соответствия

2.1 Определение кобордизм-фрейм-еоответетвий и формулировка теоремы сравнения нулевых когомологий комплекса линейных кобордизм-фрейм-еоответетвий из рЬ в С^™ с групп ой Кт Мил-нора

2.2 Сравнение кобордизм-фрейм-соответствий и фрейм-соответствий

2.3 Доказательство теоремы сравнения

2.4 Граееманианы и спектры кобордизмов: определения

2.5 Построение изоморфизма между множествами стабильных фрейм-соответствий, оснащенных обыкновенным и симметрическим спектрами кобордизмов

Заключение

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оснащенные соответствия Воеводского и их применения»

Актуальность темы, степень ее разработанности

Настоящая диссертация посвящена развитию и применению техники фрейм-соответствий.

Использование методов алгебраической топологии в алгебраической геометрии возникло практически одновременно с возникновением алгебраической геометрии. По-видимому, А, Вейль был первым, кто предложил построить на алгебраических многообразиях над замыканием конечного поля теорию когомологий со свойствами, аналогичными свойствам сингулярных ко-гомологий. Это предложение вместе с гипотезами А, Вейля послужило колоссальным толчком к развитию алгебраической геометрии и привело к созданию А, Гротендиком теории -пильных когомологий алгебраических многообразий, А, Гротендик предположил, что должна существовать категория мотивов (абелианизация категории алгебраических многообразий). Разработка этих идей привела А, Бейлинеона в середине 1980-х годов к созданию серии гипотез (гипотезы А, Бейлинеона) о существовании мотивных комплексов Z(n) с предписанными свойствами. Данные гипотезы вдохновили А, Суелина и В, Воеводского, А, Суелин каждому гладкому многообразию над полем к сопоставил некоторый комплекс С*(Х), называемый теперь комплексом Суелина, и попытался доказать свойство Майера—Виеториса, В, Воеводский сопоставил каждому многообразию комплекс пучков Ннсневнча с трансферами, назвал его мотивом многообразия и построил триангулированную категорию мотивов как полную подкатегорию в производной категории пучков Ниене-вича с трансферами. Это позволило Воеводскому определить как мотивные когомологии, так и мотивные гомологии алгебраических многообразий и доказать их базовые свойства. На этом пути Воеводский построил комплексы Z(п) и вместе с Суелиным доказал все их базовые свойства. Комплекс Суелина оказался равным значению мотива многообразия на точке. Поэтому этот комплекс вычисляет мотивные гомологии веса ноль. Последнее сразу доказало свойство Майера—Виеториса комплекса Суелина, Наконец, последнее в этом ряду это теорема Воеводского — Суелина, утверждающая, что для комплексного алгебраического многообразия гомологии его комплекса Суелина с конечными коэффициентами равны сингулярным гомологиям с теми же коэффициентами этого комплексного многообразия.

Построив триангулированную категорию мотивов ОМ (к), Воеводский пошел дальше и стал строить нестабильную (совместно с Ф, Морелем) и стабильную мотивные гомотопические категории Н(к) и БН(к) соответственно (при этом БН (к) — триангулированная категория). Последние необходимы

для многих целей. Во-первых, стабильная категория открывает путь к систематическому построению теорий когомологий на алгебраических многообразиях, теорий с заранее заданными свойствами. Например, Воеводский построил спектр алгебраических кобордизмов MGLмотивный спектр Эйленберга— Маклейна и спектр алгебраической K-теорнп, Во-вторых, стабильная категория необходима для определения и вычисления алгебры Стинрода для мо-тивных когомологий. Одной из главных целей Воеводского стало доказательство гипотезы Мил нора, утверждающей, что канонический гомоморфизм KM(k)/2KM(k) ^ Hn(k, Z/2) является изоморфизмом. Эта программа была им успешно реализована, за что он был удостоен Филдсовской медали на ICM-конгрееее в Пекине,

В результате этой деятельности был создан новый математический язык и развиты методы, позволившие как атаковать многочисленные классические задачи, так и ставить естественные новые. Все это привело к тому, что целые школы математиков освоили предложенный язык и успешно применили его к решению ряда классических проблем, включая проблемы о проективных модулях, о квадратичных формах, о многообразиях Калаби—Яо, Возникла теория ориентированных когомологий на алгебраических многообразиях,

Отличительная черта триангулированной категории SH(k) состоит в том, что в ней есть два функтора надстройки. Один — это функтор сдвига [1] (симплициальная надстройка), другой — смэш-произведение с «окружностью » Тейта Gm1. Стоит отметить, что вычислять в стабильной мотивной гомото-

SH(k)

локализации по Бусфелду, Основными инвариантами объекта E из SH(k) являются его пучки (Ниспевича) стабильных А^гомотопнчееких групп п^. Биградуировка связана с тем, что имеются упомянутые две надстройки, Необ-

E

SH(k)

схем конечного типа. Точками для него являются все локальные гензелевы

k

Поскольку вычислять в стабильной мотивной гомотопической категории SH(k)

(фрШм-) соответствий Fr+(k), оснащенных предпучков и оснащенных пучков

SH(k).

лее дружелюбную для вычислений,

Г, Гаркуша и И, Панин с помощью А, Ананьевского, А, Нешитова и А, Дружинина реализовали эту программу, В итоге, первые два автора построили новую модель SH^g для SH(k). Для этого в [GP] была развита теория фрэйм-мотивов. Ключевым объектом в их теории является введенный Воеводским симплициальпый пунктированный оснащенный пучок Fr(A* х — ,X), где X

— это гладкая схема или еимплициальный объект в категории гладких схем. Один из фундаментальных результатов, полученных в [GP], это мотивный вариант теоремы Сегала, А именно, доказано, что канонический морфизм мотивных пространств

С* Fr(X) ^ ^(p1,()£(p1,()(X+)

локально является групповым пополнением. Последняя теорема сводит вычисление А1-пучков стабильных гомотопических групп веса ноль для указанного X к вычислению пучков Нисневича обычных гомотопических групп еим-плициального множества Fr(A^ х —, X), Это позволило А, Нешитову, в частности, передоказать чисто геометрическими методами теорему Ф, Мореля, утверждающую равенство п0о (S0)(k) = GW(k), где k — поле характеристики ноль.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию и применению методов оснащенных соответствий, В частности, мы далеко обобщаем указанный мотивный вариант теоремы Сегала из [GP] на пары. Для полноты картины отметим здесь одно следствие из этой нашей теоремы, не вошедшее в диссертацию, но очень хорошо указывающее на роль мотивных пространств Fr(A^ х —,X/U). Она вместе с одной теоремой М, Левина показывает равенство

nr(Fr(AC,X/U; Z/n) = nfable((X(C),U(C)); Z/n)

Здесь слева стоят обычные гомотопические группы с конечными коэффициентами еимплициального множества Fr(AC, X/U; Z/n), а справа — обычные стабильные гомотопии с теми же коэффициентами от пары топологических пространств (X(C),U(C)). Данная теорема является аналогом упомянутой выше теоремы Воеводского — Суелина для контекста мотивных стабильных гомотопий.

Цели и задачи, научная новизна

Сформулируем теперь основные цели настоящей диссертации. Её первая глава посвящена изучению свойств фрейм-мотивов открытых пар гладких

k

кобордизм-фрейм-соответствий и вычислениям с ними.

Основная цель в первой главе — доказательство мотивной теоремы Сегала в как можно большей общности, Гаркуша и Панин доказали такой результат для гладкой схемы X, которой в терминах пар еоответетвует (X, 0). Также из этого результата тривиальным образом получается результат для пар вида (X х Am,X х (Am — 0)), который имеет более простой вид. Соискатель

рассматривал вначале случай пар, в которых дополнение к открытой подсхеме является гладким, что было мотивировано данным результатом, а также записками А. Мингазова [Min] по этой теме, В ходе исследования оказалось возможным доказать случай любой пары из открытой гладкой над полем схемы и ее всюду непустой открытой подсхемы. При этом характеристика поля предполагается отличной от 2.

Одной из задач на пути к основной цели первой главы являлось доказательство следующего промежуточного результата, представляющего самостоятельную ценность: теоремы о конусе для произвольных открытых пар гладких схем. Подобный результат доказан Гаркушей, Нешитовым и Паниным для пар вида (X х Am,X х (Am — 0)). Данное утверждение связывает в один выделенный треугольник мотивы гладкой схемы, ее открытой подсхемы и пары, которую они образуют, и позволяет вычислять инварианты одного из этих объектов через инварианты двух других.

Другая цель первой главы — доказательство локальной высшей связности фрейм-мотивов открытых пар в предположении, что сами пары обладают необходимой высшей связностью. Данная цель является логичным продолжением одной из задач на пути к основной цели, а именно, доказательства 0

мя, данное доказательство являет собой пример явного вычисления гомотопических инвариантов мотивов с использованием (по крайней мере, локально) явного геометрического вида фрейм-мотивов.

Основная цель во второй главе — вычисление нулевой группы гомологий комплекса линейных кобордизм-фрейм-еоответетвий из А* в GmAm. Данное вычисление мотивировано тем, что вычисляемый объект отождествлен с гомотопической группой п^, m(MGL*)(pt) симметрического спектра кобордиз-мов, В работе Нешитова приведено подобное вычисление для обыкновенных фрейм-соответствий,

Методология и методы диссертационного исследования

В первой главе мы используем многие теоремы и технические утверждения о фрейм-мотивах и комплексах линейных фрейм-соответствий, разработанные в работах Ананьеве кого, Гаркуши, Нешитова и Панина, Кроме того, соискателем разработана оригинальная техника, позволяющая доказывать многочисленные леммы о сдвигах Именно эта новая техника и позволяет работать в общности произвольных пар.

Во второй главе мы используем метод доказательства, восходящий к вычислению мотивных когомологий точки Воеводским и Суелиным, с некоторыми содержательными особенностями. Для доказательства строится гомоморфизм сравнения из групп обыкновенных фрейм-соответствий в группы

кобордизм-фрейм-еоответетвий (его можно понимать как гомоморфизм, индуцированный вложением сферического спектра S. в MGL,).

Ho - cob : Hc(C* ZF(pt, GmAm)) ^ Ho(C ZFcob(pt, GmAm)).

Используя геометрические методы, мы доказываем сюръективность этого гомоморфизма.

Так как левая группа это KfW (k), мы получаем еюръективный гомоморфизм

KMW(k) - Ho(C ZFcob(pt, GmAm)).

Оказывается, что он пропускается через K^f (k).

К индуцируемому еюръективному гомоморфизму

Kff (k) - Ho(C ZFcob(pt, GmAm))

строится левый обратный. Корректность его определения проверяется при помощи закона взаимности Вейля, Наличие указанного левого обратного завершает наше доказательство.

Положения, выносимые на защиту

1, Доказательство мотивной теоремы Сегала для открытых пар (X, и) гладких схем над бесконечным совершенным полем характеристики, отличной от 2, где и всюду непусто,

2, Доказательство теоремы о конусе для открытых пар (X, и) гладких схем

2

3, Доказательство локальной г-связностп симплициального пучка С*^У(—, (X, и)) для открытых пар (X, и) гладких схем над бесконечным совершенным полем характеристики, отличной от 2, где X — и всюду имеет коразмерность более г,

4, Построение и обоснование изоморфизма между группой Н0(С* ZFcob(р£, СтАт)) и К-группой Милнора Км(к) над полем к характеристики О,

Приведем более конкретные формулировки положений 1 — 4,

Для (Р1, то)-епектра Е пусть £ - это П-епектр, мотивно стабильно эквивалентный Е, Под ) имеется ввиду мотивное пространство £0 (нулевое пространство (Р1, го)-спектра £), Если Е = Е^ — это (Р1, го)-надстроечный спектр пунктированного мотивного пространства X, то мы будем писать П^ ^Е^ те)(Х), чтобы обозначить П^ те)(Е),

Теорема А. (пункт 3 Теоремы, 1.1.17) Пусть X — гладкая к-схема, Б — замкнутая подсхема, в X, не содержащая целиком компонент связности X. Рассмотрим пару В = (X, X — Б) € БтОр(Гт0(к)) и соответствующее ей мотивное пространство Б = X/(X — Б) € Бкь,(Бт/к).

Канонический м,орфизм, симплициалъных пучков Нисневича

С*Гт(—, (X, X — Б)) ^ ^^Е^^/^ — Б))

является, локальной гомотопической эквивалентностью . В частности,

К/к

канонический м,орфизм, симплициальных множеств

С*Гт(Брес(К), (X,X — Б)) ^ ^^Е^^/^ — Б))(Брес(К)) является, слабой эквивалентностью.

Теорема В. (Теорема 1.3.1) Пусть В = (X, и),М = (X', и') — пары, из гладкой схемы и открытой подсхемы, объекты БтОр(Гт0(к)). Тогда, последовательность комплексов линейных фрейм-соответствий

С* ZF(-, М Л и) ^ С* ZF(-, М Л X) ^ С* ZF(—,М Л В)

включается, в выделенный треугольник в производной категории пучков Нисневича.

Из этой теоремы легко выводится теорема 1,1,34, которая является тео-

Б1 М =

(X х Ап, X х Ап — X х 0), В = (А1, А1 — 0), это теорема [СМР, Теорема 1.3].

Теорема С. (Теорема 1.6.10) Пусть т > 0, и (X,и = X — Б) € БтОр(Гт0(к)) — такая пара из гладкой схемы и ее открытой подсхемы, что со<1гтх* (Б П Xi) > т в каждой связной компоненте XI С X. Тогда, симплициальный пучок С*Гт(—, (X, и)) локально т-связен в топологии, Нисневича.

В формулировке следующей теоремы участвуют понятия и обозначения из главы 2, раздела 2.1.

Теорема И. Сопоставление символу {д1,...,дт} € КМ(к) линейного

0,

(ди... ,д™): pt ^ С™,

задаваемого координатами (д1,..., дт), индуцирует гомоморфизм абелевых групп

Гт: КМ (к) ^ Щ^Г^^, отт)).

Вместе эти гомоморфизмы образуют гомоморфизм градуированных колец

©^: 0 KM(k) ^ 0 Hc(C,ZFcob(pt, GT)). Этот гомом,орфизм является изоморфизмом.

Настоящая теорема распространяет известное вычисление Воеводского и ( 'ус.m на в контекст линейных кобордизм-фрейм-соответствий.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть применены для явного вычисления гомотопических инвариантов открытых пар гладких схем, для перехода от гладких схем к открытым подсхемам или обратно, а также для вычислений, связанных со спектром кобордизмов. Материалы диссертации могут быть использованы для проведения спецкурсов и спецсеминаров по теме «Теория А^гомотопий», «Алгебраичеекая K-теория», «Алгебраическая топология», «Алгебраическая геометрия».

Степень достоверности и апробация результатов

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в печатных работах соискателя [an-pairs], [eob-Fr], Все они вышли в журналах, входящих в список ВАК, Кроме того, некоторые результаты соискателя, не являющиеся основными результатами диссертации, включены в нее для полноты картины. Данные результаты опубликованы в препринтах [pairs], [MGL],

По результатам диссертационной работы были сделаны доклады на семинаре «Теория А1-гомотопий» в лаборатории Чебышева,

1 Фрейм-мотивы пар

1.1 Формулировка мотивной теоремы Сегала для пар, и ее вывод из остальных утверждений

Сперва договоримся о соглашениях и напомним необходимые определения. Эти определения, а также определения прочих упоминаемых фрейм-объектов взяты из [VoNote, Section 2] и [GP],

На протяжении данной главы, пусть k — бесконечное совершенное поле, и char(k) = 2.

Замечание 1.1.1. Благодаря [DP, Теорема 1.1], можно избавиться, от огра-

k

Для читателя, знакомого е общими понятиями и обозначениями теории фрейм-еоответетвий и желающего сразу прочитать формулировки результатов, игнорируя предварительные построения, приводится список тех обозначений в данной работе, которые не общеприняты.

Обозначения 1.1.2. Объект (Обычно В или Т), записанный жирным шрифтом для доски, обозначает открытую пару гладких многообразий. В случае В она означает некоторое (X, и) € БтОр(Ег0(к)), где и = X — Б, а в случае Т это фиксированный объект — пара (А1, Ст). (см. Определение 1.1.4, Обозначение 1.1. Ц)

Объект (Обычно В или Т), записанный обычным шрифтом,, обозначает пунктированный пучок Нисневича, получаемый из соответствуюицей пары, записанной жирным шрифтом для, доски, применением функтора зрс. В случае В это X/U, а в случае Т это привычный пучок А1/Ст. (см. Обозначение 1.1.12, Замечание 1.1.15)

Функтор Егт(—, В) задается, геометрически (см. Определение 1.1.7), но, благодаря, лемме Воеводского, его можно понимать как 5Тт(—, В). (см Замечание 1.1.6)

Любое многообразие X понимается также как пара (X, 0). При таком отождествлении, получается, врс^) = Нот^^—^^ (См. Замечание 1.1.13)

Почти всюду в формулах в скобках стоят не мотивные пространства, а, симплициальные пары, объекты, АорБтОр(Ег0(к)).

Для данной работы важным объектом является топология Нисневича, которую можно определить как минимальную топологию Гротендика на некоторой категории схем, в которой каждый элементарный квадрат Нисневича представляет собой покрытие.

Обозначение 1.1.3. В данной работе N¿3 обозначает топологию Нисневича на, категории к-гладких схем Бт/к.

Имеется два важных соглашения. Пусть ^Б^^.(Бт/к) — это категория еимплициальных пучков Нисневича на категории к-гладких схем Бт/к (ее часто называют категорией мотивных пространств). Согласно [Лаг1, 2,7] категория ^БЛ/у.(Бт/к) еимплициальных пучков Нисневича снабжена инъектив-ной локальной модельной структурой, в которой корасслоения - это мономорфизмы, а слабые эквивалентности - это локальные слабые эквивалентности, Зафиксируем некоторую функториальную фибрантную замену X м Xf в соответствии с инъективной локальной модельной структурой на категории зБЛ/у.(Бт/к), Будем пользоваться ею па протяжении всей статьи.

Под мотивной модельной структурой на категории еимплициальных пунктированных пучков Ниепевича понимается конструкция модельной категории Воеводского-Мореля [MV],

Рассмотрим пунктированный пучок Ниепевича (не путать с обозначением для открытых пар ниже) (P1, ж). В, Воеводский в [VoCong, Раздел 5] определяет мотивные спектры, в частности, (P1, ж)-епектры, В работах, таких,

P1

тированный пучок (P1, ж) называется PA1. В настоящем тексте, во имя внутренней согласованности и следуя изначальному определению Воеводского, используется обозначение (P1, ж). Символом T будем обозначать, как и принято, пунктированный пучок Ниепевича A1/(A1 — {0}).

Определение 1.1.4. SmOp(Fr0(k)) — категория пар B = (X,U), где X — k-гладкая схема, a, U его открытая подсхема. Морфизмы из (X, U) в (X', U') — фрейм-соответствия, уровня 0 из X в X', индуцирующие соответствия, из U в U'.

Формула (X, U) Л (X', U') = (X х X', (X х U' U U х X')) задает на SmOp(Fr0(k)) структуру симметрической моноидальной категории.

Приведем мотивировку того, почему мы решили уточнить (изменить) ниже одно из базовых обозначений статьи [GP], В [GP, Definition 2,5, 2,8] для каждой пары (X,X — S) G SmOp(Fr0 (k)), каждого U G Sm/k и каждого m ^ 0 определены множества с отмечен ной точкой Frm(U,X/(X — S ) и Fr(U,X/(X — S)), Там же проверено, что Fr(—,X/(X — S)) — это фрейм-предпучок и даже фрейм-пучок Ниеневича,

В [GP, Definition 5.2.(2)] фрейм-мотив Mfr(X/(X — S)) пары (X,X — S) G SmOp(Fr0(k)) определен как некоторый ковариантный функтор на категории SmOp(Fr0(k)) со значениями в категории S 1-спектров в категории sShv^(Sm/k). Этот функтор на категории SmOp(Fr0(k)) строится с использованием еимплициальных пучков вида Fr(—,X/(X — S)), однако символ X/ (X — S) часто используется для обозначения пунктированного фактор-(X, X — S)

мы решили для пары (X,X — S) G SmOp(Fr0(k)) ввести следующее

Обозначение 1.1.5. Введем, новые обозначения:

будем писать Frm(U, (X,X — S)) вместо Frm(U,X/(X — S)),

Fr(U, (X, X — S )) вмест о Fr(U, X/(X — S)),

где Frm(U,X/(X — S)), и Fr(U,X/(X — S)) определены в [GP, Определение 2.5], и [GP, Определение 2.8] соответственно.

Новые обозначения позволяют определить ковариантный функтор Fr : SmOp(Fro(k)) ^ Shv^(Fr*(k))

по правилу Ег^, X — Б) = Ег(—, (X, X — Б)), Забегая вперед, отметим, что имеется априори другой ковариантный функтор

Fr о spc : SmOp(Fr0(k)) ^ Shv^(Fr*(k)),

переводящий пару (X,X — S) в оснащенный пучок Fr(—, X/(X — S)), Здесь X/ (X — S) — это пунктированный фактор-пучок Ниеневича, а для произвольного пунктированного пучка Ниеневича F через Fr(—, F) обозначен фрейм-пучок Ниеневича, определенный в [GP, Определение 3,10],

Замечание 1.1.6. Подчеркнем, что, согласно следствию [GP, Isomorphisms (6)] из леммы Воеводского, указанные два функтора

Fr, (Fr о spc) : SmOp(Fr0(k)) ^ Shv^(Fr*(k))

канонически изоморфны. В частности, они имеют одни и те же свойства. Иногда удобно работать с одним из них, иногда с другим. Но оба функтора определены на парах, а именно, определены на категории SmOp(Fr0(k)).

Напомним здесь [GP, Определения 2,5, 2,8], используя уточненные обозначения из 1,1,5,

Определение 1.1.7. [GP, Определения 2.5, 2.8]

(I) Пусть Y — схема, пусть S С Y — замкнутое подмножество, и пусть U — схема. Явное фрейм-соответствие уровня m ^ 0 из U в (Y, Y — S) состоит из наборов:

(Z,W,^i,...,^m; g : W ^ Y),

где Z это замкнутое подмножество в U х Am, конечное над U (будучи по-

W

Z в U х Am, ..., это регулярные функции на W, g это регулярное отображение, такое, что Z = Z(^1,...,^m) П g-1(S), Множеетво Z называется носителем явного фрейм-соответствия. Мы также используем четверки c = (Z, W, g) для обозначения явных фрейм-соответствий,

(II) Два явных фрейм-соответствия (Z, W, g) и (Z',W',^'; g') уровня m

эквивалентны, если Z = Z' и существует этальная окрестность W'' Z в W х

W', такая, что о pr совпадает с о pr' и морфизм g о pr совпадает с g' о pr' W//

(III) Фрейм-соответствие уровня m из U в (Y, Y — S) это класс эквивалентности явных фрейм-соответствий уровня m из U в (Y, Y — S), Будем обозначать через Frm(U, (Y, Y — S)) множество фрейм-соответствий уровня m из U в (Y, Y — S), Будем понимать его как пунктированное множество с отмеченной точкой 0(Y,Y-S), m явного соответствия (Z, W, g) с W = 0,

(IV) Если Б = У, то пунктированное множество Ггт(и, (У, У — Б)) совпадает с множеством Ггт(и,У) фрейм-соответствий уровня т из и в У,

(V) Обозначим при помощи а(У,(У-я)) : Ртт(и, (У, (У — Б))) А Fтm+1(U, (У, (У — Б))) отображение, переводящее с = д) в &(у,(у-я))(с) = (^ х {0}, Ш х А1,^ о ртщ,ртА1; д) Положим а := а(У,(У-Я)) и назовем, подобно [СР, Определение 2,8], множество

Рт(и, (У, (У — Б))) := ес11ш[^то(и, (У, (У — Б))) А ^(и, (У, (У — Б))) А ... ]

и (У, (У — Б))

Определение 1.1.8. Дав это определение, можно сразу же распространить [СР, Определения 8.3, 8-4, 8.5, и 8.7] на данную ситуацию, задавая, линейные фрейм-соответствия, ZFn(B, (X, и)) с внешним произведением на них, гомоморфизм надстройки а : ZFn(B, (Х,и)) А ZFn+1(B, (Х,и)), стабильные линейные фрейм-соответствия, ZF(В, (X, и)) и линейный фрейм-мотив LMfr((X, и)).

Заметим,, что ZFn(B, (X, и)) это свободная, абелева, группа с базисом, состоящим из фрейм-соответствий со связным, носителем,. Такое базисное множество мы обозначаем, Fn(В, (X, и)). Этот объект «плохой», в том смысле, что соответствия, из такого подмножества не попадают в другое

В

зиции, но, тем, не менее, он обладает пользой для, нас.

Определение 1.1.9. ([СР2, Определения, 2-4, 2.5, 2.11, Замечание 2.12]) Внешняя композиция фрейм-соответствий (или линейных фрейм-соответствий) между объектами Бт/к определяет категории: Fт* это категория с объектами ОЬ(Бт/к) и морфизмами

Fn(X,У)= Ц Fтm).

т^0

Fт+ это категория, с объе ктами ОЬ(Бт/к) и морфизмами

Fт+(X,У)= V Fтm(X,У).

т^0

ZF* это категория, с объе ктами ОЬ(Бт/к) и морфизмами

ZF*(X, У ) = 0 ZFm(X,У).

т^о

Фрейм,-предпучок это предпучок на, категории Fт+. Фрейм-предпучок 5 абелевых групп называется, раддитивным, если F(X1 Ц X2) = ^^^ ф 5^X2). Это то же, что предпучок 5, приходящий с предпучка на категории ZF*.

Нам также понадобится следующее понятие, введенное Воеводским, также приведенное в [GP2].

Определение 1.1.10. (=[GP2, Определение 2.7]) Fr+-npedny4ок F абелевых групп стабилен, если, для любого k-гладкого многообразия X отображение пуллбэка а*х : F(X) м F(X) совпадает с тождественным, где ах = (X х 0,X х A1,t;prX) G Fri(X,X). Похожим образом,, F квазистабилен, если, для, любого k-гладкого многообразия отображение пуллбэка а*х : F(X) м F(X) это изоморфизм.

Определение 1.1.11. Пусть Shv.(Sm/k) - это категория, пунктированных пучков Нисневича на, Sm/k. Имеется, функтор spc : SmOp(Fr0(k)) м Shv,(Sm/k) переводящий пару (X, U) в фактор пучок Нисневича X/U с отмеченной точкой U/U. Если U = 0, то, по определению, X/U = X+.

Функтор spc : SmOp(Fr0(k)) м Shv.(Sm/k) индуцирует функтор spc : AopSmOp(Fr0(k)) м sShv.(Sm/k) переводящий объект [n] м (УП, Un) е сгш-плициальный пучок Нисневича [n] м (Yn/Un).

Обозначение 1.1.12. Длл пары, обозначаемой жирным шрифтом для, доски, как B = (X, U), обозначим, через 'ту же букву в обыкновенном шрифте, как В пунктированный фактор-пучок X/U, с отмеченной точкой U/U.

Замечание 1.1.13. Каждому гладкому многообразию X G Fr0(k) естественным образом, соответствует пара (X, 0) G SmOp(Fr0(k)). Пренебрегая,

X.

(X х

X', 0) = (X, 0) Л (X', 0).

При 'таких обозначениях, spc(X) это пучок X+ в обычном, понимании.

Обозначение 1.1.14. Пара, (A1, Gm) играет особую роль. Обозначим ее через T.

Замечание 1.1.15. spc(T) — это пучок T = A1/Gm, введенный в работе Воеводского и Мореля, [MV].

Для пучка U м F(U) на Fr*(k) имеется енмплнциальный пучок C*(F), равный U м F(A* х U), где A*- стандартная косимплициальная схема. Следующее ключевое определение дано в [GP, Section 4],

Определение 1.1.16. Для, каждой пары B = (X, U) G SmOp(Fr0(k)) зададим (P1, ж>)-спектр M(Pi,^)(B) следующим образом:

M(pi,^)(B) = (C,Fr(-,B), C*Fr(-,B Л T), C*Fr(-,B Л ТЛ2) ■ ■ ■),

где структурные м,орфизм,ы, — это С*(ап), и где ап : Fr(-,B Л Tn) м Hom((P1, го), Fr(-,B Л Tn+1)) определены, в [GP, Section 4].

Имеется канонический морфизм (Р1, ж)-епектров

к : ^сР1,^)В А ^Р1,^^

заданный тождественным морфизмом idB € Fт0(B,В), Возьмем фибрантную замену C*Fт(—, В Л Тп) А C*Fт(—, В Л Tn)f каждого из мотивных пространств в соответствии с инъективной локальной модельной структурой. Мы тогда получим (Р1, ж)-епектр

M(plс)(B)f = (C*Fт(—, В^, С^т(—, В Л Т^, С*Fт(—, В Л Т2^,...).

Заметим, что М(Р1,с)(В^ - это фибрантная замена (Р1, ж)-епектра М(Р1,с)(В) в соответствии с поуровневой инъективной локальной модельной структурой на категории (Р1, ж)-епектров. Пусть

Kf : ^СР1,с)В А М(Р1,с)(В) А ^Р1,^^

— это композиция морфизмов.

Чтобы сформулировать третий пункт нижеследующей теоремы, напомним еще одно определение. Для (Р, ж)-епектра Е пусть £ — это П-епектр мотив-но стабильно эквивалентный Е. Под П^ с)(Е) имеется ввиду мотивное пространство £0 (нулевое пространство (Р, ж)-епектра £), Если Е = -это (Р1, ж)-надетроечный спектр пунктированного мотнвного пространства X, то мы будем пиеать П^ с)(Х), чтобы обозначить П^ с)(Е),

Теорема 1.1.17. (ср. [СР, Теорема 4-1]) Пусть X — гладкая к-схема, Б — замкнутая подсхема, в X, не содержащая целиком компонент связности, X. Рассмотрим пару В = (X, X — Б) € БтОр^т0(к)) и соответствующее ей мотивное пространство В = X/(X — Б) € Бкь,(Бт/к). Верно следующее:

1. Морфизм Kf : Е^ с)(В) А M(Pl,с)(B)f это стабильная мотивная эквивалентность (Р1, ж)-спектров.

2. (Р1, ж)-спектр M(Pl,с)(B)f это мотивно фибрантный П-спектр. Это означает, что для, каждого целого п ^ 0, каждое мотивное пространство С*^т(—,В Л Тп)^ мотивно фибрантно в мотивной модельной категории Воеводского-Мореля, [МУ] симплициальных пучков Ниспеви-ча, и структурный морфизм

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цыбышев Алексей Евгеньевич, 2021 год

Список литературы

[BT] H. Bass, J. Tate, «The Milnor ring of a global Field, Algebraic K-theory II: „Classical" Algebraic K-Theory and Connections with Arithmetic» (Proc, Conf,, Seattle, Wash,, Battelle Memorial Inst,, 1972), Springer, Berlin, 1973, pp. 349-446, Lecture Notes in Math., Vol. 342. ME0442061 (56 #449).

[Nes] A. Neshitov, 2016, «Framed correspondences and the Milnor—Witt K-theorv», Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 1—30. doi:10,1017/S1474748016000190,

[SV] A. Suslin, V. Voevodskv, «Bloch—Kato conjecture and motivic eohomologv with finite coefficients», The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles (Banff, AB, 1998), NATO Sci. Ser. C Math. Phvs. Sei., Vol. 548, Kluwer Acad. Publ, Dordrecht (2000), pp. 117-189.

[FOAG] R. Vakil, «The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry»,

Available at http://math.stanford.edu/ vakil/216blog/FOAGnovl817public.pdf.

[GarNesh] G. Garkusha, A. Neshitov, «Fibrant resolutions for motivic Thom spectra», arXiv: 1804.07621 [math.AG].

[Pan] I. A. Panin, «A moving lemma for motivic spaces», St. Petersburg Math. J., 29:6 (2018), 993-995.

[GP] G. Garkusha, I. Panin, 2014, «Framed motives of algebraic varieties (after V. Voevodskv)», J. Amer. Math. Soe,, to appear. DOI: 10,1090/jams/958, arXiv: 1409.4372 [math.KT].

[GNP] G. Garkusha, A. Neshitov, I. Panin, 2016, «Framed motives of relative motivic spheres», arXiv:1604.02732 [math.KT],

[MV] F, Morel, V, Voevodskv, «A1-homotopy theory of schemes», Publ. Math. IHES 90 (1999), 45-143.

[AGP] A. Ananvevskiv, G. Garkusha, I. Panin, 2016, «Cancellation theorem for framed motives of algebraic varieties», arXiv: 1601.06642 [math.KT],

[DP] A, Druzhinin, I, Panin, 2018, «Surjeetivitv of the etale excision map for homotopv invariant framed presheaves» arXiv: 1808,07765 [math.KT],

[Jarl] J. F. Jardine, Simplicial presheaves, J. Pure Appl. Algebra 47 (1987), 35-87.

[Sch] S, Schwede, An untitled book project about symmetric spectra, available at www.math.uni-bonn.de/people/schwede/SymSpec-v3.pdf (version April 2012).

[GP2] G. Garkusha, I. Panin, 2015, «Homotopv invariant presheaves with framed transfers», Cambridge J. Math. 8(1) (2020), 1—94, arXiv:1504,00884 [math.AG].

[SV1] A. Suslin, V. Voevodskv (2000) «Bloeh-Kato Conjecture and Motivie Cohomologv with Finite Coefficients», In: Gordon В. В., Lewis J. D,, Muller-Stach S,, Saito S,, Yui N. (eds) The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles. NATO Science Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences), vol. 548, Springer, Dordrecht.

[Seg] G. Segal, «Categories and cohomologv theories», Topology 13 (1974), 293-312.

[Mil] J. Milne, «Étale cohomologv», Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press, 1980.

[VoLee] C. Mazza, V. Voevodskv, C. Weibel, «Lectures on motivie cohomologv», 2006, Clay Mathematics Monographs, vol. 2.

[VoNote] V. Voevodskv, «Notes on framed correspondences», unpublished, 2001.

[VoCong] V. Voevodskv, «A^-homotopy theory», Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), 1998.

[Min] A. A. Mingazov, «Some remarks on relative framed motives», 2019, arXiv:1911.04860.

[E] D. Eisenbud, «Commutative Algebra with a View to Algebraic

Geometry», Grad. Texts in Math. 150, Springer-Verlag, New York, 1995.

[EGA43] Alexander Grothendieck, «Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie», Publications mathématiques de l'I.H.É.S,, tome 28 (1966), p. 5—255.

[Mats] Hidevki Matsumura, «Commutative rings», translated bv M. Eeid, Cambridge university press, 1986, 2008 digital printing.

[cob-Fr] A. Цыбышев, «Кобордизм-фрейм-соответствия и K-теория Милно-ра», Алгебра и анализ, 32:1 (2020), 244—264.

[an-pairs] А. Цыбышев, «Мотивный аналог теоремы Сегала для пар (анонс)», Записки научных семинаров ПОМП. Том 484, «Вопросы теории представлений алгебр и групп. 35», редакторы: Н. А. Вавилов, А. И, Генералов, Б. Б. Лурье, стр.165.

[pairs] Aleksei Tsybvshev, «А motivic Segal theorem for open pairs of smooth schemes over an infinite perfect field», arXiv:2003.06892 [math.AG],

[MGL] А. Цыбышев, «Пучки гомотопий спектра MGL. и кобордизм-фрейм-еоответетвия», Препринт ПОМП 03/2020.

[PSV] I. Panin, A. Stavrova, N. Vavilov, «On Grothendieck-Serre's conjecture

G

Compos. Math., 151(3):535-567, 2015.