Геометризация электромагнетизма на основе пространств со связностью Вейля-Картана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ризкалла Жозеф Антуан

• Ризкалла Жозеф Антуан
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ризкалла Жозеф Антуан

Содержание

Введение

1 Ковариантно-постоянные поля и геометризация электромагнетизма

1.1 Аффинно-метрические пространства. Геометрия Вейля

1.2 КПП в геометриях с симметричной связностью

1.2.1 КПП в геометрии Вейля

1.3 КПП в пространстве с кручением Нордена

1.4 " Бикватернионные" КПП и электродинамика

2 Свойства системы уравнений БКПП и динамика физических полей

2.1 Кватернионная аналитичность и уравнение эйконала

2.1.1 Общие свойства алгебры кватернионов и кватерни-онный анализ

2.1.2 Свойства В-дифференцируемых функций

2.1.3 Условия дифференцируемости кватернионных функций и уравнение эйконала

2.2 Бикватернионная электродинамика

2.2.1 Калибровочная инвариантность системы БКПП

2.2.2 Условия интегрируемости БКПП

2.3 Бессдвиговые геодезические конгруенции и интегрирование

БКПП

2.3.1 Интегрирование системы БКПП

3 Аксиально-симметричные решения уравнений системы БКПП и ассоциируемых с ними уравнений физических полей

3.1 Решение БКПП с точечной или кольцеобразной структурой сингулярности

3.2 Двухсингулярное решение БКПП и его модификации

Заключение

Приложение А

Библиография

116

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометризация электромагнетизма на основе пространств со связностью Вейля-Картана»

Введение

Геометрия с неметричностью, введенная Г. Вейлем в 1918г. для построения единой теории гравитации и электромагнетизма [60, а], является наиболее естественным и изящным обобщением римановой геометрии. Конформно-калибровочные преобразования, характерные для этой геометрии, послужили прообразом калибровочных преобразований квантовой теории. В то же время сама эта теория столкнулась с рядом принципиальных трудностей (отсутствие соответствия с конформно-неинвариантной структурой ОТО; возражения Эйнштейна, связанные с физической интерпретацией теории и др.) и на долгие десятилетия была оставлена.

В последнее время, однако, геометрия Вейля часто возникает в самых разных подходах теории поля и гравитации (в теории струн [51], в рамках аксиоматического подхода к теории гравитации [16], геометрического подхода к локальным теориям поля [62] и др.).

Другой структурой, естественно возникающей при обобщении римановой геометрии, является кручение, введенное в рассмотрение Э. Кар-таном в 1925г [60, в]. Несмотря на огромное количество работ, рассматривающих различные типы кручения (см., [52]), его возможная интерпретация и значение для физики остаются до сих пор невыясненными.

Существенно, что как неметричность Вейля, так и кручение Карта-на могут рассматриваться даже на фоне обычного пространства-времени

с метрикой Минковского. Такие пространства, вообще говоря, могут не быть связаны с гравитационным взаимодействием, а иметь прямое отношение к описанию спиновых и электромагнитных свойств частиц [24].

Комбинированное введение в рассмотрение неметричности Вейля и кручения в некоторых отношениях является наиболее общим возможным обобщением римановой геометрии ОТО [26]. Более того, из всех типов кручения существует возможность выбрать вполне определенный - так называемое "кручение Родичева" [24, 32], соответствующее вполне антисимметричному тензору кручения, который вместе с неметрич-ностью Вейля допускает непротиворечивое введение спинорной структуры на аффинно-метрическом многообразии. Такие пространства Вейля-Картана (или Вейля-Родичева) в рамках лагранжева подхода рассматривались в работах [28, 29]. Среди них можно выделить еще более узкий класс, для которых вектор неметричности Вейля пропорционален псевдоследу тензора кручения. Связность Вейля-Картана с такой специфической структурой естественно возникает в рамках обобщения уравнений Коши-Римана ТФКП на некоммутативные алгебры и оказывается тесно связанной со структурой исключительной алгебры бикватернио-нов [20, 21, 23].

С другой стороны, такие " бикватернионно индуцируемые" связности Вейля-Картана не обладают свойством инвариантности относительно пространственных отражений, т.е. Р-неинвариантны. Это свойство делает весьма вероятной гипотезу о возможной геометрической природе нарушений пространственной четности и даже позволяет построить на этой основе геометрическую версию теории электрослабых взаимодейст-

вий Вайнберга-Салама [28, 29].

Именно пространства со связностью Вейля-Картана, в особенности с бикватернионной связностью, и являются предметом исследования диссертации.

Перейдем теперь от "кинематики" к динамическому аспекту физических теорий, рассматриваемых в диссертации. Красота и универсальность лагранжева метода не может подвергаться каким-либо сомнениям. Однако принцип наименьшего действия не является единственно возможным методом получения уравнений динамики физических полей или уравнений движения частиц. Другой возможностью генерации физических уравнений является рассмотрение условий совместности некоторых "производящих" или ассоциируемых с ними систем уравнений. Так, известно, что вакуумные уравнения Эйнштейна являются условиями совместности для уравнений поля спина 3/2 в римановом пространстве [7, 8]. Р. Пенроуз [3] продемонстрировал тесную связь этого факта с твисторной структурой пространства-времени и продолжает интересоваться этим подходом [4].

Широкое признание получила также конструкция, используемая в теории поля для нахождения решений большого класса нелинейных уравнений [53, 33]. При этом вводится некоторая специально подобранная "эффективная" матрично-значная связность Г (ж), для которой условия обращения в нуль соответствующего ей тензора кривизны

П(х) = Щх) - Т(х) А Г(я) = 0, (1)

как раз и реализуют уравнения рассматриваемой системы. После этого

вводится вспомогательное матричное поле II(х), для которого уравнения

имеют условием совместности д(Ш = 0 условие нулевой кривизны (1). С другой стороны, ассоциированная система уравнений (2) линейна по полю и(х), и для её решения могут использоваться некоторые мощные математические методы, например метод обратной задачи рассеяния [54].

Следует отметить, что по своей структуре уравнения (2) аналогичны уравнениям

определяющим ковариантно-постоянные поля (КПП) и^ в пространстве со связностью В дифференциальной геометрии такие поля рассматривались П. А. Широковым и Л. Эйзенхартом [65, 64], а их обобщения - А. В. Аминовой и др. [34, 35]. В физике рассмотрение подобных полей было ограничено, пожалуй, лишь анализом их связей с группами голоно-мии и симметриями тензора кривизны пространства-времени [38, 39, 59]. Пространства Эйнштейна, допускающие существование КПП, были найдены в работе В. Р. Кайгородова и А. Б. Пестова [36].

Между тем при рассмотрении КПП в пространствах Вейля-Картана с метрикой пространства Минковского, когда метрическая часть полной связности, определяемая коэффициентами Кристоффеля, полагается равной нулю, уравнения (3) становятся переопределенными. В этом случае условия совместности (3), имеющие вид

¿и = Т(х)и,

(2)

Зи

= - = 0.

(3)

>[«Я"/"

(4)

накладывают жесткие ограничения на возможные геометрии, допускающие существование КПП, т.е. ведут себя как уравнения, определяющие динамику соответствующих им физических полей. При этом из (4), разумеется, уже не следует условие нулевой кривизны типа (1), т.е. геометрия и соответствующая ей физическая динамика оказываются совершенно нетривиальными .

По-видимому, вышеизложенной мотивации использования определяющих КПП уравнений (3) для построения физической теории поля оказалось бы недостаточно, если бы уравнения такого типа не возникли неожиданно при рассмотрении обобщений условий дифференцируемости функций комплексного переменного на некоммутативные алгебры ква-терниопного типа. В работах [20, 21, 23, 22] было показано, что условия дифференцируемости для функций " кватернионного переменного" имеют вид, аналогичный (3), и могут быть интерпретированы геометрически как уравнения КПП. При переходе от определенной над полем действительных чисел М алгебры кватернионов Гамильтона к ее комплексному расширению - алгебре бикватернионов В (изоморфной хорошо известной в физике алгебре матриц Паули + единичной 2x2 матрицы) - соответствующие уравнения приобретают лоренц-инвариантный вид и естественную 2-спинорную структуру [20, 21]. Это позволяет надеяться на то, что условия В-дифференцируемости могут быть использованы для формулировки и решения фундаментальных уравнений релятивистской теории поля в компактной В-инвариантной форме, по аналогии с использованием для этих целей самой алгебры (би)кватернионов (см. например [68, 73]), а также условий дифференцируемости, предложенных

Р. Фетером (см. [70] и работы Ф. Гюрши и др. [71, 72]).

Новой чертой подхода к проблеме (би)кватернионного анализа, предложенного в работах В. В. Кассандрова (см. [20, 21] и в них ссылки на более ранние работы) является то, что впервые некоммутативность алгебр Н, В заложена в само определение (би)кватернионно-дифференцируемой функции. Прямым следствием этого оказывается нелинейность соответствующих обобщенных уравнений Коши-Римана Х(КР). Наличие нелинейности позволило не только обнаружить нетривиальные связи этих "В-обобщенных уравнений Коши-Римана" с фундаментальными уравнениями физики (в их числе уравнений эйконала и Янга-Миллса), но и пытаться рассматривать эти уравнения как самостоятельные, первичные уравнения некоторой "алгебраической теории поля", включающей в себя естественным образом и члены взаимодействия.

Такой подход, по аналогии с геометродинамикой названный алгебр о динамическим [20], имеет ряд серьезных преимуществ и с общефизической точки зрения. Положенные в основу В-обобщенные уравнения КР однозначно определяют, как отмечалось выше, эффективную аффинную связность, включающую неметричность вейлевского типа, и как следствие являются калибровочно-инвариантными, причем с совершенно нетривиальной структурой допустимых калибровочных преобразований (подробнее см. ниже раздел 2.2.1 диссертации). Соответствующие В -значные структуры получают при этом естественную физическую интерпретацию в качестве потенциалов калибровочных полей.

частности, аналогом линейного уравнения Лапласа в ТФКП в алгебре В оказывается нелинейное, релятивистски-инвариантное уравнение 4-эйконала [22].

С другой стороны, характерной чертой В-уравнений КР является также их существенная переопределенностъ (в отличие от обычных КР уравнений в ТФКП!). Соответствующие условия совместности имеют вид условий (анти) самодуальности В-значных калибровочных полей, из которых в свою очередь сразу следует тождественное выполнение для них вакуумных калибровочных уравнений (Максвелла - для скалярной и Янга-Миллса - для векторной части В-значного калибровочного поля соответственно, см. подробнее раздел 2.2.2).

Наличие естественной калибровочной и спинорной структур наряду с тождественным выполнением уравнений Максвелла-Янга-Миллса 2 на решениях рассматриваемых В-уравнений КР позволяет считать эти последние своеобразной формой спинорной электродинамики, разумеется сильно отличающейся от общепринятой по динамическим следствиям.

Следует отметить, что ЭМ-поля, определенные алгеброй В, с необходимостью оказываются комплексными. Именно такие С-значные (анти) самодуальные поля интерпретировались Р. Пенроузом [5] как представляющие " волновую функцию фотона" определенной частотности (их прямым аналогом в ОТО является поле " нелинейного гравитона", определяемое (атни)самодуальной частью спинора конформной кривизны Вей-ля [5]). С другой стороны, действительная и мнимая части таких С-значных полей по отдельности удовлетворяют уравнениям Максвелла в силу линейности последних. При этом электрическая и магнитная составляющие каждой из этих частей уже линейно независимы друг от друга и удовлеворяют обычным действительным уравнениям Макс-

2 А также уравнения 4-эйконала для каждой из компонент спинора и уравнения д'Аламбера для их отношения, см. подробнее разделы 2.1.3 и 2.2.2.

велла для пустого пространства. Таким образом, по числу независимых степеней свободы и по динамическим свойствам В-калибровочные поля естественно определяют обычное ЭМ-поле 3.

На самом деле, однако, связь между структурой первичных нелинейных уравнений КР и электродинамикой гораздо сложнее и привлекательнее, поскольку уравнения Максвелла являются только необходимыми, но ни в коей мере не достаточными условиями совместности исходной системы. Это означает, что далеко не каждое решение обычных уравнений Максвелла может быть "достроено" до решения первичной переопределенной системы и тем самим быть реализовано с точки зрения рассматриваемой теории поля. В частности, электростатическое ку-лоновское решение может быть получено как решение ©-уравнений КР лишь при условии, что соответствующие ему значения электрического заряда имеют единственно возможную и строго определенную по модулю величину (ф = ±е при соответствующем выборе масштабных коэффициентов, подробнее см. раздел 3.1). Такое свойство фиксации допустимых значений электрического заряда, впервые обнаруженное в работах [20, 21, 23], представляет, по-видимому, наиболее привлекательное и неожиданное свойство рассматриваемых В-уравнений КР, и уже само по себе мотивирует необходимость их дальнейшего изучения. Исследование математической структуры и физических следствий В-уравнений КР, рассматриваемых как система уравнений динамики взаимодействующих спинорного и электромагнитного полей, и является основной целью данной диссертации.

3Что касается векторной части калибровочной 1В-структуры, связанной с полями типа Янга-Миллса, для них С-значность представляется неустранимой и требует специальной физической интерпретации, см. [21].

Непосредственно этим уравнениям посвящены вторая и третья части представляемой работы. Что касается первой части, то она является в некотором смысле вводной, поскольку посвящена исследованию аналогичных В-уравнениям КР уравнений КПП в пространствах Вейля-Картана, не имеющих алгебраического происхождения, но более прозрачных с геометрической точки зрения.

А именно, в I главе после краткого обзора аффинно-метрических пространств (раздел 1.1) изучаются свойства КПП в пространствах с простейшими видами неметричности (Вейля) (раздел 1.2) и кручения (так называемое кручение Нордена, см. раздел 1.3). Такие объекты, насколько нам известно, практически не рассматривались до этого ни с чисто математической, ни тем более с физической точек зрения. Между тем уже первые полученные в наших работах [77] результаты показали, что КПП в пространствах Вейля-Картана имеют ряд неожиданных свойств (в том числе обладают "двойной" калибровочной симметрией и фиксируют допустимые значения "электрического" заряда), позволяющих дать естественную электродинамическую интерпретацию соответствующих геометрических характеристик, а сами уравнения КПП рассматривать как уравнения физических полей. Это относится не только к "классической" геометрии Вейля, рассматриваемой в разделе 1.1.1, где интерпретация 4-вектора неметричности в качестве электромагнитного потенциала исторически опирается на единую теорию электромагнетизма и гравитации Г. Вейля. Оказывается, что возможность естественного построения электродинамики имеется и в специальных типах пространств Римана-Картана, рассматриваемых в разделе 1.3. В конце I гла-

вы (раздел 1.4) приведен обзор некоторых геометрических и физических свойств основного объекта исследования диссертации - В-уравнений КР, понимаемых как уравнения КПП (БКПП) в пространстве со связностью специального типа Вейля-Картана, индуцируемой алгеброй бикватерни-онов Вив основном полученных уже в предшествующих работах [20, 21]. При этом некоторые результаты подтверждены способом, отличным от использованного в предшествующих работах.

Во II главе проводится подробный анализ математических свойств уравнений БКПП (В-уравнений КР). После краткого обзора свойств алгебры кватернионов и проблем кватернионного анализа (раздел 2.1) выписываются уравнения БКПП, исследуется их спинорная структура и выводится уравнение 4-эйконала для компонент соответствующего БКПП 2-спинора Фундаментальный результат о функциональной зависимости любых трех компонент твистора X = {£, построенного на решениях уравнений БКПП, получен в разделе 2.2. Там же с помощью этого результата изучена нетривиальная твисторная структура группы калибровочных преобразований, допускаемых уравнениями БКПП. Наконец, в разделе 2.3 тот же результат использован для записи общего решения изучаемых уравнений в виде неявной алгебраической зависимости компонент твистора X

Пс(Х) = 0, С = 0,1. (5)

Достаточно неожиданным оказался тот факт, что при выборе соответствующей калибровки уравнения БКПП оказались по существу тождественными определяющим уравнениям для бессдвиговых (изотропных геодезических) конгруенций (БСК), хорошо из-

вестных в ОТО (см., например, [2, 6]). Это позволило, с одной стороны, рассматривать запись общего решения уравнений БКПП (5) как некоторое обобщение (или, что точнее, аналог) знаменитой теоремы Керра [2], представляющей общее решение уравнений БСК. С другой стороны, известная связь БСК с решениями (электро)вакуумных уравнений Эйнштейна [9,14] позволила сопоставить каждому решению уравнений БКПП некоторую эффективную метрику типа Керра-Шилда. Более того, мы показываем, что сингулярности кривизны этой метрики всегда совпадают с сингулярностями ЭМ и янг-миллсовского полей, сопоставляемых решениям БКПП, и на этой основе предлагаем в рамках данной модели рассматривать частицы как общие сингулярности всех этих полей.

В III главе на основе алгебраической формы общего решения (5) рассмотрены некоторые точные решения уравнений БКПП с различными типами сингулярностей. Подробно анализируется электростатическое решение (раздел 3.1), полученное ранее [20, 21], причем сопоставляемая ему метрика Керра-Шилда оказывается в точности метрикой Райснера-Нордстрема (для случая точечной особенности) или Керра-Ньюмена (для особенности кольцевого типа). Для анализа этого решения привлечена известная в ОТО модель частицы К. А. Jloneca [11], в отличие от которой электрический заряд оказывается строго фиксированным по модулю; значения всех других характеристик для этого решения в точности соответствуют дираковской частице.

В разделе 3.2 найдено в явном виде сложное аксиально-симметричное нестатическое решение уравнений БКПП, электромагнит-

ное поле которого совпадает с известным решением Борна для гиперболического движения заряда [40]. Его модификации, рассмотренные в том же разделе, имеют сложную бикольцевую и торообразную структуру сингулярности и нетривиальную эволюцию во времени. По-видимому, соответствующие им ЭМ-поля представляют собой ранее неизвестные решения уравнений Максвелла, дополняющие открытый недавно [31] класс "зауз-ленных" решений этих, казалось бы давно изученных уравнений. В конце раздела выписана метрика типа Керра-Шилда, отвечающая найденному решению уравнений БКПП.

В заключении к диссертации сформулированы основные выводы по результатам, полученным в диссертации.

Кратко сформулируем теперь Цель диссертационной работы и научную новизну результатов, полученных в диссертации. Цель диссертационной работы состоит в следующем:

1. Изучение свойств КПП и их возможной электродинамической интерпретации в пространствах с неметричностью Вейля, с кручением Норде-на (определяемым следом тензора кручения), а также с "бикватернион-ной" связностью Вейля-Картана.

2. Установление динамических ограничений на значения электрического заряда, связанных с переопределенностью уравнений КПП рассматриваемого вида.

3. Изучение глобальных симметрий и особенностей калибровочной инвариантности систем уравнений КПП.

4. Изучение свойств и интегрирование системы уравнений для КПП в пространстве со связностью Вейля-Картана, индуцируемой алгеброй би-

кватернионов (БКПП).

5. Установление связей системы определяющей БКПП с уравнениями эйконала и д'Аламбера, с уравнениями калибровочных полей, а также с системой уравнений для бессдвиговых изотропных конгруенций и уравнениями Эйнштейна.

6. Изучение свойств сингулярных решений системы БКПП и соответствующих им решений уравнений Максвелла, Янга-Миллса и Эйнштейна.

Научная новизна диссертации определяется установлением возможности динамического фиксирования значений электрического заряда, совместного существования двух групп калибровочных преобразований ("квантово-механической" и "вейлевской"), "динамических" связей би-кватернионов с твисторами, а также обнаружением новых сингулярных решений не только рассматриваемых систем уравнений КПП, но и отвечающих им решений вакуумных уравнений Максвелла, Янга-Миллса и Эйнштейна.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 85 наименований. Полный объем диссертации составляет 125 страниц.

1. Ковариантно-постоянные поля и геометризация

электромагнетизма

В этой главе после краткого рассмотрения общих свойств аффинно-метрических геометрий и их физических приложений мы остановимся на теории Вейля, в основном на ее "кинематической" части. Во втором разделе будут рассмотрены ковариантно-постоянные поля (КПП) в геометрии Вейля и электродинамическая интерпретация определяющих их уравнений. При этом анализируются особая калибровочная структура системы уравнений КПП и динамические ограничения на значения электрического заряда, возникающие за счет переопределенности этой системы для случая метрики Минковского. Далее рассматриваются КПП в пространстве Римана-Картана, характеризуемом следом тензора кручения. На основе калибровочной симметрии системы КПП оказывается возможным дать интерпретацию кручения в терминах электродинамических величин. Для случая метрики Минковского уравнения КПП снова ограничивают допустимые значения электрического заряда. В последнем разделе мы даем геометрическую интерпретацию полученных ранее условий интегрируемости системы КПП в пространстве со связностью, индуцируемой структурой алгебры бикватернионов.

1.1. Аффинно-метрические пространства. Геометрия Вейля

Ряд направлений, интенсивно развивающихся в физике в настоящее время, с необходимостью требует использования геометрических моделей пространства-времени, значительно более общих, чем риманова геометрия ОТО. Это связано как с поисками наиболее эффективных подходов к квантованию гравитации, так и с попытками разрешения внутренних трудностей самой ОТО, в том числе исключения сингулярностей, возникающих в теории ранней Вселенной. Привлекает также возможность расширения геометрической базы теорий объединения фундаментальных взаимодействий, в том числе теорий типа Калуцы-Клейна, включающих в рассмотрение и дополнительные размерности пространства-времени. В последние годы специального рода обобщения римановой геометрии возникают как в контексте локальных теорий поля, так и в рамках струнных теорий [62, 51].

Наиболее естественным и достаточно общим расширением римановой геометрии является переход к аффинно-метприческим пространствам (¿4, д), в которых (линейная) связность, определяемая параллельным переносом, становится независимой от метрики и, вообще говоря, несимметричной. В этом случае для коэффициентов связности Тр имеем хорошо известное представление (см., например, [24])

= + (1.1)

где

% = + дуд^ - даЯ^) (1.2)

- символы Кристоффеля, составляющие метрическую часть объекта

связности и являющиеся основным объектом ОТО. Далее, симметричный по первым двум индексам тензор неметричности (или тензор сегментарной кривизны)

ЯраЗр,. = £(Н/> = + - (1.3)

определяется ковариантной производной Vрдри от метрики дри, вообще говоря отличной от нуля. Наконец, тензор конторсии

9р<у^ ц.у = Q^t[pv] = Турц + Т^ру + Тирр, (1-4)

определяется антисимметричной частью Г^^ коэффициентов связности (1.1), соответствующей тензору кручения

Три. = ~ ^У ^ ^[Н"

В свою очередь сам тензор кручения в соответствие со свойствами симметрии может быть разложен на следующие неприводимые компоненты (см., например [52])

= + - б'П) + (1.6)

где Тр = Т^ определяет след, Та = ¿е^Т^ - псевдослед, а ТД -бесследовую часть тензора кручения.

В диссертации (как в большинстве других работ по аффинно-метрическим теориям гравитации [26, 30, 18]) мы ограничимся рассмотрением специальных типов пространств (£4, д) с простейшей структурой неметричности вейлевского типа (см. ниже) и кручения, определяемого векторами Тр и Тр. Пространства с " полу симметрической" связностью, определяемой следом тензора кручения Тр(х), рассматривались с математической точки зрения А. П. Норденом в монографии [67], пространства

с псевдоследом Тц(х) - в работах В. И. Родичева [24, 25]. Что касается выбора неметричности, он диктуется единой теорией гравитации и электромагнетизма, предложенной Г. Вейлем в 1918 году и ставшей с тех пор классической [60, а].

В геометрии Вейля неметричность определяется условием пропорциональности ковариантной производной от метрического тензора ему самому,

V<rs> = -2д^Аа, (1.7)

где Ац есть векторное поле, которое в теории Вейля с точностью до постоянного множителя отождествляется с 4-вектором потенциала ЭМ-поля.

1.1.1. Теория Вейля

Остановимся теперь подробнее на геометрии и кинематической части теории Вейля. В классическом случае геометрии Вейля кручение полагается равным нулю, что эквивалентно коммутативности параллельного переноса (см., например [60, а,в]), и имеет место непостоянство метрического тензора при параллельном переносе вида (1.7). Для выяснения смысла последнего условия (1.7) рассмотрим, как меняется длина вектора при бесконечно малом параллельном переносе. Продифференцируем ковариантно равенство V2 — д^У^У", получим

IV(IV = ¿х'фгд^У + 2д^У^(ТУ^х(Т. (1.8)

При этом второе слагаемое в последнем соотношении (1.8) обращается в ноль (вектор У^ параллельно переносится в направление йха ) и, под-

ставляя в (1.8) условие (1.7), окончательно получим

йрУ = Уш,

(1.9)

где

(1.10)

Последнее соотношение раскрывает смысл равенства (1.7), заключающийся в том, что параллельный перенос из точки Р^х*) в бесконечно близкую точку ха + д,х<г) осуществляет преобразование подобия (с коэффициентом си, зависящим от начальной точки Р(х(Т) и направления ¿ха переноса) касательного пространства в точке Р(х<т) в касательное пространство точки С}(х'7 + в,ха). При этом изменение длины, как видно из (1.9) и (1.10), зависит от пути переноса, что приводит к неопределенности метрического тензора. Для выявления степени его неопределенности заметим, что отношение длин двух векторов не меняется при параллельном переносе, и поэтому метрический тензор в каждой точке определяется с точностью до числового множителя, который меняется от точки к точке (т.е. является функцией точки). Отсюда понятно, что геометрия Вейля является конформно-инвариантной, а именно инвариантной относительно следующих преобразований

аналогичных (для Акалибровочным преобразованиям электродинамики, что обосновывает отождествление (с точностью до мультипликативной константы) Вейлем вектора Ас 4-потенциалом электромагнитного поля.

9ни А„ ->• А„ - -д„ 1п Л,

1

(1.11)

В теории Вейля объект связности принимает следующий вид

Г>, = Г*, + Ац5$ + А„51> - (1.12)

и, как нетрудно проверить, остается инвариантным при преобразованиях вида (1.11).

Для того, чтобы вычислить тензор кривизны в теории Вейля, рассмотрим, как меняется вектор при его параллельном обнесении вдоль элементарного параллелограмма со сторонами Имеем, как обыч-

но,

лрк = Ka(,sa%, (1.13)

где

Saß = ^ß _ ^^

- направляющий бивектор, а R^aß - тензор кривизны пространства Вейля. Из (1.13) вычисляем изменение длины. Оно оказывается следующим:

VAPV = R^V^. (1.14)

Используя соотношение (1.9), определяющее изменение длины при параллельном переносе, легко найти левую часть соотношения (1.14). Она оказывается равной

VAPV = V2FaßSaß, (1.15)

где

Faß = dßAa - daAß, (1.16)

отсюда следует, что тензор кривизны имеет следующую структуру:

Kaß=naß+KFaß, (1.17)

где

Р/и/ар = 9ц\Р£ар, С1-18)

- тензор, антисимметричный не только по последним двум индексам, но и по первым тоже.

Таким образом, из формулы (1.15) видно, что при параллельном обнесении вектора вдоль замкнутой кривой его длина меняется пропорционально ЭМ-потоку через поверхность, ограниченную этой кривой.

Остановимся на недостатках теории Вейля. Во-первых, при всей ее внутренней красоте, в динамическом аспекте она приводит к уравнениям, не переходящим в уравнения Эйнштейна в соответствующем пределе (Ац = 0) по той причине, что принцип калибровочной инвариантности допускает только квадратичные по кривизне лагранжианы, приводящие к уравнениям 4-го порядка по производным [55, 57]. Во-вторых, следует отметить критические замечания, высказанные Эйнштейном по поводу физической интерпретации процедуры "выбора произвольной единицы длины", различной в различных точках пространства-времени (см. [60, б] и [56]). Отметим также отсутствие экспериментальной проверки основной гипотезы об изменении длины при параллельном переносе в присутствии электромагнитных полей (ЭМ-полей) [58], что послужило одной из основных причин того, что теория Вейля не получила развития в своем изначальном виде. Хотя, как было показано Паули [40], решение Шварцшильда является решением уравнений теории Вейля, соответствующих лагранжиану Ь = К^арЯ^Р, и поэтому основные эффекты ОТО, связанные с движением перигелия Меркурия и искривлением световых лучей в гравитационном поле правильно предсказываются и этой теори-

ей. Наконец, из уравнений геодезических в геометрии Вейля не следует выражение для силы Лоренца.

1.2. КПП в геометриях с симметричной связностью

Мы переходим теперь к рассмотрению основного вопроса данной главы - изучению математических свойств ковариантно-постоянных полей (КПП) в геометриях с неметричностью и кручением и возможностей их физической интерпретации в духе теории Вейля, но с определяемой самими уравнениями КПП (3) нелагранжевой динамикой. В этом разделе мы рассматриваем случай чистой неметричности без кручения, когда коэффициенты связности симметричны по нижним индексам

г^ = гг„. (1.19)

В этом случае из определяющего КПП уравнения (3) следует

= 0, (1.20) откуда очевидно, что искомое поле локально Кц имеет вид 4-градиента

К„ = (1.21)

где скалярную функцию Ф(ж) будем называть производящей.

Вырожденным случаем геометрии Вейля с симметричной связностью является обычная риманова геометрия. Известно [64, 65], что в ри-мановой геометрии существование КПП накладывает слишком слабое ограничение на метрику. В этом случае метрика оказывается приводима. Так, например, если векторное поле Км неизотропно, то в системе

координат, где

К* = (1,0,0,0), (1.22)

метрика приводится к виду

ds2 = K2(dxQf + gabdxadx\ a,b = 1,2,3, (1.23)

где

К2 = KVKV = const

- квадрат длины вектора К^ и компоненты даь являются функциями только ха, т.е. не зависят от ж0. В случае изотропного векторного поля Ä7*, имеем [59]

ds2 = gab(xc)dxadxb - 2dxzdx°, а, 6, с = 1,2,3. (1.24)

Завершая обсуждение КПП в римановой геометрии, приведем утверждение, что если решение вакуумных уравнений Эйнштейна (R^ — 0) допускает КПП, то этот вектор является изотропным или пространство-время является плоским [36, 59]. Как мы увидим, у этого утверждения имеется аналогия и в геометрии Вейля.

1.2.1. КПП в геометрии Вейля

После сделанных замечаний перейдем к изучению основного интересующего нас случая геометрии Вейля без кручения - "классической геометрии Вейля". Определяющие уравнения для КПП в случае геометрии Вейля в соответствии с типом связности (1.12) имеют вид

dvK, = Г^КР + A^KV + - д^АрКр. (1.25)

Условие интегрируемости системы (1.25)

KafiK, = 0, (1.26)

где R^aß - тензор кривизны теории Вейля (см. (1.17)). Свертка последнего уравнения (1.26) с вектором Kv приводит с учетом (1.17), (1.18) к следующему соотношению:

K2Faß = 0, (1.27)

где К2 = д^К^К". Из (1.27) непосредственно следует, что для существования нетривиального ЭМ-поля КПП К^ должно быть изотропным

К2 = К^К» = 0. (1.28)

Таким образом, здесь имеется интересное соответствие с упомянутым выше случаем римановой геометрии. Другое, эквивалентное доказательство необходимости (1.28) для существования нетривиальных ЭМ-полей можно получить, свертывая определяющие уравнения (1.25) с самим вектором К^, в результате чего имеем

\диК2 ее = AVK2, (1.29)

где ; - обозначает ковариантную производную по метрической связности ГЕсли предположить неизотропность К^, то из (1.29) имеем Av = ¿ди\пК2, откуда следует тривиальность ЭМ-полей Faß = 0. Таким образом, необходимым условием нетривиальности ЭМ-полей F является изотропность КПП.

Обсудим подробнее физические следствия изотропности КПП. При этом для общности будем рассматривать случай произвольной римановой метрики gßU. Выделим в уравнениях КПП (1.25) ковариантную про-

изводную по связности Леви-Чивита (обозначаемую ;) и, сворачивая её с вектором Ки, учтем изотропность К2 = 0; тогда будем иметь

К»КЩу = 0. (1.30)

Таким образом, любое изотропное КПП определяет конгруенцию световых геодезических (в аффинной параметризации) в римановом пространстве с метрикой д^. Ниже мы увидим, что это свойство имеет во многом универсальный для различных геометрий характер. Выделе-ность изотропных КПП в нашем подходе приобретает фундаментальный смысл, поскольку предопределяет псевдоевклидовую структуру пространства-времени. Такое свойство является характерной чертой именно данного подхода, поскольку в нем КПП является первичным физическим объектом.

Далее из (1.21) в силу изотропности вектора Кц вытекает уравнение эйконала для производящей функции Ф

д^Ф^Ф = 0. (1.31)

Отсюда следует, что любое решение системы (1.25) задается 4-градиентом волнового фронта, распространяющегося со скоростью света (с — 1). В этой связи, отметим фундаментальный характер уравнения эйконала [66], представляющего собой уравнение распространения любого сигнала со скоростью света, и его все возрастающее значение в связи с развитием теории каустик и волновых фронтов [1, 17].

Пожалуй, одним из наиболее интересных свойств системы (1.25) является её инвариантность относительно преобразований, аналогичных калибровочным преобразованиям квантовой механики [77, 79]. А именно, помимо калибровочной симметрии, унаследованной от теории В ей ля

(см. (1.11)), система (1.25) обладает другой независимой калибровочной симметрией следующего вида:

Ф -> /«, К, -> fKfl, (1.32)

где / - скалярная функция и / = не затрагивающей метрику

gfW(x) = in®, и связанной с функциональной инвариантностью уравнения эйконала относительно преобразования Ф /(Ф).

Рассмотрим теперь сферически-симметричное пространство Вейля. В этом случае, очевидно, существуют система координат и калибровка, где метрика д^ и 1-форма ЭМ-потенциала Ам имеют следующий вид

ds2 = —ft(г, t)dt2 + a(r, t)dr2 + г2сЮ2, Л = a(r, + 6(r, t)dr, (1.33)

где сШ2 = d92 + sin2 (в) d<f>2, с подлежащими определению функциями grr = а, дао = —/3, Aq = a, Ar = b радиальной (г) и временной (í) переменных, а система (1.25) приводится с учетом выражения (1.21) для компонент КПП к следующим уравнениям

гФ' + г2(ЬФ' - аЩ) = 0, (1.34)

н

Ф = + Аф + аф + ъъ'Р- (1.35)

2а 2 р а v у

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ризкалла Жозеф Антуан

Выводы по диссертации

1. Изучены свойства ковариантно-постоянных полей (КПП) в пространствах с неметричностью Вейля и с кручением специальных типов. Показано, что системы уравнений для КПП обладают калибровочными группами симметрий с нетривиальной структурой и допускают электромагнитную интерпретацию. Установлено, что во всех рассмотренных моделях величина электрического заряда источников может принимать лишь одно фиксированное по модулю значение.

2. Система уравнений ковариантно-постоянных полей с исключительной связностью Вейля-Картана, индуцированной алгеброй биква-тернионов (БКПП), проинтегрирована в твисторных переменных. Установлена полная структура группы калибровочных преобразований, допускаемой системой БКПП. Найдено общее алгебраическое условие, определяющее возможную форму и эволюцию сингулярнос-тей решений системы БКПП.

3. Система БКПП редуцирована к системе уравнений бессдвиговых изотропных конгруенций. Установлено, что каждому решению системы БКПП могут быть сопоставлены решения вакуумных уравнений Максвелла, Янга-Миллса и, в стационарном случае, системы электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла.

4. Показано, что сингулярности всех физических полей, сопоставляемых решениям системы БКПП, определяются одним и тем же алгебраическим условием. Предложено рассматривать общие сингулярности электромагнитного, янг-миллсовского и эффективного гравитационного полей в качестве частицеподобных образований.

5. Изучены свойства односингулярного решения системы БКПП и его комплексной модификации с кольцеобразной структурой сингулярности. Показано, что это решение описывает заряженную частицу полуцелого спина с магнитным и квадрупольным электрическим моментами и эффективной метрикой Керра-Ньюмена. В отличие от ранее предлагавшейся модели Лопеса, электрический заряд частицы динамически фиксирован по величине.

6. Найдено точное бисингулярное решение системы БКПП, электромагнитное поле которого отвечает известному решению Борна. Обнаружены модификации этого решения с торообразной или биколь-цевой структурой сингулярного множества и нетривиальной динамикой.

В заключение сформулируем основные выводы по результатам, полученным в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ризкалла Жозеф Антуан, 1999 год

Библиография

1. В. И. Арнольд, "Сингулярности Каустик и Волновых Фронтов", Москва, Математика, 1996.

2. Р. Пенроуз, В. Риндлер, "Спиноры и Пространство-Время" Т.2, Москва, Мир, 1988.

3. R. Penrose, Twistors as spin 3/2 charges, in "GR & Modern Cosmology", ed. A. Zichichi, Plenum Press, NY, 1991, P.129-137.

4. R. Penrose, Twistor theory and the vacuum equations, GR15, Abstracts of plenary lectures and contributed papers, Inter-Univ. Centre for Astronomy and Astrophysics, Pune, 1997, P.36.

5. P. Пенроуз, Нелинейные гравитоны и искривленная теория твисто-ров, в "Твисторы и калибровочные поля", Москва, Мир, 1983, С.225-

249.

6. Р. Сакс, Гравитационное излучение, в "Гравитация и топология", Москва, Мир, 1966.

7. Н. A. Buchdahl, On the compatibility of relativistic wave equations for particles of higher spin in the presence of a gravitational field, Nuovo Cim., 10, 96-103, (1958); On the compatibility of relativistic wave equations in Riemann spaces, 25, 486-496, (1962).

8. J. Plebanski, Some solutions of complex Einstein equations, J. Math. Phys. 16, 2395, (1975).

9. G. C. Debney, R. P. Kerr, A. Schild, Solutions of the Einstein-Maxwell equations, J. Math. Phys. 10, 1842-1854, (1969).

10. R. P. Kerr, W. B. Wilson, Singularities in the Kerr-Schild metrics, Gen. Rel. Grav. 10, 273-281, (1979).

11. C. A. Lopes, Extended model of the electron in general relativity, Phys. Rev. D30, 313-316, (1984).

12. А. Я. Буринский, Струны в метриках Керра-Шилда, Проблемы Теории Гравитации и Элементарных Частиц 11, 47-60, (1980).

13. A. Burinskii, G. Magli, Behaviour of singularities of the Kerr-Newman and the Kerr-Sen solutions by arbitrary boost, (Internet http://xxx.lanl.gov; hep-th/9801177).

14. A. Burinskii, R. P. Kerr, Z. Perjes, Nonstationary Kerr congruences, (Internet http://xxx.lanl.gov; gr-qc/9501012).

15. W. Kinnersley, Field of an arbitrary accelerating point mass, Phys. Rev. 186, 1335-1336, (1969).

16. J. Ehlers, F. A. E. Pirani, A. Schild, The geomerty of free fall anf light propagation, in "General Relativity", L. O. Raifeartaigh ed. (Oxford Univ. Press, London), 1972, P.63-84.

17. S. Frittelli, E. T. Newman, G. Silva-Ortigoza, The eikonal equation in flat space: Null surfaces and their singularities I, J. Math. Phys. 40, 383-407, (1999), (Internet http://xxx.lanl.gov; gr-qc/9809019).

18. Б. H. Барбашов, А. Б. Пестов, Связность Вейля, неабелево калибровочное поле и кручение, Теор. Мат. Физ104 (3), 429-434, (1995).

19. Е. К. Логинов, Методы альтернативной алгебры в СТО, Теор. Мат. Физ., 86 (2), 294-299, (1991).

20. В. В. Кассандров, "Алгебраическая Структура Пространства-Времени и Алгебродинамика", Москва, Изд-во Рос. Унив. Дружбы

Нар., 1992.

21. V. V. Kassandrov, Biquaternion electrodynamics and Weyl-Cartan geometry of space-time, Grav. & Cosm. 1, 216-222, (1995).

22. В. В. Кассандров, Электромагнитные волны как гипераналитические отображения, Вестник Рос. Унив. Дружбы Нар., Физика 1, 59-64,

(1993).

23. V. V. Kassandrov, Conformai mappings, hyperanalyticity and field dynamics, Acta Applic. Math. 50, 197-206, (1998).

24. В. И. Родичев, "Теория тяготения в ортогональном репере", Москва, Наука, 1974.

25. В. И. Родичев, Пространство с кручением и обобщенные уравнения спинорного поля, Изв. вузов. Физика 2, 122-124, (1963).

26. О. V. Babourova, В. N. Frolov, Pontryagin, Euler forms and Chern-Simons terms in Weyl-Cartan space, Mod. Phys. Letters A12 (17), 12671274, (1997); The variational theory of the perfect dilaton-spin fluid in a Weyl-Cartan space, Mod. Phys. Letters A12 (38), 2943-2950, (1997).

27. Ю. Н. Обухов, В. Г. Кречет, В. Н. Пономарев, Кручение, сегментарная кривизна и структура пространства-времени, "Гравит. и теор. относит." вып. 14-15, Казань, изд-во КГУ, 121-127, (1978).

28. V. G. Krechet, Geometrization of physical interactions, 5-dimensional theories and the many-world problem, Grav. & Cosm. 1, 199-203, (1995).

29. В. Г. Кречет, Электродинамика лептонов в пространстве с кручением и слабые взаимодействия, Изв. вузов. Физика. (10), 18-21, (1994).

30. V. G. Krechet, D. V. Sadovnikov, Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field, Grav. & Cosm. 3, 133-140, (1997).

31. A. F. Ranada, J. L. Trueba, The properties of electromagnetic knots, Phys. Letters A232, 25-33, (1997).

32. В. E. Степанов, Условия существования связности спинорного расслоения в пространстве-времени общего типа, Изв. вузов. Математика. (1), 72-74, (1987); Условие Родичева на кручение, спиноры и законы сохранения в пространстве Римана-Картана, Изв. вузов. Физика. 38 (5), 72-76, (1995).

33. А. Н. Лезнов, В. И. Манько, С. М. Чумаков, Динамические симметрии нелинейных уравнений, в "Теория групп, гравитация и физика элементарных частиц", труды ФИАН, 167, 1986, С.232-277.

34. А. В. Аминова, О конциркулярных движениях в римановом пространстве, "Гравит. и теор. относит.", вып. 8, Казань, изд-во КГУ, 127-138, (1971).

35. А. В. Аминова, Т. П. Тогулева, Проективные и аффинные движения, определяемые конциркулярными векторными полями, там же, 139144.

36. В. Р. Кайгородов, А. Б. Пестов, Постоянные векторные поля в пространствах Эйнштейна, "Гравит. и теор. относит.", вып. 6, Казань, изд-во КГУ, 46-57, (1969).

37. И. JT. Кантор, А. С. Солодовников, "Гиперкомплексные Числа", Москва, 1973.

38. G. S. Hall, Covariantly constant tensors and holonomy structure in general relativity, J. Math. Phys. 32, 181-187, (1991).

39. G. S. Hall, Weyl manifolds and connections, J. Math. Phys. 33, 26332638, (1992).

40. В. Паули, "Теория Относительности", Москва, Наука, 1958.

41. A. Singal, The Equivalence principle and an electric charge in a gravitational field, Gen. Rel. Grav. 27, 953-967, (1995).

42. A. Singal, The Equivalence principle and an electric charge in a gravitational field II. A uniformly accelerated charge does not radiate, Gen. Rel. Grav. 29, 1371-1390, (1997).

43. C. -S. Ng, Energy conservation of a uniformly accelerated point charge, Phys. Rev. E47, 2038-2042, (1993).

44. S. Parrott, Radiation from a charge uniformly accelerated for all time, Gen. Rel. Grav. 29, 1463, (1997), (Internet http://xxx.lanl.gov; gr-qc/9711027).

45. A. Harpaz, N. Soker, Radiation from a uniformly accelerated charge, (Internet http://xxx.lanl.gov; gr-qc/9805097).

46. G. D. Boulware, Radiation from a uniformly accelerated charge, Ann. of Physics 124, 169-188, (1980).

47. C. Leibovitz, A. Peres, Energy balance of a uniformly accelerated charge, Ann. of Physics 9, 499, (1960).

48. B. JI. Гинзбург, Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда, Успехи Физ. Наук 98 (3), 569585, (1969).

49. F. Rohrlich, The principle of equivalence, Ann. of Physics 22, 169-191, (1963).

50. N. Rosen, Field of a particle in uniform motion and uniform acceleration, Ann. of Physics 17, 269-275, (1962).

51. J. H. Schwarz, Superstring theory, Phys. Rep. 89, 223-322, (1982).

52. Д. Д. Иваненко, П. И. Пронин, Г. А. Сарданашвили, "Калибровочная Теория Гравитации", ИМУ, 1995.

53. JL А. Тахтаджян, JI. Д. Фаддеев, "Гамильтонов Подход в Теории Солитонов", Москва, Наука, 1986.

54. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, JI. П. Питаевский, "Теория Солитонов: Метод Обратной Задачи", Москва, Наука, 1980.

55. А. С. Эддингтон, "Теория Относительности", Москва, ГТТИ, 1934.

56. Г. Лоренц, в "Эйнштейновский сборник, 1982-1983", Москва, Наука, 1986, С.237-258.

57. Г. Е. Горелик, Комментарии в книге Г. Вейля "Математическое Мышление", Москва, Наука, 1989.

58. Р. Маркце, Дж. Уилер, Гравитация как геометрия I в "Гравитация и относительность", Москва, Мир, 1965.

59. Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум, "Точные Решения Уравнений Эйнштейна", Москва, Энергоатомиздат, 1982.

60. а) Г. Вейль, Гравитация и электричество, с.513; б) А. Эйнштейн, Добавления (к статье Г. Вейля), с.525; в) Э. Картан, Об обобщении понятия римановой кривизны и о пространствах с кручением, с.535 - в "Альберт Эйнштейн и теория гравитации", Москва, Мир, 1979.

61. А. П. Ефремов, Основы кватернионной теории относительности I. Кинематика инерциальных систем отсчета, Вестник Рос. У нив. Дружбы Нар., Физика 3 (1), 117-129, (1995).

62. F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke, Yu. Ne'eman, Metric-affine gauge theory of gravity, Phys. Rep. 258, 1-171, (1995).

63. Г. Бейтмен, "Математическая Теория Распространения Электромагнитных Волн", Москва, Физматгиз, 1958.

64. JT. П. Эйзенхарт, "Риманова Геометрия", Москва, И.Л., 1948.

65. П. А. Широков, Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах, Казань, Изв. физ.-мат. общ-ва, (2) 25, 86-114, (1925).

66. А. В. Фок, "Теория Пространства, Времени и Тяготения", Москва, 1976.

67. А. П. Норден, "Пространства Аффинной Связности", Москва, Наука, 1976.

68. А. В. Березин, Ю. А. Курочкин, Е. А. Толкачев, "Кватернионы в Релятивистской Физике", Минск, Наука и Техника, 1989.

69. Г. Казанова, "Векторная Алгебра", Москва, Мир, 1979.

70. A. Sudbery, Quaternionic analysis, Proc. Cam. Phil. Soc. 85, 199-225, (1979).

71. F. Giirsey, H. G. Tze, Complex and quaternioninc analyticity in chiral and gauge theories, Ann. of Physics 128, 29-130, (1980).

72. M. Evans, F. Giirsey and V. Ogievetsky, From two-dimensional conformal to four-dimensional self-dual theories: Quaternionic analyticity, Phys. Rev. D47, 3496-3508, (1993).

73. К. H. Быстров, В. Д. Захаров, Гиперкомплексные структуры в пространствах общей теории относительности и теории поля, Итоги Науки и Техники, " Классическая теория поля и теория гравитации", 1, 111, (1991).

74. В. В. Кассандров, В. Н. Тришин, Спиральные источники в биква-тернионной электродинамике. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М., Изд-во РУДН, 1998, С.8.

75. В. Н. Тришин, Бессдвиговые конгруенции и сингулярные решения вакуумных уравнений, Тезисы докладов X Российской гравитационной конференции, 1999, (в печати).

76. V. V. Kassandrov, J. A. Rizcalla, Particles as singularities within the unified algebraic field dynamics, (Internet http://xxx.lanl.gov; gr-qc/9809056).

77. В. В. Кассандров, Дж. А. Ризкалла, Ковариантно-постоянные поля и геометризация электромагнетизма, в Труд. Межд. Конф. "Геометризация Физики II", Казань, Изд-во КГУ, (1996), С.137.

78. В. В. Кассандров, Дж. А. Ризкалла, Алгебродинамический подход в теории поля: бисингулярное решение и его модификации. - "Новейшие проблемы теории поля. 1998" , под ред. проф. А.В.Аминовой. Казань, 1998. С.163-175; English translation - ibid., P. 176-186 (Internet http://xxx.lanl.gov; gr-qc/9809078).

79. V. V. Kassandrov, J. A. Rizcalla, Double gauge invariance in Weyl-like geometrization of electrodynamics. Тезисы докладов Межд. Конф. "Геометризация Физики II", Казань, Изд-во КГУ, 1995. С.37.

80. В. В. Кассандров, Дж. А. Ризкалла, Ковариантно-постоянные поля в различных геометриях. Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. Москва, Изд-во РУДН, 1995. С.45.

81. V. V. Kassandrov, J. A. Rizcalla, About two types of Coulomb-like fields with quantized charge in the geometry with torsion, in Proc. Int. school-seminar "Foundation of gravitation & cosmology". Odessa, 1995, P.98.

82. В. В. Кассандров, Дж. А. Ризкалла, Бисингулярное решение в биква-тернионной электродинамике. Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. Москва, Изд-во РУДН, 1997. С.97.

83. В. В. Кассандров, Дж. А. Ризкалла, Сингулярное торообразное решение уравнений бикватернионной динамики. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. Москва, Изд-во РУДН, 1998. С. 12.

84. В. В. Кассандров, Дж. А. Ризкалла, Твисторные переменные и эффективная метрика в бикватернионной электродинамике. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. Москва, Изд-во РУДН, 1998. С.10-11.

85. V. V. Kassandrov, J. A. Rizcalla, On the algebrodynamical approach to field theory. Тезисы докладов Межд. Летней школы-семинара "Волга-10", Казань, 1998. С.26-27.