Модели источников гравитационного поля и космологические модели в постримановых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Бабурова, Ольга Валерьевна

• Бабурова, Ольга Валерьевна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бабурова, Ольга Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ВЕЙЛЯ-КАРТАНА НА ОСНОВЕ КАЛИБРОВОЧНОГО ПРИНЦИПА

1.1. Группа Пуанкаре-Вейля.

1.2. Теорема Нетер для группы Пуанкаре-Вейля.

1.3. Принцип локальной инвариантности.

1.4. Структура лагранжиана взаимодействия с калибровочным полем

1.5. Лагранжиан свободного калибровочного поля.

Уравнения калибровочного поля.

1.6. Взаимодействие калибровочных полей.

1.7. Геометрическая интерпретация.

1.8. Лагранжиан гравитационного поля

2. ВАРИАЦИОННЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ПОСТРИМАНО-ВЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ (ТЕТРАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ФОРМАЛИЗМ ВНЕШНИХ ФОРМ) 59 2.1. Вариационный тетрадный формализм в пространстве Ь(д, Г) для общего квадратичного лагранжиана

2.2. Дифференциальные тождества для вариационных производных в аффинно-тетрадном вариационном формализме

2.3. Вариационный тетрадный формализм и уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана.

2.4. Вариационный метрический формализм и тождество Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана.

2.5. Формализм внешних форм в постримановых пространствах

2.6. Лемма вариационного исчисления в формализме внешних форм.

2.7. Вариационный формализм на языке внешних форм в пространстве Римана-Картана.

2.8. Уравнения гравитационного поля для квадратичных лагранжианов в формализме внешних форм в пространстве Вейля-Картана.

2.9. Инварианты Понтрягина и Эйлера, члены Черна-Саймонса в пространстве Вейля-Картана.

3. МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ СПИНОВОЙ ЦВЕТОВОЙ

ЖИДКОСТИ

3.1. Лагранжева плотность цветовой жидкости.

3.2. Уравнения движения цветовой жидкости.

3.3. Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса цветовой жидкости.

3.4. Гидродинамическое уравнение Эйлера для спиновой цветовой жидкости.

3.5. Уравнения движения частицы со спином и цветовым зарядом в цветовом поле в пространстве Римана-Картана

3.6. Обобщенное уравнение движения вектора спина частицы в цветовом поле в пространстве Римана-Картана

4. МОДЕЛИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ НЕМЕТ

РИЧНОСТИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

4.1. Модель идеальной спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картана.

4.1.1. Динамические переменные и связи.

4.1.2. Лагранжева плотность и уравнения движения жидкости

4.1.3. Законы движения тензора спина и дилатационного заряда.

4.1.4. Тензор энергии-импульса идеальной спин-дилатационной жидкости.

4.1.5. Гидродинамическое уравнение Эйлера.

4.1.6. Движение частиц в пространстве Вейля-Картана

4.2. Модель идеальной гипермоментной жидкости

4.2.1. Динамические переменные и связи.

4.2.2. Лагранжева плотность и уравнения движения жидкости

4.2.3. Закон изменения тензора гипермомента.

4.2.4. Токи гипермоментной жидкости как источники по-стриманова пространства-времени.

4.2.5. Гидродинамическое уравнение Эйлера для гипермоментной жидкости.

4.2.6. Особые случаи движения гипермоментной жидкости

5. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ МОДЕЛИ ПОСТРИМА-НОВОЙ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

5.1. Плоские волны кручения в пространстве Римана-Картана

5.2. Модель эволюции Вселенной со спин-дилатационной темной материей.

5.2.1. Анализ Г-уравнения гравитационного поля.

5.2.2. 0-у равнение поля в однородной и изотропной космологии и обобщенное уравнение Фридмана-Леметра

5.2.3. Общие свойства эволюции вселенной с дилатационной материей.

5.2.4. Решения обобщенного уравнения Фридмана-Леметра на различных стадиях эволюции вселенной.

5.2.5. Моделирование перехода от стадии инфляции к фридмановской стадии эволюции вселенной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели источников гравитационного поля и космологические модели в постримановых пространствах»

Современные астрофизические и космологические модели строятся на основе идущей от Эйнштейна [1]-[5] фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели [6]-[9], достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной,

Однако, современные достижения наблюдательной космологии [10]-[16] привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность барион-ной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в два раза по плотности положительной энергией вакуума определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридма-новская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к экспоненциальному расширению.

Решение этих новых проблем многие авторы видят в обобщении теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой: пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметрич-ностью, в частности, пространство Вейля-Картана с неметричностыо вейлевского типа. В космологических теориях, развитых в пространстве Римана-Картана [17]-[23], решается проблема начальной космологической сингулярности либо за счет использования источника в виде идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе [17], [18] (по поводу жидкости Вейссенхоффа-Раабе см. [24], [25]), либо за счет вкладов от квадратичных лагранжианов [20], либо за счет учета квантовых добавок в эффективное действие [26]. В других работах проводилось построение космологии в пространстве Вейля-Картана и в общем аффинно-метрическом пространстве [2 7]-[39]. Во всех указанных работах в качестве источников гравитационного поля фигурирует материя с обычными свойствами, как правило, обычная идеальная жидкость или идеальная спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе. В работах [40], [41] использовалась конформная теория гравитации для объяснения ряда современных наблюдательных данных. Появилось целое направление, названное "нериманова космология" [42], которое автор предпочитает называть "постриманова космология".

Вместе с тем, причиной возможных отклонений от римановой структуры и появления постримановых свойств у пространства-времени могут служить материальные среды, обобщающие обычную идеальную жидкость и идеальную жидкость Вейссенхоффа-Раабе на наличие более сложных внутренних степеней свободы. К ним относятся построенные автором модели идеальных сред с внутренними степенями свободы, обобщающие идеальную спиновую жидкость Вейссенхоффа-Раабе: модель релятивистской идеальной цветовой жидкости с учетом спин-цветового взаимодействия [43]-[48]1, каждая частица которой обладает спином и неабелевым цветовым зарядом (Глава 3), модель идеальной спин-дилатационной жидкости [50], [51], частицы которой наделены спином и дилатационным зарядом (Глава 4), модель идеальной гипермо-ментной жидкости (Глава 4) [52]—[56], [58]—[62], [64], [65], [67] (предложенная позднее также другими авторами [57], [63] и [66]), частицы которой наделены внутренним гипермоментом.

Вместе с некоторыми другими исследователями [70]-[72], автор развивает в работах [73]-[81] точку зрения о том, что возможные отклонения от римановой структуры и появление постримановых свойств у пространства-времени, в частности, возникновение постримановой космологии, должны быть обусловлены существованием материи с указанными выше внутренними степенями свободы, которая заполняет пространство-время, генерирует его структуру и взаимодействует с этой структурой. В качестве такой материи В.Г. Кречетом и В.Н. Мельниковым [68] и В.Г. Кречетом [69] была рассмотрена идеальная жидкость с параметрами, обладающими трансформационными свойствами относительно прямого произведения группы Лоренца и группы дилатаций. Подобная жидкость вводит в пространстве Вейля дилатационное поле, источником которого служит величина £+ р. В [70] предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в общем аффш-шо-метрическом пространстве, а в [71], [72] рассматривалась идеальная бесспомощью подчеркивания обозначена литература, принадлежащая автору пиновая жидкость, частицы которой наделены связанным с масштабной симметрией "зарядом Прока". Автором предложено в качестве источников постримановых свойств пространства-времени рассматривать идеальную спин-дилатационную жидкость [73]-[81]. Также для этой цели автором наряду с другими исследователями [70] предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в аффинно-метрическом пространстве.

Взаимодействие указанных моделей жидкостей с геометрией пространства-времени таково, что при наличии идеальной жидкости со спином и неабелевым цветовым зарядом возникает модель пространства-времени с постримановой структурой Римана-Картана, идеальная спин-дилатациогшая жидкость приводит к постримановой модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана, в то время как идеальная гипермоментная жидкость приводит к постримановой модели общего аффинно-метрического пространства.

В Главе 1 свойства геометрии Вейля-Картана обосновываются, исходя из идей калибровочной теория поля. Как показано в целом ряде работ [96]—[122], [90]—[92] требование локальной калибровочной инвариантности является конструктивным принципом, который в соединении с естественными физическими требованиями позволяет построить содержательную физическую теорию поля в ее классическом аспекте. Интерес к калибровочной трактовке гравитационного взаимодействия не ослабевает вплоть до настоящего времени [123]—[135]. В Главе 1 на основании общих принципов теории калибровочных полей [91| развивается калибровочная теория поля, ковариантная относительно группы Пуанкаре-Вейля [132], [135]. Рассмотрение этой группы связано с тем, что физика высоких энергий выдвигает требование локальной масштабной инвариантности теории, которая в математическом смысле эквивалентна требованию инвариантности относительно группы Вейля растяжений (дила-таций) пространства. В связи с этим целесообразно рассматривать расширение группы симметрий теории поля от группы Пуанкаре до группы Пуанкаре-Вейля.

Процедура локализации состоит в следующем. Рассмотрим интеграл действия системы спинорных полей, инвариантный относительно группы Пуанкаре-Вейля с постоянными параметрами, и потребуем, чтобы этот интеграл действия стал локально калибровочно инвариантным по отношению к группе Пуанкаре-Вейля, то есть инвариантным относительно действия этой группы с параметрами, являющимися произвольными функциями точек пространства-времени. Тогда на основании использования I и П теорем Нетер можно определить, как должна видоизмениться лагранжева плотность и физическая теория поля в целом, чтобы калибровочная инвариантность имела место. Калибровочное поле, соответствующее подгруппе Вейля (подгруппе дилатаций), названо дилатацион-ным полем. Это поле описывается вектором Вейля. Его напряженность представляет собой тензор сегментарной кривизны, который появляется в теории наряду с тензором кривизны и тензором кручения. Источником дилатационного поля является дилатационный ток внешних полей.

Результатом построенной теории является обнаружение структуры тетрадных коэффициентов, а именно того, каким образом они содержат калибровочные поля, соответствующее локализованной подгруппе трансляций (^поле), локализованной подгруппе Лоренца (г-поле) и локализованной подгруппе дилатаций (с1-поле). Этот результат может быть полезен при построении квантовой теории гравитационного поля. Показано, что геометрической основой гравитационного поля должно являтьи ся постриманово пространство Вейля-Картана с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа. Выяснена общая структура лагранжиана гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана и получены соответствующие уравнения гравитационного поля. Особенность данного лагранжиана состоит в том, что при сохранении калибровочной инвариантности он допускает наличие ненулевой массы у вектора немет-ричности Вей ля, а тем самым и у дилатационного калибровочного поля. Это обстоятельство говорит о том, что калибровочное поле, вводимое при локализации группы дилатации, не является электромагнитным полем (в отличии от первоначальной идеи Вейля), а полем другой природы, на что указывалось в работах [136]—[138]. Наличие массы у поля Вейля может сыграть роль в интерпретации современных наблюдательных данных на основе использования постримановых космологических моделей (см. Главу 5). Некоторые слагаемые в данном лагранжиане имеют структуру лагранжиана Хиггса и тем самым могут играть определенную роль при спонтанном нарушении дилатационной инвариантности и образовании масс частиц [95], [139].

Один из фундаментальных методов построения математических моделей состоит в использовании вариационных принципов, адекватных изучаемым моделям [140]. Вариационные методы находят широкое применение для решения различных задач математического моделирования (см., например, [141]—[143]). Построение моделей гравитационного взаимодействия в пространстве-времени с постримановыми геометрическими свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римана) вариационных формализмов. Если вариационный формализм в пространстве Римана-Картана (см. [87]—[91] и цитируемую там литературу), а также в общем аффинно-метрическом пространстве [93]-[95] достаточно хорошо развиты, то построению вариационного формализма в пространстве Вейля-Картана до последнего времени не уделялось достаточного внимания. Уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана как правило получались как частный случай уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении на неметричность условия Вей ля. Однако, полученные таким способом уравнения в общем случае не совпадают с вариационными уравнениями, получаемыми при наложении условия Вейля до вариационной процедуры, если предположить, как это полагает автор, что пространство Вейля-Картана имеет первоначальный фундаментальный статус вне всякой зависимости от аффинно-метрической теории гравитации. Поэтому в диссертационной работе значительное внимание уделено развитию вариационного формализма именно в пространстве Вейля-Картана (Глава 2).

В Главе 2 развиваются вариационные методы получения уравнений поля (тетрадный формализм и формализм внешних форм) в теории гравитации с квадратичными лагранжианами в вариационном формализме первого порядка, в котором метрика и связность рассматриваются как независимые вариационные переменные (обобщенный формализм Пала-тини, см. [144]—[153]). Теории гравитации, основанная на учете в формализме первого порядка кроме линейного по кривизне также и лагранжианов квадратичных по кривизне, кручению (в пространстве Римана-Картана) и неметричности (в общем аффинно-метрическом пространстве), в последнее время получили значительное развитие. При этом в пуанкаре-калибровочная теория гравитации (ПКТГ), в основе которой лежит группа Пуанкаре, используются не только линейные по кривизне, но также квадратичные по кривизне и кручению лагранжианы [101],

103], [154]—[206] (см. также [114], [95], [91] и цитируемую там литературу). Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитации стимулируется попытками построения перенормируемой теории в пространстве Римана-Картана [188], [200]. Большинство квадратичных теорий гравитации основываются на лагранжианах, которые являются частным случаем 10-параметрического лагранжиана, впервые предложенного в [103].

Теории гравитации, построенные на основе вариационного формализма первого порядка, отличается от гравитационных теорий с квадратичными лагранжианами, развиваемых в пространстве Римана в формализме второго порядка. Эти последние теории предлагались в работах Вейля [96], Эддингтона [207], Ланцоша [208] и других авторов [209]—[224] и в настоящее время связаны с попытками решения проблемы инфляции, построения перенормируемой и унитарной теории гравитации, а также попытками устранения сингулярностей за счет учета квантовых флук-туаций. Все эти теории строятся в пространстве Римана, и в них используется вариационная процедура, приводящая к уравнениям поля, содержим производные от метрики выше второго порядка.

В диссертации производится сравнение двух способов варьирования в формализме первого порядка. В первом из них в качестве потенциалов гравитационного поля рассматриваются тетрады, а во втором способе - базисные один-формы. В качестве обобщенной связности рассматриваются три типа связности: связность Римана-Картана с кручением, связность Вейля-Картана и связность общего аффинно-метрического пространства. В п. 2.1 и 2.2 развит аффинно-тетрадный вариационный формализм в общем аффиино-метрическом пространстве [226], а в п. 2.3 развит тетрадный вариационный формализм в пространстве Вейля

Картана и получены соответствующие уравнения поля [225], [227].

Для проверки правильности полученных достаточно сложных выражений вариационных уравнений были использованы как аналитические методы, связанные с проверкой выполнения дифференциальных тождеств для каждого слагаемого в лагранжиане, так и система символьных вычислений СА1ЖШ [228], модифицированная и доработанная автором с той целью, чтобы с ее помощью можно было производить вычисления в пространстве Вейля-Картана [229], [230]. Для этой цели к системе CARTAN с использованием методов функционального и процедурного программирования добавлен большой набор новых функций и переменных, позволяющих вычислять связность, тензор кривизны, тензор Рич-чи и другие геометрические величины в пространстве Вейля-Картана как в координатном, так и в неголономном ортогональном базисах. Сама исходная система СА1ВДШ позволяет использовать вычислительную систему Ма^ета^са для символьных вычислений тензорной алгебры только в пространстве Римана-Картана. Отметим, что методы компьютерной алгебры находят самое широкое применение при решении разнообразных задач математической физики и математического программирования, см. [231], обзор [232] и цитируемую в нем обширную литературу. Краткое описание модифицированной системы CARTAN и пример ее использования приведен в Приложении А.

В п. 2.4 рассмотрен аффинно-метрический вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана и на его основе доказана обобщенная теорема Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана. Ранее было известно, что теорема Гаусса-Бонне выполняется в пространстве Римана (так называемое тождество Ланцоша [208]) и в пространстве Римана-Картана [181], но не выполняется в общем аффинно-метрическом пространстве

238]. Автором было доказано [235, 236], что данная теорема выполняется также и в пространстве Вейля-Картана.

Излагается развитый автором [234], [79] вариационный метод получения уравнений гравитационного поля для квадратичных лагранжианов в формализме внешних дифференциальных форм, основанный на доказанной лемме, определяющей правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа. С помощью развитого формализма в пространстве Вейля-Картана автором проведено еще одно доказательство [237] обобщенной теоремы Гаусса-Бонне, основанное на доказательстве существования в указанном пространстве топологической формы типа Эйлера. Кроме того, доказано также, что данная форма в пространстве Вейля-Картана может быть представлена как внешний дифференциал от выражения типа Черна-Саймонса. Данные результаты могут найти свое применение при анализе топологических проблем в теории поля, в частности, при исследовании вопроса о существовании топологических солитонов [233] в пространстве Вейля-Картана.

Другим фундаментальным методом построения математических моделей является использование аналогий между изучаемым объектом и другим объектом, законы поведения которого до определенной степени изучены. В Главе 3 развивается с использованием вариационных методов развитая автором [43], [45]—[49] гидродинамическая аналогия между системой взаимодействующих кварков и глюонов (кварк-глюонной плазмой) и идеальной цветовой жидкостью, каждая частица которой обладает спиновым моментом и неабелевым цветовым зарядом. Данный тип жидкости представляет собой объединение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе и идеальной жидкости с неабелевым цветовым зарядом, нерелятивистская теория которой была построена в работах Балачандрана и других [239]—[241]. В релятивистской теории подобный источник гравитационного поля порождает геометрию Римана-Картана. Начатый первоначально Аморимом [242] релятивистский вариант данной модели был обобщен автором с целью учета спиновых поляризационных хромомагнитных эффектов в пространстве Римана Картана. Позднее модель цветовой жидкости строилась в работах Шоке-Брюа [243], [244], а сравнительно недавно Джакивом с соавторами [245].

Данный тип среды возникает при гидродинамическом подходе к системе взаимодействующих кварков и глюонов, которая апроксимиру-ется классическим образом как идеальная жидкость с внутренними степенями свободы. Автором разработана вариационная модель данного типа жидкости с учетом дополнительного взаимодействия спин-хромомагнитное поле. В теории явно учитывается пространственнопо-добная природа спина, используя условие Френкеля [246]. Теория развивается на основе формализма внешних форм. Строится лагранжева плотность жидкости, выводятся уравнения цветового поля в пространстве Римана-Картана, находится тензор энергии-импульса жидкости. Важность получения правильного выражения для тензора энергии-импульса идеальной спиновой жидкости с цветовым зарядом связано также с тем, что знание этого выражения позволяет из закона квазисохранения тензора энергии-импульса в пространстве Римана-Картана вывести гидродинамическое уравнение типа Эйлера движения спиновой жидкости с цветовым зарядом в неабелевом цветовом калибровочном поле и находящейся в пространстве Римана-Картана. Гравитационное поле порождается тензорами энергии-импульса и спинового момента, а цветовое поле порождается током цветового заряда частиц жидкости, поэтому задача является самосогласованной.

На основании найденного уравнения типа Эйлера выводятся обобщенное уравнение эволюции спина типа Баргмана-Мишеля-Телегди [247]-[249] в пространстве Римана-Картана, а также обобщенное уравнение типа Вонга [250]—[258] движения частицы со спином и цветовым зарядом.

Построенная в Главе 3 модель позволяет сделать вывод о том, что на частицу в кварк-глюонной плазме действуют силы четырех типов: обобщенная на цветовое поле сила Лоренца, порождаемая неабелевым цветовым зарядом; обобщенная на цветовое поле сила типа Штерна и Герлаха, градиентная по напряженности цветового поля; сила Матиссона, отражающая взаимодействие спина частицы с кривизной пространства-времени; и сила "трансляционного" типа, отражающая взаимодействие обобщенного импульса частицы с кручением пространства-времени. Интересно, что такого типа силы возникают в современной калибровочной теории дисклинаций и дислокаций [259], [260], в которой калибровочные группы вращений и трансляций используются для описания дефектов кристаллов. Построенная теория нашла свое дальнейшее применение в работах A.C. Вшивцева и В.Е. Фортова с сотрудниками [261], [262] при обосновании гидродинамической модели кварк-глюонной фазы деконфаймен-та, на основании которой было проведено обобщение гидродинамической модели Ландау множественного рождения адронов [263], явным образом учитывающей структуру вакуума квантовой хромодинамики и цветовой заряд кварков [264].

В Главе 4 излагается построенная в работах автора [50], [50] вариационная модель идеальной спин-дилатационной жидкости, частицы которой наделены кроме спина также дилатационным зарядом. Понятие дилатационного заряда по отношению к группе дилатаций имеет тот же смысл, что и введенное ранее в работах Такера [72] понятие "вейлевского заряда" по отношению к группе масштабных преобразований. Показывается, что данный тип материи будет порождать в пространстве-времени геометрическую структуру Вейля-Картана и взаимодействовать с этой структурой.

В модели спин-дилатационной жидкости возникает новая динамическая величина - тензор дилатон-спина частиц жидкости, которая обобщает тензор спина жидкости Вейссенхоффа-Раабе. Существенным при построении теории оказывается то обстоятельство, что условию Френкеля удовлетворяет не весь тензор дилатон-спина, а только его составляющая - тензор спина. Устанавливается лагранжева плотность теории и определяются вариационные уравнения движения жидкости, а также уравнение эволюции тензора дилатон-спина, которое содержит в себе закон сохранения дилатационного заряда. Затем находятся материальные токи спин-дилатационной жидкости (каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса, 3-форма дилатон-спинового момента), которые являются источниками гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Данные выражения затем используются для вывода из тождеств теоремы Нетер обобщенного гидродинамического уравнения типа Эйлера для спин-дилатационной жидкости. В предельном случае исчезающего давления жидкости (уравнения состояния пыли) это последнее уравнение переходит в уравнение движения пробных частиц со спином и дилатационным зарядом в пространстве Вейля-Картана.

Далее в этой главе строится модель более сложного типа идеальной жидкости, впервые построенной автором [52]—[55]. Частицы этого типа жидкости наделены тензором гипермомента, введенным Хелем и Нее-маном [95], который обобщает тензор спинового момента на линейную группу Ст1/(4, К). Позднее этот тип идеальной жидкости под названием "гипержидкость" был рассмотрен Обуховым и Трескуерресом [57], [66], а затем Смолли [63]. Данный тип жидкость порождает геометрическую модель общего аффинно-метрического пространства, теория которого в настоящее время развивалась в работах Хеля и Неемана с сотрудниками в связи с проблемой взаимоотношений теории гравитации и теории элементарных частиц [265], а также в связи с проблемой перенормируемости квантовой теории гравитации [266]. В диссертации построена вариационная модель идеальной гипермоментной жидкости, устанавливается ла-гранжева плотность и выводятся уравнения движения с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента частиц жидкости. Затем находится тензор энергии-импульса, на основании которого выводится гидродинамическое уравнение типа Эйлера.

В Главе 4 устанавливаются ряд общих теорем, доказанных автором [56], [67], о движении частиц с дилатационным зарядом и с гипермоментом. Как следствие этих теорем выясняется, что движение спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картана в предельном случае исчезающе малого дилатационного заряда и спина, а также движение гипермоментной жидкостей в общем аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающе малого гипермомента, совпадают с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана. Тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом или гипермоментом, не подвержены влиянию возможной вейлевской или более общей аффинно-мерической структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобных структур. Важным следствием этих теорем является утверждение о том, что для обнаружения различных проявлений вейлевской или аффинно-метрической структур пространства-времени (если подобные структуры существуют) следует использовать тела и среды, наделенные спин-дилатационным зарядом или гипермоментом.

В Главе 5 модели, построенные в предыдущих главах, применяются для решения некоторых проблем теории гравитации в постримановых пространствах. В данной главе на основе развитого вариационного формализма автором выясняются условия существования плоских волн кручения в теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана (п. 5.1), а также рассматривается применение теории гравитации в пространстве Вейля-Картана для построения несингулярной космологической модели эволюции вселенной (п. 5.2).

Проблеме поиска волновых решений для кручения в пространстве Римана-Картана посвящено целый ряд работ [268]—[276], [234]. В работе Адамовича [268] на основании аналогии с электромагнитными волнами было сформулировано понятие плоской волны кручения. Работы автора [272]—[275], [234] посвящены проблеме существования плоских волн кручения в пуанкаре-калибровочной теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана. На языке внешних форм с помощью производных Ли формулируется определение пространства типа плоской волны метрики и кручения и выясняется, что в таком пространстве бесследовая неприводимая компонента тензора кручения зависит только от двух произвольных функций, а остальные неприводимые компоненты тензора кручения (след и псевдослед) равны нулю. Центральным в этом параграфе является доказательство теоремы, устанавливающей необходимые и достаточные условия того, что метрика и кручение пространства типа плоской волны удовлетворяют уравнениям пуанкаре-калибровочной теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида. Теорема устанавливает, что данные условия дают ограничение на константы связи в общем квадратичном лагранжиане. Физический смысл этого ограничения состоит в том, что кванты поля кручения должны иметь нулевую массу покоя. При этом также устанавливается на основании критерия, высказанного Траутманом [278], что плоские волны кручения могут переносить информацию.

В современной космологии на основе анализа наблюдательных данных было выяснено [10]-[16], что плотность темной материи на порядок превышает плотность барионной материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее по массе в два раза положительной энергией вакуума (или квинтэссенцией [12], [14]) определяет динамику Вселенной в настоящую эпоху. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской эры в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская эра "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к безудержному экспоненциальному расширению.

Идея о существовании во Вселенной темной (несветящейся) материи была высказана еще в 30-х годах прошлого века Цвикки [279]. Но сущность темной материи до настоящего времени не выяснена. Такером и Ваигом [72] была высказана гипотеза о том, что темная материя наделена связанным с масштабной симметрией новым типом гравитационного заряда (названным "зарядом Прока"), при помощи которого осуществляется короткодействующее взаимодействие типа Прока. Это взаимодействие наиболее адекватным образом может быть описано на фоне пространства-времени Вейля-Картана. Независимо автором в работе [79] была высказана идея о том, что в качестве модели темной материи может быть рассмотрена идеальная спин-дилатационная жидкость.

В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатационной жидкостью, автором построена модель однородной изотропной Вселенной, в которой выводится обобщенное уравнение Фридмана-Леметра. Автором построена модель однородной изотропной Вселенной в пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатационной жидкостью. В этой модели выводится обобщенное уравнение Фридмана-Леметра. Доказывается, что при определенных условиях на параметры гравитационного лагранжиана данное уравнение имеет несингулярное решение, указывающее на существование максимальной плотности вещества во Вселенной [79]—[86].

Обобщение уравнения Фридмана-Леметра, по некоторым параметрам похожее на то, которое было получена автором в [79], [82], возникает в целом ряде направлений современной теоретической космологии. Так, в работе [70] уравнение такого типа, но без космологического члена, было получено в аффинно-метрической теории гравитации. Авторы данной работы после анализа полученного уравнения заключают, что "чисто ди-латонная материя усиливает гравитационное притяжение. В частности, она скорее ускоряет, чем замедляет коллапс системы". В космологической части работы константа, определяющая поведение системы, имеет противоположный знак по сравнению с уравнением, полученным автором, что "соответствует дополнительной эффективной силе притяжения, доминирующей в течение самых ранних стадиях эволюции" Вселенной [70]. Недавно в рамках данной нестандартной космологической модели (с добавленным руками космологическим членом) был произведен анализ последних данных по SN 1а сверхновой.

В работе [72] аналогичное модифицированное уравнение Фридмана-Леметра (также без космологического члена) было получено в рамках построения взаимодействующей системы Эйнштейна-Прока на основе гравитационной теории в пространстве Вейля-Картана. Здесь для случая материи в виде пыли показано путем численного анализа, что данное уравнение имеет как сингулярные, так и несингулярные решения. В работе [280] в рамках развития многомерной космологии [281] и космологии на Б-бранах [282], [283] (с границей в виде пространства анти-де Ситтера) было получено аналогичное уравнение Фридмана-Леметра, в котором дилатационный член пропорционален (4+1)-мерному "электрическому" заряду.

В Главе 5 излагается построенная автором несингулярную модель эволюции Вселенной [73]—[86], которая начинается со стадии типа инфляции (для сверхжесткого уравнения состояния материи), затем проходит фридмановскую стадию (эру преобладания излучения и эру преобладания вещества (которые соответствуют расширению с замедлением), и наконец завершается пост-фридмановской стадией "второй инфляции", в которой расширения сопровождается ускорением. При этом устанавливается существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, вторая из которых соответствует началу расширения с ускорением. Полученное автором обобщенное уравнение Фридмана-Леметра позволяет моделировать различные стадии эволюции Вселенной, в частности, переход от инфляционной стадии эволюции Вселенной к ее фридманов-ской стадии [80]—[86]. Это представляется интересным в свете тех проблем, с которыми сталкивается решение данной задачи в современной инфляционной космологии [284]—[287]. Расчет модели произведен методами численного интегрирования на основании алгоритма, приведенного в Приложении В. Результаты представлены в виде графиков.

Во всей диссертации используется метрика сигнатуры (+,+,+,—) и выбрана система единиц, в которой с — I, Н — 1. Для обозначения конца доказательств используется символ ||

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бабурова, Ольга Валерьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как следствие проведенных исследований получены следующие результаты:

1. Построена калибровочная модель пространства-времени со структурой Вейля-Картана с процедурой локализации относительно группы Пуанкаре-Вейля и с тетрадными коэффициентами, зависящими от калибровочных полей подгрупп трансляций, Лоренца и дилата-ций.

2. Для нелинейных лагранжианов в пространстве Вейля-Картана развит вариационный формализм первого порядка в тетрадной теории гравитации, а также в формализме внешних форм. Доказана лемма и выведена формула, определяющая правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа.

3. Получено условие существования плоских волн кручения в модели гравитационного взаимодействия с произвольными квадратичными лагранжианами, заключающееся в наличии дополнительного ограничения на константы квадратичного лагранжиана, физический смысл которого состоит в том, что кванты бесследовой части кручения должны иметь нулевую массу покоя.

4. Доказано существование в пространстве Вейля-Картана топологического инварианта типа Эйлера и возможность представления формы Эйлера в этом пространстве как внешнего дифференциала от выражения типа Черна-Саймонса.

5. Построена релятивистская вариационная модель идеальной спиновой цветовой жидкости, взаимодействующей с неабелевым цветовым полем Янга-Миллса в пространстве Римана-Картана. На основе этой модели получены тензор энергии-импульса цветовой жидкости и классические уравнения движения цветовой частицы, обобщающие уравнения Вонга на случай цветовой группы Би(3) и учитывающие наличие спина частицы. Получено также уравнение изменения вектора спина частицы, обобщающее уравнения Тамма-Гуда и Баргмана-Мишеля-Телегди. Проведена классификация сил, действующих на частицу в кварк-глюонной плазме.

6. Построена модель идеальной спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля Картана, получен тензор энергии-импульса подобной жидкости и гидродинамическое уравнение движения типа Эйлера. Доказано, что тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобной структуры.

7. Построена модель и предложено действие идеальной гипермомент-ной жидкости с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента. Доказано, что движение гипермомент-ной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомента совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана.

8. Предложена модель темной материи в виде спин-дилатационной жидкости. В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дила-тационной жидкостью, построена несингулярная модель эволюции однородной и изотропной вселенной с космологической постоянной, в рамках которой получено обобщенное уравнение Фридмана-Леметра и найдены его решения для различных уравнений состояния материи.

9. Найдено несингулярное решение полученного обобщенного уравнения Фридмана-Леметра, указывающее на существование максимальной плотности вещества в начальный момент развития вселенной. Найдено решение типа инфляции для начального сверхжесткого уравнения состояния материи. Установлено существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, первая из которых соответствует выходу из стадии инфляции на стадию Фридмана, а вторая соответствует началу стадии расширения с ускорением.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бабурова, Ольга Валерьевна, 2006 год

1. Эйнштейн А. Собрание сочинений.-М.: Наука, 1965.-Т. 1.-678 с.-Т. 2.-700 с.

2. Альберт Эйнштейн и теория гравитации /Сборник статей (К 100-летию со дня рождения)-М.: Мир, 1979.-592 с.

3. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.-М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы 1961.-464 с.

4. Синг Дж. JI. Общая теория относительности.-М.: ИЛ, 1963.-432 с.

5. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация.-М.: Мир, 1977.-Т. 1-3.

6. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд.-М.: Наука, 1971.-484 с.

7. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной.-М.: Наука, 1975.-736 с.

8. Вейнберг С. Гравитация и космология.-М.: Мир, 1975.-696 с.

9. Гальцов Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр.-М.: Изд-во МГУ, 1986.-288 с.

10. Bond J.R. et al, "СМВ Analysis of Boomerang к Maxima к the Cosmic Parameters ütot, ü(,h2, ns", Proc. IAU

11. Symposium 201 (PASP), CITA-2000-65 //Preprint Los Alamos arXive, astro-ph/0011378.-2000.

12. Perlmutter S. et al. Measurements of ü and A from 42 high-redshift Supernovae //Astrophys. J.-1999.-V. 517.-P. 565-586 (astro-ph/9812133).

13. Bahcall N. A., Ostriker J. P., Perlmutter S. and Steinhardt P. J. The cosmic triagle: assessing the state of the Universe //Science.-1999.-V. 284.-P. 1481-1488 (astro-ph/9906463).

14. Perlmutter S., Michael S. and White M. Constraining dark energy with SNe la and large-scale structure //Phys.Rev.Lett-1999.-V. 83.-P. 670673 (astro-ph/9901052).

15. Armedanz-Picon C., Mukhanov V. and Steinhardt P. J. A Dynamical Solution to the Problem of a Small Cosmological Constant and Late-time Cosmic Acceleration // Phys. Rev. Lett-2000 V. 85.-P. 44384441 (astro-ph/0004134).

16. Riess G. at al. The Farthest Known Supernova: Support for an Accelerating Universe and a Glimpse of the Epoch of Deceleration //Astrophys. J.-2001.-V. 560.-P. 49-71 (astro-ph/0104455).

17. Griffits L. M., Melchiorri A., Silk J. CMB constraints on a barionic dark matter-dominatied universe //Astrophys.J.-2001.-V. 553.-P. L5-L10 (astro-ph/0101413).

18. Kopczyñski W. A non-singular universe with torsion //Phys. Lett-1972.-V. 39A.-P. 219-220.

19. Trautman A. Spin and torsion may avert gravitational singularities //Nature (Phys. Sei.)-1973-V. 242.-N 114-P. 7-8.

20. Tsamparlis M. Cosmological principle and torsion //Phys. Lett.-V. 75A.-P. 27-28.

21. Minkevich A. V. Generalised cosmological Friedmann equations without gravitational singularity //Phys. Lett.-1980-V. 80A.-P. 232234.

22. Muller-Hoissen F. Friedmann cosmology with torsion //Phys. Lett-1982.-V. 92A.-P. 433-434.

23. Bedran M. L. and Vasconcellos-Vaidya E. P. The Role of Spin in Cosmological Models //Lett. Nuovo Cim-1984.-V. 41.-P. 73-74.

24. Павелкин В. H., Панов В. Ф. Нестационарная космологическая модель с вращением в теории Эйнштейна-Картана //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1993-N 8-С. 90-94.

25. Weyssenhoff J., Raabe A. Relativistic dynamics of spin fluid and spin particles //Acta. Phys. Polon.-1947.-V. 9.-P. 7-18.

26. Halbwachs E. Theorie relativiste des fluides a spin-Paris: Gauthior-Villars, 1960.-348 p.

27. Buchbinder I. L., Odintsov S. D., Shapiro I. L. Nonsingular model with torsion from effective action //Phys. Letters.-1985.-V. B162.-P. 92-96.

28. Minkevich A. V., Nemenman I. M. On the influence of the gravitating vacuum on the dynamics of homogeneous isotropic models in dauge theories of gravity //Class. Quantum Grav-1995.-V. 12.-P. 1259-1265.

29. Krechet V. G., Sadovnikov D. V. Gravitational interaction of a scalar field in an affine-metric theory of gravity //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-1996. V. 2-P. 259-261.

30. Krechet V. G., Sadovnikov D. V. Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field //Gravit. к Cosmol. (Гравитация и космология).-1997.-V. З.-Р. 133-140.

31. Кречет В. Г. Космологический аспект гравитационого взаимодействия скалярного поля в аффино-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1998-N 5.-С. 39-50.

32. Minkevich А. V., Garkun A. S. Gomogeneous isotropic models in the metric-affine gauge theory of gravity //Class. Quantum Grav.-2000.-V. 17.-P. 3045-3054.

33. Krechet V. G. Five-dimensional geometric model of gravi-electroweak interaction //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология).-Suppl-1999.-V. 5.-P. 56-59.

34. Кречет В. Г., Левкоева М. В., Садовников Д. В. Пятимерная модель граитационного взаимодействия электромагнитного поля в аффино-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-2000-N 11.-С. 43-47.

35. Puetzfeld D. and Tresguerres R. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime //Class. Quantum Grav.-2001.-V. 18.-P. 677-694 (gr-qc/0101050).

36. Puetzfeld D. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: I. Field equations and solutions //Class. Quantum Grav.-2002.-V. 19.-P. 3263-3280 (gr-qc/0111014).

37. Puetzfeld D. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: II. Magnitude-redshift relation //Class. Quantum Grav.-2002.-V. 19.-P. 4463-4482 (gr-qc/0205052).

38. Minkevich A, V. Problem of cosmological singularity and inflationary cosmology //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0303022.-2003.

39. Minkevich A. V. Gauge approach to gravitation and regular big bang theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0506140.-2005.

40. Miritzis J. Isotropic cosmologies in Weyl geometry //Class. Quantum Grav.-2004.-V. 21.-P. 3044-3056 (gr-qc/0402039).

41. Behnke D., Blaschke D., Pervushin V., Proskurin D. and Zakharov A. Cosmological Consequences of Conformal General Relativity //Preprint MPG-VT-UR 210/00.-2000 (gr-qc/0011091).

42. Pervushin V., Proskurin D. Conformal General Relativity //Grav. & Cosmol-2002.-V. 8. Suppl.-N l.-P. 161-167 (gr-qc/0106006).

43. Puetzfeld D. Status of non-Riemannian cosmology //New Astron.Rev-2005.-V. 49.-P. 59-64 (gr-qc/0404119).

44. Багров В. Г., Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Фролов Б. Н. Движение цветной частицы со спином в неабелевых калибровочных полях в пространстве Римана-Картана //Препринт N 33 Томского филиала СО АН СССР-Томск, 1988.-28 с.

45. Baburova О. V. and Frolov B. N. On The Variational Theory Of The Perfect Spinning Fluid With Non-Abelian Colour In A Riemann-Cartan Space-Time //Mahavisva (J. Indian Astron. Soc.).-1991.-V. 4.-N. 1&2.-P. 55-57.

46. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Модель идеальной жидкости со спином и неабелевым цветовым зарядом //Докл. Акад. наук.-1997.-Т. 357.-С. 183-186.

47. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Идеальная спиновая жидкость с внутренним цветовым зарядом //Ядерная физ-1998.-Т. 61.-С. 888-893.

48. Бабурова О. В., Вшивцев А. С., Мясников В. П., Фролов Б. Н. Частица со спином и цветовым зарядом в цветовом поле в пространстве Римана-Картана //Ядерная физ.-1998.-Т. 61.-С. 2289-2293.

49. Babourova О. V. and Frolov B.N. The variational theory of the perfect dilaton-spin fluid in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A.-1998 -V. 12.-P. 2943-2950 (gr-qc/9708006).

50. Babourova О. V. and Frolov B. N. Perfect fluid and test particle with spin and dilatonic charge in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A-1998.-V. 13.-P. 7-13 (gr-qc/9708009).

51. Бабурова О. В. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Гравитация и фундаментальные взаимодействия.-М.: УДН, 1988.-С. 119.

52. Babourova О. V., Frolov В. N., Koroliov М. Yu. Perfect fluid with intrinsic hypermomentum //In: 13th Int. Conf. gen. rel. grav. Abstracts of contributed papers (ed. P. W. Lamberti and О. E. Ortiz)-Cordoba, Argentina, 1992.-P. 131.

53. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Лагранжева динамика идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Матер, научн. сессии по итогам науч.-исс. работы МПГУ им. В. И. Ленина (Серия: Ест. науки)-М.: Изд-во "Прометей", 1992.-С. 4-6.

54. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Научн.труды МПГУ им. В. И. Ленина (Серия: Ест. науки).-М.: Изд-во "Прометей", 1993.-С. 170-176.

55. Obukhov Yu. N. and Tresguerres R. Hyperfluid a model of classical matter with hypermomentum //Phys. Lett. A.-1993.-V. 184.-P. 17-22.

56. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Движение материи в аффинно-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. за-вед. Физика.-1994-N 1.-С. 76-82.

57. Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Вариационный принцип для идеальной жидкости с внутренним гипермоментом //В сб.: Научн. труды МПГУ им. В. И. Ленина (Сер.: Ест. науки). М.: Изд-во "Прометей", 1994. - С. 89-95.

58. Babourova О. V., Frolov В. N. New Variational Theory of Perfect Fluid with Intrinsic Hypermomentum in Space-time with Nonmetricity //В сб.: 14th International Conf. on Gen. Rel. and Grav. Abstracts of Contrib. Papers-Florence, Italy, 1995.-P. A90.

59. Babourova О. V., Frolov B. N. The variational theory of perfect fluid with intrinsic hypermomentum in space-time with nonmetricity //Los Alamos arXive, gr-qc/9609013.-1995.

60. Babourova О. V., Frolov B. N., Koroliov M. Yu. Peculiarities of Matter Motion in Metric-Affine Gravitational Theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/9502012.-1995.

61. Smally L. L. and Krisch J. P. Fluids with spin and twist //J. Math. Phys.-1995.-V. 36-P. 778-795.

62. Babourova О. V., Frolov В. N. The variational theory of perfect hypermomentum fluid //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/9612055 -1996.

63. Obukhov Yu. N. On a model of an unconstrained hyperfluid //Phys. Lett. A.-1996.-V. 210.-P. 163-167.

64. Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect hypermomentum fluid: Variational theory and equations of motion //Intern. J. Mod. Phys-1998.-V. 13.-P. 5391-5407 (gr-qc/0405124).

65. Кречет В. Г., Мельников В. Н. О геометрической природе возможного нового взаимодействия //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1991.—N 2.-С. 147-150.

66. Кречет В. Г. Калибровочная теория гравитационного взаимодействия макроскопической материи //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1991-N 7.-С. 34-36.

67. Obukhov Yu. N., Vlachynsky E. J., Esser W. and Hehl F. W. Irreducible decompositions in metric-affine gravity models //Phys. Rev. D.-1997-V. 56.-N 12.-P. 7769-7778 (gr-qc/9705039).

68. Teyssandier P., Tucker R. W. and Wang C. On an interpretation of non-Riemannian gravitation //Acta Phys. Polonica B.-1998.-V. 29-P. 987-994.

69. Tucker R. W., Wang C. Dark matter gravitational interactions //Class. Quantum Grav.-1998.-V. 15.-P. 933-954.

70. Babourova О. V. and Frolov B. N. Perfect dilaton-spin fluid as a source of post-Riemannian cosmology //Gravit. к Cosmol. (Гравитация и космология)-1999.-У. 5-N. 4 (20) Suppl.-P. 65-72.

71. Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect dilaton-spin fluid as the source of non-Riemannian cosmology //В сб. 76].-1999.-С. 160.

72. Теоретические и экспериментальные проблемы общей теоии относительности и гравитации /10 Российская гравитац. конф., Владимир, 20-27 июня 1999 г. Тезисы докладов.-М.: 1999.-279 с.

73. Babourova О. V. and Frolov B. N. Dilaton matter as dark matter and evolution of the universe //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2003.-У. 9.-N 1 (33).-P. 15-19.

74. Babourova О. V., Frolov В. N. Matter with dilaton charge in Weyl-Cartan space-time and evolution of the Universe //Class. Quantum Grav.-2003.-V. 20.-P. 1423-1442 (gr-qc/0209077).

75. Babourova О. V. Model of the universe evolution from inflation stage up to post-Friedmann era //В сб. 81]-2003-P. 34-51.

76. Space-Time Structure at Subnuclear and Cosmological Scales //Proceedings XXVI Workshop on the Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, Protvino, July 2-4, 2003 Protvino, 2003.-146 p.

77. Babourova О. V. Modified Friedmann-Lemaitre equation for dilaton-spin dark matter in Weyl-Cartan space //Gravit. & Cosmol.-2004.-V. 10.-N 1-2 (37-38).-P. 121-126 (gr-qc/0507104).

78. Babourova О. V., Frolov В. N., Portnov Ju. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime //В сб.: Тезисы докладов XI 1-й Российской гравитационной конференции /Казань 20-26 июня 2005 г.-Казань: 2005.-С. 81-82.

79. Babourova О. V., Frolov В. N., Portnov Ju. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология).-2005.-V. 11.-N 4 (44).- P. 310312.

80. Бабурова О. В., Портнов Ю. А., Фролов Б. Н. Модель эволюции Вселенной с дилатационой темной материй в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. М.: ГНО Изд-во "Прометей" МПГУ, 2006.-С. 217-219.

81. Trautman A. On the Einstein-Cartan equations //Bui. Acad. Pol. Sci. (Ser. sci. math., astr., phys.)-1972-V. 20.-N. 2.-P. 185-191; N. 6.-P. 503-506; N 10-P. 895-896; V. 21.-N 4.-P. 345-346.

82. Trautman A. On the structure of the Einstein-Cartan equation //In: Differential Geometry. Symposia Math.-Vol. 12.-London: Academic Press, 1973,- P. 139-162.

83. Hehl F. W., von der Heyde P., Kerlick G. D., Nester J. M. General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects //Rev. Mod. Phys-1976- V. 48.-P. 393-416.

84. Пономарев В. H., Барвинский А. О., Обухов Ю. Н. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий.-М.: Энергоатомиздат, 1995.-168 с.

85. Фролов Б. Н. Пуанкаре-калибровочная теория гравитации.-М.: МПГУ, 2003.-160 с.

86. Obukhov Yu. N. Poincare gauge gravity: selected topics //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0601090, 2006.

87. Hehl F. W. and Kerlick G. D. Metric-Affine Variational Principles in Genelal Relativity. I. Riemannian Space-Time //Gen. Relat. Gravit-1978.-V. 9-P. 691-710.

88. Hehl F. W., Lord E. A. and Smalley L. L. Metric-Affine Variational Principles in General Relativity. II. Relaxation of the Riemannian Constraint //Gen. Relat. Gravit.-1981.-V. 13.-P. 1037-1056.

89. Hehl F. W., McCrea J. L., Mielke E. W. and Neeman Yu. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, and Breaking of Dilaton Invariance //Phys. Rep.-1995.-V. 258.-P. 1-171.

90. Вейль Г. Пространство, время, материя. М.: "Янус", 1996.-480 с.

91. Utiyama R. Invariant theoretical interpretation of interaction //Phys. Rev. -1956.-V. 101.-P. 1597-1607 (Перевод в сб. 98], С. 251-273).

92. Элементарные частицы и компенсирующие поля /Сборник статей. Под ред. Д. Иваненко. М,: Мир, 1964.

93. Бродский Ф. М., Иваненко Д., Соколик Г. А. Новая трактовка гравитационного поля //ЖЭТФ.-1961.-Т. 41.-С. 1307-1309.

94. Kibble Т. W. В. Lorentz invariance and the gravitational field //Journ. of Math. Phys.-1961.-V. 2.-P. 212-221 (Перевод в сб. 98], С. 274298).

95. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //Вестн. Моск. унив., сер. физ., астрон.-1963-N 6.-С. 48-58.

96. Lubkin Е. Geometric Definition of Gauge Invariance //Ann. of Phys.-1963.- V. 23.-P. 233-283.

97. Hayashi K. Gauge Theories of Massive and Massless Tensor Fields //Progr. Theor. Phys.-1968.-V. 39.-P. 494-515.

98. De Witt B. Dynamical Theory of Groups and Fields-New York: Gordon and Breach, 1965 (Перевод: Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей.-М.: Наука, 1987.-288 с.)

99. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //В сб.: Современные проблемы гравитации/Сборник трудов II Советской гравитационной конференции/Тбилиси, апрель 1965 г.Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1967.-С. 270-278.

100. Charap J. М. and Tait W. A gauge theory of the Weyl group //Proc. Roy. Soc.-1974.-V. A340.-P. 249-262.

101. Wu Т. Т., Yang C. N. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields // Phys. Rev. D.-1975.-P. 3845-3857.

102. Kasuya M. On the Gauge Theory in the Einstein-Cartan-Weyl SpaceTime //Nuovo Cim.-1975.-V. 28B.-P. 127-137.

103. Cho Y. M. Higher-dimensional unifications of graitation and gauge theories //J. Math. Phys.-1975.-V. 16.-P. 2029-2035.

104. Mansouri F., Chang L. N. Gravitation as a gauge theory //Phys. Rev. D. -1976.-V. 12.-P. 3192-3200.

105. Иваненко Д., Сарданашвили Г. Новые аспекты теории компенсации //В сб.: Актуальные проблемы теоретической физики /Под ред. А. А. Соколова.-М.: Изд-во Моск. унив., 1976.-С. 97-116.

106. Славнов А., Фаддеев JL. Введение в квантовую теорию калибровочных полей /1-ое изд. М.: "Наука", 1978; 2-ое изд. М.: "Наука", 1988.-272 с.

107. ИЗ. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Расширение эйнштейновской гравитации и перспективы единой калибровочной теории //Изв. высш. учебн. завед. Физика. -1980.-N 2.-С. 54-66.

108. Basombrio F. G. A comparative review of certain gauge theories of the gravitational field //Gen. Relat. Gravit.-1980.-V. 12.-P. 109-136.

109. Eguchi Т., Gilkey P. B. and Hanson A. J. Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry //Phys. Rep.-1980.-V. 66.-P. 213-393.

110. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.-М.: Атомиздат, 1980.-238 с.

111. Ivanenko D. and Sardanashvili G. The gauge treatment of gravity //Phys. Rep.-1983.-V. 94.-P. 1-45.

112. Сарданашвили Г. А. Об определении группы калибровочных преобразований в теории калибровочных полей //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1984-N 12.-С. 52-57.

113. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации.-М.: Изд-во МГУ, 1985.-142 с.

114. Пономарев В. Н., Барвинский А. О., Обухов Ю. Н. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий.-М.: Энергоатомиздат, 1985.-168 с.

115. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля. М.: Изд-во МГУ, 1986.-260 с.

116. Sardanashvili G. and Zakharov О. Gauge Gravitation Theory-Singapore-New Jersey-London: World Scientific, 1992.-122 p.

117. Барбашов Б. M., Пестов А. Б. Связность Вейля, неабелево калибровочное поле и кручение //Теор. матем. физика.-1995.-Т. 104.-С. 429-434.

118. Барбашов Б. М., Пестов А. Б. Антисимметричные тензорные поля и калибровочная теория Вейля //Теор. матем. физика.-1997.-Т. 113-N 1-С. 112-124.

119. Барбашов Б. М., Пестов А. Б. Перенос Ферми-Уолкера и связность Вейля //Теор. матем. физика,- 1999.-Т. 119.-N 1-С. 136-141.

120. Sardanashvili G. On the geometric foundation of classical gauge gravitational theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0201074-2002.

121. Hammond R. T. Torsion gravity //Rep. Prog. Phys.-2002.-V. 65.-P. 599649.

122. Frolov B. N. On the physical field generated by rotating masses in Poincare-gauge theory of gravity //В Сб.: Physical Interpretationsof Relativity Theory /Proc. Int. Sci. Meeting PIRT-2003. Moscow, Liverpool, Sunderland: 2003.-P. 213-219.

123. Frolov B. N. On Foundations of Poincaré-Gauge Theory of Gravity //Grav. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2004.-У. 6.-N. 4(24).-P. 116-120.

124. Aldaya V., Sánchez-Sastre E. Gauge theories ofvgravity //В сб.: Symmetries in Gravity and Field Theory, Eds. Aldaya V, Cerveró J.M., Garcia Y.P., Salamanca: Ediciones Universidad de Salamanca, 2004.-P. 251-264.

125. Babourova О. V., Frolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Gauge Field Theory for Poincaré-Weyl Group //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0508088 (2005).

126. Babourova О. V., Zhukovsky V. Ch. The gauge field theory for Poincare-Weyl group //В сб. Тезисы докладов XII-й Российской гравитационной конференции, Казань 20-26 июня 2005 г., С. 15-16.

127. Babourova О. V. The gauge field theory for Poincare-Weyl group //In: Program & Abstracts of IV International Symposium "Quantum Theory and Symmetries"/ Varna 15-21 August 2005, P.17.

128. Babourova О. V. Model of Gauge Field Theory for Poincaré-Weyl Group //Bulgarian Journal of Physics (Proceedings 4th Intern. Symp. "Quantum Theory and Symmetries").- Heron Press: Sofia, 2006 (в печати).

129. Utiyama R. On Weyl's Gauge Field //Progress of Theor. Phys.-1973. -Vol. 50.-P. 2080-2090.

130. Freud P. G. O. Local Scale Invariance and Gravitation //Ann. Phys. (NY) .-1974-V. 84.-P. 440-454.

131. Utiyama R. On Weyl's gauge field //Gen. Relat. Gravit-1975-V. 6.-P. 41-47.

132. Frolov B. N. Generalized conformal invariance and gauge theory of gravity //В сб.: Gravity, Particles and Space-time (Ed. P. Pronin and G. Sardanashvily)-Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific 1996.-P. 113-144.

133. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука. Физматлит, 1997.-316 с.

134. Головизнин В. М., Карабасов С. А., Суходулов Д. А. Вариационный подход к получению разностной схемы с пространственно расщепленной временной производной для уравнения Кортевега де Фриза //Математическое моделирование.-2000.-Т. 12.-N 4.-С. 105-116.

135. Богомолов К. А., Дегтярев JI. М., Тишкин В. Ф. Вариационный метод построения высокоаспектных регуляторных адаптивных сеток //Математическое моделирование-2001 -Т. 12.-N 5.-С. 11-28.

136. Жиляков Е. Г., Фокин Ю. А. Вариационный метод оценивания производных эллиптических функций //Ж. вычислительной математики и математической физики.-2002.-Т. 42.-N 8.-С. 1138-1143.

137. Palatini A. Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principo di Hamilton //Rend. Circ. Mat. Palermo.-1919.-V. 43-P. 203-207.

138. Эйнштейн А. Единая полевая теория тяготения и электричества /Собрание трудов.-М.: Наука 1966.-Т. 2.-С. 171-177.

139. Schrodinger Е. Space-time structure-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1950 (Русский перевод: Шрчдингер Э. Пространственно-временная структура Вселенной.-М.: Наука, 1986.-224 с.)

140. Ferraris M., Francaviglia M. and Reina С. Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 "Palatini's method "Discovered by Einstein in 1925//Gen. Relat. Grav.-1982.-V. 14.-P. 243-254.

141. Фролов Б. H. Тетрадный формализм Палатини //В сб.: Тезисы докладов третьей советской гравитационной конференции (Ереван, 11-14 октября, 1972 г.).-Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1972-С. 170-173.

142. Kopczynsky W. The Palatini principle with constraints //Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. Astron. Phys.-1975.-V. 23-P. 467-473.

143. Smalley L.L. Variational principle for general relativity with torsion and non-metricity //Phys, Lett.-1977.-V. 61A.-P. 436-438.

144. Цейтлин А. А., Пономарев В. H. О корректном использовании принципа Палатини в гравитационных теориях //Вестн. Моск. унив., сер. физ., астрон-1978. -T. 19.-N 6.-С. 57-59.

145. Lim P. H. Modification of the Palatini variational principle in general relativity //Phys. Rev. D.-1983.-V. 27.-P. 719-727.

146. Meng X.-H., Wang P. R2 corrections to the cosmological dynamics of inflation in the Palatini formulation //Class. Quantum Grav.-2004.-V. 21,- P. 2029-2036 (preprint gr-qc/0402011).

147. Yang C. N. Integral formalism for gauge fields //Phys. Rev. Lett-1974.-V. 33.-P 445-447.

148. Познанин П. JI. Квадратичные лагранжианы и массивные гравитоны //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1975.-М 6.-С. 15-20.

149. Fairchild Е. Е. (Jr.) Gauge theory of gravitation //Phys. Rev. D-1976.-V. 14.-P. 384-391; (E) 3439.157. von der Heyde P. Is Gravitation Mediated by the Torsion of Spacetime? //Z. Naturforsch.-1976.-V. 31a.-P. 1725-1726.

150. Николаенко В. M. Лагранжианы второй степени по кривизне в теории гравитации //Acta Phys. Polon.-1976.-V. В7.-Р. 681-692.

151. Фролов Б. H. Об уравнениях гравитационного поля в квадратичной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1977-N 3.-С. 154-155.

152. Фролов Б.Н. Задача Шварцшильда в квадратичной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1977-N З.-С. 155-156.

153. Fairchild Е. Е. (Jr.) Yang-Mills formulation of gravitational dynamics //Phys. Rev. D.-1977.-V. 16.-P. 2438-2447.

154. Туняк В. H. Квадратичные лагранжианы в пространстве с кручением //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1977-N 12.-С. 7-10.

155. Фролов Б. Н. Задача Фридмана в квадратичной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика-1978-N 5.-С. 148-149.

156. Frolov В. N. Tetrad Palatini formalism and quadratic Lagrangians in the gravitational field theory //Acta Phys. Polon-1978-V. B9.-P. 823-829.

157. Debney G., Fairchild E. E., Siklos S. T. Equivalence of Vacuum Yang-Mills Gravitation and Vacuum Einstein Gravitation //Gen. Relat. Grav.-1978.-V. 9.-P. 879-887.

158. Hehl F. W., Ne'eman Y., Nitsch J. and von der Heyde. Short-range confining component in a quadratic Poincaré gauge theory of gravitation //Phys. Lett.-1978-V. 78B-P. 102-106.

159. Neville D. Gravity Lagrangian with ghost-free curvature-squared terms //Phys. Rev. D.-1978.-V. 18.-P. 3535-3543.

160. Туняк В. H. Квадратичные лагранжианы в пространстве с кручением и теория калибровочного спинового поля //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1979-N 9.-С. 74-79.

161. Ramaswamy S. and Yasskin P.B. Birkhoff theorem for an R+R2 theory of gravity with torsion //Phys. Rev. D.-1979.-V. 19.-P. 2264-2267.

162. Yasskin P.B. Birkhoff theorem for metric and torsion theories //In: Abstracts 9th International Conference on General Relativity and Gravitation (Jena, 1980).-V. 3.-P. 652.

163. Neville D. Gravity theories with propagating torsion //Phys. Rev. D-1980.-V. 21.-P. 867-873.

164. Neville D. E. Birkhoff theorem for R + R2 gravity theories with torsion //Phys. Rev. D.-1980.-V. 21.-P. 2770-2775.

165. Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion //Nuovo Cim-1980-V. 55B.-P. 37-51.

166. Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion. II. Foundation and Conservation Equations //Nuovo Cim.-1980.-V. 56B-P. 21-37.

167. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. I. General Formulation //Progr. Theor. Phys-1980. -V. 64.-P. 866-882.

168. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. II. Equations of Motion for Test Bodies and Various Limits //Progr. Theor. Phys.-1980.-V. 64.-P. 883-896.

169. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. III. Weak Field Approximation //Progr. Theor. Phys. -1980.-V. 64.-P. 1435-1452.

170. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. IV. Mass and Energy of Particle Spectrum //Progr. Theor. Phys.-1980.-V. 64.-P. 2222-2241.

171. Sezgin E. and van Nieuwenhuizen P. New ghost-free gravity Lagrangians with propagating torsion //Phys. Rev. D.-1980.-V. 21.-P. 3269-3280.

172. Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. V. The Extended Bach-Lanczos Identity //Progr. Theor. Phys-1981.-V. 65.-P. 525-532.

173. Neville D. Spin-2 propagating torsion //Phys. Rev. D-1981.-V. 23. -P. 1244-1249.

174. Nieh H.T., Rauch R. Riemann-Cartan type gravitational theories satisfying Birkhoff's theorem //Phys. Lett-1981-V. 81A.-P. 113-115.

175. Szczyrba V. Hamilton dynamics of gauge theories of gravity //Phys. Rev. D.-1982.-V. 25.-P 2348-2568.

176. Tseytlin A. A. On the Poincare and de Sitter gauge theories of gravity with propagating torsion //Phys. Rev. D.-1982.-V. 26.-P. 3327-3341.

177. Garecki J. On the gravitational theory with quadratic Lagrangian Lg — pnijAf]i+anijA*nji+aQiA*ei //Acta Phys. Polon.-1983.-V. B14.-P. 713-722.

178. Zhang Y. Z. Approximate solutions for general Riemann-Cartan-type R + R2 theories of gravitation //Phys. Rev. D.-1983.-V. 28.-P. 18661871.

179. Yan M. L. The renormalizability of the general gravity theory with torsion and the spontaneous breaking of Lorentz group //Commun. Theor. Phys. (Beijing, China)-1983.-V. 2.-P. 1281-1288.

180. Фролов Б. H. Уравнения поля в калибровочной квадратичной теории гравитации //В сб.: Космические исследования на Украине.-Вып. 17.-Киев: Наукова Думка, 1983-С. 51-52.

181. Фролов Б. Н. Уравнения поля в калибровочной квадратичной гравитации //В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации".-М.: 1984.-С. 236-237.

182. Fedorov F. I., Kudin V. I., Minkevich A. V. Nonsingular cosmology and the gravitational Lagrangians in the gauge theory of gravity //Acta Phys. Polon-1984.-V. B15.-P. 107-112.

183. Baekler P., Yasskin Ph.B. All Torsion-Free Spherical Vacuum Solutions of the Quadratic Poincare Gauge Theory of Gravity //Gen. Relat. Grav-1984. -V. 16.-P. 1135-1155.

184. Goenner H. and Miiller-Hoissen F. Spatially homogeneous and isotropic spaces in theories of gravitation with torsion //Class. Quant. Grav-1984. -V. l.-P. 651-672.

185. Katanayev M. 0. and Volovich I. V. Higgs fields in Kaluza-Klein theory with dynamical torsion //Phys. Lett.-1985.-V. 156B.-P. 327-330.

186. Szczyrba V. Stephenson-Kilmister-Yang theory of gravity and its dynamics //Phys. Rev. D.-1987.-V. 36-P. 351-374.

187. Baekler P. and Mielke E. W. Hamiltonian strusture of Poincare gauge theory and separation of non-dynamical variables in exact torsion solutions //Fortschr. Phys.- 1988.-V. 36.-P. 549-594.

188. Chen H.-H., Chern De-Ch., Hsu R. R., Nester J. M. and Yeung W. B. Asymptotically Newtonian conditions for Poincare gauge theory //Prog. Theor. Phys.-1988.-V. 79.-P. 77-85.

189. Obukhov Yu.N., Ponomariev V.N. and Zhytnikov V.V. Quadratic Poincare Gauge Theory of Gravity: A Comparison with the General Reativity Theory //Gen. Relat. Gravit.-1989.-V. 21.-P. 1107-1142.

190. Pronin P. I. Renormalization of field theories in Riemann-Cartan spacetime //В сб.: Quantum Mechanics in Curved Space-Time (Ed. J. Audretsch and V. de Sabbata).-New York and London: Plenum Press, 1990.-P. 517-550.

191. De Sabbata V., Melnikov V. N. and Pronin P. I. Theoretical Approach to Treatment of Non-Newtonian Forces //Progr. Theor. Phys-1992 -V. 88.-P. 623-661.

192. Минкевич А. В. Однородные изотропные гравитационные модели в аффинно-метрической калибровочной теории тяготения //Доклады АН Беларуси.-1993.-Т. 37.-С. 33-38.

193. Gladchenko М. S., Zhytnikov V. V. Post-Newtonian effects in quadratic Poincare gauge theory of gravitation //Phys. Rev. D.-1994.-V. 50. -P.5060-5071.

194. Zhytnikov V. V. Double duality and hidden gauge freedom in the Poincare gauge theory of gravitation / / Gen. Rel. Grav.-1996.-V. 28-P. 137-162.

195. Hürth Т., van Nienwenhuizen P., and Waldrom A. Possible new R2 theory of supergravity //Phys. Rev. D.-1997.-V. 55.-P. 7593-7614.

196. Верещагин Г. В., Гаркун А. С., Минкевич А. В. О квадратичных гравитационных лагранжианах в аффинно-метрической калибровочной теории тяготения //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология).-1999.-V. 5.-N. 4(20) Suppl.-P. 60-64.

197. Eddington A. S. The Mathematical Theory of Relativity, 2nd ed-Cambridge: Cambridge University, 1924 (Перевод: Эддингтон A. С. Математическая теория относительности.-Харьков, Киев: Гос. научно-техн. изд-во Украины, 1933.-357 с.)

198. Lanczos С. A remarkable property of the Riemann-Christoffel tensor in four dimensions //Ann. of Math.-1938.-V. 39.-P. 842-850.

199. Bach R. Zur Weylischen Relativitätstheorie und der Weyischen Erweiterung des Kr'ummungstensororbegriffs //Math. Z.-1921.-V. 9-P. 110-135.

200. Eddington A. S. A generalization of Weyl's theory of the electromagnetic and gravitational fields //Proc. Royl. Soc. (L).—1921.— V. A99.-P. 104-111.

201. Stephenson G. Quadratic Lagrangians and gauge invariance in covariant field theories //Proc. Cambr. Phil. Soc.-1960.-V. 56.-P. 247 259.

202. Lanczos C. Quadratic action principle of relativity //J. Math. Phys-1969.-V. 10.-P. 1057-1065.

203. Рузмайкина Т. В., Рузмайкин А. А. Квадратичные добавки к ла-гранжевой плотности гравитационного поля и сингулярность //Ж. Эксп. Теор. Физ.-1969-T. 57.-С. 680-685.

204. Folomeshkin V. N. The Quadratic Lagrangians in General Relativity //Commun, math. Phys.-1971.-V. 22.-P. 115-120.

205. Wynne V. A., Derrick G. H. A Theory of Gravitation Incorporating the Quadratic Action Principle of Relativity //Nuovo Cim.-1973.-V. 15B.-P. 181-209.

206. Wynne V. A. A Theory of Gravitation Incorporating the Quadratic Action Principle: Further Exact Sulutions //Nuovo Cimento.-1974.-V. 20B.-P. 93-104.

207. Giesswein M., Sexl R. and Streeruwitz E. Cosmologcal singularities and higher-order gravitatinal lagrangians //Phys. Letters.-1974.-V. 52B.-p. 442-444.

208. Stephenson G. Variational principles and gauge theories of gravitation //J. Phys. A: Math. Gen.-1977.-V. 10.-P. 181-184.

209. Fiedler В., Schimming R. Exact solutions of the Bach field equations of general relativity //Rep. Math. Phys.-1980.-V. 17.-P. 15-36.

210. Page D. N. Probability of R2 inflation //Phys. Rev. D.-1987.-V. 36-P. 1607-1624.

211. Бухбиндер И. JI. О механизме индуцирования эйнштейновской гравитации //Известия высш. учебн. завед. Физика.-1986-N З.-С. 7781.

212. Buchbinder I. L. and Odintsov S. D. Effective potential and phase transitions induced by curvature in gauge theories in curved spacetime //Class. Quantum Grav-1985.-V. 2.-P. 721-731.

213. Buchbinder I. L. Renormalization of Quantum Field Theory in Curved Space-Time and Renormalization Group Equations //Fortschr. Phys.-1986.-V. 34.-P. 605-628.

214. Elizable E., Odintsov S. D., and Romeo A. Improved effective potential in curved spacetime and quantum matter-higher-derivative gravity //Phys. Rev. D.-1995.-V. 51-P. 1680-1691.

215. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Вариационный формализм и уравнения поля в тетрадной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. М.: ГНО Издательство "Прометей" МПГУ, 2005.-С. 275278.

216. Бабурова О. В., Королев В. Ф., Умярова И. А. Вариационный формализм для квадратичных лагранжианов в тетрадной теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-2006.- N 4 (в печати).

217. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Вариационный формализм и уравнения поля в тетрадной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-2006-N 5 (в печати).

218. Soleng H. H. The Mathematica Packages CARTAN and MathTensor for Tensor Analysis //В сб.: Relativity and Scientific Computing- Computer Algebra, Numerics, Visualization (F.W. Hehl, R.A. Puntigam, H. Ruder, eds.). Berlin: Springer, 1996. P. 210-230.

219. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Применение системы MATHEMATICA для тензорных вычислений в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей.- М.: ГНО Издательство "Прометей" МПГУ, 2006.-С. 220-222.

220. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Расширение пакета символьных вычислений CARTAN для модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана //В сб.: Некоторые вопросы математики, информатики и методики преподавания М.: МПГУ, 2006.-С. 220222.

221. Денисова И. П., Зубрило А. А. Применение компьютерной алгебры REDUCE для интегрирования уравнений теории гравитации методом Ньюмена-Пенроуза //Математическое моделирование-2000-Т. 12.-N 2.-С. 59-67.

222. Ефимов Г. В., Зуева Е. Ю., Щенков И. Б. Компьютерная алгебра в ИПМ им. Келдыша //Математическое моделирование.-2001.-Т. 13.-N 6.-С. 11-18.

223. Рыбаков Ю. П., Сашок В. И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения: Учеб. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2001 -481 с.

224. Babourova О. V., Frolov В. N., Klimova Е. A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories in Riemann-Cartan space //Class. Quantum Grav.-1999.-V. 16.-P. 1-14 (gr-qc/9805005).

225. Babourova О. V., Frolov В. N. Gauss-Bonnet Type Identity in Weyl-Cartan Space //Intern. J. of Mod. Phys. A.-1997.-V. 12.-P. 3665-3668 (gr-qc/9609004).

226. Babourova О. V. and Frolov B. N. Pontryagin, Euler forms and Chern-Simons terms in Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A.-1997.-V. 17.-P. 1267-1274 (gr-qc/9609005).

227. Hehl F. W., Kopczynski, McCrea J. D., Mielke E. Chern-Simons terms in metric-affine space-time: Bianchi identities as Euler-Lagrange equations //J. Math. Phys.-1991.-V. 32.-P. 2169-2180.

228. Balachandran A. P. Classical description of a particle interacting with a non-Abelian gauge field //Phys. Rev. D.-1977.-V. 15.-P. 2308-2317.

229. Balachandran A. P., Marmo G., Skagerstam B.-S., Stern A. Gauge Symmetries and Fibre Bundles. Applications to Particle Dynamics //Lecture Notes in Physics.-V. 188-Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 1983.-140 p.

230. Holm D. D. and Kupershmidt B. A. Yang-Mills magnetohydrodyna-mics: Nonrelativistic theory //Phys. Rev. D.-1984.-V. 30.-P. 25572560.

231. Amorim R. Chromohydrodynamics in Einstein-Cartan theory //Phys. Rev. D.-1986.-V. 33.-P. 2796-2799.

232. Choquet-Bruhat Y. Fluides chargés non abéliens de conductivité infinie //C. R. Acad. Sci. Paris.-1992.-V. 314.-P. 87-91.

233. Choquet-Bruhat Y. Hydrodynamics and magneto hydrodynamics of Yang Mills fluids //Report on the Conference at the symposium "Waves and stability in continuous media", Bologna, 1993.-15 p.

234. Bistrovic В., Jackiw R., Li H., Pi S.-Y. Non-Abelian Fluid Dynamics in Lagrangian Formulation // Phys. Rev.-2003.-V. D67.-P. 025013025023 (hep-th/0210143).

235. Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotierenden Elekrtons //Z. Phys.-1926.-V. 37.-P. 243-259 (Перевод: Френкель Я.И. Собрание избранных трудов.-M.-JL: АН СССР, 1958.-Т. 2.-С. 460-476.)

236. Bargrnan V., Michel L. and Telegdi V. L. Precession of the polarization of particles moving in a homogeneous electromagnetic field //Phys. Rev. Lett.-1959.-V. 2.-P. 435-436.

237. Tamm I. Zur Elektrodynamik des rotierenden Elekrtons //Z. Phys.-1929.-V. 55.-P. 129-138 (Перевод: Тамм И. E. Собрание научных трудов.-М.: "Наука", 1975.-Т. 2.-С. 5-23).

238. Багров В. Г., Бордовицын В. А. Классическая теория спина //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1980.Ч^ 2.-С. 67-76.

239. Wong S. К. Field and Particle Equation for the Classical Yang-Mills Field and Particle with Isotopic Spin //Nuovo Cim.-1970.-V. 65.-P. 689-694.

240. Arodz H. Colored, spinning classical particle in an external non-abelian gauge field //Phys. Lett-1982.-V. 116B.-P. 251-254.

241. Dixon W. G. On a Classical Theory of Charged Particles with Spin and the Classical Limit of the Dirac Equation //Nuovo Cim.-1965.-V. 28.-P. 1616-1643.

242. Corben H. C. Classical and Quantum Theory of Spinning Particles-San Francisco: Holden-Day, 1968.-279 p.

243. Hanson A. J. The Relativistic Spherical Top //Ann. Phys. (NY)-1974.-V. 87.-P. 498-566.

244. Glassberger P. Classical charged particles with spin //J. Phys. A: Math. Gen-1978.-V. 11.-P. 1221-1226.

245. Hojman S. Lagrangian theory of the motion of spinning particles in torsion gravitational theories //Phys. Rev. D.-1978.-V. 18.-P. 27412744.

246. Yasskin P. В., Stoeger W. R, Propagation equation for test bodies with spin and rotation in theories of gravity with tirsion //Phys. Rev. D-1980.-V. 21.-P. 2081-2094.

247. Cognola G., Soldati R., Vanzo L., and Zerbini S. Lagrangian formulation of a spinning test particle in a curved space-time with torsion //Phys. Rev. D.-1982.-V. 25.-P. 3109-3116.

248. Kadic A., Edelen D. G. B. A gauge theory of dislocations and disclinations.-Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983 (Перевод: Кадич А., Эделен Д. Калибровочноая теория дислокаций и дисклинаций.-М.: Мир, 1987.-168 с.)

249. Гузев М. А., Мясников В. П. Калибровоно-инвариантная гидродинамика идеальной жидкости //Изв. Акад. наук. Механика жидкости и ra3a.-1993.-N 4.-С. 25-29.

250. Вшивцев А. С., Перегудов Д. В. Гидродинамическая модель кварк-глюонной фазы деконфайнмента //ЯФ.-1997.-Т. 60.-N 7.-С. 14811484.

251. Вшивцев А. С., Кандауров В. И., Перегудов Д. В., Фортов В. Е. Гидродинамическая модель множественного рождения адронов //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1997-N 6.-С. 32-36.

252. Ландау Л. Д. О множественном образовании частиц при столкновении быстрых частиц //Изв. АН СССР.-1953.-Т. 17.-С. 51-62.

253. Розенталь И. Л., Тарасов Ю. А. Гидродинамическая теория множественных процессов в свете современных экспериментальных данных //ЖЭТФ.-1985.-Т. 85.-С. 1535-1543.

254. Ne'eman Y., Sijacki Dj. Unified affine gauge theory of gravity and strong interactions with finite and infinite (7L(4,J?) spinor fields //Ann. Phys. (N.Y.)-1979.-V. 120-P. 292-315.

255. Lee C.-Y. and Ne'eman Yu. Renormalization of gauge-affine gravity //Phys. Lett. В-1990.-V. 242.-P. 59-63.

256. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1947.-408 с.

257. Adamovich W. Plane waves in gauge theories of gravitation //Gen. Relat. Gravit.-1980.-V. 12.-P. 677-691.

258. Chen M., Chern D., Hsu R. and Yeung W. B. Plane-fronted torsion waves in a gravitational gauge theory with quadratic Lagrangian //Phys. Rev. D.-1983. -V. 28.-P. 2094-2095.

259. Singh P. and Griffiths J. P. A new class of exact solutions of the vacuum quadratic Poincare gauge field theory //Gen. Relat. Gravit.-1990.-V. 22.-P. 947-956.

260. Zhytnikov V. V. Wavelike exact solutions of R + R2 + Q2 gravity //J. Math. Phys.-1994.-V. 35.-P. 6001-6017.

261. Бабурова О. В., Климова Е. А., Фролов Б. Н. Плоские волны кручения в теории гравитации с квадратичными лагранжианами //В сб.: Научные труды Моск. Педагог. Гос. Унив. им. В. И. Ленина. /Сер.: Ест. науки. М.: "Прометей", 1997.-С. 142-146.

262. Babourova О. V., Frolov В. N. and Klimova Е. A. Plane torsion waves in gravitational theory with quadratic lagrangians in Riemann-Cartari space. // In: GR15 Abst. of Plenary Lectures and Contr. Papers Pune, 1997.- P. 103.

263. Babourova О. V., Frolov B. N., Klimova E. A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/9805005.-1998.

264. Бабурова О. В., Климова Е. А., Фролов Б. Н. Плоские волны кручения в квадратичных теориях гравитации //Известия высш. учебн. завед. Физика 1998.-N 6.-С. 112-114.

265. Климова Е. А. Волны кручения в пространствах современной теории гравитации //Дис. канд. физ.-мат. наук.-М.: РУДН, 1998100 с.

266. Zhytnikov V. V. GRG: Computer Algebra System for Differential Geometry, Gravitation and Field Theory. Version 3.1.-Moscow, 1992108 p.

267. TYautman A. On the propagation of information by waves //В сб.: Recent developments in general relativity.-Oxford-London-New York-Paris: Pergamon press; Warszawa: PNN-Polish Scientific Publishers, 1962.-P. 459-464.

268. Zwicky F. //Helve. Phys. Acta.-1933.-V. 6.-P. 110-127.

269. Barcelo C. and Visser M. Living on the edge: cosmology on the boundary of anti-de Sitter space //Phys. Lett.-2000.-V. B489.-P. 183194 (hep-th/0004056).

270. Bronnikov K. A., Melnikov V. N. Vaccuum Static, Axially Symmetric Fields in D-Dimeiisional Gravity //Grav. & Cosmol. (Гравитация и космология)-1995.-У. l.-N 2.-P. 155-159.

271. Br ax Ph. and van de Bruck C. Cosmology and brane worlds: a review //Class. Quantum Grav.-2003.-V. 20.-P. R201-R232.

272. Gal'tsov D. V. and Dyadichev V. V. Non-Abelian brane cosmology //Astrophys.Space Sci.-2003.- V. 283.-P. 667-672 (hep-th/0301044).

273. Журавлев В. M., Червон С, В. Модели космологической инфляции, допускающие естественный выход на радиационно-домиирующую стадию и эру преобладания вещества //Ж. Экспер. Теор. Физики-2000.-V. 118.—N 2(8).-С. 259-272.

274. Chervon S. V., Zhuravlev V. M. The cosmological model with an analitic exit from inflation //Preprint Los Alamos arXiv, gr-qc/9907051.-1999.

275. Chervon S. V. Inflationary cosmology without restrictions on the scalar field potential //Gen. Relat. Gravit. 2004. V. 36. P. 1547-1553.

276. Chervon S. V. Cosmological Models of global Universe Evolution and Decomposition of Perturations //Inst. J. Modern Physics A.-2002.-V. 17-No 29,- P.4451-4456.

277. Duff M. J., Twenty Years of the Weyl Anomaly //Class. Quantum Grav.-1994.-V. 11- P. 1387-1404 (hep-th/9308075).

278. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model //Commun. Math. Phys.-1975.-V. 42.-P. 127-162.

279. Тютин И. В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке //Препринт N 39. ФИАН АН СССР, Москва.-1975.-62 с.

280. Boulanger N. A Weyl-covariant Tensor Calculus //J.Math.Phys.-2005.-V. 46,- P. 053508-053515 (hep-th/0412314).

281. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей /4-е изд., испр. М.: Наука, 1984.-600 с.

282. Mack G., Salam A. Finite-Component Field Representations of the Conformal Group// Ann. of Phys.-1969.-V. 53.-P. 174-202.

283. Схоутен И. А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. I. Алгебра и учение о перенесении. M.-JL: ОНТИ, 1939,- 182 с.

284. Родичев В. И. Теория тяготения в ортогональном репере. М.: ИО НФМИ, 1998.-184 с.

285. Dirac P. A. M. Long range forces and broken symmetries //Proc. Roy. Soc. A.-1973.-V. 333.-P. 403-418.

286. Muench U., Gronwald F. and Hehl F. W. A small quide to variations in teleparallel gauge theories of gravity and the Kaniel-Itin model //Gen. Rel. Grav.-1998.-V. 30.-P. 933-961.

287. Зуланке P., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслое-ния.-М.: Мир, 1975.-350 с.

288. Бабурова О. В., Пономарев В. H., Фролов Б. Н. Релятивистская сплошная среда в пространстве Эйнштейна-Картана //В сб.: Тезисы докладов Всесоюзн. конф. "Совр. теор. и экспер. проб л. теории относит, и гравитации".-М.: Изд-во УДН, 1984.-С. 307-309.

289. Бабурова О. В., Фролов Б. Н. Вариационная теория идеальной спиновой жидкости в пространствах аффинной связности //В сб.: Гравитация и электромагнетизм-Минск: Изд-во "Университетское", 1987.-С. 3-9.

290. Obukhov Yu. N. and Korotky V. A. The Weyssenhoff fluid in Einstein-Cartan theory //Class. Quantum Grav.-1987.-V. 4.-P. 1633-1657.

291. Babourova О. V., Frolov B. N. On the variational theory of perfect spinning fluids in the Riemann-Cartan space-time //In: Abstr. cont. papers, 12th Intern. Conf. on Gen. Rel. and Grav. (USA, Boulder, 1989), p. 151 (A3:08).

292. Бабурова О. В. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренними степенями свободы //Дис. канд. физ.-мат. наук.-М.: ВНИЦПВ, 1989.-149 с.

293. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория М.: Наука, 1968.-Ч. 1.-480 с.

294. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля /6-е изд., испр. и доп-М.: Наука, 1973.-504 с.

295. Бабурова О. В., Пономарев В. Н., Фролов Б. Н. Уравнения движения материи как следствие уравнений поля обобщенной теории гравитации в пространстве Римана-Картана //В сб.: Гравитация и электромагнетизм-Минск: Изд-во "Университетское", 1988.—С. 8-10.

296. Ирошников Г. С. О непертурбативном вычислении адронных полевых корреляторов //ЯФ.-1986.-Т. 44.-С. 1554-1564.

297. Белов В. В., Маслов В. П. Квазиклассические траекторно-когерен-тиые состояния оператора Дирака с аномальным взаимодействием Паули //ДАН CCCP.-1989.~T. 305.-С. 764-780.

298. Белов В. В., Кондратьева М. Ф. ,,Классические"уравнения движения в квантовой механике с калибровочными полями //ТМФ-1992.-Т. 92.-С. 41-61.

299. Белов В. В., Маслов В. П. Квазиклассические траекторно-когерен-тные состояния в квантовой механике с калибровочными полями //ДАН СССР.-1990.-Т. 311.-С. 849-853.

300. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные решения уравнений Эйнштейна. /Под ред. X. Шмутцера: Пер. с англ-М.: Энергоиздат, 1982.-416 с.

301. Захаров В. Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштей-на.-М.: Наука, 1972.-199 с.

302. Sipper R. and Goenner Н. Symmetry classes of pp-waves //Gen. Rel. Grav.-1986.-V. 18.-P. 1229-1243.

303. Sola J. The cosmological constant and the fate of the cosmon in Weyl conformal gravity //Phys. Lett.-1989-V. B228.-P. 317-324.

304. Tolman R. C., Relativity, Thermodynamics and Cosmology (Clarendon Press, Oxford, 1969) (Перевод: Толмен P. Относительность, термодинамика и космология, М.: Наука, 1974.-520 с.)

305. Tresguerres R. Exact vacuum solutions of 4-dimentional metric-affine gauge theories of gravitation //Z. Phys. C.-1995.-V. 65.-P. 347-354.