Проблемы теории гравитации с квадратичными лагранжианами в пространствах с кручением и неметричностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Фролов, Борис Николаевич

• Фролов, Борис Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Фролов, Борис Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

1 ПРИНЦИП ЛОКАЛЬНОЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

1.1 Инвариантность относительно обобщенной группы Пуанкаре

1.2 Теорема Нетер для полной группы симметрии.

1.3 Принцип локальной инвариантности

1.4 Определение структуры лагранжиана взаимодействия с калибровочным полем.

1.5 Определение структуры лагранжиана свободного калибровочного поля

1.6 Уравнения калибровочного поля. Теорема об источниках калибровочного поля

1.7 Взаимодействие калибровочных полей. Редукция прямого произведения. Введение констант связи.

1.8 Геометрическая интерпретация теории калибровочных полей

1.9 Физические интерпретации теории калибровочных полей

1.9.1 Стандартная интерпретация на языке четырехмерной псевдоримановой геометрии.

1.9.2 Объединение пространственно-временных и внутренних симметрий. Погруженное пространство-время

1.9.3 Калибровочная теория гравитации как теория гравитации типа Логунова.

2 ВАРИАЦИОННЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ

2.1 Вариационный формализм для нелинейных лагранжианов при тетрадном представлении гравитационного поля

2.2 Вариационный формализм для нелинейных лагранжианов в пространстве Вейля-Картана и обобщенная теорема Гаусса-Бонне.

2.3 Лемма о параметрической инвариантности классической калибровочной теории

2.4 Законы сохранения в тетрадной теории гравитации в пространстве Римана.

2.5 Законы сохранения в теории Эйнштейна-Картана

2.6 Законы сохранения в пуанкаре-калибровочной теории гравитации

3 АНАЛИЗ ПУАНКАРЕ-КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ

3.1 Квадратичный лагранжиан общей теории калибровочных полей

3.2 Общие свойства квадратичной пуанкаре-калибровочной теории гравитации.

3.3 Бесторсионный предел квадратичной пуанкаре-калибровочной теории гравитации.

3.4 Конформные преобразования.

3.5 Оператор конформной кривизны пространства Римана-Картана и его свойства.

3.6 Теорема о представлении тензора конформной кривизны пространства Римана-Картана.

3.7 Принцип обобщенной конформной инвариантности.

3.8 Обобщенно конформно инвариантные лагранжиан и уравнения гравитационного поля.

3.9 Спонтанное нарушение масштабной инвариантности

4 СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ В ОБОБЩЕННО-КОНФОРМНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

4.1 Уравнения гравитационного поля в случае сферической симметрии

4.2 Сферически симметричные решения в физическом вакууме

4.3 Нестатические сферически симметричные решения.

4.4 Сферически симметричные конфигурации идеальной жидкости

4.5 Изучение сферически симметричного распределения идеальной жидкости в особых точках.

5 МАТЕРИАЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ НЕРИМАНОВЫХ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

5.1 Идеальная спиновая жидкость с внутренним цветовым зарядом

5.1.1 Динамические переменные, лагранжева плотность, уравнения движения.

5.1.2 Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса жидкости

5.1.3 Гидродинамическое уравнение движения спиновой жидкости с цветовым зарядом.

5.1.4 Уравнения движения частицы со спином и цветовым зарядом.

5.1.5 Движение спина частицы в цветовом поле в пространстве Римана-Картана.

5.2 Идеальная дилатон-спиновая жидкость в пространстве Вейля-Картана.

5.2.1 Пространство Вейля-Картана

5.2.2 Динамические переменные и уравнения движения

5.2.3 Тензор энергии-импульса и гидродинамическое уравнение Эйлера.

5.2.4 Движение частиц в пространстве Вейля-Картана

5.3 Идеальная гипермоментная жидкость

5.3.1 Динамические переменные и уравнения движения

5.3.2 Материальные токи гипермоментной жидкости и гидродинамическое уравнение Эйлера

5.3.3 Особенности движения гипермоментной жидкости

6 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ НА ЯЗЫКЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

6.1 Вариационный формализм на языке дифференциальных форм

6.2 Плоские волны кручения и ограничения на параметры квадратичного лагранжиана.

6.3 Топологические инварианты Понтрягина и Эйлера, члены Черна-Саймона в пространстве Вейля-Картана.

6.4 Дилатон-спиновая идеальная жидкость как источник нери-мановой космологии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы теории гравитации с квадратичными лагранжианами в пространствах с кручением и неметричностью»

Основной темой данного исследования является изучение возможности модификации уравнений поля общей теории относительности [1], возникающей при добавлении к линейному лагранжиану Гильберта-Эйнштейна инвариантов, квадратичных по напряженностям гравитационного поля, в пространствах более сложной геометрической структуры, чем пространство Римана, таких как пространство Римана-Картана и Вейля-Картана. В этих пространствах напряженность гравитационного поля будет описываться как тензором кривизны, так и тензором сегментарной кривизны, тензорами кручения и неметричности.

Возникающее при этом большое разнообразие в построении возможных вариантов теории должно ограничиваться определенными требованиями, имеющими характер основополагающих принципов теории. К таким принципам в первую очередь относится принцип локальной калибровочной инвариантности относительно группы Пуанкаре. Поэтому в Гл. 1 диссертации будут получены ограничения, которые налагает на физическую теорию применение этого принципа, заключающегося в требовании инвариантности интеграла действия теории и соответствующих уравнений поля относительно группы Пуанкаре с параметрами, являющимися произвольными функциями точек пространства событий.

Процедура перехода от теории, не удовлетворяющей требованиям локальной калибровочной инвариантностью, к теории, которая этим требованиям удовлетворяет, называется процедурой локализации. Эта процедура состоит в следующем. Пусть интеграл действия некоторой физической теории инвариантен относительно группы Ли с постоянными параметрами. Затем, налагая на этот интеграл действия требования локальной калибровочной инвариантности по отношению к этой группе Ли, выясняют, как должна видоизмениться лагранжева плотность и вся физическая теория, чтобы калибровочная инвариантность имела место.

Впервые идеи локальной калибровочной инвариантности были высказаны Г. Вейлем [2], [3] в его единой теории гравитации и электромагнетизма, затем в работе [4] по описанию спиноров в римановом пространстве, и наконец, в работе [5]. Хотя в настоящее время введенное Вейлем калибровочное поле - вектор Вейля - уже не интерпретируется как безмассовое электромагнитное поле, а трактуется как массивное дилатонное поле, тем не менее позднее в основополагающих работах Янга-Миллса [7] и Утиямы [8] и в последующих работах [9]-[13] (см. также [15]) было показано, что требование локальной калибровочной инвариантности является конструктивным принципом, который в соединении с разумными физическими требованиями позволяет построить достаточно содержательную физическую теорию поля в ее классическом (не квантовом) аспекте.

К начальному этапу применения локальной калибровочной инвариантности к теории гравитационного поля можно отнести наряду с работой Утиямы также работы [12]—[70]. В указанной работе Утиямы и в более поздней работе [13] свойства гравитационного поля выводились из требования локальной калибровочной инвариантности относительно группы Лоренца. При этом в теории не возникало кручение пространства-времени. В последующем Кибблом [12], основывась на идеях Сиамы [11], и автором [17], [18] был проведен вывод теории гравитационного поля из требования локальной калибровочной инвариантности относительно группы Пуанкаре. Один из результатов этих работ заключался в том, что в теории с необходимостью должно появляться кручение пространства-времени, так как тензор кручения представляет собой напряженность калибровочного поля, вводимого локализованной группой трансляции. При этом обосновывалось, что источником кручения пространства-времени является спиновый момент внешнего спинорного поля. Этот факт представляет собой частный случай доказанной автором в [18] общей теоремы об источниках калибровочного поля (см. параграф 1.6 Гл. 1). Построенная таким образом теория, в основе которой лежит линейный лагранжиан Гильберта-Эйнштейна, обобщенный на пространства с кручением (пространство Римана-Картана), получила название теории гравитации Эйнштейна-Картана [66].

В Гл. 1 излагается развитая автором в [18], [22] общая теория калибровочных полей, вводимых при локализации полной группы симметрий физической теории, преобразующей не только физические поля, но также и координаты пространства физических событий. В основу теории положена связь между принципом локальной инвариантности и известными теоремами Э. Нетер. При этом дифференциальные тождества теоремы Э. Нетер трактуются как системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных лагранжевой плотности взаимодействия материального поля с калибровочным полем и лагранжевой плотности свободного калибровочного поля. Условия разрешимости этих систем уравнений позволяют получить законы преобразования калибровочных полей под действием локализованной группы. Результатами данной теории являются, во-первых, указанная выше Теорема об источниках калибровочного поля. Во-вторых, определение структур напряженностей калибровочных полей, в частности, напряженности поля трансляций, которая при геометрической интерпретации теории окажется тензором кручения пространства-времени. Наконец, удается обнаружить структуру тетрадных коэффициентов и показать, каким образом они содержат калибровочные поля, соответствующее локализованной группе трансляций и локализованной группе Лоренца. Этот последний результат будет полезен при построении квантовой теории гравитационного поля. Отметим, что позднее теория калибровочных полей применительно к группам, преобразующим координаты пространства-времени, развивалась в [20], а значительно позднее аналогичные работы на близкой идейной основе в различных вариантах развивались многими авторами [26]—[31]. Этой же теме, но уже с использованием аппарата теории расслоенных пространств, посвящены работы [32], [33].

В указанной выше работе А. Траутмана [70] на основе использования формализма внешних форм Э. Картана теория Киббла-Сиамы была изложена в изящной математической формулировке, которую мы будем активно использовать в Гл. 5 и Гл. 6. Отметим, что существует более глубокая математическая интерпретация калибровочного поля как связности некоторого расслоенного пространства [34], [35] (см. замечание на стр. 120 русского перевода этой монографии), [36]. Это не удивительно, так как любая дифференциально-геометрическая структура может быть описана на языке теории расслоенных пространств. В настоящее время структуру расслоенного пространства с пространством-временем в качестве базы и с калибровочной группой Г в качестве структурной группы принято рассматривать как исходную точку при изучения калибровочных взаимодействий [37]—[50]. Такой подход в равной степени основан как на принципе локальной инвариантности, так и на принципе минимальности взаимодействия (см. параграф 1.3 Гл. 1). Однако, второй принцип не является столь же очевидным и фундаментальным, как первый. Возможны локально калибровочные взаимодействия, которые не удовлетворяют принципу минимальности взаимодействия. Эти взаимодействия уже не могут быть описаны на стандартном языке теории расслоенных пространств. Поэтому с нашей точки зрения теория калибровочных полей является более первичной и фундаментальной, чем те или иные геометрические структуры, на ней основанные. В настоящем исследовании мы не будем использовать аппарат теории расслоенных пространств.

Следует отметить еще одно направление в калибровочной трактовке гравитации, связанное с представлением о том, что гравитационное поле должно вводится при локализации только группы трансляции [82]-[86] (см. также монографию [49]). Основанием для такого подхода служит то, что ток, соответсвующий группе трансляций, есть как раз тензор энергии-импульса, порождающий гравитационное поле в стандартном подходе общей теории относительности (ОТО). Однако, индуцируемая при таком подходе геометрия оказывается не геометрией Римана, как в ОТО, а геометрией пространства абсолютного параллелизма (пространство Вейценбека) с отличным от нуля тензором кручения и равным нулю тензором кривизны [84]. Поэтому главная аргументация данного подхода - аналогия с ОТО - оказывается несостоятельной. Теория оказывается даже более далекой от ОТО, чем теория, возникающая при локализации группы Пуанкаре. Наша точка зрения состоит в том, что поскольку группа Пуанкаре не представляет собой прямого произведения группы трансляций и группы Лоренца, то группу трансляций нельзя рассматривать изолировано, а только как подгруппу полной локализованной группы Г(ж) всех симметрий теории [18].

Основной недостаток теории Киббла-Сиамы и основанной на ней теории Эйнштейна-Картана заключается в том, что в этой теории тензор кручения алгебраически зависит от тензора спинового момента внешнего поля. Этот факт лишает тензор кручения динамического содержания. Данный недостаток может быть преодолен, если к линейному лагранжиану теории Эйнштейна-Картана добавить члены, квадратичные по кривизне. Подобная теория была развита в работах автора [18], [19], [22] и в последующем в различных вариантах (с учетом дополнительных членов в лагранжиане, квадратичных также и по тензору кручения) предлагалась и исследовалась в многочисленных работах [24], [87]—[143] (см. также обзоры [112], [44] и монографии [36], [46]—[49]). Краткий обзор подобных теорий дан в параграфе 3.2 Гл. 3. Отметим также, что к необходимости использования квадратичных лагранжианов со временем пришла также и теория супергравитации [144].

Следует подчеркнуть, что начатая в работах автора модификация теории гравитации, основанная на учете в пуанкаре-калибровочной теории в пространстве Римана-Картана квадратичных по кривизне и кручению лагранжианов (наряду с линейным), принципиально отличается от других, развиваемых в пространстве Римана, гравитационных теорий с квадратичными лагранжианами (см. [2], [155]—[182] и цитируемые там работы), которые развивались, начиная с классических работ Вей-ля [2], Баха [155], Эддингтона [156], [157], Ланцоша [158], Бухдала [159], [161], Стефенсона [162], вплоть до современных исследований, стимулируемых попытками построения перенормируемой [173], [174] и унитарной [175] теории гравитации, а также попытками устранения сингулярнос-тей [176]—[178] за счет учета квантовых флуктуаций и решения проблемы инфляции [172]. Все эти теории строятся в пространстве Римана. Получаемые в них модифицированные уравнения гравитационного поля выводятся при помощи вариационной процедуры второго порядка, которая приводит к уравнениям, содержащим производные от метрики выше второго порядка.

В Гл. 2 диссертации показано, что пуанкаре-калибровочная квадратичная теория гравитации в пространстве Римана-Картана требует для получения уравнений поля применения вариационного принципа первого порядка, который заключается в независимом варьировании по метрике (или тетрадам, или базисным 1-формам) и связности (или эквивалентного варьирования независимо по метрике и тензору кручения). Этот метод варьирования часто называют методом Палатини, ссылаясь на работу [145], однако, как отмечено в [147], впервые этот метод варьирования был и применен А. Эйнштейном в своей работе по единой теории гравитации и электромагнетизма [198]. Обобщение формализма Палатини на тетрадную теорию гравитации в пространстве Римана-Картана было проведено автором в [148]. По поводу использования вариационного формализма первого порядка с учетом дополнительных связей см. [149]—[154]. В Гл. 2 диссертации данный метод применен к тетрадной реализации теории гравитации с нелинейными лагранжианами, произвольно зависящими от тензоров кривизны и кручения, сначала при условии полной независимости тетрад и связности, а затем в пространствах Вейля-Картана, когда на связность наложено некоторое ограничение. Полученные результаты применены для вывода обобщенного тождества Баха-Ланцоша (обобщенной теоремы Гаусса-Бонне) в пространстве Вейля-Картана, проделанного в работах автора [196], [197]. Данные результаты могут быть использованы при выяснении вопроса о влиянии пространства Вейля-Картана на перенормируемость квантовой версии теории гравитации.

Затем в Гл. 2 развитый метод применяется к построению вариационного формализма первого порядка с произвольными нелинейными лагранжианами в тетрадной теории гравитации с целью получения законов сохранения типа энергии-импульса и спинового момента. Здесь автор продолжает известные работы [198]-[204], в которых вариационные принципы использовались для цели получения законов сохранения в римановых пространствах. Тетрадная теория гравитации стала пользоваться популярностью после известного предложения Мёллера [205] рассматривать в качестве истинных потенциалов гравитационного поля не компоненты метрического тензора, а тетрадные коэффициенты (даже в теории гравитации в пространстве Римана). Хотя следует отметить, что идея тетрадной теории гравитации по существу уже встречалась в работах А. Эйнштейна 1928-31 годов, в частности, в работах с Р. Майером (см. [199]), где она развивалась в связи с построением единой теории гравитации и электромагнетизма в пространстве абсолютного параллелизма. Данная идея представляется необходимой также в связи с проблемой параллельного переноса спиноров в пространстве Римана [210], [4].

Мёллер пришел к формулировке своей идеи в связи с проведенным им анализом трудностей стандартной общей теории относительности в связи с проблемой получения в этой теории величины, описывющей плотность энергии и импульса гравитационного поля. Невозможность удовлетворительного решения данной проблемы в ОТО, а также неизбежность наличия в ОТО сингулярностей пространства-времени, вытекающей из известных теорем Пенроуза и Хокинга (см. [211]), Мёллер назвал "кризисом теории гравитации" [209]. Глубокий анализ трудностей с формулировкой закона сохранения энергии в ОТО был проведен А. А. Логуновым с сотрудниками [52]-[61]. О современном состоянии проблемы сохранения энергии в ОТО см. [212].

Результаты, полученные автором по проблеме законов сохранения в теории гравитации, изложены в [18], [213]—[216], [25]. В основе развиваемого вариационного формализма лежит Лемма о параметрической инвариантности классической калибровочной теории [215], [216], [25], доказанная в параграфе 2.3. Обсуждаемая в этой Лемме параметрическая инвариантность, которой обладает классическая калибровочная теория, дополняет параметризационную инвариантность перенормируемой квантовой теории поля, на исследование которой затрачиваются значительные усилия (см., например, [217]—[219]). С использованием развитого вариационного формализма в Гл. 2 находятся несколько сохраняющихся общековариант-ных выражений типа энергии-импульса как в пространстве Римана, так и в пространстве Римана-Картана. Эти выражения удовлетворяют известным условиям слабой локализуемости энергии Мёллера [205], но однако не являются ковариантными величинами относительно локализованных преобразований группы Лоренца. Найденные автором общековариантные сохраняющиеся выражения типа энергии-импульса и спинового момента получили достаточную известность (см., например, работы [207], [83], [220], [221], а также монографии [208], [222]), а в иностранной научной литературе впоследствии неоднократно переоткрывались вплоть до настоящего времени (см. [223] и цитируемые там предыдущие работы).

В параграфе 2.6 Гл. 2 формулируется критерий сильной локализуемое-ти общей энергии материи и гравитационного поля, означающий требование, чтобы интегральное значение энергии-импульса в любом объёме было ковариантно как относительно общих преобразований координат, так и относительно локализованных преобразований Лоренца. В этом параграфе доказывается, что в пуанкаре-калибровочной теории гравитации, если лагражиан гравитационного поля содержит квадрат тензора кручения (напряженности калибровочного поля трансляций), может быть найдено выражение для плотности энергии-импульса, удовлетворяющее сильному условию локализуемости, и что это выражение есть как раз то, которое было предложено автором в работе [18] (и впоследствии переоткрытое К. Лопезом [224]).

В Гл. 3 формулируются общие принципы, которым должна удовлетворять квадратичная пуанкаре-калибровочная теория гравитации в пространстве Римана-Картана и обсуждаются те теоретические возможности, использование которых может привести к уменьшению числа произвольных параметров в гравитационном лагранжиане (параграфы 3.1 и 3.2). Здесь рассматривается первоначальная теория автора, предложенная в [22], квантовая версия которой была исследована в серии работ П. Л. Познанина [90]—[92], что вызвало определенный интерес [46], [141]. В параграфе 3.3 изучается бессторсионный предел этой теории (кручение отсутствует) [22], [97] и показывается, что возникающие при этом уравнения гравитационного поля совпадают в бесторсионном пределе с уравнениями поля для общего лагранжиана Хаяши при наложении на параметры этого лагранжиана только одного условия (Теорема 3.1) [130], [131].

Далее в параграфе 3.4 Гл. 3 с целью найти физические требования, которые могли бы существенно уменьшить число произвольных параметров в гравитационном лагранжиане, изучаются различные типы конформных преобразований в пространствах сначала Вейля-Картана, а затем Римана-Картана. Начиная с первых пионерских работ Вейля [2], [3], были развиты многочисленные теоретические построения, в том числе в пространстве Вейля-Картана, реализующие конформно инвариантную (калибровочно или нет) теорию поля [227]-[289]. Обширный список литературы можно найти также в [281]. В основе теории, изложенной в Гл. 3, лежит новый принцип симметрии, именно, принцип обобщенной конформной инвариантности, сформулированный и развитый в работах автора [266], [269], [274], [275], [286]. Указанный принцип заключается в требовании инвариантности теории относительно наиболее общих преобразований в пространстве Римана-Картана, оставляющих инвариантным световой конус. Это введенное автором преобразование зависит от одной произвольной скалярной функции а(х) и от одной произвольной векторной функции и названо обобщенным конформным <7, ^-преобразованием. Данное преобразование включает в себя в качестве частных случаев все типы конформных преобразований в пространстве Римана-Картана, как предложенные в более ранних работах [250], [251], [261] (в последней работе преобразования относятся также и к пространству Вейля-Картана), так и в более поздней работе [280], а также проективное пребразование связности (А-преобразование Эйнштейна) [292], [293]. По поводу конформных преобразований в пространстве Римана см. монографии [293], [401].

Конформные свойства пространстве Римана-Картана описываются с помощью введенного в [294] тензора конформной кривизны, обобщающего на пространства с кручением тензор конформной кривизны Вейля пространства Римана. Математические свойства данного тензора раскрываются в параграфе 3.5 с помощью введенного автором понятия оператора конформной кривизны в пространстве Римана-Картана. Развитая теория этого оператора применяется в параграфе 3.6 при доказательстве Теоремы о представлении тензора конформной кривизны пространства Римана-Картана (Теорема 3.3), раскрывающей структуру членов, отличающих данный тензор от тензора конформной кривизны Вейля. Данная теорема позволит в следующем параграфе образовать с помощью тензора конформной кривизны выражение, которое было бы обобщенно-конформно инвариантно и которое будет использовано при построении теории гравитации.

Далее в параграфе 3.7 Гл. 3 определяется, к каким следствиям приводит применение принципа обобщенной конформной инвариантности к классическим физическим системам. Здесь находится обобщенно-конформное уравнение Дирака и выясняется причина возникновения у спинорного поля канонического веса 3/2, а затем доказывается теорема, выясняющая необходимые и достаточные условия обобщенно-конформной инвариантности произвольной полевой физической системы первого порядка (Теорема 3.4). Применение следствий данной теоремы к идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе приводит к установлению важного факта, а именно, что условие Френкеля является прямым следствием требования обобщенной конформной инвариантности [275], [286]. Тем самым устанавливается связь между принципом обобщенной конформной инвариантности и (выражаемой условием Френкеля) пространственно-подобной природой спина, которая представляет из себя факт исключительной физической значимости. Таким образом выясняется, что принцип обобщенной конформной инвариантности играет важную роль в современной теории поля.

Наконец, в параграфе 3.8 Гл. 4 строится модель обобщенно-конформно инвариантной пуанкаре-калибровочной квадратичной теории гравитации. С помощью дилатонного поля /? конформного веса "-1", введенного в известной работе Дирака [231], строится лагранжиан теории, содержащий часть, определяющую динамику дилатонного поля с включением самодействия дилатонного поля вида {З4, затем линейный по кривизне член, а также квадратичные по тензору кручения и по тензору кривизны части, причем все эти части лагранжиана обобщенно-конформно инвариантны. Из данного лагранжиана на основе вариационного принципа первого порядка находятся уравнения гравитационного поля, включающие три группы уравнений как результат варьирования по тетрадам, по коэффициентам связности пространства Римана-Картана и по дилатонному полю.

Дилатонная часть построенного лагранжиана похожа на лагранжиан Хиггса, что определяет возможность спонтанного нарушения масштабной инвариантности, различные механизмы которого обсуждаются в параграфе 3.9. Идея о спонтанном нарушении масштабной инвариантности в конформно инвариантной теории гравитации с неминимальной связью со скалярным дилатонным полем имеет длительную историю и часто переоткрывается в различных новых формах, см. [239], [186], [243]—[245], [253]—[275], а также обзоры [188], [281] и цитируемую там литературу. Один из механизмов спонтанного нарушения масштабной инвариантности связан с квантовой коррекцией дилатонного потенциала, который в од-нопетлевом приближении превращается в эффективный потенциал, обладающим минимумом при ненулевом среднем значении дилатонного поля. Данное явление было обнаружено в [183] в модели скалярной электродинамики (см. также обсуждение в [188] и [281]). В так называемой индуцированной гравитации (впервые предложенной А. Д. Сахаровым [184], [185]), спонтанное нарушение масштабной инвариантности описывается как следствие особых свойств коллективного поля связанных пар полей материи (аналога конденсата куперовских пар), см. [188] и ссылки в этой работе. Несколько иной механизм спонтанного нарушения масштабной инвариантности в рамках индуцированной гравитации был рассмотрен в работах И. JI. Бухбиндера с сотрудниками [191]—[195], где были выполнены вычисления эффективного дилатонного потенциала, основанные на идее о возможности индуцированного кривизной фазового перехода первого рода, при котором происходит скачок среднего значения дилатонного поля когда кривизна принимает некоторое критическое значение. Обобщение этой идеи на пространства с кручением было осуществлено в [194].

Точка зрения автора, изложенная в параграфе 3.9, заключается в том, что скачок среднего значения дилатонного поля зависит как от критических значений кривизны и кручения, определяющих фазовый переход первого рода, так и от величины плотности полей материи, динамика которых в этот момент была заморожена и которые представляли собой конденсат вакуумных полей. Отсутствие динамики материальных полей определило период инфляции, который окончился, когда динамика полей материи стала существенной [286]. В конце данного параграфа приводятся уравнения гравитационного поля обобщенно-конформной квадратичной теории гравитации вблизи критического значения дилатонного поля в частном случае нулевого кручения. Особенностью этих уравнений является различная зависимость членов этих уравнений (квадратичного по кривизне члена, космологического члена, члена с материальными источниками) от критического значения дилатонного поля. Так как это последнее значение зависит от средней плотности материальных полей, то оно должно меняться в процессе эволюции Вселенной, тем самым определяя различную роль каждого из членов уравнений гравитационного поля в разных фазах эволюции Вселенной.

В Гл. 4 изучаются те следствия, к которым приводят установленные в Гл. 3 уравнения гравитационного поля обобщенно-конформной квадратичной теории гравитации в частном случае отсутствия кручения и при наличии сферической симметрии. В параграфе 4.1 исследуются общие свойства этих уравнений поля. Показывается, что второе из этих уравнений, не содержащее источников поля, в рассматриваемом частном случае может быть полностью проинтегрировано. При этом расширена известная классификация И. Д. Новикова решений, реализующихся в R-и Г-областях, и в нее предложено включить новое классифицирующее понятие: решения, реализующиеся в //-области, в которой выбором системы координат можно удовлетворить условию &2 = const.

В параграфе 4.2 для рассматриваемых уравнений поля при равном нулю кручении исследуется внешняя задача Шварцшильда. Сферически симметричные решения данных уравнений поля ищутся в физическом вакууме, который понимается как среда с тензором энергии-импульса А-членного типа. Показывается, что в й-области, когда выбором системы координат можно удовлетворить условию <?22 = <722(г) Ф const, единственным сферически симметричным решением этих уравнений в физическом вакууме будет метрика Шварцшильда в пространстве де Ситтера (метрика Коттлера) [98]. Полученный автором результат ввиду наличия космологического члена не вытекает из известной теоремы о совпадении класса вакуумных решений уравнений Эйнштейна и уравнений квадратичной теории гравитации [103] и поэтому требовал специального рассмотрения. Затем в параграфе 4.2 выясняется, что если решение удовлетворяет условию 022 = const (L-область), то исследуемые уравнения поля имеют своим решением кроме известной метрики Нариаи-Бертотти, являющейся решением уравнений Эйнштейна с космологическим членом в вакууме, также новое решение, которое уже не удвлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна [286]. Новое неэйнштейновское решение зависит от параметра г0, характеризующего значение тензора конформной кривизны Вейля, и если параметр характерной длины А = (го«/)1'3 достаточно мал по сравнению с характерной длиной 1/\/Л, обусловленной наличием космологической постоянной, то найденное решение обладает свойствами конфайнмента, а именно, в данном решении при удалении от центра возникает возрастающая экспоненциально сила притяжения к центру [295].

В параграфе 4.3 изучаются нестатические сферически симметричные решения. Здесь прежде всего рассматривается задача Фридмана (случай однородного и изотропного распределения вещества) и доказывается, что задача Фридмана для уравнений поля обобщенно-конформной квадратичной теории гравитации имеет то же самое решение, что и для обычных уравнений Эйнштейна [101]. Последний результат был впоследствии подтвержден и получил дальнейшее развитие в известной работе [134]. Поэтому к новым эффектам уравнения поля квадратичной теории гравитации могут привести только в случае неоднородного распределения вещества.

В качестве примера подобной неоднородной задачи в параграфе 4.3 находится нестатическое решение уравнений Эйнштейна, описывающее погружение во вселенную Фридмана несингулярного обобщения внешнего решения Шварцшильда [297], [296]. Это решение представляет собой несингулярное обобщение известного нестатического решения Мак-Витти [298], [299]. Данное решение обладает весьма интересными свойствами. Бели отвлечься от проблемы погружения во вселенную Фридмана, то это решение описывается двумя параметрами: один из них, т, характеризует сингулярность решения, а второй, й2, характеризует размазанность центрального сгущения. В нерелятивистском пределе данное решение будет описывать распределение плотности в шаровом звездном скоплении в соответствии с эмпирическим распределением Шустера (закон "5/2" [423]). Хотя данное решение не является точным решением уравнений поля квадратичной теории гравитации при / ф 0, при поисках подобных решений данное решение может приниматься в качестве нулевого приближения в тех случаях, когда величина / может рассматриваться как малый параметр.

Далее, в параграфах 4.4 и 4.5 изучаются сферически симметричные неоднородные конфигурации идеальной жидкости и доказывается, что в данном случае уравнения поля полностью определяют уравнение состояния идеальной жидкости. В частности, показывается, что в центральных областях конфигурации асимптотическое уравнение состояния оказывается совпадающим с уравнением состояния кварк-глюонной плазмы в модели кваркового мешка [276]. Наконец, в параграфе 4.5 в качестве нулевого приближения к решению уравнений поля квадратичной теории гравитации найдено новое точное решения уравнений Эйнштейна, обобщающее внутреннее решение Шварцшильда с постоянной плотностью [276].

В Гл. 5 излагается построение вариационных теорий некоторых типов материальных сред, которые в качестве источников уравнений поля пуанкаре-калибровочной теории гравитации могут порождать различные неримановы свойства пространства-времени, такие как кручение и неметричность. К подобным средам относятся сплошные среды, обладающие внутренними степенями свободы. Теория таких сред в плоском пространстве Минковского и в пространстве Римана развивалась, начиная с классической монографии братьев Коссера [300]—[306]. К средам подобного типа прежде всего относится идеальная спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе [307], [308]. К настоящему времени теория этой жидкости, в том числе ее вывод из вариационного принципа, получила значительное развитие в работах [309]—[326], поэтому эта теория в Гл. 5 не излагается. Отметим только, что в подавляющем числе работ вариационная теория строится при помощи формализма, обобщающего метод неопределенных множителей Лагранжа, который был применен к обычной идеальной жидкости в пространстве Римана в [327]-[329]. Теоретическая значимость модели спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе заключается в ее тесной связи с проблемой движения частиц со спином во внешних полях, которая еще не получила окончательного решения, несмотря на значительные усилия [330]—[340]. Если пространство-время допускает более сложную структуру, чем пространство Римана, то спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе служит источником кручения пространства-времени, что имеет место в теории гравитации Эйнштейна-Картана и в пуанкаре-калибровочной квадратичной теории гравитации.

В Гл. 5 развиваются вариационные теории более сложных сред, представляющих собой обобщение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе. К этим средам относятся идеальная спиновая жидкость с цветовым зарядом (порождающая геометрию пространства Римана-Картана), идеальная дилатон-спиновая жидкость (порождающая геометрию пространства Вейля-Картана) и идеальная гипермоментная жидкость (порождающая геометрию общего аффинно-метрического пространства). При построении этих теорий используется математический формализм внешних форм Э. Картана и основанная на нем вариационная процедура.

Общепризнанным подходом к описанию элементарных частиц является квантовая теория поля. При этом квантовое поле трактуется как бесконечный ансамбль взаимодействующих осцилляторов. Тем самым сложная теоретико-полевая конструкция аппроксимируется некоторой механической средой, свойства которой можно осознать и изучить на основе существующего математического аппарата. Наряду с аппаратом квантовой теории поля при решении проблем современной фундаментальной физики может быть также использована механическая модель, основанная на гидродинамическом описании среды. Подобный подход обладает определенной предсказательностыо как в квантовой электродинамике, так и в теории элементарных частиц, включая, например, гидродинамическую модель Ландау множественного рождения адронов [345], [346].

В параграфе 5.1 рассматривается один из аспектов гидродинамического подхода, при котором квантовая система взаимодействующих кварков и глюонов апроксимируется классическим образом как идеальная жидкость с внутренними степенями свободы, роль которых играет спин и неабелевый цветовой заряд частиц жидкости. Важность теории подобной жидкости заключается, в частности, в ее связи с проблемой движения частицы с изотопическим или цветовым зарядами во внешних полях [347]—[350]. Классическая нерелятивистская хромогидродинамичес-кая модель жидкости (без учета спиновых свойств) была предложена в [351], а затем распространена на релятивистский случай в [352], где однако имел место ряд упрощений, в частности, отсутствовал учет поляризационных свойств частиц жидкости. Дальнейшее развитие теория получила в работах автора [353]—[355], [358]~[360]. Данная теория излагается в параграфе 5.1, где развивается релятивистская вариационная теория идеальной спиновой жидкости с внутренним неабелевым цветовым зарядом, взаимодействующей с порождаемым этим зарядом неабелевым полем Янга-Миллса с учетом спиновых поляризационных хромомагнит-ных эффектов в пространстве Римана-Картана с кривизной и кручением. В теории явно учитывается пространственноподобная природа спина путем включения в лагранжиан условия Френкеля. Получены уравнения движения жидкости, а также законы изменения тензора спина и цветового заряда (п. 5.1.1), а затем выражение для канонического тензора энергии-импульса рассматриваемой модели жидкости (п. 5.1.2).

Необходимость математически корректного вывода тензора энергии-импульса идеальной жидкости с цветовым зарядом обуславливается тем фактом, что на его основе с использованием производных Ли из закона квазисохранения тензора энергии-импульса в пространстве Римана

Картана с кривизной и кручением может быть выведено (п. 5.1.3) гидродинамическое уравнение типа уравнения Эйлера, описывающее движение идеальной спиновой жидкости, частицы которой наделены цветовым зарядом, в неабалевом цветовом калибровочном поле, соответствующем калибровочной группе 5С/(3), и находящейся в гравитационном поле сложной структуры, описываемом геометрией пространства Римана-Картана. Данная задача является самосогласованной, так как гравитационное поле порождается тензором энергии-импульса, а цветовое поле порождается током неабелева цветового заряда рассматриваемой жидкости.

Далее в п. 5.1.4 на основе данного уравнения выводятся, найденные в работах автора ¡353], [355], ¡358], [360] классические уравнения движения цветовой частицы, обобщающие уравнения Вонга [347] на случай цветовой группы 811(3) и учитывающие также наличие спина частиц. При этом показано, что сила, действующая на такую частицу, представляет собой результат действия следующих типов сил: обобщенной силы Лоренца, порождаемой неабелевым цветовым зарядом; обобщенной силы типа Штерна и Герлаха, градиентной по напряженности цветового поля; силы Матиссона, отражающей взаимодействие спина частицы с кривизной пространства-времени, и силы "трансляционного" типа, отражающей взаимодействие обобщенного импульса частицы с кручением пространства-времени. Интересно отметить, что аналог двух последних сил можно найти в современной калибровочной теории пластичности, использующей калибровочные группы вращений и трансляций для описания дефектов кристаллов (соответственно, дисклинаций и дислокаций) [341], [342].

Полученный тензор энергии-импульса может быть также использован при обосновании гидродинамической модели кварк-глюонной фазы до-конфайнмента [343], ¡358], [359]. На основе этой модели в [343], [344] было проведено обобщение гидродинамической модели множественного рождения частиц Ландау [345], [346], явным образом учитывающее структуру вакуума квантовой хромодинамики и цветовой заряд кварков.

В п. 5.1.5 полученное уравнение движения частицы будет использовано для вывода уравнения изменения вектора спина частицы, найденное в работах автора [353], [360], которое обобщает на случай движения частицы со спином и неабелевым цветовым зарядом во внешних цветовом и гравитационном (с кривизной и кручением) полях известные уравнения, описывающие движение спина заряженной частицы в электромагнитном поле (уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди [332], [339], [340], для случая однородного поля и уравнение Тамма-Гуда [331], [338] для случая неоднородного поля), а также обобщает уравнения, описывающие прецессию незаряженной частицы со спином в пространстве Римана-Картана [69], [76], [74].

В параграфе 5.2 излагается построенная в работах автора [376], [377] вариационная теория идеальной дилатон-спиновой жидкости, частицы которой наделены кроме спина также дилатонным зарядом. Данный гипотетический тип материи будет порождать в пространстве-времени структуру пространства Вейля-Картана и взаимодействовать с этой геометрической структурой. Важность рассмотрения материи, наделенной дилатонным зарядом, основана на том факте, что теория струн в низкоэнергетическом пределе эффективно сводится к теории, описываемой взаимодействием метрики и дилатонного поля [437]. В этой связи дилатонная гравитация представляет собой один из наиболее привлекательных подходов в современной гравитационной физике.

В теории дилатон-спиновой жидкости возникает новая динамическая величина - тензор дилатон-спина частиц жидкости, которая обобщает тензор спина жидкости Вейссенхоффа. Существенным при построении теории является то обстоятельство, что условию Френкеля удовлетворяет не весь тензор дилатон-спина, а только одна его составляющая -тензор спина. Устанавливается лагранжева плотность теории и определяются вариационные уравнения движения жидкости, а также уравнение эволюции тензора дилатон-спина, которое содержит в себе закон сохранения дилатониого заряда. Затем находятся материальные токи дилатон-спиновой жидкости (каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса, 3-форма дилатон-спинового момента), которые являются источниками гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Данные выражения затем используются для вывода из тождеств теоремы Нётер обобщенного гидродинамического уравнения типа Эйлера для дилатон-спиновой жидкости. В предельном случае исчезающего давления жидкости (уравнения состояния пыли) это последнее уравнение переходит в уравнение движения пробных частиц со спином и дилатонным зарядом в пространстве Вейля-Картана.

В п. 5.2.4 доказывается теорема о специальном виде гидродинамического уравнения Эйлера в пространстве Вейля-Картана. Важным следствием этой теоремы является утверждение о том, что тела и среды, не обладающие дилатонным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени (в противоположность часто высказываемому мнению) и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобной структуры. Для "обычной" материи без дила-тонного заряда вейлевская структура пространства-времени ненаблюда-ема. Следовательно, для обнаружения различных проявлений вейлевской структуры пространства-времени (если подобная структура существует) следует использовать тела и среды, наделенные дилатонным зарядом.

В параграфе 5.3 развивается вариационная теория идеальной гипер-моментной жидкости. Данный тип жидкости можно рассматривать как естественное обобщение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе и идеальной дилатон-спиновой жидкости. Этот новый гипотетический вид материи был впервые предложен в работах [361], [325] под именем идеальной жидкости с внутренним гипермоментом. Понятие гипермомента было введено в работе [152] при формулировке аффинно-метрической теории гравитации и обобщает такие динамические величины как спин и дилатонный заряд. Действительное существование гипермоментной жидкости представляло бы из себя факт фундаментальной физической значимости, так как в качестве источника гравитационного поля подобный тип материи порождал бы новый тип геометрии пространства-времени, именно, геометрию общего аффинно-метрического пространства {Ь4,д). В настоящее время аффинно-метрическая теория гравитации вызывает интерес в связи с проблемой взаимоотношений между теорией гравитации и теорией элементарных частиц [374], а также в связи с проблемой перенормируемости квантовой теории гравитации [375].

Вариационная теория идеальной гипермоментной жидкости развивалась в работах [362]—[373], в том числе в работах автора. В [365], [281] этот тип жидкости был назван "гипержидкостью", что с нашей точки зрения неудачно, так как этот тип жидкости никак не связан с гиперзарядом - одним из характеристик элементарных частиц. Различия в вариационных теориях гипермоментной жидкости обусловлены в значительной степени использованием различных модификаций условия Френкеля. Так, в первоначальных работах [361]—[362], [365] обобщенное условие Френкеля накладывалось на весь тензор гипермомента, в то время как в последующих работах автора [366], [367], [381], [370] использовалась обычная форма условия Френкеля для тензора спина. Оба эти подхода имеют недостатки (см. п. 5.3.1) и развиваемая нами вариационная теория идеальной гипермоментной жидкости основана на другом типе обобщения условия Френкеля, сформулированного в работах автора [371], [373], в которых было предложено, чтобы условию Френкеля удовлетворяла бесследовая часть тензора гипермомента.

В п. 5.3.1 устанавливается вид лагранжевой плотности теории и выводятся уравнения движения жидкости и уравнение эволюции тензора гипермомента, а в п. 5.3.2 вычисляются материальные токи гипермо-ментной жидкости, такие как каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса и 3-форма тока гипермомента. Основной результат теории заключен в выводе из тождеств Нётер гидродинамического уравнения движения жидкости типа Эйлера и анализе на его основе особенностей движения гипермоментной жидкости, который осуществлен в п. 5.3.3 на основе доказанных Теорем 5.2 и 5.3 и ряда следствий. Главный вывод заключается в том, что движение гипермоментной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомента совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана. Поэтому движение тел и сред, не обладающих гипермоментом, не чувствительно к возможному наличию неметричности пространства-времени. Любое исследование возможного наличия неметричности должно происходить при помощи тел и сред, обладающих гипермоментом, то есть частиц и жидкостей со спином, ди-латонным зарядом или внутренним гипермоментом.

В Гл. 6 математический формализм внешних форм Картана используется для решения некоторых задач квадратичной теории гравитации. В параграфе 6.1 вариационный формализм, развитый А. Траутманом [66] на языке внешних форм для линейного по кривизне лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, обобщается на квадратичные лагранжианы. В основе обобщения лежит доказанная в работах автора [388], [391] Лемма 6.1, определяющая правило коммутации вариации произвольной р-формыци операции дуального сопряжения Ходжа. Данная Лемма позволяет легко выписать уравнения гравитационного поля, соответствующие независимым вариациям общего квадратичного лагранжиана, записанного через 2-формы кривизни и кручения, по базисным 1-формам $а и 1-форме связности

В параграфе 6.2 рассматривается задача о возможном существовании плоских волн кручения в квадратичной теории гравитации. Поиск решений уравнений пуанкаре-калибровочной теории гравитации, представляющих собой волны кручения, в частности плоские волны, осуществлялся в [382]—[391]. В работах автора [386]—[389], [391] понятие плоской волны кручения, сформулированное в работе [382] на основе аналогии с электромагнитными волнами, обобщается на теорию гравитации с произвольными квадратичными лагранжианами. Рассмотрение производится на языке внешних форм. В параграфе 6.2 общие уравнения поля, выведенные в параграфе 6.1, решаются для случая плоских волн метрики и кручения. С помощью производных Ли дается определение пространства Римана-Картана Щ типа плоской волны как пространства, допускающего группу симметрии Оц, являющейся группой симметрии плосковолновых решений в теории электромагнитного поля. Плоские волны кручения определяются как частный случай пространств типа плоской волны, связность которых удовлетворяет некоторому условию, аналогичному тому, которым обладает 4-потенциал плоской электромагнитной волны. Доказывается, что след и псевдослед плоской волны кручения равны нулю, а бесследовая часть имеет специальный вид и зависит только от двух произвольных функций запаздывающего параметра. Основной результат этого параграфа заключен в Теореме 6.1 [386]-[389], [391], выясняющей необходимые и достаточные условия того, что плоские волны метрики и кручения удовлетворяют уравнениям гравитационного поля квадратичной теории гравитации с общим лагранжианом Хаяши. Оказывается, что одним из условий этого является наличие дополнительного ограничения на константы связи лагранжиана Хаяши, смысл которого состоит в том, что кванты бесследовой части поля кручения должны иметь нулевую массу покоя.

Далее, в параграфе 6.3, опираясь на вариационные методы в формализме внешних форм, доказывется существование в пространстве Вейля-Картана топологических инвариантов типа Понтрягина и Эйлера. Здесь доказано также, что обобщенные формы Понтрягина и Эйлера в этом пространстве могут быть представлены как внешние дифференциалы от соответствующих членов типа Черна-Саймона. Эти результаты, полученные в работе автора [392], обобщают аналогичные результаты, справедливые в пространствах Римана и Римана-Картана (см. [393]).

В параграфе 6.4 решается задача о возможном влиянии на космологическую проблему дилатон-спиновой жидкости в качестве источника гравитационного поля квадратичной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана. К лагранжиану Хаяши, использованному в параграфе 6.1, добавляются члены, квадратичные по 2-форме сегментарной кривизны и 1-форме Вейля. Вариационным методом получаются соответствующие уравнения поля, в которых источниками являются каноническая 3-форма энергии-импульса дилатон-спиновой жидкости и 3-форма дилатон-спина, полученные в Гл. 5 (параграф 5.2). После ряда преобразований из этих уравнений поля выводится уравнение, которое вместе с законами сохранения энергии-импульса и дилатонного заряда, а также уравнением непрерывности приводит для метрики Робертсона-Уокера к обобщенному уравнению типа Фридмана. Исследован случай простейшего уравнения состояния типа пыли. Показано, что в этом случае существует несингулярное решение обобщенного космологического уравнения Фридмана, что говорит о возможном влиянии дилатон-спиновой материи на динамику ранней стадии Вселенной [394], [395].