Космологические аспекты гравитационного взаимодействия в пространстве Картана-Вейля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Липкин, Кирилл Николаевич

• Липкин, Кирилл Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Липкин, Кирилл Николаевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1. Математические основы теории гравитации в пространстве Картана-Вейля

1.1. Основные понятия и операции формализма внешних форм

при описании геометрических структур

1.2. Лемма о результате коммутации операций варьирования и дуализации

1.3. Дифференциальные тождества теории гравитации в пост-римановых пространствах в формализме внешних форм

2. Теория гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака на языке внешних форм в пространстве Картана-Вейля

2.1. Развитие вариационной техники в пространстве Картана-Вейля в формализме внешних форм

2.2. Вариационные уравнения теории гравитации со скалярным полем в пространстве Картана-Вейля

2.3. Проверка вариационных уравнений с помощью дифференциальных тождеств в формализме

внешних форм

3. Космологический аспект теории гравитации со скаляр-

ным полем Дезера-Дирака в пространстве Картана—Вейля

3.1. Проблема темной энергии - фундаментальная проблема современной космологии

3.2. Анализ Г-уравнения

3.3. Анализ вариационного 9- уравнения поля для

случая однородной и изотропной Вселенной

3.4. Анализ вариационного /3-уравнения для случая однородной и изотропной Вселенной

3.5. Экспоненциальное уменьшение величины космологического члена

3.6. Космологическое решение на поздней стадии инфляции

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Космологические аспекты гравитационного взаимодействия в пространстве Картана-Вейля»

ВВЕДЕНИЕ

Согласно А.Эйнштейну четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана [1]. На этой основе была создана общая теория относительности (ОТО), представляющая собой современную теорию гравитационного поля [1]-[8]. На основании ОТО строятся современные космологические модели, описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.

В конце XX начале XXI века в ходе происходящей научной революции изменились представления о свойствах наблюдаемой части Вселенной. Последние открытия наблюдательной космологии [4], [9]-[24] привели к гипотезе о доминировании в динамике Вселенной темной энергии, отождествляемой с энергией вакуума и описываемой введенной Эйнштейном в теорию гравитационного поля космологической постоянной [16]-[19].

Также нашла подтверждение наблюдательными данными высказанная еще в 30-х годах двадцатого века Цвикке гипотеза существования темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность обычной барионной материи [20]—[24]. Была высказана идея, что темная материя во взаимодействии с положительной энергией вакуума (темной энергией) определяют динамику Вселенной.

Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в том, что примерно 4-5 млрд. лет в прошлом наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедле-

нием расширения, и началась постфридмановская стадия, при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением. Не исключено осущесвление перехода к экспоненциальному расширению, что можно назвать стадией "второй инфляции" .

Одна из возможных попыток решения возникших проблем состоит в обобщении теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой [25]—[31]. В работах математиков, таких как Г. Вейль, Э. Картан, И. Схоутен и других, показано, что пространства могут характеризоваться не только кривизной, но также кручением и неметричностью. В современной космологии используются пространства с более сложной структурой, чем пространства Римана. Это пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метри-ческое пространство с кривизной, кручением и неметричностью, в частности, пространство Картана-Вейля с неметричностью вейлевского типа [32]—[51]. Появилось целое направление, которое одни авторы называют "нериманова космология" [46], а другие авторы называют "постримано-ва космология" [50].

В работах [52]—[54] было показано, что геометрия пространства Картана-Вейля возникает из требования инвариантности теории относительно преобразований калибровочной группы Пуанкаре-Вейля. При этом с необходимостью возникает требование существования дополнительного скалярного поля, имеющего столь же фундаментальный геометрический статус, как и метрика. Данное скалярное поле было ранее введено в известной работе Дираком [55], а еще ранее Дезером [56].

Так же в [7], [36]-[40] был сформулирован подход к теории гравитационного поля, основанный на систематическом использовании геометрически обобщенных постримановых пространств, а также на необходи-

мом существовании в природе скалярного поля Дезера—Дирака, имеющего такой же фундаментальный статус, как и метрика. Данный подход оказался актуальным для современного развития теории гравитации и космологии.

В рамках данного подхода к теории гравитации была построена несингулярная космология Вселенной [57]-[61], а также был предложен путь решения еще одной проблемы современной фундаментальной физики, а именно, проблемы космологической постоянной.

Проблема космологической постоянной [62]-[71] является одной из основных проблем эволюции Вселенной, как на стадии инфляции, так и на последующих стадиях. Как отмечено в монографии академика Я. Б. Зельдовича с соавторами ([72] стр. 99), "...эта проблема является центральной как в физике элементарных частиц, так и в космологии, представляя собой серьезный вызов теоретикам". Суть данной проблемы состоит в том, что теоретический расчет величины космологической постоянной, проведенный в квантовой теории поля на основе оценки вкладов в энергию вакуума квантовых флуктуаций, дает величину, отличающуюся на сто двадцать порядков в сторону увеличения от того крайне малого значения экспериментальной оценки, которую можно получить на основе современных наблюдений в космологии. Так, академик В. А. Рубаков на стр. 32 монографии [73] отмечает следующее:

"Без преувеличения можно сказать, что проблема темной энергии (или проблема космологической постоянной) - одна из главных, если не самая главная, проблема теоретической физики".

Предварительные исследования и оценки говорят о том, что решение проблемы космологической постоянной перспективно искать в конформных теориях гравитации со скалярным полем [7], [49]—[51], индуциро-

ванным пуанкаре-вейль калибровочной теорией гравитационного поля [52]—[54]. Причем эти теории строятся в геометрически обобщенных пространствах, то есть более общих, чем пространство Римана общей теории относительности - в пространствах с кривизной, кручением и неметрич-ностью вейлевского типа [30].

Одно из возможных решений данной проблемы космологической постоянной было реализовано на основе указанного выше подхода, сформулированного О.В. Бабуровой иБ.Н. Фроловым, как результат динамики полей в сверхранней Вселенной. Согласно идеям Э.Б. Глинера [16]-[19] космологическая постоянная описывает плотность энергии физического вакуума. В работах [7], [49]-[51], [74]-[85]х была построена теория гравитации в пространстве Картана-Вейля, в которой эффективная космологическая постоянная (энергия вакуума) определяется скалярным полем Дезера-Дирака. В этой теории на основе использования постримановых пространств может быть найдено резкое экспоненциальное уменьшение эффективного космологического члена на инфляционной стадии эволюции Вселенной. Указанные космологические решения делают достаточно убедительной идею о необходимом существовании в природе скалярного поля Дезера-Дирака [7].

Тем самым можно заключить, что теория гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака позволяет наметить путь адекватного решения проблемы космологической постоянной, а именно, получить решение для космологического члена, достаточно быстро спадающего со временем [79], [80]. Научная значимость решения данной проблемы состоит в том, что будет намечен путь разрешения одного из основных противоречий теории эволюции Вселенной и тем самым осуществления согласования

1 Подчеркнутые ссылки на литературу относятся к работам автора диссертации

этой теории с современнмыми фундаментальными теоретическими представлениями.

Построение моделей пространства-времени с усложненными геометрическими свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римана) вариационных методов. Вариационные методы в пространстве Римана-Картана, а также в общем аффинно-метрическом пространстве хорошо развиты [30]. Что касается вариационного метода в пространстве Картана-Вейля, имеющего, как полагают ряд авторов [7], [49], первоначальный фундаментальный статус, то он требует тщательной проработки, особенно в формализме внешних форм для варианта теории гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака [7], [74}-[85]. Данный вариант обуславливается пуанкаре-вейль калибровочной теорией гравитации [52]-[54].

В современной постримановой теории гравитации используются наряду с линейным по кривизне лагранжианом Гильберта-Эйнштейна также лагранжианы, квадратичные по кривизне, кручению и неметричности [86]-[99], [30], [7]. Применение такого рода лагранжианов является дальнейшим развитием применения квадратичных лагранжианов в пуанкаре-калибровочной теории гравитации в пространстве Римана-Картана [86]-[99] в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения. Применение таких лагранжианов в теории гравитационного поля также обосновывается построением перенормируемой теории гравитации [100].

Так как современная теория гравитации излагается на языке внешних дифференциальных форм Пуанкаре-Картана, то в настоящей работе вариационный метод развивается с использованием формализма внешних форм. В основе метода лежит лемма о результате коммутирования опе-

раторов варьирования и дуализации Ходжа, доказанная в работе [101].

Для получение уравнений гравитационного поля в постримановом пространстве Вейля-Картана могут быть использованы различные вариационные подходы. Первоначально эти уравнения можно вывести в общем аффинно-метрическом пространстве, а затем перейти к частному случаю путем наложения условия Вейля уже после варьирования. Согласно второму методу эти уравнения можно вывести, если наложить условия Вейля до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. В данной работе на основе работы автора [102] будет обоснована неэквивалентность в формализме внешних форм первого из этих методов второму. Это означает, что выбор типа пространства-времени (в виде геометрической структуры пространства Картана-Вейля) следует делать до получения вариационных уравнений гравитационного поля.

Таким образом, исходя из изложенного, целью работы является исследование космологических следствий теории гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака в пространстве Картана-Вейля путем получения вариационных уравнений гравитационного поля данной теории в формализме внешних форм и нахождения их космологических решений для ранней стадии эволюции Вселенной.

Сформулируем кратко структуру работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Первая глава диссертации носит в основном обзорный характер и состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные понятия и процедуры формализма внешних дифференциальных форм при описании теории гравитации в постримановых пространствах. Затем на основе работы [101] и монографии [7] излагается доказатель-

ство леммы Бабуровой-Климовой-Фролова о результате коммутирования операторов варьирования и дуализации Ходжа. В третьем параграфе осуществляется вывод в формализме внешних форм дифференциальных тождеств, являющихся следствием существующих в пострима-новых пространствах локальных симметрий. Вывод данных тождеств в формализме внешних форм был осуществлен автором в рамках реализации научно-исследовательского проекта "Исследование моделей гравитационного взаимодействия в постримановых пространствах и их космологических следствий"аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы) ИК 02201250222.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена развитию вариационной техники в теории гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм в пространстве Картана-Вейля и выводе соответствующих вариационных уравнений поля в этом пространстве. В рассматриваемой теории гравитационный лагранжиан представляется в виде суммы обобщенного линейного лагранжиана Гильберта-Эйнштейна, квадратов кривизны, кручения и неметричности и членов со скалярным полем Дезера-Дирака. В первом параграфе данной главы исследованы два различные подхода получения вариационных уравнений в пространстве Картана-Вейля. Одним из результатов, выносимых на защиту, является обоснование неэквивалентости данных подходов и преимущество подхода, основанного на использовании метода неопределенных множителей Лагран-жа. Во втором параграфе данной главы для квадратичных лагранжианов общего вида в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дезера-Дирака получены вариационные уравнения поля в формализме

внешних форм методом неопределенных множителей Лагранжа. Этот результат является вторым результатов, выносимым на защиту. В третьем параграфе этой главы излагается метод проверки правильности вывода вариационных уравнений на оснве применения дифференциальных тождеств, изложенных в Главе 1.

Последующие результаты, выносимые на защиту, изложены в третьей главе. Здесь осуществлен анализ вариационных уравнений в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дезера-Дирака и произведен вывод совместных уравнений гравитационного поля и скалярного поля Дирака для ранней стадии однородной и изотропной Вселенной. В последних параграфах данной главы найдены космологические решенияя этих уравнений для стадии инфляции в ранней Вселенной.

Первое из этих решений может описывать сверхраннюю стадию инфляции, в которой определяемая скалярным полем эффективная космологическая постоянная, а тем самым и плотность темной энергии, экспоненциально спадает со временем.

Второе решение может быть реализовано на заключительной стадии инфляции. Степенной закон роста масштабного фактора в этом решении более удобен для осуществления плавного перехода от стадии инфляции к стадии Фридмана, который реализуется в результате рождения масс покоя элементарных частиц вследствие спонтанного нарушения масштабной инвариантности.

В заключении приведены результаты диссертации, выносимые на защиту.

Глава 1.

Математические основы теории гравитации в пространстве Картана-Вейля

1.1. Основные понятия и операции формализма внешних форм при описании геометрических структур

Рассмотрим связное четырехмерное ориентированное дифференцируемое многообразие АЛ с метрикой д лоренцевой сигнатуры, линейной связностью Г и 4-формой объема Г}. Из всех возможных типов постримано-вых пространств нас будет интересовать четырехмерное пространство Картана-Вейля СЖ*, в котором будет произведено построение лагран-жевой плотности конформной теории гравитации.

Структуру пространства Картана-Вейля будем описывать в формализме внешних форм, который представляет собой современный вариант тетрадного формализма в описании геометрической структуры пространства [7].

В формализме внешних форм одной из основных геометрических ха-

рактеристик являются базисные 1-формы кокасательного пространства 0а, которые выбраны так, чтобы их свертки с базисными векторами еа касательного пространства были равны (] - оператор свертки): еа\0ь =

Другой основной геометрической характеристикой является 1-форма неголономной связности Гаь- Из этих геометрических величин в формализме внешних форм строятся другие основные геометрические характеристики пространства.

Для их описания используем операцию внешнего умножения А, оператор внешнего дифференцирования и операцию ковариантного дифференцирования \7-у. С помощью этих математических операций строятся такие геометрические величины, как 2-форма кривизны пространства Вейля-Картана

паъ = (1таъ + гас А гсь, к\ = \каъС(1ес А (1.1.1)

2-форма кручения

Г° = <1ва + Гаъ А Та = \тасв,Ос А в*, (1.1.2)

¿л

1-форма неметричности О, вейлевского типа:

а = даЬЯаЪ, Я=Оава, 0аЬ=0аЬ^свС, (1.1.3)

1

<2аЬц = -Ч^ЯаЪ, 0,аЪ = (1-1-4)

Условие (1.1.4) есть условие неметричности Вейля на языке внешних форм.

Пространство Вейля-Картана СИ^ определяется как постриманово пространство, наделенное 2-формой кривизны (1.1.1), 2-формой кручения (1.1.2), причем метрический тензор и 1-форма связности пространства связаны условием Вейля.

Геометрический смысл кривизны определяется вторым структурным уравнением Картана (1.1.1), которая характеризует изменение касательного вектора при переносе его по замкнутому контуру. В то время как геометрический смысл кручения определяется первым структурным уравнением Картана (1.1.2), которое характеризует при параллельном переносе вектора по замкнутому контуру незамыкание образа этого контура в касательном пространстве.

При построении математического аппарата формализма внешних форм используются дополнительные поля форм, называемые полями Траут-мана [28], [29], [30], [7]. Они строятся на основе 4-формы объема?] (т]а -поле 3-форм Траутмана):

Г] = ^Чашв* А вь Л ес А в* = 1-ва Л % (1.1.5)

Поле 1-форм Траутмана определяется как

ЧаЪс = (1.1.6)

Поле 2-форм Траутмана определяется следующим образом:

ПаЬ = Л Г)аЬс = А (1-1-7) Аналогично задается поле 3-форм Траутмана:

Г]а = \вь А 7и = Л 6е Л в%ьы. (1.1.8) Для полей Траутмана справедливы следующие равенства:

вЬМ1а = 6ЬаГ], 6° Л Г/аЬ = —26°ащ, ^ЛТМс^Зф^, (1.1.9) в'чаш = -4вС Л в* Л Г)аЪ = 0е Л ^ Л 77аЬс =

(1.1.10)

Для построения лагранжевой плотности в формализме внешних форм используются две алгебраические линейные операции: операция свертки (внутреннего произведения) и операция дуального сопряжения Ходжа [30], [7].

Свертка р-формы Ф с вектором и определяется равенством

р- 1

= (1.1.11)

р-х

Операция дуального сопряжения р-формы Ф определяется равенством

л/И^ 9ы\

*Ф = (п - р)\р\9<11С1 ■ ■ • а ... А в*»-'. (1.1.12)

Указанные две алгебраические операции связаны друг с другом следующим образом (Ф и Ф - р-формы):

*ФЛФ = *ФЛФ, * * Ф = (1.1.13)

0а Л (еа\ Ф) = рФ, *(Ф Л ва) = еа\ * Ф, (1.1.14)

еа]Ф = (_1)"Ср+1)+« * (0о д *ф)} * VI/) = (_1)(«-1)(р+1)+«ф д 0а.

(1.1.15)

Величина в = 1пс1(д) равна количеству чисел «-1» в сигнатуре метрики при диагональном представлении матрицы метрического тензора (индекс метрики).

С помощью операций свертки и дуального сопряжения можно дать эквивалентные определения для полей Траутмана:

Vа = еа\т] = *0а, 'ЧаЪ = еЬ\т]а = *{ва А

(1.1.15)

1аЬс = ёс\1аЪ = *(#а Л вЬ Л 0С), Г)аШ = ёа\7]оЬс = *(0а Л 0Ъ Л 9С Л ва). 15

При описании геометрических характеристик пространств в формализме внешних форм используется понятие внешнего ковариантного дифференциала, обобщающего понятия внешнего дифференциала [ и понятие ковариантной производной \77, а именно, для тензорнозначной р-формы Фаь с индексами смешанного тензора 2-го ранга внешний ковари-антный дифференциал вычисляется на основании следующей формулы

£>Фа6 = ¿Я!аь + Гас Л Фс6 - Тсь Л Фас. (1.1.17)

С помощью понятия внешнего ковариантного дифференциала записываются дифференциальные тождества Бианки для 2-формы кривизны и 2-формы кручения:

&Лаь = 0, VTa = ПаьЛО\ (1.1.18)

а также дифференциальные тождества для полей Траутмана:

Т>7] = 0, Т>Т]аЬа1 = -\ОЦаЪсЛ, ЩаЪс = ~\ОЦаЬс + Т*Г)аЪсс1,

! 2 ! 2 (1.1-19)

ЩаЪ = + ТСГ)аЪс, Ща = —¿О^а + ^'ПаЪ-

1.2. Лемма о результате коммутации операций варьирования и дуализации

Для построения вариационного формализма внешних форм важной проблемой является выяснение правил коммутации операции варьирования и операции дуального сопряжения Ходжа. Решения этого вопроса дано в [101], [7], где была сформулированна и доказана следующая Лемма. Лемма:

Пусть Ф, Ф - произвольные р-формы на п-мерном многообразии, тогда справидливо следующее соотношение для коммутатора вариации 5 и

операции дуального сопряжения Ходжа *: Ф Л <5 * Ф — ¿'Ф А *Ф+

+ &9аЪ Л *Ф + (-1 Л * (*Ф Л въ) Л +

+ 59а Л ((-1)рФ Л * (Ф Л ва) + * (*Ф Л 0а) Л *ф) ,

(1.2.1)

где 5 = 1пс1(<7) - количество (-1) в сигнатуре д.

Приведем доказательство этой Леммы на основе идей, изложенных в работе [101]. Полное доказательство приведено в монографии [7]. Доказательство:

Компонентное представление р-формы Ф имеет вид

Ф = ^гФа1 а #а1 А ... А аа" р\ «х—ар

Найдем <5Ф, варьируя компоненту Фа1...ор и базис. Варьирование базиса даёт р одинаковых слагаемых, то есть имеем:

¿Ф = А ... А 9а»+ Фв1...а/0а1 А ... А ^

Подействуем на это выражение оператором дуального сопряжения Ходжа и получим следующую формулу:

*£Ф = ^¿Фа1...а/* Л.А..АН+ * ^ Л • • • Л

*{5ваг Л (еа1]Ф))

(1.2.2)

Для этого используем формулу:

= ^ Л • • • л 0ар (1-2-3)

Домножим внешне это выражение на 59ах и подействуем на результат оператором дуального сопряжения Ходжа:

59«1 Л (еЙ1]Ф) = -^Тху ^ага^а^ Л в^ Л ... Л 0°-,

* (8в** Л (еа1\Ф)) - * Л в* Л ... Л ва") (1.2.4)

После подстановки (1.2.4) в (1.2.2) имеем:

*<5Ф = ^¿Ф^,..^2"^ + * (№ Л (е01]Ф)) (1.2.5)

Распишем теперь на основании (1.1.12) форму дуальную к форме Ф:

ф _ паРсР ф пЪ\ д д Фп-р

- _ р)!р! ^ ■••9 £а1...арЬ1...Ъп-р^С1...СР^ /\ ... /\ и

Вариационная производная от этого выражения равна: 5 * Ф = (п-рМ • • * дйрСР) А • • • А вЬ— +

II

"V"

/

-I___ф 0а1с1 оаРсР£ , I

(п —р)!р! 1"'Ср •■■У са1...арЬ1...Ьп_р° Vе7 /Ч ' ' ' /Х 17 У*

-V.-

///

(1.2.6)

Здесь д =

Вычислим #(л/]р|<?а1С1 ... дарСр). Известно, что

=

Также имеем дсадъа — Берем вариацию от обеих частей этой формулы: $дса9Ьа + дса8дъа = 0. Умножим на дм\ 6дса5^ = 5ды = —дмдса8дьа- Тогда 8ды = —дйЬдас8дъа- Поэтому имеем

В результате вычисляем первое слагаемое в формуле (1.2.6):

I = \ö9abgah * Ф - -МаЬ^ас2..,рГ}Ьс^ ~ -.59аЬЪс-2 р! р р\ р

= «а* (¿а"" * ф - (^г^*"^^) =

= (ji/ot * ф - л fl-' iej'l')))

Здесь второе слагаемое преобразовано на основании следующих вы-

числении:

= Jj^TtyST*«*..*, * (ÖC2 Л ... Л 0Ср) = = *(оь Л ^-^<ГФСс2...ср0С2 Л ... Л =

= *(9b Л дас(ёс\ Ф)), где в последнем равенстве была использована формула (1.2.3).

Перейдем к вычислению третьего слагаемого в формуле (1.2.6). Имеем

ö{9bl Л ... Л 6bn~v) = 59h Л ... Л 9K-v + ... + вЬ1 Л ... Л 59Ьп~р.

Поэтому для третьего слагаемого в формуле (1.2.6) получаем

III = • • • ga^sai...apbl..Kjebx л... л вь-р =

= Ö9b> Л * ( -ФС1...е/С1 Л ... Л в0* Л 06, =

1 \р!

= £0аЛ*(ФЛ0а).

В последнем равенстве была использована вторая из формул (1.1.14). Собирая вместе выражения I, II и III, получаем окончательное выражение для (1.2.6):

8 * Ф =59ab (^даЬ * Ф - (^1)1фас2...ср^ьс2" ср) + (12 7)

+ + 5ва Л *(Ф Л 9а).

Теперь на основании формул (1.2.5) и (1.2.7) образуем коммутатор, в котором сократились подобные слагаемые:

(5 * - * 5)Ф =5даЬ {^-даЬ * Ф - *{9а А <7Ьс(ес]Ф))) +

+ 69а А *(Ф Л ва) - Л (ев1]Ф)). Умножим полученное равенство внешне слева нар-форму Ф:

ФЛ5*Ф-ФЛ *5Ф =5даь Л - Ф Л *(ва А дЬс{ес\ Ф))^ +

+ Ф Л 5ва А *(Ф Л ва) - Ф Л *(6в01 А (еа1\Ф)).

(1.2.8)

Затем учтем, что для форм одинакового ранга на основании первой формулы (1.1.13) справедливо Ф Л *6Ф = <5Ф Л *Ф, а также что Ф Л 5ва = (—1 )р59а ЛФ на основании правила коммутации произвольных р-формы р и д-формы д :

рАя = (-1 )р^Ар.

В результате формула (1.2.8) приобретет вид:

/ \

Ф д S * Ф =6Ф Л *Ф + 6д,

ab

-gabФ Л *Ф -Ф Л *(9а А дЬс{ес\ ФД 2 v

+

V 1А/

+ (-1 )р59а А Ф Л *(Ф Л ва) - Ф Л *(0ва1 Л (ев1]Ф)).

Па

(1.2.9)

Затем воспользуемся правилами вычислений (1.1.13) - (1.1.15) и преобразуем в формуле (1.2.9) слагаемые 1а и IIa'-

1А = - ф д * (вь А дас {ёс\ Ф)) = -9Ь А дас {ёс\ Ф) Л *Ф =

= (_1)п(р+1)+5+10а д # ^ßb д ^ д *ф — = (_l}n(p+l)+S+l+n-pea д * (*ф д ^ д ^ф _

= (_1)Р("-1)+5+10а Д * (*ф Л *вЬ) А *Ф.

IIА = - Ф Л * (59а Л (ёа]Ф)) = -5ва Л (ёа]Ф) Л *Ф = = Д * (*Ф Д 0а) Д *Ф.

Подставив результаты вычислений 1а и Па в (1.2.9), получим окончательное выражение (1.2.1). Доказательство леммы завершено.

1.3. Дифференциальные тождества теории гравитации в постримановых пространствах в формализме внешних форм

В теории гравитации в постримановых пространствах существуюют дифференциально-геометрические тождества, являющиеся следстием инвариантности лагранжиана теории относительно определенных труп преобразований.

В обобщенных постримановых пространствах данные тождества были выведены различными авторами. В метрическом описании аффинно-метрического пространства данного типа как следствие инвариантности лагранжиана относительно группы общих преобразований координат было выведено в [103] и другим способом в [104]. В обзоре [30] соответствующие тождества в несколько другом виде были выведены в аффинно-метрическом пространстве, а в работе [105] в пространстве Вей-ля-Картана в теории гравитации без скалярного поля. В монографии [97] в тетрадном формализме в аффинно-метрическом пространстве был осуществлен вывод данных тождеств без скалярного поля.

В [106] (см. также [7] со ссылкой на [106]) при участии автора были выведены данные тождества методом дифференциалов Ли в формализме внешних форм для теории гравитации с квадратичными лагранжианами в постримановом пространстве Картана-Вейля при наличии скалярно-

го поля. При этом был применен указанный в монографии [97] метод получения подобных тождеств, обобщая данный метод на формализм внешних форм.

Для решения поставленной задачи следует расширить число независимых переменных теории, включив в это число компоненты метрического тензора которые, как это было отмечено в монографии [7], могут быть произвольными функциями вследствие возможности введения произвольной системы координат, не ограничиваясь метрикой Минковского

Vab-

В этом случае функциональная зависимость 4-формы лагранжевой плотности гравитационного поля будет иметь следующий вид:

С (ГЛ, dr\ в\ de\ даЬ, dgab, Д d(3). (1.3.1)

Инвариантность интеграла действия означает:

6 J С = J ÔC = 0. (1.3.2)

Тогда общий вид вариации лагранжевой плотности (2.3.1) будет следующий:

=• >+л ё+л S++=(L3-3)

Здесь d(...) означает полный дифференциал от соответстыующих выражений, а вариационные производные по независимым переменным (кроме 9а,ъ) были вычислены в предыдущем параграфе.

Обратимся теперь непосредственно к выводу дифференциальных тождеств, являющихся следствием инвариантности интеграла действия теории относительно преобразований группы диффеоморфизмов координатного пространства и группы преобразований локализованной линейной группы GL(4,R), действующей в касательном пространстве.

Преобразования именно этой последней группы выбраны потому, что до операции варьирования лагранжева плотность (2.2.1) определена в общем аффинно-метрическом пространстве и только после получения вариационного уравнения (2.1.5) можно сделать вывод о том, что пространство-время обладает геометрической структурой именно пространства Вейля-Картана. До варьирования симметрией лагранжевой плотности (2.2.1) является симметрия общего аффинно-метрического пространства.

Обратимся к выводу первого дифференциального тождества [7]. Группа диффеоморфизмов пространства-времени определяется инфинитези-мальными операторам, представляющими собой дифференциалы Ли lg, задаваемые произвольным векторным полем Дифференциалы Ли коммутируют с внешним дифференциалом: dlg = Igd. Они действуют на дифференциальные формы по правилу [ЮТ]—[110]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Липкин, Кирилл Николаевич, 2014 год

Литература

[1] Альберт Эйнштейн и теория гравитации /Сборник статей (К 100-летию со дня рождения).-М.: Мир, 1979.-592 с.

[2] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.-М.: ЛКИ, 2007.-568 с.

[3] Мизнер Ч.} Торн К., Уилер Дж. Гравитация -М.: Мир, 1977-Т. 1-3.

[4] Вейнберг С. Космология.-М.: УРСС, 2013.-605 с.

[5] Владимиров Ю. С. Геометрофизика.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.-600 с.

[6] Уолд Р. М. Общая теория относительности-М.: РУДН, 2008.-693 с.

[7] Бабурова О. В., Фролов Б. Н. Математические основы современной теории гравитации.-М.: МПГУ, Прометей, 2012.

[8] Кокарев С. С. Введение в общую теорию относительности: учебное пособие-Ярославль: ЯрГУ, 2010.-368 с.

[9] S. Perlmutter et al. Measurements of Q and A from 42 high-redshift Supernovae //Astrophys. J.-1999.-V.517.-P.565-586 (prepint astro-ph/9812133).

[10] Bahcall N.A., Ostriker J.P., Perlmutter S. and Steinhardt P.J. The cosmic triangle: assessing the state of the Universe //Science.-1999.-V.284.-P. 1481-1488 (astro-ph/9906463).

[11] Riess G. at al. The Farthest Known Supernova: Support for an Accelerating Universe and a Glimpse of the Epoch of Deceleration //Astrophys. J.-2001.-V.560.-P.560-(prepint astro-ph/0104455).

[12] Kowalski Marek, Rubin David. Improved Cosmological Constraints from New, Old and Combined Supernova Datasets //Astrophysical Journal-2008 -V.686.-P.749-778 (arXiv:astro-ph/0804.4142vl).

[13] Чернин А.Д. Темная энергия и всемирной антитяготение // Успехи фи-зич. наук.-2008.-Т.178.-С. 267.

[14] Clifton Timothy, Ferreira Pedro. Does Dark Energy Really Exist? //Scientific American.-2009.-V.300(4).-P.48-55.

[15] Chernin A.D., Karachentsev I.D., Teerikorpi P., Valtonen M.J., Byrd G.G., Efremov Yu.N., Dolgachev V.P., Domozhilova L.M. and Makarov D.I. Detection of dark energy near the Milky Way with the Hubble Space Telescope // Gravitation and Cosmology.-2010.-V.16.-№1(61).-P. 1-6.

[16] Глинер Э. Б. Раздувющаяся вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // Успехи физических наук.-2002.-Т.172.~ №2.-С. 221-227.

[17] Глинер Э. Б. Алгебраические свойства тензора энергии-импульса и вакуумоподобные состояния вещества // ЖЭТФ.-1965.-Т.49-№2(8) .-С.542-548.

[18] Глинер Э. Б. Вакумноподобное состояние среды и фридмановская космология // ДАН СССР.-1970.-Т. 192.-№4.-С.771-774.

[19] Глинер Э. Б., Дымникова И. Г. Несингулярная фридмановская космология // Письма в АЖ.-1975.-Т. 1 .-№5-С.7-9.

[20] Zwicky F. On the masses of nebulae and of clusters of nebulae //Astrophysical Journal-1937.—V.86.-P.217-246.

[21] Tucker R. W., Wang C. Dark matter gravitational interactions // Class. Quantum Grav.-1998.-V.15.-P.933-954.

[22] Weidinger Michael, Moeller Palle, Fynbo Johan P. U. The Lyman-alpha glow of gas falling into the dark matter halo of a z—3 galaxy 11 Nature.-2004.-V.430.-P.999-1001.

[23] Babourova О. V., Frolov B. N., Portnov Yu. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime // Gravitation and Cosmology.-2005.-V. 11 .-№4(44).-P.310-312.

[24] Chakraborty S., Bandyopadhyay T. Collapse dynamics of a star of dark matter and dark energy // Gravitation and Cosmology.-2010.-V. 16-№2(62).-P. 151-159.

[25] Вейлъ Г. Пространство, время, материя. Лекции по общей теории относительности.-М.: "Янус 1996.-472 с.

[26] Картан Э. Об обобщении понятия римановой кривизны и о пространствах с кручением // В сб. [1].-С.535-537.

[27] Схоутен И. А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. T.l.-M.-Л.: ГОНТИ, 1939.-184 с.

[28] Trautman A. On the Einstein-Cartan equations // Bui. Acad. Pol. Sci. (Ser. sci. math., astr., phys.).-1972.-V.20.-№2.-P.185-191; №6.-P. 503-506; №10.-P.895-896; V.21.-№4.-P.345-346.

[29] Trautman A. On the structure of the Einstein-Cartan equation // In: Differential Geometry. Symposia Math. (London: Academic Press).-1973.-V.12.-P. 139-162.

[30] Hehl F. WMcCrea J. L., Mielke E. W. and Neeeman Yu. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, and Breaking of Dilaton Invariance //Phys. Rep.-1995.-V.258.-P.1-171.

[31] Портнов Ю. А. Уравнения поля в семимерном пространстве-времени.-М.: МГУП им. Ивана Федорова, 2013.-154 с.

[32] Павелкин В. Н., Панов В. Ф. Нестационарная космологическая модель с вращением в теории Эйнштейна-Картана // Известия высших учебных заведений. Физика.-1993.-№8.-С.90-94.

[33] Krechet V. G., Sadovnikov D. V. Gravitational interaction of a scalar field in an affine-metric theory of gravity //Gravitation and Cosmology.-1996.- V.2.-P.259-261.

[34] Krechet V. G., Sadovnikov D. V. Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field // Gravitation and Cosmology-1997-V.3.-P.133-140.

[35] Кречет В. Г. Космологический аспект гравитационого взаимодействия скалярного поля в аффино-метрической теории гравитации // Известия высших учебных заведений. Физика.-1998.-№5.-С.39-50.

[36] Babourova О. V., Frolov В. N. Colour-spin, dilaton-spin and hypermomentum perfect fluids as the sources of non-Riemannian cosmologies // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl. (Proc. 19th Texas Symp. on Relativistic Astrophysics and Cosmology, Paris, 1998).-2000.-V.80-P.l-9.

[37] Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect dilaton-spin fluid as a source of post-Riemannian cosmology // Gravitation and Cosmology.-1999 -V.5.-№4(20) Suppl.-P.65-72.

[38] Babourova О. V., Frolov B. N. Perfect dilaton-spin fluid as the source of non-Riemannian cosmology // В сб. [39].—1999.—C.160.

[39] Теоретические и экспериментальные проблемы общей теоии относительности и гравитации /10 Российская гравитац. конф., Владимир, 20-27 июня 1999 г. Тезисы докладов.-М.: 1999.-279 с.

[40] Baburova О. V., Frolov В. N. Color-spin and dilaton-spin perfect fluids as the sources of post-Riemannian spacetime //В сб. [41].-2002.-P.282-292.

[41] Proceedings XXVI International Workshop on Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, 25-28 June, 2002 -Protvino,-2002.-355 p.

[42] Teyssandier P., Tucker R. W. and Wang C. On an interpretation of non-Riemannian gravitation // Acta Phys. Polonica B.-1998.-V.29.-P.987-994.

[43] Puetzfeld D. A. Cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: I. Field equations and solutions //Class. Quantum Grav.-2002.-V.19.-P.3263-3280 (gr-qc/0111014).

[44] Puetzfeld D. A. Cosmological model in Weyl-Cartan spacetime: II. Magnitude-redshift relation //Class. Quantum Grav.-2002.-V.19-P.4463-4482 (gr-qc/0205052).

[45] Miritzis J. Isotropic cosmologies in Weyl geometry // Class. Quantum Grav.-2004.-V.21.-P. 3044-3056 (gr-qc/0402039).

[46] Puetzfeld D. Status of non-Riemannian cosmology // Preprint Los Alamos arXive, gr-qc 0404119 (2004).

[47] Babourova О. V., Frolov B. N., Portnov Yu. A. On inflation of dark matter with dilatation charge in Weyl-Cartan spacetime // Gravitation and Cosmology-2005.-V. 11 .-P.310-312.

[48] Portnov Ju. A. Dilatation field quanta // Gravitation and Cosmology-2006.-V.12.-P. 209-211.

[49] Babourova О. V., Frolov B. N., Kostkin R. S. Dirac's scalar field as dark energy with the frameworks of conformai theory of gravitation in Weyl-Cartan space // ArXive: 1006.4761 [gr-qc].-2010.

[50] Babourova О. V., Frolov B. N. Dark energy, Dirac's scalar field and the cosmological constant problem // ArXive: 1112.4449 [gr-qc].-2011.

[51] Бабурова О. В., Косткин Р. С., Фролов Б. Н. Проблема космологической постоянной в рамках конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана // Известия высших учебных заведений. Физика-2011.-Т.54-ДО1-С. 111-112.

[52] Babourova О. V., Frolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Gauge Field Theory for Poincar'e-Weyl Group //Phys. Rev. D-2006-V.74.-P.1-12 (gr-qc/0508088, 2005).

[53] Бабурова О. В., Жуковский В. Ч., Фролов Б. Н. Модель пространства-времени Вейля—Картана на основе калибровочного принципа //Теоретич. матем. физ.-2008.-Т.157.-№1.-С.64-78.

[54] Babourova О. VFrolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Theory of Gravitation on the Basis of the Poincar'e-Weyl Gauge Group // Gravitation and Cosmology.-2009.-V.15-№1.-P.13-15.

[55] Dirac P. A. M. Long range forces and broken symmetries // Proc. Roy. Soc. A.-1973.-V.333.-P. 403-418.

[56] Deser S. Scale Invariance and Gravitational Coupling // Annals Phys. (USA) -1970.-V.59.-P. 248-253.

[57] Babourova О. V., Frolov B. N. Dilaton matter as dark matter and evolution of the universe // Gravitation and Cosmology.-2003.-V.9-№1(33).-P.15-19.

[58] Baburova О. V., Frolov B. N. Matter with dilaton charge in Weil-Cart an space-time and evolution of the Universe // Class. Quantum Grav.-2003.-V.20.-P.1423-1442(gr-qc/0209077).

[59] Babourova О. V. Modified Friedmann-Lemaître equation for dilaton-spin dark matter in Weyl-Cartan space / / Gravitation and Cosmology.-2004.-V.10.-№l-2(37-38) .-P. 121-126.

[60] Babourova О. V. Model of the universe evolution from inflation stage up to post-Friedmann era I ! В сб. [61].-2003 -P.34-51.

[61] Babourova О. V. Space-Time Structure at Subnuclear and Cosmological Scales // Proceedings XXVI Workshop on the Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory, Protvino, July 2-4, 2003.-Protvino.-2003.-146 p.

[62] Weinberg S. The Cosmological Constant Problem // Rev. Mod. Phys.-1989 -V.61(l).-P.l-23.

[63] Peebles P. J. E., Ratra B. The Cosmological Constant and Dark Energy 11 Rev. Mod. Phys.-2003.-V.75.-P.559-606 (astro-ph/0207347v2).

[64] Padmanabhan T. Cosmological constant-the weight of the vacuum // Phys. Rep.-2003.-V.380-P. 235-320.

[65] Ishak M. Remarks on the formulation of the cosmological constant/dark energy problems // Found. Phys.-2007.-V.37(10).-P.1470-1498.

[66] Bousso R. The cosmological constant // Gen. Relat. Grav-2008-V.40(2-3) .-P.607-637.

[67] Harvey A. Dark energy and the cosmological constant: A brief introduction // Europ. J. Phys.-2009.-V.30(4).-P.877-889.

[68] Burdyuzha V. V. The cosmological constant (a modern view) // Astronomy Reports.-2009.-V.53(5) -P.381-388.

[69] Dobado A., Maroto A. L. An introduction to the dark energy problem 11 Astroph. Space Science.-2009.-V.320(l-3)-P.167-171.

[70] Alfonso-Faus A. Artificial contradiction between cosmology and particle physics: The A problem // Astroph. Space Science.-2009.-V.321(l)-P.69-72.

[71] Li M., Li X.-D., Wang S., Wang Y. Dark Energy // Comm. Theor. Phys.-2011.-V.56.-P.525-560 (astro-ph/1103.5870).

[72] Долгов А. Д., Зельдович Я. В., Сажин М. В. Космология ранней Вселеной.-М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1988.-199 с.

[73] Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва.-М.: ЛКИ, 2008.-552 с.

[74] Babourova О. V., Lipkin К. N. Cosmological term évolution in gravitational theory with scalar field in Weyl-Cartan spacetime in exterior form formalism //В сб.: Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики: Тезисы докладов Международной конференции 27 июня-3 июля 2010г., РУДН, Москва, Россия.-М.: РУДН, 2010.-С. 99.

[75] Бабурова О. В., Липкин К. Н., Фролов Б. Н. Переменный космологический член в теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана в формализме внешних форм //В сб.: "Российская летняя школа "Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математике". Российский семинар "Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии". Труды семинара, Казань-Яльчик, 6-10 сентября 2010 г.".-Казань: ООО "Фо-лиантъ 2010.-С.127.

[76] Бабурова О. В., Липкин К. И., Фролов Б. Н. Построение конформной теории гравитации в формализме внешних форм для решения проблемы космологической постоянной //В сб.: "Наука в вузах: математика, информатика, физика, образование",-М.: МПГУ, 2010-С.95-97.

[77] Babourova О. V., Lipkin К. N. Conformai theory of gravitation with scalar Dirac field in Weyl-Cartan space-time in exterior form formalism // В сб.: "14-ая Российская гравитационная конференция-Международная научная конференция по гравита-

ции, космологии и астрофизике. 4-ая Ульяновская международная школа-семинар "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии". Сборник тезисов докладов международной научной конференции Ульяновск: УлГПУ.-2011.-С.60-61.

[78] Babourova О. V., Frolov В. N., Lipkin К. N. Theory of gravitation with scalar Dirac field in exterior form formalism and the cosmological constant problem. // In: Physical Interpretations of Relativity Theory (Proceedings of International Scientific Meeting PIRT-2011, Moscow, 4-7 July, 2011). Eds. M.C. Duffy, V.O. Gladyshev, A.N. Morozov, P. Rowlands.-Moskow, 2012.-P. 43.

[79] Бабурова О. В., Липкин К. H., Фролов Б. Н. Теория гравитации со скалярным полем Дирака и проблема космологической постоянной // Известия высших учебных заведений. Физика.-2012.-Т.55.-№7.-С.113-115.

[80] Babourova О. V., Frolov В. N., Lipkin К. N. Theoty of gravity with a Dirac scalar field in the exterior form formalism and cosmological constant problem // Gravitation and Cosmology.-2012.-V. 18.4-P.225-231.

[81] Бабурова О. В., Фролов Б. H., Липкин К. Н. Космологические решения для ранней Вселенной в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дезера-Дирака // В сб.: "Фридмановские чтения: тез. докл. международ, науч. конф. (Пермь, 24-28 июня 2013 г.)".-Пермь: Пермский государственный национальный исследовательский университет.-2013.-С. 11.

[82] Babourova O.V., Frolov B.N., Lipkin K.N. Cosmological solution for the early Universe in a Cartan-Weyl space with the Deser-Dirac scalar

field // In: Physical Interpretations of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting PIRT-2013 (Moscow: 1-4 July 3013). Eds by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands.-Moskow: BMSTU, 2013-P.21-22.

[83] Frolov B.N., Babourova O.V., Lipkin K.N. Dirac's scalar field as the metric tensor component and the cosmological constant problem //В сб: Теоретическая физика: материалы Международной конференции 20-25 июля 2011 года.-М.: Изд-во МГОУ, 2012-С.29-32.

[84] Бабурова О.В., Липкин К.Н., Фролов В.Н. Космологическое решение теории гравитации со скалярным полем Дезера-Дирака для сверхранней Вселенной //В сб.: «XLVIII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники» Тезисы докладов.-М.: РУДН, 2012.-С.226.

[85] Бабурова О.В., Липкин К.Н., Фролов Б.Н. Решения для сверхранней Вселенной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Картана-Вейля // В сб.: «Труды Российской летней школы по гравитации и космологии и Международного семинара «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии», 3-7 сентября 2012 г., Казань-Яльчик.-Казань: Казанский университет, 2012.-С.68-69.

[86] Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер // Вестн. Моск. унив., сер. физ., астрон.-1963.-№6.-С.48-58.

[87] Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //В сб.: Современные проблемы гравитации/ Сборник трудов II

Советской гравитационной конференции/ Тбилиси, апрель 1965 г.Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1967.-С.270-278.

[88] Hayashi К. Gauge Theories of Massive and Massless Tensor Fields // Progr. Theor. Phys.-1968.-V.39.-P.494-515.

[89] Frolov B. N. Tetrad Palatini formalism and quadratic Lagrangians in the gravitational field theory // Acta Phys. Polon.-1978.-V.B9.-P.823-829.

[90] Ramaswamy S. and Yasskin P.B. Birkhoff theorem for an R+R2 theory of gravity with torsion // Phys. Rev. D.-1979.-V.19.-P.2264-2267.

[91] Hayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. I. General Formulation // Progr. Theor. Phys-1980. -V.64.-P.866-882.

[92] Neville D.E. Birkhoff theorem for R + R2 gravity theories with torsion 11 Phys. Rev. D.-1980.-V.21.-P.2770-2775.

[93] Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion // Nuovo Cim.-1980.-V.55B.-P.37-51.

[94] Zhang Y.Z. Approximate solutions for general Riemann-Cartan-type R + R2 theories of gravitation // Phys. Rev. D.-1983.-V.28-P.1866-1871.

[95] Obukhov Yu.N., Ponomariev V.N. and Zhytnikov V. V. Quadratic Poincare Gauge Theory of Gravity: A Comparison with the General Relativity Theory // Gen. Relat. Gravit-1989-V.21.-P.1107-1142.

[96] Gladchenko M.S., Zhytnikov V.V. Post-Newtonian effects in quadratic Poincare gauge theory of gravitation // Phys. Rev. D.-1994.-V.50. -P.5060-5071.

[97] Фроло в Б. H. Пуанкаре-калибровочная теория гравитации.-М.: МПГУ, 2003.-160 с.

[98] Frolov В. N. On Foundations of Poincar'e Gauge Theory of Gravity // Gravitation and Cosmology.-2004.-V.6.-№4(24).-P.116-120.

[99] Obukhov Yu. N. Poincar'e gauge gravity: selected topics // Los Alamos ArXiv, gr-qc/0601090, 2006.

[100] Yan M. L. The renormalizability of the general gravity theory with torsion and the spontaneous breaking of Lorentz group // Commun. Theor. Phys. (Beijing, China).-1983.-V.2.-P.1281-1288.

[101] Babourova О. V., Frolov B. N., Klimova E. A. Plane torsion waves in quadratic gravitational theories in Riemann-Cartan space //Class. Quantum Grav.-1999.-V.16.-P.1149-1162 (qr-qc/9805005).

[102] Бабурова О. В., Липкин К. Н., Фролов Б. Н., Щербань В. Н. Вариационный принцип в постримановых теориях гравитации // Известия высших учебных заведений. Физика.-2013.-Т.56.-№6.-С.103-104.

[103] Бабурова О. В., Королев М. Ю., Фролов Б. Н. Движение материи в аффинно-метрической теории гравитации // Известия высших учебных заведений. Физика.-1994.-№1.-С.76-82.

[104] Бабурова О. В., Косткин Р. С. Материя с дилатационным зарядом в пространстве Римана-Картана // Известия высших учебных заведений. Физика.-2009.-Т.52.-С.43-48.

[105] Babourova О. V., Frolov В. N. Perfect fluid and test particle with spin and dilatonic charge in a Weyl-Cartan space // Mod. Phys. Lett. A.-1998.-V. 13.-P.7-13 (gr-qc/9708009).

[106] Бабурова О. В. (руков. проекта), Косткин Р. С., Липкип К.

H., Фролов Б. Н. и др. Отчет (заключительный) по проекту № 2.1.1/11190 "Исследование моделей гравитационного взаимодействия в постримановых пространствах и их космологических следствий"аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы) ИК 02201250222.-МИГУ, 2011.

[107] Шутц Б. Геометрические методы математической физики.-М.: Мир, 1984.-304 с.

[108] Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.-М.: Бибфизмат, 1987.-302 с.

[109] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.

I.-M.: Наука, 1981.-344 с.

[110] Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии.-М.: ИЛ, 1960.-216 с.

[111] Soleng Н. Н. In: Relativity and Scientific Computing // Computer Algebra, Numerics, Visualization, (Springer, Berlin, 1996).-P.210-230.

[112] Zhytnikov V. V. GRG. Computer algebra system for differential geometry, gravity and field theory. Ver. 3.2.-Moscow, 1997.

[113] Babourova О. V., Kostkin R. S., Frolov B. N. Extension of the CARTAN package for symbolic calculations to space-time models with

Weyl-Cartan structure // Gravitation and Cosmology.-2009.-V. 15.-№4.-P.302-305.

[114] Бабурова О. В., Косткин Р. С., Фролов Б. Н. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615738 "Программный комплекс символьных вычислений на компьютере для четырехмерных и пятимерных геометрически обобщенных пространств зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 22 июня 2012 г.

[115] Weidinger Michael, Moeller Palle, Fynbo Johan P.U. The Lyman-alpha glow of gas falling into the dark matter halo of a z=3 galaxy // Nature.-2004.-V.430.-P.999-1001.

[116] Stergioulas N. Rotating stars in relativity // Living Reviews in Relativity.-2003.-V.6.-№3.

[117] Ivone F. M. Albuquerque, Carlos Perez de los Heros. Closing the Window on Strongly Interacting Dark Matter with IceCube // Phys. Rev. D.-2010.-V.81.-063510(astro-phdir0o001.1381v2).

[118] Asadov V.V. and Kechkin O.V. Dark matter origin and mass generation for Dirac particles // Gravitation and Cosmology-2009 -V.15.-№4(60).-P.295-301.

[119] Hinshaw Gary F. WMAP Cosmological Parameters Model: lcdm+sz+lens Data: wmap5 // NASA.-2008.-Retrieved 2009-05-24.

[120] Stephon Alexander, Tirthabir Biswas, Alessio Notari, and Deepak Vaid. Local Void vs Dark Energy: Confrontation with WMAP and Type la Supernovae. // Preprint IGPG-07/2-l.-2008(astro-ph/0712.0370v2).

[121] Kowalski Marek, Rubin David. Improved Cosmological Constraints from New, Old and Combined Supernova Datasets // Astrophysical Journal-2008-V.686.-P.749-778(arXiv:astro-ph/0804.4142vl).

[122] Babourova 0. V., Frolov B. N., Portnov Yu. A. On inflation of dark matter with dilatational charge in Weyl-Cartan spacetime // Gravitation and Cosmology.-2005.-V.ll.-JVM(44)-P.310-312.

[123] Tucker R. W., Wang C. Dark matter gravitational interactions // Class. Quantum Grav.-1998.-V.15.-P.933-954.

[124] Chakraborty S. and Bandyopadhyay T. Collapse dynamics of a star of dark matter and dark energy // Gravitation and Cosmology-2010-V. 16.-№2(62).-P. 151-159.

[125] Pavelkin V. N., Panov V. F., Sandakova O. V. Bianchi type VIII cosmological models with rotating dark energy E.V. Kuvshinova // Gravitation and Cosmology.-2014.-V.20.-P. 141-143.

[126] Kuvshinova E. V., Panov V. F., Sandakova O. V. Rotating nonstationary cosmological models and astrophysical observations // Gravitation and Cosmology.-2014.-V.20.-P. 138-140.

[127] Krechet V. G., FiVchenkov M. L., Shikin G. N. Nonlinear scalar and spinor fields simulating perfect fluids // Gravitation and Cosmology.-2009.-V.15-№l.-P.37-39.

[128] Saez-Gomez Diego. Oscillating universe from an inhomogeneous equation of state and coupled dark energy // Gravitation and Cosmology.-2009.-V.15.-№2(58).-P. 134-140.

[129] Minkevich A. V., Garkun A. S., Kudin V. I. Regular accelerating Universe without dark energy // Class. Quant. Grav.-2007.-V.24.-P.5835-5848(gr-qe/0706.1157).

[130] Minkevich A. V. Accelerating Universe with spacetime torsion but without dark matter and dark energy // Phys. Lett.-2009.-V.B678.-P.423-426(gr-qc /0902.2860).

[131] Tsamparlis M. Cosmological principle and torsion // Phys. Lett.-1979.-V.75A.-P.27-28.

[132] Minkevich A. V. Generalised cosmological Friedmann equations without gravitational singularity //Phys. Lett.-1980.-V.80A.-P.232-234.

fa