Геометрически нелинейный изгиб, контактное взаимодействие и износ в пакетах листовых рессор тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Потапов, Максим Леонидович

• Потапов, Максим Леонидович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Потапов, Максим Леонидович

Введение.

1. Обзор конструкций и методов расчета пакетов листовых рессор.

1.1. Конструктивная реализация листовых рессор на отечественном подвижном составе.

1.2. Методы расчета листовых рессор.

1.2.1. Метод сосредоточенной нагрузки.

1.2.2. Метод общей кривизны.

1.3. Методы анализа напряженно-деформированного состояния упругих элементов с учетом нелинейных факторов.

1.3.1. Геометрически нелинейный изгиб.

1.3.2. Контактное взаимодействие.

1.3.3. Износ поверхности.

1.4. Выводы.

2. Разработка различных подходов к расчету геометрически нелинейного изгиба балок.

2.1. Аналитический метод определения жесткости и прогиба конца консольной балки в зависимости от приложенной нагрузки.

2.1.1. Получение основных аналитических зависимостей.

2.1.2. Применение метода для предварительного расчета рессор с прогрессивной упругой характеристикой.

2.2. Исследование итерационного подхода к использованию МКЭ для геометрически нелинейных задач механики.

2.3. Метод волнового фронта (МВФ).

2.3.1. Основные формулы конечноэлементной прогонки для статически определимой консольной балки.

2.3.2. Определение НДС статически неопределимой системы с помощью МВФ в форме метода сил.

2.4. Выводы.

3. Решение контактной задачи для пакета листов с учетом износа.

3.1. Анализ нелинейных факторов и построение математической модели листовой рессоры.

3.2. Контактное взаимодействие листов в пакете.

3.2.1. Глобальный подход к решению контактной задачи.

3.2.2. Поэлементный подход.

3.2.3. Метод фиктивных внедрений (МФВ).

3.3. Износ поверхности.

3.3.1. Статистическая модель изнашивания.

3.3.2. Физическая модель изнашивания.

3.4. Выводы.

4. Программный комплекс ResMod для расчета моделей листовых рессор.

4.1. Алгоритм расчета.

4.1.1. Автопилот.

4.2. Программная реализация.

5. Математическое моделирование НДС листовых рессор и сопоставление его результатов с экспериментальными данными.

5.1. Исследование зависимости распределения нормальных напряжений в листах рессоры и ее прогиба от величины нагрузки, коэффициента трения и формы рессоры.

5.1.1. Поляризационно-оптическое моделирование.

5.1.2. Математическое моделирование.

5.1.3. Анализ результатов моделирования. Сравнение поляризационно-оптического и математического экспериментов.

5.2. Исследование зависимости прогиба и напряжений в коренном листе рессоры, подвергшейся изнашиванию, от величины приложенной нагрузки.

5.2.1. Натурный эксперимент.

5.2.2. Математическое моделирование.

5.2.3. Сравнительный анализ результатов математического и натурного экспериментов.

5.3. Исследование зависимости распределения контактных давлений и износа поверхности листов от времени эксплуатации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрически нелинейный изгиб, контактное взаимодействие и износ в пакетах листовых рессор»

Современное развитие техники, в том числе транспортного машиностроения, выдвигает новые, более жесткие требования к конструкциям машин. Одним из важнейших требований к подвижному составу является уменьшение жесткости подвески экипажей. С одной стороны это ведет к повышению плавности и комфорта движения, что способствует увеличению потребительской стоимости транспортных средств и конкурентоспособности на рынке, а с другой — уменьшает воздействие экипажа на путь, принося в масштабах государства ощутимый экономический эффект.

Понижение жесткости возможно только за счет увеличения суммарного вертикального прогиба подвески [13, 28]; на современных экипажах он достигает 250.300 мм. Одновременно имеется тенденция к снижению линейных размеров упругих элементов подвески. При этом зачастую упругая характеристика рессорного подвешивания, т. е. зависимость прогиба от приложенной нагрузки, становится нелинейной. С другой стороны, для поддержания постоянных динамических характеристик она и должна быть нелинейной, обеспечивая при изменении нагрузки постоянную частоту колебаний экипажа путем изменения жесткости элементов рессорного подвешивания [30, 57].

В зависимости от рабочей среды и материала упругие элементы подразделяются на стальные, пластмассовые, пневматические, резиновые и пенополиуретановые [45]. Резина, как правило, нагружается на сдвиг, а пенополиуретан на сжатие; перемещения в этих элементах невелики, и они, в основном, представляют одну из ступеней рессорного подвешивания, выполняющую виброзащитную функцию. Пневматические рессоры имеют достаточно сложную конструкцию и, к тому же, требуют постоянных энергозатрат при эксплуатации.

Таким образом, по-прежнему велика, и даже возрастает актуальность механических систем рессорного подвешивания, выполненных из металлов, пластмасс или композитов, нагруженных в основном на изгиб и/или на кручение, и обеспечивающих прогрессивную упругую характеристику, большие перемещения в вертикальном направлении, стабилизацию в горизонтальной плоскости и, желательно, регулируемое или контролируемое демпфирование.

Однако прогресс в этой области сдерживается отсутствием приемлемых расчетных методов, ориентированных именно на данную специфику нелинейных упруго-диссипативных систем.

Применяемые до сих пор аналитические и полуаналитические методы зачастую предполагают слишком большие допущения и рассматривают лишь фиксированные конструктивные решения. (Возможно, этим объясняется столь долгая жизнь многолистовой рессоры в форме балки равного сопротивления, разгибающейся под максимальной нагрузкой до прямолинейной.)

Универсальные расчетные пакеты на базе МКЭ также не справляются с задачей, т. к. большие перемещения по нелинейному закону

С ^ I* V/ с/ требуют гигантскои вычислительной работы, приводящей с одной стороны к неоправданно большим затратам ресурсов ЭВМ (объем ОЗУ, машинное время), а с другой — к накоплению погрешностей, в т. ч. погрешности вычислений.

Подавляющее большинство этих программных пакетов, так же как и аналитические методы, практически не способны учесть такие распространенные при работе элементов с большими относительными перемещениями (и, как правило, определяющие их функционирование) факторы, как контакт, трение, износ.

Поэтому конструкторы вынуждены прибегать к небольшому набору бесконтактных упругих элементов (пружины, торсионы), которые можно легко рассчитать с помощью элементарных формул сопротивления материалов. Несмотря на наличие определенных преимуществ (простота расчета, отсутствие износа) они имеют и ряд недостатков, таких как необходимость введения дополнительных конструктивных элементов (стабилизаторы, демпферы), большая конструктивная высота (для пружин), сложность создания прогрессивной упругой характеристики. Не представляется возможным также при проектировании подвески использовать особенности конструкции экипажа.

Таким образом, отсутствие приемлемых расчетных методов для контактных задач с большими относительными перемещениями элементов ведет к деградации, примитивизации используемых схем рессорного подвешивания с одной стороны, а с другой стороны, в тех случаях, когда выбор все же сделан в пользу нетрадиционной конструкции рессоры, требует огромной работы по экспериментальному исследованию ее напряженно-деформированного состояния.

Среди различных конструктивных схем механических систем рессорного подвешивания выделяется весьма обширный класс систем балок, нагруженных преимущественно на изгиб (в меньшей мере на растяжение и сдвиг). Они носят название листовых рессор. Как правило, их характеристики не изменяются по ширине, поэтому при их рассмотрении можно ограничиться плоской расчетной схемой. Кроме того элементы системы, "листы", как правило, имеют вид консольных балок, или система обладает плоскостью симметрии, что при разрезании вдоль нее снова дает набор консольных балок.

Таким образом, расчетная схема листовой рессоры представляет собой систему контактирующих плоских консольных балок, обладающих нелинейной упругой характеристикой за счет больших относительных перемещений их концов. Каждая из таких балок статически определима, но система в целом многократно статически неопределима, т. к. неизвестен закон распределения контактных реакций между листами.

Целью диссертационной работы является создание комплекса расчетных методов для широкого спектра конструктивных реализаций листовых рессор и других систем консольных балок, нагруженных преимущественно на изгиб (пакетов листов), учитывающих их нелинейную упругую характеристику, контактное взаимодействие и изнашивание; а также разработка алгоритма и написание прикладного программного продукта для исследования их функциональных параметров и напряженно-деформированного состояния на любой стадии изнашивания.

Для достижения названных целей было необходимо решить следующие задачи:

1. Определить класс решаемых задач, его ограничения и допущения. Выяснить применимость к нему тех или иных подходов (аналитических, универсальных численных или специализированных);

2. Выбрать оптимальные, а при их отсутствии разработать новые методы учета нелинейности при изгибе, контакте и износе листов рессоры или системы плоских балок;

3. Разработать математическую модель листовой рессоры, а также методику и алгоритм ее расчета при совместном действии указанных нелинейных факторов;

4. Создать прикладной программный пакет для исследования упругой характеристики, напряженно-деформированного состояния и износа листовой рессоры;

5. Показать применение данного пакета для решения наиболее сложных задач исследования напряженно-деформированного состояния и функциональных параметров листовых рессор.

В результате проведенной работы были получены следующие научные результаты:

1. Исследованы варианты итерационных алгоритмов для расчета нелинейных объектов методом конечных элементов. Показано родство ряда ранее известных методов и некоторых вновь предложенных как разновидностей единого подхода. Для геометрически нелинейных стержневых систем выведена матрица изменения жесткости при изменении формы системы.

2. Получены простые, но весьма точные на области определения нелинейные формулы зависимости жесткости, энергоемкости и прогиба конца консольной балки от приложенной нагрузки и разработана методика проектировочного расчета рессор, имеющих прогрессивную упругую характеристику за счет естественной геометрической нелинейности.

3. Разработан метод волнового фронта (конечно-элементной прогонки) и показано его применение для решения широкого диапазона задач от нелинейного изгиба консольных балок до расчета произвольных статически неопределимых плоских стержневых систем в форме метода сил.

4. При решении задачи о контактном взаимодействии листов рессоры применен метод фиктивных внедрений (МФВ), базирующийся на методике определения контактных реакций, предложенной проф. В. И. Сакало. Для повышения быстродействия в алгоритм метода введен так называемый автопилот, работающий на грани расхождения итерационной последовательности.

5. Предложена оригинальная методика определения износа поверхности листов на основе статистической модели нагруже-ния с учетом истории нагружения.

6. Разработан алгоритм расчета функциональных параметров, напряженно-деформированного состояния и износа листовых рессор с учетом совместного действия сложных нелинейных явлений, таких как: геометрическая нелинейность при изгибе листов; неопределенность площадки контакта между двумя листами; зависимость напряженно-деформированного состояния от истории нагружения; наличие износа, ведущего к полному изменению геометрии контакта.

7. На основе указанного алгоритма на языке Delphi для Windows написана прикладная расчетная система ResMod, позволяющая моделировать известные и проектировать новые конструкции листовых рессор. Система имеет современный пользовательский интерфейс и обладает широкими возможностями настройки параметров модели и режимов нагружения, графического и цифрового отображения данных в процессе расчета.

8. В качестве примера использования программы проведено исследование зависимости распределения нормальных напряжений в листах рессоры и ее прогиба от величины нагрузки, коэффициента трения и формы рессоры, подтвержденное поля-ризационно-оптическим моделированием; исследование зависимости стрелы прогиба и напряжений в коренном листе рессоры от величины нагрузки для частично изношенной рессоры, подтвержденное натурным экспериментом; исследование зависимости распределения контактных усилий между листами рессоры и степени износа их поверхности от времени эксплуатации (числа циклов нагружения).

Практическое значение и применение могут иметь следующие результаты работы:

1. Разработанная автоматизированная система исследования, расчета и проектирования упругих элементов, работающих на изгиб, в первую очередь листовых рессор, позволяет повысить конструктивное разнообразие и эксплуатационные качества систем рессорного подвешивания экипажей, способствуя тем самым прогрессу в данной области.

2. Методика определения жесткости, энергоемкости и прогиба конца консольной балки под действием заданной нагрузки позволяет легко определять характерные размеры и параметры упругих элементов, работающих на изгиб в нелинейной области больших перемещений, тем самым значительно облегчая задачу конструирования рессор, имеющих прогрессивную упругую характеристику за счет естественной геометрической нелинейности.

3. Метод волнового фронта, кроме использования в данной специализированной системе расчета листовых рессор, может быть рекомендован для применения при расчете произвольных статически неопределимых плоских стержневых систем методом сил в качестве альтернативного способа определения коэффициентов податливости.

На защиту выносится:

1. Исследование итерационных алгоритмов для расчета нелинейных объектов методом конечных элементов. Матрица изменения жесткости при изменении формы системы для геометрически нелинейных стержневых систем;

2. Нелинейные формулы зависимости жесткости, энергоемкости и прогиба конца консольной балки от приложенной нагрузки и методика проектировочного расчета рессор, имеющих прогрессивную упругую характеристику за счет естественной геометрической нелинейности;

3. Метод волнового фронта для решения задач нелинейного изгиба плоских балок;

4. Метод фиктивных внедрений для определения контактных реакций между объектами;

5. Методика определения износа поверхности листов рессоры на основе статистической модели нагружения с учетом истории нагружения;

6. Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и износа листовых рессор, получаемых в результате совместного воздействия указанных нелинейных факторов;

7. Автоматизированная система исследования, расчета и проектирования листовых рессор, реализованная в программном комплексе ЯезМос!;

8. Результаты исследования НДС и функциональных параметров листовых рессор с помощью программного комплекса ЯезМос!, подтвержденные экспериментально.

Работа изложена в пяти главах.

В главе 1 приведен краткий обзор конструктивных реализаций листовых рессор на отечественном подвижном составе железных дорог, стандартных методов расчета листовых рессор, а также методов анализа различных нелинейных факторов, имеющих место при нагружении пакета листов на изгиб.

В главе 2 рассматриваются различные подходы к расчету геометрически нелинейного изгиба балок, в том числе: полуэмпирический метод определения жесткости и прогиба конца консольной балки в зависимости от приложенной нагрузки, итерационный алгоритм использования МКЭ для геометрически нелинейных задач механики и специализированный метод волнового фронта (МВФ).

В главе 3 построена математическая модель и изложено решение контактной задачи для пакета листов с помощью метода фиктивных внедрений (МФВ) с учетом изнашивания листов на основе гипотезы о пропорциональности износа работе сил трения и истории нагружения на основе статистической модели.

В главе 4 описан алгоритм расчета и программная реализация автоматизированной системы ЛевМос! для расчета моделей листовых рессор.

В пятой главе приведены результаты математического моделирования НДС и функциональных параметров листовых рессор в сопоставлении с результатами поляризационно-оптического моделирования и натурного эксперимента.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Потапов, Максим Леонидович

Результаты исследования зависимости распределения нормальных напряжений в листах рессоры и ее прогиба от величины нагрузки, коэффициента трения и формы рессоры подтверждены серией экспериментов по поляризационно-оптическому моделированию линейной и эллиптической листовых рессор.

Изменение стрелы (прогиба) под статической рабочей нагрузкой (нагрузка от брутто) для 6-листовой вагонной рессоры, побывавшей в эксплуатации, было смоделировано в результате расчета изнашивания рессоры. Затем результаты математического моделирования зависимости прогиба и напряжений в коренном листе рессоры от величины статической нагрузки были сопоставлены с результатами натурного эксперимента и с аналогичными расчетными данными, но полученными для неизношенной модели.

Испытания на износ представляют собой весьма дорогостоящую и трудоемкую задачу, выходящую за рамки данной работы. Однако, некоторые качественные и количественные данные, полученные в результате исследования зависимости распределения контактных давлений и износа поверхностей листов от времени эксплуатации (числа циклов нагружения) в целом соответствуют сведениям, полученным из литературных источников [7, 28] .

5.1. Исследование зависимости распределения нормальных напряжений в листах рессоры и ее прогиба от величины нагрузки, коэффициента трения и формы рессоры

Для проведения исследования были использованы две модели четвертных рессор, т. е. таких пакетов листов, один конец которых жестко заделан, а к другому приложена сосредоточенная нагрузка. Параметры моделей приведены в таблице 6.

Заключение

В результате проведенного исследования различных подходов к анализу геометрически нелинейного изгиба, контактного взаимодействия и изнашивания систем плоских консольных балок (пакетов листов) разработана общая методика и алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и функциональных параметров листовых рессор на основе комплекса методов, методик и алгоритмов, в число которых входят предложенные автором:

- метод волнового фронта (МВФ) для решения задач нелинейного изгиба консольных балок;

- метод фиктивных внедрений (МФВ) для определения контактных реакций между листами;

- методика определения износа поверхности листов с учетом истории нагружения;

- алгоритм управления контактной итерационной процедурой и циклом износа (автопилот).

На основе указанной методики на языке Delphi для Windows написана прикладная расчетная система ResMod, позволяющая моделировать известные и проектировать новые конструкции листовых рессор. Система имеет современный пользовательский интерфейс и обладает широкими возможностями настройки параметров модели и режимов нагружения, графического и цифрового отображения данных в процессе расчета.

Дополнительно к основной методике получены нелинейные формулы, дающие зависимость жесткости, энергоемкости и прогиба конца консольной балки от приложенной нагрузки в явном виде, что позволило разработать методику предварительного проектировочного расчета рессор, имеющих прогрессивную упругую характеристику за счет естественной геометрической нелинейности. Эта методика позволяет легко определять характерные размеры и параметры упругих элементов, работающих на изгиб в области больших перемещений, тем самым значительно облегчая задачу конструирования таких рессор.

Достоверность результатов, получаемых в результате расчета по указанным методикам подтверждена для геометрически нелинейного изгиба расчетом по точным формулам; для контактной задачи — данными проведенных поляризационно-оптического моделирования и натурного эксперимента. Качественные результаты моделирования процесса изнашивания также подтверждаются сведениями, полученными из литературных источников. Количественные результаты могут быть уточнены после проведения дополнительных исследований зависимости коэффициента интенсивности изнашивания от различных факторов, что не входит в рамки данной работы.

В качестве примера использования расчетной методики и программного комплекса проведены исследования зависимости стрелы прогиба и распределения напряжений от различных факторов для новых и подвергшихся изнашиванию рессор, а также проиллюстрирован процесс износа в диапазоне 106.9-106 циклов нагружения.

Ожидаемая практическая эффективность результатов работы, в первую очередь применения программного комплекса ЯезМос!, складывается из объективного и субъективного факторов.

Объективным фактором является облегчение процесса проектирования рессор для новых моделей экипажей от этапа определения основных конструктивных размеров рессоры до этапа полевых испытаний опытных образцов, заключающееся в сокращении времени проектирования и доводки, уменьшении необходимого числа опытных образцов, сокращении трудозатрат и т. п. Математическим моделированием могут быть заменены такие виды испытаний, как исследовательские, проводимые для изучения характеристик объекта, доводочные, производимые для оценки влияния вносимых изменений, сравнительные — испытания аналогичных по характеристикам объектов с целью сравнения их свойств. Сюда входят испытания на статическую и динамическую прочность и жесткость листовых рессор и других систем консольных балок под действием вертикальной и горизонтальной нагрузки на любой стадии износа.

Также объективным фактором является возможность использования программного комплекса в процессе эксплуатации для технического диагностирования рессорного подвешивания в системе планово-предупредительного обслуживания и ремонта подвижного состава. Для известных функции распределения нагрузки на рессору и времени эксплуатации, можно полностью рассчитать НДС системы на любой стадии изнашивания, после чего становится возможным определение положения опасных сечений по критериям усталостной прочности, линейного износа, фреттинга и т. п. Могут быть учтены также индивидуальные особенности объекта: недостатки обработки, сборки, крепления и т. п. Такая степень детализации диагностирования существенно увеличивает глубину поиска дефекта и позволяет повысить степень защищенности экипажа от отказов в системе рессорного подвешивания.

В качестве субъективного, но также немаловажного, фактора следует отметить существенное расширение диапазона конструкций, поддающихся моделированию и расчету, за счет учета большого количества нелинейных факторов. При достаточно широком использовании данного расчетного комплекса это может привести к появлению новых нетрадиционных нелинейных рессор, что в свою очередь позволит повысить эксплуатационные качества систем рессорного подвешивания экипажей, способствуя тем самым прогрессу в данной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Потапов, Максим Леонидович, 1999 год

1. Александров А. Я., Ахмедзянов М. X. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого тела. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

2. Александров В. М., Ромалис Б. JI. Контактные задачи в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1986. — 175 с.

3. Беляев Н. М. Труды по теории упругости и пластичности. — М.: ГТТИ, 1957. — 632 с.

4. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. 335 с.

5. Виноградов В.Н., Сорокин Г.М. Износостойкость сталей и сплавов.- М.: Нефть и газ, 1994. — 417 с.

6. Власенко Ю. Е., Кузьменко В. И., Фень Г. А. Контактная задача для упругопластического многослойного пакета с учетом отставания слоев. — Механика твердого тела, № 5, 1978, С. 67-73.

7. Глух Б. А., Бидерман В. JI. Рессоры листовые. Энциклопедический справочник "Машиностроение". — М.: Машгиз, 1948. — т. 1, 826 с.

8. Горонович П. И. Теоретические и экспериментальные исследования вертикальной динамики тепловоза ТЭ7 с различными вариантами рессорного подвешивания. — Коломна: ВНИТИ, 1960. — 127 с.

9. Гриб В.В. Расчет ресурса и износа узлов трения численными методами -В кн.:Теория и практика расчетов деталей машин на износ. -М.: Наука, 1983. С. 106-110.

10. Ю.Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. — М.: Высшая школа, 1986. — 607 с.

11. П.Демкин Н. Б. Фактическая площадь касания твердых тел. Изд-во АН СССР, 1962, — 111 с.

12. Дроздов Ю.Н. Определение интенсивности изнашивания деталей машин. Вестник машиностроения, № 6, 1980, - С. 12-15.

13. И.Евстратов А. С. Экипажные части тепловозов. — М.: Машиностроение, 1987. — 136 с.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975, — 541 с.

15. Кальянов В. И. Вопросы демпфирования вертикальных колебаний локомотивов. — Вестник ВНИИЖТ. Вып. 574. М., 1977. С. 4-27.

16. Канту M. Delphi 2 для Windows 95/NT. Полный курс. В 2 т. — М.: Малип, 1997. — 624 с.

17. Ковальский Б. С. Контактная задача в инженерной практике. — Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1960, № 6, С. 81-97.

18. Когаев В.П., Дроздов Ю.Н. Прочность и износостойкость деталей машин. М.: Наука, 1990. — 240 с.

19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. литературы, 1978. 832 с.

20. Кравчук А. С., Васильев В. А. Вариационный метод в контактной задаче теории упругости. — Упругость и неупругость, 1978, № 5, -С. 23-31.

21. Крагельский И. В. Трение и износ. — М.: Машиностроение, 1962. — 383 с.

22. Крагельский И.В., Комбалов B.C., Логинов А.Р., Сачек Б.Я. О единстве критериев изнашивания. — В кн.: Расчетно-экспериментальные методы оценки трения и износа. М.: Наука, 1980. С. 13-16.

23. Кузнецов А. В., Завт Б. С., Кост Е. JI. Современные конструкции ходовых частей пассажирских и грузовых вагонов. —М.: ЦНИИТ-ЭИтяжмаш, 1979. — 65 с.

24. Кузьменко А. Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента. — Тула: ТПИ, 1980. —100 с.

25. Куликов Ю. В., Моссаковский В. И. Численный метод решения контактной задачи теории упругости с неизвестной областью соприкасания тел. — В кн.: Смешанные задачи мех. деф. тела. Тез. докл. на II Всесоюзн. конф., Днепропетровск: ДГУ, 1981, С. 36.

26. Лининып O.A., Рудзит Я.А. Расчет износа плоских поверхностей трения методами теории случайных функций -В кн.:Теория и практика расчетов деталей машин на износ. — М.: Наука, 1983. — С. 16-21.

27. Мелещенко Н. Г. Конечно-элементный анализ явлений в плоском контакте упругих шероховатых тел под действием нормальных и касательных нагрузок. — Л.: ЦНИДИ, 1977. — 18 с.

28. Механическая часть тягового подвижного состава. Под ред. И. В. Бирюкова. — М.: Транспорт, 1992. — 440 с.

29. Морозов А. Н. Тележки пассажирских вагонов отечественного производства. — М.: Машгиз, 1960. — 242 с.

30. Пархиловский И. Г. Автомобильные листовые рессоры. — М.: Машгиз, 1954. — 256 с.

31. Пархиловский И. Г. Определение статической стрелы прогиба рессоры. — Автомобильная промышленность, №№ 9-10, 1946. — С. 17-24.

32. Паутов А. Н., Солуянова О. И. Метод фиктивных жесткостей в численном решении контактных задач. — В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький: Изд. ГГУ, 1978, — С. 49-54.

33. Пенин О. М. Контактные задачи для полосы переменной высоты. — В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения, М.: НИИМАШ, 1969. С. 34-41.

34. Первак В. Д. Расчет сложных составных систем с использованием метода групповой релаксации. — Прочность конструкций летательных аппаратов, № 5, 1978, С. 66-70.

35. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. — Л.: Судостроение, 1977. — 279 с.

36. Потапов М. Л. К вопросу о проектировании рессор с прогрессивной упругой характеристикой. — В сб.: Динамика и прочность транспортных машин, Брянск, БГТУ, 1998, С. 40-47.

37. Потапов М. Л. Метод волнового фронта в расчетах стержневых систем. — В сб.: Динамика и прочность транспортных машин, Брянск, БГТУ, 1998, С. 92-99.

38. Потапов М. Л. Применение МКЭ для расчета геометрически нелинейных стержневых систем. — В сб.: Динамика и прочность транспортных машин, Брянск, БГТУ, 1998, С. 100-107.

39. Потапов М. Л., Сакало В. И. Решение контактной задачи для пакета листовых рессор. — Деп. в ВИНИТИ

40. Прудникова С. Е., Сакало В. И. Применение МЧОС для решения плоских контактных задач с большими перемещениями. — В сб.: Динамика и прочность транспортных машин, Брянск, БИТМ, 1993, С.148-152.

41. Развитие теории контактных задач в СССР. — М.: Наука, 1976. — 492 с.

42. Разработка методов решения нелинейных задач строительной механики с применением МКЭ. Отчет / Брянский институт транспортного машиностроения. Руковод. темы Сакало В. И. — № ГР 80011294. — Брянск, 1982. — 92 с.

43. Разработка способов повышения надежности узлов ходовой части автомобиля BA3-3776. Отчет / Брянский институт транспортного машиностроения. Руковод. темы Сакало В. И. — Брянск, 1992. — 65 с.

44. Раймпель Й. Шасси автомобиля: Конструкции подвесок. — М.: Машиностроение, 1989. — 328 с.

45. Рыжов Э. В., Сакало В. И., Подлеснов Ю. А. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов. — Машиностроение, № 6, 1980, С. 64-69.

46. Рыжов Э. В., Сакало В. И., Подлеснов Ю. А. Решение плоских контактных задач с учетом трения релаксационным методом конечных элементов. — В сб.: Механика и физика контактного взаимодействия, Калинин, 1979, С. 3-14.

47. Савоськин А. Н. Рессорное подвешивание электровозов. — М.: Трансжелдориздат, 1962. — 148 с.

48. Сакало В. И. Решение прикладных контактных задач подвижного состава железных дорог методом конечных элементов. — Диссертация . доктора тех. наук, Брянск, БИТМ, 1985. — 285 с.

49. Сакало В. И. и др. Программный комплекс для решения нелинейных задач для пакета листов. — В сб.: Динамика и прочность транспортных машин, Брянск, БИТМ, 1993, С.32-43.

50. Сакало В. И., Драчева JI. А. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений. — Брянск: БИТМ, 1988. — 72 с.

51. Сакало В. И., Подлеснов Ю. А. Решение задач о контактной жесткости релаксационным методом. — В кн.: Технология машиностроения, Тула: ТПИ, 1977, С. 106-109.

52. Самко А. С. О причинах поломок рессор самосвалов. — Автомобильная и тракторная промышленность, № 1, 1953.

53. Сахаров А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений. — Сопротивление материалов и теориясооружений, № 24, 1974, с 147-156.

54. Серенсен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. — М.: Машиностроение, 1975. — 488 с.

55. Стрельчук Н. А., Хесин Г. Л. и др. Метод фотоупругости. В 3 т. — М.: Стройиздат, 1975. — т. 1, 640 с.

56. Тарутин А. А. Приближенный метод проектирования рессор прогрессивно-переменной жесткости. — НАТИ, вып. 46, Машгиз, 1947. С. 47-52.

57. Тележки железнодорожных вагонов. Под ред. Л. А. Шадура. — М.: ГОСИНТИ, 1958. — 426 с.

58. Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. — М.: Мир, 1976. —672 с.

59. Тимошенко С. П., Гудьер Д. Теория упругости. — М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. литературы, 1975. — 575 с.

60. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. литературы, 1986. — 512 с.

61. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. — М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. литературы, 1975. т. 1, 832 с.

62. Флайшер Г. К связи между трением и износом. — В кн.: Контактное взаимодействие твердых тел и расчет сил трения и износа, М.: Наука, 1971. С. 42-49.

63. Фридман В. М., Чернина В. С. Итерационный процесс для решения конечномерной контактной задачи. — ВМ и МФ, № 1, т. 7, 1967, -С. 160-163.

64. Фрохт М. М. Фотоупругость, т. 1. — М.-Л.: ОГИЗ, 1948. — 432 с.

65. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.— 270 с.

66. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума либо минимума, или решениеизопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение 1: Об упругих кривых. — M.-JL: Гостехиздат, 1934, -С. 447-572.

67. Archard J. F. Elastic deformation and the laws of friction. — Proc. Royal Society, London, 1953, p. 190-205.

68. Banerjee A. K., Block-diagonal equations for multibody elastodynamics with geometric stiffness and constraints. — Journal of Guidance, Control, and Dynamics, November-December, 1993, p. 1092-1100.

69. Banerjee A. K., Nagarajan S., Efficient simulation of large overall motion of beams undergoing large deflection. — Multibody System Dynamics, № 1, Vol. 1, 1997, p. 113-126.

70. Barten H. J. On the deflection of a cantilever beam — Quarterly of Applied Mathematics vol. 2, 1944, p. 168-171, vol. 3, 1945, p. 275-276.

71. Bisshopp К. E. Drucker D. C. Large deflection of cantilever beams — Quarterly of Applied Mathematics vol. 3, 1945, p. 272-275.

72. Born M. Untersuchungen über der Stabiiitat der elastischen Linie in Ebene und Raum unter verschiedenen Grenzbedingungen. — Dissertation, Gottingen, Preisschrift, 1906.

73. Bruwel F. Т., Strang C. D. Metalic wear. — Proc. Royal Society, London, 1952, p. 7.

74. Chan S. K., Tuba J. S. A finite element method for contact problems of solid bodies. Part 1. Theory and Validation. — Int. J. Mech. Sei., vol. 13, 1971, p. 615-627.

75. Chudzikiewich A. Evolution of the simulation study of a railway wheel profile through wear. — 2-nd mini conf. on contact mechanics and wear, Budapest, 1996, p 207-213.

76. Crisfield M. A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. — Chichester, 1991, 212 p.

77. Dias J. M. P., Pereira M. S. Sensitivity analysis of rigid-flexible multibody systems. — Multibody System Dynamics, № 3, Vol. 1, 1997, p. 301-307.

78. Eisley J. G. Nonlinear deformation of elastic beams, rings and strings.

79. Applied Mechanics Reviews, № 6, Vol. 16, 1963, p. 677-680.

80. Francavilla A., Zienkiewicz O. A note on numerical computation of elastic contact problem. — Int. J. for Numerical Meth. in Eng., vol. 9, 1975, p. 913-924.

81. Fleischer D. Energetische Methode der Bestimmung des Versleisses. — Schmierungstechnik, 4, 1973, p. 269-274.

82. Fredriksson B. Finite element solution of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems. — Comp. and Struct., vol. 6, 1976, p. 281-290.

83. Frisch-Fay R. Flexible bars. — London: Butterworth and Co. Ltd., 1962, 220 p.

84. Gaertner R. Resolution de problemes de contact avec frottement en utilisant des variables nodales appropriecs. — Int. Symp. Innovative Num. Anal, in Applied Eng. Sci., Versailles, 1977, s. 1, p 2/61-2/64.

85. Greenwood J.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces.

86. Proc. Roy. Soc., Lond., Ser. A, V. 295, 1966. p. 300-319.

87. Herrman L.R. Finite element analysis of contact problems. — Int. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE., V. 104, № 5, 1978, p. 1043-1057.

88. Herts H. Gesammele Werke. — Leipzig: 1985, Bd. 1, S. 155-196.

89. Holm R. Electric Contracts. — Stockholm: Gebers Verlag, 1947.

90. Jahanmir S., Suh N.P. Surface topography and integrity effects on sliding wear. — Wear, V. 44, N 1, 1977, p. 87-99.

91. Kalker J. J., Chudzikiewich A. Calculation of the evolution of the form of a railway wheel profile through wear // International Series of

92. Numerical Mathematics, p.71-84 — Vol. 101, 1991.

93. Kirchhoff G. R. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes — Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1859, Bd 56, Heft 4, SS. 285-313.

94. Kratochvil J. Solution of contact problems for finite element method.

95. Stavebn. cas., V. 24, № 5, 1976, p. 380-389.

96. Krettek O., Szabo A., Bekefl E., Zobory I. On identification of wear coefficient used in the dissipated energy based wear hypothesis . — 2nd Mini Conf. On Contact Mechanics And Wear, Budapest, 1996, p. 260-265.

97. Kruszewski J., Gawronski W., Wittbrodt E. Metoda sztywnych elementow skonczonych (Rigid Finite Element Method). — Warszawa: Arkady, 1975, 68 p.

98. Lagrange J.L. Sur la force des ressorts plies. — Mémoires de l'Academie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. 25, 1771, p. 167-203.

99. Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. — Cambridge, 1920, 624 p.

100. Mazurkiewicz M., Ostachowicz W. Theory of finite element mehod for elastic contact problems of solid bodies. — Comp. Struct., V. 17, № 1, 1983, p. 51-59.

101. Meijaard J. P. Validation of flexible beam elements in dynamics programs. — Nonlinear Dynamics, № 9, 1996, p. 21-36.

102. Pedersen N. L. On the formulation of flexible multibody systems with constant mass matrices. — Multibody System Dynamics, № 3, Vol. 1, 1997, p. 227-231.

103. Plana G. A. A. Equation de la courbe formee par une lame elastique.

104. Accademia delle scienze di Torino, Mémoires de l'Academie royale des Sciences du Turin, t. 18, part 2, 1809-1810, p. 123-155.

105. Rohde F. V. Large deflection of a cantilever beam with uniformlydistributed load — Quarterly of Applied Mathematics, vol. 11, 1953, p. 337-338.

106. Sachdeva T.D., Ramakrishan C.V. A finite element solution for the two-dimensionnal contact problems with friction// Int. J. Numer. Meth. Eng., V. 17, 1981, p. 185-192.

107. Simo J. C., Vu-Quoc L. On the dynamics of flexible beams under large overall motions — the plane case. — Journal of Applied Mechanics, 53, 1986, p. 849-863.

108. Suh N.P., Sridharan P. Relationship between the coefficient of friction and the wear rate of metals. — Wear, V. 34, N 3, 1975, p. 291-299.

109. Wasty T. M. A torsional spring-like beam element for the dynamic analysis of flexible multibody systems. — International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39, 1996, p. 1079-1096.