Изгиб неупругих стержней при малых деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Скоковский, Михаил Михайлович

• Скоковский, Михаил Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скоковский, Михаил Михайлович

Введение

Глава 1. Аналитическое определение прогибов упругопластических балок.

1.1. Основы прикладной теории упругопластического изгиба.

1.2. Изгиб балки из материала с линейным упрочнением.

1.3. Балка с произвольным расположением поперечной нагрузки.

1.4. Изгиб балки из материала с нелинейным упрочнением.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Приближенное определение перемещений упругопластических балок.

2.1. Метод упругих решений.

2.2. Балка из материала с линейным упрочнением.

2.3. Балка из материала с нелинейным упрочнением.

2.4. Изгиб балки, нагруженной распределенной нагрузкой.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Применение метода упругих решений к расчету статически неопределимых балок.

3.1. Изгиб статически неопределимой балки.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Расчет хрупких балок.

4.1. Изгиб балки из материала с линейным разупрочнением.

4.2. Балка из материала с различным сопротивлением растяжению и сжатию.

Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изгиб неупругих стержней при малых деформациях»

Решение разнообразных вопросов, возникающих при проектировании машин и сооружений, тесно связано с механикой деформируемого твердого тела. Одной из дисциплин, имеющей важные приложения в технике и физике, является теория пластичности. Математический аппарат и гипотезы теории пластичности позволяют изучать широкий комплекс вопросов механики деформируемого твердого тела. Ставя своей главной задачей средствами математического анализа исследовать и рассчитывать происходящие под действием приложенной нагрузки изменения формы и механических свойств тела в пластическом состоянии, теория пластичности открывает перспективы более полного использования ресурсов прочности тел при снижении их металлоемкости.

При проектировании различных машин довольно часто приходится рассматривать деформацию деталей за пределами упругости, что позволяет получить дополнительные резервы прочности. Так, в распространенном в машиностроении методе расчета по допускаемым напряжениям за предельное состояние конструкции принимают такое, при котором напряжение в наиболее нагруженной точке детали, изготовленной из пластичного материала, достигнет предела текучести последнего. Очевидно, что в случае неоднородного напряженного состояния возникновение пластических деформаций в одной, наиболее напряженной зоне, еще не означает предельного состояния всей конструкции, и она еще может сопротивляться увеличению внешних сил. Таким образом, расчет по допускаемым напряжениям позволяет решить далеко не все вопросы, которые могут встретиться на практике. С помощью этого расчета не удается установить величину действительного запаса прочности, а также составить представление о том, как будет работать конструкция, если действующая на нее нагрузка превысит расчетную, что приводит к неэкономичным решениям при проектировании.

Предельное состояние конструкции из пластического материала определяется перемещениями, при которых нарушаются условия нормальной эксплуатации, или нагрузками, при которых конструкция перестает сопротивляться внешнему воздействию.

Теоретические основы метода предельного состояния и условия его применимости к расчету статически определимым и статически неопределимым системам впервые изложены в монографии [7]. В работе приводятся методы расчета конструкций в упругопластической стадии.

Расчет по предельному состоянию в сравнении с расчетом по допускаемым напряжениям позволяет лучше учесть особенности материалов и условия эксплуатации конструкции, поскольку в его основу положены величины предельных нагрузок. Практическое использование метода предельного состояния к расчету конструкций изложено во многих работах отечественных и зарубежных авторов [7, 11, 26, 57].

Монография [34] знакомит с теорией расчета сооружений по методу предельного состояния на основе представления о конструкции как об идеальной упругопластической системе. Указана область применения теории расчета упругопластических систем без упрочнения. Приводятся приближенные методы учета влияния поперечной силы на несущую способность конструкции. Рассмотрена задача изгиба упругопластической балки из идеальнопластического материала на упругом основании. Расчет балки на упругом основании, изгибаемой сосредоточенной нагрузкой посредине пролета, также приведен в статье [20].

Учет упрочнения в упругопластических задачах позволяет лучше отразить действительный характер работы материала, что, в свою очередь, приводит к более достоверным решениям по сравнению с теми, которые получаются при использовании идеальной диаграммы растяжения. Однако построение решения даже при простейшем линейном законе упрочнения связано с более трудоемкими вычислениями, чем в случае идеального упругопластического материала.

Многие авторы, рассматривая упругопластический изгиб балок на основе более сложных зависимостей между напряжениями и деформациями, ограничиваются нахождением предельных моментов для случая чистого изгиба. В статье [8] рассмотрен чистый изгиб упругопластических балок с применением зависимости напряжений от деформаций в виде тригонометрического ряда (ряд Фурье). По мнению автора, данный способ дает возможность аналитической аппроксимации любой диаграммы работы, как бы сложна она ни была. Найдены предельные изгибающие моменты для брусьев прямоугольного и треугольного поперечных сечений, выполненных из стали и дерева.

Изгиб балок за пределами текучести относят к простейшим задачам теории пластичности. Однако в статьях обычно рассматривается чистый и, реже, поперечный изгиб бруса прямоугольного поперечного сечения на основе идеальной упругопластической модели. Выражения предельных моментов и прогибов таких балок имеют достаточно простой вид.

Использование нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями при расчете упругопластических балок еще сильнее осложняет решение «простейших» задач неупругого изгиба. Возможность доведения решения до конца приходится окупать упрощающими предположениями относительно вида поперечного сечения балки [13, 57]. Еще большие математические трудности возникают при нахождении прогибов неупругих балкок с поперечным сечением, имеющим одну ось симметрии. Нейтральная ось таких балок не совпадает с главной, а распределение пластических зон в продольном направлении имеет более сложный вид.

Среди работ, посвященных общей теории изгиба стержней при произвольном законе для зависимости между напряжениями и деформациями, следует отметить монографию А. Надаи [25]. Для бруса, нагруженного посредине сосредоточенной силой (с поперечным сечением в виде равнобедренного треугольника) и выполненного из идеальнопластического материала, найдены соотношения, определяющие положение упругопластических зон в его продольном и поперечном сечениях. Получены значения нагрузок, определяющих состояние текучести в верхних и нижних волокнах бруса. Аналогичные зависимости получены для бруса из упрочняющегося материала с прямоугольным поперечным сечением. Приводятся экспериментальные данные, дающие хорошее подтверждение теории.

Основные вопросы теории пластичности рассмотрены A.A. Ильюшиным в известной монографии [15]. Решена задача о чистом упругопластическом изгибе бруса из несжимаемого материала при предположении, что лишь осевое напряжение отлично от нуля. Получены зависимости и уравнения, которые в принципе позволяют решать задачи теории пластичности.

Следует отметить работу по теории пластичности [40], в которой затронуты основные положения теории пластического изгиба. Приводятся основы расчета идеальных упругопластических балок для поперечных сечений, имеющих две или одну оси симметрии. Для балок, испытывающих сосредоточенную и распределенную нагрузки, определены границы упругопластических зон.

Автором монографии [26] изложены методы расчета рам с учетом пластических свойств материалов. Значительное внимание уделено статическим и кинематическим методам определения разрушающей величины постоянной нагрузки, а также общим теоремам, относящимся к предельной нагрузке, и различным критериям, позволяющим находить истинный механизм разрушения.

Рассмотрены вопросы многократного нагружения и разгрузки при простом пропорциональном изменении внешних сил и независимых изменениях каждой из сил, образующих нагрузку. Отдельная глава посвящена вопросу проектирования рам по несущей способности с минимумом их веса.

В работе [32] излагаются основы теории идеальнопластических тел. Получено уравнение прогибов двухопорной балки, нагруженной распределенной нагрузкой по всему пролету. Показано распределение касательных напряжений в поперечном сечении балки в упругопластическом состоянии.

В монографии [12] рассмотрены вопросы прикладной теории пластичности в условиях упругопластических и конечных пластических деформаций. Рассмотрены пластический косой (асимметричный) изгиб и изгиб бруса с последующей разгрузкой. Однако при этом предполагалось, что балки выполнены из идеального упругопластического материала. Указываются трудности математического анализа, возникающие при рассмотрении изгиба упругопластических балок. Приводятся экспериментальные данные, подтверждающие расположение пластических зон в продольном сечении изгибаемого бруса.

Статья [23] посвящена чистому изгибу бруса прямоугольного поперечного сечения из материала с линейным упрочнением. При этом поведение материала при нагружении, разгрузке и последующем нагружении усилием обратного знака характеризуется диаграммой, учитывающей эффект Баушингера. Показано распределение напряжений и остаточных напряжений по сечению бруса.

Наряду с различными аналитическими методами, некоторыми авторами предлагается решать упругопластические задачи с помощью графических и графоаналитических методов.

В работе [14] определяются большие упругопластические перемещения с помощью графического способа. Основанием для графического построения формы изогнутой оси является зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.

Автор работ [29, 30] предлагает использовать графо-аналитические методы для расчета на прочность и жесткость упругопластнческих конструкций. Математический аппарат этих методов основан на теории ортогональных фокусов. Определены значения изгибающего момента для случаев пластического изгиба бруса прямоугольного сечения при несимметричной диаграмме растяжения-сжатия, а также изгиба брусьев симметричного и несимметричного сечения.

В статьях [3,21,44] содержатся экспериментально-теоретические исследования работы металлических конструкций (балок, рам и ферм) в упругопластической стадии и приводится методика графо-аналитического расчета на различных этапах развития пластической деформации. Экспериментально подтверждается гипотеза плоских сечений для упругопластической стадии работы сечения, а также распределение зон текучести по высоте и длине балок.

Автор монографии [9] предлагает использовать разработанную им теорию моментов различных порядков и моментно-операционный метод к инженерным расчетам на прочность, жесткость и устойчивость. Полученные точные и приближенные решения применимы для всевозможных нагрузок и развертываются по определенным правилам, соответствующим составу конкретной нагрузки. Излагаемые методы применимы для решения различных задач, в том числе в упругопластическом состоянии.

Все больший интерес вызывает динамическое поведение упругопластнческих балок. Использование теории жесткопластического тела в задачах динамики конструкций оказалось эффективным и позволило получать ряд решений, удовлетворительно подтверждаемых опытом.

Монография [13] знакомит читателя с основными представлениями теории упругопластического изгиба балок и способами нахождения их предельных состояний. Особое внимание уделено простейшей схеме балки идеального профиля. Приведен расчет балки с учетом влияния поперечной силы на предельную нагрузку. Найдены прогибы балок (идеального и прямоугольного профиля) из упрочняющегося материала. Рассмотрены вопросы динамики упругопластнческих балок на основе идеального жесткопластического тела. В работе излагаются приближенные способы определения остаточных прогибов балок под действием кратковременных нагрузок.

Статьи [5, 6] посвящены изгибу трубы круглого сечения на двух опорах, совершающей поступательное и вращательное движения вокруг своей оси и нагруженной усилием в середине пролета. Материал трубы считается идеальнопластическим, упрочнение и эффект Баушингера не учитываются. Изменение прогиба таких балок описывается дифференциальным уравнением третьего порядка, при этом максимальный прогиб возрастает с увеличением относительной скорости вращения, которая уменьшает жесткость балки.

В силу сложности решаемых задач, в теории пластичности имеют большое значение различные приближенные методы решения. В работе [18] с помощью метода последовательных приближений определяется оптимальная форма стержня прямоугольного поперечного сечения, изгибаемого в области упругопластических деформаций, из условия минимума энергии деформации при постоянстве объема материала.

Этими же авторами [19] поставлена задача об устойчивости стержня, сжимаемого силой за пределами текучести. Для случая, когда диаграмма упрочнения материала стержня мало отличается от линейной, дано приближенное решение, и на его основе решена задача об оптимальной форме стержня, которая максимизирует критическую силу.

Деформация упругопластических балок, изгибаемых поперечной нагрузкой и выполненных из материала с линейным упрочнением, описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Решение таких уравнений находится путем параметрического интегрирования, в котором за разрешающий параметр выбирается заглубление пластической деформации в поперечном сечении изгибаемой балки.

Актуальность работы. В настоящей работе предложен вариант аналитического метода определения неупругих прогибов, а также разработан приближенный метод, основанный на методе упругих решений. С помощью этих методов изучались неупругие деформации балок, изготовленных из упрочняющихся и разупрочняющихся материалов, испытывающих различную поперечную нагрузку за пределами текучести. Сравнение первого приближения и аналитического решения показало высокую точность метода упругих решений, соотношения которого могут быть рекомендованы при проектировании конструкций.

Цель работы - определение неупругих деформаций, возникающих при изгибе различных балок, с помощью аналитического и приближенного методов, сопоставление которых позволяет оценить точность первого приближения в зависимости от функции упрочнения, вида и уровня нагрузки.

Основная идея работы заключается: в применении параметрического интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих неупругие прогибы балок [аналитическое (точное) решение в пределах выбранной модели]; в сведении изгиба неупругой балки к упругому с начальными деформациями, величина и распределение которых определяются упругим решением задачи и законом между напряжениями и деформациями за пределом текучести (приближенное решение).

Задачи исследований: разработать аналитический метод нахождения неупругих деформаций балок, исследуя их прогибы под действием возрастающей нагрузки в зависимости от выбранного упрочнения (разупрочнения) и заглубления пластической деформации; обосновать применение приближенного метода упругих решений к определению прогибов по всей длине изгибаемой балки; исследовать точность первого приближения метода упругих решений, сравнивая его с аналитическим решением в зависимости от деформации и упрочнения; обосновать возможность расчета статически неопределимых упругопластических балок на основе предлагаемого приближенного метода упругих решений.

Методы исследований. Для достижения поставленных целей используется комплекс методов исследований, включающий анализ литературных источников, экспериментальных данных, теоретическое обоснование определяющих соотношений и аналитическое нахождение неупругих деформаций с помощью прикладных математических программ.

Научные положения, выносимые на защиту: 1. Аналитическое решение задач упругопластического изгиба путем интегрирования в параметрическом виде нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих прогибы и углы поворота балок, изготовленных из линейно и нелинейно упрочняющихся (разупрочняющихся) материалов.

2. Приближенное нахождение угловых и линейных перемещений упругопластических балок, выполненных из материалов с различным упрочнением, с помощью метода упругих решений.

3. Оценка погрешности первого приближения путем сопоставления значений упругопластических деформаций, полученных с помощью аналитического и приближенного решений для разных схем нагружения упругопластических балок, и различных зависимостей между напряжениями и деформациями за пределами текучести.

4. Использование методики расчета статически неопределимых балок, испытывающих упругопластические деформации на основе приближенного метода.

Научная новизна. Использование аналитического метода и приближенного метода упругих решений для расчета неупругих балок позволяет находить их угловые и линейные перемещения по всей длине балки, что необходимо при проектировании машиностроительных конструкций, работающих за пределами текучести.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: корректностью постановок рассматриваемых прикладных задач и методов их решения; многочисленными экспериментальными подтверждениями определяющих соотношений аналитического и приближенного методов; совпадением полученных теоретических результатов в предельных и частных случаях с известными в научной литературе решениями задач; использованием апробированных математических программ при решении прикладных задач.

Практическая ценность работы заключается: в разработке аналитического и приближенного методов определения неупругих деформаций по всей длине изгибаемых балок (в т.ч. статически неопределимых); в использовании различных зависимостей между напряжениями и деформациями, позволяющих описывать работу конструкций, выполненных из реальных материалов; в определении напряженного состояния неупругих балок, необходимого при расчетах на прочность; в определении предельных нагрузок и перемещений балок, изготовленных из хрупких материалов.

Личный вклад автора состоит в разработке аналитического метода и приближенного метода упругих решений для расчета деформаций неупругих балок, апробации этих методов на решении прикладных задач с оценкой погрешности первого приближения метода упругих решений.

Реализация результатов исследований. Предполагается использование аналитического и приближенного методов для определения напряженно -деформированного состояния различных балок за пределами текучести, а также в других технических приложениях.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований докладывались и получили одобрение на IV научной конференции КРСУ, посвященной дням Славянской письменности и культуры (Бишкек, 15-16 мая 1997 г.); Международной научной конференции КТУ «Традиции и новации в культуре университетского образования» (Бишкек, 27 - 28 ноября 1997 г.); Международной научно-теоретической конференции «Проблемы и перспективы интеграции образования», посвященной 5 - летию образования КРСУ (Бишкек, 17 сентября 1998 г.); Конференции КРСУ, посвященной 200-летнему юбилею A.C. Пушкина в Кыргызстане (Бишкек, 4-5 июня 1999 г.); Международной научной конференции КТУ «Технологии и перспективы современного инженерного образования, науки и производства», посвященной 45 - летию организации Фрунзенского политехнического института - Кыргызского технического университета им. И. Раззакова (Бишкек, 7-8 октября 1999 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 60 наименований. Диссертация содержит 140 страниц основного текста, 29 рисунков, 9 таблиц и приложение.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Скоковский, Михаил Михайлович

Выводы к главе 4

1. Показана возможность использования зависимости между напряжениями и деформациями с ниспадающей ветвью для описания работы хрупких балок, изгиб которых сопровождается нелинейными взаимодействиями между берегами раскрывающихся трещин.

2. По аналогии с «пластическим шарниром» вводится понятие «хрупкого шарнира», возникающего при изгибе неупругой балки в момент исчерпания ее несущей способности. В отличие от идеальнопластического материала статическая неопределимость балки не приводит к возникновению других «хрупких шарниров» по ее длине.

3. Для рассматриваемых балок найдены значения предельных нагрузок [(4.5) и (4.28)], при которых в опасном сечении возникает «хрупкий шарнир» и имеет место потеря несущей способности.

4. С помощью аналитического метода получены прогибы хрупкой балки, выполненной из материала с разупрочнением и одинаковым сопротивлением растяжению - сжатию (4.16), а также разупрочняющейся балки, неодинаково работающей на растяжение и сжатие (4.36).

5. На основе полученных выражений построены графики прогибов неупругих балок от действующей нагрузки до исчерпания их несущей способности и возникновения «хрупкого шарнира».

6. Расчеты показывают, что потеря несущей способности разупрочняющихся балок происходит при незначительных деформациях.

7. Сопоставление прогибов двух балок показало, что при одинаковых нагрузках и параметрах разупрочнения балка из равносопротивляющегося материала имеет большие прогибы и обладает меньшей несущей способностью.

8. Построены границы неупругих зон (см. рис. 4.2), форма которых зависит от разупрочнения материала изгибаемой балки. Разрушению балки предшествует незначительный рост неупругой зоны, локализованной в середине пролета. Дальнейший рост нагрузки приводит к исчерпанию несущей способности балки и возникновению «хрупкого шарнира» в ее наиболее нагруженном сечении.

162

С уменьшением разупрочнения неупругие зоны распространяются в силовой плоскости на большее расстояние.

9. Анализ неупругих зон балок, изготовленных из линейно упрочняющегося (1.59) и разупрочняющегося материалов (4.17), показал, что «хрупкий шарнир» не охватывает всей высоты поперечного сечения неупругой балки в связи с раскрытием трещин, сконцентрированных в опасном сечении (см. рис. 4.2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена актуальная задача расчета конструкций с учетом неупругих свойств материалов с помощью аналитического метода и приближенного метода, основанного на методе упругих решений.

Основные научные и практические результаты работы заключены в следующем.

1. Разработан аналитический метод нахождения неупругих деформаций, основанный на параметрическом интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений, в котором в качестве разрешающего параметра выбрано заглубление неупругих деформаций в поперечном сечении балки (аналитическое решение).

2. Предложен приближенный метод определения прогибов и углов поворота по всей длине деформируемой балки, основанный на методе упругих решений. Суть метода заключается в сведении изгиба неупругой балки к упругому с начальными деформациями, величина и распределение которых определяются упругим решением задачи и законом между напряжениями и деформациями за пределом текучести (приближенное решение).

3. Показана высокая точность первого приближения метода упругих решений (путем сравнения аналитического и приближенного решений) при расчете неупругих балок, испытывающих различную нагрузку и выполненных из упрочняющихся материалов.

4. С помощью аналитического и приближенного методов получены зависимости для определения нормальных напряжений, как в опасном сечении, так и в любой точке неупругой зоны. Это позволяет использовать предложенные методы не только при определении неупругих деформаций, но и при расчетах на прочность реальных балок.

5. На основе приближенного метода упругих решений предложена методика нахождения прогибов (в любой точке пролета) и раскрытия статической неопределимости стержневых систем, элементы которых работают за пределами текучести.

164

6. Получены соотношения, связывающие различную нагрузку со степенью деформации и упрочнением (разупрочнением), используемые при определении напряженно-деформированного состояния неупругих балок.

7. Предложено аппроксимировать работу хрупких балок зависимостью между напряжениями и деформациями диаграммой с ниспадающей ветвью, характеризующей разупрочнение материала.

8. Найдены предельные прогибы и нагрузки для балок, изготовленных из хрупких материалов.

9. Анализ напряженно-деформированного состояния изогнутых стержней позволяет определить рамки геометрических и прочностных параметров конструкций, при которых потеря жесткости предшествует их разрушению, и наоборот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скоковский, Михаил Михайлович, 2000 год

1. Абдрахманов С.А., Дюшекеев К.Д. Изгиб и кручение брусьев из материалов с памятью формы. Бишкек: Илим, 1992. - 52 с.

2. Безухов И.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

3. Бернштейн С.А. Предпосылки к расчету сооружений по разрушающей нагрузке // Сб. работ ЦНИПС: Расчет металлических конструкций с учетом пластических деформаций. М.;Л.: Госстройиздат, 1938. - С. 3-7.

4. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикл. матем. и мех. 1951. - Т. 15. - № 6. - С. 765-770.

5. Бровман М.Я. О влиянии вращения круглых балок на процесс их упругопластической деформации при изгибе // Изв. АН СССР. сер. Мех. тверд, тела, 1984,-№3,-С. 167-173.

6. Бровман М.Я., Волков И.Б., Белкин Л.М. Об упругопластическом изгибе балок, совершающих поступательное и вращательное движения вокруг своей оси // Изв. АН СССР. сер. Мех. тверд, тела. 1988. - №6. - С. 102-105.

7. Гвоздев A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949. - 280 с.

8. Гениев Г.А. Некоторые задачи расчета стержней при общей нелинейной зависимости напряжений от деформаций // Сб. работ ЦНИПС: Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности. М.: Госстройиздат, 1956.-С, 188-222.

9. Глушков Г.С. Инженерные методы расчетов на прочность и жесткость. М.: Машгиз, 1962.-355 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1962.- 898 с.

11. Гудьер Дж., Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность. М.: Иностранная литература, 1960.- 190 с.

12. Джонсон У., Меллор П.Б. Теория пластичности для инженеров. М.: Машиностроение, 1979. - 567 с.

13. Дикович И.Л. Динамика упруго-пластических балок. JL: Судпромгиз, 1962292 с.

14. Заседателев С.М. Графический метод решения некоторых задач упруго-пластического изгиба стержней в больших перемещениях // Сб.: Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть элементов машиностроительных конструкций.- М.: Машгиз, 1953. № 26. - С. 173-184.

15. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

16. Качанов JIM. Механика пластических сред. М.: Гостехиздат, 1948. - 215 с.

17. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. - 324 с.

18. Кийко И.А., Чарухчев А.Д. Оптимизационные задачи в изгибе и устойчивости упругопластических стержней // Изв. АН СССР. сер. Мех. тверд, тела. 1991. -№6.-С. 170-175.

19. Кийко И.А., Чарухчев А.Д. Устойчивость упругопластического стержня переменного поперечного сечения // Изв. РАН. сер. Мех. тверд, тела. 1992. -№5. - С. 170-174.

20. Ковальский Б.С. Упругопластический изгиб балки на упругом основании // ДАН СССР, 1951.-№77.-С. 209-211.

21. Маламент Л.И. Исследование металлических рам в упруго-пластической стадии // Сб. работ ЦНИПС: Расчет металлических конструкций с учетом пластических деформаций. M.;JI.: Госстройиздат, 1938. - С. 79-159.

22. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

23. Москвитин В.В. К вопросу об упруго-пластическом изгибе бруса // Вестн. Моск. ун та, сер. физ.-матем. и ест. наук. - №5. - 1954. - С. 33-40.

24. Москвитин В.В. Пластичность при переменных напряжениях. М.: МГУ. - 1965.- 262 с.

25. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Иностранная литература, 1954. - 647 с.

26. Нил Б.Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов. М.: Госстройиздат, 1961. - 315 с.

27. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. К.: Наукова думка, 1975. - 704 с.

28. Победря Б.Е., Шешенин C.B. О методах упругих решений. // Изв. АН СССР. сер. Мех. тверд, тела. 1987. - №5. - С. 59-71.

29. Попов A.A. Графо-аналитические методы в инженерных расчетах на прочность. -М.: Машиностроение, 1964. 416 с.

30. Попов A.A. Применение ортогональных фокусов к пластическому изгибу. // Сб.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз. 1958. - вып.З. - С. 210-215.

31. Поспелов А.Д. Приложения метода упругих решений к расчету упруго-пластических деформаций балок // Сб.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958. - вып.2. - С. 233-251.

32. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Иностранная литература, 1956. - 398 с.

33. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. -744 с.

34. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. -М.: Госстройиздат, 1954. -287 с.

35. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982.-264 с.

36. Серенсен C.B., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчет деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.

37. Скоковский М.М Деформация упругопластической балки при произвольном приложении нагрузки // Вестник технического университета. Бишкек: КТУ, 1998.-№2 (4).-С. 88-93.

38. Скоковский М.М., Тютюкин Г.В. Метод упругих решений в задаче изгиба неупругого стержня // Сб. трудов междунар. науч. конф.: Традиции и новации в культуре университетского образования (Бишкек, ноябрь 1997). 4.II. - Бишкек: КТУ, 1998. - С. 278-284.

39. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. JL: Машиностроение. Ленигр. отд-ние ,1978. - 368 с.

40. Соколовский В.В. Теория пластичности. -М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

41. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. М.: Наука, 1975.-704 с.

42. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976. - 669 с.

43. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.

44. Туркин B.C. Эксперементально-теоретическое исследование упруго-пластической работы стальных неразрезных балок // Сб. работ ЦНИПС: Расчет металлических конструкций с учетом пластических деформаций. М.;Л.: Госстройиздат, 1938. - С. 7-79.

45. Тютюкин Г.В. О выборе первого приближения для упруго-пластических краевых задач // Сб.: Статика и динамика упруго-пластических сред. Бишкек: КАСИ, 1994.-С. 118-123.

46. Тютюкин Г.В., Скоковский М.М. Исследование деформации упруго-пластического стержня // Сб.: Механика деформируемого твердого тела. -Бишкек: КТУ, 1997. С. 57-66.

47. Тютюкин Г.В., Скоковский М.М. Методы определения прогибов неупругой балки // Матер. IV науч. конф. КРСУ (Бишкек, май 1997). Бишкек: КРСУ, 1997. - С. 67.

48. Тютюкин Г.В., Скоковский М.М. Деформация балки при нелинейном упрочнении // Сб. трудов межд. науч. конф.: Традиции и новации в культуре университетского образования (Бишкек, ноябрь 1997). 4.II. - Бишкек: КТУ, 1998. - С. 270-277.

49. Тютюкин Г.В., Скоковский М.М. О сходимости метода упругих решений для упругопластической балки // Матер, междунар. науч.-теор. конф.: Проблемы и перспективы интеграции образования (Бишкек, сентябрь 1998). Бишкек: КРСУ, 1998.-С. 19-20.169

50. Тютюкин Г.В., Скоковский М.М. Изгиб хрупкой балки // Матер, междунар. науч. конф.: Технологии и перспективы современного инженерного образования, науки и производства (Бишкек, октябрь 1999). Бишкек: КТУ, 1999. - С. 257-261.

51. Тютюкин Г.В., Скоковский М.М. Влияние разупрочнения материала на прогибы балки // Матер, науч. конф., посвященной 200-летнему юбилею A.C. Пушкина в Кыргызстане (Бишкек, июнь 1999). Бишкек: КРСУ, 2000. - С. 3-4.

52. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. - 560 с.

53. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Буд1вельник, 1982.-280 с.

54. Филоненко Бородин М.М. Курс сопротивления материалов: В 2 т. - М.: Гостехиздат, 1956.

55. Хилл Р. Математическая теория пластичности М.: Гостехиздат, 1956. - 407 с.

56. Ходж Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций. М.: Машгиз, 1963.-380 с.

57. Шемякин Е.И. Задача о «хрупком шарнире» // Изв. РАН. сер. Мех. тверд, тела. -1996,-№2.-С. 138-144.

58. Fischer Fr. Р. Kruppsche Monatshefte. т.4. - 1923. - с. 77.

59. Phillips A. Introduction to plasticity. New York.: Ronald Press Co., 1956. - 230 p.