Энергия Казимира в струнных и полевых моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Пироженко, Ирина Георгиевна

• Пироженко, Ирина Георгиевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пироженко, Ирина Георгиевна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1 Межкварковый потенциал, генерируемый струной

1.1 Вариационный расчет струнного потенциала с использованием функционального интегрирования

1.2 Массовые поправки к межкварковому потенциалу

1.3 Исследование вариационных уравнений 25 Глава 2 Перенормировка при расчете струнного потенциала

2.1 Межкварковый потенциал, генерируемый- дтрушй с жесткостью в однопетлевом приближении. Метод ("-функций

2.2 Перенормировка натяжения струны и устранение расходимостей

2.3 Переход к конечной температуре

2.4 Модификация модели жесткой струны топологическим членом в действии

Глава 3 Простой способ расчета энергии Казимира для граничных условий, заданных на сфере

3.1 Энергия Казимира идеально проводящей сферы (И = 3 + 1)

3.2 Скалярное безмассовое поле с граничными условиями Дирихле и Неймана на сфере

3.3 Энергия Казимира электромагнитного поля с граничными услови-

ями, заданными на окружности (.0 = 2 + 1)

Глава 4 Энергия Казимира материального шара в бесконечной однородной среде

4.1 Энергия Казимира материального шара при выполнении условия

86

4.2 Слабо поляризуемый шар

4.3 Учет дисперсии 92 Заключение 97 Приложение А 100 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энергия Казимира в струнных и полевых моделях»

Введение

Данная диссертация посвящена изучению роли энергии Казимира в полевых и струнных моделях и разработке эффективных методов для ее расчета.

Эффект Казимира [1] известен с 1948 г. В настоящее время, говоря об этом эффекте, обычно имеют в виду круг физических явлений более широкий, чем открытое Казимиром притяжение идеально проводящих пластин в вакууме. Под обобщенным эффектом Казимира понимают изменение вакуумной энергии (спектра нулевых колебаний) квантовополевой системы в результате наложения каких-либо внешних ограничений [2]. Это может быть, например, ограничение объема квантования или отличие топологии рассматриваемого пространства от евклидовой.

Энергия нулевых колебаний квантовополевой системы определяется как вакуумное среднее оператора Гамильтона Ео =< 0|iï|0 >. Нетрудно показать, что вакуумная энергия Ео бесконечна. В случае скалярного поля массой m оператор Гамильтона имеет вид [3]

Й = \ ^шк(акак + akat) - Y,^k{(ikak + 1/2), (B.l)

1 к к

где си2к = к2 + m - собственные значения оператора Клейна-Гордона, а операторы и а^ удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям для бозонных полей = бккч = [atiak'] = Так как вакуумное состояние |0 > определяется условием >= 0, вакуумное среднее оператора Гамильтона дает расходящуюся полусумму собственных

частот

Ео = 1т,шк. (В.2)

1 к

В стандартной теории поля, чтобы не иметь дела с бесконечностями, плотность энергии вакуума обычно полагают равной нулю, сдвигая начало отсчета энергии каждой моды на ш/2. Действительно, так как энергия определена с точностью до аддитивной постоянной, это можно сделать, переходя к нормальному произведению операторов в гамильтониане. Дополнительным аргументом в пользу перехода к нормальному произведению является то, что только при нулевых значениях энергии и других наблюдаемых вакуумное состояние инвариантно относительно сдвигов и лоренцевых поворотов, т. е. преобразований группы Пуанкаре. Однако, Пуанкаре-инвариантности заведомо нет при наличии границ. Кроме того, всякое изменение граничных условий требует переопределения процедуры нормального упорядочения.

Вакуумная энергия поля при граничных условиях А задается расходящейся суммой Ео(А), а при граничных условиях — Ео(В). Тогда при конечном изменении граничных условий можно ожидать, что разность этих энергий [4]

Ес = Щ(А) - Ео(В) = \ЕЫА) - шк(В)] (В.З)

г к

будет конечной величиной. Очевидно, для математически корректного определения энергии Казимира необходимо регуляризовать расходящиеся суммы Еъ(А) и Е<ь(В).

Знак энергии и характер силы Казимира (является она силой притяжения или отталкивания) зависят от рассматриваемого поля. Для данного поля различаются по знаку энергии при разных размерностях пространства-времени. Если размерность фиксирована, энергия нулевых колебаний сложным образом зависит от геометрии границ. К настоящему времени была рассчитана энергия Казимира только для границ простой геометрической формы [5]: плоскопараллельные пластины [1], сфера [6]-[12], двугран-

ный угол [13, 14], цилиндр [15]. Наличие фонового поля или кривизна пространства-времени также могут изменить спектр собственных частот и повлиять на знак энергии Казимира. В расчетах для пространств с нетривиальной топологией в качестве Е$[В) вычитают вклад пространства Минковского.

Исторически первое приложение эффекта Казимира в физике элементарных частиц связано с классической моделью электрона [16]. Предполагалось, что электрон — это сфера из равномерно распределенных отрицательных зарядов, электростатическое отталкивание которых уравновешивается казимировой силой притяжения. Однако, в 1968 г. Т. Бойер показал, что вакуумная энергия идеально проводящей сферы положительна. То есть, сила Казимира стремится не сжать сферу, а, наоборот, расширить. После работы Бойера появилось много статей, в которых рассматривался эффект Казимира для электромагнитного поля с границей разной формы: сферы, параллелепипеда, двугранного угла, цилиндра и пр. Исследовались случаи идеальных и полупрозрачных стенок [17], стенок с шероховатостями, нестационарные задачи, предполагающие перемещение границ. Также изучался эффект Казимира при отличной от нуля температуре [18].

Перечислим теперь некоторые области теоретической физики, где энергия Казимира играет наиболее важную роль.

В квантовохромодинамической модели мешков, описывающей адроны на феноменологическом уровне, энергия Казимира глюонных и кварковых полей внутри мешка должна учитываться при расчете адронных масс. В этой модели кварки считаются невзаимодействующим (д = 0) в сферической области г < а; поток кварков и глюонов через границу полагается равным нулю. Внутри мешка справедлива теория возмущений, в то время как все остальное пространство занимает непертурбативный вакуум

КХД [19]. Выражение для масс адронов этой модели имеет вид

Ажо?

м = £ Ег + —В + АЕд + Ес{а), (В.4)

г &

где Е{ - уровни энергии кварков в потенциальной яме бесконечной глубины; второй член, пропорциональный объему мешка - это энергия, связанная с вытеснением непертурбативного вакуума из объема мешка; А.Ед - энергия взаимодействия кварков, рассматриваемого как возмущение; Ее (а) суммарный вклад энергий Казимира полей внутри мешка. С подгоночными параметрами а, В, АЕд модель мешков дает спектр мезонов и барионов, хорошо воспроизводит магнитные моменты адронов [19].

Поскольку глюоны в этой модели считаются невзаимодействующими, то вся теория оказывается эквивалентной квантовой электродинамике. Поэтому для расчета энергии Казимира глюонного поля можно сначала рассмотреть электродинамическую задачу для сферической области с проницае-мостями £1,/11, окруженной бесконечным пространством с £2, /¿2- Дополнительное условие £\Ц\ = £2^2 обеспечивают скорость фотонов (глюонов) равную скорости света в вакууме [20]. Энергию Казимира обычно находят методом функций Грина [21]. Для регуляризации расходящихся выражений аргументы полевых операторов, входящих в аргументы функций Грина считают различными. Казимировская энергия глюонов Ед получается из соответствующего электродинамического выражения предельным переходом ц\/Ц2 —> сю. Умножение Ед на 8 дает суммарный вклад всех компонент глюонного поля.

При нахождении вклада кварковых полей в энергию Казимира мешка массой легких кварков ад, с?, й обычно пренебрегают. Энергию Казимира безмассового спинорного поля Ед вычисляют, считая цветовые степени свободы независимыми. Полученную Ед умножают на число ароматов легких кварков. Пренебрежение массами кварков возможно при та <<1.

При характерном радиусе нуклона а ~ 1фм энергия Казимира соста-

вляет около 10% его энергии [4]. Получаемая в модели мешков энергия Казимира положительна и повышает полную энергию адрона Ее ~ 0.43/а. Хотя для наилучшей подгонки масс адронов к опытным результатам значение энергии Казимира должно быть Ее ~ —1.8/а [22]. Первые расчеты энергии нулевых колебаний глюонного поля выполнены в [23]. Энергия Казимира безмассового фермионного поля внутри и снаружи мешка была получена в статьях [21, 22, 23], а массивного поля — в [24, 25]. Киральная модель мешков рассматривалась в [26, 27].

В космологии эффект Казимира существенен, когда топология рассматриваемой модели Вселенной отличается от топологии бесконечного евклидова пространства. При этом возникает казимировский вклад в полный вакуумный тензор энергии-импульса квантованных полей, который, являясь источником гравитационного поля, в свою очередь оказывает влияние на метрику пространства-времени. В частности, существуют так называемые самосогласованные модели Вселенной [28, 29, 30], вообще не содержащие вещества и целиком определяемые вакуумными квантовыми эффектами.

Высказывалось предположение, что в основе некоторых астрофизических явлений также лежит эффект Казимира. Например, в статье [31] утверждается, что он имеет отношение к вспышкам гамма-излучения нейтронных звезд. Если при механических колебаниях размеров нейтронной звезды ее энергия Казимира изменяется, то разница в энергии может уноситься 7-квантами. Идея такого объяснения вспышек излучения нейтронных звезд фактически заимствована из последних работ Швингера [32], посвященных выяснению механизма сонолюминесценции. Применив предложенный Швингером метод расчета к нейтронным звездам, авторы [31] получили параметры отдельной вспышки (энергия, длительность), которые неплохо согласуются с астрофизическими наблюдениями.

Эффект Казимира играет важную роль при исследовании полевых мо-

делей типа Калуцы-Клейна [33]. Калуца предположил, что истинная размерность пространства-времени б? = 4 + N > 4, причем дополнительные N измерений образуют N-мерное компактное пространство с геометриче-

воначально эта идея была применена к объединению гравитации и электромагнетизма. В настоящее время развиваются теории супергравитации и суперструн [34], также использующие идею компактификации. В этих теориях учет эффекта Казимира, очевидно, необходим при рассмотрении механизма компактификации дополнительных пространственных измерений (размерной редукции).

В теории струн энергия Казимира тесно связана с критической размерностью пространства-времени [35]. Для доказательства релятивистской инвариантности теории в квантовом случае необходимо убедиться в том, что генераторы группы Пуанкаре Р^ и М^ удовлетворяют известным коммутационным соотношениям. Нетрудно показать, что в случае струны Намбу-Гото выполнение требований алгебры группы Пуанкаре ведет к ограничению на возможную размерность пространства-времени.

Генератором трансляций является полный импульс струны Рм, а тензор углового момента струны М)Ш есть генератор лоренцевых поворотов. Оказывается, что все коммутационные соотношения имеют правильное значение, кроме коммутатора [35]

где 2 < г, j < V — 1; В - размерность пространства-времени, Рц- полный импульс струны. Алгебра группы Пуанкаре требует, чтобы [М+\ = О, поэтому единственная возможность согласовать данную теорию с релятивистской инвариантностью - это потребовать, чтобы И = 26 и ск(0) = 1, причем константа а(0) учитывает нулевые колебания струны (пропорци-

скими размерами порядка планковской длины 1р1 = \[С1 ~ 10 33 ст. Пер-

2 00 ' [М+\ М+'] = £ т г т=1 1.

V ((У1 /уЗ __Гу1 ^

(В.5)

ональна ее энергии Казимира)

«(0) = (В.6)

Как известно, существует несколько направлений в теории струн. Одно из них — это теория фундаментальных струн, претендующая на роль объединителя всех взаимодействий [36]. Другое направление исследований тесно связано с адронной физикой и берет свое начало с дуально-резонансных моделей, предложенных в 70-х годах [35]. В настоящее время адронные струны рассматриваются как коллективные переменные в квантовой хромо-динамике, доминирующие в области расстояний, порядка размеров адрона (10-13см).

Качественно это можно представить следующим образом. С увеличением расстояния между кварками глюонное поле концентрируется вдоль линий, соединяющих кварки, вместо того, чтобы заполнять все пространство, как это происходит в квантовой электродинамике. В результате формируется трубка глюонного поля, соединяющая кварки в полной аналогии с абрикосовскими вихрями в теории сверхпроводимости [35]. Энергия глюон-ной трубки (струны), как одномерно протяженного объекта, очевидно, пропорциональна ее длине. Это сразу дает линейно растущий с расстоянием межкварковый потенциал (потенциал запирания). На малых расстояниях такой подход уже неприемлем, так как с уменьшением расстояния между кварками струнные конфигурации глюонного поля, очевидно, перестают быть доминирующими.

Представляет несомненный интерес расчет квантовых поправок к линейно растущему потенциалу, генерируемому струной. Эти поправки определяются энергией Казимира в рассматриваемой струнной модели. Таким образом, энергия Казимира играет важную роль в описании взаимодействия кварков в адронах.

Актуальность струнного описания связана с тем, что асимптотическая свобода в КХД позволяет исследовать взаимодействие кварков только на

малых расстояниях. В области расстояний, определяющих низкоэнергетическую адронную физику, квантовохромодинамическая теория возмущений оказывается неприменимой. Методами теории возмущений невозможно исследовать спектр масс адронов, характеристики их низкоэнергенического поведения. Для этих целей используются решеточные и струнные модели.

Динамику трубки глюонного поля можно приближенно описать струной Намбу-Гото. Расчет (различными методами) межкваркового потенциала в этой модели привел к следующей формуле [37, 38, 39]

У(Я) = М2Я

где М2 - натяжение струны, Ес{Щ = —7г/(24Д) - энергия Казимира струны Намбу-Гото, В - размерность пространства-времени. При исследовании динамики кварков в этой модели используется нерелятивисткое приближение, что позволяет положить1 В = 4.

При выводе (В.7) были сделаны следующие упрощающие предположения: I) глюонная трубка является бесконечно тонкой; гг) концы струны жестко закреплены (бесконечно тяжелые неподвижные кварки). Отказавшись от г) А. М. Поляков и, независимо, X. Кляйнерт предложили так называемую струну с жесткостью [40, 41]. Чтобы убрать ограничение и), естественно рассматривать релятивистскую струну, соединяющую кварки конечной массы. Для расчета потенциала в этих струнных моделях потребовалось разработать последовательную процедуру перенормировок. Эта задача оказалась довольно сложной. Дело в том, что даже в перенормируемых теориях поля последовательная процедура устранения расходимостей (например, Я-операция Боголюбова) детально разработана только для процессов рассеяния [3]. Здесь же требуется рассчитать энергию (релятивистски неинвариантную величину). Более того, из-за размерного параметра в

1 Предлагались методы квантования струны Намбу-Гото [39], которые не приводят к ограничениям на размерность пространства-времени.

теории (натяжение струны) струнные модели, как правило, неперенорми-руемы.

Тем не менее удалось разработать простой с математической точки зрения метод устранения расходимостей [42], основанный на контурном интегрировании в комплексной плоскости собственных частот рассматриваемой краевой задачи. Этот метод хорошо работает не только в струнных (струна Намбу-Гото с массами на концах, струна с жесткостью, модифицированная жесткая струна), но и в некоторых полевых моделях. В диссертации эти полевые модели рассматриваются в связи с актуальной в последние годы проблемой [43] объяснения механизма сонолюминесценции2. В своих последних статьях [32] Швингер предположил, что причиной со-нолюминесценции является динамический эффект Казимира. Эта гипотеза справедлива, если энергия Казимира газового пузырька уменьшается при его сжатии, а изменение энергии 8Ес уносится излучением. При этом спектр излучения должен совпадать с наблюдаемым (голубой свет), а 5Ее должно быть сравнимо по величине с энергией одной соно люминесцентной вспышки (^ ЮМэв) [44]. В настоящее время некоторые авторы развивают идею Швингера [45, 46, 47]. Однако существуют работы [48], в которых показано, что эффект Казимира не позволяет объяснить явление сонолю-минесценции.

Перечислим основные цели данной диссертации.

1. Расчет межкваркового потенциала в струнных моделях (струна с массами на концах, жесткая струна, модифицированная жесткая струна).

2. Разработка последовательной однозначной процедуры устранения расходимостей при расчете энергии Казимира, которая определяет межкварковый потенциал в струнных моделях.

3. Развитие этой техники для конечных температур.

2Сонолюминесценция — излучение пузырьками газа, колеблющимися с ультразвуковой частотой 20 КГц) в жидкости, электромагнитных волн

4. Разработка метода устранения расходимостей в вакуумной энергии для некоторых полевых моделей с граничными условиями, заданными на поверхности D-мерной сферы (D = 2,3).

5. Исследование роли эффекта Казимира в сонолюминесценции.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

В первой главе исследуется потенциал, генерируемый струной Намбу-Гото с точечными массами на концах.

В первом параграфе дается изложение вариационного метода расчета статического потенциала, отвечающего бесконечно тяжелым неподвижным кваркам на концах струны. Межкварковый потенциал выражен стандартным образом через соответствующий функциональный интеграл, который вычисляется в пределе D —У оо.

Во втором параграфе рассматривается потенциал, генерируемый струной с кварками конечной массы. Получена система вариационных уравнений, решением которых является стационарная точка эффективного действия струны.

В третьем параграфе эта система исследуется численно. Межкварковый потенциал получен с точностью до первого члена 1/D разложения, который определяется энергией Казимира данной струнной модели. Массовые поправки дают существенный вклад в межкварковый потенциал. Результаты расчетов проиллюстрированы графиками.

Вторая глава посвящена разработке процедуры перенормировки при расчете струнного потенциала.

В первом параграфе межкварковый потенциал струны с жесткостью получен в однопетлевом приближении. Для пренормировки энергии Казимира использован метод дзета-функции.

В параграфе 2 дано обоснование формального метода аналитического продолжения дзета функций Римана и Эпштейна-Гурвица в данной задаче.

Показано, что в однопетлевом приближении устранение расходимостей соответствует перенормировке только одного параметра теории — натяжения струны М2.

В параграфе 3 получена перенормированная энергия струны при температуре, отличной от нуля.

В параграфе 4 рассчитана энергия Казимира в модели жесткой струны, модифицированной членом Гаусса-Бонне в действии.

В главе 3 рассматривается энергия Казимира в полевых моделях с граничными условиями, заданными на сфере.

В параграфе 1 предложен простой метод расчета вакуумной энергии для

и /» V/ 4 V

идеально проводящей бесконечно тонкой сферы, использующии контурное интегрирование в комплексной плоскости собственных частот. Эффективность метода продемонстрирована на примере идеально проводящей сферы в трехмерном пространстве.

В параграфе 2 получена энергия Казимира скалярного безмассового поля, подчиняющегося граничным условиям Дирихле и Неймана на сфере. Устранение расходимостей в данной задаче интерпретируется как перенормировка не только вакуумной энергии, но и радиуса сферы.

В параграфе 3 представлен расчет энергии Казимира электромагнитного поля в двумерном пространстве с граничными условиями, заданными на окружности радиуса а. Обсуждается связь этой задачи с расчетом вакуумной энергии идеально проводящего цилиндра.

В главе 4 исследуется роль эффекта Казимира в сонолюминесценции.

В параграфе 1 общая формула для энергии Казимира материального шара получена с учетом диэлектрических и магнитных свойств среды. Материал шара характеризуется диэлектрической и магнитной проницае-мостями £1, /¿1, а окружающая его среда — £2, Рассчитана энергия Казимира При УСЛОВИИ £\Ц1 = £2^2-

Затем в параграфе 2 рассматривается энергия Казимира слабо поляри-

зованного шара (л/ёТ - л/^О V(у/^1 + ^ 1-

В параграфе 3 исследуется роль дисперсии в данной задаче. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложении исследуются контурные интегралы, определяющие энергию Казимира струны с жесткостью.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пироженко, Ирина Георгиевна

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

Исследовано влияние массовых поправок на межкварковый потенциал, генерируемый струной Намбу-Гото. При вычислении соответствующего функционального интеграла использован вариационный метод, который позволяет получить межкварковый потенциал в виде 1/1) разложения. Для этого решалась система вариационных уравнений, определяющая стационарную точку эффективного действия струны в пространстве вариационных параметров сг«, щ {г = 0,1). Численно показано, что для любых масс кварков и практически при любых расстояниях между ними хорошо работает нулевое приближение: в выражении для энергии Казимира струны с массами на концах можно положить щ = 1 и сто = 0.

Разработана последовательная однозначная процедура устранения рас-ходимостей при расчете энергии Казимира жесткой струны путем перенормировки параметров теории. Дано обоснование формального метода ("-функций в этой задаче. Показано, что в однопетлевом приближении перенормируется только один параметр теории - натяжение струны. Найдена свободная и внутренняя энергия жесткой струны при конечной температуре.

Рассмотрена модификация модели жесткой струны топологическим членом в ее действии. Получены линеаризованные уравнения движения, граничные условия и найдено частотное уравнение, определяющее спектр возбуждений струны. В этой задаче впервые рассчитана энергия Казимира и межкварковый потенциал

Развит метод устранения расходимостей при расчете вакуумной энергии для полевых моделей с граничными условиями, заданными на сфере. Метод базируется на контурном интегрировании в комплексной плоскости собственных частот рассматриваемой квантовополевой системы. Эффективность метода продемонстрирована расчетом энергии Казимира для идеально проводящей сферы (Б = 3 4- 1) и для безмассового скалярного поля, подчиняющегося граничным условиям Дирихле и Неймана на сфере. Устранение расходимостей интерпретируется при этом как перенормировка не только энергии, но и радиуса сферы.

Исследована энергия вакуумных электромагнитных колебаниях в 241-мерном пространстве-времени при заданных граничных условиях на окружности. В этом случае энергия Казимира представима как сумма конечной и расходящейся частей. Расходящийся вклад задается рядом Е п~1. Невозможность полного устранения расходимостей в данной задаче связана с тем, что в точке 5 = 1 дзета-функция Римана имеет особенность (простой полюс).

Путем суммирования собственных частот с использованием контурного интегрирования рассчитана энергия Казимира материального шара, помещенного в бесконечную среду. Сначала предполагается, что диэлектрическая и магнитная проницаемости шара и окружающей среды связаны условием £1^1 = £2^2- Затем исследован случай немагнитного слабо поляризуемого шара (полости), находящегося в бесконечной однородной среде (б! — е2)2+ £г)2 <<1. Найдено, что вакуумная энергия в этом случае положительна и увеличивается с уменьшением радиуса шара. Такой результат полностью исключает возможность того, что эффект Казимира лежит в основе механизма сонолюминесценции.

В диссертации показано, что учет дисперсии в данной задаче не меняет знак энергии Казимира, а также не приводит к существенному изменению ее величины. Дисперсия проявляется только в виде положительного мно-

жителя f(atüо) < 1 в конечном выражении, где u)q - плазменная частота.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12, 42, 54, 83, 91, 103] и докладывались на семинарах в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, на международном семинаре " Supersymmetry and Quantum Symmetries" (Дубна, Россия, 22-26 июля 1997 г.), на международных конференциях ,,Методы симметрии в физике" (Дубна, Россия, 28 июля - 2 августа

1997 г.) и „Проблемы квантовой теории поля " (Дубна, Россия, 13-18 июля

1998 г.).

Выражаю свою искреннюю благодарность В.В. Нестеренко за научное руководство и терпеливое, доброжелательное отношение.

Я также

признательна доценту Петрозаводского университета А.Л. Кошкарову за научное руководство на начальном этапе исследований и профессору Б.М. Барбашову за поддержку и интерес к данной работе.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить соавтора по совместной работе профессора И. Бревика (ун-т г. Трондхейма, Норвегия). Выражаю признательность д-ру М. Бордагу (ун-т г. Лейпцига, Германия) з а полезные обсуждения ряда вопросов, затронутых в диссертации

Благодарю A.B. Красноперова за большую помощь в подготовке некоторых графиков.

Данная работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 96-02-00556,97-01-00745).

Приложение А

Исследование контурного интеграла, определяющего

Рассмотрим вклад в интеграл (2.2.17) различных участков контура интегрирования. Интеграл по полуокружности радиуса Л (см. рис 3) в пределе Л —у оо Будет полностью поглощен контрчленом, поэтому мы не будем его здесь анализировать.

При переходе с верхнего берега разреза на нижний подынтегральное выражение в (2.2.17) не меняется. В результате интегралы вдоль этих двух частей контура С взаимно сокращаются. Только интегрирование вокруг точки ветвления и вдоль отрезка мнимой оси (—гЛ, гЛ) дает конечный вклад в интеграл.

При интегрировании вокруг точки ветвления, как обычно, введем новые переменные и — а;о = ре11р, где р —> 0. Тогда в новых обозначениях и2 — ооц = (и + — ^о) — 2и>орег1р, со8(Я^си2 — сод) ~ 1, эт(Я^ш2 — Принимая

это во внимание получим, получим

1 4тгг-/о 2шоре^Я 4 4у/а' ^ ' ^

Интеграл 1\ совпадает с первым членом в (2.3.10), не зависящим от Я.

При интегрировании по мнимой оси тригонометрические функции в (2.2.17) переходят в гиперболические

(А.2)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пироженко, Ирина Георгиевна, 1998 год

Литература

[1] H.B.G. Kasimir, Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. 51, 793 (1948).

[2] E. Elizalde and A. Romeo, Am. J. Phys. 59(8), 711 (1991).

[3] H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука, 1984.

[4] В.М. Мостепаненко, H.H. Трунов, Эффект Казимира и приложения, М.: Энергоатомиздат, 1990.

[5] В.М. Мостепаненко, H.H. Трунов, УФН 156, 385 (1988).

[6] Т.Н. Boyer, Phys. Rev. 174, 1764 (1968).

[7] К.A. Milton, L.L. De Raad Jr., and J. Schwinger, Ann. Phys. (N.Y.) 115, 338 (1978).

[8] R. Ballian and B. Duplantier, Ann. Phys. (N.Y.) 112, 165 (1978).

[9] S. Leseduarte and A. Romeo, Ann. Phys. (N.Y.) 250, 448 (1996).

[10] M. Bordag, E. Elizalde, and K. Kirsten, J. Math. Phys (N.Y.) 37, 895 (1996).

[11] G. Esposito, A.Yu. Kamenshchik, and K. Kirsten, On the Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell, hep-th/9707168.

[12] V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Phys. Rev. D57, 1284 (1998).

[13] D. Deutsch and P. Candelas, Phys. Rev. D20, 3063 (1979).

[14] J.S. Dowker and G.J. Kennedy, J. Phys. All, 895 (1978).

[15] A.V. Nesterenko and V.V. Nesterenko, Mode by Mode Summation for the Zero Point Electromagnetic Energy of an Infinite Cylinder, hep-th/9711168.

[16 [17 [18

[19 [20 [21 [22 [23 [24

[25

[26

[27

[28 [29 [30 [31

H.B.G. Kasimir, Physica 19, 846 (1953).

С.Г. Мамаев, H.H. Трунов, Изв. вузов. Сер. физ. 5, 29 (1983).

M.J1. Левин, С.М. Рытов, Теотия равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике, М.: Наука, 1967.

И.В. Андреев, УФН 150, 299 (1986).

I. Brevik and Н. Kolbenstvedt, Ann. Phys. 143, 179 (1982). К.A. Milton, Ann. Phys. 150, 432 (1983).

P. Hasenfratz and J. Kuti, Phys. Rept. C40, 175 (1978).

C.M. Bender and P. Hays, Phys. Rev. D14, 2622 (1976).

M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten, and S. Leseduarte, Casimir energies for massive fields in the bag, Preprint Barcelona University UB-EC-PF 96/14, hep-th/9608071.

E. Elizalde, M. Bordag, and K. Kirsten, Casimir energies in the MIT bag model, hep-th/9707083

L. Vepstas and A.D. Jackson, Phys. Rep. 187, 109 (1990); Nucl. Phys. A481 (1988).

M. Pho, A.S. Goldhaber, and G.E. Brown, Phys. Rev. Lett. 51, 747 (1983).

С.Г. Мамаев, B.M. Мостепаненко, ЖЭТФ 78, 20 (1980).

B.M. Мостепаненко, Ядерная физика 31, 1690 (1980). A.A. Starobinsky, Phys. Lett. B91, 99, (1980).

C.E. Carlson, Т. Goldman, and J. Perez-Mercader, Gamma Ray Bursts, Neutron Star Quakes, and the Casimir Effect, astro-ph/9411102.

[32] J. Schwinger, Proc. Nat. Akad. Sei. USA 90, 958, 2105, 4505, 7285 (1993); 91, 6473 (1994).

[33] А. Ходос, УФН 146, 647 1985.

[34] И.Л. Арефьева, И.В. Волович, УФН 146, 655 1985.

[35] Б.М. Барбашов, В.В. Нестеренко, Модель релятивистской струны в физике адронов, М.: Энергоатомиздат, 1987.

[36] М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн, М.: Мир, 1990.

[37] О. Alvarez, Phys. Rev. D24, 440 (1981).

[38] J. F. Arvis, Phys. Lett B127, 106 (1983).

[39] B.B. Нестеренко, ТМФ 71, 238 (1987).

[40] A.M. Polyakov, Nucl. Phys. B286, 406 (1986).

[41] H. Kleinert, Phys. Lett. B174, 335 (1986).

[42] V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, J. Math. Phys. 38, 6265 (1997).

[43] L.A. Crum, Physics Today 47, 9, 22 (1994).

[44] H. Frenzel and H. Schultes, Z. Phys. Chem., Abt. B27, 421 (1934); B.P. Barber, R.A. Hiller, and R. Löfstedt, Phys. Rep. 281, 65 (1997).

[45] C.E. Carlson, С. Molina-Paris, J. Pérez-Mercader, and Matt Visser, Phys. Rev. D56, 1262 (1997).

[46] C.E. Carlson, C. Molina-Paris, J. Pérez-Mercader, and Matt Visser, Phys. Lett. B395, 76 (1997).

[47] C. Molina-Paris and Matt Visser, Casimir Effect in Dielectrics: Surface Area Contribution, hep-th/9707073.

[48] K.A Milton and Y.J. Ng, Phys. Rev. E57, 5504, (1998).

[49] M. Lüscher, К. Symanzik, and P. Weisz, Nucl. Phys.B173, 365 (1988).

[50] K. Wilson, Phys. Rev. DIO, 2445 (1974).

[51] И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М.: Наука, 1975.

[52] G. Lambiase and V.V. Nesterenko, Phys. Rev. D54, 6387 (1996).

[53] P. Olesen and S.-K. Yang, Nucl Phys 283, 73 (1987).

[54] V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Phys. Rev. D55, 6603 (1997).

[55] H. Kleinert, G. Lambiase, and V.V. Nesterenko, Phys. Lett. B384, 213 (1996).

[56] Э. Уиттекер, Дж. Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2: Трансцендентные функции, М.:Наука, 1963.

[57] S.W. Hawking, Commun. Math. Phys. 55, 133 (1977).

[58] A. Voros, Commun. Math. Phys. 110, 439 (1987).

[59] E. Elizalde, S.D. Odintsov, A. Romeo, A.A. Bytsenko and S. Zerlini, Zeta regularization technique with applications, World Scientific, Singapore, 1994.

[60] J. Ambijorn and S. Wolfram, Ann. Phys. 147, 1 (1983).

[61] N.F. Svaiter, B.F. Svaiter, J. Math. Phys. 32, 175 (1991).

[62] J. Mehra, Physica 37, 144 (1967).

[63] N.F. Svaiter, B.F. Svaiter, Phys. Rev. D47, 4581 (1993).

[64] G. German, Mod. Phys. Lett. A6, 1815 (1991).

[65] G.H. Hardy, Divergent Series, Oxford Univ. Press, Oxford, 1967.

[66] V.V. Nesterenko and N.R. Shvetz, Z. Phys. C55, 265 (1992).

[67] I. Brevik and I.Clausen, Phys. Rev. D39, 603 (1983).

[68] E. Elizalde and A. Romeo, J. Math. Phys. (N.Y.) 30, 1133 (1989).

[69] K. Kirsten and E. Elizalde, Phys. Lett. B365, 72 (1996).

[70] E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, часть II, М.: Наука, 1978.

[71] A.M. Chervyakov and V.V. Nesterenko, Phys. Rev. D48, 5811 (1993).

[72] A.M. Polyakov, Rigid String and Confinement, Talk at Satellite Conference "Topology, Strings, and Integrable Models", Xlth International Congress of Matematical Physics, Paris, July 18-28, 1994 (unpublished).

[73] H. Kleinert and A.M. Chervyakov, Phys. Lett. B381, 286 (1996).

[74] B.M. Barbashov and A.L. Koshkarov, Lett. Math. Phys. 3, 39 (1979).

[75] P. Wegrzyn, Phys.Rev. D50,2769 (1994).

[76] L. Hadasz, Mod. Phys. Lett. A13, 605 (1997).

[77] L. Hadasz and J. Rog, Phys. Lett. B338, 77 (1996).

[78] P. Wegrzyn, Mod. Phys. Lett. All, 2223 (1996).

[79] O. Alvarez, Nucl. Phys. B216, 125 (1983).

[80] L.P. Eisenhart,;! Treatise on the Differential Geometry of curves and Surfaces, Dover Publ., INC, N.Y., 1960.

[81] M.A. Лаврентьев, Б.В. Шабат, Методы теории функций комплексных переменных, М.: Наука, 1987.

[82] R. Gregory, Phys. Lett. В202, 376 (1988).

[83] V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Open rigid string with Gauss-Bonnet term in action, JINR Preprint E2-98-171, Dubna (1998), hep-th/9806209, submitted to Mod. Phys. Lett. A.

[84] N.G. van Kampen, B.R.A. Nijboer, and K. Schram, Phys. Lett. A26, 307 (1968).

[85] Стрэттон, Теория электромагнетизма, M.: Гостехиздат, 1948.

[86] М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, М.: Наука, 1979.

[87] С.М. Bender and К.A. Milton, Phys. Rev. D50, 6547 (1994).

[88] S. Sen, J. Math. Phys. (N.Y.) 22, 2968 (1981).

[89] K.A. Milton, Phys. Rev. D55, 4940 (1997).

[90] K.A. Milton and Y.J. Ng, Phys. Rev. E57, 5504, 1998.

[91] I. Brevik, V.V. Nesterenko, and I.G. Pirozhenko, Direct mode summation for the Casimir energy of a solid ball, JINR Preprint E2-97-307, Dubna (1997), hep-th/9710101, submitted to J. Phys. A.

[92] K.A. Milton, Ann. Phys. (N.Y.) 127, 49 (1980).

[93] K.A. Milton and Y.J. Ng, Phys. Rev. E55, 4207 (1997).

[94] K.A. Milton, Proceedings of the third Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions, Leipzig, 1995, edited by M. Bordag (Teubner, Stuttgart, 1996).

[95] Ю.С. Бараш, Силы Ван-дер-Ваалъса, M.: Наука, 1988.

[96] I. Brevik and G. Einevoll, Phys. Rev. D37, 2977 (1988).

[97] I. Brevik and R. Solie, J. Math. Phys. 31, 1445 (1990).

[98] I. Brevik, H. Skurdal, and R. Sollie, J. Math. A: Math. Gen. 27, 6853 (1994).

[99] I. Brevik and V.N. Marachevsky, Casimir Surface Force on a Dilute Dielectric Ball, Preprint Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, 1998.

[100] P. Candelas, Ann. Phys. (N.Y.) 143, 241 (1982).

[101] Ю.С. Бараш, В.Л. Гинзбург, Письма в ЖЭТФ 15, 116 (1975).

[102] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982.

[103] V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Is the Casimir effect relevant to sonoluminescence? Письма в ЖЕТФ 67, 420 (1998).