Математическое исследование возбужденных состояний мезонов и барионов с помощью струнных моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Шаров, Герман Сергеевич

• Шаров, Герман Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шаров, Герман Сергеевич

Введение 1

Глава 1. Модель релятивистской струны с массивными концами: классическая динамика и начально-краевая задача

§ 1. Динамика релятивистской струны с массивными концами

§2. Определение мировой поверхности по заданной траектории массивного конца струны

§ 3. Начально-краевая задача для релятивистской струны

§ 4. Численное решение начально-краевой задачи для струны с массивными концами

Глава 2. Струнные модели бариона

§ 1. Вывод уравнений движения и краевых условий для струнных моделей бариона д-д-д и А

§ 2. Начально-краевая задача для струнной модели бариона д-д-д (линейной конфигурации). Численное моделирование квазиротационных движений и анализ устойчивости

§3. Решение начально-краевой задачи для струнной модели бариона "треугольник"

§ 4. Модель бариона "три-струна": решение начально-краевой задачи и численное исследование устойчивости ротационного движения

Глава 3. Исследование некоторых классов движений релятивистской струны с массивными концами и струнных моделей барионов

§ 1. Аналоги рядов Фурье для релятивистской струны с массивными концами

§ 2. Классификация движений релятивистской струны с массивными концами, допускающих линеаризацию краевых условий

§ 3. Движения, допускающие линеаризацию краевых условий, для струнной линейной модели бариона

§ 4. Ротационные движения для струнной модели бариона "треугольник", гипоцикло-идальные решения

§5. Классификация ротационных движений для струйной модели бариона "треугольник" •

§ 6. Численное исследование устойчивости ротационного движения для модели бариона "треугольник"

Глава 4. Описание возбужденных состояний адронов на траекториях Редже с помощью струнных моделей

§1. Энергия и угловой момент для ротационных состояний в модели релятивистской струны с массивными концами и в четырех струнных моделях бариона с учетом спин-орбитального взаимодействия кварков •

§2. Описание барионных траекторий Редже и оценка эффективных масс кварков с помощью струнных моделей бариона д-дд., д-д-д, У и А

§3. Описание возбужденных состояний мезонов в рамках развитого подхода

Глава 5. Проблема устойчивости ротационных движений для различных струнных моделей и квазиротационные состояния

§1. Квазиротационные состояния релятивистской струны с массивными концами

§ 2. Квазиротационные состояния струнной модели бариона д-д-д и анализ устойчивости 204

§3. Анализ устойчивости вращения У-конфигурации 207

§ 4. Проблема квантования квазиротационных состояний струнных систем 213

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое исследование возбужденных состояний мезонов и барионов с помощью струнных моделей»

Настоящая работа посвященанным моделям мезонов и барионов, а также объяснению с их помощью чрезвычайного многообразия наблюдаемых экспериментально возбужденных состояний адронов. В диссертации изложены научные результаты, которые опубликованы в работах [1] - [37] и относятся к описывающей мезон модели релятивистскойны с массивными концами, к четырем топологически различнымнным моделям бариона и к их приложениям в адронной спектроскопии.

Модели, построенные на основе релятивистской струны, с успехом используются в физике элементарных частиц, в частности, адронов уже около 30 лет. В рамках такого подхода релятивистская струна моделирует сильное взаимодействие между кварком и антикварком в мезоне или между тремя кварками в барионе.

Релятивистской струной называется одномерный протяженный объект (кривая или отрезок кривой), который при движении в пространстБеМинкоБского заметает поверх- ность экстремальной площади, и именно этим обусловлен закон движения. Упомянутая поверхность называется мировой поверхностью релятивистской струны. Такой характер движения струны является аналогом динамики свободной материальной точки, траектория (мировая линия) которой удовлетворяет условию экстремальности длины в пространстве Минковского.

Если мировая поверхность релятивистской струны задана параметризацией Х'А(т, а), то действие для струны, которое, в соответствии со сказанным выше, пропорционально площади мировой поверхности, можно записать в виде [38] - [42

8л-11 у/лйтд,а = --/1 ЛЛ(Х,Х')'Л -Х'лХ''лйг(1а. (0.1)

Здесь константа 7 имеет физический смысл натяжения струны (если, как предполагается везде ниже, скорость света с = 1), знак "—" обеспечивает минимальность действия на реализуемых физически поверхностях, ХАЛ = дтХ'А, Х'лл = даХ'А, д — определитель индуцированной метрики на мировой поверхности, (, ) — (псевдо)евклидово скалярное произведение в п -Ь 1 - мерном пространстве Минковского. Топологически релятивистская струна может, в частности, быть открытой — гомеоморфной отрезку или замкнутой — гом:еоморфной окружности.

Обсуждая степень достоверности описания адронов с помощью действия (0.1) и историю его появления в физике элементарных частиц и высоких энергий, отметим прежде всего, что теорией, наиболее адекватно описывающей сильные взаимодействия, на данный момент является квантовая хромодинамика (КХД) [43]-[46]. Фундаментальными объектами в этой теории являются кварки — частицы (спинорные поля) со спином 1/2, несущие особое квантовое число — цвет и взаимодействующие посредством неабелевых калибровочных полей безмассовых векторных глюонов. К настоящему времени известны кварки шести сортов или ароматов, которые традиционно обозначаются символами и, d, S, с, Ъ, t в соответствии с их английскими названиями "up", "down", "strange", "charm", "bottom" и "top". В сильных взаимодействиях участвуют (и наблюдаются в физических экспериментах) лишь бесцветные связанные состояния кварков — адро-ны. Последние подразделяются на мезоны, содержащие пару кварк-антикварк [qq), и барионы, составленные из трех кварков (qqq). Возможно, что могут существовать и так называемые экзотические адронные состояния — глюболы и гибриды, в составе которых роль валентных кварков играют глюовыА однако вопрос выявления экзотических адронов при интерпретации экспериментальных данных остается дискуссионным ;47]-[49;.

Важнейшим экспериментальным фактом является то, что кварки не наблюдаются в свободном состоянии. Невозможность существования свободных кварков или других цветных комбинаций в КХД постулируется как гипотеза конфаймента или невылетания кварков.

В отличие от квантовой электродинамики [50], где с использованием теории возмущений по малому параметру (постоянной тонкой структуры е/Тгс ~ 1/137) достигнуты впечатляющие успехи в теоретическом вычислении наблюдаемых величин, в КХД соответствующий параметр, определяемый константой взаимодействия, не является малым, поэтому теория возмущений может быть применена лишь в очень ограниченном числе случаев [43]. Такие вопросы как спектр состояний и масс адронов, траектории Редже 51, 52], доказательство гипотезы конфаймента, эксклюзивные процессы [53] остаются за пределами современной КХД.

Для их описания разработаны различные подходы как в рамках КХДА, так и связанные с КХД опосредованно. К последним относятся и струнные модели адронов, так как вывод струнного действия (0.1) непосредственно из действия КХД представляет собой не решенную до конца задачу (среди работ, направленных на ее решение можно отметить [54]-[57]).

В объяснении механизма конфаймента на основе КХД сложились следующие представления. Когда расстояния между кварками становятся достаточно большими по сравнению с характерным адронным масштабом 0.2 Фм =2 • 10~аа см, глюонное поле (в отличие от электромагнитного) не занимает все пространство, а концентрируется вдоль линии, соединяющей кварки. Такая конфигурация оказывается более выгодной энергетически [62, 63, 64, 65]. Описанная картина распределения глюонного (хромоэлек-трического поля) при больших орбитальных возбуждениях была получена, в частности, в работе [55] в рамках метода вакуумных корреляторов [58, 59]. Этот же метод приводит

ЛЗдесь прежде всего имеются в виду решеточные модели, использующие численные расчеты и оценки континуальных интегралов КХД [61]. к струноподобному распределению хромоэлектрического поля для случая фиксированных кварка и антикварка или трех кварков (барионная конфигурация) [60]. Энергия двух кварков (пары q-q), связанных данной трубкой глюонного поля, пропорциональна расстоянию между ними. Однако этим же свойством обладает и релятивистская струна (0.1) — ее энергия также пропорциональна длине'[62, 66, 67].

На этой основе может быть предложена простейшая модель мезона — кварк и антикварк (на классическом уровне описываемые материальными точками), соединенные релятивистской струной, которая моделирует сильное взаимодействие [62, 68, 69]. Если в этой системе заменить антикварк на дикварк — пару пространственно локализованных кварков [70], то эта же конфигурация может быть использована как кварк-дикварковая модель бариона q-qq. В соответствии со сказанным выше струнные модели данного вида адекватны только при достаточно больших расстояниях между составляющими в системах q-q или q-qq, что реализуется для так называемых орбитально возбужденных состояний адронов. Они характеризуются большими значениями полного углового момента J и на классическом уровне интерпретируются как вращение сильно вытянутой адронной конфигурации (чем больше J, тем движение системы ближе к классическому).

Отметим, что спектре наблюдаемых экспериментально мезонов и барионов присутствует огромное количество возбужденных состояний, которые большей частью являются короткоживущими резонансами, то есть распадаются за счет сильного взаимодействия за время порядка 10~АА с. Для иллюстрации этого экспериментального факта и возникающих в связи с этим трудностей теоретического объяснения ситуации приведем в следующей ниже Табл. 1 наиболее надежАнозарёгистрйрбванньш состоянияА мезонов р и а с изоспиномА / = 1 и барионов N с I = 1/2. Использованы данные из последней версии (2000 г.) обновляющихся каждые два года таблиц коллаборации Particle Data Group [71]. Для других мезонов и барионов подобные данные приведены в Приложении 1.

Одной из важнейших замечательных особенностей струнной модели мезона q-q (как и модели q-qq) было естественное объяснение на ее основе линейно растущих траекторий Редже — экспериментально наблюдаемой зависимости между массой или полной энергией М = Е частиц и их полным моментом J. Если на так называемой диаграмме Чью-Фраучи (Chew-Prautschi [72]), то есть на плоскости с координатными осями и J расположить семейство адронов с одинаковым кварковым составом (и связанными с последним квантовыми числами — изоспином, странностью и т.д.), но с различными значениями J, то эти состояния, как для мезонов, так и для барионов в значительном числе случаев ложатся на прямую линию

J = а'Мл -Ь ао, (0.2) называемую траекторией РеджеА.

•АИзоспин — особое присущее адронам квантовое число, которое подобно спину с точки зрения правил сложения и коммутации. Изоспин 1=1/2 несут кварки ароматов ии d, различающиеся значением проекции изоспина /з = ±1/2, для остальных кварков / = О [44]. лЭтот термин связан с работами Т. Редже (Regge) [51], в которых амплитуда рассеяния рассматри

Табл. 1. Массы М = Е и полные моменты ] (в единицах Л) с указанием четности и зарядовой четности для изовекторных мезонов р, о и барионов N. мезоны р и а барионы ЛГ

М (МэВ) М (МэВ) 7Л р{770) 770.0 ± 0.8 1— Р 938.272 1/2+

02(1320) 1318.1 ±0.6 2++ п 939.5656 1/2+

93 (1690) 1688.8 ±2.1 3— ЛГ(1440) 1430Л1470 1/2+

04(2040) 2020±16 4++ ЛГ(1520) 1515-г 1530 3/2

35(2350) 2330±35 5— ЛГ(1535) 1520-г 1555 1/2

Об (2450) 2450± 130 б++ ЛУ(1650) 1640-Л1680 1/2ао(980) 983.4 ±0.9 0++ л"(1675) 1670-г 1685 5/2

01(1260) 1230 ± 40 1++ ЛГ(1680) 1675Л-1690 5/2+ ао(1450) 1474 ± 1 9 0++ л.(1700) 1650Л1750 3/2р(1450) 1465 ± 25 1— М{17Щ 1680-г 1740 1/2+

01(1640) 1640 ± 30 1++ ЛГ(1720) 1650Л1750 3/2+

02(1660) 1660 ± 40 2++ ЛГ(2190) 2100Л-2200 7/2р(1700) 1700 ±20 1— л.(2220) 2180-н 2310 9/2+

02(1750) 1752 ± 25 2++ л«(2250) 2170-ь 2310 9/2р(2150) 2149 ± 1 7 1"~ АГ(2600) 2550-г 2750 11/2рз(2250) 2220 ±80 3~ ЛГ(2700) 2560-г 3100 13/2+

Если проанализировать адронные состояния в Табл. 1, то описанное поведение характерно для высокоспиновых резонансов или орбитальных возбуждений как мезонов р, а (лежащие на линейной траектории Редже состояния р\, Рг, Щ, Рь, Щ перечислены в начале этой части таблицы), так и для барионов ЛГ. В последнем случае можно выделить траекторию, для которой основным состоянием является нуклон (изодублет р, п) и включающую р, Л/"(1680), ГУ(2220), Л/'(2700), а также другие линейные траектории, например, N{1520), ЛГ(2190), ]У(2600). Подобные траектории, в той или иной степени описываемые соотношением (0.2), можно найти и в других семействах адронов: среди легких мезонов с / = О, странных мезонов К и К*, барионов Ас / = 3/2, странных барионов Л, Е, Е1 и т. д. (см. Приложение 1 и обзор [73]). Исчерпывающего теоретического объяснения этот экспериментальный факт пока не имеет.

В то же время именно соотношением (0.2) с ско = О связаны классический угловой момент J и энергия Е = М для простейшего движения открытой релятивистской струны — равномерного вращения прямолинейной струны. При этом наклон а' определяется натяжением струны 7 [74 а' = (2тгу)-\ (0.3)

Для релятивистской струны с массивными концами траектории Редже квазилинейны [62, 69], соотношения (0.2), (0.3) имеют место в пределе / -> оо. Наличие таких траекторий в спектре наблюдаемых адронов является наиболее убедительным доказательством справедливости струнной модели. Как отмечается в работе [75], обнаружение мезона валась как функция комплексного углового момента, и полюсы данной амплитуды трактовались как резонансы или связанные состояния. аб(2450) "свидетельствует о существовании струны на расстояниии порядка 3 Фм, причем каждый новый высокоспиновый мезон удлиняет струну на 0.25 Фм". При этом следует заметить, что КХД-струна, то есть трубка глюонного поля не может удлиняться до бесконечности. Начиная с некоторой ее длины существенным образом возрастает вероятность разрыва данной струны с образованием пары кварк-антикварк на месте разрыва [75, 76]. В результате мезон распадается на два мезона и обнаружение свободных кварков оказывается невозможным подобно тому, как невозможно разделение полюсов магнита. Таково объяснение механизма конфайнмента в рамках струнной КХД модели.

Обращаясь к истории струнных моделей адронов, заметим, что появление релятивистской струны с действием (0.1) в физике высоких энергий связано с несколькими источниками, в частности, с нелинейными полевыми моделями типа Борна-Инфельда 38, 39], с дуальными моделями сильного взаимодействия [77, 78, 79], с моделями мешков [80, 81] а также с другими разделами физики (см., например, обзор [82]). Впервые в физику высоких энергий действие (0.1) было введено Б.М. Барбашовым и H.A. Черниковым в работах [38, 39], посвященным двумерным нелинейным моделям Борна-ИнфельдаА, то есть моделям, в которых динамика безмассового скалярного поля ф{х,1) описывается лагранжианом [83

L = -клл1 -к-л[{дг ФГ- {д, фГ]. (0.4)

Если в действии с лагранжианом (0.4) ввести вместо f, х переменные т,а и обозначения хл = t{T,a), х* = х{т,аУ, хл = к"АА(г,сг), то это действие перейдет в

S*-k"* J dr J daл{х,хf -хЛх'"*, то есть в действие (0.1).

Другое направление в физике высоких энергий, приведшее к релятивистским струнам на рубеже 60-х и 70-х годов, связано с дуальными или дуально-резонансными моделями сильного взаимодействия. Эти модели развивались в рамках б'-матричного подхода, предполагавшего построение матрицы рассеяния 5 или амплитуд рассеяния при сильных взаимодействиях без использования лагранжиана взаимодействия и динамических уравнений, а лишь на основе свойств симметрии б'-матрицы. В частности, в дуальных моделях при описании процессов рассеяния ах + а2 ал + 04 (а» — адро-ны) на основании имевшихся в то время экспериментальных данных постулировалась симметрия амплитуды рассеяния A{s,t) относительно замены мандельстамовских переменных 3 и t, другими словами, равенство амплитуд рассеяния в 5- и ({-каналах [84].

Г. Венециано (Уепе2;1апо) [77] предложил формулу, явно описывающую данные симметричные амплитуды в совокупности с траекториями Редже (0.2)

А{8, Ь) ~ В{—а'з — «о? —ос'Ь — ао), Лих связь с релятивистской струной была выявлена в работе [68]. где В{х, у) = Т{х)Т{у)/Т{х+у) — бета-функция Эйлера, а', ао — соответственно наклон и интерсепт траекторий Редже (0.2). Амплитуда Венециано имеет бесконечное число полюсов, что предполагает наличие в теории бесконечного числа массивных возбуждений (частиц) с возрастающими массой и спином. Дальнейшие исследования [78, 79, 85 показали, что амплитуда Венециано и ее обобщения [86, 87, 88, 89] естественным образом возникают в теории открытой релятивистской струны. При описании данного взаимодействия (4-х частичного упругого рассеяния) в фейнмановских диаграммах линии частиц заменяются на мировые поверхности открытых струн.

Аналогичным образом амплитуда рассеяния для замкнутых струн была получена Вирасоро (Virasoro) [90] в 4-х частичном случае и обобщена Шапиро (Shapiro) [91] на п частичный случай. Открытые и замкнутые струны с действием (0.1) интерпретировались как бозоны. .

Следующим важным шагом в развитии теории струн было введение в данную модель фермионов в виде поля '0'*(г, сг) преобразующегося как вектор в D-мерном пространстве Минковского и как майорановский спинор в двумерии — мировой поверхности струны [92, 93]. С точки зрения этого внутреннего пространства XAA{m,(J) также является векторным полем с группой симметрии Пуанкаре.

Действие для релятивистской струны в виде (0.1) как результат развития дуально-резонансных моделей было предложено Намбу, Хара и Гото (Nambu, Нага, Goto) [40, 41, 42], вследствие чего за ним закрепилось название "действие Намбу-Гото". А. М. Поляков 94] предложил другой вид действия для релятивистской струны, включающий вспомогательный метрический тензор h^ß, а,/3 = 0,1 (двумерную гравитацию) на мировой поверхности

5 = -| У Ъ"ллллл,рллфл\в,таа, ао = г, аг = а. (0.5)

Это выражение эквивалентно действию Намбу-Гото (0.1) на классическом уровне. Так как производные тензора haß не входят в (0.5), то соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа dL/dhaß — О является связью, имеет вид haß = AAAf (haß — индуцированная метрика) и после подстановки в действие (0.5) преобразует его к виду (0.1). Динамические уравнения, выведенные на основе выражений (0.5) и (0.1) также совпадают на классическом уровне, но действие Полякова (0.5), обладающее, в частности, (конформной) инвариантностью относительно преобразований haß —>• ф{т, а) • haß чаще использовалось для квантования открытых и замкнутых струн [62, 85].

Однако последовательное проведение квантования для бозонных струн, как открытых, так и замкнутых [85, 95, 96, 97], приводит к ряду нестандартных особенностей, таких как наличие тахиона в спектре состояний струны и размерность пространства-времени D = 26, необходимая для отсутствия состояний с отрицательной нормой. Для фермионной или спиновой струны [92, 93], а также для развитой на ее основе модели суперструны [98, 99] (обладающей особым видом симметрии между бозонными и фермионными полями струны) соответствующая критическая размерность D = 10.

В дальнейшем достаточно бурном развитии этого направления (см. обзоры и монографии [62, 82, 85, 100, 101, 102]) доминировала идея [103] рассматривать теорию струн не как теорию адроновА, а как более фундаментальную теорию, объединяющую все взаимодействия вплоть до гравитационного, возникавшего в низкоэнергетическом пределе такой струнной теории [32]. Это означало, в частности, отказ от привязки фундаментальной константы 7 к адронному спектру в согласии с формулой (0.3) и соотнесение натяжения струны, например, с планковским масштабом энергии. При этом в значительной части работ, развивающих данный подход, вопрос о физической интерпретации рассматриваемых моделей не поднимается или обходится. За последние 20 лет в теории суперструн и связанных с ней теориях наблюдался существенный прогресс [82, 102], однако он направлен не на физические приложения, а носит внутренний характер (совершенствование структуры теории, появление новых объектов исследования без отчетливой физической интерпретации, например, многомерных мембран [104] и т.д.).

В настоящей диссертационной работе основное внимание будет сосредоточено на альтернативном направлении в теории струн, в котором релятивистские струны использовались для моделирования адронов, хотя действие (0.1) и объекты с соответствующей геометрической структурой возникают в различных разделах физики [82. Ближайшей аналогией являются абрикосовские нити магнитного поля в сверхпроводниках [105, 106]. В большом числе работ (см. обзор [107]) действие Намбу-Гото (0.1) используется для описания так назывемых космических струн — одномерных особенностей метрики, создаваемых распределением фазы некоторого комплексного поля во Вселенной [108]. Однако адекватность действия (0.1) для космических струн пока не доказана 31

В работе [74] действие (0.1) выведено исходя из обобщения уравнений Максвелла на случай дираковских монополей и массивного векторного поля. При этом распределение глюонного поля в паре кварк-антикварк подобно трубке линий магнитного поля, соединяющей монополи Дирака.

С подобной картиной описания глюонного поля, формирующего струну, перекликается модель мешков, в которой конфайнмент моделируется потенциальным барьером на границе области сосредоточения кварков (мешка). В случае ненулевого орбитального момента адрона данная область принимает вытянутую струноподобную форму с преобладанием однородного хромоэлектрического поля с напряженностью причем эффективное натяжение этой "струны" с поперечным сечением Дб" равно 7 = (Ё°')ААЗ [80, 81].

Отметим, что действие для релятивистской струны (0.1) может быть выведено [62, 109] как обобщение релятивистского действия для свободной материальной точки в пространстве Минковского

8=-т 1 д. 8 = -т 1 (аа)а ааа^ = у \/1 - (И, (0.6) где ш — ее масса, V — скорость, 1 — время, = х'л(т) — параметризация мировой линии данной точки в пространстве Минковского, з — ее длина (собственное время). лПо-видимому, одним из основных мотивов здесь были трудности с разработкой более реалистичных струнных моделей адронов и кризис дуальных моделей на фоне успехов КХД.

После замены в выражении (0.6) материальной точки на протяженный объект с плотностью р = const данное действие приводится к виду

S = -pJdtJdl y/l-vl, dl — элемент длины струны, Ух — перпендикулярная составляющая скорости. Посредством замены переменных 1,1 -> г,сг, dl = \dr/da\da, 1 = 1{т,а) = Х°(г,сг) мы приходим к действию Намбу-Гото (0.1). Этот вывод подчеркивает геометричность и близость выражений (0.1) и (0.6), соответствующих экстремальности площади мировой поверхности для струны и экстремальности длины мировой линии для свободной частицы. С этим связано важнейшее свойство действия Намбу-Гото (0.1) — репараметризационная инвариантность, то есть инвариантность по отношению к произвольным невырожденным гладким заменам параметров на мировой поверхности т = т{т,а), а = а{т,а); (0.7) д{т, сг)

Действие (0.5) также инвариантно относительно замен (0.7).

Динамика открытых струн с действием (0.1) или (0.5) обладает рядом особенностей, в частности, концы струны обязательно движутся со скоростью света [62]. В силу этого возникла необходимость построения более реалистичных моделей адронов, в которых описывались бы кварки (кварк и антикварк для мезона), локализованные на концах открытой струны. В работе [69] было предложено два варианта введения масс в модель с действием (0:1). Один из них предполагал размещение масс Ш! й на Концах открытой струны, описываемых с помощью слагаемых вида (0.6): 2

0.8)

5 = -7У \ / А drda-'Ami J dt, где Уг = АХ(т,аг) —• скорость г-го конца струны, ах = О, сг2 = тг, сг б [0,7г], Х'А = г,Х{т,аг)}.

Второй рассмотренный в работе [69] вариант введения масс в модель (0.1) подразумевал их непрерывное распределение вдоль струны. Этот подход был позднее использован в ряде работ [110] - [113], однако более широкого развития он не получил как из-за проблем с физической интерпретацией, так и в силу явного нарушения репараметризацион-ной инвариантности действия по отношению к заменам (0.7). Данная инвариантность играет весьма важную роль в теории струн [62, 85].

Существенно большее внимание (что нашло отражение в работах [114]-[144], [1]-9]) привлекла модель релятивистской струны с массивными концами с действием (0.8). Запишем это действие в виде, подчеркивающем его инвариантность относительно замен (0.7)

3=-л \dr I л d a - J 2 m I A\A)dm. (0.9)

Т1 <Т1(Т) А,"А Т1

Здесь хл(т) = •лХ1л(т,а1(т)), -д = (Х,Х')Л - Х'ЛХ'Л, область интегрирования в первом слагаемом

О = ((г,а) : п < г < Г2, ах (г) <а< а2(т)} криволинейная трапеция, ограниченная траекториями концов струны а — (Тг(т).

Опишем вкратце некоторые особенности классической динамики системы с действием (0.8) или (0.9), исследованные в работах [62], [115]-[132], [145]. Отметим, прежде всего, что из принципа наименьшего действия для струны с массивными концами выводятся (подробности вывода в главе 1 § 1) как уравнения движения, так и краевые условия на траекториях массивных концов.

Уравнения движения струны с действием (0.9) (уравнения Эйлера-Лагранжа) не отличаются от соответствующих уравнений для действия (0.1), имеют вид л ' л 1 Ш = 0 (0.10) дт дХ1л да дХ)' и могут интерпретироваться как условия экстремальности (максимальности) площади поверхности в пространстве Минковского. В то же время из равенства нулю вариации действия (0.9), следуют краевые условия на концах струны й Хщ(т) 1 0. (0.11)

0-=0-г(т)

По своему физическому смыслу краевые условия (0.11) являются уравнениями движения (2-ым законом Ньютона) для материальных точек с массами шА, на которые действует сила натяжения релятивистской струны

Функции о-г(г), задающие в действии (0.9) внутренние уравнения концов струны, не являются динамическими переменными — варьирование выражения (0.9) по не дает дополнительных уравнений движения, а приводит к соотношениям, которые следуют из условий (0.11) [116]. Следовательно, в выборе функций сгг(г) имеется произвол [62 . Этот выбор, в частности, в виде

0-1=0, 0-2 = 7Г (0.12) был осуществлен выше в выражении (0.8). Аналогичным образом эти функции будут зафиксированы ниже в главе 1.

Описанный здесь произвол является одним из проявлений репараметризационной инвариантности действия (0.9) по отношению к невырожденным гладким заменам па-рдметров г, сг вида (0.7). Из этой инвариантности в силу 2-ой теоремы Нётер следует наличие связей в теории. А именно, проекции левой части уравнения (0.10) на векторы подвижного базиса Хл и Х'л равны нулю, следовательно, число независимых уравнений в системе (0.10) на два меньше, чем размерность пространства [62]. Это означает, что система (0.10) содержит функциональный произвол — две произвольные функции г(г,а) и сг(-г, сг) в заменах (0.7).

Репараметризационная инвариантность (0.7) позволяет существенно упростить уравнения движения струны (0.10), которые в общем случае являются нелинейными и достаточно сложными. Учитывая, что индуцированная метрика или первая квадратичная форма на поверхности всегда может быть приведена к конформно-плоскому виду [146 с помощью замены (0.7), выберем на мировой поверхности струны координаты г, сг, приводящие метрику к данному виду, другими словами — удовлетворяющие условиям ортонормальности

Хл + Х'А = 0, {Х,Х) = 0, (0.13)

При выполнении этих условий уравнения (0.10) станут линейными дАХ!" дАХА" А , ,

Л - Л = 0 . (0.14)

Таким образом, в рамках условий ортонормальности (0.13) каждая координата радиус-вектора мировой поверхности релятивистской струны х'л удовлетворяет уравнению колебаний струны (0.14). Это объясняет использование термина "струна" для объектов с действием (0.1), (0.5) или (0.9). Термин "релятивистская" связан тем, что характерные скорости движения упомянутого физического объекта близки к скорости света, а также скорость распространения возмущений вдоль данной струны равна скорости света.

При выполнении условий ортонормальности (0.13) краевые условия (0.11) также упрощаются оставаясь, однако, нелинейными в случае ф 0.

Для открытой безмассовой струны с действием Намбу-Грто, (0.1) краевь1е условия на концах в ортонормальной калибровке (0.13) следуют из уравнений (0.15), если положить в них гпг = 0. в этом случае краевые условия (0.15) линеаризуются и принимают вид

Х'А{т, 0) = О, Х'А{г, 7г) = О, (0.16) если функции (г) выбраны согласно (0.12). Отметим, что эти условия с учетом условий ортонормальности (0.13) приводят равенствам Х'л(т,о-л) = 0Л ХЛ(г,сгг) = О, то есть к светоподобности касательного вектора (вектора скорости) ХАА{г,а1) к траектории конца струны. Другими словами, безмассовый конец релятивистской струны всегда движется со скоростью света.

Общее рещение уравнения колебаний струны (0.14), удовлетворяющее условиям (0.16), может быть найдено методом Фурье в виде следующего ряда [62, 85]:

Х''(г,сг) = <-Ь(7Г7)-лр'Лг-Ьг5Л-Лехр(-шг)со8(по-). (0.17)

В теории струн данное выражение (так же как и подобный ряд для замкнутой струны) является аналогом разложения по плоским волнам в стандартных теориях поля [43, 50], так как теория струн развивалась как двумерная теория поля (г, сг), удовлетворяющего при наличии связи (0.13) уравнению колебаний струны (0.14) — двумерному аналогу волнового уравнения. При квантовании амплитуды гармоник ряда (0.17) отождествляются с квантовыми операторами.

Модель релятивистской струны с массивными концами (0.9) является более реалистичной по сравнению с безмассовой струной (0.1), однако она содержит существенную нелинейность в краевых условиях (0.11) или (0.15), которая не может быть устранена выбором параметризации мировой поверхности. Вследствие этого для данной модели нельзя получить общее рещение уравнений движения системы в виде ряда Фурье (0.17) по аналогии с открытой и замкнутой струнами, так как сумма двух удовлетворяющих условиям (0.15) функций, вообще говоря, не будет удовлетворять этим условиям. Противоречие квантовому принципу суперпозиции не позволяет применить здесь упомянутую выше схему квантования, основанную на разложении х'л в ряд.

Рядом авторов предпринимались различные попытки преодоления этих трудностей. В частности, Б. М. Барбашовым в работе [116] было разрешено одно из краевых условий (0.15), что фактически позволило выразить мировую поверхность релятивистской струны через траекторию ее массивного конца [2]. Однако выполнение второго из краевых условий в рамках такого подхода не было обеспечено. В работах [115, 116] были рассмотрены движения струны с одинаковыми массами на концах, допускающие линеаризацию краевых условий за счет натуральной параметризации траекторий концов. Для этих движений было получено решение в виде ряда Фурье, подобного (0.17), но с частотами, которые являются корнями некоторого трансцендентного уравнения. Из-за несоизмеримости этих частот условия ортонормальности (0.13) приводят к существенно более жестким ограничениям на значения амплитуд в разложении, чем условия Вира-соро для открытой или замкнутой струны [85, 95] получаемые, в частности, при подстановке ряда (0.17) в условия (0.13). Вопросы о связи этого факта с ограниченностью рассматриваемого в работах [115, 116] класса движений струны с массивными концами и о том, насколько широк этот класс, остались открытыми. В рамках натуральной параметризации траекторий массивной точки можно описать все физические движения только для полубесконечной струны [116] или бесконечной струны, нагруженной материальной точкой [121 .

В серии работ Б.М. Барбашова, А. Л. Кошкарова, В. В. Нестеренко, А. М. Червякова 123]-[131] был развит геометрический подход к описанию динамики релятивистской струны с массивными концами. В этом подходе динамические характеристики системы выражались через дифференциально-геометрические параметры и инварианты, такие как квадратичные формы мировой поверхности, средняя и гауссова кривизна, кривизна и кручение траекторий массивных концов. Несмотря на существенное продвижение в понимании геометрической природы струнной динамики, развиваемый в цитированных работах метод не привел к линеаризации проблемы и прогрессу в квантовании. Использование геометрических инвариантов позволило преобразовать нелинейные краевые условия (0.11) или (0.15) в (по-прежнему существенно нелинейную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и обнаружить новый класс их решений, характеризуемый периодическими кручениями траекторий концов струны [129, 130, 131].

Что касается точных решений, описывающих классические движения релятивистской струны с массивными концами (0.9), то давно известно два таких решения, выражающихся через элементарные функции. Одно из них описывает пространственно одномерные осцилляции двух материальных точек, соединенных струной, которая при движении сохраняет прямолинейную форму [62, 117, 119].

Второе точное решение описывает ротационное движение — плоское равномерное вращение прямолинейной струны, связывающей две материальные точки [62, 69, 74]. Мировая поверхность, отвечающая данному решению в рамках условий ортонормаль-ности (0.13), может быть представлена в виде [62, 36, 9'

X" = П-л [9тел + cos{9a + фо) • (еЛ cos 9т + sin9m)], (0.18) где Г2 — угловая частота вращения, а 6 [О, тг], векторы ех, 62 лежат в плоскости вращения, Cq Л2 1) (еА;,ег) = О, к ф I. Массивные концы струн движутся со скоростями Vi = созфо, V2 = -cos(7r0 + фо) по окружностям с радиусами Ri = Vi/Vt.

В случае открытой струны с = О классическая энергия Е и угловой момент J ротационного движения (0.18) связаны соотношением (0.2) J = а'Е"л (траектории Ред-же линейны), где наклон а! = (27Г7)~»л в соответствии с (0.3) [74]. Для релятивистской струны с массивными концами (0.9) ротационные движения (0.18) приводят к квазилинейным траекториям Редже, что позволяет широко использовать эти состояния для описания орбитальных возбуждений адронов [34] л[37], [133]-[138]. Приложение струнных моделей к спектроскопии адронов существенным образом зависит от учета спинов кварков, других квантовых характеристик системы, выбора струнной модели бариона и т.д. (подробности в главе 4 настоящей диссертации).

Отметим, что ротационное движение прямолинейной струны (0.18) используется в подавляющем большинстве упомянутых работ, посвященных использованию струнных моделей в адронной спектроскопии. Однако в связи с необходимостью расширения области приложения данных моделей и описания с их помощью не только орбитальных, но и на радиальных (и прочих) возбуждений адронов встал вопрос о привлечении для этой цели более широкого класса движений релятивистской струны с массивными концами. Иными словами, из всего многообразия физически допустимых классических движений системы (0.9) необходимо выделить те, которые можно интерпретировать, например, как радиальные возбуждения адронов. Искомые движения характеризуются формой струны, вообще говоря, отличной от прямолинейной.

М. Ида (Ida) работе [122] предпринял попытку найти более широкий, чем вращения (0.18) класс движений релятивистской струны с массивными концами (0.9), характеризующийся сохранением прямолинейной формы струны. Другими словами, исследовалась возможность описания чисто радиальных колебаний прямолинейной вращающейся струны. Для поиска таких движений в работе [122] непосредственно в лагранжиан (0.8) было подставлено ограничение, фиксирующее прямолинейную форму струны:

X° = í, = p{t, а) cos (p{t), XA = p{t, a) sin (p{t).

Однако В. В. Нестеренко в работе [132] показал, что при таком подходе имеет место замена одной физической системы другой, и что для релятивистской струны с действием

0.8) или (0.9) полученные в [122] выражения не являются решениями. Следовательно, при рассмотрении возмушений ротационного движения (0.18) системы с действием (0.9) следует обязательно учитывать отличие формы струны от прямолинейной.

Позднее основная идея метода М. Иды [122] была подхвачена и развита в серии работ М. Олссона (Olsson) и др. [147]-[150], где разрабатывалась модель мезона "модель трубки потока" (relativistic flux tube model). Это название было заимствовано из работы [151], в которой модели адронов выводились в пределе сильной связи в рамках решеточной формулировки КХД. Модель [147] - [150] существенно отличается от релятивистской струны с массивными концами (0.9) и представляет собой две массивные точки, соединенные негнущимся стержнем, длина которого может изменяться. В данной системе фактически отсутствуют все струнные степени свободы, которые, в частности, могут быть описаны гармониками Фурье в разложении (0.17). Естественно, спектр состояний системы в модели flux tube [148, 149, 150] оказывается гораздо более узким, чем в струнной модели (0.9). При этом проблема квантования системы [149] с конечным числом степеней свободы несопоставима по степени сложности с аналогичной проблемой для релятивистской струны, где это число бесконечно.

Интересно отметить, что после ряда упомянутых выше работ [147]-[150] по спектроскопии мезонов в рамках модели ñux tube, их авторы обратились к модели релятивистской струны с массивными концами [143, 144], взяв струнную часть действия в эквивалентной форме Полякова (0.5). Однако при решении поставленной в работах 143, 144] задачи о поиске и исследовании малых возмущений ротационных движений (0.18) для релятивистской струны (0.9), авторами этих работ был допущен ряд ошибок 9]. Кроме анализа этих ошибок в работе [9] (см. также §1 главы 5) было предложено адекватное решение проблемы поиска малых возмущений для ротационных движений струны (0.18) (возмущенные движения данного типа мы будем называть квазиротационными).

Наряду с последней задачей о квазиротационных состояниях перечислим здесь те проблемы в теории релятивистской струны с массивными концами, которые до последнего времени оставались нерешенными, и решение (или существенное продвижение в решении) которых входит в содержание настоящей диссертации.

Одной из таких проблем было определение классического движения (или мировой поверхности Х'л(т,а), т,а £ G) релятивистской струны (0.9) по заданным начальным условиям — начальному положению струны в пространстве Минковского и начальным скоростям ее точек. Мы будем называть данную проблему начально-краевой задачей для релятивистской струны с массивными концами по аналогии с соответствующей задачей в теории акустической струны [152]-[154], так как она подразумевает определение решения уравнений движения (0.10), удовлетворяющего не только упомянутым начальным условиям, но и краевым условиям (0.11).

Для замкнутой, открытой (безмассовой) и бесконечной релятивистской струны рядом авторов [62, 68, 109, 145] были разработаны методы решения начально-краевой задачи, которые, однако, не образовывали единой системы. Для релятивистской струны с массивными концами (0.9) решение начально-краевой задачи было сопряжено с дополнительными трудностями и потребовало привлечения нестандартных подходов. Во-первых, искомое решение уравнений движения струны в их простейшей форме (0.14) (в отличие от случая акустической струны) должно удовлетворять дополнительным ограничениям — условиям ортонормальности (0.13); во-вторых, нелинейные при тщ Ф О краевые условия (0.11) или (0.15) не позволяют использовать метод Фурье и искать решение задачи в виде ряда (0.17); в-третьих, репараметризационная инвариантность действия (0.9) оставляет свободу для фиксации внутреннего уравнения начального положения струны на мировой поверхности не обязательно в виде г = О [68] (отметим, что такой вид данного уравнения возможен не при любых начальных условиях).

Нелинейность уравнений движения струны общего вида (0.10) с одной стороны и наличие дополнительных нелинейных условий (0.13) с другой не позволяют использовать стандартные методы и схемы [155]-[158] для численного решения начально-краевой задачи для системы (0.9).

В работе [1] (§3 главы 1 настоящей диссертации) был предложен метод решения начально-краевой задачи для релятивистской струны с массивными концами (0.9) (при произвольных начальных условиях), в котором перечисленные трудности были преодолены. Была выявлена связь между остаточными репараметризациями (0.7), сохраняющими вид условий (0.13) и (0.12), и свободой выбора уравнения начального положения струны (начальной кривой) на мировой поверхности. Для начальных условий общего вида было получено решение начально-краевой задачи в зоне исключительного влияния начальных данных О г (ограниченной характеристиками части области С). Краевые условия (0.11) или (0.15) использовались для однозначного продолжения решения Х'А(т,а) из зоны А1 на всю область О. Для этого краевые условия (0.15) были преобразованы к нормальной (разрешённой относительно производных) системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (глава 1 §1).

Предложенный метод решения начально-краевой задачи для релятивистской струны с действием (0.9) в случае произвольных начальных данных был реализован численно в работе [7] (глава 1 §4). Это позволяет получить и исследовать любое классическое движение рассматриваемой системы при любых значениях масс шА, что имеет большое значение, в частности, при анализе устойчивости тех или иных движений (глава 5). Отметим, что ранее численное описание движения релятивистской струны было развито лишь для случая = О — для безмассовых открытых и замкнутых струн [159] - [162 .

На основании полученного в § 1 главы 1 нового вида краевых условий (0.15) в работе [2] (глава 1 § 2) было показано, что мировая поверхность струны (0.9) однозначно восстанавливается по заданной траектории ее массивного конца. Это позволяет, в частности, полностью описывать мировую поверхность, задавая фигурирующую в условиях (0.11) и (0.15) вектор-функцию с/а(т) = (г)/уАА|(г) — единичный касательный вектор к мировой линии (вектор скорости) г-го конца струны [2, 3, 5].

Одной из самых существенных трудностей в теории релятивистской струны с массивными концами (0.9) (как и в случае других струнных конфигураций, нагруженных массивными точками) является упомянутая выше неустранимая нелинейность краевых условий (0.15) и, следовательно, невозможность реализации схемы квантования. основанной на разложении Хлл в ряд вида (0.17).

В настоящей работе развивается ряд подходов к рещению этой проблемы, изложению которых посвящены главы 3 и 5. В §§ 1,2 главы 3 предложено описание движений струны (0.9) (на примере модели с конечной массой первого конца и бесконечной — второго), основанное на том, что мировая поверхность струны представима в виде ряда, который является аналогом ряда Фурье (0.17), но не сводится к последнему из-за нелинейности краевых условий (0.15). Получено уравнение состояния струны, следующее из условия массовой поверхности для ее конца. В основу подхода положено преобразование условий (0.15) к нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [1]-[5]. Классифицированы движения (мировые поверхности) релятивистской струны с массами на концах, допускающие параметризацию, в которой уравнения движения и краевые условия являются линейными вследствие пропорциональности параметра г на траекториях концов струны натуральному параметру. Данные движения для струны (0.9) с ш1 = шг рассматривались в работах [115, 116], однако вопрос о том, насколько широк их класс, остался открытым. В работах [3] - [5 (глава 3) было показано, что в 3 -Ы - мерном пространстве Минковского все эти движения сводятся к равномерному вращению прямолинейной струны (0.18) или подобному ротационному движению несколько раз сложенной прямолинейной струны. Таким образом, если в целях квантования ограничить себя только движениями системы (0.9) с линеаризуемыми краевыми условиями, то это существенно сужает класс рассматриваемых мировых поверхностей струны.

В работе [9] (§1 главы 5) были исследованы малые возмущения произвольного вида к ротационному движению (0.18) релятивистской струны с массивными концами. Было показано, что эти возмущения (квазиротационные движения) разлагаются в спектр по осцилляторным состояниям двух типов, отвечающих колебаниям струны в плоскости вращения и в ортогональном направлении. Данные струнные состояния, имеющие вид стоячих волн, важны для расширения области действия рассматриваемой модели — описания в ее рамках не только орбитальных, но и других возбужденных состояний ад-ронов. Кроме того, проделанный анализ показал устойчивость ротационного движения (Р.18) в линейном приближении и позволил в §4 главы 5 предложить схему квантования рассматриваемой нелинейной задачи в линейной окрестности известного решения (0.18).

Перечисленные выше подходы к исследованию релятивистской струны с массивными концами (0.9) и приложению этой модели к описанию возбужденных состояний мезонов нашли свое приложение и для случая более сложных струнных конфигураций, моделирующих барион — сильновзаимодействующую систему из трех кварков.

Струнные модели бариона в четырех различных вариантах были предложены Артру (АГти) [163] сразу после появления модели мезона в виде струны с массами на концах (0.8) [69]. Упомянутые 4 варианта струнных моделей бариона различаются геометрическим характером соединения релятивистскими струнами трех материальных точек, моделирующих кварки на классическом уровне. Перечислим их кратко (более подробный обзор в главе 2): а) мезоноподобная кварк-дикварковая модель д-дд с дикварком пространственно локализованной парой кварков), рассматриваемым как материальная точка [135, 138]; б) линейная конфигурация д-д-д с соединением данных точек двумя отрезками струны, связывающими, соответственно, первый кварк со вторым и второй — с третьим [10]-[14]; в) модель "три-струна", "звездочка" или У-конфигурация, в которой три идущих от кварков струны соединяются в четвертой безмассовой точке (узле) [164]-[169], [15]-[18] и г) модель "треугольник" или А-конфигурация, в которой три материальные точки соединены попарно релятивистскими струнами, образующими криволинейный треугольник [22]-[30].

Окончательный выбор в пользу какой-либо из перечисленных моделей бариона к настоящему времени не сделан, так как все модели, обладая определенными достоинствами и недостатками могут быть использованы для описания возбужденных состояний барионов [34]-[37]. Кварк-дикварковая модель бариона используется в большом числе работ (в том числе и тех, где комбинируются струнный и потенциальный подходы 170]-[172]) из-за ее простоты и сходства со струнной моделью мезона. На классическом уровне обе этих системы моделирует релятивистская струна с массами на концах с действием (0.9), при этом один из массивных концов описывает антикварк в модели мезона д-д или дикварк в модели бариона д-дд. Из-за этого сходства практически любой метод, разработанный для модели д-д, может быть с минимальными поправками перенесен на кварк-дикварковую модель бариона. В частности, ротационные движения для последней модели имеют тот же вид (0.18), следовательно, они приводят к траекториям Редже (0.2) с тем же наклоном а' = (2щ)~а, что и для модели мезона в рамках предположения, что натяжение струны 7 для этих систем одинаково. Это является серьезным достоинством кварк-дикварковой модели бариона (относящимся и к конфигурации д-д-д), так как экспериментально мы наблюдаем примерное равенство наклонов мезонных и барионных траекторий Редже [71].

Линейная струнная конфигурации д-д-д была значительно менее популярна, чем модель бариона д-дд по двум причинам — из-за более сложной динамики и вследствие предположения, впервые высказанного в работе [135], что ротационное движение системы д-д-д должно быть неустойчивы относительно центробежного смещения центрального кварка и превращения конфигурации в кварк-дикварковую. Это предположение было количественно исследовано лишь в недавних работах [10, 11] (глава 2, §2). В них впервые была описана динамика системы д-д-д, решена начально-краевая задача для нее, а также было показано, что классическое вращение этой конфигурации действительно неустойчиво— малые асимметричные возмущения растут со временем. Однако в результате развития этой неустойчивости конфигурация д-д-д не переходит в д-дд на классическом уровне — движение системы, в частности, отклонение центральный кварка от центра вращения приобретает сложный квазипериодический характер. Независимое доказательство неустойчивости ротационного движения системы д-д-д было проведено посредством анализа спектра малых возмущений данного движения в работах [12, 13] (§2 главы 5).

Отметив, в качестве общей отличительной черты струнных моделей бариона д-дд и д-д-д их несимметричность (один из трех кварков занимает выделенное положение). перейдем к краткой характеристике симметричных струнных моделей "три-струна" и "треугольник". Они как и модель д-дд [70, 170] находят в той или иной степени подтверждение в рамках КХД, в частности, в подходе петель Вильсона [63]. Однако различные авторы предлагают разную форму данной петли для бариона — ¥-конфигурацию 173] или А-конфигурациию [174]. Другие подходы к этой проблеме, опирающиеся на КХД, также приводят у разных авторов или к Д-конфигурации [175, 176], или к ¥-конфигурации [151, 177, 178] межкваркового взаимодействия в барионе.

Модель бариона "три-струна" привлекала большее по сравнению с другими конфигурациями внимание исследователей, так как она допускает более простой вариант с безмассовыми кварками (тА = 0) [163, 164, 165, 167], тогда как остальные модели д-дд, д-д-д и Д при то, = О теряют барионную специфику. Однако даже для безмассового варианта струнной У-конфигурации не удается получить общее решение уравнений движения (удовлетворяющее всем краевым условиям) в виде ряда, подобного (0.17). Ряд данного типа, полученный в работах [167, 168] описывает лишь часть физических движений "три-струны", так как использованная при его выводе параметризация мировой поверхности, включающая условия ортонормальности (0.13) и фиксацию внутренних уравнений траекторий узла и концов струн в виде (0.12), ограничивает класс рассматриваемых мировых поверхностей [164].

Это было показано в работах [9, 15] (§4 главы 2). Предложенный в них альтернативный метод описания динамики "три-струны" позволил впервые в общем виде решить начально-краевую задачу, а также исследовать на устойчивость ротационное движение этой конфигурации, представляющее собой плоское равномерное вращение системы с прямолинейными отрезками струн, соединенными в неподвижном (в выбранной системе отсчета) узле под углами 120° [36, 163, 166, 167]. Анализ устойчивости с использованием численных методов [9,15] привел к неожиданному результату — данное движение оказалось неустойчивым на классическом уровне. Расчеты показали, что любое малое асимметричное возмущение вращающейся "три-струны" растет со временем, что неизбежно приводит к слиянию узла и массивной точки на конце одной из трех струн. В работах [17, 18] (§3 главы 5) неустойчивость равномерного вращения для модели "три-струна" с равными массами на концах доказана с помощью анализа малых возмущений данного движения в линейном приближении. В спектре этих возмущений обнаружены экспоненциально растущие моды, приводящие к росту произвольных асимметричных возмущений ротационного движения.

Струнная модель бариона "треугольник" до появления работы [22] практически не была исследована. Возможно, это связано с чисто техническими трудностями, в частности, с разрывами производных параметризации Х'л(т,а) мировой поверхности Д-конфигурации на траекториях массивных точек (кварков) и невозможностью для произвольного движения задать удовлетворяющую условиям (0.13) параметризацию, в которой все эти траектории являются координатными линиями. Эти затруднения были частично преодолены в работе [22] (§4 главы 3), в которой впервые получены классические решения для модели "треугольник", описывающие ее ротационные движения. При этом в простейшем случае (для так называемых простых движений [25]) конфигурация системы представляет собой равномерно вращающийся криволинейный треугольник с точечными кварками в вершинах, стороны которого имеют форму отрезков гипоциклоиды. Для этих движений также имеет место асимптотика (0.2) с коэффициентом Ы = |(27Г7)-^А [22], что позволяет использовать их для описания орбитальных возбуждений барионов на траекториях Редже [34]-[37] (глава 4). Наряду с простыми среди ротационных движений струнной А-конфигурации существует богатейший спектр экзотических состояний [25, 27] (§5 главы 3), среди возможных приложений которых можно отметить экзотические адроны — глюболы и гибриды [179, 180 .

Начально-краевая задача для модели бариона "треугольник" представляла серьезную проблему из-за упомянутых выше технических трудностей, возникающих при опи-саниии динамики этой конфигурации. Решение данной задачи позволило исследовать на устойчивость простые ротационные движения [9, 30] (§6 главы 3). В силу сложности динамики системы возникла необходимость использования численных методов при решении данной проблемы. В результате было установлено, что простые ротационные движения для модели бариона "треугольник" устойчивы, что выдвигает данную модель наряду с конфигурацией q-qq в ряд наиболее перспективных с точки зрения квантования в линейной окрестности устойчивого решения и дальнейших приложений в спектроскопии барионов.

Основной областью приложения рассматриваемых моделей релятивистской струны с массивными концами (как для мезонов q-q, так и для барионов q-qq) и остальных струнных моделей бариона Ц-Ц-Ц, У, А является описание орбитально возбужденных адронных состояний на траекториях Редже. Этому посвящены глава 4 настоящей диссертации л работы [34]-[37]. Для струны с массивными концами такого рода приложения при различных допущениях рассматривались ранее в работах [133] - [142], в которых с помощью ротационных движений прямолинейной струны (0.18), приводящих к квазилинейным траекториям 3 ~ а'Е"л при 3 —> оо, были описаны орбитальные возбуждения мезонов и барионов (в рамках модели ц-цц [135]). При этом в работах И. Ю. Кобзарева, Л. А. Кондратюка, В. В. Мартемьянова и М.Г. Щепкина [133]-[138] спин-орбитальное взаимодействие учитывалось в виде поправки, вызванной томасовской прецессией спина кварков, а эффективные массы кварков были выбраны на основании спектроскопии мезонов в виде гпыё = 340 МэВ, ntg = 440 МэВ. Однако при описании барионов в рамках модели Ц-ЦЦ это привело к предположению о сильном внутридикварковом взаимодействии: модельная эффективная масса синглетного (с нулевым суммарным спином) дикварка в работах [135, 138] была положена равной 220 МэВ, тогда как масса триплетного — 550 МэВ.

В работах Л. Д. Соловьева [141, 142] в качестве эффективных значений масс на концах релятивистской струны использовались токовые массы кварков. При этом учет кварковых спинов был практически сведен к добавлению в формулы для классических энергии и момента ротационного движения струны (0.18) ряда подгоночных параметров, что позволило достаточно точно описать большую часть мезонных состояний на траекториях Редже в рамках данной струнной модели. Л. Д. Соловьев включает в область применимости модели даже основные состояния с низким или нулевым орбитальным моментом, например, пионы 7Г*(139). Однако автор настоящей диссертации как и большинство других исследователей полагает, что струнные модели адекватны лишь для высших орбитально возбужденных состояний адронов с достаточно высокими значениями полного момента 3 = ЬЛ-З (X — орбитальный момент, 5" — спин в тех случаях, когда такое разделение имеет смысл [140]), так как только при таких значениях момента I или Ь межкварковое расстояние достаточно велико для того, чтобы конфигурацию глюонного поля можно было моделировать релятивистской струной [54]-[65].

В работах [34]-[37] (глава 4) в качестве основной цели рассматривались орбиталь-но возбужденные состояния барионов, и впервые для их описания были использованы струнные модели бариона А-д-д, У и А. Оказалось, что все эти модели наряду с кварк-дикварковой предсказывают квазилинейные траектории при больших значениях углового момента I. Все упомянутые модели бариона адекватно описывают орбитальные возбуждения барионов с Ь > 1, лежащие на реджевских траекториях при следующих допущениях. Спин-орбитальное взаимодействие кварков в отличие от [135,138] обусловлено предположением об отсутствии хромомагнитного поля в системе покоя центра вращения струнной конфигурации [133, 181]. Эффективное натяжение струны для моделей У и А отличается от фундаментальной константы 7 в системах д-д и д-дд соответственно множителями 2/3 и 3/8. Эффективные значения масс кварков Ший-, чтАз, чАс наряду с константой 7 являются единственными параметрами теории, определяемыми исходя из экспериментальных данных. В частности, для эффективных масс оценки приводят к значениям тоАсг = 130 МэВ, = 270 МэВ, которые являются промежуточными по сравнению с соответствующими параметрами в моделях [135] и [140 .

• В рамках этих предположений были достаточно хорошо описаны практически все линейные и слабонелинейные траектории Редже в области Ь > 1 для барионов (ниже указаны основное состояние и спин-четность орбитальных возбуждений) N{938) (1А = 1/2+, 5/2+, 9/2+,.), ЛГ(1520) (7А = 3/2", 7/2",.), АА(1675) (5/2", 7/2+, 9/2"), А(1232) (3/2+, 7/2+,.), А(1930) (5/2+, 9/2+,.), А(1700) (7А = 3/2", 5/2+, 7/2",.), Л (1А = 1/2+,3/2-,5/2+,7/2-,.), Л(1405) (1/2-,3/2+), Е(1193) (1/2 + 3/2-5/2 + ,.), Н(1315) (1/2+, 3/2",5/2+) [37], а также для мезонов. Последнее означает, что зафиксированные на основании спектроскопии барионов параметры модели 7, т„й, тА, а также указанный тип спин-орбитального взаимодействия при использовании модели релятивистской струны с массивными концами {д-д) приводят к траекториям Редже для мезонов р — а, тг, К*, хорошо согласующимся с экспериментальными данными [71 (см. Приложение 1).

Отметим, что все четыре рассмотренных выше модели бариона при упомянутых допущениях относительно эффективных натяжений одинаково хорошо описывают траектории Редже для легких и странных барионов. В этих условиях для выбора наиболее адекватной струнной модели на первый план выходит вопрос об устойчивости их ротационных движений. Напомним, что исследования [9, 11,13,15, 18] (главы 3,5) показали неустойчивость данных состояний для конфигураций д-д-д, У и устойчивость — для моделей д-дд (д-д) и А.

Предсказания предлагаемых струнных моделей адронов в работе [37] (§ 7 главы 4) сравниваются как с экспериментальными данными, так и с широким спектром существующих теоретических (в частности, потенциальных) моделей адронов.

Охарактеризуем то новое, что вносится в решение очерченного круга по-блем в настоящей диссертации.

Впервые получено решение поставленной в самом общем виде начально-краевой задачи для релятивистской струны с массивными концами, разработан численный алгоритм ее решения. Введены в научный оборот струнные модели бариона "треугольник" и линейной конфигурации. Для модели "треугольник" впервые были найдены нетривиальные точные решения, описывающие ротационные движения и приводящие к набору квазилинейных траекторий Редже с различным наклоном. Эта модель была впервые использована для описания орбитально возбужденных состояний барионов. Для всех струнных моделей бариона была решена начально-краевая задача с использованием разработанной численной процедуры. Впервые на количественном уровне была исследована струнная линейная конфигурация (д-д-д) как модель бариона, для которой была доказана неустойчивость ротационного движения как с помощью численного моделирования, так и в рамках разработанного метода анализа малых возмущений. Новым неожиданным результатом оказалось обнаружение в численных экспериментах неустойчивости ротационного движения модели бариона "три-струна" — для независимого доказательства этого факта для данной системы был также развит метод анализа малых возмущений. Была решена в самом общем виде старая проблема анализа квазиротационных состояний (малых возмущений вращательного движения) для релятивистской струны с массивными концами.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ И ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Для релятивистской струны с массивными концами решена начально-краевая задача с начальными условиями самого общего вида, разработан алгоритм численного решения данной задачи, позволяющий получить и исследовать любое классическое движение этой системы.

2. Показано, что мировая поверхность струны однозначно определяется по заданной траектории массивного конца. На основании этого факта разработан метод анализа и полного описания квазиротационных состояний релятивистской струны с массивными концами и ряда струнных моделей бариона. В случае струны с массивными концами все эти состояния были представлены в виде ряда Фурье в линейной окрестности (устойчивого) ротационного решения.

3. Проведена полная классификация движений релятивистской струны с массивными концами, допускающих линеаризацию краевых условий; показано, что в 3 -М -мерном пространстве Минковского все эти движения сводятся к ротационным — к равномерному вращению прямолинейной струны или п раз сложенной струны.

4. Впервые на количественном уровне исследованы струнные модели бариона "треугольник" и линейная конфигурация. Для этих систем, а также для модели "три-струна" решена начально-краевая задача при произвольных начальных условиях. разработан численный алгоритм ее решения, позволяюший исследовать любые физические мировые поверхности для всех упомянутых струнных моделей.

5. Найдены точные решения классических уравнений движения для модели бариона "треугольник", описывающие ротационные движения с отрезками вращающейся струны в форме гипоциклоиды. Проведена исчерпывающая классификация этих решений.

6. С помощью численного моделирования малых возмущений проведен анализ устойчивости ротационных движений для релятивистской струны с массивными концами, струнной линейной конфигурации (д-д-д), моделей бариона "треугольник" и "три-струна" (У): показано, что эти движения неустойчивы для конфигураций У и линейной, однако для струны с массивными концами и модели "треугольник" простые ротационные состояния являются устойчивыми.

7. Обнаруженные численными методами устойчивость классических ротационных движений струны с массами на концах и неустойчивость соответствующих состояний для линейной конфигурации и модели "три-струна" доказаны посредством исследования их произвольных малых возмущений. Критерием неустойчивости является наличие растущих мод в спектрах возмущений.

8. С помощью четырех струнных моделей бариона (кварк-дикварковой, линейной, "три-струна" и "треугольник") описаны траектории Редже для орбитальных возбуждений барионов Н, Д, Л, Е, Е и оценены эффективные массы кварков с учетом квантовых поправок.

9. В рамках развитого для барионов подхода с помощью модели релятивистской струны с массивными концами описаны траектории Редже для легких, странных и очарованных мезонов.

Опишем кратко структуру диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шаров, Герман Сергеевич

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Моделирующая мезон релятивистская струна с массивными концами и четыре струнные модели бариона (кварк-дикварковая, линейная, "три-струна" и "треугольник") были использованы для описания возбужденных состояний мезонов и барионов, причем модели "треугольник", линейная конфигурация и модель "три-струна" с массивными концами были применены для этой цели впервые.

С помощью ротационных движений упомянутых четырех струнных моделей бариона учетом спиновых поправок, в частности, спин-орбитального взаимодействия, описаны как траектории Редже для орбитальных возбуждений барионов N, Д, Л, S, Н, П, так и (с использованием модели релятивистской струны с массивными концами) орбитально возбужденные состояния легких а, р, тг, странных К, К* и очарованных D мезонов. Описание наблюдаемых спектров мезонов и барионов произведено в рамках единых предположений об эффективных (модельных) значениях натяжения струны, масс кварков mud = 130 МэВ, ms = 300 МэВ, Шс = 1500 МэВ и о типе спин-орбитального взаимодействия — здесь перечислены все свободные параметры модели. При этом струнные модели бариона "три-струна" (Y) и "треугольник" (Д) могут претендовать на описание ведущих траекторий Редже для барионов только в том случае, если эффективное натяжение для них отличается от фундаментальной константы 7 = 0.175 ГэВА в струнной модели мезона (или в Кварк-дикварковой модели бариона) следующими множителями: 7У = I7, 7д = I7. В рамках этих предположений предсказания различных струнных моделей бариона очень близки между собой — они хорошо описывают наблюдаемый спектр орбитально возбужденных состояний.

2. Для модели релятивистской струны с массивными концами в самом общем виде сформулирована и решена начально-краевая задача, подразумевающая определение классического движения системы при следующих начальных условиях: начальное положение струны в пространстве Минковского задано в виде произвольной пространст-венноподобной линии жА = р'*(Л), на которой заданы начальные скорости точек струны времениподобная вектор-функция v'A = •y'A(A), Л G [Ai,A2]. Впервые разработан алгоритм численного решения данной задачи, позволяющий получить и исследовать любое классическое движение релятивистской струны с массивными концами, что оказывается необходимым при анализе ряда проблем, касающихся динамики этой системы.

3. Впервые на количественном уровне исследованы струнные модели бариона "треугольник" и линейная конфигурация, предложено-действие и выведены уравнения движения для этих систем. Для всех существующих струнных моделей бариона, включая линейную конфигурацию, "три-струну" и "треугольник" сформулирована и решена начально-краевая задача при произвольных начальных условиях, разработан численный алгоритм ее решения. Таким образом, любые физические движения для всех упомянутых струнных моделей впервые могут быть смоделированы и исследованы с помощью данного метода. в качестве приложения разработанной численной процедуры решения начально-краевой задачи проведен анализ устойчивости ротационных движений для релятивистской струны с массивными концами, струнной линейной конфигурации (д-д-д), моделей бариона "треугольник" и "три-струна" (У) при помощи численного моделирования малых возмущений. Результаты исследования показали, что эти движения неустойчивы для конфигураций У и линейной — малые возмущения произвольного вида растут со временем и, в частности, для модели "три-струна" приводят к неизбежному слиянию струнного узла и массивной точки на конце одной из струн. Развитие неустойчивости ротационного движения линейной конфигурации д-д-д приводит к сложному квазипериодическому движению центральной массивной точки (кварка), однако эта система не переходит в кварк-дикварковую на классическом уровне.

В то же время, для струны с массивными концами и модели "треугольник" численное моделирование произвольных малых возмущений показало, что (простые) ротационные состояния этих систем являются устойчивыми — амплитуды возмущений не растут со временем.

4. Проведена полная классификация движений релятивистской струны с массивными концами, допускающих линеаризацию краевых условий посредством натуральной параметризации траекторий концов. В рамках этого ограничения динамика системы может быть описана с помощью собственных функций некоторой краевой задачи, обобщающей задачу Штурма-Лиувилля. Доказана полнота системы этих функций в классе С([0,тг]). Показано, что ряд Фурье описывающий движения рассматриваемого класса, обязан быть конечной суммой с числом слагаемых, зависящим от размерности пространства, а в 3 -|-1 - мерном пространстве Минковского все эти движения сводятся к ротационным — к равномерному вращению прямолинейной струны или п раз сложенной струны, в которой точки сгиба движутся со скоростью света.

5. Впервые найдены точные решения классических уравнений движения для модели бариона "треугольник", описывающие ротационное движение — равномерное вращение замкнутой струны, нагруженной тремя массивными точками. Обнаружено, что отрезки струны, соединяющие эти точки, имеют форму классической плоской кривой — гипоциклоиды. Проведена исчерпывающая классификация этих решений. Рассчитаны энергия и угловой момент для них. Эти выражения приводят к квазилинейным траекториям Редже, что позволило использовать ротационные движения модели "треугольник" для описания орбитально возбужденных состояний барионов, лежащих на траекториях Редже.

6. Показано, что мировая поверхность релятивистской струны однозначно определяется по заданной траектории ее массивного конца, причем это верно не только для струны с массивными концами но и для мировых листов струнных конфигураций д-д-д и У. На основании этого факта разработан метод анализа и полного описания малых возмущений ротационных движений (квазиротационных состояний) релятивистской струны с массивными концами, а также струнной линейной конфигурации и модели бариона "три-струна". Для струны с массивными концами полный спектр квазиротационных состояний получен в виде ряда Фурье, в котором каждое слагаемое описывает определенную моду колебаний вращающейся струны. Выявлено два типа таких мод — колебания в плоскости вращения струны и в ортогональном направлении.

Обнаруженные численными методами устойчивость классических ротационных движений струны с массами на концах и неустойчивость соответствующих состояний для линейной конфигурации и модели "три-струна" доказаны посредством исследования их произвольных малых возмущений. Критерием неустойчивости является наличие растущих мод в спектрах квазиротационных состояний. Если для струны с массивными концами для различных мод колебаний все частоты оказались вещественными (что дока-зь1вает устойчивость ротационного движения в линейном приближении), то в спектрах возмущений конфигураций д~д-д и У обнаружены комплексные частоты, приводящие к экспоненциальному росту амплитуд соответствующих возмущений.

В заключение автор хотел бы выразить чувство глубочайшей признательности всем своим коллегам по кафедре функционального анализа и геометрии ТвГУ во главе с Александром Михайловичем Шелеховым за атмосферу доброты и чуткости, окружавшей его все годы работы на кафедре, а также Борису Михайловичу Барбашову за введение в круг научных проблем, легших в основу настоящей диссертации, и Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку работы в рамках проекта № 00-02-17359 "Струнные модели мезойов и барионов".

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шаров, Герман Сергеевич, 2001 год

1. Б. М. Барбашов, Г. С. Шаров.Начально-краевая задача для релятивистской струны с массивными концами // Теор.мат.физ. 1994. Т. 101. N. 2. С. 253-271.

2. Г. С. Шаров. Определение мировой поверхности по траектории массивного конца релятивистской струны // Теор. мат. физ. 1995. Т. 102. N: 1. С. 150-159.

3. Г. С. Шаров. Аналоги рядов Фурье для модели релятивистской струны с массивными концами II Теор.мат.физ. 1996. Т. 107. N. 1. С. 86-99.

4. В. П. Петров, Г. С. Шаров. Об определенном классе мировых поверхностей релятивистской струны с массивными концами в многомерных пространствах Минков-ского I Тез. Междунар. геом. сем. им. Н. И. Лобачевского. Казань. 1997. С. 95.

5. Г. С. Шаров. Решение начально-краевой задачи для релятивистской струны с массивными концами II Ж. выч. матем.и мат. физ. 1997. Т. 37. N: 5. С. 605-616.

6. В. П. Петров, Г. С. Шаров. О начально-краевой задаче, возникающей в теории релятивистской струны с массами на концах / Сб.: Применение функцион. анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 1997. С. 83-88.

7. G. S. Sharov. Quasirotational motions and stability problem in the dynamics of string hadron models 11 Phys. Rev. D. 2000. V. 62. N. 9. P. 094015, hep-ph/0004003.

8. V. P. Petrov, G. S. Sharov. Rotational stability of linear string baryon configuration, hep-ph/9812527.

9. G. S. Sharov. Quasirotational disturbances of linear string baryon configuration, hep-ph/0109167.

10. В. П. Петров, Г. С. Шаров. О некотором классе решений для струнной линейной модели бариона / Сб.: Применение функцион. анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2001. С. 152-158.

11. G. S. Sharov. Instability of classic rotational motion for three-string baryon model, hep-ph/0001154.

12. G.S. Sharov. Strings in meson and baryon physics / Proc. of Intern. Conf. "Quantization, Gauge Theory, and Strings" in memory of E. S. Fradkin. Moscow. 2000. P. 877-882, hep-ph/0010236.

13. G. S. Sharov. Excitations of rotational states in string model of meson and in three-string baryon model, hep-ph/0012334.

14. Г. C. Шаров. Об устойчивости ротационных движений для струнных моделей ад-ронов I Сб.: Применение функцион. анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2001. С. 143-151.

15. G. S. Sharov. N&w classes of solutions in string meson and baryon models j Proc. XXIII Intern. Colloq. on Group Theor. Methods in Physics. Dubna. 2000. P. 1422-1428.

16. G. S. Sharov. V. P. Petrov. String models of mesons and baryons and Regge trajectories I Proc. of XV Intern. Workshop "Quantum Field Theory and High Energy Physics. Tver. 2000. P. 1066-1074.

17. Г. C. Шаров. Неустойчивость струнной модели бариона Y в рамках классической динамики II Яд.физ. 2001. Т. 64. N. 12. (в печати).

18. Г. С. Шаров Струнная модель бариона "треугольник" // Теор. мат. физ. 1997. Т. 113. N. 1. С. 68-84.

19. Г. С. Шаров Точные решения для струнной модели бариона "треугольник" / Тез. докл. Международн. геом. сем. им. Н.И.Лобачевского. Казань. 1997. С. 130.

20. Г. С. Шаров О некотором классе решений для струнных моделей мезонов и барионов I Сб.: Применение функционального анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 1998, с. 186-193.

21. Г. С. Шаров Классификация ротационных движений для струнной модели бариона "треугольник" // Теор. мат. физ. 1998. Т. 114. N. 2. С. 277-295.

22. G. S. Sharov. String baryonic model "triangle": Hypocycloidal solutions, hep-th/9808099.

23. G.S. Sharov. String baryonic model "triangle": Hypocycloidal solutions and the Regge trajectories 11 Phys. Rev. D. 1998. V. 58. N. 11. P. 114009.

24. B. П. Петров, Г. С. Шаров. Динамика струнной модели бариона "треугольник" / Сб.: Моделирование сложных систем. Тверь. ТвГУ. 1999. С. 103-113.

25. В. П. Петров, Г. С. Шаров. Численное исследование устойчивости ротационных движений струнных барионных конфигураций / Сб.: Моделирование сложных систем. Тверь. ТвГУ. 2000. С. 103-113.

26. G.S. Sharov, V. Р. Petrov. Initial-boundary value problem and stability of solutions for string baryon model "triangle", hep-ph/990342931. p. А. Лосенкова, Г. С. Шаров. О динамике кольцеобразной космической струны / Сб.:

27. Ученые записки Тверского гос. ун-та. Тверь."ТвГУ. 1999. Т. 5. С. 29-32. 32. Е. Г. Воронцова, Г. С. Шаров. Многомерные космологические решения фридмановско-го типа в дилатонной гравитации // Теор.мат. физ. 2000. Т. 123. N. 1. С. 163-176.

28. В. П. Петров, Г. С. Шаров. Асимптотики зависимости момента от энергии для струнных моделей адронов / Сб.: Применение функцион. анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 1999. С. 160-164.

29. G. S. Sharov. Four various string baryon models andRegge trajectories, liep-ph/9809465.

30. G.S. Sharov. String baryon model "triangle", quark masses and Regge trajectories / Proc. XI Int. Conf. "Problems of Quantum Field Theory" Dubna, 1998, P. 301-305.

31. Г. C. Шаров. Струнные модели бариона и траектории Редже // Яд. физ. 1999. Т. 62. N. 10. С. 1831л1843.

32. А. Inopin, G. S. Sharov. Hadronic Regge trajectories: problems and approaches // Phys. Rev. D. 2001. V. 63. 054023, hep-ph/9905499.

33. B. M. Барбашов, H. A. Черников. Решение и квантование нелинейной двумерной модели типа Борна-Инфелъда // Ж.экспер. и теор.физ. 1966. Т. 50. Вып. 5. С. 12961308.

34. Б. М. Барбашов, Н. А. Черников. Решение задачи о рассеянии двух плоских волн в нелинейной скалярной теории поля типа Борна-Инфелъда //Ж. экспер. и теор. физ. 1966. Т. 51. Вып. 2(8). С. 658-668.

35. У. Nambu. Lectures at the Copenhagen symposium, (неопубл.) (1970).41. 0. Нага An origin and physical meaning of Ward-like identity in dual-resonance model II Prog. Theor. Phys. 1971. V. 46. N. 5. P. 1549-1559.

36. T. Goto. Relativistic quantum mechanics of one-dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model 11 Prog. Theor. Phys. 1971. V. 46. N. 5. P. 1560-1569.

37. W. Marciano, H. Pagels. Quantum chromodynamicsЦ Phys. Rep. C. 1978. V. 36. N. 3. P. 137,-276; M. Кройц. Кварки, глюоны и решетки. М.: Мир, 1983.

38. Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1990.

39. М. Б. Волошин, К. А. Тер-Мартиросян. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.: Наука, 1984.

40. С. Огава, С. Савада, М. Накагава. Составные модели элементарных частиц М.: Мир, 1983.

41. Л. Г. Ландсберг. Экзотические барионы // Усп. физ. наук. 1994. Т. 164. N. 11. С. 1129-1165.

42. В. В. Анисович. Экзотические мезоны: поиск глюболов // Усп. физ. наук. 1995. Т.

43. N. 11. С. 1225-1247. 49. D.V. Bugg, М. Peardon, B.S. Zou. The glueball spectrum Ц Phys. Lett. B. 2000. V. 486. N. 1. P. 49-53, hep-ph/0006179.

44. В. Б. Береетецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989; А. И. Ахиезер, В. Б. Береетецкий, Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981.

45. Т. Regge. Introduction to complex orbital momenta // Nuovo Cim, 1959. V. 14. N. 5. R 951-960.

46. R D. B. Collins. An introduction to Regge theory and high energy physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1977.

47. N. G. Stefanis. The physics of exclusive reactions in QCD: Theory and phenomenology II Eur. Rhys. Journ. direct. 1999. V. C7. P. 1-109, hep-ph/9911375 .

48. Y. Nambu. QCD and the string model 11 Phys. Lett. B. 1979. V. 80. N. 4-5. P. 372-376.

49. A. Yu. Dubin, A. B. Kaidalov, Yu. A. Simonov. Dynamical regimes of the QCD string with quarks II Phys. Lett. B. 1994. V. 323. N. 1. P. 41-45.

50. Г. C. Ирошников. Квазиклассическое l/N-приближение и эффективная струнная динамика в Зи(Н)-калибровочной теории II Яд.физ. 1995. Т. 58. N. 1. С. 149-154.

51. М, Baker, R. Steinke. Effective string theory of vortices and Regge trajectories II Phys. Rev. D. 2001. V. 63. N. 9. P. 094013.

52. Yu. A. Simonov. Connection between confinement and spontaneous chiral symmetry breaking in QCD 11 Яд. физ. 1991. Т. 54. N. 2. С. 224-240.

53. B. M. Барбашов, В. В. Нестеренко. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987; В.М. Barbashov,' V. V. Nesterenko. Introduction to the relativistic string theory. Singapore: World scientific, 1990.

54. K. G. Wilson. Confinement of quarks 11 Phys. Rev. D. 1974. V. 10. N. 8. P. 2445-2459.

55. Й. Намбу. Почему нет свободных кварков? II Усп. физ. наук. 1978. Т. 124. С. 147169.

56. Й. Намбу. Кварки: на переднем крае физики элементарных частиц. М.: Мир, 1984.

57. G. Lambíase, V. V. Nesterenko. Quark mass correction to the string potential // Phys. Rev. D. 1996. V. 54. N. 12. P. 6387-6398, hep-th/9510221.

58. H. Kleinert, G. Lambíase, V. V. Nesterenko. Hadronic string without tachyons: real inter-quark potential between a heavy and a light quark at all distances // Phys. Lett. B.1996. V. 384. N. 2. P. 213-217.

59. Б. M. Барбашов, H. A. Черников. Классическая динамика релятивистской струны II Препринт ОИЯИ Р2-7852. Дубна. 1974.

60. А. Chodos, С В . Thorn. Making the massless strings massive // Nucl. Phys. B. 1974. V. 72. N. 3. P. 509-522.

61. M. Szczekowski. Diquarks in elementary particle physics // Int. J. Mod. Phys. A. 1989. V. 4. P. 3985-4035.

62. Yl. D.E. Groom et a/., Partice Data Group // Eur. Phys. J. C. 2000. V. 15. P. 1.

63. G. F. Chew, S. C. Prautschi. Regge trajectories and the principle of maximum strength for strong interactions // Phys. Rev. Lett. 1962. V. 8. N. 1. P. 41-44.

64. A. Inopin. The naked truth about hadronic Regge trajectories, hep-ph/0012248.

65. Y. Nambu. Strings, monopoles and gauge fields // Phys. Rev. D. 1974. V. 10. N. 12. P. 4262-4268.

66. K. S. Gupta, C. Rosenzweig. Semiclassical decay of excited string states on leading Regge trajectories // Phys. Rev. D. 1994. V. 50. N. 5. P. 3368-3376, hep-ph/9402263.

67. И. Ю. Кобзарев, Б. В. Мартемьянов, М. Г. Щепкин. Распады орбиталъно возбужденных адронов II Яд.физ. 1988. Т. 48. N. 2. С. 344-355.

68. G. Veneziano. Construction of а crossing-symmetric, Regge behaved amplitude for linearly rising trajectories II Nuovo Cim. A. 1968. V. 57. P. 190-205.

69. H. B. Nielsen, P. Olesen. A parton view on dual amplitudes II Phys. Lett. B. 1970. V. 32. P. 203,-207.

70. L. Susskind. Dual symmetric theory of hadrons. 1 II Nuovo Cim. A. 1970. V. 69. P. 457-496.

71. A. Chodos at al. A new extended model of hadrons II Phys. Rev. D. 1974. V. 9. P. 3471-3495; A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C.B. Thorn. Baryon structure in the bag theory 11 Phys. Rev. D. 1974. V. 10. P. 2599-2613.

72. B. B. Владимирский. Релятивистская струна как предельный случай вытянутого мешка II Яд. физ. 1984. Т. 39. Вып. 2. С. 493-495.

73. А. Ю. Морозов. Теория струн — что это такое? // Усп. физ. наук. 1992. Т. 162. N. 8. С. 83-176.

74. Д. И. Блохинцев. Пространство и время в микромире. М.: Наука, 1970.

75. R. Dolen, D. Horn, С. Schmid. Finite energy sum rules and their application to nN charge exchange 11 Phys. Rev. 1986. V. 166. P. 1768-1781.

76. M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. Т. 1,2. М.: Мир, 1990; М. В. Green, J. Н. Schwarz, Е. Witten, Superstring theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.

77. K. Bardakci, H. Ruegg. Reggeized resonance model for the production amplitude // Phys. Lett. B. 1969. V. 28. N. 2. P. 342-348.

78. J. E. Paton, H. M. Chan. Generalized Veneziano model with isospin II Nucl. Phys. Lett. B. 1969. V. 10. N. 3. P. 516-520.

79. M. A. Virasoro. Generalization of the Veneziano's formula for five-point function // Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. N. 1. R 3 7-42.

80. J. A. Shapiro Electrostatic analogue of the Virasoro model // Phys. Lett. B. 1970. V. 33. N. 2. P. 361-365.

81. P. Ramond. Dual theory forfree fermion // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 2415-2418.

82. A. Neveu, J.H. Schwarz. Factorizable dual model of pions jj Nucl. Phys. B. 1971. V. 31. N. 1. P. 86-112.

83. A.M. Polyakov. Quantum geometry of bo sonic strings // Phys. Lett. B. 1981. V. 103. N. 2. P. 207-210; Quantum geometry offermionic strings //Phys. Lett. B. 1981. V. 103. N. 2; P. 211-213.

84. M. A. Virasoro. Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models // Phys. Rev. D. 1970. V. 1. N. 10. P. 2933-2943.

85. P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi, C. B. Thorn. Quantum dynamics of a massless relativistic string//Nucl. Phys. B. 1973. V. 56. N. 1. P. 109-135.

86. L. Brink, H. B. Nielsen. A simple physical interpretation of the critical dimension of space-time in dual models // Phys. Lett. B. 1973. V. 45. N. 2. P. 332-337.

87. F. Gliozzi, J. Scherk, D. Olive. Supergravity and the dual spinor model // Phys. Lett. B. 1976. V. 65. N. 2. P. 282-288; Super symmetry, supergravity theories and the spinor dual model // Nucl. Phys. B. 1976. V. 122. N. 2. P. 253-290.

88. M. B. Green, J. H. Schwarz. Supersymmetrical dual string theory // Nucl. Phys. B.1981. V. 181. N. 3. P. 502-530; Nucl Phys. B. 1982. V. 198. N. 2. P. 252-268. 100. Л. Бринк, M. Энно. Принципы теории струн. М.: Мир, 1991.

89. А.Ю. Морозов. Интегрируемость и матричные модели // Усп. физ. наук. 1994. Т. 164. N. 1. С. 112-165

90. А. В. Маршаков. Струны, суперсимметричные калибровочные теории и интегрируемые модели II Теор. мат. физ. 1999. Т. 121. N. 2. С. 179-243. 103] J. Scherk, J. Н. Schwarz. Dual models for nonhadrons 11 Nucl. Phys. B. 1974. V. 81. N. 1. P. 118-144.

91. P. K. Townsend. p-Brane Democracy, hep-th/9507048; E. Bergshoeif, P. K. Townsend. SuperD-branes revisited 11 Nucl. Phys. B. 1998. V. 531. N. 1. C. 226-238; J. Polchinski, ТА SI Lectures on D-branes, hep-th/9611050.

92. A. A. Абрикосов. 0 магнитных свойствах сверхпроводников второго рода // Ж. экспер. и теор. физ. 1957. Т. 32. N. 6. С. 1442-1452.

93. Н. В. Nielsen, Р. Olesen. Vortex line models for dual strings 11 Nucl. Phys. B. 1973. V. 61. N. L P. 45-61.

94. M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble. Cosmic strings 11 Rept. Prog. Phys. 1995. V. 58. P. 477-562, hep-ph/9411342.

95. P. H. Frampton. String approach to hadron structure // Phys. Rev. D. 1975. V. 12. N. 2. P. 538-545.

96. Б. M. Барбашов, В. В. Нестеренко. Релятивистская струна с массивными концами II ТМФ. 1977. Т. 31. N 2. С. 291-299.

97. В. М. Barbashov. Some solutions of the equations of motion of relativistic string with massive ends 11 Nucl. Phys. B. 1977. V. 129. N. 1. P. 175-188.

98. W. A. Bardeen, I. Bars, A. J. Hanson, R. D. Peccei. A study of the longitudinal kink modes of the string 11 Phys. Rev. D. 1976. V. 13. N. 8. P. 2364-2382.

99. R. Andreo, F. Rohrlich. A string model of mesons 11 Nucl. Phys. B. 1976. V. 115. P. 521-532.

100. R. Andreo, F. Rohrlich. Longitudinal vibrations of the relativistic string II Phys. Rev.

101. D. 1978. V. 18. N. 8. P. 2967-2981. 120. K. Kikkawa, T. Kotani, M. Sato. Meson mass spectra in the quark string model II Phys. Lett. B. 1978. V. 73. N. 2. R 214-219.

102. B. M. Barbashov, V. V. Nesterenko, A. M. Chervyakov. Infinite relativistic string with a pointlike mass 11 Lett. Math. Phys. 1978. V. 2. P. 291-295.

103. M. Ida. Relativistic motion of massive quarks joined by a massless string // Prog. Theor. Phys. 1978. V. 59. N. 5. P. 1661-1676.

104. Б. M. Барбашов, A. Л. Кошкаров. Геометрический подход к динамике релятивистской струны II Теор. мат. физ. 1979. Т. 39. N. 1. С. 27-34.

105. Б. М. Барбашов, В. В. Нестеренко, А. М. Червяков. Обобщение модели релятивистской струны в геометрическом подходе // Теор. мат. физ. 1980. Т. 45. N. 2. С. 365376.

106. В.М. Barbashov, V.V. Nesterenko, A.M. Chervyakov. The solitons in some geometrical field theories 11 J. Phys. A. 1980. V. 13. P. 301-312.

107. B. M. Barbashov, V. V. Nesterenko. Relativistic string model in a space-time of a constant curvature 11 Commun. Math. Phys. 1981. V. 78. N. 4. P. 499-506.

108. B.M. Barbashov, V. V. Nesterenko, A.M. Chervyakov. General solutions of nonlinear equations in the geometric theory of the relativistic string // Commun. Math. Phys.1982. V. 84. N. 4. P. 471-481.

109. Б. М. Барбашов, В. В. Нестеренко. Геометрический анализ нелинейных уравнений в теории релятивистской струны // Физ. элем, частиц и атомн. ядра (ЭЧАЯ) 1984. Т. 15. Вып. 5. С. 1032-1072.

110. Б. М. Барбашов, А. М. Червяков. Геометрический метод решения краевой задачи в теории релятивистской струны с массами на концах // Теор. мат. физ. 1988. Т. 74. N. 3. С. 430-439.

111. V. V. Nesterenko. Curvature and torsion of the world curve in the action of the relativistic particle // J.Math.Phys. 1991. V. 32. P. 3315-3320.

112. Б.М. Барбашов, A.M. Червяков. Действие на расстоянии и уравнения движения двух массивных точек, связанных релятивистской струной // Теор. мат. физ. 1991. Т. 89. N. I.e. 105-120.

113. V. V. Nesterenko. On the radial motion of quarks bound by a string // Z. Phys. C. 1990. V. 47. N. 1. P. 111-124.

114. И. Ю. Кобзарев, Б. В. Мартемьянов, М. Г. Щепкин. Спин-орбитальная связь в модели струны //Яд. физ. 1986. Т. 44. N. 2. С. 475-482.

115. И. Ю. Кобзарев, Б. В. Мартемьянов. Прецессия спинов кварков в струнной КХД модели II Яд.физ. 1990. Т. 52. N. 2. С. 296-298.

116. И.Ю. Кобзарев, Л. А. Кондратюк, Б. В. Мартемьянов, М.Г. Щепкин. Орбитальные возбуждения легких адронов // Яд. физ. 1987. Т. 45. N. 2. С. 526-534.

117. Л. А. Кондратюк, Б. В. Мартемьянов, М. Г. Щепкин. Орбитальные возбуждения экзотических мезонов и проблема бариония // Яд. физ. 1987. Т.46. С. 1552-1561.

118. Л. А. Кондратюк, Б. В. Мартемьянов, М. Г. Щепкин. Орбитальные возбуждения адронов с тяжедыми кварками // Яд. физ. 1988. Т. 47. С. 1747-1751.

119. И.Ю. Кобзарев, Б.В. Мартемьянов, М.Г. Щепкин. Орбитальные возбуждения адронов II УФК. 1992. Т. 162. N. 4. С. 1-41.

120. В.М. Barbashov. Classical dynamics of rotating string with massive ends 11 Procl. of X Intern, conf. "Strong interactions at long distances". Uzhgorod. Sept. 1994. L.L. Jenkovsky (ed.), Hadronic Press, ISBN 1995. P. 257-275; Preprint JINR E2-94-444.

121. Л. Д. Соловьев. Релятивистская кварковая модель мезонов II Теор. мат. физ. 1998. Т. 116. N. 2. С. 225-247.

122. Л. Д. Соловьев. Релятивистская модель мезонов с токовыми массами кварков // Яд. физ. 1999. Т. 62. N. 3. С. 534-547.

123. T. J. Allen, M. G. Olsson, S. Veseli. Adiabatic string shape for non-uniform rotation II Phys. Rev. D. 1999. V. 59. N. 9. P. 094011, hep-ph/9810363.

124. T. J. Allen, M. G. Olsson, S. VeseU. Curved QCD string dynamics II Phys. Rev. D. 1999. V. 60. N. 7. P. 074026, hep-ph/9903222.

125. Г. П. Пронько, А. В. Разумов, Л. Д. Соловьев. Классическая динамика релятивистской струны//Физ.элем.частиц и атомн.ядра (ЭЧАЯ) 1983. Т. 14. N: 3. С. 558-577. 146] Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

126. D. LaCourse, М. G. Olsson. String potential model. 1. Spinless quarks // Phys. Rev.

127. D. 1989. V. 39. N. 9. P. 2751-2757. 148. C. Olson, M. G. Olsson, K. Williams. QCD: relativistic flux tubes and potential models

128. Phys. Rev. D. 1992. V. 45. N. 9. P. 4305-4311. 149. C. Olson, M. G. Olsson, D. LaCourse. The quantized relativistic flux tube // Phys. Rev. D. 1994. V. 49. N. 9. P. 4675-4682.

129. M. G. Olsson, S. Veseli. The asymmetric flux tube // Phys. Rev. D. 1995. V. 51. N. 7. P. 3578-3586.

130. N. Isgur, J. Paton. Flux tube model for hadrons in QCD // Phys. Rev. D. 1985. V. 31. N. 11. P. 2910-2929.

131. H.C. Кошляков, Э.Б. Глинэр, М.М. Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.

132. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1980.

133. В. А. Стеклов. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983.

134. С. К. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.

135. Е. А. Волков. Численные методы. М.: Наука. 1987.

136. Дж. Ф. Трауб. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир. 1985.

137. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.

138. C. B. Клименко, И.Н. Никитин. Исследование особенностей на мировых листах открытых релятивистских струн // Теор. мат. физ. 1998. Т. 114. N. 3. С. 380-398. ТМФ. 1998. Т. 114. N 3. С. 380.

139. S. V. Klimenko, L N. Nikitin. Exotic solutions in string theory // Nuovo Cim. A. 1998. V. 111. P.T43 1-1455, hep-th/9906050.

140. X. Artru. String models with baryons: topologyЛ classical motion // Nucl. Phys. B. 1975. V. 85. N. 2. P. 442-460.

141. P. A. Collins, J.L. Hopkinson, R. W. Tucker. Classical solutions for the relativistic . three-string baryon problem // Nucl. Phys. 1975. V. BlOO. N. 1. P. 157-178.

142. K. Sundermeyer, A. de la Torre. Toward quantization of a "three-string" // Phys. Rev. D. 1977. V. 15. P. 1745-1755.

143. A. Л. Кошкаров, Динамика релятивистской барионной струны с массами на концах, Препринт 0ИЯИ-Р2-Ш04, Дубна, 1977.

144. М.С. Плющай, Г. П. Пронько, А. В. Разумов. Струнная модель бариона. 1. Канонический формализм и общее решение уравнений движения три-струны // Те-ор.мат.физ. 1985. Т. 63. N: 1. С. 97-112.

145. М. С. Плющай, Г. П. Пронько, А. В. Разумов. Струнная модель бариона. 3. Квантовая теория одномодовых конфигураций три-струны // Теор. мат. физ. 1986. Т. 67. N. 2. С. 396-409.

146. L. A. Kondratyuk, A. V. Vasilets Multi-quark exotics in a string like model with diquarks II Nuovo Cim. A. 1989. V. 102. N. 1. P. 25-37.

147. M. Anselmino, E. Predazzi, S. Ekelin, S. Fredriksson, D.B. Lichtenberg. Diquarks II Rev. Mod. Phys. 1993. V. 65. P. 1199-1234.

148. Yu.S. Kalashnikova, A.V. Nefediev. QCD string in the baryon 11 Яд. физ. 1997. Т. 60. N. 8. С. 1470-1480; String junction as a baryonic constituent II Phys. Lett. B. 1996. V. 367. N. 2. P. 265-269, hep-ph/9510282.

149. J.M. CornwaH. The baryon Wilson loop area law in QCD 11 Phys. Rev. D. 1996. V. 54. N. 11. P. 6527-6536.

150. J. M. Cornwan. What is the relativistic generalization of a linearly rising potential? Nucl. Phys. B. 1977. V. 128. N. 1. P. 75-93.

151. G.S. Bali. QCD forces and heavy quark bound states 11 Phys. Rept. 2001. V. 343. P. 1-136, hep-ph/0001312.

152. L J. Ford. Spin orbit forces in p wave baryons from a three quark flux tube potential // J. Phys. G. 1989. V. 15. P.1641-1651.

153. K. Yamada, S. Ishida, J. Otokozawa, N. Honzawa. A universal string and Regge trajectories of gluonic hadrons 11 Prog. Theor. Phys. 1977. V. 97. N. 4. P. 813-828.

154. L. D. Soloviev. Glueballs in the string quark model, hep-ph/0006010.

155. T. J. Allen, M. G. Olsson, S. Veseli, K. Williams. On quark confinement dynamics 11

156. Phys. Rev. D. 1997. V. 55. N. 11. P. 5408-5413, hep-ph/9701340. 182. A. B. Погорелов. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. 1991.241

157. Л. Д. Ландау, И. М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука. 1984.

158. Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1982.

159. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981.

160. В. Ю. Ровенский. Теория кривых. Красноярск: КГПУ, 1996.

161. Е. В. Инопин, А. Е. Инопин. Спектр нестранных барионных резонансов с высокими моментами количества движения // Яд. физ. 1991. Т. 53. Вып. 2. С. 562-568.

162. С. Quigg, J.L. Rosner. Quarkonium level spacings // Phys. Lett. B. 1977. V. 71. N. 2. P. 153-158.

163. E. Eichten, K. Gottfried, T. Kinoshita et. al. Charmonium: 1. The model // Phys. Rev. D. 1978. V. 17. N. 11. P. 3090-3133.

164. J. L. Richardson. The heavy quark potential and the X, JfA systems // Phys. Lett. B. 1979. V. 82. P. 282-287.

165. A. Martin. A fit o/T and charmonium spectra // Phys. Lett. B. 1980. V. 93. N. 4. P. 338-344; A simultaneous fit of В anti-B, С anti-C, S anti-S, (BCS pairs) and С anti-Sspectra Phys. Lett. B. 1981. V. 100. N. 4. P. 511-514.

166. W. BuchmtiUer, S. H. H. Туе. Quarkonia and quantum chromodynamics // Phys. Rev. D. 1981. V. 24. N. 1. P. 132 -168.

167. C. C. Герштейн, В. В. Киселев, А. К. Лиходед, А. В. Ткабладзе. Физика Вс-мезонов ¡1 Усп. физ наук. 1995. Т. 165. N. 4. С. 1-41.

168. S. FiUpponi, Y. Srivastava, Hadronic masses and Regge trajectories // Phys. Rev. D. 1999. V. 58. N. 1. P. 016003, hep-ph/9712204.

169. M. Fabre de la Ripelle. A confining potential for quarks // Phys. Lett. B. 1988. V. 205. N. 1. P. 97-102.

170. F. Paccanoni, S.S. Stepanov, R.S. Tutik. Are the linear Regge trajectories really straight lines? // Mod. Phys. Lett. A. 1993. V. 8. N. 4. P. 549-555.

171. C. Semay, R. Ceuleneer. Two body Dirac equation and Regge trajectories // Phys. Rev. D. 1993. V. 48. N. 11. P. 4361-4369.

172. A. A. Bykov, A. D. Mironov, LL Royzen. Bound states of relativistic particles and Regge trajectories within the potential approach // Mod. Phys. Lett. A. 1989. V. 5. P. 2439-2445.

173. J. Basdevant, P. Boukraa. Successes and difficulties of unified quark anti-quark potential models // Z. Phys. C. 1985. V. 18. N. 2. P. 413-448; Baryon masses in relativisticpotential models // Z. Phys. C. 1986. V. 30. N. 1. P. 103-117.

174. M. Baldicchi, G. M. Prosper!. Regge trajectories and quarkonium spectrum from a first principle Salpeter equation // Phys. Lett. B. 1998. V. 436. P. 145-152.

175. R. Ricken, M. Koll, D. Merten, B.C. Metsch, H.R. Petry. The meson spectrum in a covariant quark model // Eur. Phys. J. A. 2000. V. 9. P. 221-244, hep-ph/0008221.

176. Y. Simonov, M. Fabre de la Ripelle. Relativistic calculation of baryon properties in nonperturbative QCD // Annals Phys. 1991. V. 212. N. 1. P. 235-259.

177. E. L. Gubankova, A. Yu. Dubin. Dynamical regimes of the QCD string with light and heavy quarks // Phys. Lett. B. 1994. V. 334. N. 1. P. 180-186, hep-ph/9408278.

178. Yu. S. Kalashnikova, A. V. Nefediev. Straight line string in the einbein field formalism II Яд.физ. 1998. Т. 61. N. 5. С. 871-875, hep-ph/9708319.

179. V. L. Morgunov, A. V. Nefediev, Yu. A. Simonov. Rotating QCD string and the meson spectrum 11 Phys. Lett. B. 1999. V. 459. P. 653-659, hep-ph/9906318.

180. Yu. S. Kalashnikova, D. S. Kuzmenko. Vibrating the QCD string, hep-ph/0006073

181. Yu. S. Kalashnikova, A. V. Nefediev, Yu. A. Simonov. QCD string in light-light and heavy-light mesons 11 Phys. Rev. D. 2001. V. 64. N. 1. P. 014037, hep-ph/0103274.

182. Л. Д. Соловьев. Растущие реджевские траектории в релятивистских струнных моделях II Теор. мат.физ. 1996. Т. 106. N. 2. С. 209-217.

183. L. Burakovsky. String model for analytic nonlinear Regge trajectories, hep-ph/9904322

184. A. Б. Говорков. Цветовые степени свободы в физике адронов // Физ. элем, частиц и атомн.ядра (ЭЧАЯ) 1977. Т. 8. N. 6. С. 1056-1105.

185. А. Б. Говорков. Дополнение в кн. Л. Райдер. Элементарные частицы и симметрии. М.: Наука, 1983.

186. А. BarchieUi, N. Brambilla, G. М. Prosperi. Relativistic corrections to the quark antiquark potential and the quarkonium spectrum II Nuovo Cimento A. 1990. V. 103. N. 1. P. 59-79.

187. N. Brambilla, P. Consoli, G. M. Prosperi. A consistent derivation of the quark antiquark and three quark potentials in a Wilson loop context 11 Phys. Rev. D. 1994. V. 50. N. 9. P. 5878-5892.

188. V. M. Kustov. On the spin orbit force in the Wilson loop context 11 Яд.физ. 1997. Т. 60. N. 1. С. 1914-1918.

189. E. Eichten, F. Feinberg. Spin dependent forces in QCD 11 Phys. Rev. D. 1981. V. 23. N. 11. P. 2724-2744.

190. D.Z. Gromes. Spin dependent potentials in QCD and the correct long range spin orbit term II Phys. C. 1984. V. 26. N. 2. P. 401-411.

191. S. Godfrey, N. Isgur. Mesons in a relativized quark model with chromodynamics // Phys. Rev. D. 1985. V. 32. N. 1. P. 189-231.

192. F. Lizzi, C. Rosenzweig. Linearly rising Regge trajectories and bag and string models for hadrons // Phys. Rev. D. 1985. V. 33. N. 7. P. 1685-1688.

193. F. A. Berezin, M. S. Marinov. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics // Ann. of Phys. 1977. V. 104. N. 2. P. 336-368.

194. S. V. Talalov. The glueball Regge trajectory from the string inspired theory, hep-ph/0101028; S. V. Talalov. About the Poisson structure for D = 4 spinning string //

195. J. Phys. A. 1999. V. 32. N. 5. P. 845-857, hep-th/9811175.

196. L. Burakovsky. Scalar glueball mass in Regge phenomenology // Phys. Rev. D. 1998. V. 58. N. 5. P. 057503.

197. И. H. Никитин. Квантуемые конфигурации релятивистских струн // Яд. физ. 1993. Т. 56. N. 9. С. 230-248.

198. И. Н. Никитин. Частные классы движений струны, квантуемые без аномалий // Теор. мат. физ. 1996. Т. 109. N. 2. С. 202-214.

199. А. В. Разумов, О. А. Хрусталев. Применение метода Боголюбова к квантованию бозонных полей в окрестности классического решения // Теор. мат. физ. 1976. Т. 29. N. 3. С. 300-308.