Математическое исследование структуры решений в релятивистских моделях Намбу - Гото и Уилера - Фейнмана с использованием численных методов и компьютерной визуализации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Никитин, Игорь Николаевич

• Никитин, Игорь Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Никитин, Игорь Николаевич

Введение

1 Исследование особенностей классических решений модели релятивистских струн Намбу-Гото

1.1 Необходимое введение в математический аппарат классической модели Намбу-Гото

1.2 Классификация особых точек на мировых листах релятивистских струн

1.3 Класс экзотических решений.

1.4 Класс решений с разрывами.

1.5 Структура грибовских копий в пространстве решений.

1.6 Дополнение: доказательства лемм 1-29.

2 Исследование структуры квантовой модели релятивистских струн Намбу-Гото

2.1 Необходимое введение в математический аппарат квантовой модели Намбу-Гото

2.2 Частные классы движения струн, допускающие неаномальное квантование по Дираку.

2.3 Квантование движений общего вида по схеме Гупты-Блейлера.

2.4 Квантование движений общего вида по Дираку в пространстве состояний с индефинитной метрикой.

2.5 Экзотические решения в квантовой теории.

2.6 Анионные решения и спиновые спектральные аномалии в калибровке светового конуса.

2.7 Структура решений в модифицированной калибровке

Рорлиха.

2.8 Структура решений в лоренц-инвариантной абелевой калибровке светового конуса.

2.9 Дополнение: доказательства лемм 30

3 Вычислительные методы и алгоритмы в исследовании структуры классических и квантовых решений модели Намбу-Гото

3.1 Использование базисов Гребнера для исследования структуры решений полиномиальных систем.

3.2 Использование алгоритмов факторизации матричных полиномов для решения полиномиальных спектральных задач

3.3 Использование алгоритмов матричной компрессии для представления операторов в гильбертовом пространстве.

3.4 Алгоритмы построения квантовых спектров, вычисления матричных элементов и упорядоченных полиномов от компрессованных матриц.

3.5 Методы компьютерной визуализации в теории струн.

4 Исследование структуры классических решений релятивистской электродинамики Уилера-Фейнмана

4.1 Необходимое введение в математический аппарат модели Уилера-Фейнмана.

4.2 Построение локализующей параметризации в задачах двух тел (калибровка световой лестницы).

4.3 Структура решений одномерной задачи о рассеянии двух тел.

4.4 Структура решений двух- и трехмерных задач о финитном движении двух

5 Вычислительные методы и алгоритмы в исследовании структуры классических решений модели Уилера-Фейнмана

5.1 Методы решения одномерной задачи о рассеянии двух тел

5.2 Методы решения двух- и трехмерных задач о финитном движении двух тел.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое исследование структуры решений в релятивистских моделях Намбу - Гото и Уилера - Фейнмана с использованием численных методов и компьютерной визуализации»

Настоящая работа посвящена применению математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения фундаментальной научной проблемы об исследовании структуры классических и квантовых решений релятивистских моделей Намбу-Гото и Уилера-Фейнмана. В диссертации изложены научные результаты, опубликованные в работах [1-42] и полученные с помощью методов компьютерного моделирования и аналитических методов.

Со времен создания специальной теории относительности (СТО) релятивистские модели успешно используются для описания сложных физических явлений как на микро-, так и на макроуровне. В то же время, в процессе создания этих моделей выяснилось, что все они, начиная с некоторого уровня сложности, обладают рядом общих проблем, исследование которых продолжается и по сей день. К ним, в частности, относится наличие особенностей на классических решениях и аномалий, возникающих при квантовании данных моделей. В настоящей работе проводится исследование таких особенностей и аномалий для двух широко известных релятивистских моделей: струн Намбу-Гото и электродинамики Уилера-Фейнмана, поэтому тема данной диссертации является актуальной.

Релятивистские модели формулируются в пространстве-времени Минковского, в общем случае ¿-мерном, т.е. псевдо-евклидовом пространстве с координатами (жо, жь ., £<¿-1), где х0 отождествляется с физическим временем, остальные х^ являются пространственными координатами. Пространство-время наделяется скалярным произведением (аЪ) = а0Ьо~а^!.—Важную роль играют преобразования, сохраняющие это скалярное произведение, образующие группу Пуанкаре. Эта группа состоит из ¿-мерных трансляций и подгруппы Лоренца, которая, в свою очередь, распадается на вращения [й- 1)-мерного евклидова пространства и так называемые гиперболические вращения или бусты. В целом группа Пуанкаре в точности совпадает с группой преобразований, описывающих переходы между всевозможными инерциальными системами отсчета в СТО [43].

Релятивистские модели опираются на следующую картину мироздания. Пространство-время наполнено различными геометрическими объектами (кривыми, поверхностями, объемами, полевыми распределениями.), для каждого из которых вводится функционал, называемый действием. В классической механике система занимает только такие состояния, на которых ее совокупное действие достигает экстремума при заданных граничных условиях. В релятивистских моделях функционал действия зависит от формы и взаимного положения объектов, и не зависит от деталей их представления, таких как выбор системы координат или параметризации кривых и поверхностей. Можно сказать, что алгебраическое содержание теории играет вспомогательную роль, обеспечивая явное представление объектов, но физические результаты определяются только геометрией объектов и не зависят от их представления. Например, для материальной точки, мировая линия которой задана параметрически как жм(т), можно выбрать действие, пропорциональное длине мировой линии: для 2-мерных поверхностей жм(т, а) простейшее действие пропорционально площади по

1) верхности:

As = ij drda\J(xx')2 - x2x'2 = 7 J drdayj-gi2). (2)

Такие поверхности рассматриваются в теории струн и называются мировыми листами струн, в то время как кривые, при движении которых в пространстве-времени заметаются эти поверхности, называются релятивистскими струнами. Струны могут быть гомеоморфными отрезку (открытые струны), окружности (замкнутые струны), а также могут иметь более сложный топологический тип. В данных формулах m - масса частицы, 7 - параметр, определяющий натяжение струны; х — дТх = dix, х' = дах = d2x\ g^ = det(dixdjx)\i<ij<k - определитель метрики, индуцированной из пространства-времени Минковского на соответственно мировую линию (k = 1) и мировой лист (А; = 2); условия д^ > 0 и д^ < 0 ограничивают класс рассматриваемых мировых линий и мировых листов на так называемые времениподобные кривые и поверхности. Аналогичным образом в рассмотрение вводятся fc-мерные поверхности в (¿-мерном пространстве Минковского, действие которых пропорционально заметаемому fc-мерному мировому объему. При к = р + 1 такие объекты называются р-бранами (в частном случае р = 1 получается струна, при р = 2- мембрана).

Взаимодействие различных объектов между собой вводится с помощью добавления соответствующих членов в действие системы. Так, например, материальная точка, находящаяся на конце струны, соответствует сумме (1) и (2), при этом для полученного действия при нахождении экстремума необходимо учитывать тот факт, что мировые линии материальной точки и конца струны совпадают, что вызовет соответствущие переопределения граничных условий. Взаимодействие материальной точки с электромагнитным полем описывается слагаемым

Ap+f = е j dTX^ (3) где е - заряд частицы, А^(х) - вектор-потенциал, в то время как действие для самого электромагнитного поля имеет вид

Af = -\j dxF^F^, (4) где F^y = дцАи — дуА^ - тензор напряженности электромагнитного поля, и интегрирование производится по (¿-мерному объему пространства-времени. Подчеркнем еще раз, что все приведенные выше функционалы действия являются инвариантными относительно группы Пуанкаре, которая для (¿-мерного пространства Минковского содержит d(d+1)/2 генераторов, а также относительно групп репараметризаций мировых линий, мировых листов и мировых объемов, число генераторов в которых бесконечно. Таким образом, релятивистские модели с необходимостью содержат широкие группы симметрий.

Для нахождения решений в релятивистских моделях удобно использовать гамильто-нов формализм. В этом подходе объекты расслаиваются на последовательность сечений, полученных, например, с помощью плоскостей постоянного времени в некоторой системе координат (вместо плоскостей можно также использовать поверхности более общего вида [44]). Симметрии действия проявляются в гамильтоновой механике следующим образом. Те симметрии, которые отвечают преобразованию объекта как целого, называются глобальными симметриями. Наличие таких симметрий приводит к появлению сохраняющихся величин (первых интегралов). Так, например, симметриям относительно преобразований Пуанкаре соответствуют законы сохранения энергии, импульса и углового момента. Репараметризации мировой линии и мирового листа относятся к преобразованиям другого рода, которые могут быть локализованы на малый участок объекта, и называются локальными или калибровочными симметриями. Для таких преобразований соответствующие первые интегралы не просто сохраняются, а являются постоянными во всем фазовом пространстве. В результате этого возникают так называемые гамильтоновы связи - соотношения вида ^(и) = 0, которые понижают размерность фазового пространства и меняют его топологию. В гамильтоновой механике каждая переменная выполняет двоякую роль: как вещественная функция Н(и) в фазовом пространстве с координатами и и как генератор канонических преобразований, описываемых дифференциальным уравнением й = {и,Н}, где {,} - скобки Пуассона. Это уравнение описывает фазовый поток, для которого данная переменная используется в качестве гамильтониана. Первые интегралы и связи гамильтоновой механики являются генераторами соответствующих симметрий. При этом так называемые канонические гамильтонианы, найденные из лагранжианов, т.е. подынтегральных выражений в действиях (1-3) с помощью стандартного преобразования Лежандра, для данных релятивистских моделей обращаются в нуль. Это, впрочем, не означает обращения в нуль энергии, которая в релятивистских моделях является компонентой вектора энергии-импульса ро. Гамильтониан, воспроизводящий физическую эволюцию, соответствующую экстремальному действию, имеет вид произвольной линейной комбинации связей [44], которые, напомним, генерируют репа-раметризации. Это является еще одним выражением того факта, что эволюция производится посредством сдвига сечений, т.е. определенного вида репараметризацией объектов. С помощью подходящего выбора коэффициентов в линейной комбинации связей часто удается значительно упростить гамильтоновы уравнения, иногда даже привести их к аналитически разрешимому виду.

Гамильтонов формализм также является основой для канонического квантования системы. В квантовой механике каждой переменной сопоставляется линейный оператор в гильбертовом пространстве. При этом должен выполняться следующий принцип соответствия: скобкам Пуассона двух переменных гамильтоновой механики отвечает коммутатор соответствующих операторов в квантовой механике. Если потребовать, чтобы этот принцип выполнялся для всех переменных, описываемых произвольными функциями в фазовом пространстве, то данная задача не имеет решения [45]. Если принцип соответствия выполняется для некоторого набора канонических переменных в фазовом пространстве, то уже полиномиальные функции от них будут иметь неоднозначности, связанные с упорядочением операторов, и их коммутаторы будут содержать так называемые аномальные члены. Общей практикой является реализация принципа соответствия только для специальных наборов физически важных переменных, содержащих, в частности, все генераторы симметрий. Это эквивалентно реализации симметрий на квантовом уровне. Отсюда ясно, что квантование релятивистских систем связано с дополнительными трудностями по квантовой реализации широких групп симметрий, которыми они обладают. Для некоторых систем, к которым, в частности, принадлежат релятивистские струны, эти трудности не разрешены до сих пор.

Как уже отмечалось, классическая теория струн рассматривает 2-мерные поверхности экстремальной площади в ¿-мерном пространстве-времени Минковского, называемые мировыми листами струн. Эти поверхности заметаются при движении в пространстве-времени одномерного объекта, называемого релятивистской струной. Теория струн используется в физике высоких энергий для моделирования внутренней структуры элементарных частиц. Для этой цели мировые листы, имеющие микроскопические пространственные размеры и бесконечно протяженные во временном направлении, рассматриваются как структурированные мировые линии элементарных частиц. В результате этого внутренние характеристики частиц, такие как масса и спин, выражаются в терминах струнной динамики и могут быть выведены из малого набора фундаментальных постоянных.

Исторически теория струн возникла в теоретической физике высоких энергий в связи с задачами описания сильно взаимодействующих частиц (адронов). В настоящее время для описания сильных взаимодействий используется специальная теория поля - квантовая хромодинамика (КХД [49,55]). Данная теория описывает взаимодействие массивных спинорных полей, представляющих так называемые кварки, посредством безмассовых векторных полей, представляющих глюоны. Как кварки, так и глюоны обладают специальным квантовым числом, которое принимает три значения (г, д, Ь) и условно называется цветом, отсюда происходит название "хромодинамика". Это число аналогично электрическому заряду в квантовой электродинамике. Основное отличие состоит в том, что локальной симметрией электродинамики является умножение волновых функций на фазовый множитель ellfi(x\ что соответствует группе U(l) унитарных вращений комплексной плоскости, в то время как преобразования в цветовом пространстве описываются специальной унитарной группой SU(3). В теории поля наличие калибровочных симметрий приводит к тому, что заряженные частицы с необходимостью вступают во взаимодействие с безмассовыми векторными полями, переносчиками взаимодействия, которые в том случае, если калибровочная группа является некоммутативной (неабелевой), также с необходимостью взаимодействуют между собой. Поскольку группа ¿7(1) абелева, кванты электромагнитного поля - фотоны сами являются незаряженными и не взаимодействуют друг с другом, в то время как в силу неабелевости группы <S77(3) глюоны являются "окрашенными" и интенсивно взаимодействуют между собой. В результате этого взаимодействия глюонное поле концентрируется вдоль линии, соединяющей кварки, в отличие от электромагнитного поля, которое распределяется по всему пространству. Такая конфигурация оказывается более выгодной энергетически [46-48,84]. К такому же выводу приводят вычисления на решётке [49,50], вычисление вакуумных корреляторов [51,52], исследования хромодинамики в пределе большого числа цветов [78], исследования стационарных полевых конфигураций в моделях, смежных с хромодинамикой [76,77]. Эти исследования сформировали современную картину строения адронов как систем из кварков, связаных глюонными трубками, которые имеют размеры порядка 1 Фм = Ю-13 см и обладают характерным натяжением 1 ГэВ/Фм и 105 Н. Энергия глюонного поля, соединяющего кварки, пропорциональна длине трубки, в отличие от электродинамики, в которой энергия взаимодействия обратно пропорциональна расстоянию между зарядами. В силу этого разделение кварков на бесконечное расстояние требует бесконечных затрат энергии, причем начиная с некоторых расстояний [53,54] энергетически выгодными становятся процессы разрыва глюонной трубки, с извлечением из вакуума пары кварк-антикварк. Поэтому разделение кварков на бесконечное расстояние становится невозможным, как невозможно отделить друг от друга полюса магнита. Таким образом в современной КХД находит объяснение экспериментально подтверждаемое свойство конфайнмента [55], или невылетания кварков. В результате этого свойства только бесцветные связанные кварк-глюонные состояния, которые, по определению, являются ад-ронами, наблюдаются в ускорительных экспериментах. К настоящему времени известно около трехсот адронов, их свойства сведены в специальные таблицы, которые публикуются с периодом в два года коллаборацией Particle Data Group [56]. Адроны, в свою очередь, подразделяются на мезоны, состоящие из пар кварк-антикварк, и барионы, состоящие из трех кварков. Дальнейшая классификация учитывает существование кварков различных сортов, которые также называются ароматами и обозначаются символами (u, d, s,) (с, b, t) в соответствии с их английскими наименованиями up, down, strange, charmed, bottom, top. Первая тройка кварков относится к так называемому легкому типу, их собственные массы оказываются малыми по сравнению с массой состоящих из них адронов, в которую основной вклад вносит энергия релятивистского движения кварк-глюонной системы. Во второй тройке кварки являются тяжелыми и их массы вносят основной вклад в массу адронов. Многообразие экспериментально наблюдаемых адронов объясняется большим числом возможных комбинаций кварков, а также существованием орбитальных возбуждений, так называемых резонансов, все из которых являются короткоживущими, т.е. распадаются за время порядка Ю-23 сек, и обнаруживаются только по характерным резонансным пикам в экспериментальных спектрах. Имеются также свидетельства о существовании адронов, которые не вписываются в данную классификационную схему и называются экзотическими [57-60]. Существуют модели, объясняющие структуру таких адронов как результат замещения некоторых из кварков глюонами [61].

Квантовая хромодинамика успешно справляется с описанием так называемых жёстких процессов, т.е. реакций с большим значением переданного импульса. К таким процессам относятся [55]: глубоко неупругое лептон-адронное рассеяние (скейлинг Бьёркена), рождение лептонных пар в адрон-адронных столкновениях (процесс Дрелла-Яна), множественное рождение адронов в е+е~-аннигиляции (струйные процессы) и др. В области малых переданных импульсов становится существенным вклад так называемых непер-турбативных эффектов. Основным аппаратом вычислений в квантовой теории поля является теория возмущений по параметру, определяющему интенсивность взаимодействия. В квантовой электродинамике роль такого параметра играет постоянная тонкой структуры cxqed — e2/hc ~ 1/137, в то время как в хромодинамике соответствующий параметр определяется формулой olqcd ~ 27г/{7ln(q/Aqcd)), где q - переданный импульс, Aqcd ~ 0.1 ГэВ [55]. Для малых переданных импульсов параметр olqcd не является малым (в частности, согласно приведенной выше формуле при значении q = Aqcd этот параметр обращается в бесконечность), в этом режиме теория возмущений неприменима. Поэтому КХД в настоящее время не является законченной теорией и для описания процессов на расстояниях порядка 1/Лqcd ~ 1 Фм привлекаются эффективные модели. Адроны, состоящие из тяжёлых кварков, хорошо описываются нерелятивистскими потенциальными моделями [62]. Для связанных состояний лёгких кварков необходимы релятивистские модели. Струнная модель адронов была предложена Намбу, Хара и Гото [63-65] в начале 1970-ых годов с целью объяснения спин-массовых спектров адронов, а также некоторых экспериментально установленных свойств их амплитуд рассеяния [66-68]. В данной модели действие струны (2) описывает глюонные трубки в пределе нулевой толщины. Аналогичные релятивистские системы также рассматривались в более ранних работах [69-71] в контексте нелинейных полевых моделей типа Борна-Инфельда [84]. Отметим, что математически строго вывода действия струны из КХД до сих пор не существует, хотя работы в этом направлении имеются [72-76]. В настоящее время построение струнных моделей адронов продолжается [77-83], в этих работах идеализированная теоретическая модель была оснащена необходимыми физическими деталями: кварки на концах струны снабжены массами, электрическими зарядами, спином и другими квантовыми числами; рассмотрены различные механизмы разрыва струн, ответственные за распад адронов. Обзор работ в этом направлении проведен в книгах [84]. В струнной модели лёгких адронов [81] находит естественное объяснение такое свойство наблюдаемого спектра адронов, как линейность реджевских траекторий [85]. На плоскости параметров (M2,S), где М - масса, S - спин, семейства адронов с одинаковым кварковым составом образуют прямые линии S = а'М2 + ао, называемые реджевскими траекториями. Здесь параметр а' описывает наклон реджевской траектории, О!0 - так называемый интерсепт. В модели [81] используется простейшее решение, для которого струна имеет форму прямолинейного отрезка, вращающегося относительно середины с постоянной угловой скоростью в системе центра масс. Для такого решения орбитальный момент струны и ее масса связаны приведенной выше формулой, причем наклон а' определяется натяжением струны 7 как а' = 1/(27rj). Струнная модель описывает спектр адронных состояний в терминах квантовых чисел потенциальных моделей (спин, орбитальный момент, чётность), являясь в то же время последовательной релятивистской теорией. Для тяжёлых кварков струнная модель эквивалентна потенциальной модели [86]. В экспериментальной физике также широко используется модель мешков [55], занимающая промежуточное положение между потенциальными моделями и струнами, в которой адроны описываются как своеобразные пузырьки в глюонном вакуумном конденсате (мешки, заключающие кварки). При большом орбитальном моменте мешки вытягиваются в струны, эффективное натяжение которых связано с напряженностью хромоэлектрического поля Е и поперечным сечением А5 формулой 7 = Е2АБ [87-89].

Тем временем развитие теории струн выбрало другой путь. Уже из ранних исследований [90-93] было известно, что при физической размерности пространства-времени <1 = 4 квантование модели Намбу-Гото обладает аномалиями, которые нарушают основные симметрии теории: инвариантность относительно группы репараметризаций и группы преобразований Пуанкаре (а именно, аномалии появляются в ее лоренцевой компоненте). В то же время, квантование не имеет аномалий при в, = 26. Также было обнаружено, что включение дополнительных фермионных степеней свободы в теорию [94,95] сокращает аномалию при меньшем значении размерности в, = 10. Позже этот подход был объединен с другой идеей: часть измерений рассматривалась как координаты на компактном многообразии физически малого размера. Дальнейшие разработки, описанные в современных учебниках по теории струн [96,97], включили более сложные математические структуры в теорию, такие как рассмотренные выше р-браны, а также их суперсимметрические аналоги, и сформировали мощное направление в теоретической физике, служащее основой для построения Теории Великого Объединения. Предложение использовать теорию струны для объединения фундаментальных взаимодействий было впервые выдвинуто Шерком и Шварцем [98]. Основанием для этого предложения послужили исследованые в работах [98-100] свойства амплитуд рассеяния струннных состояний в пределе нулевого наклона реджевских траекторий (бесконечного натяжения струны). Согласно результатам этих работ, матрица рассеяния безмассовых состояний открытой струны со спином 1 совпадает с Б-матрицей теории Янга-Миллса [49], в то время как безмассовое состояние замкнутой струны со спином 2 взаимодействует таким образом, что может быть отождествлено с гравитоном. Интересные результаты также были получены в модели гетеротической струны [101]. Топологические эффекты, возникающие при квантовании этой модели, приводят к появлению дополнительных симметрий, не заложенных в модель изначально. С помощью этого механизма (аналогичного используемому в теории Калуцы-Клейна [102]) струнные модели Великого Объединения описывают природу внутренних квантовых чисел и калибровочных симметрий элементарных частиц.

Однако, следует подчеркнуть, что данный подход не может быть непосредственно использован в моделях адронов, предметом рассмотрения которых была и остается 4-мерная струна Намбу-Гото, в то время как введение дополнительных размерностей и дополнительных степеней свободы видоизменяет эту систему существенно. Вопрос о возможности квантования струны Намбу-Гото при физическом значении размерности в, = 4 сохраняет свою актуальность и по сей день.

Помимо использования струнной модели в физике адронов и теориях объединения фундаментальных взаимодействий, имеются также применения этой геометрической конструкции в других разделах физики [103], таких как описание дираковских струн в теории магнитных монополей [76,104], абрикосовских нитей магнитного поля в сверхпроводниках [105,106], космических струн в современных космологических моделях [107,108]. В данных физических моделях простейшие действия (1,2) могут модифицироваться введением дополнительных членов. В релятивистских моделях в качестве таких членов могут использоваться разнообразные геометрические структуры, обладающие инвариантностью относительно групп репараметризаций и Пуанкаре, в частности, кривизна и кручение. Добавление таких членов в действие струны (2) приводит к так называемым моделям струн с "жёсткостью" [111-113]. Та же идея использовалась в моделях спиновых частиц при (1 = 3 [114-116] и й = 4 [117]. В данных моделях добавление новых членов к действию материальной точки (1) скручивает мировую линию в спираль, вытянутую во времениподобном направлении и отвечающую быстрому вращению частицы вокруг центра ее усредненного движения, тем самым объясняется наличие у частиц собственного орбитального момента (спина). Аналогичные системы [118] возникают в релятивистской электродинамике в рамках модели Уилера-Фейнмана.

Данная модель относится к классу релятивистских моделей, рассматривающих дискретные системы с запаздывающим и опережающим взаимодействием. Такие системы получаются в результате исключения полевых степеней свободы из теорий поля: при выражении полей через источники в классических теориях поля либо интегрировании по полям производящих функционалов квантовых теорий поля (выполненном при определенных граничных условиях) возникают конечномерные теории движения источников. Исключение поля в классической электродинамике релятивистских частиц, описываемой суммой действий (1), (3) и (4), приводит к модели Уилера-Фейнмана [119] - релятивистской системе с конечным числом степеней свободы, действие которой является репараметризационно и пуанкаре-инвариантным функционалом мировых линий зарядов. Граничные условия, которые при этом используются, имеют следующий вид: снаружи некоторой сферы (содержащей все заряды во вселенной) суммарное поле зарядов обращается в нуль, за счет того, что поле излучения каждого заряда полностью поглощается другими зарядами. Динамика описывается действием [120-122]: лwf = £т* / + yseie3 i i dtidtj(xixj)s{{xi - xj)2), (5) i J i>j J J которое сформулировано в терминах только мировых линий частиц Xi(r) и не содержит полевых степеней свободы. Вышеупомянутый функционал описывает взаимодействие вдоль опережающих и запаздывающих световых конусов с электромагнитным потенциалом, заданным как половина суммы опережающих и запаздывающих потенциалов Лиенара-Вихерта [123]. Эта формулировка электродинамики была развита, чтобы избежать осложнений расходящегося самодействия и также устранить бесконечное число полевых степеней свободы теории Максвелла. В 1945г. Уилер и Фейнман [119], следуя более ранним работам Шварцшильда, Тетрода и Фоккера [120-122], рассмотрели взаимодействие электрона с абсолютно поглощающей вселенной, и показали, что опережающий отклик этой вселенной на запаздывающее поле электрона прибывает в настоящее время электрона, воспроизводя правильные члены теории Максвелла, то есть просто запаздывающее взаимодействие между зарядами и локальное мгновенное самодействие [125]. Удивительным образом, та же самая модель оказывается эквивалентной обращенной по времени теории Максвелла с опережающим взаимодействием между зарядами и самодействием, взятым с противоположным знаком [119]. Так происходит потому, что рассматриваемые действия и условие полного поглощения являются явно симметричными при обращении времени. Диссипативные эффекты в такой системе происходят из-за взаимодействия с другими зарядами во вселенной и становятся предметом статистической механики, как было указано в [119]. Эквивалентность между теорией Уилера-Фейнмана и теорией Максвелла теряется в том случае, если вселенная не действует как полный поглотитель, то есть если поле не обращается тождественно в нуль вне большой сферы, окружающей все заряды. Этот случай оставляет место для малых нарушающих причинность эффектов, которые также обсуждались в [119].

Рассмотрение данной модели в конечном итоге привело Фейнмана к ныне широко известной формулировке квантовой теории, использующей континуальное интегрирование [126]. Каноническое квантование электродинамики Уилера-Фейнмана так и не было проведено, поскольку гамильтонова формулировка этой теории до настоящего времени не была известна. Основным препятствием здесь является то, что уравнения движения в модели Уилера-Фейнмана не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, но принадлежат к малоизученному классу функциональных уравнений, так называемым дифференциальным уравнениям с отклоняющимися аргументами [127,128].

Такие уравнения имеют вид

Сг - заданные функции, х - неизвестная), производная х в момент времени £ определяется значениями х в другие моменты времени. Общие аналитические методы решения и устойчивые схемы численного анализа для таких уравнений в настоящее время не известны. Вопросы существования и единственности решений для данного класса уравнений также исследованы недостаточно. В особенности это касается того случая, когда уравнения содержат как опережение, так и запаздывание аргумента: Са^^) = £ ± At, что имеет место в электродинамике Уилера-Фейнмана. В последнее время появилось много новых работ [129-137] по аналитическим и численным исследованиям модели Уилера-Фейнмана, а также близких задач с запаздыванием. Отметим, что уравнения с опережением и запаздыванием возникают также в модели струн Намбу-Гото с массивными кварками на концах, следствием чего является нестабильность некоторых струнных конфигураций [138,139].

Возвращаясь к проблемам, возникающим в модели струн Намбу-Гото, следует отметить, что эти проблемы аналогичны проблемам современной теории гравитации, общей теории относительности (ОТО), с которой теория струн имеет много сходных свойств. В частности, общим для этих теорий является существование сингулярных классических решений и проблемы квантования.

Теория струн рассматривает мировые листы различных топологических типов, см. рис.1: открытые струны - поверхности, гомеоморфные лентам / х К1, замкнутые струны - цилиндры Б1 х К1, 3-струны - три ленты, склеенные вдоль одного края, а также поверхности более сложной топологии, соответствующие переходам между описанными типами (распадам и взаимопревращениям элементарных частиц). открытая струна замкнутая струна

3-струна экзотическая" струна разрыв струны

Ъ1

Рис.1. Основные топологические типы мировых листов.

Требование экстремума действия (2) для каждого топологического типа приводит к уравнениям Лагранжа-Эйлера, выполняющимся во внутренних точках мирового листа, которые имеют вид локального закона сохранения энергии-импульса: р? = 6А/8(дгх„), дгРЧ = О, и граничным условиям, обеспечивающим обращение в нуль потока импульса через границу мирового листа. Например, открытая струна удовлетворяет граничному условию р?ег]с1(73 = 0 (здесь йа3 - касательный элемент к границе мирового листа на плоскости параметров, ег]йа3 - нормальный элемент); для 3-струн имеется аналогичное условие: 73 = 0, выполняющееся на мировой линии узла, где сумма берется по трем поверхностям, примыкающим к этой линии.

Дальнейшее построение теории струн обычно производится в гамильтоновом подходе. Координаты на мировом листе различаются: а - компактная координата, а € I для открытых струн, сг £ 51 для замкнутых струн; т £ К1 - некомпактная координата, называемая эволюционным параметром. Вводя обозначения: х = дх/дт, х' = дх/до, = р^, действие струны записывается в виде А = f dr f da где С = yj {хх')2 — х2х'2 - лагран-жева плотность. Скобки Пуассона вводятся следующим образом: {хц(сг,т),р„(сг,г)} = — о), где = diag(+l, —1,., —1) - метрический тензор, - функция Дирака. Ставится задача Коши о нахождении решения х(а,т),р(а,т) по заданным начальным данным х(а, 0),р(а, 0). Эволюция описывается системой автономных дифференциальных уравнений, одновременных по т (так что т-зависимость обычно опускается, подразумевая, что все переменные определяются при одном значении эволюционного параметра).

Теория струн является гамильтоновой теорией со связями первого рода [44], что означает следующее. Каноническая гамильтонова плотность определяется по лагранжевой с помощью преобразования Лежандра как 7ic = хр — L. Подстановка определения р в терминах х', х обращает канонический гамильтониан в нуль: Нс = 0, и, кроме того, порождает следующие тождества: Фх = х'р = 0, Ф2 = х'2 +р2 = 0. Как уже отмечалось, появление этих тождеств, называемых дираковскими связями, связано с симметриями действия относительно группы репараметризаций (правых диффеоморфизмов1) мирового листа. Рассмотрение теорий со связями обычно начинается в расширенном фазовом пространстве (х,р), в котором гамильтониан определяется как линейная комбинация связей, в нашем случае Н = f da(V^i 4- V2Ф2). Здесь коэффициенты Vi)2(er) произвольны и называются лагранжевыми множителями. На поверхности Ф* = 0 гамильтониан обращается в нуль, однако его производные не обращаются в нуль, и образуют гамильтоново векторное поле: а) = SH/Sp^a), Рц(сг) = -бН/бх^а).

Это поле касательно поверхности Ф{ = 0 в силу того, что скобки Пуассона (ФДег), Ф^(<т)} обращаются в нуль на поверхности Ф* = 0, именно такие связи называются связями первого рода. Фазовая траектория, проинтегрированная вдоль этого поля, принадлежит поверхности Ф* = 0, и ее проекция в координатное пространство {х} дает решение уравнений Лагранжа-Эйлера. В теории струн Фг-члсны гамильтониана генерируют инфинитезимальные сдвиги точек в касательных направлениях к мировому листу: Фх генерирует сдвиги Sx ~ х', в то время как Ф2 генерирует 5х ~ р L х'. Совместно связи генерируют все возможные репараметризации мирового листа (связную компоненту группы правых диффеоморфизмов). Коэффициенты Vx,2 влияют только на параметризацию мирового листа, выбор V\ = 0, V2 = 1 отвечает так называемой конформной параметризации хх' = 0, х2 + х'2 = 0 [97]. Этот выбор линеаризует гамильтоновы уравнения. Решение уравнений производилось различными методами в работах [7,97,145-148], результат имеет простое геометрическое представление. Так, например, мировые листы открытых струн имеют вид xfi(a1,a2) = {Q^i) + ФДс2))/2, где сг1)2 = т ± о и Q^o) - кривая в пространстве-времени Минковского, обладающая свойствами светоподобия: Q'2 = 0 и периодичности: Q(cr+2ir) — Q(cr) = Const. Во многих работах [7,79,112,149-152] отмечалось существование особых точек на таких поверхностях, которые, как выясняется, являются топологически устойчивыми только в пространстве-времени размерности d = 3,4 [6,15]. Математический аппарат для исследования этих явлений предоставляет теория особенностей дифференцируемых отображений [153]. Основными понятиями этой теории являются так называемые ростки и струи дифференцируемых отображений. Ростком отображения / в точке х называется класс эквивалентности отображений, совпадающих в некоторой окрестности точки х. Иными словами, росток - это то, что остается от отображения, когда мы "бесконечно уменьшаем область определения" [153]. Это понятие включает как значение функции в точке х, так и все ее производные, что позволяет, например, для комплексно-аналитических функций определить их значения на

1 Для отображений вида х^(<т, т) преобразования пространства образов называются левыми, в то время как преобразования пространства прообразов (а, т) называются правыми. Взаимно-однозначное непрерывное отображение называется гомеоморфизмом, в то время как взаимно-однозначное дифференцируемое отображение, обратное к которому также является дифференцируемым, называется диффеоморфизмом. Так, например, отображение числовой прямой в себя, заданное формулой t —> t3, является гомеоморфизмом и не является диффеоморфизмом. всей комплексной плоскости с помощью процедуры аналитического продолжения [154]. Росток отображения / в точке х называется устойчивым, если все отображения, близкие к нему вместе с производными вплоть до заданного порядка к, могут быть приведены к / с помощью левых и правых диффеоморфизмов. Струей отображения / в точке х называется класс эквивалентности отображений по отношению к следующему понятию близости: \f(y) — д(у)\ = о(|х — у\к). Пространство струй может быть отождествлено с пространством отрезков ряда Тейлора длины к для рассматриваемых отображений. Струи отображений подразделяются на так называемые достаточные, которые однозначно определяют структуру данного отображения в точке с точностью до лево-правых диффеоморфизмов, и восприимчивые, для которых анализ структуры требует рассмотрения струй более высокого порядка. Многие теоремы, описывающие структуру особенностей дифференцируемых отображений, используют следующее понятие. Пусть А, В, С - гладкие многообразия, С С В] /: отображение А —> В] Т(А),Т(В),Т(С) - касательные пространства к А, В, С; f'T(A) - образ касательного пространства к А под действием производной отображения / (линейного отображения, задаваемого матрицей Якоби). Отображение / называется трансверсалъным многообразию С, если в каждой точке пересечения f(A) П С имеет место формула f'T{A) + Т(С) = Т(В), т.е. f'T(A) и Т(С) линейно порождают Т{В). Основной теоремой в теории особенностей дифференцируемых отображений является теорема трансверсальности Тома [155], утверждающая, что отображения /: А —> В, где А - замкнутое многообразие, струи которых транс-версальны некоторому замкнутому подмногообразию С в пространстве струй, образуют открытое всюду плотное множество. Иначе говоря, такие отображения являются общим случаем, и все остальные отображения можно привести к данным с помощью малой деформации. Существуют разнообразные обобщения теоремы Тома, например, на случай так называемых стратифицированных многообразий, которые представляются в виде конечного объединения непересекающихся подмногообразий (стратов), для каждого из которых граница состоит из стратов меньшей размерности. Чрезвычайная полезность теоремы Тома при классификации особенностей отображений состоит в том, что многие утверждения относительно особых точек, в частности, само существование особых точек как условие вырожденности матрицы Якоби, будучи переведенным на алгебраический язык, задают стратифицированные подмногообразия в пространстве струй. В этих условиях теорема Тома позволяет различить случаи, возникающие при специальном выборе отображений, от особенностей, имеющихся в общем положении. Тому также принадлежит простейшее понятие класса отображения, который определяется как размерность ядра его производной, т.е. пространства, заданного условием /'£ = 0, а также специальная процедура стратификации, при которой область определения стратифицируется по классу исходного отображения, после чего отображение ограничивается на каждый страт, который затем стратифицируется по классу ограниченного отображения, и т.д. Применение данных средств для классификации особенностей на мировых листах струн проведено в работе [15] (главе 1 разделе 2 диссертации).

С физической точки зрения, интерес к особым точкам на струнах обусловлен многими причинами. Особенности имеют вид изломов на струне, в которых плотность энергии-импульса струны стремится к бесконечности. "Идеальная"теория струн работает и в таком режиме, но струнные модели адронов вблизи особых точек выходят за пределы своей применимости. Вблизи особых точек возникает сильное взаимодействие примыкающих к ним участков мировых листов [76], учёт этих эффектов должен привести к сглаживанию особенностей и перераспределению энергии-импульса на расстояния порядка толщины глюонной трубки. Поскольку особенности на струне проявляют себя как устойчивые образования внутри адронов, в окрестности которых сконцентрирован значительный импульс, возможна физическая интерпретация особенностей как элементов структуры экзотических (гибридных) адронов [57-60]. Большой интерес также представляет исследование мировых листов в 3-мерном пространстве-времени. В этом случае особенности проявляют свойства точечных частиц, которые распространяются по мировому листу со скоростью света, рассеиваются или аннигилируют при столкновениях. Особенности на струнах тесно связаны с сингулярными решениями уравнений, возникающих в рамках так называемого геометрического подхода к теории струн [84,149]. Движение сингуляр-ностей допускает гамильтоново описание, полученная динамическая система является вполне интегрируемой [157,158]. Для особенностей могут быть введены локальные характеристики (топологические заряды), обладающие глобальным законом сохранения [15].

В теории струн Намбу-Гото также имеется широкий класс особых решений, которым отвечают мировые листы, отображенные в пространство-время Минковского со складкой, см. рис.1. Такие решения были обнаружены в работе [7] (главе 1 разделе 3 данной диссертации), хотя указания об их существовании имелись и ранее [112]. Как показывают исследования, плотность энергии на таких решениях не является всюду положительной. Решениями с отрицательными значениями энергии и массы также обладает теория гравитации, которая использует для их обозначения термин "экзотическая материя" [159]. В теории струн типичными процессами для экзотических мировых листов являются рождение струн из вакуума, их рекомбинация и уничтожение. Необходимость рассматривать такие решения обусловлена тем, что многие подходы, используемые для описания теории струн [97], в частности, описанный ниже ковариантный подход, содержат такие решения неустранимым образом. На квантовом уровне в силу принципа неопределенности экзотические решения оказываются смешанными с "нормальными", и задача по разделению этих типов решений чрезвычайно усложняет и без того проблематичную процедуру квантования. Исследование структуры классических решений экзотического типа, а также описание проявлений экзотических решений в различных подходах к квантованию струн проводится в данной диссертации (в главе 1 разделе 3 и в главе 2 разделе 5).

Процессы разрыва струн имеются уже в классической механике. Например, разрыв открытой струны на две открытые струны соответствует диаграмме типа "штаны", изображенной на рис.1 справа. Данная модель разрыва рассматривались в работе [79], где также исследовалось квазиклассическое приближение соответствующей первично квантованной теории. Отличительная особенность этой модели состоит в том, что в ней положение точки разрыва не определяется начальными данными, а является свободным параметром. Фактически, эта модель утверждает, что разрыв струны может произойти в произвольной точке, в дальнейшем продукты распада распространяются по законам движения свободных струн, в целом же полученный мировой лист является экстермальной поверхностью. При использовании этой модели для описания распада адронов её необходимо дополнить конкретным механизмом разрыва струн [77,80]. Физически оправданной выглядит гипотеза о разрыве струн по особым точкам. При этом массы и спины продуктов распада полностью определяются динамикой струны. В работе [79] также отмечалась связь процессов разрыва и особенностей на струнах: при разрыве струны в неособой точке вследствие мгновенного изменения граничных условий на продуктах распада появляются особенности. Также, как показано в работе [15] (главе 1 разделе 4 данной диссертации), гладкий мировой лист может возникнуть только в результате разрыва особого мирового листа по одной из особых точек. Этот факт дает возможность построения моделей распада элементарных частиц, в которых гладкие мировые листы описывают долгоживущие частицы, в то время как особые мировые листы распадаются в конечном итоге на гладкие в результате последовательности разрывов по особым точкам. Размерности й = 3,4 естественным образом выделены для таких моделей, как только те значения размерности, при которых на мировых листах существуют устойчивые особые точки. Отметим, что эти специальные значения размерностей выделены геометрическими свойствами решений, в отличие от квантового значения критической размерности й = 26, которое, как станет ясно из дальнейшего, выделено специфическими свойствами некоторых схем квантования.

Проблемы квантования теории струн связаны прежде всего с тем, что теория струн, как и ОТО, является репараметризационно инвариантной теорией. В таких теориях все физически наблюдаемые величины являются параметрическими инвариантами геометрических объектов (длина кривой, площадь, кривизна поверхности и т.д.). Как уже отмечалось, данная симметрия приводит к бесконечному набору связей первого рода в терминологии Дирака [44]. Для квантования таких теорий имеется несколько подходов. В первом, называемом ковариантным квантованием, в теории сохраняются все возможные параметризации мирового листа, и эквивалентность между ними реализуется на квантовом уровне как инвариантность волновых функций относительно репараметризаций, что достигается наложением связей на квантовые состояния: ЬпЯ/ = 0, где Ьп - генераторы симметрий. Во втором подходе на классическом уровне в дополнение к первичным связям формулируются так называемые калибровочные условия, которые фиксируют конкретную параметризацию на мировом листе (обычно рассматриваются параметризация светового конуса [90] и времениподобная параметризация Рорлиха [160]). В этом случае полный набор связей принадлежит ко второму роду, механика должна быть редуцирована на их поверхность с помощью соответствующего переопределения скобок Пуассона [44], и после этого может быть проквантована. Промежуточное положение занимает формализм "приведенного фазового пространства" [161], в котором роль фазового пространства выполняет фактор-пространство относительно группы калибровочных симметрий. По сути эти подходы эквивалентны. Параметрически инвариантные волновые функции должны быть функциями параметрических инвариантов мирового листа (коммутирующих друг с другом). Другими словами, они являются элементами фактор-пространства относительно репараметризаций (в котором нужно взять так называемое максимальное лагранжево подмногообразие [162]). В качестве базиса в этом пространстве можно выбрать канонические переменные для некоторой частной калибровки. Отметим, что фиксация калибровки не означает сужение или какое-либо другое ослабление теории, и в дейстительности представляет собой выбор определенного базиса в пространстве параметрических инвариантов мирового листа. Для канонических переменных, образующих этот базис, можно также выписать параметрически инвариантные выражения. Квантование в разных подходах может приводить к разным теориям [161], что является следствием фундаментальных неоднозначностей, присущих процедуре квантования [45]. Использование различных канонических базисов обычно приводит к различиям квантовых теорий на уровне постоянной Планка, которые стираются в классическом пределе, но могут быть весьма существенными на квантовом уровне, в частности, для одного базиса квантовые алгебры могут замыкаться, для другого - быть нарушенными аномалиями.

Основной проблемой, с которой сталкивается квантование струн, является квантовая реализация репараметризационной инвариантности теории. Струна обладает бесконечным числом степеней свободы, в квантовой теории это приводит к расходимостям. Устранение расходимостей стандартными методами, принятыми в квантовой теории поля [163] (введением нормального упорядочения некоммутирующих операторов), приводит к конечным аномальным членам, нарушающим параметрическую инвариантность [97]. Трудности возникают также при попытках проквантовать теорию струны в какой-либо конкретной калибровке. Так например, в стандартной калибровке светового конуса [97] преобразования Лоренца сопровождаются репараметризациями мирового листа, и аномалия в группе репараметризаций приводит к аномалии в группе Лоренца, вследствие чего в теории нарушается лоренц-инвариантность.

Как показывают исследования последних десятилетий, в том числе проведенные автором диссертации, алгебраические аномалии, связанные с нарушениями квантовых алгебр симметрий, могут быть достаточно простым образом устранены из теории, после чего открывается новый пласт проблем. К ним, в частности, относятся наличие экзотических решений, сложная топологическая структура фазовых пространств, а также разнообразные нарушения регулярности квантовых спектров, которые можно охарактеризовать термином спектральные аномалии. Так, например, величины, которые из квазиклассических соображений должны иметь целочисленный спектр в области больших квантовых чисел, могут иметь отклонения от этого свойства при малых квантовых числах. В некоторых случаях данные нарушения могут приводить к критическим последствиях для теории, как, например, нарушение целочисленности спина; в других случаях спектральные аномалии затрагивают величины, для которых целочисленность не является столь необходимой, таких как квадрат массы. В любом случае, спектральные аномалии являются более мягкими, чем исходные алгебраические, и допускают полное устранение при надлежащем выборе квантовых определений. Этой тематике, касающейся исследования возможных подходов к построению самосогласованной квантовой модели струн Намбу-Гото в пространстве-времени физической размерности, посвящена вторая глава данной диссертации.

Существующие подходы к квантованию струн Намбу-Гото в пространстве-времени Минковского размерности <¿ = 3,4 приведены на рис.2. Эта диаграмма не включает подходы, использующие технику компактификации [111], которая так или иначе вводит дополнительные измерения в пространстве-времени, а также расширяет исходную систему дополнительными степенями свободы, такими как спинорные, грассмановы или групповые переменные. С целью классификации имеющихся подходов на данной диаграмме по оси абсцисс изображены используемые параметризации классической теории, а по оси ординат - основные свойства полученной квантовой теории. Логически связанные подходы соединены между собой линиями. В результате на данной диаграмме выделяются определенные группы или кластеры подходов. Имеются также отдельные подходы, которые занимают промежуточное положение и могут быть отнесены к нескольким кластерам.

К первой группе относится стандартное квантование ковариантной теории [97], которое производится в осцилляторном представлении, подобном представлению полевых теорий операторами рождения и уничтожения [163]. В данном подходе имеется бесконечный набор генераторов репараметризаций Ьп, п £ Z, квадратичных по осцилляторным переменным, обладающих свойством Ь*п = и образующих на классическом уровне так называемую алгебру Вирасоро: {Ьк,Ьп} = г(к — п)Ьк+п• На квантовом уровне эта алгебра приобретает аномальный член: [Ьк,Ьп] = (п — к)Ьк+п + 5к,-пС-к, где Ск = ¿/12 • к(к2 — 1). Заметим, что аномалия присутствует при любом значении размерности пространства-времени В силу этого наложение связей на состояние: £ПФ = 0 для всех п оказывается невозможным, т.к. при этом [Ьп,Ь-п]Ф = спЧ> ф 0, |п| > 1. В то же время подмножество связей с п > 0 образует замкнутую алгебру, что позволяет наложить эти связи на состояния. Такой ослабленный вариант наложения связей позаимствован из квантовой электродинамики [163], в которой он составляет основу так называемого метода Гупты-Блейлера. При этом, также как в электродинамике, построение теории производится в псевдо-гильбертовом пространстве состояний, обладающим индефинитной метрикой, т.е. скалярное произведение (Ф|Ф) в пространстве состояний не является положительно определенным. Как показывает детальное вычисление [97], физическое пространство состояний, выделенное условиями ЬпФ = 0, п > 0, является положительно определенным при й < 26. ковариаитная теория временш юдобная калибровка квантуемос-ть частных классов движения мстоя

Гупты-Блейлкра + индефинитные пространства (»стояний прямолинейная струна

2-парам, струна стандартное ковариантпое квантование <¿<26 калибровка Рорлиха I нндеф квант ковар. экзотические состояния инстантон Мезенческу

Сп|гн1 шьте аномалия I квантуемость движений общего вида модпфицир. калибровка Рорлиха

I калибровка , светового конуса

-РСИМ.П])уЦй| другие ось калибр. II спину нндеф квант калиб. св. кон. = 3анионы 1

Минк. Евклид. = 3 й = 3 угловая гауссова калпО. калиб.

I = 4, ось калибр. 1 спину г' лорт и ц- и н ва] >и антн ая абелева калиб[ювка светового конуса переменные действие-угол метод Полякова ур-е Лпувнлля, т >ме г ри ч. подход

Рис.2. Различные подходы к квантованию струн Намбу-Гото при <1= 3,4.

Область, выделен нал серым цветом, объединяет подходы, разработанные в рамках данной диссертации.

Таким образом, при использовании метода Гупты-Блейлера в стандартном ковар и ант-ном подходе теория струн может быть проквантована, в частности, при й = А. Значение (I = 26 отвечает так называемому критическому случаю, когда физическое пространство является полуопределенным и содержит подпространство так называемых нулевых или гипурионных состояний, обладающих нулевой нормой и ортогональных всем векторам в физическом пространстве. Если отфакторизовать физическое пространство, отождествив все шпуриониые состояния с нулем [164|, получится положительно определенное пространство, изоморфное результату квантования теории струны в калибровке светового конуса [97] (которое только при (I = 26 не содержит аномалий и является самосогласованным). Аналогичные факторизации также проводятся в квантовой электродинамике. Существенное отличие состоит в том, что в квантовой электродинамике эта процедура приводит к положительно определенному пространству при любом в., причем система связей (которая в квантовой электродинамике не имеет аномалий), первоначально наложенная по методу Гупты-Блейлера, после факторизации выполняется в точном смысле. Таким образом, в электродинамике факторизация нулевых состояний логически замыкает процедуру квантования, приводя ее в соответствие с методом Дирака. В теории струн алгебра связей Ьп при всех п не замыкается также и в фактор-пространстве, и теория не является проквантованной строго по Дираку ни при каком ¿. Поэтому аналогия с электродинамикой в действительности является неполной. Кроме того, как будет показано в главе 2 данной диссертации, процедура факторизации нулевых состояний является небезобидной, поскольку она смешивает решения нормального и экзотического типа, и в действительности отождествляет физически различные состояния. Таким образом, хотя в результате факторизации "классическая и квантовая струны обладают одинаковым числом степеней свободы" ¡97], их природа является Существенно разной. Дополнительным требованием, возникающем в стандартном ковариантном квантовании, является фиксированное значение интерсепта реджевских траекторий, которое в теории открытых струн Намбу-Гото составляет с*о = 1. В силу этого состояние с нулевым спином на главной реджевской траектории обладает отрицательным квадратом массы а'М2 = —1, т.е. представляет собой так называемый тахион. Наличие таких частиц обычно приводит к нестабильности теории, вследствие чего возникают эффекты спонтанного нарушения симметрий [55]. При в, > 26 физическое пространство стандартной ковариантной квантовой теории струн содержит векторы с отрицательной нормой. Это также свидетельствует о внутренних проблемах данного подхода, поскольку классическая теория струн при в, > 26 сформулирована так же чётко, как при й = 4. Отметим еще раз, что другие теории поля, такие как квантовая электродинамика, могут быть проквантованы в положительно определенном пространстве состояний для любого (I, и в этом состоит нормальное положение вещей.

Вывод значения критической размерности й = 2€> был также воспроизведен в других подходах [165-168], которые, однако, обладают внутренней эквивалентностью с осцил-ляторным представлением. В частности, в [168] аномалии были получены, используя методы геометрического квантования [45]. Эта техника в основном не зависит от выбора координат, за исключением выбора так называемой поляризации в преквантовом гильбертовом пространстве, и использование кэлеровой поляризации в [168] делает эту теорию эквивалентной осцилляторной. Выход за рамки осцилляторного представления приводит к новым результатам. В частности, известен пример, построенный Мезенче-ску и приведенный в книге [97] стр.158-161, который показывает, что теория замкнутой струны Намбу-Гото в произвольном четном числе измерений в, = 2к, проквантованная в положительно определенном пространстве координатного представления (которое близко к осцилляторному, но не совпадает с ним), имеет решение, обладающее квантовой репа-раметризационной инвариантностью. Как будет показано в главе 2 данной диссертации, это решение принадлежит к экзотическому типу и является так называемым инстанто-ном, для которого мировой лист имеет конечные размеры как в пространстве, так и во времени.

При ковариантном квантовании релятивистских моделей пространство состояний наследует метрику пространства Минковского, которая является индефинитной. При этом обычно требуется, чтобы физический сектор теории не содержал состояний с отрицательной нормой, и эти состояния выполняют в теории вспомогательную роль. Иногда индефинитные пространства состояний вводятся для других целей. В начале 1940-х годов Дирак [169] и Паули [170] предложили использовать индефинитные пространства состояний для устранения расходимостей в квантовых теориях поля, при этом индефинитной метрикой наделялись физические подпространства. Эта возможность интенсивно исследовалась в 1950-1960е годы [171]. Был сформулирован ряд моделей, непротиворечивое квантование которых возможно только в индефинитных пространствах состояний. Трудность вероятностной интерпретации, присущую этим моделям, в некоторых случаях удалось преодолеть с помощью определённых ограничений на вид взаимодействия и начальные состояния задачи рассеяния. Данные методы можно использовать для устранения аномалий в теории релятивистской струны. Эта идея была воплощена в работе [3] (глава 2 разд.4 диссертации). В теории струн при использовании осцилляторного представления и стандартной фоковской реализации оператор квадрата массы содержит расходимость в виде суммы энергий "вакуумных колебаний". Как и в теориях поля, эта расходимость устраняется при фиксации так называемого нормального упорядочения произведений операторов, т.е. помещении операторов уничтожения справа от операторов рождения. При квантовании свободных полей эта процедура обычно приводит к непротиворечивой теории. В теории струн оператор квадрата массы входит в состав одного из генераторов репараметризаций (Ь0), и именно введение нормального упорядочения в нем ответственно за появление в алгебре аномального члена (называемого также центральным зарядом). Как уже отмечалось, в результате этого алгебра не замыкается и симметрия теряется. Другие способы упорядочения недоступны в фоков

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никитин, Игорь Николаевич

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. С использованием методов математического моделирования и компьютерной визуализации проведена исчерпывающая классификация особых точек на мировых листах релятивистских струн; построены явные примеры и исследована структура решений в классической теории струн, обладающих не всюду положительной плотностью энергии; обнаружена взаимосвязь между особенностями на струнах и процессами разрыва струн.

2. Впервые на количественном уровне исследована структура квантовых решений модели Намбу-Гото при физической размерности пространства-времени <1 = 4; в частности, найдены подмногообразия фазового пространства модели, квантование которых свободно от аномалий, а также проведено алгебраически неаномальное квантование движений общего вида. Разработаны и программно реализованы численные методы определения квантовых спин-массовых спектров данной модели.

3. Для модели Уилера-Фейнмана разработаны и программно реализованы методы численного решения уравнений движения, с помощью которых впервые на количественном уровне исследованы высокоэнергетические решения и при определенных критических значениях энергии обнаружены изменения их топологической структуры (бифуркации).

4. Разработано программное обеспечение для визуализации решений в моделях Намбу-Гото и Уилера-Фейнмана в исследовательских и образовательных целях. Данное программное обеспечение предназначено для использования в режиме реального времени в системах виртуального окружения, основанных на кластерах персональных компьютеров, и позволяет отображать сложные математические конструкции, возникающие в данных моделях, непосредственно в виде трехмерных геометрических объектов. Такие системы, включающие разработанное автором программное обеспечение, уже сейчас активно используются в ряде научно-исследовательских институтов и образовательных центров.

В заключение автор выражает чувство глубочайшей признательности своим коллегам, сотрудникам кафедры системной интеграции и менеджмента факультета общей и прикладной физики Московского физико-технического института и Института физико-технической информатики, во главе со Станиславом Владимировичем Клименко, за атмосферу доброты и чуткости, окружавшей его все годы работы в институте, а также Георгию Павловичу Пронько за введение в круг научных проблем, легших в основу настоящей диссертации, и Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку работы в рамках проектов 99-01-00451, 01-07-90327, 02-01-01139.

21 января 2004 г

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Никитин, Игорь Николаевич, 2004 год

1. И.Н. Никитин, Конфигурации релятивистской струны, квантуемые без аномалий, Яд.физ. 1993. Т.56. N9. С.230.

2. И.Н. Никитин, Г.П. Пронько, Электромагнитное взаимодействие в теории прямолинейной струны, Яд.физ. 1995. Т.58. N6. С.1123.

3. И.Н. Никитин, Квантовая теория струн в индефинитном пространстве состояний, Теор.мат.физ. 1996. Т.107 N2 С.589.

4. И.Н. Никитин, Частные классы движений струны, квантуемые без аномалий, Теор.мат.физ. 1996. Т.109. N2 С.202.

5. I.N.Nikitin "Classical and quantum aspects of low dimensional relativistic string theory", Proc. of 10th Int. Conf. on Problems of Quantum Field Theory (Alushta, Ukraine, May 1996) p.355, published by JINR, Dubna, Russia 1996, ISBN 5-85165-455-4.

6. C.B. Клименко, И.Н. Никитин, Исследование особенностей на мировых листах релятивистских струн, Теор.мат.физ. 1998. Т.114. N3 С.299.

7. S.Klimenko, I.Nikitin, "Exotic solutions in string theory", II Nuovo Cimento A, V.lll (1998) pp. 1431-1456.

8. I.Nikitin, "String theory in Lorentz-invariant light cone gauge", LANL e-print hep-th/9906003.

9. Igor Nikitin, Lialia Nikitina, String theory in Lorentz-invariant light cone gauge II, LANL e-print hep-th/0301204.

10. Igor Nikitin, Lialia Nikitina, String theory in Lorentz-invariant light cone gauge III, LANL e-print hep-th/0306010.

11. Igor Nikitin, String theory in Lorentz-invariant Abelian light cone gauge, subm. to Phys.Rev.D

12. С.В.Клименко, И.Н.Никитин, Релятивистские струны: математические основы, визуализация, квантование. Учебное пособие МФТИ, 244 е., изд. ИФТИ, 2004, ISBN 5-88835-014-1; электронная версия: <http://sim.ol.ru/staff/igor/course>

13. И.Н.Никитин, Дираковское квантование теории открытых струн Намбу-Гото в 4-мерном пространстве-времени Минковского, принято к публикации в ЭЧАЯ 2004.

14. I.Nikitin, "String theory in Lorentz-invariant time-like gauge", LANL e-print hep-th/9907196.

15. И.Н.Никитин, Структура особенностей на мировых листах релятивистских струн, ЭЧАЯ. 2003. Т.34. N7 С.112-137.

16. S.Klimenko and I.Nikitin, ANOMALY-FREE SUBSETS, EXOTIC SECTOR, WORLD-SHEET: three articles in Concise Encyclopedia of Supersymmetry and noncommutativestructures in mathematics and physics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2003, ISBN 1-4020-1338-8.

17. C.B. Клименко, И.Н. Никитин, B.B. Таланов, Визуализация особенностей на мировых листах релятивистских струн, Программирование 4 (1994) С.47.

18. Klimenko S.V., Nikitin I.N., Talanov V.V., "Visualization of complex phenomena in string theory", in Proc. of Artificial Intelligence in High Energy and Nuclear Physics conference, Pisa, Italy, April 1995.

19. B.B. Буркин, C.B. Клименко, И.Н. Никитин, Визуализация и анимация динамики релятивистских струн, в Трудах Межд. конф. Графикон'98, Москва, сентябрь 7-11, изд. РЦФТИ, С.277-284.

20. Stanislav Klimenko, Igor Nikitin, Valery Burkin, Vitaly Semenov, Oleg Tarlapan, Hans Hagen: Visualization in string theory, Proceedings of Graphicon'99, August 26 September 1, Moscow, pp. 301-308 Published by AO "Dialog-MGU"(Moscow State University).

21. Valery Burkin, Hans Hagen, Stanislav Klimenko and Igor Nikitin: Visualization in string theory, in IEEE Visualization 1999 Late Breaking Hot Topics Proceedings, October 27-29 1999, San Francisco, California, USA, pp.29-32.

22. Stanislav Klimenko, Igor Nikitin, Valery Burkin, Vitaly Semenov, Oleg Tarlapan and Hans Hagen, Visualization in string theory, Computers and Graphics, Vol.24 (1) (2000) pp. 23-30.

23. M.Gobel, H.TVamberend, S.Klimenko, I.Nikitin "Visualization in topology: assembling the projective plane" Proc. of Visualization in Scientific Computing conference, (Boulogne-sur-Mer, France, April 1997) p.95, Springer-Verlag 1997.

24. M.Gobel, H.Tramberend, S.Klimenko, I.Nikitin "Visualization in topology: assembling the projective plane" Proc. of GraphiCon (Moscow, May 1997) p.75, published by RCCPT, Protvino, Russia; Программирование, 1998, T.24, N.4, C.62-76.

25. S.Klimenko, I.Nikitin "Mathematical Visualization in Virtual Environment: Meditation on Homotopy of Embedding", pp.62-65, in Proc. of 6th Int. Conference on Computer

26. Graphics and Animation (Anigraph'98), May 20-23, Moscow, published by RCCPT, Protvino 1998.

27. И.Н. Никитин, Исследование структуры классических решений релятивистской электродинамики Уилера-Фейнмана, Исследовано в России 2004. вып.26-28. С.262-319.

28. I.N. Nikitin, Hamiltonian formulation of two body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento HOB (1995) p.771.

29. S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "On structure of solutions of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics", II Nuovo Cimento A, V.lll (1998) pp.1281-1292.

30. S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics" Int.J.Mod.Phys.C. 1999. Vol. 10, No. 5, pp.905-920.

31. Stanislav Klimenko, Igor Nikitin and Wasil Urazmetov: Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, Computer Physics Communications, Vol.126 (2000) pp. 82-87.

32. Igor Nikitin and Jayme De Luca, Numerical methods for the 3-dimensional 2-body problem in the action-at-a-distance electrodynamics, Int. Journal of Modern Physics C, V.12, N.5 (2001) p.739; LANL e-print hep-th/0105285.

33. Stanislav Klimenko and Igor Nikitin, On structure of 3-dimensional 2-body problem solutions in Wheeler-Feynman electrodynamics, И Nuovo Cimento, V.116B N9 (2001) pp.1029-1043.

34. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия: Методы и приложения, Москва: Наука, 1979.

35. Дирак П.A.M., Лекции по квантовой механике, Москва: Мир, 1968.

36. Харт Н. "Геометрическое квантование в действии", М.: Мир, 1971.

37. Й.Намбу, Почему нет свободных кварков?, Усп.Физ.Наук 1978. Т.124. С.147-169.

38. Й.Намбу, Кварки: на переднем крае физики элементарных частиц, Москва: Мир, 1984.

39. K.G.Wilson, Confinement of quarks, Phys.Rev.D 1974. V.10. N8. pp.2445-2459.

40. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. "Введение в квантовую теорию калибровочных полей", М.:Наука, 1988.

41. Bander М. // Phys. Rep. 1981. V.75. N4. Р.207.

42. H.G.Dosch, Yu.A.Simonov, The area law of the Wilson loop and vacuum field correlators, Phys.Lett.B 1988. V.205. N4. pp.339-349.

43. Yu.A.Simonov, Vacuum background fields in QCD as a source of confinement, Nucl.Phys.B 1988. V.307. N3. pp.512-528.

44. K.S.Gupta, C.Rosenzweig, Semiclassical decay of excited string states on leading Regge trajectories, Phys.Rev.D 1994. V.50. N5. pp.3368-3376.

45. И.Ю.Кобзарев, Б.В.Мартемьянов, М.Г.Щепкин, Распады орбитально возбужденных адронов, Яд.физ. 1988. Т.48. N2. С.344-355.

46. JI.Б.Окунь, Физика элементарных частиц, Москва: Наука, 1988.

47. К. Hagiwara et al., Particle Data Group, Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 2002. V.66 N1. p.010001.

48. Landsberg L.G. "Exotic Hadrons". Preprint IHEP 89-54, Serpukhov 1989.

49. Л.Г.Ландсберг, Экзотические барионы, Усп.физ.наук 1994. Т.164. N11. С.1129-1165.

50. В.В.Анисович, Экзотические мезоны: поиск глюболов, 1995. Т.165. N11. С.1225-1247.

51. D.V.Bugg, M.Peardon, B.S.Zou, The glueball spectrum, Phys.Lett.B 2000. V.486. N1. pp.49-53.

52. T.Barnes, F.Close, Phys.Lett.B 1982. V.116. p.365.

53. Вайнштейн А.И. и др. // Усп.Физ.Наук 1977. Т.123. С.217.

54. Y. Nambu, "Quark model and factorization of the Veneziano amplitude", in Lectures at the Copenhagen Symp. on Symmetries and Quark Models, p.269, New York: Gordon and Breach Book Сотр., 1970.

55. О. Нага, Prog. Theor. Phys. 1971. V.46. p.1549.

56. T. Goto, Prog. Theor. Phys. 1971. V.46. p.1560.

57. R. Dolen, D. Horn, C. Schmidt, Phys. Rev. Lett. 1967. V.19. N7. p.402.

58. G. Veneziano, И Nuovo Cimento A 1968. V.57. N1. p.190.

59. S. Mandelstam, Phys. Rep. 1974. V.13. N6. p.259.

60. Барбашов Б.М., Черников H.A., ЖЭТФ 1966. Т.50. С.1296.

61. Барбашов Б.М., Черников H.A., ЖЭТФ 1966. Т.51. С.658.

62. В.М. Barbashov, N.A. Chernikov, Comm. Math. Phys., V.5 (1966) p.313.

63. Y.Nambu, QCD and the string model, Phys.Lett.B 1979. V.80. N4-5. pp.372-376.

64. A.Yu.Dubin, A.B.Kaidalov, Yu.A.Simonov, Dynamical regimes of the QCD string with quarks, Phys.Lett.B 1994. V.323. N1. pp.41-45.

65. Г.С.Ирошников, Квазиклассическое 1 /iV-приближение и эффективная струнная динамика в ¿"¿/(Л^-калибровочной теории, Яд.физ. 1995. Т.58. N1. С.149-154.

66. M.Baker, R.Steinke, Effective string theory of vortices and Regge trajectories, Phys.Rev.D 2001. V.63. N9. p.094013.

67. Nambu Y., Phys. Rev. D 1974. V.10. N.12. P.4262.

68. G.P. Pron'ko, Nucl. Phys. В 1980. V.165 p.269.

69. A.A. Migdal, Nucl. Phys. В 1981. V.189 p.253.

70. X. Artru, Phys. Rep. 1983. V.97 p. 147.

71. Э.В. Гедалин, Е.Г. Гурвич, Яд.физ. 1990. T.52. C.240.

72. E.B. Berdnikov, G.G. Nanobashvili, G.P. Pron'ko, Int. J. Mod. Phys. A 1993. V.8. N14. p.2447; V.8. N15. p.2551.

73. G.S. Sharov, Phys. Rev. D 2000. V.62. N.9. p.094015.

74. Б.М. Барбашов, В.В. Нестеренко, Модель релятивистской струны в физике адронов, Москва: Энергоатомиздат 1987; В.М. Barbashov, V.V. Nesterenko, Introduction to the Relativistic String Theory, Singapore, World Scientific, 1990.

75. T.Regge, Introduction to complex orbital momenta, II Nuovo Cimento 1959. V.14. N5. pp.951-960.

76. Поздеев М.Ю., Пронько Г.П., Разумов A.B. // Теор.мат.физ. 1984. T.58. N3. C.377. A.Chodos et al, A new extended model of hadrons, Phys.Rev.D 1974. V.9. pp.3471-3495.

77. A.Chodos et al, Barion structure in the bag theory, Phys.Rev.D 1974. V.10. pp.25992613.

78. B.B.Владимирский, Релятивистская струна как предельный случай вытянутого мешка, Яд.физ. 1984. Т.39. N2. С.493-495.

79. A. Neveu, J.H. Schwarz, Nucl. Phys. В 1971. V.312. N1. p.86; Phys. Rev. D 1971. V.4. N4. p. 1109.

80. M. Green, J. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory Vol. 1,2, Cambridge Univ. Press,1987.

81. Brink, M. Hennaux, Principles of String Theory, Plenum Press, New York and London1988.

82. Sherk J., Schwarz J.H. // Nucl. Phys. В 1974. V.81. P.118. Neveu A., Scherk J. // Nucl. Phys. В 1972. V.36. P.155.

83. Yoneya T. // Nuovo Cim. Lett. 1973. V.8. P.951; Prog. Theor. Phys. 1974. V.51. P.1907.

84. Gross D.J. et al // Nucl. Phys. В 1985. V.256. P.253; 1986. V.267. P.75.

85. An introduction to Kaluza-Klein theories, Proc. Chalk River workshop on Kaluza-Klein theories, ed. H. C. Lee, World Scientic, Singapore, 1984.

86. А.Ю.Морозов, Теория струн что это такое?, Усп.физ.наук 1992. Т.162. N8. С.83-176.

87. Сб.: Монополь Дирака, под ред. Б.М.Болотовского и Ю.Д.Усачева, Москва: Мир, 1970.

88. А.А.Абрикосов, О магнитных свойствах сверхпроводников второго рода, Ж. экспер. и теор.физ. 1957. Т.32. N6. С.1442-1452.

89. H.B.Nielsen, P.Olesen, Vortex line models for dual strings, Nucl.Phys.B 1973. V.61. N1. pp.45-61.

90. M.B.Hindmarsh, T.W.B.Kibbl, Cosmic strings, Rep. Prog. Phys. 1995. V.58. pp.477-562.

91. A.Vilenkin, Gravitational field of vacuum domain walls and strings, Phys.Rev.D 1981. V.23. pp.852-857; Cosmic strings, Phys.Rev.D 1981. V.24. pp.2082-2089.

92. A. M. Polyakov, Phys. Lett. B59 (1975) p.82.

93. G. t'Hooft, Phys. Rev. Lett. 37 (1976) p.8.

94. Кетов C.B. "Введение в квантовую теорию струн и суперструн", Новосибирск: Наука, 1990.

95. Желтухин А.А. // Яд.физ. 1981. Т.34. N.2. С.562.

96. Polyakov A.M. // Nucl. Phys. В 1986. V.268. P.406.

97. Polyakov A.M. // Mod. Phys. Lett. 1988. V.3. P.325.

98. Nanobashvili G.G., Pronko G.P. "Is there a statistics transmutations due to interaction with Chern-Simons fild?", Preprint IHEP 89-233, Serpukhov 1989.

99. Plyushchay M.S. // Int. J. Mod. Phys. A 1992. V.7. N28. P.7045.

100. Plyushchay M.S. // Phys. Lett. В 1990. V.236. N28. P.291; V.243. P.383.

101. M. Davidson, Motions of classical charged tachyons, Physical Essays 2001. V.14, pp.6675.

102. J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. of Mod. Physics, 17, 157 (1945); Rev. of Mod. Phys. 21, 425 (1949).

103. K. Schwarzschild, Gottinger Nachrichten, 128, 132 (1903).

104. H. Tetrode, Zeits. f. Physik 10, 137 (1922).

105. A. D. Fokker, Zeits. f. Physik 58, 386 (1929).

106. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, т.2 (теория поля), Москва: Наука, 1973.

107. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика. т.З (квантовая механика, нерелятивистская теория), Москва: Наука, 1974.

108. P. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 167, p.148 (1938).

109. R.P.Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Nobel Lecture, December 11, 1965. Preprint les Prix Nobel en 1965. The Nobel Foundation, Stockholm, 1966. Рус.перевод: Усп.Физ.Наук 91, 29 (1967).

110. Сб.: "Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами", Киев, Нау-кова Думка, 1977.

111. L.E.Elsgoltz, S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York 1973.

112. R. A. Moore, D. W. Qi and Т. C. Scott, Can. J. Phys. 70, 772 (1992).

113. F. Hoyle and Jayant V Narlikar, Cosmology and Action at a Distance Electrodynamics, (World Scientific, Singapore 1996).

114. F. Hoyle and J. V. Narlikar, Rev. of Mod. Phys. 67, 113 (1995).

115. J. Hoag and R. D. Driver, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications 15, 165 (1990).

116. R.Rivera, D.Villaroel // J.Math.Phys. V.38, p.5690 (1997).

117. P.Stephas, J.Math.Phys. 1992. V.33. N2. p.612.

118. J. De Luca, Phys. Rev. Lett. 80, 680 (1998).

119. J. De Luca, Phys. Rev. E 58, 5727 (1998).

120. J. De Luca, Phys. Rev. E 62, 2060 (2000).

121. Г.С. Шаров, Об устойчивости ротационных движений для струнных моделей ад-ронов, Сб.: Применение функционального анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2001. С.143-151.

122. G.S.Sharov, Excitations of rotational states in string model of meson and in three-string baryon model, LANL e-print hep-ph/0012334.

123. J.M. Aguirregabiria, A. Hernandez, M. Rivas, J. Phys. A, 30 (1997) L651-L654.

124. D. Villarroel, Phys. Rev. A, V.55, N5 (1997) p.3333.

125. D.G.Currie, J.Math.Phys. 4, 1470 (1963); Phys.Rev. 142, 817 (1966).

126. D.G.Currie, T.F.Jordan, E.C.G.Sudarshan, Rev.Mod.Phys. 35, 350(1963).

127. H.Leutwyler, Nuovo Cim. 37, 556 (1965).

128. Pron'ko G.P. // Rev. Math. Phys. 1990. V.2. N.3. P.355.

129. Пронько Г.П. // Теор.мат.физ. 1984. T.59. N.2. C.240.

130. Бердников Е.Б., Пронько Г.П. // Теор.мат.физ. 1989. Т.81. N.l. С.94.

131. V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, edition 5, Moscow, Nauka, 1988.

132. Пронько Г.П. и dp., ЭЧАЯ 1983. T.14. N3. C.558.

133. S. Brundobler, V. Elser, Am.J.Phys. V.60, N8 (1992) p.726.

134. R. Dilao, R. Schiappa, Phys.Lett. В 404 (1997) p.57.

135. Петров В.П., Шаров Г.С., Теор.мат.физ. 1996. T.109. C.187.

136. Арнольд В.И., Варченко В.П., Гусейн-Заде С.М., Особенности дифференцируемых отображений I, Москва: Наука, 1982.

137. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного, Москва: Наука, 1973.

138. R. Thom, G. Levin, "Singularities of differentiable maps", in: Singularities of Smooth Maps, Gordon (1967).

139. E. Noether, Gottinger Nachrichten, pp.235-257, 1918.

140. Джорджадзе Г.П., Погребков А.К., Поливанов M.K. // Теор.мат.физ. 1979. Т.40. С.221.

141. Погребков А.К. // Теор.мат.физ. 1980. Т.45. С.161.

142. М. Alcubierre, Classical and Quantum Gravity, V.ll (1994) L73.

143. F. Rohrlich, Phys.Rev.Lett. V.34 (1975) p.842.

144. M.S. Plyushchay and A.V. Razumov, Int. J. Mod. Phys. A 1996. V.ll p.1427.

145. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Москва: Наука, 1979.

146. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Москва: Наука, 1984.

147. Е. Del Giudice, P. Di Vecchia and A. Fubini, Ann.Phys. 1972. V.70. p.378.

148. K. Fujikawa, Phys. Rev. D 1982. V.25. p.2584.

149. M. Kato, K. Ogawa, Nucl. Phys. В 1983. V.212. p.443.

150. S. Hwang, Phys. Rev. D 1983. V.28. p.2614.

151. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A 1942. V.180. P.l.

152. Pauli W. // Rev.Mod.Phys. 1943. V.15. P.175.

153. Надь К. Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля. М.:Мир, 1969.

154. A.M. Polyakov, Phys. Lett. В 1981. V.103. p.207.

155. V.E. Zakharov, L.D. Faddeev, Functional Analysis and Its Applications 1971. V.5. N4. p.18.

156. E. Ramos, The reduced covariant phase space quantization of the three dimensional Nambu-Goto string, LANL e-print hep-th/9709131.

157. G. C. Wick, Phys. Rev. 1954. V.96. p.1124.

158. В.И. Бородулин, O.Jl. Зорин, Г.П. Пронько, А.В. Разумов, Л.Д. Соловьев, Те-ор.мат.физ. 1985. Т.65. N1. С.119.

159. G.Jorjadze, Constrained Quantization on Symplectic Manifolds and Quantum Distribution Functions, J.Math.Phys. 1997. V.38. pp.2851-2879.

160. Shiing-Shen Chern, C. W. Chu (eds.), Physics and Mathematics of Anyons: Proceedings of the TCSUH Workshop, Houston, Texas, 1-2 February 1991, World Scientific Pub., Singapore.

161. V.N. Gribov, Nucl. Phys. B139. 1978. p.l.

162. R.A. Rudd, R.N.Hill, J.Math.Phys. V.ll p.2704 (1970).

163. R.N.Hill, Lecture Notes in Physics 162, 104 (1982) "Relativistic Action at a Distance: Classical and Quantum Aspects" Proceedings, Barselona, Spain 1981.

164. C. G. Darwin, Phil. Mag. 39, 537 (1920).

165. С. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 802 (1972).

166. M. Schonberg, Phys. Rev. 69, 211 (1946).

167. A. Schild, Phys. Rev. 131, 2762 (1963).

168. Д.Кокс, Дж.Литтл и Д.О'Ши, "Идеалы, многообразия и алгоритмы", Москва: Мир, 2000.

169. B.Buchberger, Groebner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory, pp.184-232, in: Multidimensional Systems Theory, ed. by N.K.Bose, D.Reidel Pub., Dordrecht 1985.

170. S. Wolfram, The Mathematica Book, Cambridge University Press 1999.

171. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1988.

172. С. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 2470 (1972).

173. I. Bars and A.J. Hanson. Quarks at the Ends of the String, Physical Review D13, pp. 1744-1760, 1976.

174. W.A. Bardeen, I. Bars, A.J. Hanson, and R.D. Peccei. Study of the Longitudinal Kink Modes of the String, Physical Review D13, pp. 2364-2382, 1976.

175. W.A. Bardeen, I. Bars, A.J. Hanson, and R.D. Peccei. Quantum Poincare Covariance of the Two-Dimensional String, Physical Review D14, pp. 2193-2196, 1976.

176. V.G.Budanov, A.V.Razumov, L.Yu.Taranov, "On scalar product for constrained systems", Proceedings of IV International Seminar on High Energy Physics and Quantum Field Theory (Protvino, Russia, 1981) p.273.

177. Francis G.K., A Topological Picturebook, Springer-Verlag 1987,1988 (M.:Mir, 1991).

178. U. Dierkes et al, Minimal Surfaces I, Springer-Verlag 1991.

179. M. Gobel et al, Virtual Spaces: VR Projection System Technologies and Applications. Tutorial Notes. Eurographics '97, Budapest, 1997, 75 pages.

180. J.Rohlf and J.Helman. IRIS Performer: A High Perfomance Multiprocessing Toolkit for Real Time 3D Graphic. In A. Glassner, editor, Proceedings of SIGGRAPH '94, pp. 381-395.

181. R. Carey and G. Bell. The VRML 2.0 Annotated Reference Manual. Addison-Wesley, Reading, MA, USA. Jan.1997.

182. Josie Wernecke, Open Inventor Architecture Group, The Inventor Mentor: Programming Object-Oriented 3D Graphics with Open Inventor, Release 2, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1994 (ISBN 0-201-62495-8);

183. Josie Wernecke, Open Inventor Architecture Group, The Inventor Toolmaker: Extending Open Inventor, Release 2, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1994 (ISBN 0-20162493-5).201 202 [203204205206 207208 209 [210211 212213214215 216 [217

184. Мазер Дж.Н., Усп.мат.наук 1974. T.29 C.99. Арнольд В.И., Усп.мат.наук 1972. Т.27 С.119.

185. A. Gray, "Monkey Saddle."Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press.

186. Кудрявцев JI.Д., Курс математического анализа, т. 1-3, Москва: Высшая школа, 1998.

187. G.N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

188. H. Weyl, The theory of groups and quantum mechanics, New York: Dover, 1950.

189. H.B.G. Casimir, Rotation of a Rigid Body in Quantum Mechanics, J.B.Wolter's, Groningen, 1931.

190. E. Wigner, Group Theory, Academic Press, New York, 1959.

191. M.A. Наймарк, Теория представлений групп, Москва: Наука, 1976.

192. H.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, Москва: Наука, 1991.

193. Schulman, Phys. Rev. 1968. V.176 N.5 рр.1558-1569.

194. J.J. van Wijk, Spot noise: texture synthesis for data visualization, in: T.W. Sederberg, editor, Computer Graphics (Siggraph'91 Proceedings), V.25, pp.263-272.

195. R. Kent Dybvig. The Scheme programming language: ANSI Scheme. P T R Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 07632, USA, second edition, 1996.

196. C.A.H. Paul, Numerical Analysis Report No. 283, Manchester Centre for Computational Mathematics (1995) <http://www.ma.man.ac.uk/MCCM/MCCM.html>

197. Robert Davies, NewMat С++ Matrix Class, chttp: //www. robertnz. net/nmintro. htm>

198. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman, Matrix Polynomials, Academic Press, 1982.

199. J.H. Wilkinson, C. Reinsch, Linear Algebra, vol.2 of Handbook for Automatic Computations, New York: Springer Verlag 1971.