Поляризация вакуума на фоне пространств кротовых нор и космических струн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Артем Ришатович

• Хабибуллин, Артем Ришатович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Артем Ришатович

Введение

1 Квантованные поля в пространствах кротовых нор и космических струн

§1.1 Поляризация вакуума.

§1.2 Регуляризация и перенормировки в рамках метода обобщенной

-функции.

§1.3 Кротовые норы.

§1.4 Космические струны.

2 Энергия нулевых колебаний скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения

§2.1 Модель струны.

§2.2 Энергия нулевых колебаний безмассового скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения

3 Энергия нулевых колебаний скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы с бесконечно короткой горловиной

§3.1 Модель кротовой норы с бесконечно короткой горловиной

§3.2 Энергия нулевых колебаний скалярного поля в случае одной сферы, окружающей горловину кротовой норы.

§3.3 Энергия нулевых колебаний в случае двух сфер, окружающих горловину кротовой норы.i.

Энергия нулевых колебаний скалярного поля при наличии сингулярных потенциалов

§4.1 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля при наличии одного сингулярного источника

§4.2 Скалярное поле в пространстве-времени Минковского с нетривиальными граничными условиями.

§4.3 Энергия нулевых колебаний для ТЕ и ТМ мод.

§4.3.1 Границы, удаленные на бесконечность: L —> оо.

§4.3.2 Стандартная энергия Казимира, Ecas.

§4.3.3 Энергия нулевых колебаний для безмассового поля

§4.3.4 Энергия нулевых колебаний для массивного поля

§4.3.5 Перенормировка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поляризация вакуума на фоне пространств кротовых нор и космических струн»

В рамках общей теории относительности с момента ее создания были предсказаны различные экзотические объекты. Наиболее известными являются черные дыры, в существовании которых сомневались до последнего времени. В последние два десятилетия многочисленные астрофизические и астрономические наблюдения убедительно доказали существование массивных черных дыр в центрах галактик [1, 2]. "

Пространства с нетривиальной топологической структурой вызывали интерес практически с момента создания теории относительности. Благодаря работам и идеям Уилера [3] топологически нетривиальные пространства стали серьезно рассматриваться в физическом контексте. Уилер предложил называть такие пространства кротовыми норами. Основной характеристикой пространства кротовой норы является существование двумерной замкнутой поверхности минимальной площади, характерный размер которой принято называть радиусом горловины. Такие объекты по его мнению способны объяснить существование электрического заряда и массы, за радиус электрона можно принять радиус минимальной поверхности. Электрическое поле, проходящее через горловину кротовой норы, интерпретируется наблюдателем как электрический заряд. Эта идея образно выражается знаменитым высказыванием Уилера: "заряд без заряда" и "масса без массы". Дальнейшее развитие физика кротовых нор получила в работах Морриса, Торна и Юртсевера [4]. Авторы, используя пространство кротовой норы, предложили модель, которая реализует "машину времени". Благодаря работам этих авторов началось бурное развитие физики кротовых нор. Основной и до сих нерешенной проблемой физики кротовых нор является проблема объяснения их существования в нашем мире, поскольку из самых общих предположений можно показать, что пространство кротовой норы нарушает все известные условия энергодоминантности. Это означает, что обычная материя не может быть источником пространства кротовой норы. Самосогласованное решение уравнения Эйнштейна в виде кротовой норы возможно только при наличии необычной, экзотической материи. Количество экзотической материи, необходимое для создания кротовой норы, ее происхождение, уравнение состояния и т.д. активно дискутируются в современной физике кротовых нор.

Следует отметить, что понятие необычной материи появилось и усиленно обсуждается в рамках космологии. Многочисленные эксперименты по изучению анизотропии реликтового излучения (СОВЕ, MAXIMA, BOOMERANG, WMAP) [5] позволили установить основные параметры нашей Вселенной. Одним из сильнейших результатов этих исследований является то, что 94% материи нашей Вселенной является невидимой, 74% представляет собой темная энергия и 10% темная материя. Всего 6% Вселенной состоит из обычной наблюдаемой материи в форме планет, звезд, галактик, газово-полевых облаков и т.д.

Одной из возможностей получения кротовых нор является рассмотрение квантованных полей в искривленных пространствах в качестве источника экзотической материи для кротовых нор [6, 7]. Дело в том, что энергия флук-туаций квантованного поля может быть как положительной, так и отрицательной. Квантовая теория поля в пространстве Минковского является хорошо разработанной и экспериментально обоснованной теорией. На данный момент не существует теории квантовой гравитации, в рамках которой все поля, включая гравитационное, являются квантованными. Единственной, более или менее обоснованной теорией является полуклассическая квантовая гравитация. В рамках этой теории гравитационное поле является классическим, тогда как все остальные физические поля являются квантованными. Такое рассмотрение возможно ввиду колоссальной разницы характерных масштабов энергии гравитационных и других полей. Теория является неперенор-мированной, показано, что однопетлевые поправки приводят к появлению квадратичных по кривизне слагаемых.

Другим классом интересных объектов, которые интенсивно изучаются в общей теории относительности, являются топологические дефекты - монополи, струны, доменные стенки и текстуры. Изначально эти объекты возникли при рассмотрении эволюции полей во Вселенной. Остывание поля в процессе расширения Вселенной и нелинейность поля приводят к возникновению нарушения симметрии, что в свою очередь приводит к образованию топологических дефектов [8]. Топологические дефекты рассматриваются при крайне общих предположениях, что вызывает уверенность в их существовании. Наиболее интересным топологическим дефектом является космическая струна, представляющая собой нитеобразную полевую конфигурацию [9]. Пространство-время космической струны является коническим, что приводит к появлению массы интересных эффектов. Несомненна роль космических струн для космологии. Экспериментально измеренная анизотропия реликтового излучения совпадает с теоретически предсказанной только при учете существования космических струн.

Рассмотрение бесконечно тонких космических струн и кротовых нор с бесконечно короткой горловиной приводит к появлению уравнений с сингулярными потенциалами. Такого рода потенциалы часто возникают в различных областях физики. В рамках квантовой теории поля их наличие приводит к необходимости рассмотрения добавочных перенормировочных предписаний. В последние годы особый интерес вызывают задачи, возникающие в реальных физических моделях, связанные с появлением полупрозрачных границ, описываемых модельными сингулярными потенциалами [10,11,12,13,14,15, 16].

Цель работы состояла в исследовании энергии вакуумных флуктуаций квантовых и классических полей в пространствах кротовых нор и космических струн, а также исследование энергии вакуумных флуктуаций скалярных полей с нетривиальными граничными условиями при наличии сингулярных потенциалов.

Основной проблемой в квантовой теории поля является проблема устранения бесконечностей и выделения конечного результата. В диссертации используется и развивается сравнительно новый и достаточно удобный метод устранения расходимостей - регуляризация выражения энергии дзета-функцией. Впервые этот метод был предложен Доукером и Кричли [17] и независимо Хокингом [18]. Позднее метод дзета-регуляризации был применен непосредственно к вычислению энергии нулевых колебаний в работе Блау, Виссера и Випфа [19]. Трудности, возникающие с нахождением спектра энергии для более сложных уравнений движения полей, привели к дальнейшему развитию метода дзета-регуляризации [20, 21, 22]. Было предложено свести вычисление обобщенной дзета функции к анализу собственных функций соответствующего оператора поля, так как решение уравнений на собственные значения оператора является более простой задачей.

Научная новизна данной работы заключается в следующем: в диссертации впервые получено общее выражение энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля для произвольного дефицита угла пространства космической струны конечного поперечного сечения; получена энергия-нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной или двумя сферическими оболочками; показано, что сила Казимира для такой модели может быть не только силой отталкивания [23], но при определенных радиусах сфер становится силой притяжения; получены выражения для энергий нулевых колебаний скалярных полей при наличии сингулярных потенциалов и нетривиальных граничных условий; найдено нормировочное условие, позволяющее получить конечное выражение для энергии скалярных полей при различных граничных условиях.

Работа состоит из четырех частей. В первой главе приведен краткий обзор методов регуляризации энергии нулевых колебаний для произвольных полей.

Более подробно рассмотрен подход дзета-регуляризации на примере сферической поверхности. Показан стандартный способ перенормировки энергии в массивных скалярных полях. Представлен обзор и описание таких объектов исследования, как космические струны и кротовые норы. Во второй главе в рамках дзета-регуляризации исследована энергия нулевых колебаний скалярного поля в пространстве-времени космической струны с конечным поперечным сечением. Третья глава посвящена исследованию энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной и двумя сферами. В четвертой главе подробно рассматривается энергия нулевых колебаний безмассового и массивного скалярных полей, содержащих сингулярные потенциалы, при наличии нетривиальных граничных условий.

Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах: III международная конференция по фундаментальным проблемам физики (Казань, КГУ, 2005); Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике (Уфа, БГПУ, 2005); Международная конференция по гравитации и космологии, астрофизике (RUSGRAV-12), (Казань, КГПУ, 2005); Международная школа-семинар по квантовой теории поля, суперсимметрии, полей высших спинов и гравитации (Томск, 2005); Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии (GRACQS-2007), (Казань,2007); Международная конференция по гравитации и космологии, астрофизике (RUSGRAV-13), (Москва, РУДН ,2008), Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии (GRACOS-2009).

По теме диссертационной работы опубликованы 10 печатных работ, из них 3 статьи в центральной научной печати, 1 статья в сборнике научных работ, 6 тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Хабибуллин, Артем Ришатович

Заключение

В настоящей работе с помощью подхода дзета-регуляризации было проведено исследование энергии вакуумных флуктуаций скалярного поля с нетривиальным топологическим фоном и скалярного поля при наличии сингулярных потенциалов. Полученные результаты являются достоверными, имеется хорошее согласие с теоретически предсказанными ранее данными.

Приведем основные результаты работы.

1. Рассмотрено массивное скалярное поле в пространстве-времени космической струны с конечным поперечным сечением. Получено общее выражение энергии нулевых колебаний для произвольного дефицита угла. Вычислена энергия нулевых колебаний безмассового скалярного поля до четвертой степени малого дефицита угла.

2. Исследована энергия Казимира для одной и двух сфер, окружающих горловину кротовой норы и показано, что при определенных радиусах сфер сила Казимира может менять свой знак.

3. Исследован эффект Казимира скалярного поля при наличии нетривиальных граничных условий. Предложен способ перенормировки, приводящий к конечному значению энергии. Получены выражения для энергии нулевых колебаний безмассового и массивных скалярных полей.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, доценту Наи-лю Рустамовичу Хуснутдинову за отличную научную школу, за неоценимую помощь в постановке задач, организацию теоретических исследований, действенную помощь при обсуждении результатов и ценные советы.

Особую благодарность автор выражает доктору физико-математических наук, доценту Сушкову Сергею Владимировичу за ценные советы и консультации по задачам в диссертационной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Артем Ришатович, 2009 год

1. Черепащук A.M. Поиски черных дыр: новейшие данные / A.M. Чере-пащук // УФН. 2001. - Т. 171. - С.864

2. Черепащук A.M. Поиски черных дыр / A.M. Черепащук // УФН. -2003. Т. 173. - С.345

3. Wheeler J. Geons / J. Wheeler // Phys. Rev. 1955. - Vol. 97, P. 511-536

4. Morris M. S., Thorne K. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition / M.S. Morris, K.S. Thorne U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 61, P. 1446-1449

5. Wright E. L. The WMAP data and results / E. L. Wright // New Astr. Rev. 2003. - Vol. 47, P. 887-881

6. Hochberg D. Self-Consistent wormhole solutions of semiclassical gravity / D. Hochberg, A. Popov, S.V. Sushkov // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78, P. 2050-2053

7. Khusnutdinov N.R. Ground state energy in a wormhole space-time / N.R. Khusnutdinov, Sushkov S.V. // Phys. Rev. D. 2002. - Vol. 65, P. 084028

8. Линде А. Физика элементарных частиц и инфляционная космология / А. Линде. М.: Наука, 1990. - 275с.

9. Kibble T.W.B Topology of cosmic domains and strings / T.W.B Kibble // J. Phys. A. 1976. - Vol. 9, 1387-1398

10. Bordag M. On the ground state energy for a penetrable sphere and for a dielectric ball / M. Bordag, K. Kirsten, and D. Vassilevich. // Phys. Phys. D. 1999. - Vol. 59, P. 085011

11. Barton G. Casimir energies of spherical plasma shells / G. Barton //J. Phys. A. 2004. - Vol. 37(3), P. 1011-1049

12. Milton K.A. Casimir energies and pressures for 6-potentials / K.A. Milton //J. Phys. A. 2004. - Vol. 37, P. 6391-6406

13. Bordag M. Spectral analysis of a flat plasma sheet model / M. Bordag, I. G. Pirozhenko, and V. V. Nesterenko. // J. Phys. A. 2005. - Vol. 38, P. 11027

14. Bordag M. The Casimir effect for thin plasma sheets and the role of the surface plasmons / M. Bordag // J. Phys. A: Math.Gen. 2005. - Vol. 39, P. 6173-6185

15. Khusnutdinov N.R. Zeta-functions approach to Casimir energy with singular potentials / N.R. Khusnutdinov // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73, P. 025003

16. Jaffe R.L. The Casimir Effect and the Quantum Vacuum / R. L. Jaffe // Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 72, P. 021301

17. Dowker J.S. Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space / J.S. Dowker and R. Critchley // Phys. Rev. D. 1976. - Vol. 13, P. 3224-3232

18. Hawking S. Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime / S. Hawking // Commun. Math. Phys. 1977. - Vol. 55, P. 133-148

19. Blau S.K. Zeta-functions and the Casimir energy / S.K. Blau, M. Visser, A.Wipf // Nucl. Phys. B. 1988. - Vol. 310, 163-168

20. Bordag M. Vacuum energy in a spherically symmetric background field. / M. Bordag M., K. Kirsten // Phys. Rev. D. 1996. - Vol. 53, P.5753-5760

21. Bordag M. Casimir energies for massive scalar fields in a spherical geometry. / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten, S. Leseduarte S. // Phys. Phys. D. -1997. Vol. 56, P. 4896-4904

22. Bordag M. Ground state energy for penetrable shpere and dielectric ball / M. Bordag, R. Kirsten, D. Vassilevich // Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59, 085011

23. Boyer Т.Н. Quantum electromagnetic zero-point energy of a conducting spherical shell and the Casimir Model for a Charged Particle / Т.Н. Boyer // Phys. Rev. 1968. - Vol. 184, P.1764

24. Casimir H.B.G Proc. Kon. Nederl. Akad. Wet. / H.B.G Casimir // Phys. Rev. 1948. - Vol. 51, P. 793-796

25. Casimir H.B.G The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces. / H.B.G Casimir, D. Polder // Phys. Rev. 1948. - Vol. 73, P. 360

26. Bueren van H.G. Imperfections in Crystals / Bueren van H.G. // Phys. Rev. 1952. - Vol. 55, P. 493-499

27. Лифшиц E.M. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами / Е.М. Лифшиц // ЖЭТФ. 1954. - Т. 2. - С.73-78

28. Kitchener J.A. Direct measurement of long-range van der Waals forces / J.A.Kitchener, A.P.Prosser // Nature. 1956. - Vol. 178, P. 1339-1340

29. Sparnaay M.Y. Detecting Casimir forces using a tunneling electromechanical transducer / M.Y. Sparnaay // Physica. 1958. -Vol. 24, P.751

30. Мостепаненко B.M. Эффект Казимира и его приложения / В.М. Мо-степаненко Н.Н. Трунов. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 214с.

31. Bordag М. Fourth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions / M. Bordag. World Scientific, 1999. - 397p.

32. Bordag M. New developments in the Casismir Effect / M.Bordag, U.Mohedeen, V.Mostepanenko. Elsiver, 2000. - 206p.

33. Bordag M. Eighth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions / M. Bordag. IOP Publishing, 2008. - 600p.

34. Гриб А.А. Поляризация вакуума в сильных гравитационных полях / А.А. Гриб, С.Г. Мамаев // ЯФ. 1969. - Т. 10. - С.С. 1276

35. Hawking S.W. Particle creation by black holes. / S.W. Hawking // Comm. Math. Phys. 1975. - Vol. 43, P. 199-220

36. Гриб А.А. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях / Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. М.: Энергоатомиздат, 1988. -288с.

37. Биррелл Н. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени / Н. Биррелл, П. Дэвис. М.: Мир, 1984. - 356с.

38. Fulling S. Aspects of quantum field theory in curved space-time / S. Fulling. Cambridge University Press, 1989. - 315p.

39. Milton K.A. Zero-point energy in bag models / K.A. Milton // Phys. Rev. D. 1980. - Vol. 22, P. 1441-1444

40. Арефьева И.Я. Суперсимметрия: теория Колуцы-Клейна, аномалии, суперструны / И.Я. Арефьева, И.В. Волович // УФН. 1985. - Т. 146. -С.655

41. Боголюбов Н.Н. Квантованные поля / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. М.: Наука, 1993. - 336с.

42. Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. М.: Наука, 1951. - 498с.

43. Dewitt B.S. Quantum field theory in curved space-time / B.S. Dewitt // Phys.Rep. 1975. - T. 19. - C.295-357

44. Christensen S.M. Vacuum expectation value of the stress tensor in an arbitrary curved background: The covariand point-separation method. / S.M. Christensen // Phys. Rev. D. 1976. - Vol. 14, P. 2490-2501

45. Christensen S.M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation. / S.M. Christensen // Phys. Rev. D. 1978. - Vol. 17, P. 946-963

46. Minakshisundaram S. Some properties of the eigenfunctions of the Laplaceoperator on Riemannian manifolds / S. Minakshisundaram S., A. Pleijel // Can. J. Phys. 1948. - Vol. 1, P. 242-256

47. Minakshisundaram S. Some properties of the eigenfunctions of the Laplaceoperator on Riemannian manifolds / S. Minakshisundaram //J. Indian Math. Soc. 1953. - Vol. 17, P. 158-165

48. Синг Дж. Общая теория относительности / Дж. Синг. Москва, Наука, 1963. - 357с.

49. Bordag М. Ground State Energy for Massive Fields and Renormalisation / M. Bordag // Harvard-Smithsonian Center for Astrophys. 1998. - Vol. 11,

50. Vassilevich D.V. Heat kernel expansion: user's manual / D.V. Vassilevich // Phys. Rep. 2003. - Vol. 388, P. 279-360

51. Elizalde E. Applications of the zeta function regularization in QFT, Proceedings: Quantum field theory under the influence of external conditions: Edition by M. Bordag / E. Elizalde. St-d: Teubner, 1996. -122-130p.

52. Elizalde E. Sum rules for zeros of Bessel functions and an application to spherical Aharonov-Bohm quantum bags / E. Elizalde, S. Leseduarte, A. Romeo // J. Phys. A. 1993. - Vol. 26, P. 2409-2420

53. Elizalde E. Analysis of an inhomogeneous generalized Epstein-Hurwitz Zeta-function with physical applications / E. Elizalde //J. Math. Phys.- 1994. Vol. 35, P. 6100-6122

54. Elizalde E. Ten physical applications of spectral zeta-functions / E. Elizalde.- Berlin, Springer-Verlag, 1995. 210p.

55. Bordag M. Heat-kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten //J. Math. Phys.- 1996. Vol. 37, P. 895-916

56. Schwinger J. Casimir effect in Dielectrics / J. Schwinger, L.L. De Raad., K. Milton // Ann. Phys. 1978. - Vol. 115, P. 1-23

57. Лаврентьев M.A. Методы теории функций комплексного переменного / M.A. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М: НАУКА, 1973. - 736с.

58. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ньютон. М: Наука, 1969. - 600с.

59. Bordag M. Heat-kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball. / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten //J. Math. Phys. -1996. Vol. 37, P. 895-916

60. Flamm L. Ве^^ё zur Einsteinschen Gravitationstheorie / L. Flamm // Phys. Z. 1916. - Vol. 17, P. 448-454

61. Einstein A., Rosen N. The partical problem in the general theory of gravity / A. Einstein, N. Rosen // Phys. Rev. 1953. - Vol. 48, P. 73-77

62. Misner C. W., Wheeler J. A. Classical physics as geometry: gravitation, electromagnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space / C.W. Misner, J.A. Wheeler // An. Phys. 1957. - Vol. 2, P. 526-603

63. Hochberg D. Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat / D. Hochberg, M. Visser // Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 56, P.4745-4755

64. Visser M. Lorentzian wormholes from Einstein to Hawking. / M. Visser. -AIP, 1995. 486p.

65. Visser M. Traversable wormholes: the Roman ring / M. Visser // Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55, P.5212-5214

66. Morris M. S., Thorne K. S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris, K.S. Thorne // Am. J. Phys. 1988. - Vol. 56, P. 395-412

67. Hawking S. The Large Scale Structure of Spacetime / S. Hawking, G. Ellis. Cambridge Univ. Pr., 1973. - 342p.

68. Roman T. Quantum stress-energy tensors and the weak energy condition / T. Roman // Phys. Rev. D. 1986. - Vol 33, P. 3526

69. Tipler F. Energy conditions and spacetime singularities / F. Tipler // Phys. Rev. D. 1978. - Vol. 17, P. 2521

70. Barcelo C. Scalar fields, energy conditions, and traversable wormholesf / C. Barcelo, M. Visser // Claas. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17, P. 3843

71. Riess A. Type la supernova discoveries at z > 1 from the hubble space telescope: Evidence for past deceleration and constraints on dark energy evolution / A. Riess et al. // Astrophys. J. 2004. - Vol. 607, P. 665-687

72. Ellis H. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / H. Ellis // J. Math. Phys. 1973. - Vol. 14, P. 104

73. Popov A.A. A selfconsistent semiclassical solution with a wormhole in the theory of gravity / A.A. Popov, S.V. Sushkov. In: Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions, Edited by M. Bordag, Teubner-Texte, 1996. - P. 206c.

74. Sushkov S.V. A selfconsistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity / S.V. Sushkov // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 164, P. 33-37

75. Kibble T.W.B. Topology of cosmic domains and strings / T.W.B. Kibble // J. Phys. A. 1976. - Vol. 9, P.1387-1398

76. Раджараман P. Солитоны и иистантоны в квантовой теории поля / Р. Раджараман. М. Мир, 1985. - 416с.

77. Абрикосов А.А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы / А.А. Абрикосов // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32. - С.1442

78. Weinberg S. Gouge and Global Symmetries at High Temperature / S. Weinberg // Phys. Rev. D. 1974. - Vol. 9, P.3357

79. Соколов А.А. О структуре тензора кривизны на конических особенностях. / А.А. Соколов, А.А. Старобинский // ДАН СССР. 1977. - Т. 234. - С.1043-1046

80. Зельдович Я.Б. Частицы, ядра, Вселенная / Я.Б. Зельдович. М.: Наука, 1985. - 463с.

81. Vilenkin A. Gravitational field of vacuum domain walls and strings / A. Vilenkin // Phys. Rev. D. 1981. - Vol. 23, P.852-857

82. Hindmarsh M.B. Cosmic strings / M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble // Rep. Prog. Phys. 1995. - Vol. 58, P.477-562

83. Achucarro A. Cosmic strings / A. Achucarro, C.J.A.P. Martins. Draft version of the contribution to Enc. of Complex and Systems Science, Springer, R. Myers, 2009. - P. 15p.

84. Гинзбург B.JI. К теории сверхпроводимости / В.Jl. Гинзбург, Л.Д. Ландау // ЖЭТФ. 1950. - Т. 20. - С.1064

85. Nielsen Н.В. Vortex line models for dual strings / H.B. Nielsen, P. Olesen // Nucl. Phys. B. 1973. - Vol. 61, P. 45-61

86. Harari D. Gravitational field of a global string / D. Harari, P. Sikivie // Phys. Rev. D. 1988. - Vol. 37, P. 3438

87. Gibbons G. Existence of global strings coupled to gravity / G. Gibbons, M. Ortiz, F. Ruiz // Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 39, P. 1546

88. Gregory R. Nonsingular global strings / R. Gregory // Phys. Rev. D. -1996. Vol. 54, P. 4955

89. Gott J.R. Gravitational lensing effects of vacuum strings: exact solutions / J.R. Gott // Astrophys. J. 1985. - Vol. 288, P.422-427

90. Hiscock W.A. Exact gravitational field of a string / W.A. Hiscock // Phys. Rev. D. 1985. - Vol. 31, P. 3288-3290

91. Garfinkle D. General relativistic strings / D. Garfinkle // Phys. Rev. D. -1985. Vol. 32, P.1323-1329

92. Vilenkin A. Cosmic strings and other topological defects / A. Vilenkin, E.P.S. Shelard. Cambridge University Press, 1994. - 517p.

93. Khusnutdinov N.R. Ground state energy of massive scalar field in the background of a cosmic string of finite thickness / N.R. Khusnutdinov, M.Bordag // Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59, 064017

94. Linet B. The static metrics with cylindrical symmetry describing a model of cosmic string / Linet B. // Gen. Rel. Grav. 1985. - Vol. 17, P.1109-1115

95. Israel W. Singular hypersurfaces and thin shaells in general relativity / W. Israel // Nuovo Cim. B. 1966. - Vol. XLIV, P.l-14

96. Абрамовиц M. Справочник по специальным функциям. / M. Абрамович, И. Стиган. М.: НАУКА, 1979. - 832с.

97. Khusnutdinov N.R. Ground state energy of massive scalar field in the background of a cosmic string of finite thickness / N.R. Khusnutdinov //J. Math. Phys. 2003. - Vol. 44, P. 2320-2330

98. Lambiase G. Casimir Energy of a Ball and Cylinder in the Zeta Function Technique / G. Lambiase, V.V. Nesterenko, M. Bordag //J. Math. Phys. -1999. Vol. 40, P. 6254-6265

99. Nesterenko V.V. Casimir energy of a compact cylinder under the condition e/ji = c~2 / V.V. Nesterenko, I.G. Pirozhenko // Phys.Rev. D. 1999. - Vol. 60,125007

100. Khusnutdinov N. Zero Point Energy of a Massless Scalar Field in the Cosmic String Space-Time. / N.R. Khusnutdinov, A.R. Khabibullin // Gen. Rel. Grav. 2004. - Vol. 36, P.1613-1618

101. Nesterenko V.V. Casimir energy of a dilute dielectric ball at zero and finite temperature / V.V.Nesterenko, G.Lambiase, G.Scarpetta //J. Mod. Phys. A. 2002. - Vol. 17, 790

102. Scandurra M. The ground state energy of a massive scalar field in the background of a semi-transparent spherical shell / M. Scandurra //J. Phys. A. 1999. - Vol. 32, 5679

103. Scandurra M. Vacuum energy of a massive scalar field in the presence of a semi-transparent cylinder / M. Scandurra //J. Phys. A. 2000. - Vol. 33, 5707

104. Khabibullin A.R. Casimir effect in a wormhole spacetime / A.R. Khabibullin, N.R. Khusnutdinov, S.V.Sushkov // Clas. Quan. Grav. 2006. - Vol. 24, P. 1134-1140

105. Sushkov S.V. Casimir effect for two spheres in a wormhole space-time / S.V. Sushkov, A.R. Khabibullin, N.R. Khusnutdinov // Grav.and Cos. 2008. -Vol. 54, P.147-153

106. Березин Ф.А. Замечание об уравнение Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф.А. Березин, Л.Д. Фаддеев // Докл. Ак. наук СССР. -1961. Т. 131 (5). - С.1011-1014

107. Albeverio S. Solvable Models in Quantum Mechanics / S. Albeverio S, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn and M. Holden. New York: Springer, 1988. -245p.

108. Рид M. Методы современной математической физики. Т2. Гармонический анализ, самосопряженность / М. Рид. М. Мир, 1978. - 393с.f)

109. Bordag M. Vacuum energy in quantum field theory with external potentials concentrated on planes / M. Bordag, D. Henning, and D. Robaschik //J. Phys. A. 1992. - Vol. 25, 4483

110. Bordag M. On the interaction of a charge with a thin plasma sheet / M. Bordag // Phys. Rev. D. 2007. - Vol. 76, P. 065011

111. Jaffe R.L. The Casimir Energy in a Separable Potential / R.L.Jaffe, L.R.Williamson // Ann. Phys. 2000. - Vol. 282, 432-448

112. Jaffe R.L. Casimir Forces in a Piston Geometry at Zero and Finite Temperatures / M. P. Hertzberg, R. L., M. Kardar, A. Scardicchio // Phys. Rev. D. 2007. - Vol. 76, P. 045016

113. Jaffe R.L. Casimir Forces between Compact Objects: I. The Scalar Case / T. Emig, N. Graham, R. L. Jaffe, M. Kardar // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, P. 025005

114. Bordag M. On the vacuum energy of a spherical plasma shell. / M. Bordag, N.R. Khusnutdinov // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, P. 085026

115. Bordag M. Spectral analysis of a flat plasma sheet model / M.Bordag, I.G.Pirozhenko, V.V.Nesterenko // J. Phys. A. 2005. - Vol. 38, 11027