Спектральные методы и задачи рассеяния в теории эффекта Казимира тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Марачевский, Валерий Николаевич

• Марачевский, Валерий Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Марачевский, Валерий Николаевич

Введение

1 Эффект Казимира: теория и эксперимент

1.1 Теория эффекта Казимира: начало.

1.2 Дальнейшее развитие теории.

1.3 Эксперименты по эффекту Казимира.

1.4 Проблема конечных температур.

2 Киральная аномалия с локальным граничным условием

2.1 Введение

2.2 Метод ядра теплопроводности.

2.3 Метод дзета функции.

2.4 Киральная аномалия

2.5 Асимптотическое разложение ядра теплопроводности

2.5.1 Общая стратегия.

2.5.2 Вычисления в частных случаях.

2.6 Вычисление аномалии.

2.6.1 Размерность два.

2.6.2 Размерность четыре.

2.7 Выводы.

2.8 Разложение ядра теплопроводности со смешанными граничными условиями

2.9 Вычисления в частном случае.

3 Решения с идеально проводящими граничными условиями

3.1 Классические примеры.

3.1.1 Энергия Казимира двух идеально проводящих параллельных пластин.

3.1.2 Регуляризация дзета функцией для полости.

3.2 Поршень

3.2.1 Поршень при нулевой температуре.

3.2.2 Результат для конечной температуры.

3.2.3 Свободная энергия: асимптотическое поведение на малых расстояниях

3.3 Поршни и полость.

4 Идеальные параллельные проводники в модели Калуцы — Клейна

4.1 Введение

4.2 Разложение Калуцы - Клейна ЪБ Максвелловского действия.

4.3 Безмассовый сектор.

4.4 Сектор Прока: две дискретные моды и одна непрерывная мода.

4.4.1 Дискретные моды.

4.4.2 Непрерывная мода и эквивалентность с ТЕ модой в диэлектрике

4.5 Поправки к силе Казимира.

4.5.1 Дискретные моды Прока.

4.5.2 Непрерывная мода Прока.

4.6 Формула для поршня с условиями Дирихле в с? + 1-мерии.

5 Трехмерные системы, периодические в одном пространственном направлении: теория и эксперимент

5.1 Введение

5.2 Теория трехмерных систем, периодических в одном пространственном направлении.

5.3 Методика вычисления коэффициентов Рэлея

5.4 Сравнение теории и экспериментов.

5.4.1 Эксперимент по измерению нормальной силы Казимира между дифракционной решеткой прямоугольного профиля и сферой большого радиуса.

5.4.2 Эксперимент по измерению боковой силы Казимира.

6 Потенциал Казимира-Полдера

6.1 Введение

6.2 Поляризуемая частица над плоскостью с членом Черна - Саймонса

6.2.1 Модель и общая теория потенциала Казимира - Полдера в произвольной калибровке вектор - потенциалов.

6.2.2 Пропагатор электромагнитного поля.

6.2.3 Потенциал взаимодействия.

6.2.4 Выводы.

6.3 Поляризуемая частица внутри идеально проводящего клина

7 Эффект Казимира для графена при конечной температуре

7.1 Введение

7.2 Модель Дирака.

7.3 Коэффициенты отражения.

7.4 Свободная энергия.

7.4.1 Предел высоких температур.

7.4.2 Дальнейший анализ и численные результаты.

7.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные методы и задачи рассеяния в теории эффекта Казимира»

Эффект Казимира является релятивистским квантовым явлением, вызванным колебаниями нормальных мод квантованного поля. При нулевой температуре энергия основного состояния поля равна сумме энергий основных состояний всех осцилляторов нормальных мод квантованного поля. При наличии в системе границ или неод-нородностей, разделенных щелью, энергию основного состояния системы называют энергией Казимира.

В это определение необходимо внести некоторые уточнения, связанные с тем, что сумма энергий основных состояний всех осцилляторов квантованного поля является расходящейся величиной, и необходимо проводить процедуру вычитания расходимо-стей. В теории эффекта Казимира процедура вычитания расходимостей определена однозначным образом. Однозначность процедуры вычитания расходимостей связана с наличием в эффекте Казимира вакуумной щели между неоднородностями. При наличии вакуумной щели между неоднородностями можно менять расстояние между ними без изменения их формы и структуры и выделять таким образом часть энергии, зависящую от взаимного расположения неоднородностей. Именно эту часть энергии и принято называть энергией Казимира для тел, разделенных вакуумной щелью. Часть энергии, не зависящую от расстояния между телами, можно выразить через коэффициенты разложения локального ядра теплопроводности, этот вклад в энергию вычитается в любой схеме регуляризации.

Замечательно, что энергия Казимира может быть изначально записана в конечной форме, без расходимостей. С физической точки зрения это связано с наличием вакуумной щели между неоднородностями и возможностью явным образом выделить вклад от взаимодействия разделенных вакуумной щелью частей в энергию системы.

При этом наиболее эффективным методом, позволяющим вычислять силу Казимира между объектами произвольной формы в общем случае, является теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Теория рассеяния позволяет удобным образом записать энергию Казимира в конечной форме с помощью коэффициентов отражения или матриц отражения электромагнитных волн.

Методы, используемые при вычислении энергии Казимира и свободной энергии, будут проиллюстрированы в диссертации на различных примерах.

Результаты работы докладывались на международном семинаре "QUARKS -2006" (Санкт-Петербург, 2006) и международном семинаре "Фоковские чтения: современные проблемы физики" (Санкт-Петербург, 2008), были представлены на международных конференциях : "Quantum Field Theory under the influence of external conditions - 2007" (Leipzig, Germany, 2007), "60 years of the Casimir effect" (Brasilia, Brasil, 2008), "7th International Fricdmann seminar on gravitation and cosmology" (Joao Pessoa, Brasil, 2008), "Quantum Field Theory under the influence of external conditions - 2009" (Norman, USA, 2009), "Quantum Field Theory under the influence of external conditions - 2011" (Benasque, Spain, 2011).

Докторская диссертация Марачевского B.H. основана на материалах работ [1]-[21] (кандидатская диссертация Марачевского В.Н. "Энергия Казимира диэлектриков" основана на материалах работ [22] - [26]). Таким образом, основные результаты докторской диссертации опубликованы в 21 работе общим объемом 189 страниц, 11 работ написаны совместно с другими авторами.

Актуальность темы исследования

В настоящее время эффект Казимира является активно развивающейся областью теоретической и экспериментальной физики. Изучение эффекта Казимира важно с точки зрения фундаментальной физики. Особый интерес к этой области связан с тем, что эффект Казимира является макроскопическим эффектом квантовой электродинамики. Теоретическое и экспериментальное изучение эффекта Казимира позволяет лучше понять физику систем большого числа частиц.

Другим важным аспектом эффекта является то обстоятельство, что при любом расчете наио и микроэлектромеханических устройств, в котором существенны расстояния порядка сотен нанометров, необходимо учитывать силы Казимира.

Последние несколько лет в теории эффекта Казимира активно развиваются новые математические методы для вычисления эффектов взаимодействия в сложных геометриях и с использованием различных материалов. Развитие данных методов сделало возможным детальное сравнение теории и эксперимента в данной области.

По теории эффекта Казимира изданы монографии [27] - [38] и написаны обзорные статьи [39] - [48]. Эффективными методами работы со спектральными функциями являются метод ядра теплопроводности [49] - [56], метод дзета функции [36-38,57-59].

Задачи работы и используемые методы

Основной целью данной работы является развитие новых эффективных методов для вычисления сил Казимира в геометриях различной формы. Часть задач в диссертации решены методами спектральных функций - с помощью методов ядра теплопроводности и дзета функции, другие задачи решены с помощью методов комплексного анализа в сочетании с теорией рассеяния. Особое внимание уделено рассмотрению периодических геометрий с использованием реалистичных моделей для диэлектрических проницаемостей материалов и сравнению теории с экспериментом. В работе также детально исследован конечно-температурный эффект Казимира в системе графен - параллельный металл. Теория потенциала Казимира-Полдера исследуется методом функций Грина, киральная аномалия с граничными условиями MIT типа вычислена с использованием метода ядра теплопроводности.

Структура диссертации

В главе 1 дано историческое введение, представлен краткий обзор современных теоретических и экспериментальных исследований по эффекту Казимира. Заключительная часть главы посвящена проблеме высокотемпературной асимптотики результатов в эффекте Казимира. В процессе изложения определенное внимание уделено и результатам автора, вошедшим в диссертацию. Чтение данной главы может быть существенно для понимания основных понятий, используемых в последующих главах. За исключением первой главы, в работе использованы единицы h = с = kg = 1.

В главе 2 дается краткое введение в математический формализм методов ядра теплопроводности и дзета функции. Киральная аномалия с локальными граничными условиями MIT типа вычисляется с использованием данных методов.

В главе 3 рассматривается эффект Казимира с идеально проводящими граничными условиями на взаимодействующих поверхностях. Вначале рассмотрены два классических примера: две параллельные плоскости и полость в форме прямоугольного параллелепипеда. Результаты для данных геометрий получены спектральными методами. Далее методом дзета функции получены результаты для геометрии поршня с произвольным поперечным сечением. На малых расстояниях между взаимодействующими поршнями используется метод ядра теплопроводности и коэффициентов Сили для вывода асимптотики свободной энергии. В конце главы мы строим идеально проводящую полость в форме прямоугольного параллелепипеда и вычисляем изменение энергии в этом процессе.

В главе 4 исследуется электромагнитное поле в пятимерной геометрии Калуцы-Клейна. Рассматривается взаимодействие двух идеально проводящих параллельных пластин в трехмерном пространстве, получено выражение для силы Казимира между пластинами, исследована его зависимость от радиуса дополнительного измерения.

В главе 5 получена свободная энергия для геометрий, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в другом пространственном направлении и разделенных вакуумной щелью. Свободная энергия выражена через коэффициенты отражения Рэлея электромагнитной волны от каждой из периодических поверхностей. Математический аппарат теории рассеяния, необходимой для вычисления коэффициентов Рэлея, приводится в деталях, необходимых для проведения расчетов. Заключительная часть главы посвящена сравнению теории с проведенными экспериментами.

В главе 6 построена теория для вычисления потенциала Казимира-Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. С использованием данной теории получено выражение для потенциала Казимира-Полдера нейтрального атома над поверхностью с членом Черна-Саймонса. Также рассмотрено решение для потенциала Казимира-Полдера нейтрального атома внутри идеально проводящего клина.

В главе 7 вычислены компоненты однопетлевого поляризационного оператора для квазичастиц дираковского типа в графене. Вычислена свободная энергия взаимодействия плоского листа графена с параллельным металлом. Детально рассмотрены исключительные свойства данной системы при конечных температурах.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана теория эффекта Казимира для двух однородных параллельных дифракционных решеток произвольной формы с совпадающими периодами, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении и разделенных вакуумной щелью. Энергия взаимодействия выражена через коэффициенты Рэлея. Свойства материалов характеризуются заданием частотной дисперсии диэлектрических про-ницаемостей.

2. Объяснены результаты экспериментов по измерению нормальной силы Казимира между прямоугольными дифракционными решетками из силикона и сферой из золота, впервые измеривших отклонения от приближения близкой силы (РРА), основанного на теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий.

3. Теория с исключительной точностью предсказала и объяснила результаты экспериментов по измерению боковой силы Казимира для дифракционных решеток синусоидальной формы с совпадающими периодами и различными амплитудами, при этом отличие результатов точной теории и теории РРА достигало 66%. Тем самым было впервые проведено сравнение точной теории, отличной от теории Лифшица, и экспериментов.

4. Аналитически вычислен однопетлевой поляризационный оператор двумерных

Дираковских фермионов, распространяющихся со скоростью Ферми vp ~ с/300 при конечной температуре. Для системы плоский лист графена - параллельный металл с плоской поверхностью исследована свободная энергия системы, получены аналитические формулы на больших и промежуточных расстояниях. Высокотемпературная асимптотика системы графен-металл совпадает с высокотемпературной асимптотикой системы металл-металл для Друде модели диэлектрической проницаемости металлов. В системе графен-металл режим высоких температур начинается на расстояниях а > 0.1 мкм при Т = 300К, что на порядок меньше расстояний, на которых начинается высокотемпературный режим в системе металл-металл.

Тем самым впервые в теории эффекта Казимира высокотемпературная асимптотика системы получена исходя из первых принципов, из прямого вычисления компонент поляризационного оператора и квантовой электродинамики.

5. Найдено точное аналитическое решение для энергии Казимира поршней произвольного сечения внутри бесконечного цилиндра с идеально проводящими граничными условиями.

6. Вычислена киральная аномалия с граничными условиями MIT типа. Впервые получен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию.

7. Разработана общая теория эффекта Казимира - Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казимира - Полдера для взаимодействия нейтрального атома и плоскости с членом Черна - Саймонса.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Марачевский, Валерий Николаевич

7.5 Выводы

В рамках модели Дирака для квазичастиц в графене вычислено взаимодействие Казимира при конечных температурах между графеном и параллельным металлом. С теоретической точки зрения интересно отметить, что вычисления выполнены в полностью самосогласованной квантовой теории поля при конечной температуре, и поляризационный оператор (проводимость на поверхности графена), таким образом, зависит от температуры.

При-высоких.температурах (больших-расстояниях)-свободная-энергия-взаимодействия плоского листа графена с параллельным металлом асимптотически ведет себя точно так же, как взаимодействие двух металлов, описываемых моделью Друде, что дает очень сильное взаимодействие Казимира для системы одноатомной толщины. Эта особенность дает великолепную возможность для экспериментального изучения температурного эффекта Казимира в этой системе при комнатных температурах на больших и средних расстояниях. Энергия на больших расстояниях практически не зависит от модели, которая используется для описания проводимости металла. Более того, взаимодействие между двумя листами графена имеет точно такую же высокотемпературную асимптотику. Такое поведение является следствием особого статического предела (ш = 0) коэффициентов отражения графена, гтм — 1; — 0, при условии малости скорости Ферми в графене, vp -С 1. В пределе vp —> 0 коэффициенты отражения листа графена формально совпадают с коэффициентами отражения для Друде модели металлов.

Мы детально изучили свободную энергию Лифшица и получили результаты, которые могут быть использованы для сравнения теории и эксперимента при комнатной температуре и различных расстояниях. Для расстояний, удовлетворяющих условию Н = 4тга,Т > vp, мы использовали предел vF = 0 в формуле Лифшица для вычисления суммы ненулевых Мацубаровских членов. Скорость квазичастиц в графене много меньше скорости света, это является физической причиной замечательной точности приближения Vp = 0. В этом пределе результаты теории возмущений по константе связи а расходятся при Т = 0. Теория возмущений не дает надежных результатов для систем с графеном, где скорость Ферми Ур мала.

Были рассмотрены различные физические режимы свободной энергии. Оказалось, свободная энергия близка к режиму нулевых температур, а-3, при Та < 0.004, и приближается к высокотемпературной асимптотике а~2 при Та > 0.06. Кроссовер между различными режимами может быть выбран как Та « 0.015. Интересно отметить, что у системы металл - графен высокотемпературный режим начинается намного быстрее, чем у системы металл - металл, благодаря а подавлению ТЕ моды ивсех ненулевых Мацубаровских членов.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в настоящей работе:

1. В работах [1,2] была разработана точная теория эффекта Казимира для двух однородных параллельных дифракционных решеток произвольной формы с совпадающими периодами, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении и разделенных вакуумной щелью. Энергия взаимодействия выражена через коэффициенты Рэлея. Свойства материалов характеризуются заданием частотной дисперсии диэлектрических проницаемостей.

Тем самым разработан математический формализм для вычисления сил Казимира между двумя телами произвольной формы, имеющих трансляционную инвариантность в одном пространственном направлении и разделенных вакуумной щелью.

2. Теория [1] объяснила результаты экспериментов [155] группы Чана по измерению нормальной силы Казимира между прямоугольными дифракционными решетками из силикона и плоскостью из золота, впервые измеривших отклонения от приближения PFA.

3. Теория [2] с исключительной точностью предсказала и объяснила результаты экспериментов группы Мохидина по измерению боковой силы Казимира для дифракционных решеток синусоидальной формы с совпадающими периодами и различными амплитудами, при этом отличие результатов точной теории и теории PFA достигало 66%. Результаты исследований по измерению боковой силы Казимира и сравнению теории с экспериментом изложены в работах [6,7].

Тем самым впервые было проведено сравнение точной теории, отличной от теории Лифшица, и экспериментов.

4. В работе [18] аналитически вычислен однопетлевой поляризационный оператор двумерных Дираковских фермионов, распространяющихся со скоростью Ферми vp ~ 1/300 с при конечной температуре. Для системы плоский лист графена - параллельный металл с плоской поверхностью исследована свободная энергия системы, получены аналитические формулы на больших и промежуточных расстояниях? Высокотемпературная-асимптотикасистемыгрАф|П1-металл совпадает с высокотемпературной асимптотикой системы металл-металл для Друде модели диэлектрической проницаемости металлов. В системе графен-металл режим высоких температур начинается на расстояниях а > 0.1 мкм при Т = 300К, что на порядок меньше расстояний, на которых начинается высокотемпературный режим в системе металл-металл.

Тем самым впервые в теории эффекта Казимира высокотемпературная асимптотика системы получена исходя из первых принципов, из прямого вычисления компонент поляризационного оператора и квантовой электродинамики.

5. Найдено точное аналитическое решение для энергии Казимира поршней произвольного сечения внутри бесконечного цилиндра с идеально проводящими граничными условиями [12]. На основе данного решения исследовано изменение энергии при конструировании идеально проводящей полости в форме прямоугольного параллелепипеда, проведено сравнение с ранее известным результатом для энергии идеально проводящей полости [13].

6. Вычислена киральная аномалия с граничными условиями MIT типа. Впервые получен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию [8].

7. Разработана общая теория эффекта Казимира - Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казимира - Полдера для взаимодействия нейтрального атома и плоскости с членом Черна - Саймон-са [16,17].

С нашей точки зрения дальнейшие исследования эффекта Казимира будут определяться следующими приоритетными направлениями:

• Исследование условий для возникновения сил отталкивания в эффекте Казимира и экспериментальная реализация эффекта.

• Теоретические и экспериментальные исследования конечно-температурного эффекта Казимира для металлов, графена и других материалов, экспериментальная проверка высокотемпературной асимптотики свободной энергии.

• Исследования динамического эффекта Казимира, рождение частиц под влиянием внешних условий.

Мы надеемся, что методы, развитые в данной работе, окажутся полезными в различных задачах теоретической физики.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям Дмитрию Владиславовичу Василевичу и Юрию Викторовичу Новожилову за многочисленные обсуждения, советы и поддержку.

Также хочется выразить глубокую благодарность всем коллегам по кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета.