Регуляризация и перенормировка давления Казимира тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Воронина, Юлия Сергеевна

• Воронина, Юлия Сергеевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Воронина, Юлия Сергеевна

Оглавление

Введение

Основные схемы регуляризации энергии Казимира

1 Cutoff-регуляризация и перенормировка с помощью вычитания вакуумной энергии пространства Минковского

2 Размерная регуляризация и регуляризация с помощью дзета-функции

3 Принцип аргумента и интегральное представление для энергии Казимира

4 Регуляризация point-splitting

Основные схемы перенормировки энергии Казимира

Численные методы вычисления энергии Казимира

Структура работы

1 Эффект Казимира для скалярного поля в одномерном случае

1.1 Регуляризация и перенормировка давления Казимира в одномерном случае

1.2 Эффект Казимира для скалярного поля при наличии внешнего поля и произвольных граничных условий

1.3 Сингулярные потенциалы

1.4 Выводы

2 Давление Казимира для скалярного поля в двумерном слу-

чае. Метод перенормировки

2.1 Основная схема перенормировки давления в двумерном случае

2.2 Перенормировка давления на границе «овала» и построение

для него поверхностной функции Грина

2.3 Перенормировка давления на границе «квадрата»

2.4 Выводы

3 Построение борновского ряда и его проверка для регулярной части поверхностной функции Грина

3.1 Схема построения функции Грина и ее производных с помощью ряда борновского типа

3.2 Вычисление функции Грина для круга с помощью борновского ряда

3.3 Вычисление перенормированного давления на границе «овала»

и «квадрата»

3.4 Выводы

4 Функция Грина и эффективные поверхностные заряды

4.1 Описание метода эффективных поверхностных зарядов

4.2 Вычисление перенормированного давления на границе «овала»

и «квадрата»

4.3 Сила Казимира для двух изолированных тел

4.4 Зависимость тангенциальной силы Казимира от деталей формы взаимодействующих тел

4.5 Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регуляризация и перенормировка давления Казимира»

Введение

Эффект Казимира [1] объясняется с помощью концепции вакуума квантованного поля: определение квантовой системы в ограниченных областях или в топологически нетривиальных пространствах приводит к искажению спектра вакуумных колебаний.

Эффект Казимира играет значительную роль во многих областях физики от гравитации и космологии до физики элементарных частиц. В рамках квантовой теории в гравитационном поле при исследовании вакуумных эффектов в пространствах с нетривиальной топологией и геометрией было установлено, что в замкнутых космологических моделях тензор энергии-импульса содержит казимировские добавки, возникающие вследствие поляризации вакуума гравитационным полем [2, 3, 4, 5]. Следует заметить, что хотя в настоящее время законченная теория квантованного гравитационного поля отсутствует, при рассмотрении процессов, происходящих на расстояниях существенно больше планковских, по-видимому, можно использовать полуклассический подход. В этом случае квантованные материальные поля, а также гравитоны в однопетлевом приближении, рассматриваются на фоне заданной классической метрики. При этом в правой части уравнения Эйнштейна фигурирует не сам ТЭИ материальных полей, а его среднее по соответствующему квантовому состоянию материи, т. е. ТЭИ является источником гравитационного поля и оказывает обратное влияние на метрику пространства-времени. Таким

образом, в соответствии с принципом эквивалентности перенормированная плотность казимировской энергии гравитирует наряду с остальными видами материи и энергии [6, 7]. Как впервые было показано в [8, 9] возможны самосогласованные модели Вселенной, которые вообще не содержат фонового вещества и полностью определяются вакуумными эффектами. Также задача казимировского типа возникает при построении сценариев ранней стадии развития Вселенной [10, 11, 12].

Еще одно приложение эффекта Казимира в квантовой теории поля относится к моделям Калуцы-Клейна [13], возникших при попытках объединения гравитации с остальными типами фундаментальных взаимодействий. В таких моделях размерность пространства-времени больше четырех, однако дополнительные измерения компактифицируются на очень малых расстояниях порядка Ю-33 см [14]. При этом спонтанную компактификацию может обеспечить учет поляризации вакуума топологического происхождения. Простейшие модели пространства с компактифицированными размерностями с топологией М4 х были изучены в [15, 16]. Впоследствии влияние эффекта Казимира рассматривалось для многих моделей с различной топологической структурой [17, 18, 19]. В настоящее время наиболее перспективной теорией, объединяющей все фундаментальные взаимодействия, является теория суперструн [20, 21], включающая в себя идею Калуцы-Клейна о многомерности пространства. Она обычно формулируется в 10-мерном пространстве М4 х К6, где К6 - шестимерное компактное многообразие. В теории струн эффект Казимира также исследуется в связи с редукцией дополнительных размерностей [22, 23].

Кроме того необходимо учитывать казимировский вклад в эффективную космологическую константу. Однако в общем случае этот вклад оказывает-

ся слишком большим, приблизительно на 120 порядков превышающим соответствующую наблюдаемую величину. Предпринималось достаточно много попыток решить эту проблему с помощью различных подходов. В некоторых моделях оказывается возможным получить казимировский вклад в эффективную константу, совпадающий по порядку величины с наблюдениями [24, 25, 26, 27]. В частности в [27] рассмотрена модель, в которой казимировский вклад имеет «правильный» порядок, но при этом радиус компактифи-кации должен быть порядка нескольких микрометров. Интересно заметить, что в [28, 29] предложены схемы низкоэнергетической компактификации с радиусом размерной редукции в диапазоне нескольких нанометров или даже микрометров.

Помимо решения задач, связанных с проявлением эффекта Казимира в космологии, множество работ было посвящено исследованию сил Казимира между макротелами. Выяснилось, что при увеличении расстояния между взаимодействующими объектами сила Казимира монотонно убывает. Поэтому на больших расстояниях (сотни нанометров) наблюдать ее затруднительно. Однако и на совсем малых расстояниях (не более нескольких нанометров), где сила Казимира сравнительно велика, она маскируется силами межмолекулярного взаимодействия, которые на этих масштабах по абсолютной величине значительно превышают казимировский вклад. Главным образом силы Казимира проявляются в промежуточной области расстояний (порядка нескольких десятков нанометров) [30, 31] и, следовательно, играет очень важную роль при изготовлении и эксплуатации различных микро- и наносистем. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования сил Казимира, действующих между телами с различной геометрией и структурой, показали, что в основном они носят характер притяжения. В результате возможны

различные нарушения в функционировании наносистем, вызванные «слипанием» подвижных компонентов или затруднением их движения вследствие статического трения. Однако, как оказалось, силы Казимира существенно зависят от геометрической формы взаимодействующих тел, а также структуры материала, из которого они изготовлены. Например, сила, действующая между двумя полупространствами с диэлектрическими проницаемостями 61 и 62, разделенными диэлекрической пластиной конечной ширины с проницаемостью бо, оказывается силой отталкивания, при условии е\ < бо < 62 или 62 < бо < 61 [32, 33]. Подобрать на практике материалы систем с такими характеристиками оказывается непросто, но возможно. В [34] экспериментально наблюдалась отталкивающая сила Казимира между золотой сферой и кварцевой пластиной, помещенными в жидкий бромбензол. При этом, если заменить кварцевую пластину на золотую [34, 35, 36], сила Казимира вновь становится притягивающей, однако по абсолютному значению много меньше силы для этих же взаимодействующих элементов в вакууме. Полученные в экспериментах результаты находятся в хорошем согласии с теорией Лифши-ца, Дзялошинского и Питаевского [37]. Уменьшение притяжения наблюдается также и при определенном выборе формы взаимодействующих объектов. Например, согласно экспериментальным данным [38, 39] сила между золотой сферой и кремниевой пластиной уменьшается, если на поверхность пластины нанести систему достаточно глубоких параллельных равноотстоящих друг от друга канавок прямоугольной формы. Причем величина силы меняется в зависимости от периода решетки. Таким образом, можно надеяться изготовить системы со специальной конфигурацией, необходимой для достижения равновесия между притягивающими и отталкивающими вкладами в результирующую силу [40, 41, 42, 43, 44]. Кроме того силы Казимира могут играть

и положительную роль в наносистемах. В [45, 46, 47, 48, 49] рассматривались микромеханические устройства, управляемые силами Казимира.

Особый интерес представляет задачи со сферической геометрией. Это обусловлено несколькими причинами. Основываясь на результате для плоскопараллельных пластин и предполагая, что для сферы сила также будет иметь характер притяжения, Казимир надеялся обосновать стабильность электрона в рамках полу классической модели, в которой заряженные частицы представляются в виде проводящей сферической оболочки, на которой распределен соответствующий полный заряд [50]. Если бы кулоновское отталкивание компенсировалось притяжением, связанным с нулевыми колебаниями вакуума, то условие равновесия

2 а а

позволило бы вычислить значение постоянной тонкой структуры е2 = а = 2г, где г - константа, характеризующая энергию Казимира. Однако, как было показано в [51], сила для проводящей сферы есть сила отталкивания, а не притяжения. В дальнейшем результат, полученный в этой работе, был уточнен в [52] и энергия оказалась равной (далее всюду применяется «естественная» система единиц Н = с — 1)

ч 0.09235

ад = —• (1)

Также эффект Казимира для сферы интересен в связи с моделями адрон-ного мешка. В рамках этой модели адрон представляет собой совокупность кварковых и глюонных полей, заключенных в конечной замкнутой области, размеры которой достаточно малы, чтобы в соответствии со свойством асимптотической свободы пренебречь межкварковым взаимодействием [53, 54, 55]. На поверхности области налагаются условия конфайнмента, обеспечивающие невылет цвета за пределы мешка. Из описания модели следует, что при вы-

числении характеристик мешка, например, энергии, необходимо учитывать эффект Казимира. В простейшем случае мешок моделируют в виде статической сферы. Расчеты для различных моделей мешков, например, МТИ-мешков [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62], киральных моделей [55, 63, 64, 65], показали, что казимировская составляющая энергии адрона содержит расходимости и, значит, нуждается в перенормировочной процедуре. Проблема заключается в том, что не существует однозначного способа зафиксировать точку нормировки и разные способы перенормировки могут приводить к отличающимся конечным результатам [57, 58, 66].

Кроме того с помощью эффекта Казимира пытались объяснить явление сонолюминесценции, т.е. возникновение вспышек света при периодическом изменении радиуса кавитационных пузырьков, образующихся в жидкости под воздействием ультразвуковых волн. Швингер в [67, 68] предположил, что испускание света происходит вследствие изменения казимировской энергии электромагнитного поля при уменьшении радиуса пузырька. Вычисленная Швингером разность вакуумной энергии для максимального и минимального радиуса оказалась того же порядка, что и измеренная в эксперименте энергия испускаемых за один период фотонов [69]. Позже появились работы [70, 71], в которых был получен аналогичный результат, т.е. казалось, что с помощью эффекта Казимира можно адекватно описать данное явление. Однако при исследовании этого вопроса другими авторами [72, 73, 74, 75, 76] были найдены иные значения соответствующей разности энергий, отличающиеся от результата Швингера на 10 порядков в меньшую сторону, что противоречит эксперименту. Такие различия связаны с тем, что были применены разные перенормировочные процедуры при вычислении вакуумной энергии электромагнитного поля в диэлектрическом шаре фиксированного радиуса. Кроме

квазистатического подхода также пытались использовать и динамический. В работе [77] сонолюминесценцию связывали с динамическим эффектом Казимира, при этом применялось адиабатическое приближение. В ходе вычисле-^ ний оказалось, что для согласования наблюдаемого в эксперименте спектра

и полной энергии излучаемого света с теоретическими данными необходимо предположить, что скорость изменения радиуса пузырька релятивистская. Но такое значение скорости выходит за пределы применимости адиабатического приближения. Развивая также идею динамического подхода, авторы работ [78, 79] пришли к выводу, что сонолюминесценция определяется не конкретным законом изменения радиуса пузырька, а зависимостью от времени диэлектрической проницаемости газа е(т), заполняющего пузырек. При этом для соответствия экспериментальных данных с теорией необходимо наложить ^ условие «мгновенного» изменения (в течение нескольких фемтосекунд) е(т)

в момент максимального сжатия пузырька. Таким образом, удовлетворительного описания явления сонолюминесценции на основе эффекта Казимира пока не удалось создать.

Основные схемы регуляризации энергии Казимира

ч

При прямом вычисление вакуумных средних от операторов динамических переменных получаются расходящиеся выражения. В простейшем случае свободного поля, определенного в пространстве Минковского, проблема решается следующим образом. В силу инвариантности вакуумного состояния такой системы относительно преобразований группы Пуанкаре оказывается возможным приписать нулевые значения динамическим переменным. Указанная перенормировка осуществляется автоматически, если записать операторы этих переменных в нормальной форме. Однако при ограничении объема

квантования системы, при наличии потенциала внешнего поля или в случае нетривиальной топологии пространства такой симметрии нет, поэтому этот выбор точки нормировки здесь был бы необоснован. К сожалению универсальной схемы перенормировки не существует и в каждом конкретном случае выбор того или иного способа осуществляется исходя из каких-либо физических соображений. При этом получаемые в результате конечные значения физических величин должны характеризовать отличие вакуума исследуемой системы от вакуума свободного пространства Минковского.

Рассмотрим массивное действительное скалярное поле </?(г), определенное в некоторой замкнутой области Б со стационарными границами $ при наличии внешнего поля Уех1{г). Решения уравнения Клейна-Гордона-Фока

+ + = (2)

удовлетворяющие заданным граничным условиям, можно разложить в ряд по положительно и отрицательно-частотным функциям [80]

где из = л/А^ + ш2, 3 обозначает коллективный индес, нумерующий собственные значения А2 и собственные функции следующей краевой задачи

' Афз + (А2 - Уех\г))ф3 = 0,

(3)

где функционал ^ задает граничные условия.

Используя операторы рождения и уничтожения, решение уравнения (2)

можно записать в виде

Полная вакуумная энергия вычисляется с помощью интеграла по всей области определения поля от вакуумного среднего компоненты Т00 тензора энергии-импульса и может быть записана в виде суммы по частотам всех гармоник поля

Это выражение расходится, что неудивительно, поскольку рассматриваемая система обладает бесконечным числом степеней свободы, а значит, соответствующие вакуумные колебания будут вносить бесконечный вклад в вакуумные средние. Казимир в работе [1] впервые выделил из бесконечного выражения вида (5) конечную вакуумную энергию для квантованного электромагнитного поля, определенного между двумя идеально проводящими плоскопараллельными пластинами. Способ устранения расходимостей, применявшийся в [1], сводился к вычитанию из вакуумного среднего тензора энергии-импульса соответствующего вакуумного среднего пространства Минковско-го. Возникновение такого бесконечного вклада пространства Минковского в выражениях для энергии становится понятным при исследовании асимптотики плотности распределения частот для внутренней задачи Гельмгольца с нулевыми граничными условиями [81]

где V - объем области, Б - площадь, поверхности ее границы, к - кривизна границы, усредненная по поверхности. Вычитание вакуумной энергии пространства Минковского по сути отвечает отбрасыванию первого слагаемого в (6), пропорционального объему.

(6)

Поскольку в задачах казимировского типа приходится оперировать расходящимися величинами, то для корректного вычисления разности бесконечных выражений необходимо каким-либо образом их регуляризовать, вычислить разность, а затем снять регуляризацию. Конечно, существуют различные схемы регуляризации. Наиболее важными среди них являются cutoff-регуляризация, раз движение аргументов функции Грина и регуляризация с помощью дзета-функции.

1 Cutoff-регуляризация и перенормировка с помощью вычитания вакуумной энергии пространства Минковского

Cutoff-регуляризация заключается во введении под знак суммы (5) обрезающей функции fa(wj), такой, что при фиксированном значении cüj lim fa(üjj) —> 1, а при tüj —У оо стремящуюся к нулю достаточно быстро,

а-»0

чтобы обеспечить сходимость ряда

= (?)

j

Именно такая регуляризационная схема использовалась Казимиром в его вычислениях, а в качестве обрезающей функции была выбрана экспоненциальная функция fa(uj) = e~au)J, а > 0.

Интересно привести вид расходимостей, возникающих в (7) при таком выборе обрезающей функции. Также будем считать, что на границе области заданы однородные условия Дирихле, Неймана или Робэна, тогда множество собственных значений задачи (3) счетно, и в качестве индекса J можно выбрать натуральные числа п = 1,2,... . Как было показано в [82], асимптотика собственных значений А^ при п —> оо имеет вид

где Сг - некоторые коэффициенты, зависящие от площади и от других геометрических характеристик поверхности Очевидно, что расходимость выражения (7) при а —> 0 можно объяснить именно таким поведением собственных значений. С помощью (8) можно получить, что асимптотика сингулярной части регуляризованной энергии имеет вид [83]

ЗУ 1 . ( V \2/3 1 . /7\1/3 1 , /бтг2^ 1/3

где коэффициенты Ьг выражаются через с^. Таким образом, после введения регуляризации для вакуумной энергии бесконечности, содержащиеся в этом выражении, свелись к полюсам по параметру регуляризации а. Коэффициент при полюсном слагаемом старшего порядка как и для формулы распределения частот (6), зависит от объема области определения поля и отвечает вкладу от пространства Минковского. Перенормировка вычитанием вакуумной энергии пространства Минковского соответствует устранению первого объемного слагаемого в (9). Таким образом, в общем случае такая вычи-тательная процедура не приводит к полному устранению расходимостей и определенному значению энергии вакуумной энергии.

Однако для задач с плоскими границами при отсутствии внешнего поля отбрасывание вклада пространства Минковского приводит к конечному результату. В самом деле, в качестве примера рассмотрим вещественное скалярное поле, определенное на отрезке 0 < х < Ь, с нулевыми граничными условиями при отсутствии внешнего поля. В этом случае собственные значения задачи (3) оказываются равными А2 = , п = 1, 2,...

Поскольку внешнее поле отсутствует, то перенормированную энергию можно искать как разность Е(а) — Ем(&) между регуляризованными значениями энергии (7) и вакуумной энергии пространства Минковского, сосре-

доточенной на отрезке 0 < х < Ь:

оо

Ем{(у) = — У Ш$а(ш)<1к. о

Заметим, что в первом случае спектр дискретный, во втором - непрерывный. Однако при вычислении разности эту трудность можно устранить, если воспользоваться формулой Абеля-Плана [84]

00 00 00

£ Пр) - [ Р(х)<Ь = ^(0) + г [ ПгХ)е27Т/_[ гх)<1х, (10) о о

справедливой для аналитических в правой полуплоскости Ые г > 0 функций ■Р(г), удовлетворяющих условию < е(11е;г) ехр( (3 |1ш2г|), 0 < (3 < 2-7г,

где б(Яег) —> 0 при Кег оо.

Применяя формулу Абеля-Плана после снятия регуляризации а —> 0 получим хорошо известное выражение [85] для конечной энергии

оо

-,—кЬ

ЕПпщ = Г е " (И)

^ 7 4 2тТ ] этЦкЬ) к '

т

Следует заметить, что при вычислении перенормированной энергии с помощью формулы (10) нигде не вводился явный вид обрезающей функции, так что, очевидно, на конечный результат не влияет определенный выбор /а(о;п). Поскольку первое слагаемое в (11) не зависит от Ь и, следовательно, не

Ярр/гп

дает вклада в наблюдаемые величины, например, в выражение — дЬ для силы взаимодействия границ системы. Таким образом это слагаемое может быть отброшено. В результате казимировская энергия взаимодействия стенок представляется в виде [85, 86, 87]

оо

Егеп(ь) = - А у /

к2 — т2

вт Ъ(кЬ)

ск. (12)

В предельном случае тЬ 1 энергия (12) экспоненциально убывает

4 у ттЬ

Такое поведение вакуумной энергии при условии малости комптоновской длины волны т~1 по сравнению с размерами системы Ь: является характерной особенностью для областей с плоскими границами, в том числе и для полей со спином э > 0 [86, 88, 89]. Однако при наличии ненулевой кривизны границ или пространства-времени, асимптотика казимировской энергии, вообще говоря, оказывается некоторой степенью величины (тЯ)-1, где Я - характеристический размер области определения поля, например, радиус сферы.

В [85, 87] для обсуждаемой задачи анализировалось поведение плотности вакуумной энергии поля в окрестности границ. Для плотности энергии внутри отрезка с помощью формулы Абеля-Плана было получено следующее выражение

оо

1 Г р-кЬ -

еш = <0|Т°°|0) - <0М|Т>М) =

т

оо

т2 С со8Ь(2кж — кЬ) 1 27Г у бшЦкЬ) у/к? - т2

т

где |0) и |0м) ~ вакуумные состояния исследуемой нетривиальной системы и свободного поля в пространстве Минковского, соответственно. Первое слагаемое регулярно на всем интервале 0 < х < Ь, в то время как второе слагаемое имеет логарифмическую особенность вблизи границ, например, в окрестности точки х = О

оо

ш2 [ совЬ^кж - кЬ) 1 т2

--/ -1—;—ч—— , -ак ~ — —— Кп{2тх), (13)

2тг 7 8шк(кЬ) у^2 - ш2 2тг ^ ^ у

т

где Ко - функция Макдональда нулевого порядка.

Перенормированные аналогичным образом плотности энергии Казимира во внешней области, т. е. на полупрямых х < 0 и х > Ь, соответственно, оказываются равными

2 2 -ехгг\ 171 т/ ^ехЬг - ш

£е-хг(х) = -—К0(2т\х\), еех1(х) = -—К0(2т\х - Ь|). (14)

А7Г ¿1Т

Нетрудно заметить, что особенности плотностей энергии для внешней и внутренней задачи вблизи границ совпадают. Наличие этих особенностей связано с идеализированными нулевыми граничными условиями, моделирующими абсолютно непроницаемые стенки. Этому вкладу отвечает второе «поверхностное» слагаемое в (6). Как видно из (13)-(14), граничные особенности в вакуумных средних ТЭИ для одномерной задачи оказываются интегрируемыми. В многомерном случае это утверждение, вообще говоря, уже не справедливо [87, 90, 91, 92].

В силу симметрии задачи значения для энергии, сосредоточенной на этих полупрямых, оказываются равными между собой

О оо

ЕехЬ = J еех\х)(1х = -у, ЕехЬ = J е*?{х)<1х =

—оо Ь

Таким образом, полная энергия на всей прямой определяется выражением

оо

777 /", Г --

Егеп(Ь) = ЕгпЬ + Еех1 + Еех1 = -—-— / . 1 . т.у/к?-тЧк, (15)

2 2-к ] этЪ.{кЬ)

т

что совпадает с энергие взаимодействия границ (12) с точностью до аддитивной постоянной — тг, которая имеет смысл суммарной собственной энергии этих границ [85, 87].

В обобщенном многомерном случае плоскопараллельных стенок, между которыми определено скалярное поле с нулевыми граничными уловиями, ка-зимировская энергия оказывается равной [93, 94]

о

о

с2/2+1 оо

11

-2

71=1

где (1+1 - размерность пространства, Г - гамма-функция. В частности для значения с1 = 0, соответствующего одномерному случаю, формулы (16) и (12) совпадают.

Первоначально Казимир рассматривал две идеально проводящие параллельные пластины, помещенные на расстоянии Ь друг от друга, в вакууме квантованного электромагнитного поля при нулевой температуре [1]. Для этой идеализированной задачи граничные условия принимают простой вид

где Г - поверхности проводников, апит обозначают нормальную и тангенциальную компоненты полей, соответственно.

Вакуумная энергия электромагнитного поля между пластинами, приходящаяся на единицу их площади, определяется выражением

Суммирование идет и по отрицательным значениям п, поскольку необходимо учесть две возможные поляризации фотона. Естественно ряд (17) расходящийся. Для регуляризации этого выражения можно, следуя первоначальной работе Казимира, использовать обрезающую функцию вида /а(ип) — е~аШп, а > 0. Затем, вычитая вакуумную энергию пространства Минковского и используя при этом формулу Абеля-Плана, получаем перенормированную энер-

Ет\г — Нп\г — ^ 5

(17)

где

(18)

гию и силу, приходящиеся на единицу площади пластин

7Г2 7Г2 Егеп =--^- ггеп__^__/.«ч

720Ь3' 240Ь4' 1 У;

Обычно в литературе введение под знак суммы (17) такого экспоненциального множителя для этой задачи оправдывают тем, что, как хорошо известно, реальные тела становятся прозрачными при больших частотах, так что вклад от таких высокочастотных гармоник должен подавляться, что и обеспечивает функция /а{шп)- Однако, согласно эмпирическим данным, более адекватным поведением диэлектрической проницаемости для неидеального проводника при инфракрасных и более высоких частотах является выражение

и2

ф) = 1--§, (20) от

где ир - плазменная частота. Такая асимптотика характерна для многих простейших моделей проводимости, например, плазменной, или модели Друде. Стоит отметить, что функция (20) не осуществляет регуляризацию расходящегося выражения (17) и для дальнейших вычислений требуется использование дополнительных регуляризационных схем. Например, в [88] для регуляризации и перенормировки энергии применяется вычитательная процедура, отвечающая устранению вклада энергии системы, когда одна из проводящих стенок удалена на бесконечность. Сила взаимодействия неидеальных проводников с законом дисперсии (20), вычисленная с точностью до второго порядка малости по параметру 6 = —, имеющего смысл глубины скин-слоя, оказыва-

Шр

ется следующей [88, 95]

Экпериментальные данные подтверждают [96], что сила Казимира между неидеальными зеркалами в действительности всегда меньше силы (19) для идеальных проводников.

В обсуждавшихся выше примерах, как и для большинства систем, сила Казимира носит характер притяжения. Однако существуют задачи, например, для проводящей сферической оболочки, в которых эта сила является отталкивающей. Более того, она может менять знак в зависимости от геометрии и топологии области квантования поля. Простейшим примером такой системы служит безмассовое скалярное поле, определенное в прямоугольнике ах Ь с однородными граничными условиями Дирихле. Аналитическое выражение для энергии и сил Казимира можно получить, последовательно применяя формулу Абеля-Плана [97, 98] или используя регуляризацию с помощью дзета-функции Эпштейна [93]. Оба метода дают совпадающие результаты и могут применяться не только к обсуждаемому двумерному случаю, но и для многомерных прямоугольных областей. В результате для перенормированной энергии Казимира в прямоугольнике был получен результат

здесь - дзета-функция Римана, а функция С определяется равенством

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воронина, Юлия Сергеевна, 2013 год

Литература

[1] Casimir H.B.G. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proc. Kon. Nederl. Acad. Wet., 1948, v. B51, p. 793-795

[2] Биррелл H., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1984

[3] Muller D., Fagundes Н. V., Opher R. Casimir energy in multiply connected static hyperbolic universes. Phys. Rev. D, 2002, v. 66, p. 083507-1-7

[4] Bytsenko A. A., Cognola G., Vanzo L., Zerbini S. Quantum fields and extended objects in space-times with constant curvature spatial section. Phys. Rep., 1996, v. 266, p. 1-126

[5] Elizalde E., Odintsov S. D., Romeo A., Bytsenko A. A., Zerbini S. Zeta Regularization Techniques with Applications. Singapore: World Scientific, 1994

[6] Bimonte G., Calloni E., Esposito G., Rosa L. Relativistic mechanics of Casimir apparatuses in a weak gravitational field. Phys. Rev. D, 2007, v. 76, p. 025008-1-10

[7] Fulling S. A., Milton K. A., Parashar P., Romeo A., Shajesh К. V., Wagner J. How does Casimir energy fall? Phys. Rev. D, 2007, v. 76, p. 025004-1-4

[8] Мамаев С.Г., Мостепаненко В.M. Изотропные космологические модели; определяемые вакуумными квантовыми эффектами. ЖЭТФ, 1980, т. 78, с. 20-27

[9] Starobinsky A. A. A new type of isotropic cosmological models without singularity. Phys. Lett. B, 1980, v. 91, p. 99-102

[10] Линде А.Д. Раздувающаяся вселенная УФН, 1984, т. 144, с. 177-214

[11] Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука, 1990

[12] Guth А. Н. Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems. Phys. Rev. D, 1981, v. 23, p. 347-356

[13] Chodos A. Kaluza-Klein Theories: Overview. Comm. Nucl. and Part. Phys.(Comm. Mod. Phys. Pt. A), 1984, v. 13, p. 171-181

[14] Wesson P. S. Five-Dimensional Physics: Classical and Quantum Consequences of Kaluza-Klein Cosmology. Singapore: World Scientific, 2006

[15] Chodos A., Myers E. Gravitational contribution to the Casimir energy in Kaluza-Klein theories. Ann. Phys., 1984, v. 156, p. 412-441

[16] Candelas P., Weinberg S. Calculation of gauge couplings and compact circumferences from s elf-consistent dimensional reduction. Nucl. Phys. B, 1984, v. 237, p. 397-441

[17] Birmingham D., Kantowski R., Milton K. A. Scalar and spinor Casimir energies in even-dimensional Kaluza-Klein spaces of the form M4 x SNl x SN2x---. Phys. Rev. D, 1988, v. 38, p. 1809-1822

[18] Buchbinder I. L., Odintsov S. D. Effective action in multidimensional (super) gravities and spontaneous compactification (quantum aspects of Kaluza-Klein theories). Fortschr. Phys., 1989, v. 37, p. 225-259

[19] Blau S. K., Guendelman E. I., Taormina A., Wijewardhana L. C. R. On the stability of toroidally compact Kaluza-Klein theories. Phys. Lett. B, 1984, v. 144, p. 30-6

[20] Каку M. Введение в теорию суперструн. М.: Мир, 1999

[21] Polchinski J. String theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1998

[22] Fabinger M., Horava P.Casimir Effect Between World-Branes in Heterotic M-Theory. Nucl.Phys.B, 2000, v. 580, p. 243-263

[23] Hadasz L., Lambiase G., Nesterenko V. V. Casimir energy of a non-uniform string. Phys. Rev. D, 2000, v. 62, p. 025011-1-6

[24] Elizalde E. Uses of zeta regularization in QFT with boundary conditions: A cosmological Casimir effect. J. Phys. A, 2006, v. 39, p. 6299-6307

[25] Elizalde E. Matching the observational value of the cosmological constant. Phys. Lett. B, 2001, v. 516, p. 143-150

[26] Bauer F., Lindner M., Seidl G. Casimir energy in deconstruction and the cosmological constant. JHEP, 2004, v. 05, p. 026-1-35

[27] Milton K.A. Dark Energy as Evidence for Extra Dimensions. Grav.Cosmol., 2003, v. 9, p. 66-70

[28] Antoniadis I., Arkani-Hamed N., Dimopoulos, S., Dvali G. New dimensions at a millimeter to a fermi and superstrings at a TeV. Phys. Lett. B, 1998, v. 436, p. 257-263

[29] Arkani-Hamed N., Dimopoulos, S., Dvali G. Phenomenology, astrophysics, and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity. Phys. Rev. D, 1999, v. 59, p. 086004-1-21

[30] Srivastava Y., Widom A., Friedman M. H. Microchips as precision quantum-electrodynamic probes. Phys. Rev. Lett., 1985, v. 55, p. 2246-2248

[31] Srivastava Y., Widom A. Quantum electrodynamic processes in electrical-engineering circuits. Phys. Rep., 1987, v. 148, p. 1-65

[32] Mahanty J., Ninham B. W. Dispersion Forces. New York: Academic Press, 1976

[33] Klimchitskaya G. L., Mohideen U., Mostepanenko V. M. Casimir force between real materials: Experiment and theory. Rev. Mod. Phys, 2009, v. 81, p. 1827-1885

[34] Munday J. N., Capasso F., Parsegian V. A. Measured long-range repulsive Сasimir-Lifshitz forces. Nature, 2009, v. 457, p. 170-173

[35] Munday J. N., Capasso F. Precision measurement of the С asimir-Lifshitz force in a fluid. Phys. Rev. A, 2007, v. 75, p. 060102(R)-l-4

[36] Munday J. N., Capasso F., Parsegian V. A., Bezrukov S. M. Measurements of the С asimir-Lifshitz force in fluids: The effect of electrostatic forces and Debye screening. Phys. Rev. A, 2008, v. 78, p. 032109-1-8

[37] Дзялошинский И. E., Лифшиц E. M., Питаевский Л. П. Общая теория ван-дер-ваальсовых сил. УФН, 1961, т. 73, с. 381-422

[38] Chan Н. В., Bao Y., Zou J., Cirelli R. A, Klemens F., Mansfield W. M., Pai

C. S. Measurement of the Casimir force between a gold sphere and silicon

surface with nanoscale trench arrays. Phys. Rev. Lett., 2008, v. 101, p. 030401-1-4

[39] Bao Y., Guerout R., Lussange J., Lambrecht A., Cirelli R. A., Klemens F., Mansfield W. M., Pai C. S., Chan H. BCasimir force on a surface with shallow nanoscale corrugations: Geometry and finite conductivity effects. Phys. Rev. Lett., 2010, v. 105, p. 250402-1-4

[40] Serry F.M., Walliser D., Maclay G. J. The role of the Casimir effect in the static deflection and stiction of membrane strips in microelectromechanical systems (MEMS). J. Appl. Phys., 1998, v. 84, p. 2501-2506

[41] Gusso A., Delben G. J. Influence of the Casimir force on the pull-in parameters of silicon based electrostatic torsional actuators. Sens. Actuators A, 2007, v. 135, p. 792-800

[42] Palasantzas G. Contact angle influence on the pull-in voltage of microswitches in the presence of capillary and quantum vacuum effects. J. Appl. Phys., 2007, v. 101, p. 053512-1-5

[43] Palasantzas G. Pull-in voltage of microswitch rough plates in the presence of electromagnetic and acoustic Casimir forces. J. Appl. Phys., 2007, v. 101, p. 063548-1-5

[44] Batra R. C., Porfiri M., Spinello D. Effects'of Casimir force on pull-in instability in micromembranes. Europhys. Lett., 2007, v. 77, p. 20010-1-6

[45] Ekinci K. L., Roukes M. L. Nanoelectromechanical systems. Rev. Sci. Instrum., 2005, v. 76, p. 061101-1-12

[46] Chan H. В., Aksyuk V. A., Kleiman R. N., Bishop D. J., Capasso F. Quantum mechanical actuation of microelectromechanical system by the Casimir effect. Science, 2001, v. 291, p. 1941-1944

[47] Chan H. В., Aksyuk V. A., Kleiman R. N., Bishop D. J., Capasso F. Nonlinear micromechanical Casimir oscillator. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 87, p. 211801-1-4

[48] Lucyszyn S., Miyaguchi K., Jiang H. W., Robertson I. D., Fisher G., Lord A., Choi J. Y. Micromachined RF-coupled cantilever invertedmicro strip millimeter-wave filters. J. Microelectromech. Syst., 2008, v. 17, p. 767-776

[49] Serry F.M., Walliser D., Maclay G. J. The anharmonic Casimir oscillator (ACO)-The Casimir effect in a model microelectromechanical system. J. Microelectromech. Syst., 1995, v. 4, p. 193-205

[50] Casimir H.B.G. Introductory remarks on quantum electrodynamics. Physica, 1953, v.19, p. 846-849

[51] Boyer Т.Н. Quantum electromagnetic zero-point energy of a conducting spherical shell and Casimir model for a charged particle. Phys. Rev., 1968, v. 174, p.1764-1776

[52] Davies B. Quantum electromagnetic zero-point energy of a conducting spherical shell. J. Math. Phys., 1972, v. 13, p. 1324-1329

[53] Боголюбов П.Н., Дорохов A.E. Современное состояние модели квартовых мешков. ЭЧАЯ, 1987 т. 18, р. 917-959.

[54] Bhaduri R.K., Models of the nucleón. Addison-Wesley, Redwood City, California, 1988

[55] Hosaka A., Toki H. Chiral bag model for the nucleon. Phys. Rep., 1996, v. 277, p. 65-188.

[56] Bender C.M., Hays P. Zero-point energy of fields in a finite volume. Phys. Rev. D, 1976, v. 14, p. 2622-2632

[57] Milton K.A. Zero-point energy of confined fermions. Phys. Rev. D, 1980, v. 22, p. 1444-1451

[58] Milton K.A. Erratum: Zero-point energy of confined fermions. Phys. Rev. D, 1982, v. 25, p. 3441-3441

[59] Milton K.A. Zero-point energy in bag models. Phys. Rev. D, 1980, v. 22, p. 1441-1443

[60] Milton K.A. Toward finite zero-point energies in the bag model. Phys. Rev. D, 1983, v. 27, p. 439-443

[61] Milton K.A. Fermionic Casimir stress on a spherical bag. Ann. Phys., 1983, v. 150 p. 432-438

[62] Baacke J., Igarashi Y. Casimir energy of confined massive quarks. Phys. Rev. D, 1983, v. 27, p. 460-463

[63] Vepstas L., Jackson A.D. Justifying the chiral bag. Phys. Rep., 1990, v. 187, p. 109-143.

[64] Perry R.J., Rho M. Removing bag dynamics from chiral bag models: An illustrative example. Phys. Rev. D, 1986, v. 34, 1169-1175

[65] Rho M. Cheshire Cat hadrons. Phys. Rep., 1994, v. 240, p. 1-142

[66] Elizalde E., Bordag M., Kirsten K. Casimir energy for a massive fermionic quantum field with a spherical boundary. J. Phys. A, 1998, v. 31, 1743-1759

[67] Schwinger J. Casimir energy for dielectrics: Spherical geometry. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1992, v. 89, p. 11118-11120

[68] Schwinger J. Casimir light: Pieces of the action. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1992, v. 90, p. 7285-7287

[69] Barber B.P., Hiller R.A., Lofstedt R., Putterman S.J. Defining the unknowns of sonoluminescence. Phys. Rep., 1997, v. 281, p. 65-143

[70] Carlson C.E., Molina-París C., Pérez-Mercader J., Visser M. Schwinger's dynamical Casimir effect: bulk energy contribution. Phys. Lett. B, 1997, v. 395, p. 76-82

[71] Molina-París C., Visser M. Casimir effect in dielectrics: Surface area contribution. Phys. Rev. D, 1997, v. 56, p. 6629-6639

[72] Milton K.A., Ng Y.J. Casimir energy for a spherical cavity in a dielectric: Applications to sonoluminescence. Phys. Rev. E, 1997, v. 55, p. 4207-4216

[73] Milton K.A., Ng Y.J. Observability of the bulk Casimir effect: Can the dynamical Casimir effect be relevant to sonoluminescence. Phys. Rev. E, 1998, v. 57, p. 5504-5510

[74] Brevik I.H., Nesterenko V.V., Pirozhenko I.G. Direct mode summation for the Casimir energy of a solid ball. J. Phys. A, 1998, v. 31, p. 8661-8668

[75] Brevik I., Marachevsky V. N., Milton K. A. Identity of the van der Waals force and the Casimir effect and the irrelevance of these phenomena to sonoluminescence. Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 3948-3951

[76] Nesterenko V.V., Pirozhenko I.G. Is the Casimir effect relevant to sonoluminescence? Письма в ЖЭТФ, 1998, т. 67, с. 420-424

[77] Eberlein С. Theory of quantum radiation observed as sonoluminescence. Phys. Rev., 1996, v. 53, p. 2772-2787

[78] Liberati S., Visser M., Belgiorno F., Sciama D. W. Sonoluminescence as a QED vacuum effect. I. The physical scenario. Phys. Rev. D, 2000, v. 61, p.

085023-1-18

[79] Liberati S., Visser M., Belgiorno F., Sciama D. W. Sonoluminescence as a QED vacuum effect. II. Finite volume effects. Phys. Rev. D, 2000, v. 61, p.

085024-1-17

[80] Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984

[81] McKean Н.Р., Singer I.M. Curvature and the eigenvalues of the Laplacian. J. Diff. Geom., 1967, v. 1, p. 43-69.

[82] Weyl H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen. Math. Ann., 1912, v. 71, p. 441-479

[83] Bordag M., Klimchitskaya G.L., Mohideen U., Mostepanenko V.M. Advances in the Casimir Effect. Oxford University Press, 2009

[84] Евграфов M.A. Аналитические функции. M.: Наука, 1991

[85] Мостепаненко В.М., Трунов Н.Я. Эффект Казимира и его приложения. УФН, 1988, Т. 156, С. 385-426

[86] Bordag М., Mohideen U., Mostepanenko V.M. New developments in the Casimir effect. Phys. Rep., 2001, v. 353, p. 1-205

[87] Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вукуумные квантовые эффекты в сильных полях. М.: Энергоатомиздат, 1988

[88] Mostepanenko V. M., Trunov N. N. The Casimir Effect and Its Applications. Oxford: Clarendon Press, 1997

[89] Мамаев С.Г., Трунов Н.Н. Вакуумные средние тензора энергии-импульса квантованных полей на многообразиях различной топологии и геометрии III. Изв. вузов, сер. «Физика», 1980, т. 7, с. 9-13

[90] DeWitt B.S. Quantum Field theory in curved space-time. Phys. Rep., 1975, v. 19, p. 295-357.

[91] Deutsch D., Candelas P. Boundary effects in quantum field theory. Phys. Rev. D, 1979, v. 20, p. 3063-3080

[92] Olaussen K., Ravndal F. Electromagnetic vacuum fields in a spherical cavity. Nucl. Phys. B, 1981, v. 192, p. 237-258

[93] Ambj0rn J., Wolfram S. Properties of the vacuum.' I. Mechanical and thermodynamic. Ann. Phys., 1983, v. 147, p. 1-32

[94] Milton K.A., The Casimir Effect: Physical Manifestation of Zero-Point Energy. Singapore: World Scientific, 2001

[95] Schwinger J., DeRaad L.L, Milton K.A. Casimir effect in dielectrics. Ann. Phys., 1978, v. 115, p. 1-23

[96] Lambrecht A., Jaekel M.-T., Reynaud S. The Casimir force for passive mirrors. Phys.Lett. A, 1997, v. 225, p. 188-194

[97] Мамаев С.Г., Трунов Н.Н. О зависимости вакуумных средних тензора энергии-импульса от геометрии и топологии многообразия. ТМФ, 1979, т. 38, с. 345-354

[98] Мамаев С.Г., Трунов Н.Н. Вакуумные средние тензора энергии-импульса квантованных полей на многообразиях различной топологии и геометрии II. Изв. вузов. Физика, 1979, т. 9, с. 51-54

[99] Cavalcanti R. М. Casimir force on a piston. Phys. Rev. D, 2004, v. 69, p. 065015-1-5

[100] Hertzberg M. P., Jaffe R. L., Kardar M., Scardicchio A. Attractive Casimir forces in a closed geometry. Phys. Rev. Lett., 2005, v. 95, p. 250402-1-4

[101] Edery A. Casimir piston for massless scalar fields in three dimensions. Phys. Rev. D, 2007, v. 75, p. 105012-1-9

[102] Hertzberg M. P., Jaffe R. L., Kardar M., Scardicchio A. Casimir forces in a piston geometry at zero and nonzero temperature. Phys. Rev. D, 2007, v. 76, p. 045016-1-13

[103] Blau S. K., Visser M., Wipf, A. Zeta functions and the Casimir energy. Nucl. Phys. B, 1988, v. 310, p. 163-180

[104] Титчмарш E.K. Теория дзета-функции Римана. M.: Издательство иностранной литературы, 1953

[105] Elizalde Е. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Berlin: Springer, 1995

[106] Nesterenko V.V., Pirozhenko I.G. Spectral zeta functions for a cylinder and a circle. J. Math. Phys., 2000, v. 41, p. 4521-4532

[107] Bender C.M., Milton K.A. Scalar Casimir effect for a D-dimensional sphere. Phys. Rev. D, 1994, v. 50, p. 6547-6555

[108] Milton K.A. Vector Casimir effect for a D-dimensional sphere. Phys. Rev. D, 1997, v. 55, p. 4940-4946

[109] Gilkey P.B. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem. Boca Raton: CRC Press, 1995.

[110] Avramidi I.G. A covariant technique for the calculation of the one-loop effective action. Nucl. Phys. B, 1991, v. 355, p. 712-754

[111] van de Ven A.E.M. Index-free heat kernel coefficients. Class. Quant. Grav., 1998, v. 15, p. 2311-2344

[112] Barvinsky A.O., Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-Dewitt technique in gauge theories and quantum gravity. Phys. Rept., 1985, v. 119, p. 1-74

[113] Kennedy G. Boundary terms in the Schwinger-DeWitt expansion: Flat space results. J. Phys. A: Math. Gen., 1978, v. 11, p. L173-L178

[114] Branson T.P., Gilkey P.B. The asymptotics of the Laplacian on a manifold with boundary. Comm. Part. Differ. Eqs., 1990, v. 15, p. 245-272

[115] Vassilevich D.V. Vector fields on a disk with mixed boundary conditions. J. Math. Phys., 1995, v. 36, p. 3174-3182

[116] Branson T.P., Gilkey P.B., Kirsten K., Vassilevich D.V. Heat kernel asymptotics with mixed boundary conditions. Nucl. Phys. B, 1999, v. 563, p. 603-626

[117] Kirsten K. The heat kernel coefficient on manifold with boundary. Class. Quant. Grav., 1998, v. 15, p. L5-L12

[118] Bordag M., Elizalde E., Kirsten K. Heat kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball. J. Math. Phys., 1996, v. 37, p. 895-916

[119] Bordag M., Kirsten K., Vassilevich D. V. Ground state energy for a penetrable sphere and for a dielectric ball. Phys. Rev. D, 1999, v. 59, p. 085011-1-14

[120] Bordag M., Vassilevich D.V. Heat kernel expansion for semitransparent boundaries. J. Phys. A, 1999, v. 32, p. 8247-8259

[121] Bordag M., Elizalde E., Kirsten K., Leseduarte S. Casimir energies for massive scalar fields in a spherical geometry. Phys.Rev. D, 1997, v. 56, p. 4896-4904

[122] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: УРСС, 2010

[123] Van Kampen N.G., Nijboera B.R.A., Schrama К. On the macroscopic theory of Van der Waals forces. Phys. Lett. A, 1968, v. 26, p. 307-308

[124] Bordag M., Geyer В., Kirsten K., Elizalde E. Zeta function determinant of the Laplace operator on the D-dimensional ball. Comm. Math. Phys., 1996, v. 179, p. 215-234

[125] Moretti, V. Local zeta-function techniques vs. point-splitting procedure: A few rigorous results. Commun. Math. Phys., 1999, v. 201, p. 327-363

[126] Graham, N., Jaffe, R. L., Khemani, V., Quandt, M., Schroder, O., Weigel H. The Dirichlet Casimir problem. Nucl. Phys. B, 2004, v. 677, p. 379-404

[127] Bordag M. Ground state energy for massive fields and renormalization. Commun. Atom. Nucl. Phys., Commun. Mod. Phys. D, 2000, v. 1, p. 347-361

[128] Balian R., Duplantier B. Electromagnetic waves near perfect conductors. I.Multiple-scattering expansions. Distribution of modes. Ann. Phys., 1977, v. 104, p. 300-335

[129] Milton K.A., DeRaad L.L., Schwinger J. Casimir self-stress on a perfectly conducting spherical shell. Ann. Phys., 1978, v. 115, p. 388-403

[130] Leseduarte S., Romeo A. Complete zeta-function approach to the electromagnetic Casimir effect for spheres and circles. Ann. Phys., 1996, v. 250, p. 448-484

[131] Nesterenko V.V., Pirozhenko I.G.. Simple method for calculating the Casimir energy for sphere. Phys. Rev. D, 1998, v. 57, p. 1284-1290

[132] Kirsten K. Spectral Functions in Mathematics and Physics. London: CRC Press, 2000

[133] Lambiase G., Scarpetta G., Nesterenko V. V. Zero-point energy of a dilute dielectric ball in the mode summation method. Mod. Phys. Lett. A, 20001, v. 16, p. 1983-1995

[134] Barton G. Perturbative check on the Casimir energies of nondispersive dielectric spheres. J. Phys. A: Math. Gen., 1999, v. 32, p. 525-535

[135] Brevik, I., Kolbenstvedt, H. Casimir stress in a solid ball with permittivity and permeability. Phys. Rev. D, 1982, v. 25, p. 1731-1734

[136] Klich I. Casimir energy of a conducting sphere and of a dilute dielectric ball. Phys. Rev. D, 2000, v. 61, p. 025004-1-6

[137] Bordag M., Kirsten K. Heat kernel coefficients and divergencies of the Casimir energy for the dispersive sphere. Int. J. Mod. Phys. A , 2002, v. 17, p. 813-819

[138] Bordag M., Kirsten К., Vassilevich D. V. Path-integral quantization of electrodynamics in dielectric media. J. Phys. A: Math. Gen., 1998, v. 31, p. 2381-2390

[139] Chodos A., Jaffe R. L, Johnson K., Thorn С. В., Weisskopf V. F. New extended model of hadrons. Phys.Rev. D, 1974, v. 9, p. 3471-3495

[140] Johnson K. The M.I.T. bag model. Acta Phys. Pol. B, 1975, v. 6, p. 865-892

[141] DeGrand T., Jaffe R. L., Johnson K., Kiskis J. Masses and other parameters of the light hadrons. Phys. Rev. D, 1975, v. 12, 2060-2076

[142] Johnson K. A simple model of the ground state of quantum chromodynamics. AIP Conf. Proc, 1980, v. 59, p. 353-363

[143] Brevik I., Kolbenstvedt H. The Casimir effect in a solid ball when £/i = 1. Ann. Phys., 1982, v. 143, p. 179-190.

[144] LeeT.D. Feynman rules of quantum chromodynamics inside a hadron. Phys. Rev. D, 1979, v. 19, p. 1802-1819

[145] Fishbane P.M., Gasiorowicz S.G., Kaus P. Zero-point energy in flux-tube confinement. Phys. Rev. D, 1988, v. 37, p. 2623-2632

[146] Hasenfratz P., Kuti J. The quark bag model. Phys. Rep., 1978, v. 40, p. 75-179.

[147] Brevik I., Kolbenstvedt H. Electromagnetic Casimir densities in dielectric spherical media. Ann. Phys., 1983, v. 149, p. 237-253.

[148] Мамаев С.Г., Мостепаненко В.M., Старобинский А.А. Рождение частиц из вакуума вблизи однородной изотропной сингулярности. ЖЭТФ, 1976, т. 70, с. 1577-1591

[149] Мамаев С.Г. Вакуумные средние тензора энергии-импульса квантованных полей в однородном изотропном пространстве-времени. ТМФ, 1980, т. 42, с. 350-361

[150] Ford L.H. Quantum vacuum energy in general relativity. Phys. Rev. D, 1975, v. 11, p. 3370-3377

[151] Ford L.H. Quantum vacuum energy in a closed universe. Phys. Rev. D, 1975, v. 14, p. 3304-3313

[152] Мостепаненко B.M., Соколов И.Ю. О силах Казимира между телами сложной формы. Доклады Акад. Наук СССР, 1988, т. 298 , с. 1380-1383

[153] Бараш Ю. С. Силы Ван-Дер-Ваальса. М.: Наука, 1988

[154] Bezerra V. В., Klimchitskaya G. L., Romero, С. Casimir force between aflat plate and a spherical lens: Application to the results of a new experiment. Mod. Phys. Lett. A, 1997, v. 12 , p. 2613-2622

[155] Tajmar M. Finite-element simulation of Casimir forces in arbitrary geometries. Int. J. Mod. Phys. C, 2004, v. 15, p. 1387-1395

[156] Sedmik R., Vasiljevich I., Tajmar M. Detailed parametric study of Casimir forces in the Casimir-Polder approximation for nontrivial 3D geometries. J. Computer-Aided Mat. Des., 2007, v. 14, p. 119-132

[157] Derjaguin В. V., Abrikosova I. I., Lifshitz E. M. Direct measurement of molecular attraction between solids separated by a narrow gap. Q. Rev. Chem. Soc., 1956, v. 10 , p. 295-329

[158] Derjaguin В. V., Abrikosova I. I. Direct measurements of molecular attraction in solids. J. Phys. Chem. Solids, 1958, v. 5 , p. 1-10

[159] Emig T., Hanke A., Golestanian R., Kardar M. Probing the strong boundary shape dependence of the Casimir force. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 87, p. 260402-1-4

[160] Genet C., Lambrecht A., Maia Neto P., Reynaud S. The Casimir force between rough metallic plates. Europhys. Lett., 2003, v. 62, p. 484-490

[161] Emig T., Hanke A., Golestanian R., Kardar M. Normal and lateral Casimir forces between deformed plates. Phys. Rev. A, 2003, v. 67, p. 022114-1-15

[162] Emig T. Casimir forces: An exact approach for periodically deformed objects. Europhys. Lett., 2003, v. 62, p. 466-472

[163] Gies H., Klingmuller K. Casimir effect for curved geometries: Proximity-force-approximation validity limits. Phys. Rev. Lett., 2006, v. 96, p. 2204011-4

[164] Maia Neto P., Lambrecht A., Reynaud S. Roughness correction to the Casimir force: Beyond the proximity force approximation. Europhys. Lett., 2005, v. 69, p. 924-930

[165] Reynaud S., Maia Neto P., Lambrecht A., Casimir energy and geometry: beyond the proximity force approximation. J. Phys. A, 2008, v. 41, p. 1640041-12

[166] Rodriguez A., Ibannescu M., Iannuzzi D., Capasso F., Joannopoulos J.D., Johnson S.G. Computation and visualization of Casimir forces in arbitrary geometries: Non-monotonic lateral-wall forces and failure of proximaty force approximations. Phys. Rev. Lett., 2007, v. 99, p. 80401-1-4

[167] Rodriguez A., Ibannescu M., Iannuzzi D., Joannopoulos J.D., Johnson S.G. Virtual photons in imaginary time: Computing exact Casimir forces via

standard numerical-electromagnetism techniques. Phys. Rev. A, 2007, v. 76, p. 032106-1-15

[168] Bordag M. Casimir effect for a sphere and a cylinder in front of a plane and corrections to the proximity force theorem. Phys. Rev. D, 2006, v. 73, p. 125018-1-14

[169] Sernelius B.E., Roman-Velazquez C.E. Beyond the simple proximity force approximation: Geometrical effects on the nonretarded Casimir interaction. Phys. Rev. A, 2008, v. 78, p. 032111-1-14

[170] Fosco C.D., Lombardo F.C., Mazzitelli F.D., Proximity force approximation for the Casimir energy as a derivative expansion. Phys. Rev. D, 2011, v. 84, p. 105031-1-6

[171] Balian R., Bloch C. Distribution of eigenfrequencies for wave equation in a finite domain. I. Three-dimensional problem with smooth boundary surface. Ann. Phys., 1970, v. 60, p. 401-447

[172] Balian R., Duplantier B. Electromagnetic waves near perfect conductors. II. Casimir effect. Ann. Phys., 1978, v. 112, p. 165-208

[173] Balian R., Bloch C. Distribution of eigenfrequencies for wave equation in a finite domain. II. Electromagnetic field. Riemannian spaces. Ann. Phys., 1971, v. 64, p. 271-307

[174] Hansson T. H., Jaffe R. L. The multiple reflection expansion for confined scalar, Dirac, and gauge-fields. Ann. Phys., 1983, v. 151, p. 204-226

[175] Hansson T. H., Jaffe R. L. Cavity quantum chromodynamics. Phys. Rev. D, 1983, v. 28, p. 882-907

[176] Bordag M., Vassilevich D., Falomir H., Santangelo E. M. Multiple reflection expansion and heat kernel coefficients. Phys. Rev. D, 2001, v. 64, p. 0450171-11

[177] Schaden M., Spruch L. Infinity-free semiclassical evaluation of Casimir effects. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 935-953

[178] Schaden M. Sign and other aspects of semiclassical Casimir energies. Phys. Rev. A, 2006, v. 73, p. 042102-1-16

[179] Jaffe R. L., Scardicchio A. Casimir effect and geometric optics. Phys. Rev. Lett., 2004, v. 92, p. 070402-1-4

[180] Scardicchio A., Jaffe R. L. Casimir effects: An optical approach I. Foundations and examples. Nucl. Phys. B, 2005, v. 704, p. 552-582

[181] Scardicchio A., Jaffe R. L. Casimir effects: An optical approach II. Local observables and thermal corrections. Nucl. Phys. B, 2006, v. 743, p. 249275

[182] Schroder O., Scardicchio A., Jaffe R. L. Casimir energy for a hyperboloid facing a plate in the optical approximation. Phys. Rev. A, 2005, v. 72, p. 012105-1-9

[183] Brevik I., Dahl E. K., Myhr G. O. Casimir force on a micrometer sphere in a dip: proposal of an experiment. J.Phys.A, 2005, v. 38, p. 49-56

[184] Gies H., Langfeld K., Moyaerts L. Casimir effect on the worldline. J. High Energy Phys., 2003, v. N06, p. 018-1-29

[185] Gies H., Klingmiiller K. Worldline algorithms for Casimir configurations. Phys. Rev. D, 2006, v. 74, p. 045002-1-12

[186] Gies H., Klingmiiller K. Casimir edge effects. Phys. Rev. Lett., 2006, v. 97, p. 220405-1-4

[187] Schwinger J. Casimir effect in source theory. Lett. Math. Phys., 1975, v. 1, p. 43-47

[188] Lippmann B. A., Schwinger J. Variational Principles for Scattering Processes. Phys. Rev., 1950, v. 79, p. 469-480

[189] Emig T., Graham N., Jaffe R. L., Kardar M. Casimir forces between arbitrary compact objects. Phys. Rev. Lett., 2007, v. 99, p. 170403-1-4

[190] Kenneth O., Klich I. Casimir forces in a T-operator approach. Phys. Rev. B, 2008, v. 78, p. 014103-1-17

[191] Bulgac A., Magierski P., Wirzba A. Scalar Casimir effect between Dirichlet spheres or a plate and a sphere. Phys. Rev. D, 2006, v. 73, p. 025007-1-14

[192] Milton K.A., Wagner J. Multiple scattering methods in Casimir calculations. J. Phys. A, 2008, v. 41, p. 155402-1-24

[193] A. Ditkowski, K. Dridi, J.S. Hesthaven Convergent Cartesian grid methods for Maxwell's equations in complex geometries. Journal of Computational Physics, 2001, v. 170, p. 39-40

[194] Taflove A., Hagness S.C. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Norwood: Artech House, 2000

[195] Chew W.C., Jian-Ming J., Michielssen E., Jiming S. Fast and efficient algorithms in computational electromagnetics. Norwood: Artech House, 2001

[196] Volakis J.L., Chatterjee A., Kempel L.C. Finite Element Method for Electromagnetics: antennas, microwave circuits, and scattering applications. New York: IEEE Press, 2001

[197] Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979

[198] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975

[199] BrebbiaC.A. The boundary element method for engineers. London: Pentech Press, 1978

[200] Roberts D.C., Pomeau Сasimir-like force arising from quantum fluctuations in a slowly moving dilute Bose-Einstein condensate. Phys. Rev. Lett., 2005, v. 95, p. 145303-1-4

[201] Barcelo C., Liberati S., Visser M. Analogue gravity from field theory normal modes? Class. Quantum Grav., 2001, v. 18, p. 3595-3610

[202] Edery A. Casimir piston for massless scalar fields in three dimensions. Phys. Rev. D, 2007, v. 75, p. 105012-1-9

[203] Воронина Ю.С., Силаев П.К. Связь давления и энергии Казимира в одномерных полевых моделях. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2009, М, с. 37-41

[204] Romeo A., Saharian A.A. Casimir effect for scalar fields under Robin boundary conditions on plates. J.Phys.A, 2002, v. 35, p. 1297-1320

[205] Milton K. Casimir energies and pressures for 5-function potentials. J.Phys.A, 2004, v. 37, p. 6391-6406

[206] Milton K. The Casimir effect: Recent controversies and progress. J.Phys. A, 2004, v. 37, p. R209-R277

[207] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988

[208] Воронина Ю.С., Силаев П.К. Регуляризация давления Казимира в дву- • мерных полевых моделях. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2009, №3, с. 14-18

[209] Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988

[210] Воронина Ю.С., Силаев П.К. Перенормировка давления Казимира методом эффективных поверхностных зарядов. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2010, №5, с. 19-25

[211] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003

[212] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979

[213] Saharian A.A., Tarloyan A.S. Scalar Casimir densities for cylindrically symmetric Robin boundaries. J.Phys.A, 2006, v. 39, p. 13371-13392

[214] Cavero-Pelaez I., Milton K.A., Parashar P., Shajesh K.V. Noncontact gears. I. Next-to-leading order contribution to the lateral Casimir force between corrugated parallel plates. Phys. Rev.D, 2008, v. 78, p. 065018-1-21

[215] Biischer R., Emig T. Geometry and spectrum of Casimir forces. Phys. Rev. Lett., 2005, v. 94, p. 133901-1-4

[216] Lambrecht A., Marachevsky V.N. Casimir interaction of dielectric gratings. Phys. Rev. Lett., 2008, v. 101, p. 160403-1-4

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

• Воронина Ю.С., Силаев П.К. Связь давления и энергии Казимира в одномерных полевых моделях. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2009, №1, с. 37-41

• Воронина Ю.С., Силаев П.К. Регуляризация давления Казимира в двумерных полевых моделях. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2009, №3, с. 14-18

• Воронина Ю.С., Силаев П.К. Перенормировка давления Казимира методом эффективных поверхностных зарядов. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2010, №5, с. 19-25

о Voronina Yu., Silaev P. On the shape dependence of the tangential Casimir force. Письма в ЭЧАЯ, 2013, т. 10, №6, с. 874-880.

• Voronina Yu., Silaev P. The effect of slope in the Casimir rack gear. arXiv: 1309.4207 [quant-ph],

• Воронина Ю.С. Регуляризация давления Казимира в двумерной модели скалярного поля. «Ломоносов-2009», секция «Физика», сборник тезисов, с. 10-10

• Voronina Yu., Silaev Р. Casimir pressure regularization and renormalization

in two-dimentional scalar field model. «14th Lomonosov conference on elementary particle physics», 2009, proceedings, p. 414-415

• Воронина Ю.С. Нахождение регуляризованной функции Грина методом эффективных поверхностных зарядов. «Ломоносов-2010», секция «Физика», сборник тезисов, с. 4-1-2