Исследование фотонных топологических изоляторов на основе диэлектрических структур в микроволновом частотном диапазоне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Жирихин Дмитрий Васильевич

• Жирихин Дмитрий Васильевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Жирихин Дмитрий Васильевич

Оглавление

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Исследование топологических состояний в отрытой неэрмитовой диэлектрической структуре на основе решетки типа пчелиных сот

1.1 Введение

1.2 Теоретическая модель

1.3 Численное моделирование

1.4 Экспериментальное исследование

1.5 Метод извлечения топологического инварианта из дальнего поля

1.6 Выводы

Глава 2. Экспериментальная реализация трехмерного диэлектрического фотонного топологического изолятора

2.1 Введение

2.2 Численное моделирование трехмерного фотонного топологического изолятора

2.3 Экспериментальное исследование трехмерного фотонного топологического изолятора

2.4 Выводы

Глава 3. Разработка двумерного фотонного топологического изолятора высокого порядка на основе диэлектрической решетки кагоме

3.1 Введение

3.2 Теоретическое описание

3.2.1 Собственные состояния решетки кагоме для K = J2 =

3.2.2 Собственные состояния решетки кагоме для J = J2 =

3.2.3 Собственные состояния решетки кагоме для К ф 0; J2 =

3.2.4 Собственные состояния решетки кагоме для К ф 0; J2 ф

3.3 Численное моделирование конечной фотонной решетки кагоме

3.4 Экспериментальная реализация фотонной решетки кагоме

3.5 Выводы

Заключение

Благодарности

Список литературы

Приложение А (обязательное) Тексты публикаций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование фотонных топологических изоляторов на основе диэлектрических структур в микроволновом частотном диапазоне»

Реферат

Общая характеристика работы Актуальность. Применение аппарата топологии - раздела математики, изучающего свойства объектов, не изменяющиеся при непрерывных деформациях, - в современных фундаментальных физических исследованиях играет чрезвычайно важную роль. В частности, с помощью аппарата топологии удалось объяснить набор явлений, таких как строгое квантование холловского сопротивления в квантовом эффекте Холла, явление аномальной скорости, спонтанную поляризацию твердых тел, квантовый спиновый эффект Холла и др.

Одним из основных проявлений топологии стало открытие топологической фазы материи, что привело к созданию уникальных материалов - топологических изоляторов. Эти структуры ведут себя как диэлектрик в объеме, а на поверхности поддерживают особые типы состояний, обладающих уникальными свойствами, такими как устойчивость и способность распространения без потерь на отражение, даже в присутствии структурных неоднородностей и дефектов. В 2016 году «за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз материи» Нобелевская премия по физике за 2016 год была присуждена Майклу Костерлицу, Дэйвиду Таулессу и Данкану Халдейну. Исключительные особенности топологических изоляторов представляют большой интерес не только с точки зрения фундаментальных исследований, но и обладают большими прикладными перспективами. Например, применение топологических изоляторов связывают с разработкой устройств спинтроники, а также быстродействующих электронных технологий нового поколения с минимальным уровнем тепловых потерь, в том числе для использования их в архитектуре квантовых компьютеров.

В свое время, развитие электронных технологий пошло по направлению миниатюризации приборов, а также поиска наиболее подходящего материала для их разработки. Однако, существуют фундаментальные физические ограничения, лимитирующие эффективность электронных приборов. К таким, например, относятся минимальный характерный размер транзисторов, минимальная длина свободного пробега электрона, количество выделяемой теплоты в интегральных

схемах. Более того, по мере уменьшения характерного размера элементов все сильнее сказываются квантовые эффекты.

Ввиду ежегодного роста объемов данных, все более актуальной является проблема поиска новых и перспективных технологий для создания эффективных устройств и систем хранения, передачи, обработки информации. В последние десятилетия все чаще на передний план выходит преемник электроники -фотоника, где в качестве носителей информации используются фотоны (электромагнитные волны). Фотоны обладают существенным преимуществом перед электронами: имеют значительно большую скорость, что позволяет повысить быстродействие систем на несколько порядков. Более того, оптические вычисления характеризуются также меньшим энергопотреблением, возможностью осуществления многоканальной передачи информации за счет работы с фотонами разной частоты и многим другим. Разработки в области фотоники в перспективе позволят существенно повысить производительность вычислительных систем.

Фотоника работает как с обычными природными материалами, так и с искусственными материалами, свойства которых намного богаче. Такими, например, являются фотонные кристаллы и метаматериалы. Это искусственные периодические среды, элементарные ячейки которых представлены в виде макроскопических элементов с различными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей. На их основе удается получить уникальные физические свойства, не достижимые в традиционных природных материалах. Функциональные свойства таких сред определяются их внутренней микроструктурой. Изменяя физические и геометрические параметры элементарных ячеек фотонных кристаллов/метаматериалов, удается эффективно управлять электромагнитными состояниями на волновых и субволновых масштабах. Несмотря на сравнительно небольшую историю развития направления фотонных кристаллов и метаматериалов, на их основе были открыты и экспериментально продемонстрированы такие фундаментальные явления как трехмерная фотонная запрещенная зона, отрицательный показатель преломления, был преодолен дифракционный предел разрешения. Помимо этого, были

разработаны маскирующие устройства, суперлинза, оптоволокно на основе фотонных кристаллов и др.

Оказалось, что фотонные кристаллы и метаматериалы представляют собой эффективную платформу для исследования топологической фазы материи в электродинамике, где применение идей топологии сформировало новое и бурно развивающееся направление физики - топологическую фотонику.

Одним из уникальных свойств фотонных топологических систем является возникновение топологически защищенных краевых состояний электромагнитных волн, обладающих способностью преодолевать структурные неоднородности и дефекты без потерь на рассеяние. Следует отметить, что современные тенденции развития оптических технологий связаны с разработкой миниатюризированных, компактных и недорогих устройств и элементов, что неизбежно сопряжено с увеличением влияния дефектов, ввиду несовершенств качества производства. Это приводит к проблемам с точки зрения управления электромагнитными волнами, ввиду их рассеяния и, следовательно, к снижению эффективности устройств, особенно на наномасштабах. Реализация компактных оптических компонентов на основе фотонных топологических структур позволит существенно повысить их устойчивость и эффективность благодаря нетривиальным топологическим свойствам. Более того, гибкость в разработке топологических систем на основе фотонных кристаллов и метаматериалов предоставляет возможность эффективного управления топологическими краевыми состояниями на субволновых масштабах, что в перспективе позволит на их основе разрабатывать компактные и высокоскоростные оптические системы нового поколения.

В 2017 году произошел прорыв в топологической физике: были теоретически предсказаны так называемые топологические изоляторы высокого порядка. Их особенностью является возникновение топологических состояний в областях, на два и более порядков ниже, чем размерность самой системы. С точки зрения фотоники, топологические структуры высокого порядка способны локализовать электромагнитную энергию на субволновых масштабах (масштабах элементарной

ячейки) или канализировать ее вдоль ребер трехмерных электромагнитных структур.

Открытие топологических изоляторов высокого порядка породило новый виток развития топологической фотоники. Основываясь на феноменологических моделях, ученые принялись разрабатывать их электромагнитные прототипы. Таким образом, актуальность, помимо изучения традиционных топологических изоляторов, приобрели экспериментальные исследования свойств топологических изоляторов высокого порядка. На момент начала данной работы, был реализован лишь один образец фотонного топологического изолятора высокого порядка с отрицательными связями на основе технологии печатных плат (квадрупольный топологический изолятор).

Исследования топологических свойств в фотонике представляют значительный интерес в настоящее время, ввиду относительной молодости направления и больших перспектив в реализации эффективных и компактных устройств с низкими потерями. В то же время на настоящий момент разработано множество теоретических моделей и концепций фотонных топологических изоляторов, однако имеется существенный недостаток их экспериментальных прототипов. Необходимо отметить также ряд ограничений, присущих ранее реализованным прототипам, такие как громоздкость, сложность геометрии структур, что приводит к неудобствам и непрактичности с точки зрения реализации и внедрения в производство. Наиболее существенным недостатком является присутствие металлических элементов в структурах, которые не могут быть применены в ИК и видимом частотном диапазонах, в связи со значительными омическими потерями.

Для преодоления вышеуказанных ограничений, в данной работе разрабатываются и исследуются фотонные топологические изоляторы на основе диэлектрических периодических структур. Диэлектрические системы обладают низким уровнем омических потерь, что делает их чрезвычайно перспективными для инфракрасного и видимого частотных диапазонов. Для проверки предложенных концепций, ввиду принципа электродинамического подобия,

удобным представляется реализация фотонных топологических изоляторов в СВЧ диапазоне с дальнейшим переходом в оптический, при условии успешности испытаний. Это объясняется относительной технологической простотой в разработке структур, доступностью технологий в СВЧ, а также удобством экспериментальных измерений.

Целью работы является экспериментальное исследование фундаментальных топологических эффектов в электромагнитных структурах на основе диэлектрических периодических структур в микроволновом частотном диапазоне.

Основные задачи, требующие выполнения:

1. Численное и экспериментальное исследование открытой неэрмитовой диэлектрической периодической структуры на основе решетки типа пчелиных сот. Экспериментальная демонстрация топологических краевых состояний.

2. Создание трехмерного фотонного топологического изолятора на основе массива диэлектрических цилиндров с нарушенной симметрией к зеркальному отражению. Экспериментальная демонстрация топологических поверхностных состояний.

3. Разработка и экспериментальное исследование двумерного фотонного топологического изолятора высокого порядка на основе решетки кагоме. Наблюдение топологических состояний высокого порядка.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В двумерной периодической структуре, составленной из гексагональных элементарных ячеек, содержащих кластеры из шести вертикальных диэлектрических цилиндров, расположенных в вершинах правильного шестиугольника, на границе раздела между областями с различными значениями спинового числа Черна возбуждаются вытекающие фотонные топологические краевые состояния. Различные значения спинового числа Черна достигаются путем одинакового смещения шести диэлектрических

цилиндров к центру или от центра элементарной ячейки относительно их положения, при котором структура принимает вид решетки графена.

2. Распределение ближнего поля трехмерной периодической структуры, составленной из резонансных керамических частиц с диэлектрической проницаемостью равной 39, обладающих осью симметрии Ст и имеющих нарушенную симметрию к зеркальному отражению относительно плоскости, перпендикулярной оси симметрии, демонстрирует локализацию электромагнитного поля на двумерной границе раздела двух областей, связанную с возбуждением поверхностных фотонных топологических состояний. Каждая из двух частей структуры содержит частицы, зеркально симметричные относительно плоскости, перпендикулярной оси их симметрии.

3. В двумерной структуре, имеющей форму правильного треугольника, составленной из гексагональных элементарных ячеек, содержащих три вертикальных диэлектрических цилиндра, расположенных в узлах решетки кагоме, наблюдаются фотонные топологические состояния высокого порядка, электромагнитное поле которых локализовано в угловых диэлектрических элементах.

4. В двумерной периодической структуре, имеющей форму правильного треугольника, составленной из гексагональных элементарных ячеек, содержащих три вертикальных диэлектрических цилиндра, расположенных в узлах решетки кагоме, существуют локализованные состояния, электромагнитное поле которых сосредоточено в ближайших к углу краевых димерах.

Методы научного исследования:

1. Аналитические описание топологических структур было проведено на основе модели сильной связи. В последней главе учитывались взаимодействия «следующих за ближайшими» соседей.

2. Численное моделирование электромагнитных топологических структур для анализа дисперсионных диаграмм, а также для оптимизации геометрических

и физических параметров систем выполнялось в лицензионном программном пакете COMSOL Multiphysics. Используемый метод - метод конечных элементов.

3. Для численного моделирования возбуждения топологических состояний из ближнего и дальнего поля использован лицензионный программный пакет CST Microwave Studio. Методы вычисления: метод конечных интегралов (реализованный во временной области), метод конечных элементов (в частотной области), разложение по модам Флоке.

4. Для подтверждения результатов численного моделирования проведены экспериментальные измерения характеристик фотонных топологических структур в микроволновом частотном диапазоне. Используемый метод -сканирование ближнего электромагнитного поля.

5. Для обработки экспериментальных данных используется программный пакет MATLAB.

Научная новизна заключается в разработке полностью диэлектрических фотонных топологических изоляторов и экспериментальной демонстрации ряда новых топологических эффектов в электромагнитных периодических структурах. В частности:

1. Экспериментально продемонстрированы топологические краевые состояния в открытой неэрмитовой периодической структуре на основе элементарной ячейки типа пчелиных сот, а также показана зависимость направления их распространения в зависимости от поляризации возбуждающего излучения (эффект spin-locking).

2. Впервые экспериментально реализован полностью диэлектрический трехмерный фотонный топологический изолятор.

3. Экспериментально продемонстрированы топологические поверхностные состояния в трехмерном фотонном топологическом изоляторе, а также показана зависимость направления их распространения в зависимости от поляризации возбуждающего излучения (эффект spin-locking).

4. Разработан экспериментально двумерный фотонный топологический изолятор высокого порядка на основе возмущенной решетки кагоме.

5. Экспериментально продемонстрированы топологические состояния высокого порядка (угловые состояния) в возмущенной решетке кагоме.

6. Открыт и экспериментально продемонстрирован новый тип топологических состояний высокого порядка, индуцированных взаимодействиями «следующих за ближайшими» соседей.

Практическая значимость заключается в экспериментальной демонстрации новых способов управления электромагнитными полями в диэлектрических структурах с топологическим порядком. Показано селективное возбуждение краевых и поверхностных состояний в двумерных и трехмерных фотонных топологических системах, соответственно. Эти эффекты могут быть использованы в оптических устройствах для переключения каналов передачи сигналов. Также экспериментально обнаруженные топологические состояния высокого порядка, благодаря локализации на субволновых элементах, позволяют разработать на их основе нанорезонаторы с высокой добротностью для создания эффективных топологических лазеров.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием современных методов численного и экспериментального исследования, а также подтверждается хорошим согласованием результатов аналитических расчетов и численного моделирования с данными экспериментальных измерений.

Апробация работы. Основные результаты научно-квалификационной работы докладывались на следующих международных конференциях:

1. Ежегодная международная конференция «Дни Дифракции» 2018, 4-8 июня 2018, Санкт-Петербург, Россия (Days on Diffractions 2018);

2. 2018 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation and USNC-URSI Radio Science Meeting (IEEE APS/URSI 2018), 8-13 июля 2018, Бостон, Массачусетс, США;

3. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2018, 17 - 21 сентября 2018, Сочи, Россия;

4. The Thirteenth International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena - Metamaterials'2019, 16-21 сентября 2019, Рим, Италия.

5. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2020, 14-18 сентября 2020.

Помимо этого, результаты были представлены на следующих международных научных школах:

1. The third School on Advanced Light-Emitting and Optical Materials (SLALOM) 29-30 июня 2020

2. Summer School on Nanophotonics and Metamaterials (METANANO School) 610 июля 2020.

Также результаты, приведенные в диссертационной работе, многократно докладывались автором на научных семинарах Университета ИТМО.

Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ) 19-02-00939 А «Разработка и исследование новых электромагнитных систем с топологическим порядком на основе полностью диэлектрических метаматериалов» и грантом Российского Научного Фонда (РНФ) 16-19-10538 «Метаматериалы и структуры с топологическим порядком».

Личный вклад автора. Научно-квалификационная работа является результатом трехлетней работы автора в области топологической фотоники. Автором лично были проведены подготовительные работы в создании экспериментальных установок, изготовлены все образцы топологических структур, исследованы их электромагнитные характеристики в микроволновом частотном диапазоне, а также выполнены обработка и анализ результатов экспериментальной работы. Также, автором было реализовано численное моделирование исследуемых топологических структур и проведено сравнение результатов моделирования и эксперимента. Помимо этого, автор принимал участие в постановке целей и задач исследования и непосредственном написании статей.

Публикации. Основные результаты по научно-квалификационной работе изложены в 5 печатных работах, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования Scopus и Web of Science.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и 1-го приложения. Полный объём диссертационной работы составляет 169 страницы, включая 33 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 135 наименование.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Жирихин Дмитрий Васильевич

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Численно и экспериментально исследована открытая неэрмитовая двумерная фотонная топологическая структура на основе решетки типа пчелиных сот. Продемонстрировано в микроволновом частотном диапазоне возникновение топологических краевых состояний на границе раздела между топологически неэквивалентными решетками типа пчелиных сот: сжатой (тривиальной) и расширенной (нетривиальной). Показан эффект однонаправленного распространения краевых топологических волн при возбуждении источником круговой поляризации. При этом, для левой и правой циркулярных поляризаций движение происходит в противоположные стороны от источника излучения (эффект spin-locking). На основании аналитической модели, учитывающей излучение в свободное пространство, представлен метод извлечения

топологического инварианта (спинового числа Черна) для тривиальной и нетривиальной структур. Продемонстрирована возможность исследования топологических свойств при измерении спектров отражения/пропускания от сжатой и расширенной решеток.

2. Впервые экспериментально создан полностью диэлектрический трехмерный фотонный топологический изолятор на основе бианизотропных элементов. Продемонстрировано численно и экспериментально в микроволновом частотном диапазоне возникновение топологических поверхностных состояний на границе раздела между областями с различными знаками параметра бианизотропии. Показано, что возбуждение поверхностных состояний волной круговой поляризации ведет к их однонаправленному распространению. При этом, для левой и правой циркулярных поляризаций движение происходит в противоположные стороны от источника излучения (эффект spin-locking). Также продемонстрировано возникновение поверхностных волн в трехмерном фотонном топологическом изоляторе на границе с воздухом.

3. Разработан двумерный фотонный топологический изолятор высокого порядка на основе решетки кагоме. Продемонстрировано численно и экспериментально возникновение топологических угловых состояний высокого порядка на границе раздела между топологически неэквивалентными областями: сжатой (тривиальной) и расширенной (нетривиальной).

4. На основании результатов численного моделирования и экспериментальных измерений продемонстрировано, что в фотонной топологической структуре на основе решетки кагоме возникают топологические состояния высокого порядка нового типа. Модель сильной связи показывает, что угловые состояний «второго типа» появляются благодаря учету взаимодействий «следующих за ближайшими» соседей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жирихин Дмитрий Васильевич, 2020 год

Список литературы

1. Kane C.L. Topological Band Theory and the H2 Invariant , 2013. - 3-34p. .

2. Hasan M.Z. Colloquium : Topological insulators / Hasan M.Z., Kane C.L. // Reviews of Modern Physics. - 2010. - Vol. 82, no. 4. - Pp. 3045-3067.

3. Qi X.-L. General theorem relating the bulk topological number to edge states in two-dimensional insulators / Qi X.-L., Wu Y.-S., Zhang S.-C. // Physical Review B. - 2006.

- Vol. 74, no. 4. - Pp. 045125.

4. Berry M. V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes / Berry M.V. //

Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. -1984. - Vol. 392, no. 1802. - Pp. 45-57.

5. Bernevig B.A.Topological insulators and topological superconductors / B. A. Bernevig, T. L. Hughes - Princeton university press, 2013.

6. Shen S.-Q.Topological insulators / S.-Q. Shen - Springer, 2012.

7. Klitzing K. v. New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance / Klitzing K. v., Dorda G., Pepper M. // Physical Review Letters. - 1980. - Vol. 45, no. 6. - Pp. 494-497.

8. Thouless D.J. Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential / Thouless D.J., Kohmoto M., Nightingale M.P., Nijs M. den // Physical Review Letters.

- 1982. - Vol. 49, no. 6. - Pp. 405-408.

9. Kohmoto M. Topological invariant and the quantization of the Hall conductance / Kohmoto M. // Annals of Physics. - 1985. - Vol. 160, no. 2. - Pp. 343-354.

10. Nakahara M.Geometry, topology and physics / M. Nakahara - CRC Press, 2003.

11. Buttiker M. Absence of backscattering in the quantum Hall effect in multiprobe conductors / Buttiker M. // Physical Review B. - 1988. - Vol. 38, no. 14. - Pp. 93759389.

12. Halperin B.I. Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential / Halperin B.I. //

Physical Review B. - 1982. - Vol. 25, no. 4. - Pp. 2185-2190.

13. MacDonaldA.H. Quantized Hall effect and edge currents / MacDonald A.H., Streda P. // Physical Review B. - 1984. - Vol. 29, no. 4. - Pp. 1616-1619.

14. Hatsugai Y. Chern number and edge states in the integer quantum Hall effect / Hatsugai Y. // Physical Review Letters. - 1993. - Vol. 71, no. 22. - Pp. 3697-3700.

15. Haldane F.D.M. Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the "Parity Anomaly" / Haldane F.D.M. // Physical Review Letters. - 1988. - Vol. 61, no. 18. - Pp. 2015-2018.

16. Kane C.L. Quantum Spin Hall Effect in Graphene / Kane C.L., Mele E.J. // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 95, no. 22. - Pp. 226801.

17. Kane C.L. Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect / Kane C.L., Mele E.J. // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 95, no. 14. - Pp. 146802.

18. BernevigB.A. Quantum Spin Hall Effect / Bernevig B.A., Zhang S.-C. // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 96, no. 10. - Pp. 106802.

19. Rycerz A. Valley filter and valley valve in graphene / Rycerz A., Tworzydlo J., Beenakker C.W.J. // Nature Physics. - 2007. - Vol. 3, no. 3. - Pp. 172-175.

20. Yao W. Edge States in Graphene: From Gapped Flat-Band to Gapless Chiral Modes / Yao W., Yang S.A., Niu Q. // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 102, no. 9. - Pp. 096801.

21. Castro E. V. Localized States at Zigzag Edges of Bilayer Graphene / Castro E. V., Peres N.M.R., Lopes dos Santos J.M.B., Neto A.H.C., Guinea F. // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, no. 2. - Pp. 026802.

22. Li J. Topological origin of subgap conductance in insulating bilayer graphene / Li J., Martin I., Buttiker M., Morpurgo A.F. // Nature Physics. - 2011. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 38-42.

23. Hasan M.Z. Three-Dimensional Topological Insulators / Hasan M.Z., Moore J.E. // Annual Review of Condensed Matter Physics. - 2011. - Vol. 2, no. 1. - Pp. 55-78.

24. Schnyder A.P. Classification of topological insulators and superconductors in three spatial dimensions / Schnyder A.P., Ryu S., Furusaki A., Ludwig A.W.W. // Physical Review B. - 2008. - Vol. 78, no. 19. - Pp. 195125.

25. Guo H.-M. A brief review on one-dimensional topological insulators and superconductors / Guo H.-M. // Science China Physics, Mechanics & Astronomy. -2016. - Vol. 59, no. 3. - Pp. 637401.

26. Zhang S.-C. A Four-Dimensional Generalization of the Quantum Hall Effect / Zhang S.-C. // Science. - 2001. - Vol. 294, no. 5543. - Pp. 823-828.

27. Lindner N.H. Floquet topological insulator in semiconductor quantum wells / Lindner N.H., Refael G., Galitski V. // Nature Physics. - 2011. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 490-495.

28. Kim M. Recent advances in 2D, 3D and higher-order topological photonics / Kim M., Jacob Z., Rho J. // Light: Science & Applications. - 2020. - Vol. 9, no. 1. - Pp. 130.

29. Bernevig B.A. Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells / Bernevig B.A., Hughes T.L., Zhang S.-C. // Science. - 2006. - Vol. 314, no. 5806. - Pp. 1757-1761.

30. KonigM. Quantum Spin Hall Insulator State in HgTe Quantum Wells / Konig M., Wiedmann S., Brune C., Roth A., Buhmann H., Molenkamp L.W., Qi X.-L., Zhang S.-C. // Science. - 2007. - Vol. 318, no. 5851. - Pp. 766-770.

31. D 'yakonov M.I. Surface states in a gapless semiconductor / D'yakonov M.I., Khaetskii A.V. // JETP Lett. - 1981. - Vol. 33, no. 2. - Pp. 110-112.

32. Volkov B.A. Two-Dimensional Massless Electrons in an Inverted Contact / Volkov B.A., Pankratov O.A. // JETP Lett. - 1985. - Vol. 42, no. 4. - Pp. 178-181.

33. Lin-Liu Y.R. Interface states and subbands in HgTe-CdTe heterostructures / Lin-Liu Y.R., Sham L.J. // Physical Review B. - 1985. - Vol. 32, no. 8. - Pp. 5561-5563.

34. Gerchikov L.G. Interface States in Subband Structure of Semiconductor Quantum Wells / Gerchikov L.G., Subashiev A. V. //physica status solidi (b). - 1990. - Vol. 160, no. 2. - Pp. 443-457.

35. Liu C. Quantum Spin Hall Effect in Inverted Type-II Semiconductors / Liu C., Hughes T.L., Qi X.-L., Wang K., Zhang S.-C. // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, no. 23. - Pp. 236601.

36. Knez I. Evidence for Helical Edge Modes in Inverted InAs/GaSb Quantum Wells / Knez I., Du R.-R., Sullivan G. // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 107, no. 13. -Pp. 136603.

37. Ando Y. Topological Insulator Materials / Ando Y. // Journal of the Physical Society of Japan. - 2013. - Vol. 82, no. 10. - Pp. 102001.

38. Ren Y. Topological phases in two-dimensional materials: a review / Ren Y., Qiao Z., Niu Q. // Reports on Progress in Physics. - 2016. - Vol. 79, no. 6. - Pp. 066501.

39. Zhang H. Topological insulators from the perspective of first-principles calculations / Zhang H., Zhang S.-C. // physica status solidi (RRL) - Rapid Research Letters. - 2013. - Vol. 7, no. 1-2. - Pp. 72-81.

40. Lu L. Topological photonics / Lu L., Joannopoulos J.D., Soljacic M. // Nature Photonics. - 2014. - Vol. 8, no. 11. - Pp. 821-829.

41. Ozawa T. Topological photonics / Ozawa T., Price H.M., Amo A., Goldman N., Hafezi M., Lu L., Rechtsman M.C., Schuster D., Simon J., Zilberberg O., Carusotto I. // Reviews of Modern Physics. - 2019. - Vol. 91, no. 1. - Pp. 015006.

42. Joannopoulos J.D. Photonic crystals / Joannopoulos J.D., Villeneuve P.R., Fan S. //

Solid State Communications. - 1997. - Vol. 102, no. 2-3. - Pp. 165-173.

43. Cui T.J.Metamaterials / T. J. Cui, D. R. Smith, R. Liu - Springer, 2010.

44. Ho K.M. Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures / Ho K.M., Chan C.T., Soukoulis C.M. // Physical Review Letters. - 1990. - Vol. 65, no. 25. - Pp. 3152-3155.

45. Birks T.A. Endlessly single-mode photonic crystal fiber / Birks T.A., Knight J.C., Russell P.S.J. // Optics Letters. - 1997. - Vol. 22, no. 13. - Pp. 961.

46. Veselago V.G. THE ELECTRODYNAMICS OF SUBSTANCES WITH SIMULTANEOUSLY NEGATIVE VALUES OF $\epsilon$ AND ^ / Veselago V.G. //

Soviet Physics Uspekhi. - 1968. - Vol. 10, no. 4. - Pp. 509-514.

47. Smith D.R. Metamaterials and Negative Refractive Index / Smith D.R. // Science. -2004. - Vol. 305, no. 5685. - Pp. 788-792.

48. Belov P.A. Experimental study of the subwavelength imaging by a wire medium slab / Belov P.A., Zhao Y., Sudhakaran S., Alomainy A., Hao Y. // Applied Physics Letters. - 2006. - Vol. 89, no. 26. - Pp. 262109.

49. Filonov D.S. Double-shell metamaterial coatings for plasmonic cloaking / Filonov D.S., Slobozhanyuk A.P., Belov P.A., Kivshar Y.S. //physica status solidi (RRL) -Rapid Research Letters. - 2012. - Vol. 6, no. 1. - Pp. 46-48.

50. Khanikaev A.B. Photonic topological insulators / Khanikaev A.B., Hossein Mousavi S., Tse W.-K., Kargarian M., MacDonald A.H., Shvets G. // Nature Materials. - 2013. - Vol. 12, no. 3. - Pp. 233-239.

51. Haldane F.D.M. Possible Realization of Directional Optical Waveguides in Photonic Crystals with Broken Time-Reversal Symmetry / Haldane F.D.M., Raghu S. // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, no. 1. - Pp. 013904.

52. Raghu S. Analogs of quantum-Hall-effect edge states in photonic crystals / Raghu S., Haldane F.D.M. // Physical Review A. - 2008. - Vol. 78, no. 3. - Pp. 033834.

53. Wang Z. Reflection-Free One-Way Edge Modes in a Gyromagnetic Photonic Crystal / Wang Z., Chong Y.D., Joannopoulos J.D., Soljacic M. // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, no. 1. - Pp. 013905.

54. Wang Z. Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states / Wang Z., Chong Y., Joannopoulos J.D., Soljacic M. // Nature. -2009. - Vol. 461, no. 7265. - Pp. 772-775.

55. Skirlo S.A. Multimode One-Way Waveguides of Large Chern Numbers / Skirlo S.A., Lu L., Soljacic M. // Physical Review Letters. - 2014. - Vol. 113, no. 11. - Pp. 113904.

56. Skirlo S.A. Experimental Observation of Large Chern Numbers in Photonic Crystals / Skirlo S.A., Lu L., Igarashi Y., Yan Q., Joannopoulos J., Soljacic M. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 115, no. 25. - Pp. 253901.

57. Hafezi M. Robust optical delay lines with topological protection / Hafezi M., Demler E.A., Lukin M.D., Taylor J.M. // Nature Physics. - 2011. - Vol. 7, no. 11. - Pp. 907-912.

58. Hafezi M. Imaging topological edge states in silicon photonics / Hafezi M., Mittal S., Fan J., Migdall A., Taylor J.M. // Nature Photonics. - 2013. - Vol. 7, no. 12. - Pp. 1001-1005.

59. Chen W.-J. Experimental realization of photonic topological insulator in a uniaxial metacrystal waveguide / Chen W.-J., Jiang S.-J., Chen X.-D., Zhu B., Zhou L., Dong J.W., Chan C.T. // Nature Communications. - 2014. - Vol. 5, no. 1. - Pp. 5782.

60. Ma T. Guiding Electromagnetic Waves around Sharp Corners: Topologically Protected Photonic Transport in Metawaveguides / Ma T., Khanikaev A.B., Mousavi

5.H., Shvets G. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, no. 12. - Pp. 127401.

61. Cheng X. Robust reconfigurable electromagnetic pathways within a photonic topological insulator / Cheng X., Jouvaud C., Ni X., Mousavi S.H., Genack A.Z., Khanikaev A.B. // Nature Materials. - 2016. - Vol. 15, no. 5. - Pp. 542-548.

62. SlobozhanyukA.P. Experimental demonstration of topological effects in bianisotropic metamaterials / Slobozhanyuk A.P., Khanikaev A.B., Filonov D.S., Smirnova D.A., Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. // Scientific Reports. - 2016. - Vol.

6, no. 1. - Pp. 22270.

63. Lai K. Experimental Realization of a Reflections-Free Compact Delay Line Based on a Photonic Topological Insulator / Lai K., Ma T., Bo X., Anlage S., Shvets G. // Scientific Reports. - 2016. - Vol. 6, no. 1. - Pp. 28453.

64. Ma T. All-Si valley-Hall photonic topological insulator / Ma T., Shvets G. // New Journal of Physics. - 2016. - Vol. 18, no. 2. - Pp. 025012.

65. Ni X. Spin- and valley-polarized one-way Klein tunneling in photonic topological insulators / Ni X., Purtseladze D., Smirnova D.A., Slobozhanyuk A., Alu A., Khanikaev A.B. // Science Advances. - 2018. - Vol. 4, no. 5. - Pp. eaap8802.

66. Rechtsman M.C. Photonic Floquet topological insulators / Rechtsman M.C., Zeuner J.M., Plotnik Y., Lumer Y., Podolsky D., Dreisow F., Nolte S., Segev M., Szameit A. // Nature. - 2013. - Vol. 496, no. 7444. - Pp. 196-200.

67. Maczewsky L.J. Observation of photonic anomalous Floquet topological insulators / Maczewsky L.J., Zeuner J.M., Nolte S., Szameit A. // Nature Communications. - 2017. - Vol. 8, no. 1. - Pp. 13756.

68. Wu L.-H. Scheme for Achieving a Topological Photonic Crystal by Using Dielectric Material / Wu L.-H., Hu X. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, no. 22. - Pp. 223901.

69. Bir G.L. Symmetry and strain-induced effects in semiconductors / G. L. Bir, G. E. Pikus - Wiley New York, 1974.

70. Halperin B.I. Possible States for a Three-Dimensional Electron Gas in a Strong Magnetic Field / Halperin B.I. // Japanese Journal of Applied Physics. - 1987. - Vol. 26, no. S3-3. - Pp. 1913.

71. Kohmoto M. Diophantine equation for the three-dimensional quantum Hall effect / Kohmoto M., Halperin B.I., Wu Y.-S. // Physical Review B. - 1992. - Vol. 45, no. 23. -Pp. 13488-13493.

72. Tang F. Three-dimensional quantum Hall effect and metal-insulator transition in ZrTe5 / Tang F., Ren Y., Wang P., Zhong R., Schneeloch J., Yang S.A., Yang K., Lee P.A., Gu G., Qiao Z., Zhang L. // Nature. - 2019. - Vol. 569, no. 7757. - Pp. 537-541.

73. Störmer H.L. Quantization of the Hall effect in an anisotropic three-dimensional electronic system / Störmer H.L., Eisenstein J.P., Gossard A.C., Wiegmann W., Baldwin K. // Physical Review Letters. - 1986. - Vol. 56, no. 1. - Pp. 85-88.

74. Moore J.E. Topological invariants of time-reversal-invariant band structures / Moore J.E., Balents L. // Physical Review B. - 2007. - Vol. 75, no. 12. - Pp. 121306.

75. Roy R. Topological phases and the quantum spin Hall effect in three dimensions / Roy R. // Physical Review B. - 2009. - Vol. 79, no. 19. - Pp. 195322.

76. Fu L. Topological insulators with inversion symmetry / Fu L., Kane C.L. // Physical Review B. - 2007. - Vol. 76, no. 4. - Pp. 045302.

77. Hsieh D. A topological Dirac insulator in a quantum spin Hall phase / Hsieh D., Qian D., Wray L., Xia Y., Hor Y.S., Cava R.J., Hasan M.Z. // Nature. - 2008. - Vol. 452, no. 7190. - Pp. 970-974.

78. Hsieh D. Observation of Unconventional Quantum Spin Textures in Topological Insulators / Hsieh D., Xia Y., Wray L., Qian D., Pal A., Dil J.H., Osterwalder J., Meier F., Bihlmayer G., Kane C.L., Hor Y.S., Cava R.J., Hasan M.Z. // Science. - 2009. -Vol. 323, no. 5916. - Pp. 919-922.

79. Roushan P. Topological surface states protected from backscattering by chiral spin texture / Roushan P., Seo J., Parker C. V., Hor Y.S., Hsieh D., Qian D., Richardella A., Hasan M.Z., Cava R.J., Yazdani A. // Nature. - 2009. - Vol. 460, no. 7259. - Pp. 11061109.

80. Zhang H. Topological insulators in Bi2Se3, Bi2Te3 and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface / Zhang H., Liu C.-X., Qi X.-L., Dai X., Fang Z., Zhang S.-C. // Nature Physics. - 2009. - Vol. 5, no. 6. - Pp. 438-442.

81. Fu L. Topological Crystalline Insulators / Fu L. // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106, no. 10. - Pp. 106802.

82. Alexandradinata A. Spin-Orbit-Free Topological Insulators without Time-Reversal Symmetry / Alexandradinata A., Fang C., Gilbert M.J., Bernevig B.A. // Physical Review Letters. - 2014. - Vol. 113, no. 11. - Pp. 116403.

83. Hsieh T.H. Topological crystalline insulators in the SnTe material class / Hsieh T.H., Lin H., Liu J., Duan W., Bansil A., Fu L. // Nature Communications. - 2012. -Vol. 3, no. 1. - Pp. 982.

84. Tanaka Y. Experimental realization of a topological crystalline insulator in SnTe / Tanaka Y., Ren Z., Sato T., Nakayama K., Souma S., Takahashi T., Segawa K., Ando Y. // Nature Physics. - 2012. - Vol. 8, no. 11. - Pp. 800-803.

85. DziawaP. Topological crystalline insulator states in Pb1-xSnxSe / Dziawa P., Kowalski B.J., Dybko K., Buczko R., Szczerbakow A., Szot M., Lusakowska E., Balasubramanian T., Wojek B.M., Berntsen M.H., Tjernberg O., Story T. // Nature Materials. - 2012. - Vol. 11, no. 12. - Pp. 1023-1027.

86. Xu S.-Y. Observation of a topological crystalline insulator phase and topological phase transition in Pb1-xSnxTe / Xu S.-Y., Liu C., Alidoust N., Neupane M., Qian D., Belopolski I., Denlinger J.D., Wang Y.J., Lin H., Wray L.A., Landolt G., Slomski B., Dil J.H., Marcinkova A., Morosan E., Gibson Q., Sankar R., Chou F.C., Cava R.J., Bansil A., Hasan M.Z. // Nature Communications. - 2012. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 1192.

87. Yan B. Topological Materials: Weyl Semimetals / Yan B., Felser C. // Annual Review of Condensed Matter Physics. - 2017. - Vol. 8, no. 1. - Pp. 337-354.

88. Xu S.-Y. Discovery of a Weyl fermion semimetal and topological Fermi arcs / Xu S.Y., Belopolski I., Alidoust N., Neupane M., Bian G., Zhang C., Sankar R., Chang G., Yuan Z., Lee C.-C., Huang S.-M., Zheng H., Ma J., Sanchez D.S., Wang B., Bansil A., Chou F., Shibayev P.P., Lin H., Jia S., Hasan M.Z. // Science. - 2015. - Vol. 349, no. 6248. - Pp. 613-617.

89. Lu L. Weyl points and line nodes in gyroid photonic crystals / Lu L., Fu L., Joannopoulos J.D., Soljacic M. // Nature Photonics. - 2013. - Vol. 7, no. 4. - Pp. 294299.

90. Lu L. Experimental observation of Weyl points / Lu L., Wang Z., Ye D., Ran L., Fu L., Joannopoulos J.D., Solja i M. // Science. - 2015. - Vol. 349, no. 6248. - Pp. 622624.

91. Dubcek T. Weyl Points in Three-Dimensional Optical Lattices: Synthetic Magnetic Monopoles in Momentum Space / Dubcek T., Kennedy C.J., Lu L., Ketterle W., Soljacic M., Buljan H. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, no. 22. - Pp. 225301.

92. Bravo-Abad J. Weyl points in photonic-crystal superlattices / Bravo-Abad J., Lu L., Fu L., Buljan H., Soljacic M. // 2D Materials. - 2015. - Vol. 2, no. 3. - Pp. 034013.

93. Gao W. Photonic Weyl degeneracies in magnetized plasma / Gao W., Yang B., Lawrence M., Fang F., Béri B., Zhang S. // Nature Communications. - 2016. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 12435.

94. Chen W.-J. Photonic crystals possessing multiple Weyl points and the experimental observation of robust surface states / Chen W.-J., Xiao M., Chan C.T. // Nature Communications. - 2016. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 13038.

95. Noh J. Experimental observation of optical Weyl points and Fermi arc-like surface states / Noh J., Huang S., Leykam D., Chong Y.D., Chen K.P., Rechtsman M.C. // Nature Physics. - 2017. - Vol. 13, no. 6. - Pp. 611-617.

96. Yang B. Direct observation of topological surface-state arcs in photonic metamaterials / Yang B., Guo Q., Tremain B., Barr L.E., Gao W., Liu H., Béri B., Xiang Y., Fan D., Hibbins A.P., Zhang S. // Nature Communications. - 2017. - Vol. 8,

no. 1. - Pp. 97.

97. Yang B. Ideal Weyl points and helicoid surface states in artificial photonic crystal structures / Yang B., Guo Q., Tremain B., Liu R., Barr L.E., Yan Q., Gao W., Liu H., Xiang Y., Chen J., Fang C., Hibbins A., Lu L., Zhang S. // Science. - 2018. - Vol. 359, no. 6379. - Pp. 1013-1016.

98. Lu L. Symmetry-protected topological photonic crystal in three dimensions / Lu L., Fang C., Fu L., Johnson S.G., Joannopoulos J.D., Soljacic M. // Nature Physics. - 2016. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 337-340.

99. Fu L. Topological Insulators in Three Dimensions / Fu L., Kane C.L., Mele E.J. // Physical Review Letters. - 2007. - Vol. 98, no. 10. - Pp. 106803.

100. Slobozhanyuk A. Three-dimensional all-dielectric photonic topological insulator / Slobozhanyuk A., Mousavi S.H., Ni X., Smirnova D., Kivshar Y.S., Khanikaev A.B. // Nature Photonics. - 2017. - Vol. 11, no. 2. - Pp. 130-136.

101. Jin Au Kong Theorems of bianisotropic media / Jin Au Kong // Proceedings of the IEEE. - 1972. - Vol. 60, no. 9. - Pp. 1036-1046.

102. Serdiukov A.Electromagnetics of bi-anisotropic materials-Theory and Application /

A. Serdiukov, I. Semchenko, S. Tertyakov, A. Sihvola - Gordon and Breach science publishers, 2001.

103. Benalcazar W.A. Quantized electric multipole insulators / Benalcazar W.A., Bernevig B.A., Hughes T.L. // Science. - 2017. - Vol. 357, no. 6346. - Pp. 61-66.

104. Benalcazar W.A. Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators / Benalcazar W.A., Bernevig

B.A., Hughes T.L. // Physical Review B. - 2017. - Vol. 96, no. 24. - Pp. 245115.

105. King-Smith R.D. Theory of polarization of crystalline solids / King-Smith R.D., Vanderbilt D. // Physical Review B. - 1993. - Vol. 47, no. 3. - Pp. 1651-1654.

106. Schindler F. Higher-order topological insulators / Schindler F., Cook A.M., Vergniory M.G., Wang Z., Parkin S.S.P., Bernevig B.A., Neupert T. // Science Advances. - 2018. - Vol. 4, no. 6. - Pp. eaat0346.

107. Khalaf E. Higher-order topological insulators and superconductors protected by inversion symmetry / Khalaf E. // Physical Review B. - 2018. - Vol. 97, no. 20. - Pp. 205136.

108. Schindler F. Higher-order topology in bismuth / Schindler F., Wang Z., Vergniory M.G., Cook A.M., Murani A., Sengupta S., Kasumov A.Y., Deblock R., Jeon S., Drozdov I., Bouchiat H., Gueron S., Yazdani A., Bernevig B.A., Neupert T. // Nature Physics. - 2018. - Vol. 14, no. 9. - Pp. 918-924.

109. Song Z. (d-2)-Dimensional Edge States of Rotation Symmetry Protected Topological States / Song Z., Fang Z., Fang C. // Physical Review Letters. - 2017. -Vol. 119, no. 24. - Pp. 246402.

110. Langbehn J. Reflection-Symmetric Second-Order Topological Insulators and Superconductors / Langbehn J., Peng Y., Trifunovic L., Oppen F. von, Brouwer P.W. // Physical Review Letters. - 2017. - Vol. 119, no. 24. - Pp. 246401.

111. Ezawa M. Higher-Order Topological Insulators and Semimetals on the Breathing Kagome and Pyrochlore Lattices / Ezawa M. // Physical Review Letters. - 2018. - Vol. 120, no. 2. - Pp. 026801.

112. Ezawa M. Minimal models for Wannier-type higher-order topological insulators and phosphorene / Ezawa M. // Physical Review B. - 2018. - Vol. 98, no. 4. - Pp. 045125.

113. Benalcazar W.A. Quantization of fractional corner charge in Cn-symmetric higherorder topological crystalline insulators / Benalcazar W.A., Li T., Hughes T.L. // Physical Review B. - 2019. - Vol. 99, no. 24. - Pp. 245151.

114. Zhang W. Experimental Observation of Higher-Order Topological Anderson Insulators / Zhang W., Zou D., Pei Q., He W., Bao J., Sun H., Zhang X. - 2020.

115. Xu Y. Higher-Order Topology of the Axion Insulator EuIn2As2 / Xu Y., Song Z., Wang Z., Weng H., Dai X. // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 122, no. 25. - Pp. 256402.

116. Wang Z. Higher-Order Topology, Monopole Nodal Lines, and the Origin of Large Fermi Arcs in Transition Metal Dichalcogenides XTe2 (X=Mo,W) / Wang Z., Wieder B.J., Li J., Yan B., Bernevig B.A. // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 123, no. 18. - Pp. 186401.

117. Lee E. Two-dimensional higher-order topology in monolayer graphdiyne / Lee E., Kim R., Ahn J., Yang B.-J. // npj Quantum Materials. - 2020. - Vol. 5, no. 1. - Pp. 1.

118. Fang Y. Higher-order topological insulators in antiperovskites / Fang Y., Cano J. // Physical Review B. - 2020. - Vol. 101, no. 24. - Pp. 245110.

119. Park M.J. Higher-Order Topological Insulator in Twisted Bilayer Graphene / Park M.J., Kim Y., Cho G.Y., Lee S. // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 123, no. 21. -Pp. 216803.

120. Serra-Garcia M. Observation of a phononic quadrupole topological insulator / Serra-Garcia M., Peri V., Süsstrunk R., Bilal O.R., Larsen T., Villanueva L.G., Huber S.D. // Nature. - 2018. - Vol. 555, no. 7696. - Pp. 342-345.

121. Peterson C.W. A quantized microwave quadrupole insulator with topologically protected corner states / Peterson C.W., Benalcazar W.A., Hughes T.L., Bahl G. // Nature. - 2018. - Vol. 555, no. 7696. - Pp. 346-350.

122. Imhof S. Topolectrical-circuit realization of topological corner modes / Imhof S., Berger C., Bayer F., Brehm J., Molenkamp L.W., Kiessling T., Schindler F., Lee C.H., Greiter M., Neupert T., Thomale R. // Nature Physics. - 2018. - Vol. 14, no. 9. - Pp. 925-929.

123. Mittal S. Photonic quadrupole topological phases / Mittal S., Orre V.V., Zhu G., Gorlach M.A., Poddubny A., Hafezi M. // Nature Photonics. - 2019. - Vol. 13, no. 10. - Pp. 692-696.

124. Ni X. Observation of higher-order topological acoustic states protected by generalized chiral symmetry / Ni X., Weiner M., Alu A., Khanikaev A.B. // Nature Materials. - 2019. - Vol. 18, no. 2. - Pp. 113-120.

125. Xue H. Acoustic higher-order topological insulator on a kagome lattice / Xue H., Yang Y., Gao F., Chong Y., Zhang B. // Nature Materials. - 2019. - Vol. 18, no. 2. -Pp. 108-112.

126. Xie B.-Y. Second-order photonic topological insulator with corner states / Xie B.Y., Wang H.-F., Wang H.-X., Zhu X.-Y., Jiang J.-H., Lu M.-H., Chen Y.-F. // Physical Review B. - 2018. - Vol. 98, no. 20. - Pp. 205147.

127. Ni X. Demonstration of a quantized acoustic octupole topological insulator / Ni X.,

Li M., Weiner M., Alu A., Khanikaev A.B. // Nature Communications. - 2020. - Vol. 11, no. 1. - Pp. 2108.

128. Weiner M. Demonstration of a third-order hierarchy of topological states in a three-dimensional acoustic metamaterial / Weiner M., Ni X., Li M., Alu A., Khanikaev A.B. // Science Advances. - 2020. - Vol. 6, no. 13. - Pp. eaay4166.

129. Chen X.-D. Direct Observation of Corner States in Second-Order Topological Photonic Crystal Slabs / Chen X.-D., Deng W.-M., Shi F.-L., Zhao F.-L., Chen M., Dong J.-W. // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 122, no. 23. - Pp. 233902.

130. Xie B.-Y. Visualization of Higher-Order Topological Insulating Phases in Two-Dimensional Dielectric Photonic Crystals / Xie B.-Y., Su G.-X., Wang H.-F., Su H., Shen X.-P., Zhan P., Lu M.-H., Wang Z.-L., Chen Y.-F. // Physical Review Letters. -2019. - Vol. 122, no. 23. - Pp. 233903.

131. Hassan A. El Corner states of light in photonic waveguides / Hassan A. El, Kunst F.K., Moritz A., Andler G., Bergholtz E.J., Bourennane M. // Nature Photonics. - 2019. - Vol. 13, no. 10. - Pp. 697-700.

132. Su W.P. Solitons in Polyacetylene / Su W.P., Schrieffer J.R., Heeger A.J. // Physical Review Letters. - 1979. - Vol. 42, no. 25. - Pp. 1698-1701.

133. Li M. Higher-order topological states in photonic kagome crystals with long-range interactions / Li M., Zhirihin D., Gorlach M., Ni X., Filonov D., Slobozhanyuk A., Alu A., Khanikaev A.B. // Nature Photonics. - 2020. - Vol. 14, no. 2.

134. Gorlach M.A. Far-field probing of leaky topological states in all-dielectric metasurfaces/ Gorlach M.A., Ni X., Smirnova D.A., Korobkin D., Zhirihin D., Slobozhanyuk A.P., Belov P.A., Alu A., Khanikaev A.B. // Nature communications. -2018. - Vol. 9. - no. 1. - Pp. 1-8.

135. Zhirihin D. Experimental realization of three-dimensional all-dielectric photonic topological insulators / Zhirihin D., Filonov D., Gorlach M., Slobozhanyuk A., Kivshar Y., Khanikaev A. // 2018 USNC-URSIRadio Science Meeting (Joint with AP-S Symposium). - IEEE, 2018. - Pp. 3-4