Устойчивость резонансных состояний в диэлектрических структурах при изменении параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Маслова Екатерина Эдуардовна
Маслова Екатерина Эдуардовна
кандидат наук
2023
- Специальность ВАК РФ00.00.00
- Количество страниц 247
Оглавление диссертации кандидат наук Маслова Екатерина Эдуардовна
Реферат
Synopsis
Введение
Глава 1. Оптические свойства диэлектрических метаструктур
1.1 Распространение электромагнитных волн
1.2 Диэлектрические метаматериалы
1.3 Фотонный фазовый переход. Фазовая диаграмма
1.4 Связанные состояния в континууме
1.5 Методы исследования
1.5.1 Метод плоских волн
1.5.2 Метод связанных мультиполей (или строгая теория многоволнового рассеяния)
1.5.3 Метод конечных элементов
Глава 2. Переход фотонный кристалл-метаматериал в
периодических структурах
2.1 Квадратная решетка
2.1.1 Фотонный фазовый переход
2.1.2 Усиление электромагнитного поля в режиме метаматериала
2.2 Треугольная решётка
2.2.1 Промежуточные состояния в треугольной решетке
2.3 Усточивость режима метаматериала
2.3.1 Влияние структурного беспорядка на режим метаматериала
2.3.2 Подходы гомогенизации для управления электомагнитным полем
2.4 Заключение
Глава 3. Транспортные свойства квазикристаллов
3.1 Структура на основе мозаики Пенроуза
Стр.
3.1.1 Построение квазикристаллической структуры
3.1.2 Распространение электромагнитного поля в квазикристаллической структуре
3.1.3 Фотонный фазовый переход в квазикристаллической структуре
3.2 Квазикристаллическая структура с октагональной симметрией
3.3 Заключение
Глава 4. Влияние структурного беспорядка на связанные
состояния в континууме
4.1 Зависимость добротности ССК от структурного беспорядка
4.2 Локализация электромагнитного поля
4.3 Заключение
Заключение
Список иллюстративного материала
Список литературы
Благодарности
Приложение А. Режим метаматериала в структуре с
треугольной решеткой
Приложение Б. Связанные состояния в континууме
Приложение В. Основные публикации автора по теме
диссертации
Реферат
Общая характеристика диссертации
Перспектива замены электронов фотонами в вычислительных устройствах ближайшего будущего приводит к интенсивному развитию фотоники. Необходимость такой замены обусловлена тем, что полувековой экспоненциальный рост производительности электронных приборов достиг насыщения к 1998 году [1], в том числе в связи с ростом омических потерь по мере увеличения тактовой частоты процессоров, то есть скорости электронов. С другой стороны, фотоны распространяются с максимально возможной скоростью - скоростью света. Для использования фотонов в качестве основного носителя информации в вычислительных устройствах необходимо глубокое понимание оптических свойств фотонных сред, которые получили название «полупроводники для света». В настоящее время активно развивающейся областью в этом направлении является метафотоника [2; 3], а объектами изучения - метаструктуры (метаматериалы, метаповерхности, фотонные кристаллы), которые позволяют управлять электромагнитным полем благодаря своим уникальным свойствам. Среди них можно выделить отрицательное преломление [4—6], невидимость [7; 8] и значительное усиление поля [9]. Усиление поля в метаматериалах - важный аспект как линейной, так и нелинейной оптики [10; 11]. Свойства метаматери-алов обсуловлены резонансами на структурных элементах, которые намного меньше длины волны. Поскольку эффекты в метаматериалах связанны с локальными резонансами, их оптические свойства могут быть описаны при помощи эффективных материальных параметров, которые в зависимости от характеристик структурных элементов могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Особый интерес представляют структуры, в которых хотя бы один из эффективных параметров имеет значение, близкое к нулю [10; 12—15]. Область применения варьируется от нелинейных оптических переключателей и квантовой оптики до полностью оптической обработки и хранения данных, телекоммуникаций и спектроскопии [16; 17]. Одним из практических примеров является использование усиления поля для увеличения сигнала спектроскопии комбинационного рассеяния [18]. Также метаматериалы
полезны для фотовольтаики благодаря возможности локализовать электромагнитное поля в требуемой области пространства [19; 20]. Метаматериалы могут обеспечить широкополосное и практически идеальное поглощение света, а также отрицательный показатель преломления в видимом и ближнем ИК-диапазонах, что позволяет использовать их в качестве компонентов солнечных элементов [19; 21; 22]. Поскольку метаматериалы не соответствуют строго пределу эффективной среды, в работе [23] был определен термин режим мета-материала как состояние между режимом фотонного кристалла и эффективной средой.
Еще одним важным фактором, влияющим на свойства метаматериала, являются дефекты. Наличие случайных флуктуаций размеров и положения структурных элементов, возникающих при изготовлении реальных образцов, является серьезной проблемой на пути к внедрению новых фотонных материалов в нашу жизнь. В конце 2019 года была опубликована работа [24], в которой сообщалось об открытии высокой устойчивости запрещенных зон фотонных структур в режиме метаматериала к такого рода беспорядку. В свете этого открытия важное значение приобретает концепция фотонных фазовых переходов, предложенная в работе [25]. Было показано, что при рассмотрении свойств фотонных структур в пространстве «плотность элементов - их диэлектрическая проницаемость» существует область, в которой диэлектрическая фотонная структура приобретает свойства метаматериала. При этом появление метаматериального режима происходит при достижении параметрами некоторого критического значения. Не смотря на то, что часто дефекты приводят к ухудшению структуры, некоторые исследования показывают, что введение определенных дефектов в метаматериалы приводит к интересным оптическим свойствам, вплоть до достижения полного пропускания и полного отражения [26—28].
Помимо описанных выше свойств, в фотонных структурах могут возникать связанные состояния в континууме. Связанные состояния в континууме (ССК) - это специфические решения волнового уравнения, локализованные в пространстве несмотря на то, что их частоты лежат в континууме свободных фотонов. Первоначально ССК были предложены в квантовой механике фон Нейманом и Вигнером [29]. В последние два десятилетия ССК наблюдались во многих фотонных структурах, таких как фотонные кристаллы, метаповерх-ности, [30—32], цепочки связанных резонаторов [33—36], волноводы [37—41] и
даже одиночные субволновые резонаторы, поддерживающие квази-ССК в виде суперрезонансных мод [42—44]. Расходящийся коэффициент добротности, сильная пространственная локализация и резкое усиление падающего поля делают квази-ССК очень перспективными для многих приложений, включая лазеры [45—53], оптические фильтры [54—56], биологические и химические сенсоры [57—61] и нелинейную фотонику [43; 62—70].
Настоящий ССК с бесконечно большой радиационной добротностью является математической идеализацией. В реальных образцах радиационная добротность становится конечной из-за шероховатости, дифракции на краях и в подложку и других несовершенств, неизбежно возникающих при изготовлении. Таким образом, на практике настоящий ССК превращается в квази-ССК, проявляющийся в спектрах рассеяния как высокодобротный резонанс [71— 74]. Поглощение материала также приводит к уменьшению общей добротности квази-ССК и делает его трудноразличимым в экспериментальных спектрах рассеяния. Выявление доминирующего механизма потерь является ключевым моментом, позволяющим повысить производительность фотонных устройств на основе квази-ССК.
Периодические фотонные системы (метаповерхности, решетки, цепочки и т. д.) поддерживают квази-ССК, при этом структурный беспорядок влияет на оптические свойства, что приводит к неожиданному появлению резонанса Фано, локализации света, когерентному обратному рассеянию и т.д. [75—78]. Эффекты беспорядка наиболее существенны в самоорганизующихся и природных фотонных структурах [79—81]. Несмотря на важную роль структурного беспорядка в периодических фотонных структурах, он слабо изучен применительно к ССК и их переходу в квази-ССК. В частности, была разработана концепция теории связанных волн для изучения добротности защищенных симметрией квази-ССК в диэлектрических решетках со случайно возмущенным коэффициентом заполнения и положением элемента [82]. Показано, что радиационные потери защищенных симметрией ССК уменьшаются квадратично с амплитудой флуктуаций. В работе [83] показано, что беспорядок может приводить к образованию квази-ССК в двухслойных и многослойных системах. В работе [84] в рамках модели Фано-Андерсона применительно к системе параллельно связанных волноводов была частично проанализирована надежность защищенных симметрией квази-ССК. Поэтому актуальность исследования
резонансных фотонных структур, таких как фотонные кристаллы и метама-териалы, не вызывает сомнения.
В данной работе рассматриваются фундаментальные вопросы появления метаматериального режима с электрическим откликом в периодических структурах, а также режима метаматериала с магнитным откликом в структурах, в которых трансляционная симметрия отсутствует. Изучаются ограничения в подходе гомогенизации метаматериальной структуры. Одним из важных вопросов является исследование возможности создания фотонных элементов, оптические свойства которых устойчивы к введению структурного беспорядка. В частности, рассматривается режим около-нулевой эффективной диэлектрической проницаемости, а также высокодобротные резонансные моды, которые обусловлены механизмом возникновения связанных состояний в континууме.
Несмотря на активное исследование метаматериальных структур, вопросы определения условий появления режима метаматериала изучены мало. Целью работы является определение условий возникновения и устойчивости резонансных состояний в диэлектрических фотонных структурах.
Научные задачи, которые необходимо решить для достижения цели:
1. Определить параметры, при которых в периодических фотонных структурах появляется режим метаматериала с электрическим откликом.
2. Изучить устойчивость режима метаматериала при внесении структурного беспорядка.
3. Исследовать возможность появления режима метаматериала в апериодических фотонных структурах.
4. Исследовать влияние структурного беспорядка на высокодобротные резонансные состояния, возникающих по механизму связанных состояний в континууме.
Методы исследования. Исследование в рамках диссертационной работы проводилось методом плоских волн в пакете MIT Photonic Bands, методом связанных мультиполей, численное модделирование проводилось методом конечных элементов в прикладном пакете COMSOL Multiphysics.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. В периодической фотонной структуре, состоящей из параллельных диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки, в определенной области параметров диэлектрическая проницаемость - фактор заполнения возникает режим метаматериала с
резонансным электрическим откликом; эта область определена на так называемой фазовой диаграмме «фотонный кристалл - метаматериал». Аналогичный режим наблюдается также для структур с треугольной решеткой.
2. В фотонной структуре, состоящей из параллельных диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах апериодической решетки на основе мозаики Пенроуза, возникает режим метаматериала. Этот режим наблюдается как для структур с пентагональной, так и с октагональной симметрией.
3. При внесении структурного беспорядка в двухслойный резонатор, состоящий из параллельных диэлектрических цилиндров, добротность мод, возникающих по механизму связанных состояний в континууме (ССК) так называемых квази-ССК, уменьшается по квадратичному закону при увеличении степени беспорядка. В случае беспорядка только в направлении перпендикулярном (параллельном) слоям резонатора защищенные симметрией квази-ССК более (менее) устойчивы по сравнению с квази-ССК типа Фабри-Перо.
4. При внесении структурного беспорядка в двухслойный резонатор, состоящий из параллельных диэлектрических цилиндров, возникает пространственная локализация мод квази-ССК, которая уменьшает эффективную длину резонатора, что приводит к дополнительному понижению добротности этих мод. При этом эффективная длина резонатора уменьшается при увеличении степени беспорядка и не зависит от фактической длины структуры.
Научная новизна.
1. Впервые построена фазовая диаграмма и определены границы фазового перехода «фотонный кристалл - метаматериал» для структур с электрическим откликом.
2. Впервые предложен подход описания электромагнитного поля при помощи двух разных частотных зависимостей эффективной диэлектрической проницаемости метаматериала. Первая зависимость позволяет рассчитывать электромагнитное поле внутри метаматериала, в то время как вторая описывает распространение волн в пространстве, окружающем метаматериал.
3. Впервые исследована устойчивость однородной моды, возникающей в режиме метаматериала, при введении структурного беспорядка в положении элементов, образующих структуру, состоящую из диэлектрических цилиндров.
4. Впервые исследованы транспортные свойства электромагнитных волн при распространении по квазикристаллическим структурам на основе мозаики Пенроуза. Показано существование режима метаматериала в квазикристаллической структуре и построена фазовая диаграмма «фотонный квазикристалл - метаматериал».
5. Впервые исследовано влияние структурного беспорядка на добротность квази-ССК в двухслойном резонаторе, состоящем из диэлектрических цилиндров. Установлено, что индуцированная беспорядком локализация мод квази-ССК приводит к понижению добротности из-за уменьшения эффективной длины резонатора.
Теоретическая значимость представлена тем, что на данный момент свойства фотонных кристаллов и метаматериалов активно исследуются для разных практических применений. При этом структурные элементы диэлектрических метаматериалов обычно представляют собой цилиндры из материалов с высоким значением диэлектрической проницаемости. В данной работе впервые был рассмотрен фотонный фазовый переход в квазикристаллической структуре. Была построена квазикристаллическая структура с решеткой на основе мозаики Пенроуза и фазовая диаграмма для квазикристалла в ТЕ поляризации. Во второй части работы впервые было рассмотрено влияние структурного беспорядка на защищенные симметрией связанные состояния в континууме и связанные состояния в континууме типа Фабри-Перо. Кроме того, была исследована локализация в зависимости от количества периодов, образующих структуру.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования результатов для приложений, включая проектирование новых электромагнитных и оптических материалов с уникальными свойствами для применения в устройствах, в акустическом диапазоне: акустическая скрытность.
Достоверность полученных результатов обусловлена использованием различных аналитических и численных теоретических методов и подходов, в рамках которых были получены результаты, хорошо совпадающие друг с
другом. Результаты не противоречат результатами, полученными другими авторами.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Резонансные эффекты в электромагнитных спектрах фотонных кристаллов и метаматериалов2018 год, доктор наук Рыбин Михаил Валерьевич
Оптика и магнитооптика лазеров на основе фотонных кристаллов и метаматериалов2014 год, кандидат наук Зябловский, Александр Андреевич
Управление распространением электромагнитных волн в метаматериальных структурах с перестраиваемыми характеристиками2013 год, кандидат физико-математических наук Ходзицкий, Михаил Константинович
Оптические резонансы в диэлектрических фотонных структурах2022 год, кандидат наук Бочек Дарья Владимировна
Оптические явления в метаматериалах, обусловленные сильной пространственной дисперсией2016 год, кандидат наук Чебыкин Александр Васильевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость резонансных состояний в диэлектрических структурах при изменении параметров»
Аппробация работы.
Полученные результаты исследований, вошедших в диссертацию, докладывались автором лично на следующих конференциях: Международная зимняя школа по физике полупроводников (Санкт-Петербург; март 2019, март 2020), International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO (Санкт-Петербург, июль 2019, сентябрь 2020, сентябрь 2021), International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics META (Лиссабон, Португалия, июль 2019), Международная конференция ФизикА.СПб (Санкт-Петербург, октябрь 2019, октябрь 2020), International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena - Metamaterials (онлайн, сентябрь 2021, сентябрь 2022), Всероссийская научная конференция с международным участием Енисейская фотоника (Красноярск, сентябрь 2022), CINSaT Spring Colloquium (Фридрихрода, Германия, февраль 2023), DPG Spring Meeting of the Atomic, Molecular, Quantum Optics and Photonics Section (Ганновер, Германия, март 2023), METANANO Summer School on Nanophotonics and Advanced materials (Циндао, Китай, август 2023), а также опубликованы в авторитетных рецензируемых журналах.
Личный вклад автора заключался в участии в формировании целей и постановке задач, а также в выборе объектов исследования; проведении теоретических исследований; численном и аналитическом моделировании; анализе полученных данных; написании статей и тезисов к конференциям; выступлении с докладами на конференциях. Все результаты, представленные в диссертации, автор получил исключительно собственными усилиями или своим решающим вкладом. Рукописи работ, на которых основана диссертация, оформлялись с определяющим участием соискателя, что, как и его определяющий вклад в научную составляющую работ, подтверждается его первым авторством.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объем диссертации составляет 243 страницы, включая 87 рисунков. Список литературы содержит 175 наименований.
Основное содержание работы
Во введении описывается область исследований, обосновывается актуальность, формулируется цель, излагается научная новизна и практическая значимость.
Первая глава посвящена обзору литературы и экскурсу в историю исследования. Здесь описывается физический эффект, изучению которого посвящена диссертационная работа, вводится терминология.
Вторая глава описывает определение границы фазового перехода фотонный кристалл - метаматериал в периодической структуре, а также устойчивость режима метаматериала. Фотонными кристаллами являются среды с периодически изменяющимся показателем преломления, период которых сравним с длиной волны. В фотонных кристаллах запрещенные зоны появляются благодаря брэгговскому рассеянию, связанному с периодичностью структуры. Структурные элементы могут поддерживать локальные резонансы, и необычные свойства метаматериалов возникают из-за резонансного отклика каждого составного элемента, а не из-за их пространственного расположения в решетке. Это позволяет учитывать локальные эффективные параметры материала (диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость). Субволновое приближение гарантирует, что брэгговские стоп-зоны с сильными эффектами пространственной дисперсии находятся на более высоких частотах и ими можно пренебречь.
В первой части главы мы рассматриваем квадратную решетку, состоящую из диэлектрических цилиндров радиуса г и с диэлектрической проницаемостью е; постоянная решетки а. Как было показано в работе [25], структура становится метаматериалом, когда запрещенная зона Ми превращается в фундаментальную запрещенную зону (становится самой низкой по частоте запрещенной зоной на зонной диаграмме). Мы различаем запрещенную зону Ми и брэгговскую стоп-зону, анализируя вторую дисперсионную ветвь [Рисунок 1(а),(б)]. Для брэгговской стоп-зоны самая низкая частота второй ветви находится на границе зоны Бриллюэна (точка X для квадратной решетки) в отличие от запрещенной зоны Ми [Рисунок 1(б)], где минимум второй ветви находится в Г-точке (к = 0), которая является типичной для дисперсии поляритонного типа [85]. Мы рассчитываем фотонные зонные диаграммы методом плоских волн. Разрешение 128
на 128 плоских волн обеспечивает хорошую точность для структуры с диэлектрической проницаемостью цилиндров до £ = 100.
Волновой вектор £с(г
Рисунок 1 — Зонная диаграмма фотонной структуры, состоящей из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки; поляризация ТМ. (а) Фотонный кристалл с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1. (б) Метама-териал с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. Вторая дисперсионная ветвь на диаграммах выделена толщиной линии. Зеленые кружки соответствуют нижней границе второй запрещенной зоны; красный пунктир показывает частоты максимального усиления поля на безразмерных частотах а/Л = 0.518 и а/Л = 0.472 в структурах из 5 на 250 цилиндров. (в) Эффективная диэлектрическая проницаемость £eff метаматериала с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. Серая заливка на панелях (б) и (в) соответствует запрещенной зоне Ми [86]
Фотонные фазовые диаграммы (£ - г/а) определяются путем анализа положения минимума дисперсионной ветви второй разрешенной зоны для структур с диэлектрической проницаемостью цилиндра £ в интервале [1..100] и г/а в интервале [0..0.5]. На Рисунке 2 построены фазовые диаграммы (£ -г/а) электрических и магнитных метаматериалов для ТМ и ТЕ поляризаций соответственно. Диаграмма для ТЕ-поляризации была изучена ранее в работе
[25], и здесь этот результат приводится для сравнения. Фаза метаматериала для структур с электрическим откликом лежит в левой части диаграммы, где расстояние между ближайшими цилиндрами а > 8.3г достаточно велико, а минимальная диэлектрическая проницаемость цилиндра метаматериала с электрическим откликом £ = 27. Заметим, что фаза метаматериала не ограничена £ = 100, так как резонансы Ми смещаются к низким частотам и запрещенные зоны Ми становятся ниже по частоте с увеличением £.
Здесь мы рассматриваем две фотонные структуры, характеризующиеся различными материалами цилиндров. Кремний является одним из важнейших материалов для диэлектрической фотоники [87]. Хотя кремний позволяет изготавливать плоские метаповерхности из-за более слабых ограничений на постоянные решетки [88], его диэлектрическая проницаемость £ = 12 в инфракрасном диапазоне недостаточна для создания объемного метаматериала (Рисунок 2). В последнее время материалы на халькогенидных композитах семейства Ge-Sb-Te (GST) привлекают большое внимание в качестве оптических материалов с высоким показателем преломления для применения в фотонике, а также из-за фазового перехода с эффектом памяти. При комнатной температуре данные материалы существуют в двух фазах: аморфной и кристаллической, причем фазовый переход сопровождается сильной модуляцией диэлектрической проницаемости от £a-gst ~ 15 (аморфный-GST) до £c-gst ~ 30 (кристаллический GST) [89; 90]. Таким образом, в данном разделе мы изучаем квадратную решетку кремниевых цилиндров (£ = 12 и г/а = 0.1) в качестве фотонного кристалла и квадратную решетку из GST-цилиндров (£ = 30 и г/а = 0.1) в качестве диэлектрического метаматериала. Соответствующие параметры показаны коричневыми крестиками на фотонной фазовой диаграмме (Рисунок 2).
Как было сказано выше, метаматериалы описываются эффективными материальными параметрами. Используя модифицированный подход из работы [91] для расчета ^eff, можно оценить значение эффективной диэлектрической проницаемости £eff для фазы метаматериала, предполагая, что связью между соседними цилиндрами можно пренебречь. Эффективная диэлектрическая проницаемость определяется как отношение £eff = < D > / < £0Е >. Усреднение электрической индукции D выполняется по всему объему ячейки, а усреднение электрического поля Е вычисляется вдоль границы элементарной ячейки, параллельной цилиндру. Малый радиус цилиндра позволяет проводить усреднение в области, ограниченной окружностью, вместо области, ограниченной
80
60
со
40
20
_4_
0.0 0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 г/а
Фотонные кристаллы
Рисунок 2 — Фотонная фазовая диаграмма ТМ+ТЕ для структур, состоящих из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки. Область электрического метаматериала для ТМ поляризации отмечена синей заливкой. Область магнитного метаматериала для ТЕ поляризации отмечена красной заливкой. Кружки показывают границу фаз, определенную из анализа зонных диаграмм. Сплошные кривые - аппроксимация границы. Коричневые крестики соответствуют режимам фотонного кристалла (е =12; г/а = 0.1) и
квадратом. Такое приближение позволяет найти эффективную диэлектрическую проницаемость еед- аналитически, используя следующую формулу
где к - волновое число, Ь0 и цилиндрические коэффициенты ЛоренцаМи для амплитуды поля внутри и снаружи цилиндра, соответственно, для ТМ поляризации (см., например, [92]), а Я = 1/у/п - радиус окружности, в которой проводится усреднение. Показанная на Рисунке 1(в) диэлектрическая функция еед- принимает отрицательные значения в интервале 0.289<а/Л<0.471, что хорошо согласуется с запрещенной зоной Ми, 0.282<а/Л<0.471 (Рисунок 1(б)). Таким образом, зависимость эффективной диэлектрической проницаемости еед-[Рисунок 1(в)], демонстрирует, что ширина полосы метаматериального отклика порядка запрещенной зоны Ми. Стоит отметить, что этот подход ограничен
метаматериала (е = 30; г/а = 0.1) [86]
/ + /(1о(кр) + bо(kр)Hо(1)(kр))dр
МкН) + Ъ0(кН)Н0(1)(кН)
(1)
фазой метаматериала и неприменим для параметров за пределами соответствующей области на Рисунке 2.
Рисунок 3 — Локализация электрического поля в пластинке, представляющей собой фотонный кристалл с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1 или метаматери-ал с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. (а) Распределение электрического поля по пластинке фотонного кристалла. (б) Интенсивность электрического поля в фотонном кристалле без учета поля в цилиндрах, нормированная на интенсивность электрического поля в свободном пространстве. (в) Интенсивность электрического поля в метаматериале без учета поля в цилиндрах, нормированная на интенсивность электрического поля в свободном пространстве. (г) Распределение электрического поля по пластинке метаматериала в режиме около-нулевой диэлектрической проницаемости. Зеленым пунктиром обозначены границы пластинок. Черные стрелки показывают направление падения
гауссова пучка [86]
Моды в режиме около-нулевой эффективной диэлектрической проницаемости можно использовать для усиления взаимодействия света с веществом. Удобной характеризующей величиной является интенсивность (энергия) электрического поля, расположенного вне цилиндров, нормированная на интенсивность (энергию) электрического поля в свободном пространстве 1/10. Рассмотрим фотонный кристалл, состоящий из кремниевых цилиндров с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1. Известно, что в этом случае электромагнитное поле локализуется в материале с более низкой диэлектрической проницаемостью (в нашей системе - воздух) на высокочастотном крае запрещенной зоны [93]. Гауссов пучок падает на структуру, состоящую из 5 (вдоль направления
пучка) на 250 цилиндров [Рисунок 3(а)]. Характер поля внутри структуры типичен для фотонного кристалла, то есть электрическое поле Е в соседних ячейках осциллирует в противофазе. Как и ожидалось, электрическое поле локализовано в воздушных областях. Мы построили интенсивность !/!0 [Рисунок 3(б)] и обнаружили почти двукратное усиление электрического поля при частоте а/Л = 0.518 из-за перераспределения электрического поля в фотонных кристаллах.
Рассмотрим метаматериал, который имеет ту же геометрию, что и фотонный кристалл, но в данном случае диэлектрическая проницаемость цилиндров из GST составляет £ = 30. Хотя обе структуры имеют большие размеры, оптические размеры метаматериала оказываются малы по сравнению с длиной волны внутреннего поля, т.к. из-за около-нулевой диэлектрической проницаемости длина волны принимает большие значения. Таким образом, оптическая мода внутри метаматериала должна занимать практически весь объем структуры. На Рисунке 3(г) показано поле, возбуждаемое в слое фотонной структуры гауссовым пучком. Однородная мода простирается вдоль слоя на достаточно большие расстояния от оси падающего пучка. Оказалось, что метаматериалы позволяют получить более чем 50-кратное усиление эффективности взаимодействия света с веществом I/10 на частоте а/Л = 0.4717, соответствующей минимуму второй дисперсионной ветви в Г-точке [Рисунок 1(б)]. Эта частота немного отличается от частоты метаматериалов в режиме около-нулевой диэлектрической проницаемости на Рисунке 3 (а/Л = 0.471) из-за конечного размера (структура содержит только 5 цилиндров поперек слоя). График на Рисунке 3(в) предсказывает усиление взаимодействия света с веществом на два порядка, что позволяет использовать такие структуры для создания чувствительных сенсоров и других приложений. Кроме того, метаматериалы на основе GST переключаемыми оптическими свойствами благодаря эффекту фазовой памяти у GST [89; 90]. Электрические токи или использование фемтосекундных лазерных импульсов позволяет переводить GST из аморфной фазы в кристаллическую и обратно.
Вторая часть главы посвящена треугольной решетке, которая обладает наибольшой областью узлов, то есть наибольшей зоной Бриллюэна, которая определяет минимальную частоту брэгговского рассеяния. Поэтому в данном разделе мы будем рассматривать структуру, состоящую из диэлектрических цилиндров в узлах треугольной решетки. Как и в случае квадратной решетки, на структуру падает электромагнитная волна перпендикулярно оси
цилиндров, которые поддерживают электрические резонансы Ми в ТМ поляризации электромагнитного поля (электрическое поле осциллирует вдоль оси цилиндров) [92]. Рассмотрим поведение самого низкочастотного электрического дипольного резонанса ТМ01. Самой низкочастотной запрещенной зоной является зона, которая возникает в результате брэгговского рассения на периодической структуре. Появление режима метаматериала тесно связано с отщеплением запрещенной зоны, возникающей благодаря резонансу Ми ТМ01. В результате наблюдается поляритонная особенность в зонной диаграмме. Отметим, что на частотах брэгговских резонансов распространение волны происходит в условиях сильной пространственной дисперсии [94], поэтому описание фотонной структуры с помощью эффективных материальных параметров не имеет смысла. Существует минимальная частота брэгговского резонанса а/Л=\]1/3, где Л - длина волны в вакууме, эта частота определяет возможность понижения частоты резонанса Ми ниже всех брэгговских стоп-зон. Однако возникшее резонансное уширение брэгговской запрещенной зоны при близости частот резонансов Ми и Брэгга [95] может во многом нивелировать понижение частоты резонанса Ми ТМ01. Поскольку эффект резонансного уширения запрещенной зоны сильнее в ТМ поляризации, то существование фазы метаматериала с треугольной решеткой заранее не очевидно [25].
Поскольку наблюдаются особенности не только на границах, но и внутри зоны Бриллюэна, например, локальный минимум второй ветви зонной диаграммы в структуре с диэлектрической проницаемостью £ равной 26, возникает необходимость в построении изочастотных контуров для анализа границы между режимами фотонного кристалла и метаматериал. Построены изочастотные контуры для фиксированного коэффициента заполнения г/а = 0.07 и трех значений диэлектрической проницаемости £: 8, 26 и 40, что соответствует трем состояниями структуры: фотонный кристалл, промежуточное состояние и ме-таматериал. Промежуточное состояние между режимами фотонного кристалла и метаматериала с локальным минимумом дисперсионной ветви соответствует условию отщепления запрещенной зоны Ми. Особенности второй дисперсионной ветви в зонной диаграмме описывают переход к режиму метаматериала. На Рисунке 4 представлены зонные диаграммы и изочастотные контуры для частот второй разрешенной ветви.
На Рисунке 4(г) показаны изочастотные контуры, соответствующие режиму фотонного кристалла (£ = 8). На нижней частоте второй дисперсионной
Рисунок 4 — Зонные диаграммы для треугольной решетки при коэффициенте заполнения структуры r/a = 0.07: (а) фотонный кристалл (е = 8), (б) промежуточное состояние (е = 26), (в) метаматериал (е = 40). Жирной линией обозначена вторая дисперсионная ветвь. Серым прямоугольником отмечена область зонной диаграммы, для которой были рассчитаны изочастотные контуры. (г)-(е) Изочастотные контуры, соответствующие зонным диаграммам (а)-(в). Незакрашенная область - зона Бриллюэна треугольной решетки. Жирной линией выделены контуры, соотсветсвующие частотам: (а),(г) a/À=0.580, (б),(д) a/À=0.571, (в),(е) a/À=0.515; пунктирные линии на панели (д) a/À=0.569. На вставках - структура в прямом пространстве (а) и зона Бриллюэна (б) [96]
ветви а/Л = 0.580 существуют состояния в направлениях ГМ, отмеченные красными замкнутыми линиями овальной формы. При увеличении частоты мы наблюдаем состояния для всех направлений волнового вектора. Поскольку длина волнового вектора сильно зависит от направления, распространение
электромагнитного поля происходит в условиях сильной пространственной дисперсии. В промежуточном состоянии (Рисунок 4(д); е = 26) наблюдаются контуры, имеющие форму близкую к окружности, т.е. распространение электромагнитного поля не зависит от направления волнового вектора. Казалось бы, это указывает на возникновение режима метаматериала. Однако необходимо отметить, что для того же значения частоты а/Л существует второй контур, которое зависит от направления волнового вектора. Наличие двух состояний для каждого направления не позволяет описывать структуру при помощи эффективных материальных параметров еед- и ц^, т.е. структура еще не перешла в режим метаматериала.
Как и в промежуточном состоянии, в режиме метаматериала (е = 40) наблюдаются контуры по форме близкие к окружности [Рисунок 4(е)], однако отличительной особенностью является отсутствие других состояний на той же частоте. При этом по мере увеличения частоты (а/Л>0.535) возникают эффекты пространственной дисперсии. Однако существование диапазона частот вблизи резонансов, в котором распространение электромагнитного поля происходит в условиях слабой пространственной дисперсии, является качественным признаком, который отсутствует в структурах с диэлектрической проницаемостью е<28 при факторе заполнения г/а = 0.07. Как и в случае с квадратной решеткой, параметры структуры, при которых она обладает свойствами мета-материала, могут быть графически представлены на фазовой диаграмме в осях (е - г/а). На Рисунке 5 представлены фазовые диаграммы фотонной структуры с электрическим откликом, состоящей из диэлектрических цилиндров в узлах треугольной и для сравнения квадратной решетками. Мы исследовали структуры в диапазонах параметров е = [1..100] и г/а = [0.0..0.5]. В структуре с треугольной решеткой режим метаматериала с электрическим откликом находится в узком диапазоне значений коэффициента заполнения г/а = [0.03..0.12], а минимум значения диэлектрической проницаемости цилиндров е равен 22. При этом магнитные метаматериалы существуют фактически во всем диапазоне геометрических параметров структуры г/а = [0.0..0.5], который ограничен условием перекрытия соседних цилиндров г/а > 0.5 [25]. Сравнение диаграмм на Рисунке 5 показывает, что режим метаматериала для треугольной решетки имеет больший диапазон по диэлектрической проницаемости, но наблюдается в меньшем диапазоне фактора заполнения. Режим метаматериала в структу-
ре с квадратной решеткой появляется при большем значении диэлектрической проницаемости е>28.
Рисунок 5 — Фазовая диаграмма «фотонный кристалл - метаматериал» для ТМ поляризации. Большими кружками обозначена граница фазы метаматери-ала для треугольной решетки; маленькие кружки - для квадратной решетки
[96]
В третьей части работы мы исследуем устойчивость режима метматери-ала к введению структурного беспорядка, а также показываем, что проблема гомогенизации не может быть обобщена. Мы рассматриваем метматериальную структуру, состоящую из диэлектрических цилиндров в узлах квадратной решетки. Радиус цилиндров г и диэлектрической проницаемостью е, постоянная решетки а. Мы анализируем распределение электромагнитного поля в случае ТМ-поляризации. Структура квадратной формы состоит примерно из 1600 цилиндров (фактическое количество цилиндров зависит от ориентации решетки). Гауссов пучок с перетяжкой 10а падает на структуру перпендикулярно оси цилиндра.
Известно, что любая реальная система имеет определенное количество дефектов в своей структуре, и понимание влияния структурного беспорядка особенно важно для практических приложений. Мы вносим беспорядок в структуру, добавляя к координатам цилиндров величину смещения Ы как по оси х, так и по оси у. Сдвиг задается как Ы = Яа, где а описывает величину беспорядка, а Я - случайная величина, равномерно распределенная в диапазоне [-1; 1].
Применяя Ы к координатам обеих осей х и у, мы можем обеспечить смещение в обоих направлениях и регулировать степень сдвига, изменяя а. При внесении структурного беспорядка однородная мода размывается с увеличением степени беспорядка а. Скорость, с которой происходит разрушение однородной моды, зависит от параметров структуры. В структуре с диэлектрической проницаемостью цилиндров £ = 30 и коэффициентом заполнения г/а = 0.1 однородная мода начинает затухать при слабом беспорядке а = 0.001 и полностью исчезает примерно при а = 0.003, что является достаточно малой величиной. При увеличении диэлектрической проницаемости до £ = 50 разрушение однородной моды происходит при степени беспорядка а = 0.005. Чтобы выявить причину, рассмотрим фазовую диаграмму для режима метаматериала (Рисунок 5). Диэлектрическая проницаемость £ = 30 близка к границе фазового перехода, поэтому наблюдается относительно высокая скорость разрушения однородной моды. В работе [97] показано, что незначительного изменения коэффициента заполнения на 0.001 достаточно, чтобы появился метаматериальный режим, если параметры структуры близки к границе фазового перехода. Соответственно, можно предположить, что скорость разрушения однородной моды структуры метаматериала коррелирует с близостью параметров структуры (диэлектрической проницаемости и радиуса цилиндра) к границе фазового перехода.
Как упоминалось выше, режим однородной моды можно использовать для увеличения напряженности электромагнитного поля. Расчет напряженности был проведен тем же способом, что использовался в предыдущих разделах. Исследуемая структура позволяет увеличить интенсивность I/10 более чем в 25 раз на частоте а/Л=0.471, соответствующей минимуму второй дисперсионной ветви в Г-точке. Введение беспорядка разрушает однородную моду, поэтому важно исследовать, как изменяется напряженность электромагнитного поля во всем объеме структуры. Поскольку беспорядок задается случайным образом, это приводит к тому, что все реализации различны, а, значит, для требуется статистический анализ. Мы рассчитали напряженность поля для 100 различных реализаций беспорядка с одинаковым значением степени беспорядка а в интервале [0; 0.1]. Мы построеили распределение величин интенсивности электрического поля для каждого значения степени беспорядка а (см. вставку на Рисунке 6) и аппроксимировали логнормальной функцией, позволяющей вычислить интервал значений, в который попадает интенсивность для кажого отдельного значения степени беспорядка. На Рисунке 6 представлена зависи-
мость интенсивности электрического поля от степени беспорядка а. Рисунок соответствует структурам с диэлектрической проницаемостью цилиндров £ = 30 и коэффициентом заполнения г/а = 0.1. При малых значениях степени беспорядка а напряженность электромагнитного поля увеличивается, а затем падает. При этом наблюдается скачок напряженности при степени беспорядка а = 0.003.
Рисунок 6 — Зависимость напряженности электромагнитного поля от степени структурного беспорядка d в метаматериальной структуре с диэлектрической проницаемостью £ = 30 и коэффициентом заполнения г/а = 0.1. На вставке показана гистограмма для d = 0.003, красная линия — аппроксимация логнор-
мальной функцией
Как было сказано выше, для описания метаматериалов применима процедура гомогенизации. Эта процедура позволяет получить готовые к анализу результаты для прогнозирования эффективных параметров £eff и ц^. В этом случае используется процедура гомогенизации, например, основанная на методе среднего поля в элементарной ячейке периодической структуры [94; 98— 100]. Гомогенизация позволяет описывать метаматериалы по эффективной
диэлектрической и магнитной проницаемости, однако процедура имеет определенные ограничения. Во-первых, не учитывается влияние поляритонов, поэтому игнорируется ближнепольное взаимодействие диполей, второе ограничение -пренебрежение асимметрией частиц [94]. Помимо гомогенизации, можно использовать численное моделирование метаматериальных устройств с необходимыми свойствами. Однако численная оптимизация должна проводиться отдельно для каждого устройства, что лишает такой подход универсальности.
Внутренний критерий основан на распределении поля внутри структуры, тогда как внешний критерий является выборочным. Способность управлять волнами на коротких расстояниях является особым свойством, обеспечиваемым метаматериалами, поэтому мы решили изучить короткофокусную металинзу. В качестве эталона рассматривается обычная плоско-вогнутая линза с показателем преломления п. Плоская сторона позволяет свести к минимуму аберрации, в то время как вогнутая сторона дает дополнительное пространство для фокусировки. Метаматериальная линза состоит из диэлектрических цилиндров радиусом г и с диэлектрической проницаемостью £гоа, расположенных в узлах квадратной решетки, постоянная решетки а. Эффективная диэлектрическая проницаемость £eff, соответствующая режиму метаматериала, не определена однозначно [94], поэтому в этой части работы мы стараемся оценить и сравнить различные подходы.
Похожие диссертационные работы по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Создание фотонных структур методом лазерной литографии и их спектроскопические исследования2020 год, кандидат наук Синельник Артем Дмитриевич
Спектральные свойства двумерных фотонных кристаллов на основе материалов с резонансной дисперсией2013 год, кандидат наук Рудакова, Наталья Викторовна
Распространение, локализация и излучение света в наноструктурах и метаматериалах2016 год, доктор наук Поддубный Александр Никитич
Эффекты пространственной дисперсии в метаматериалах из резонансных рассеивателей2017 год, кандидат наук Горлач, Максим Александрович
Разработка и исследование активных и пассивных резонансных электромагнитных структур в микроволновом диапазоне2024 год, доктор наук Филонов Дмитрий Сергеевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маслова Екатерина Эдуардовна, 2023 год
- • /
__ !л -
У • о Микроскопическое усреднение Внутренний критерий Внешний критерий
0.471 0.4715 0.472 0.4725 а/А
-(б) / / ✓
/ / / / / , 1 .
0.0 0.1 0.2 о.з 0.4 0.5 0.6 0.7
а/А.
Рисунок 2.16 — Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от безразмерной частоты а/Л. Сравнение обработок гомогенизации: внутренняя (синие сплошные символы), внешняя (красные открытые символы) и микроскопическое усреднение (зеленая пунктирная линия). Синие и красные сплошные линии служат ориентиром только для глаз. Тонкие серые линии показывают нулевую и микроскопическую усредняющую резонансную частоту гомогенизации. На вставке показана кривая, полученная микроскопическим усреднением,
в увеличенном масштабе [101]
Кроме того, мы оцениваем эффективный показатель, используя особенности внешнего электрического поля, а именно сравниваем положение фокуса как для обычной линзы, так и для металинзы. Гауссов пучок проходит через линзу и фокусируется в точке за ней. Для определения фокусного расстояния проделаем несколько вспомогательных действий. Поскольку мы анализируем
Обычная линза
тах
Рисунок 2.17 — Распределения электрического поля в обычной линзе (а)-(г), металинзе (д)-(з). Черные пунктирные линии показывают границы структуры метаматериала. Черные стрелки указывают направление падения гауссова пучка. ТМ поляризация [101]
распределение по оси х, а пятно имеет неопределенность в поперечном направлении порядка рабочей длины волны, значение интенсивности усредняется по оси у. Как известно, диэлектрические метаматериалы демонстрируют сильное усиление внутреннего электрического поля на околонулевых частотах за счет резонансного воздействия на элементы структуры, поэтому максимум интенсивности находится внутри металинзы [Рисунок 2.18(в),(г)]. Фокусное расстояние Р определяется максимальной интенсивностью прошедшей электромагнитной волны, и пик хорошо виден на Рисунках 2.18(а),(б), показывающих распределение интенсивности вдоль оси х. Подобно рассмотрению внутреннего критерия, мы изменяем диэлектрическую проницаемость обычной линзы и исследуем фокусное расстояние как ее функцию. На Рисунке 2.19(в) видно ступенчатое поведение, вызванное аберрациями и появлением другой ветви, когда диэлектрическая проницаемость принимает значение выше 1.6 • 10-2. Мы также изменяем частоту гауссова пучка, падающего на металинзу, как мы это делали с внутренним критерием. Зависимость фокусного расстояния аналогична зависимости для обычной линзы, однако переходы между ступенями более плавные. Предположение о линейной зависимости частоты от эффективной диэлектрической проницаемости позволяет установить соответствие между обычной линзой и металинзой (Рисунок 2.19).
График частотной дисперсии эффективной диэлектрической проницаемости металинзы представлен на Рисунке 2.16. Мы наблюдаем разницу в
50 110 160 50 110 160
Длина, а.и. Длина, а.и.
Рисунок 2.18 — Интенсивность электрического поля вблизи фокуса для обычной линзы (а) и металинзы (б). (в) и (г) показывают полную интенсивность. Серые прямоугольники обозначают область, показанную на (а) и (б) [101]
наклоне и значениях частоты нулевого значение эффективной диэлектрической проницаемости £ед-. Это различие показывает, что не существует единой теории гомогенизации метаматериалов, которая обеспечивает дизайн надежным предсказанием. Как упоминалось выше, гомогенизация имеет следующие ограничения: она не учитывает влияние поляритонов и пренебрегает асимметрией частиц [94]. Результаты исследования показывают, что существование разной обработки для разных применений также является ограничением гомогенизации. В частности, наш подход гомогенизации дает некорректные результаты для задачи проектирования короткофокусной металинзы. С другой стороны, приложение, связанное с эффективным взаимодействием света и вещества за счет усиления электрического поля внутри метаматериала, требует оценки дисперсии с использованием внутренней обработки. Когда нас интересует манипулирование электрическим полем вне структуры метаматериала, внеш-
ний подход является наиболее подходящим. Поэтому процедура гомогенизации тесно связана с конкретной задачей. Примечательно, что хотя процедура микроскопического усреднения является существенной внутренней обработкой, в околонулевой области уравнение (2.1) дает результат, аналогичный полученному внешним подходом. Как видно на Рисунках 2.18(в),(г), отношение интенсивности внутри линзы к интенсивности в фокусе у металинзы больше, чем у обычной линзы. Следовательно, металинза усиливает поле внутри более эффективно, чем обычная линза.
Рисунок 2.19 — Зависимость фокусировки от а/Л (синие кружки) в случае металлической линзы и от диэлектрической проницаемости е (красные пустые прямоугольники) в случае обычной линзы [101]
2.4 Заключение
Таким образом, метаматериал с резонансной зависимостью ее& можно создать из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах треугольной либо квадратной решетки. При этом диэлектрическая структура приобретает свойства метаматериала, когда в зонной структуре появляется поляритонная особенность, связанная с резонансами Ми на отдельных структурных элементах. В работе были построены фазовые диаграммы в осях (е - г/а), определяющие область существования метаматериала - режима фотонных структур, имеющих треугольную или квадратную кристаллическую решетки.
Треугольная решетка позволяет получить фазу метаматериала при наименьшем значении диэлектрической проницаемости цилиндров £ = 22 (соответствует ряду материалов в инфракрасном диапазоне), поскольку зона Бриллюэна треугольной решетки имеет наибольший размер. Анализ изочастотных контуров показал, что отщепление запрещенной зоны Ми от резонансно уширенной брэг-говской стоп-зоны (на карте запрещенных зон) не является критерием перехода фотонной структуры в режим метаматериала, поскольку это значение соответствует режиму сильной пространственной дисперсии с двумя волнами для каждого направления волнового вектора. Промежуточный режим соответствует малому интервалу Д£ ~ 2, при дальнейшем повышении £ наблюдается режим метаматериала, в том числе с около-нулевым значением диэлектрической проницаемости £ед-.
Также была исследована устойчивость режима оклонулевой эффективной диэлектрической проницаемости £ед- в ТМ-поляризации (магнитное поле осциллирует вдоль оси цилиндра). Показано, что однородная мода в метама-териальном режиме устойчива не только к изменению формы структуры, но и к удалению элементов внутри структуры. Мы проанализировали влияние степени беспорядка на устойчивость однородной моды. Режим оклонулевой эффективной диэлектрической проницаемости £ед- менее стабилен в структуре с параметрами, близкими к граничным параметрам перехода «фотонный кристалл - метаматериал». Хотя однородная мода исчезает при фиксированной частоте, при изменении частоты на более низкую мы можем наблюдать однородную моду в неупорядоченной структуре. Поскольку изменение частоты незначительно, для реальных структур это означает, что режим оклонулевой эффективной диэлектрической проницаемости £ед- устойчив к введению структурного беспорядка.
Кроме того, были представлены внутренняя и внешняя эффективная диэлектрическая проницаемость £ед- метаматериала в линзе, состоящей из диэлектрических цилиндров. Мы определили зависимость фокусного расстояния от диэлектрической проницаемости и частоты падающего поля и сравнили составную металинзу с обычной. Фокусное расстояние одинаково для объективов обоих типов. Также исследована зависимость диэлектрической проницаемости от частоты. Мы сравнили три подхода к получению эффективной диэлектрической проницаемости в линзе из метаматериала. Результаты показывают, что в зависимости от конкретных потребностей требуются различные способы
гомогенизации. Стоит отметить, что внешний подход при околонулевом значении аналогичен процедуре микроскопического среднего, хотя это и внутренняя обработка. Таким образом, мы продемонстрировали, что общий подход к гомогенизации не является универсальным по сравнению с внешней или внутренней обработкой, применяемой при разработке конкретного устройства в зависимости от его запланированной функциональности. Хотя режим метаматериала существует для материалов с высоким показателем преломления, даже кремниевые цилиндры допускают фазу метаматериала в видимом диапазоне [97]. Кроме того, для более низких частот доступны многие материалы с высоким показателем преломления, такие как GeSbTe в инфракрасном диапазоне [3] или керамика [149] в микроволнах. Аналогичные результаты ожидаются для волн различной природы, например, акустических волн [150].
Глава 3. Транспортные свойства квазикристаллов
Обычно для приложений, основанных на оптической интерференции используют периодические структуры. Например, усиление обратного когерентного рассеяния [75; 151], андерсовская локализация [152], аномальное пропускание через перфорированные металлические пленки [153]. Однако апреиодические структуры также могут поддерживать эффекты интерференции. Такими апериодическими структурами могут являтся квазикристаллы. Квазикристаллы представляют собой апериодические упорядоченные структуры, обладающие поворотной симметрией. Важным отличительным от периодических структур свойством является отсутствие трансляционной симметрии, однако в квазикристаллических структурах имеет дальний порядок. Впервые апериодические фотонные структуры были экспериментально рассмотрены в работе [154]. Авторы рассмотрели одномерную слоистую структуру, построенную по принципу цепочки Фибоначчи. Исследование фотонных квазикристаллов и других апериодических структур показывает, что интерференция играет основную роль в формировании оптических свойств фотонных апериодических структур [155], то есть квазикристаллы могут быть использованы для устройств, основанных на оптической интерференции. Данная глава посвящена исследованию транспортных свойств электромагнитных волн при распространении по квазикристаллическим структурам на основе мозаики Пенроуза.
3.1 Структура на основе мозаики Пенроуза
3.1.1 Построение квазикристаллической структуры
В двумерном случае для описания квазикристаллов удобно рассмотреть разбиение, называемое мозаикой Пенроуза, которое было предложено Роджером Пенроузом еще до экспериментального открытия квазикристаллов [104]. Мозаика Пенроуза имеет дальний порядок и поворотную симметрию пятого порядка С5, в то время как трансляционная симметрия отсутствует. Мозаика
Пенроуза образована двумя типами ромбов: широкий и узкий (Рисунок ??). Фактически это указывает на то, что квазикристалл на основе мозаики Пен-роуза образован двумя типами «элементарных ячеек», в отличие от обычного кристалла. Квазикристаллы являются упорядоченными структурами, которые формируются по строгим математическим правилам, поэтому для построения квазикристаллической структуры на основе мозаики Пенроуза был выбран метод проекций [105].
Широкий Узкий
ромб ромб
Рисунок 3.1 — Схематическое изображение ромбов, образующих мозаику Пенроуза. Голубым цветом обозначен широкий ромб, розовым - узкий
Метод проекции легко понять на примере построения одномерного квазикристалла со структурой Фибоначчи (Рисунок 3.2). Двумерная квадратная решетка может быть спроецирована на одномерное подпространство Лц, определяемое углом а к горизонтальному ряду квадратной решетки [105]. Если наклон Лц рациональный по отношению к рядам квадратной решетки, спроецированная одномерная структура является дискретным периодичным набором узлов, поскольку Ли многократно проходит через узлы квадратной решетки, и полные ряды двумерной решетки проектируются как одна точка в одномерном пространстве. И наоборот, если наклон Ли иррациональный (отношение совф/вгпф является иррациональным числом), спроецированная одномерная структура больше не является периодической и имеет короткие атомные расстояния.
Один из способов решить проблему плотности состоит в том, чтобы ограничить проекции на Ли теми точками квадратной решетки, которые попадают в полосу, параллельную Ли с поперечным сечением в дополнительном пространстве Я±, равным сечению элементарной квадратной ячейки. Как показано на Рисунке 3.2, полученная структура теперь состоит из двух «плиток» длиной а • совф = Ь и а • вгпф = Б соответственно. Ширина окна проектирования равна
Рисунок 3.2 — Построение одномерных квазикристаллов типа Фибоначчи методом проектирования. Черные кружки - узлы квадратной решетки. Яу -физическое пространство, Я± - пространство проекций. Проекция элементарной ячейки квадратной решетки (заштрихована) в пространство проекций определяет «окно проецирования». Проекция узлов квадратной решетки на физическое пространство формирует узел квазикристалла при условии попадания этого узла в пространстве проекций в «окно проецирования» [105]
А = а(совф + вгпф) с дополнительным ограничением, что совф/вгпф = т, где т - золотое сечение. Можно проверить, что распределение (Ь, 3) сегментов по Щ теперь подчиняется последовательности Фибоначчи = ^п-1 + ^п-2:^0 = Б, ^х = Ь, ¥2 = ЬБ, , ^з = ЬЯЬ, = ЬЗЫЯ, ^ = ЬЗЫЗЬЗЬ и т.д. Таким образом, метод проектирования обеспечивает простой способ построения апериодической упорядоченной структуры, когда известна многомерная периодическая структура, совместимая с требуемыми операциями симметрии.
Получить двумерную квазикристаллическую структуру с решеткой на основе мозаики Пенроуза можно путем проецирования пятимерной гиперкубической решетки на двумерное «физическое пространство» и трехмерное «пространство проекций» с помощью матрицы проецирования [106]:
( Ху \
У±
\ZJ_J
\
1 0 1
0
1
72
сое
БШ
сое
БШ
(¥) (¥) (¥) (4е)
72
сое
БШ
сое
БШ
(£)
(4т) (?)
(¥)
X 72
сое
БШ
сое
(¥) (6п) ()
81п (1!п)
72
сое
сое
Бт
(¥) ^ (8П)
(1Г)
72
5 )
/
хх Х2 Хз \Х4 /
Координаты х0,...,х4 являются координатами исходной пятимерной решетки, которую мы будем проецировать. Координаты х±, у±, г± формируют икосаэдр (Рисунок 3.3), который является «окном проецирования». Полученные в физическом пространстве узлы двумерной решетки определяются координатами жц, уц. Икосаэдр имеет поперечные сечения в плоскости ху, которые представляют собой пятиугольники (при параметре сдвига в = 0, определяющим положение окна проецирования; параметр сдвига может принимать значения в интервале от 0 до 1). Если точки гиперкуба попадают внутрь пятиугольников пространства проецирования, то соответствующие точки из физического пространства образуют мозаику Пенроуза [104].
6 А.
Рисунок 3.3 — Проекция элементарной ячейки пятимерной гиперкубической решетки в трехмерное пространство, имеющая вид икосаэдра. Черные пятиугольники показывают сечения икосаэдра плоскостями £ = л/2г± [106]
Введем т = 2сой(п) и а = \/(т +2)/2. Используя общеизвестные соотношения для золотого сечения и исходную матрицу 3.1, запишем матрицу проецирования через т и а:
(*А / 1 1 2т т 2 т 1 2т \
У\\ 0 а а т -т -а Х1
х± = 1 т 2 1 2т 1 2т т 2 Х2
У± 0 а т -а а а Х3
V ^ / V 1 72 1 72 1 72 1 72 1 72 / \ХА )
(3.2)
Такой вид матрицы удобен для записи координат пятиугольников, являющихся сечением окна проецирования. Поскольку координата г± не выражается через тригонометрические функции, она не будет выражаться и через золотое сечение. В таком случае удобно ввести новую целочисленную координату £ = Запишем координаты пятиугольников:
£ = 1 : (1,0), (^,а), (-Т,а), (-Т, - ^), (^, - а)
2т 2 т 2 т 2т
т2 1 1 т2
£ = 2 : (у ,а), (-2,ат), (-т,0), (--, - ат), (-, - а)
1 т т 1
£ = 3 : (т,0), (2,ат), (--,а), (-т, - а), (2, - ат)
£ = 4 : (т,а),(--т^ (-1,0),(--т, - а),(т, - а)
£ = 5 : (0,0)
В данной работе рассматривается квазикристаллическая решетка, состоящая из диэлектрических цилиндров радиуса г и диэлектрической проницаемости £, расположенных в вершинах ромбов, образующих мозаику Пенроуза. Поскольку в квазикристаллической структуре нет постоянной решетки, необходимо ввести параметры, которые позволят сравнивать квазипериодические структуры с периодическими. По этой причине мы вводим минимальное расстояние между цилиндрами, которое по аналогии с постоянной решетки в периодической структуре обозначим а. Максимальный радиус цилиндров гтах равен половине минимального расстояния. Так же мы вводим фактор заполнения структуры /. Чтобы рассчитать фактор заполнения, построим структуру, ограниченную квадратной формой и состоящую из цилиндров максимального радиуса гтах. Затем найдем отношение площади, занимаемой цилиндрами, к площади всей структуры. Таким образом получим фактор заполнения структуры /. Легко оценить максимальный фактор заполнения структуры / для трех типов структур, состоящих из одинаковых неперекрывающихся диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах треугольной решетки, квадратной
решетки и решетки графена [Рисунок 3.4(а)-(в)]. Фактор заполнения / демонстрирует почти линейную зависимость от индекса симметрии п, который равен П = 3 для треугольной решетки, п = 4 для квадратной решетки и п = 6 для решетки графена. Мы хотим получить квазикристаллическую структуру, фактор заполнения которой близок по значению к линейной зависимости для периодических структур.
Индекс симметрии
Рисунок 3.4 — Зависимость максимального фактора заполнения от индекса симметрии. Синие кружки соответствуют максимальному фактору заполнения для структур, черная линия - линейное приближение. Вставки: (а) треугольная решетка, (б) квадратная решетка, (в) решетка графена, (г) квазикристаллическая решетка Пенроуза с симметрией С5, (д) решетка Пенроуза - Делоне, (е) дополненная решетка Пенроуза, (ж) квазикристаллическая решетка с симметрией С8
[107]
Мы рассматриваем квазикристалл со структурой на основе мозаики Пенроуза, который имеет индекс симметрии п = 5. Поскольку мозаика Пенроуза состоит из двух типов ромбов разных размеров, в полученной структуре наблюдаются пустоты (Рисунок 3.4). Фактор заполнения такой структуры f = 0.38, минимальное расстояние между цилиндрами а = 0.62 и максимальный радиус цилиндров гтах = 0.31. На Рисунке 3.4(г) видно, что фактор заполнения не принадлежит линейной зависимости для периодических структур и находится далеко от нее. В работе [156] было предложено использовать триангуляцию Делоне для улучшения однородности распределения цилиндров в квазикристалле
с решеткой на основе мозаики Пенроуза. Проведем данную процедуру для полученной структуры. Рассмотрим решетку [Рисунок 3.5(а)], полученную путем размещения цилиндров в вершинах образующих ромбов. Сначала мы выполним триангуляцию Делоне по исходному точечному образцу. Эта процедура обеспечивает треугольное разбиение, которое минимизирует стандартное отклонение углов треугольника [Рисунок 3.5(б)]. Конечная решетка образована центральными точками каждого треугольника [Рисунок 3.5(в)]. Используя эту процедуру, мы генерируем решетку Делоне-Пенроуза [Рисунок 3.5(г)] и оцениваем ее параметры: / = 0.39, а = 0.46 и гтах = 0.23. Полученный фактор заполнения больше, чем для решетки Пенроуза, однако по-прежнему не принадлежит линейной зависимости [Рисунок 3.4(д)].
Рисунок 3.5 — Схематическое изображение процедуры построения решетки Пе-нроуза-Делоне и дополненной решетки Пенроуза. (а), (д) решетка Пенроуза, (б)-(г)поэтапное построение квазикристаллической структуры на основе мозаики Пенроуза с помощью триангуляции Делоне, (г) решетка Пенроуза-Делоне, (е)-(з) поэтапное построение дополненной квазикристаллической структуры на
основе мозаики Пенроуза, (з) дополненная решетка Пенроуза [107]
Существует другая процедура генерации решетки типа Пенроуза с меньшей неоднородностью. Дополнительные цилиндры размещены в центрах каждого широкого ромба [Рисунок 3.5(д)]. Такую структуру мы назовем дополненной решеткой Пенроуза. На Рисунке 3.4е показано, что структура с дополненной решеткой Пенроуза имеет / = 0.55 и лежит ближе к линейной зависимости, чем
другие рассматриваемые квазикристаллы, поэтому данная структура является хорошим кандидатом для исследования появления режима метаматериала. Для дополненной решетки Пенроуза а = 0.54 и гтах = 0.29.
3.1.2 Распространение электромагнитного поля в квазикристаллической структуре
В периодических структурах режим метаматериала определяется изменением зонной диаграммы [25]. Когда запрещенная зона не обусловлена брэгговским резонансом, а в зонной диаграмме появляется поляритонная особенность, структура является метаматериалом. Поскольку в квазикристаллических структурах невозможно определить зонную диаграмму, можно проанализировать дифракционные брэгговские частоты в квазикристаллических структурах по построенному структурному фактору. Брэгговские частоты играют важную роль в переходе структуры в режим метаматериала: расстояние от точки к = 0 до ближайшего дифракционного максимумма определяет минимальную частоту брэгговской дифракции. поэтому важно провести анализ брэгговских частот в квазикристаллической структуре. На Рисунке 3.6 показан структурный фактор для трех типов решеток: решетка Пенроуза (в = 0), квадратная и треугольная решетки. Из рисунка видно, что максимумы структурного фактора, т.е. дифракционные максимумы, в квазикристаллической структуре расположены близко друг к другу в отличие от максимумов для периодических структур в том же масштабе. Близкое расположение дифракционных пиков к точке к = 0 ставит под сомнение существование режима метаматериала в квазикристаллической структуре. Введем базисные векторы для более подробного анализа распространения электромагнитных волн и описания дифракционных пиков в квазикристаллической структуре. Базисные векторы показаны красными стрелками на Рисунке 3.6 и обозначены индексами Миллера (НЫтп) [157]. Дифракционные максимумы по двум ортогональным направлениям, т. е. вдоль осей х и у, определялись путем суммирования базисных векторов.
Как упоминалось выше, квазикристаллы представляют собой апериодические структуры, поэтому определить период невозможно. Однако структурный фактор на Рисунке 3.6 показывает два независимых ортогональных направле-
Волновой вектор
Рисунок 3.6 — Структурный фактор для треугольной решетки (красные точки), квадратной решетки (черные точки) и дополненной решетки Пенроуза (синие точки). Красными стрелками показаны базисные вектора решетки Пенроуза
ния, для которых можно определить эффективное межплоскостное расстояние решетки а, что позволит нам связать фотонные запрещенные зоны с узлами обратной решетки. В статье [158] представлен метод оценки «периодичности», основанный на свертке структуры самой с собой (самосвертке) в реальном пространстве. Этот метод позволяет определить эффективное межплоскостное расстояние решетки в квазипериодической структуре. На Рисунке 3.7(б) показана двумерная свертка для квазикристалла. Самосвертка применялась не ко всей структуре, а только к выбранным пикселям в фиксированном окне. В каждой позиции выделенной синей единицы размером р = 2 мы рисуем перпендикулярную прямоугольную зеленую область вектору от центра структуры до конкретной единицы и подсчитываем количество цилиндров (пикселей), входящих в выделенную область длиной b = 14.4 и шириной в одну единицу. Эта процедура повторяется для всех пикселей, расположенных в оранжевом круглом окне радиуса w = 6 и во всем диапазоне полярных углов ß.
На Рисунке 3.7(б) показано нормированное отображение свертки С seif (^,ß) для рассматриваемого квазикристалла. Чередование минимумов и максимумов на карте для разных направлений полярного угла ß указы-
вает на чередование решеток Брэгга для разных значений эффективного межплоскостного расстояния. На карте можно выделить два ортогональных направления под углами ß = 0° и ß = 90°. Мы рассматриваем одномерные свертки для отмеченного полярного угла, показанные на Рисунке 3.7(в),(г). Мы применяем дискретное преобразование Фурье F = fft(Cse//(w,ß)) к каждой из этих синусоидальных функций, чтобы определить эффективное межплоскостное расстояние решетки. Модуль функции Фурье на Рисунке 3.7(д) для направления ß = 0° показывает 3 пика относительно нуля. Для каждого пика мы можем вычислить конкретное расстояние а между решетками Брэгга и связать пики с узлами структурного фактора, найдя длину вектора решетки к = 2п/а. Согласно этому, каждый пик на Рисунке 3.7(д) соответствует узлу вдоль оси х структурного фактора. На Рисунке 3.7(е) показан модуль функции Фурье для направления ß = 90°. Вблизи единицы наблюдаются два пика. Мы также можем сопоставить их с выделенными узлами структурного фактора вдоль оси у, определив длину вектора решетки.
Мы используем карту свертки на Рисунке 3.7(б), чтобы определить, какие значения межплоскостного расстояния а соответствуют каждому из минимумов. Плоская электромагнитная волна распространяется снизу вверх, поэтому рассеяние волны будет происходить в направлении ß = 90°. Следовательно, меньший провал соответствует пику (10110) с расстоянием ai ~ 1, а главный провал соответствует максимуму (00220) c расстоянием а2 ~ 0.8. Чтобы привести нормированную частоту в спектре пропускания в соответствии с межплоскостным расстоянием, воспользуемся законом Брэгга Л = 2anav cos 6, где nav = 1.38 - среднее значение показателя преломления в структуре, а 6 = 0°
- угол падения плоской волны на кристалл. Тогда нормированная частота для меньшего провала (10110) равна а1/Л = 0.37, а для главного минимума (00220)
- а2/Л = 0.45. Результаты согласуются с частотами, соответствующими минимумам в спектре пропускания [Рисунок 3.9(в)]. Стоит отметить, что меньший провал наблюдаются для расстояния ai ~ 1, близкого к длине стороны ромба в мозаике Пенроуза, а главный минимум наблюдается для расстояния а2 ~ 0.8 и соответствует половине диагонали большого ромба.
Поскольку дифракция является характеристикой решетки, а режим метаматериала зависит от материальных параметров структурных элементов, необходимо выбрать дополнительный критерий для оценки возможности существования режима метаматериала в квазикристаллической структуре. Хо-
Рисунок 3.7 — (а) Схематическое изображение расчета свертки квазикристаллической структуры. (б) Полярная карта свертки. Пунктирные стрелки показывают направления чередования брэгговсаих решеток, соответствующих разным периодам. Графики свертки по радиусу -т для углов (в) в = 0° и (г) в = 90°. Модуль преобразования Фурье для свертки в направлении углов (д)
в = 0° и (е) в = 90°
рошим индикатором может служить спектр пропускания. Мы рассматриваем структуры прямоугольной формы длиной Ь = 76а вдоль оси х (Рисунок 3.8). Изменяя толщину структуры, мы рассчитываем спектры пропускания (Рисунок 3.9) структур, находящихся в режиме фотонного кристалла, фотонного квазикристалла (й = 0) и в режиме метаматериала с квадратной решеткой и решеткой типа Пенроуза. Спектр пропускания представлен в осях Ттп — а/Л, где Тшт - минимум коэффициента пропускания, а - минимальное расстояние
1 1 1 1 1
(а)
-30 -1- -20 -1- -10 -1- 0 Ь, а -1- 10 -1- 20 -1- 30 -1-
■ ■ « ■ ■ к • » » ■ ■ .... • ■ • • >««* • » • » » ■ Р • • • • • » ■ ■ • • • • ... * ■ » ■ ■ • • • ■ в • • • • •
„ () "*.*.:■.■■••.•■■••.'.!'..'■'•■"•'•■■ !*.*■•••■•".:•_.*••• ••■'.■.:•.•••■-•"••'•■.!
..•Л-.-Л*:,.■■••..■. ^■•••л.*./. Ч
ш (б)
0_I_I_I_I_I_I_I_
-30 -20 -10 0 10 20 30
Ь, а
Рисунок 3.8 — Схематическое изображение (а) периодической структуры,(б)
квазикристалла (76а х 10а)
между цилиндрами, в случае периодической решетки это постоянная решетки. Мы сравнили спектры пропускания фотонного кристалла и фотонного квазикристалла для толщины структуры Н = 10а. Диэлектрическая проницаемость £ = 4, коэффициент заполнения г/а равен 0.25. На Рисунке 3.9(а) показано, что спектр пропускания фотонного кристалла выглядит как типичный спектр брэгговской дифракции. Квазикристаллы имеют такой же спектр [Рисунок 3.9(б)], однако в районе главного минимума есть дополнительные провалы. Также мы построили и сравнили спектры пропускания для структр в режиме метаматериала с квадратной решеткой и решеткой типа Пенроуза (диэлектрическая проницаемость £ = 50, фактор заполнения г/а равен 0.25). Результаты показывают, что обе структуры имеют схожие спектры, характерные для ме-таматериального режима.
Фотонные кристаллы и фотонные квазикристаллы имеют схожие транспортные свойства, хотя волновой вектор не существует в квазикристалле, поэтому мы исследовали зависимость минимума спектра пропускания от толщины образца Н [Рисунок3.10(а)]. Поскольку спектр пропускания имеет дополнительные провалы около минимума, мы рассмотрели два провала: минимум спектра пропускания и предшествующий ему минимум. На Рисунке 3.10(а) видно, что квазикристаллическая и периодическая структуры имеют разную скорость убывания, однако в обоих случаях это линейная зависимость. Следова-
Рисунок 3.9 — Спектр пропускания фотонного кристалла с квадратной решеткой (а), фотонного квазикристалла с решеткой типа Пенроуза (б). (в) Спектры пропускания для квазикристаллической структуры с параметром сдвига в = 0 (синяя линия), в = 0.2 (оранжевая линия), в = 0.5 (зеленая линия). Спектр пропускания для метаматериала: (г) с квадратной решеткой, (д) с решеткой типа Пенроуза. (е) Спектры пропускания метаматериалов для разных значений
параметра сдвига
тельно, транспортный режим в квазикристалле такой же, как и в периодической структуре, и низкие частоты брэгговских резонансов не подтверждают отсутствие метаматериального режима в квазикристаллической структуре. В метаматериальном режиме минимум пропускания одинаков для периодических и квазикристаллических структур [Рисунок 3.10(б)].
Рисунок 3.10 — Зависимость минимума спектров пропускания от толщины структуры: (а) красными ромбиками обозначен фотонный кристалл с квадратной решеткой, сплошными и открытыми кружочками - основной и дополнительный минимумы квазикристалла, (б) режим метаматериала для обеих
типов решеток
3.1.3 Фотонный фазовый переход в квазикристаллической
структуре
В работе [91] авторы получили поляритонную особенность в квадратной решетке с диэлектрической проницаемостью £ = 200 и коэффициентом заполнения г/а = 0.4, тем самым продемонстрировав метаматериальный режим в диэлектрической структуре. Поляритонная особенность предполагает наличие моды с около-нулевым значением эффективной магнитной восприимчивости Цей', которая также свидетельствует о режиме метаматериала. Гауссов пучок с шириной перетяжки 10а падает на структуру треугольной формы, состоящей из диэлектрических цилиндров в узлах квадратной решетки. Распределение поля равномерно по всему объему структуры [Рисунок 3.11 (а)], что говорит о переходе структуры в режим около-нулевой магнитной восприимчивости.
Поскольку невозможно определить зонную диаграмму квазикристаллической структуры, появление фазы метаматериала определялось появлением однородной моды. Мы рассчитали распределение электромагнитного поля в квазикристаллической структуре с диэлектрической проницаемостью цилиндров £ = 200 и коэффициентом заполнения г/а = 0.4 [Рисунок 3.11 (б)] для
Рисунок 3.11 — Распределение электрического поля в призме, состоящей из диэлектрических цилиндров (а) квадратная решетка, (б) дополненная решетка
Пенроуза [107]
ТЕ поляризации (магнитное поле осциллирует вдоль оси цилиндра). Электромагнитное поле имеет однородное распределение по всей структуре, что доказывает существование режима около-нулевой магнитной восприимчивости ЦеА' в квазикристаллической структуре. Следовательно, можно предположить, что квазикристаллические структуры могут переходить в режим метаматери-ала, а также наличие низких частот брэгговских резонансов не обязательно приводит к тому, что в квазикристаллической структуре не может быть режима метаматериала.
Опираясь на исследования фотонного фазового перехода в периодических структурах, мы построили зависимость минимальной диэлектрической проницаемости цилиндров, образующих структуру, от симметрии вращения структуры. Зависимость минимального значения диэлектрической проницаемости растет квадратично от симметрии, то есть показатель преломления увеличивается по линейному закону (Рисунок 3.12). Стоит отметить, что из рассматриваемых структур на основе мозаики Пенроуза, описанных выше, метаматериальной структурой с минимальным значением диэлектрической проницаемости является структура, состоящая из цилиндров, расположенных в узлах классической мозаики Пенроуза. По этой причине фотонный фазовый переход рассматривается именно для этой структуры.
Как было описано выше, квазикристаллическая структура на основе мозаики Пенроуза имеет несколько конфигурации в зависимости от параметра сдвига в при построении структуры методом проекций. Исследовано распределение электромагнитного поля при падении гауссова пучка на структуры квадратной формы с квазикристаллической решеткой для трех конфигураций: в = 0, в = 0.2, в = 0.5 (Рисунок 3.13). В квазикристаллах с диэлектрической
3 4 5 6 7 8
л(С„)
Рисунок 3.12 — Зависимость квадратного корня минимума диэлектрической проницаемости цилиндров от поворотной симметрии структуры. Сплошная линия показывает аппроксимацию линейной функцией
проницаемостью е = 12 во всех трех структурах наблюдаются неравномерно распределенные по структуре колебания вектора электромагнитного поля (Рисунок 3.13 (а), (д), (и)). При диэлектрической проницаемости е = 35 в структуре наблюдается однородная мода с 8 = 0, что подтверждает переход структуры в режим метаматериала [Рисунок 3.13(б)]. Следует отметить, что промежуточное состояние с доменами [Рисунок 3.13(е),(к)] наблюдается в структурах с параметрами сдвига 8=0.2 и 8=0.5. Увеличивая диэлектрическую проницаемость, можно получить метаматериальный режим во всех структурах [Рисунок 3.13(г),(з),(м)]. Полученный результат подтверждает, что оптимальной квазикристаллической структурой для метаматериального режима является структура в конфигурации 8 = 0.
Точки фазового перехода определялись по возникновению однородной моды в структуре с решеткой Пенроуза. Построена фазовая диаграмма «фотонный квазикристалл - метаматериал» в осях (е - г/а) для ТЕ-поляризации
5 = 0 5 = 0.2 5 = 0.5
Рисунок 3.13 — Распределения магнитного поля для около-нулевого значения эффективной магнитной проницаемости в магнитных метаматериалах с параметром сдвига (а)-(г) 5=0, (д)-(з) 5=0.2, (и)-(м) й=0.5. Темно-синие пунктирные линии показывают границы структуры
(магнитное поле осциллирует вдоль оси ^). На Рисунке 3.14 показана фазовая диаграмма структуры, образованной заменой диэлектрических стержней в вершинах ромбов, образующих мозаику Пенроуза (й = 0). Диапазон коэффициента заполнения структуры составляет г/а = [0.17; 0.50]. В отличие от периодических структур, описанных в [25; 86; 108], минимум диэлектрической проницаемости £ в квазикристаллической структуре выше и равен 28.
0.30 0.40 г/а
Рисунок 3.14 — Фазовая диаграмма «фотонный квазикристалл - метамате-риал» для ТЕ поляризации. Большими кружками обозначена граница фазы метаматериала для решетки на основе мозаики Пенроуза. Границы получены из около-нулевого значения магнитной проницаемости ц
3.2 Квазикристаллическая структура с октагональной симметрией
Квазикристаллическая структура на основе мозаики Пенроуза с пен-тагональной поворотной симметрией является классической апериодической структурой для изучения, однако интерес вызывает и структура с октагональной симметрией. Двумерная квазипериодическая решетка с октагональной симметрией может быть получена из проекции четырехмерного гиперкуба на плоскость. Вершины такого гиперкуба расположены в узлах решетки Л0 = ^¡2Z 4. Опираясь на работу [159], мы проецируем четырехмерную решетку на плоскость через одну из двух взаимно ортогональных и дополнительных проекционных матриц. Здесь мы используем матрицу
Р 0 =
2
(
1 0
0 1
V
л/2 л/2
2 2
а/2 Л/2
2 2
72 2
72 2
1 1
\
2 72 2
0
0
/
(3.3)
1
Спроецировав решетку на плоскость, получим группу точек с базисными векторами:
01 = (1г + ) ,02 = (^тг + ^= (°г + 1 = 1 + 1т7) (3.4)
О!
• • • •
Рисунок 3.15 — (а) Базисные векторы. (б) Геометрические группы 01 [160]
Если мы выберем систему векторов ^(±^1, ±02, ±0з, ±04), как показано на Рисунке 3.15(а) в качестве исходной геометрической группы 01 [Рисунок 3.15(б)], алгоритм построения решетки можно представить в виде [161]:
Оп = Оп-1 + |6Г2дг}Оп-1, (3.5)
где §5 = 1 + у/2 — серебряное сечение, аналогичное золотому сечению, используемому в пропотипической квазипериодической структуре, основанной на мозаике Пенроуза. В таких обозначениях мы предполагаем, что каждая следующая группа получается добавлением к предыдущей вершин, найденных построением из каждой доступной точки базиса векторов, взятых со знаками «плюс» и «минус» и умноженных на серебрянное сечение до некоторой степени. Рисунок 3.16 показывает геометрию квазикристаллической структуры с октагональной симметрией. Выше мы говорили о поиске квазикристаллической структуры, фактор заполнения которой принадлежит линейной зависимости факторов заполнения для периодических структур. Однако для структуры с октагональной симметрией фактор заполнения / равен 0.26 [Рисунок 3.4(ж)] и лежит далеко за пределами представленной на рисунке зависимости.
Рассматриваемая структура состоит из цилиндров с диэлектрической проницаемостью £, расположенных в узлах квазикристаллической структуры с октагональной симметрией. Как и в случае квазикристаллической структуры с пентагональной симметрией, здесь исследуем распределение электромагнитного поля при падении гауссова пучка в ТЕ-поляризации (магнитное поле
Рисунок 3.16 — Схематическое изображение групп квазикристаллической решетки с октагональной симметрией: (а) О2, (б) О3 [160]
осциллирует вдоль оси цилиндра). В режиме квазикристалла (е = 20) поле распределено неоднородно [Рисунок 3.17(а)], в этом случае квазикристаллическая структура больше похожа на дифракционную решетку. При увеличении диэлектрической проницаемости цилиндров е до 100 наблюдается режим около-нулевого значения эффективной магнитной проницаемости ^eff [Рисунок 3.17(б)], что подтверждает переход структуры в режим метаматериала.
Рисунок 3.17 — Распределение электромагнитного поля в структурах, состоящих из диэлектрических цилиндров: (а) фотонный квазикристалл с е = 20 и (б) метаматериал с е = 100. Зеленые пунктирные линии показывают границы квазикристаллической структуры. Черные стрелки указывают направление падения гауссова пучка [160]
В квазикристаллической структуре с октагональной симметрией наблюдаются локализованные состояния, которые отсутствуют в структуре с пентагональной симметрией. Стоит отметить, что в этом случае минимум диэлектрической проницаемости значительно больше, чем в структуре с пента-гональной симметрией, и равен 67. Рисунок 3.12 показывает, что оптимальная
структура соответствует симметрии вращения С3, доступной в кристаллических решетках.
(а) (б)
«*• 1 1
Рисунок 3.18 — Распределение электромагнитного поля в квазикристаллической структуре (а) с октагональной симметрией, (б) с пентагональной
симметрией
3.3 Заключение
Мы показали, что транспортные свойства электромагнитных волн при распространении по квазикристаллическим структурам качественно такие же, как и в периодических структурах, и «сгущающееся» расположение дифракционных максимумов не запрещает существование режима метаматериала. Таким образом, метаматериал с резонансной зависимостью ц^ можно создать из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квазикристаллической структуры с пентагональной и октагональной симметрией. Наблюдается промежуточное состояние с доменами в квазикристаллической структуре с пентагональной симметрией при параметрах сдвига в = 0.2 и в = 0.5. Была построена фазовая диаграмма в осях (е - г/а), определяющие область существования метаматериала. Квазикристаллическая структура с октагональной симметрией позволяет получить локализованные состояния. Было показано, что минимум значения диэлектрической проницаемости для режима метмате-риала меньше в периодических структурах.
Глава 4. Влияние структурного беспорядка на связанные состояния
в континууме
В данной главе проведен строгий анализ добротности как защищенных симметрией ССК, так и ССК типа Фабри-Перо в двухслойной периодической сборке бесконечно длинных диэлектрических цилиндров с учетом структурного беспорядка в положении цилиндров, сохраняющего их параллельность, т.е. трансляционная симметрия. В отличие от работы [82], мы раскрываем два параллельных механизма потерь излучения из-за конечного числа периодов и рассеяния из-за структурного беспорядка. Находим амплитуду беспорядка, до которой колебания положения цилиндра парраллельно и перпендикулярно периоду дают независимый вклад в потери на излучение. Мы показали, что ССК типа Фабри-Перо более устойчив к флуктуациям периода, чем к возмущению расстояния между двумя слоями цилиндров. Напротив, защищенный симметрией ССК проявляет большую чувствительность к колебаниям расстояния между слоями. Кроме того, мы выявляем вызванную структурным беспорядком пространственную локализацию квази-ССК и доказываем, что она ограничивает добротность квази-ССК, если длина резонатора превышает длину локализации.
Начнем анализ с рассмотрения бесконечной периодической структуры без структурного беспорядка, показанной на Рисунке 4.1^). Он состоит из двух одинаковых периодических массивов бесконечно длинных диэлектрических цилиндров. Радиус цилиндров г = 0.5 см и период а = 3 см. Таким образом, элементарная ячейка структуры содержит два цилиндра, отстоящих друг от друга на расстояние Н. Для дальнейшего анализа будем использовать диэлектрическую проницаемость цилиндров £ = 2.1, что соответствует полимерам с малыми потерями, например, тефлону в диапазоне частот 0.1-10 ГГц [162; 163]. Преимущество таких материалов с низким показателем преломления состоит в том, что электромагнитное поле большей частью локализовано вне цилиндров, т. е. в воздухе, где потери пренебрежимо малы. Таким образом, поглощение материалов существенно подавляется, и мы не будем это учитывать в дальнейшем анализе. Рассмотренная двухслойная система удобна тем, что обеспечивает простой способ точной настройки защищенных симметрией ССК и ССК типа Фабри-Перо [164—167].
Рисунок 4.1 — Связанные состояния в континууме в двухслойной структуре бесконечных диэлектрических цилиндров. (а) Схематическое изображение фотонной структуры. (б) Распределение электрического поля Ег ССК типа Фабри-Перо (мода 1, мода 2) и защищенных симметрией (мода 3) ССК в Г-точке. Распределения полей соответствуют разным расстояниям между слоями Н (Н = 4.7 см для мод 1 и 3; Н = 3 см для моды 2). (в) Зонная диаграмма ТЕ-поляризованных мод. (г) Зависимость добротности ССК от расстояния между слоями Н [109]
Согласно теореме Блоха электрическое поле собственных мод можно записать в виде Е(х,у,г) = и^(х,у)егкхХ+гкх*. Здесь кг - волновое число, соответствующее направлению трансляционной симметрии, кх - блоховское волновое число, в — индекс полосы, для простоты мы опустим периодическую
функцию от х (х,у), период равен периоду структуры. Возникновение ССК в такой системе возможно только, если одна из компонент кг или кх равно нулю [164]. Далее мы ограничим наш анализ случаем ТЕ-поляризован-ных мод [Е = (0,0,Ег)] с кг = 0. В режиме ТЕ при кг = 0 можно написать Ег(х,у) = икх(х,у)егкхХ. Периодическую блоховскую амплитуду может быть разложена в ряд Фурье следующим образом:
и*. Ш = £ С,а, (У)е' ^ (4.1)
п
где п — номер канала дифракции. На частотах выше световой линии (ш/с > |&ж|) происходит утечка энергии из структуры в континуум излучения через открытые дифракционные каналы. ССК возникает, когда утечка во все открытые дифракционные каналы запрещена, т.е. комплексные коэффициенты Фурье Сп^х (у) - амплитуды уходящих волн - равны нулю. В субволновом режиме Л < а открыт только нулевой канал дифракции. Таким образом, амплитуда уходящей вытекающей волны определяется нулевым коэффициентом Фурье (у). По определению он равен усредненному за период полю, т.е. С0,кх(у) = (и0Лх(х,у))х. В структурах с обращением времени и п-поворотной симметрией, обозначенных как ТС|, коэффициент С0^х (у) становится чисто вещественным для ССК [168—170]. В Г-точке (центре зоны Бриллюэна) иих(х,у) является либо нечетной, либо четной функцией от х, поскольку фотонная структура С|-инвариантна [127; 171]. Очевидно, что для нечетной функции и^(х,у) коэффициент Фурье нулевого порядка равен нулю. В этом случае имеет место защищенные симметрией ССК - связь с континуумом излучения исчезает из-за точечной симметрии структуры. В случае четной моды среднее по пространству (и0,кх(х,у))х может обращаться в нуль не только из-за соображений симметрии, но и при определенных значениях параметров структуры, таких как период, радиус цилиндров, диэлектрическая проницаемость, расстояние между слоями, приводящие к возникновению ССК типа Фабри-Перо, также называемых перестраиваемыми ССК.
На Рисунках 4.1(б),(в) показаны спектры ТЕ-мод и распределение электрического поля для возможных ССК, появившихся в Г-точке. Мода 3 является нечетной по отношению к преобразованию С-- и, следовательно, имеет защищенный симметрией ССК, помеченный как эр-ССК. Моды 1 и 2 четны по отношению к преобразованию и, следовательно, могут иметь только ССК
типа Фабри-Перо. Зависимость добротности всех трех мод в Г-точке от расстояния между слоями Н показана на Рисунке 4.1(г). Из рисунка видно, что ССК в Г-точке мод 1 и 2 появляются только на определенных расстояниях между слоями, а добротность эр-ССК нечувствительна к Н. Спектральное положение Г-точки для всех трех мод в зависимости от Н показано на Рисунке Б.1 в Приложении Б. Моды 1 и 2 имеют разные симметрии по отношению к преобразованию у ^ —у. Мода 1 четная (симметричная), а мода 2 нечетная (антисимметричная). Таким образом, мы обозначаем соответствующие ССК как э-ССК и а-ССК. Эти ССК можно рассматривать как резонансы Фабри-Перо, образованные за счет полного отражения от массива цилиндров.
4.1 Зависимость добротности ССК от структурного беспорядка
В этом разделе мы рассматриваем структуру конечного размера, состоящую из N периодов, с учетом структурного беспорядка.
Теперь проанализируем вклад структурного беспорядка Qdis в общий коэффициент добротности Qtot, равный = + 1/^^. Мы анализиру-
ем, как некоррелированный беспорядок влияет на добротность как защищенных симметрией квази-ССК, так и квази-ССК типа Фабри-Перо. Для неупорядоченных структур, состоящих из цилиндров, координаты х и у центров цилиндров изменяются независимо как £ = £0 + Я • а• а, где £ и £0 — измененная и неизмененная координата соответственно; а - степень беспорядка; Я — это равномерно распределенное случайное число в диапазоне [—1; 1]. Далее рассмотрим три случая: (1) флуктуация периода а (т.е. беспорядок вдоль направления х), (п) флуктуация межслоевого расстояния Н (т.е. беспорядок вдоль направления у) и (ш) сочетание обоих флуктуаций.
Методом конечных элементов рассчитаны собственные частоты и добротности неупорядоченного массива цилиндров с конечным числом периодов N. Мы собрали данные по ансамблю из 100 структур для каждого значения амплитуды а при заданной длине массива. Затем вычислялась средняя добротность как (О) = ^Г=1 Ц^/т, где т — количество структур и равно 100.
В работах [110—112] описывается так называемая супермода, которая является результатом конструктивной интерференции мод горизонтального пе-
Рисунок 4.2 — Зависимость среднего значения добротности Qtot неупорядоченных структур от степени беспорядка а для э-ССК типа Фабри-Перо
(г) и защищенных симметрией эр-ССК (д). Столбцы указывают стандартное отклонение. Количество периодов N = 100. Схематическое изображение двухслойного резонатора со структурным беспорядком (в) по оси х, (г) по оси у и
(д) по обеим осям. Закрашенными зелеными кружками обозначено положение цилиндров в упорядоченной структуре, синие открытые кружки соотвествуют
структуре с беспорядком [109]
риодического резонатора и вертикального резонатора типа Фабри-Перо. В этой работе полученные моды мы называем ССК типа Фабри-Перо. На Рисунке 4.2 показано уменьшение добротности как для защищенных симметрией ССК, так и для ССК типа Фабри-Перо с ростом некоррелированного беспорядка. Как упоминалось выше, ССК типа Фабри-Перо требует определенных значений расстояния между слоями к, при которых фазовый сдвиг туда и обратно накапливается до величины, кратной 2п. Поэтому флуктуация вдоль оси у разрушает преимущественно ССК типа Фабри-Перо, в результате чего добротность значи-
Рисунок 4.3 — (а) Среднее значение добротности Qtot э-ССК типа Фабри-Перо в структуре с беспорядком вдоль оси х для разных значений числа периодов N. Вертикальные столбцы показывают стандартное отклонение. Сплошные линии показывают приближение. (б) Среднее значение Q-iS э-ССК типа Фабри-Перо, поддерживаемого структурой с беспорядком вдоль оси х, с разным числом периодов N. Синие, красные и зеленые символы соответствуют N = 100,150, 200
соответственно [109]
тельно падает [Рисунок 4.2(а)]. В случае беспорядка по обеим осям основной вклад в уменьшение добротности вносит беспорядок по оси .
Напротив, защищенный симметрией ССК возникает на любом расстоянии между слоями, поскольку симметрия практически сохраняется (Рисунок 4.1). Поэтому разупорядочение по оси у не должно сильно влиять на добротность по сравнению с беспорядком по оси х, нарушающим периодичность и вращательную симметрию структуры. Численное моделирование подтверждает, что беспорядок по оси х вызывает более быстрое уменьшение добротности и его вклад является решающим по сравнению с влиянием беспорядка по оси у [Рисунок 4.2(б)].
Как правило, кроме перерассеяния на несовершенствах из-за структурного беспорядка, существуют и другие источники потерь (поглощение в материале, просачивание в подложку, шероховатость поверхности, конечный размер образца), которые вносят вклад в общую скорость затухания ~ QtOt. По-
0.025 0.05 0.075 0.1
а а
Рисунок 4.4 — Среднее значение Q-1: (а) защищенный симметрией ССК, (б) э-ССК типа Фабри-Перо. Синие квадраты показывают зависимость обратного среднего значения добротности от степени беспорядка по обеим осям, зеленые точки - разность, соответствующую уравнению (4.4). Сплошные линии служат ориентирами только для глаз. Красным пунктиром показана область степени беспорядкаа, где уравнение (4.4) неверно [109]
скольку в данном случае поглощение материала и шероховатость поверхности пренебрежимо малы, доминирующими механизмами потерь, ограничивающими общую добротность, являются конечная длина системы и структурный беспорядок.
1
1
1
Qtot Qord
где Q0rd — радиационная добротность идеально упорядоченного массива цилиндров с конечным числом цилиндров, а Qdis отвечает за радиационные потери из-за беспорядка. Торцы конечной структуры действуют как частично отражающие зеркала, внося дополнительные потери на излучение из-за утечек с торцов. Поскольку конечная структура не является истинно периодической, направления дифракции размываются, что приводит к дополнительным дифракционным потерям. Таким образом, настоящий ССК переходит в резонансное состояние (квази-ССК) с конечной добротностью [35]. Недавно было показано, что ^-фактор защищенных симметрией квази-ССК растет как ~ Ы2,
[см. [172]], а добротность Q квази-ССК типа Фабри-Перо возникающая в центре зоны Бриллюэна, увеличивается как ^ N3, см. ссылки [172; 173].
Теперь рассмотрим, можно ли разложить потери из-за беспорядка вдоль осей х и у на два слагаемых, соответствующих беспорядку вдоль каждой оси в отдельности.
1
1 1
+
Ох,у Ох 'Оу
^dis ^dis ^dis
:4.з)
Чтобы подтвердить это разложение, мы рассмотрим вспомогательное выражение, объединяя уравнения (4.2) и (4.3) как
А =
1
1
« Q
X
tot
11
+
оу
Vtot
Q
:4.4)
ord
которые должны быть равны нулю, если equation разложения (4.3) верно. На Рисунке 4.4 показано сравнение полной добротности ^^-неупорядоченной структуры с разностью А. Как видно, А близка к нулю во всем диапазоне а для защищенного симметрией ССК и ниже а = 0.7 для ССК типа Фабри-Перо. Таким образом, разброс по осям х и у вносит вклад в общие потери независимо друг от друга.
Рисунок 4.5 — Зависимость средней резонансной частоты от структурного беспорядка а для (а) ССК типа Фабри-Перо и (б) защищенного симметрией ССК. Зеленые треугольники показывают зависимость беспорядка вдоль оси х, синие треугольники - вдоль оси у, красные - по обеим осям [174]
Мы исследовали зависимость резонансной частоты от степени беспорядка а (Рисунок 4.5). Для ССК типа Фабри-Перо и защищенных симметрией ССК резонансная частота слабо меняется с ростом беспорядка. Как показано на Рисунке 4.5, в обоих случаях беспорядок по оси х вносит больший вклад в изменение резонансной частоты. Это связано с тем, что защищенный симметрией ССК возникает при любых расстояниях между слоями к, а ССК типа Фабри-Перо зависит только от расстояния между цилиндрами а.
4.2 Локализация электромагнитного поля
Независимо от типа беспорядка, добротность как защищенных симметрией ССК, так и ССК типа Фабри-Перо характеризуются специфической зависимостью от амплитуды беспорядка а. Рассмотрим ССК типа Фабри-Перо в структуре с беспорядком по оси х. На Рисунке 4.3 показаны два участка зависимости (^(а), которые постоянные (малые а) и квадратичные (большие а). В первой области, где а < 0.01, добротность равна добротности идеально упорядоченной структуры с конечным числом периодов N. Добротность ограничена из-за потерь на излучение на концах решеток. Напротив, при а > 0.01 основной вклад в потери излучения вносят акты рассеяния на структурном беспорядке, приводящем к квадратичному затуханию добротности.
На Рисунке 4.4 данные, соответствующие сильному беспорядку, обведены кружком, чтобы подчеркнуть отклонение от закона суммирования для ССК типа Фабри-Перо. Мы предполагаем, что это отклонение связано с унаследованной от одномерных неупорядоченных систем локализацией волн [77; 113], что приводит к эффективной редукции структуры и, следовательно, к дополнительному механизму уменьшения добротности. Исследуется распределение электрического поля вдоль структур разной длины. На Рисунке 4.6 сравниваются огибающие для случая отсутствия беспорядка и случая степени беспорядка а = 0.085. При короткой цепочке N ^ 60 все оболочки имеют почти одинаковую форму [Рисунок 4.6(а)], однако для более крупных систем N > 60 полуширина оболочек становится равной короче с а и не зависит от N. Структуры без беспорядка имеют распределение поля с полушириной около половины длины самого слоя. Распределение поля имеет такой же вид, как и в случае
беспорядок вдоль оси х беспорядок вдоль оси у беспорядок вдоль обеих осей
Рисунок 4.6 — Распределение электромагнитной энергии по двухслойному резонатору в случае ССК типа Фабри-Перо. Закрашенные разными цветами области показывают несколько реализаций беспорядка а = 0.085. Серые кривые соответствуют распределению энергии по упорядоченным структурам. (а) N = 60, (б) N = 100, (в) N = 150, (г) N = 200. Черными пунктирными линиями на панелях (б)-(м) для сравнения показано распределение энергии в цепочке N = 60 в отсутствии беспорядка, т.е. а = 0 [109]
идеальной структуры длиной N = 60 (показана черной штриховой линией на Рисунке 4.6(б),(г). Таким образом, локализация, вызванная беспорядком, является частью дополнительного механизма, ограничивающего добротность системы за счет уменьшения эффективной длины. Для наиболее практичных более коротких структур локализацией можно пренебречь, ее необходимо учитывать однако для более крупных структур.
4.3 Заключение
В заключение мы выяснили, как некоррелированный структурный беспорядок влияет на защищенные симметрией ССК и ССК типа Фабри-Перо в одномерной периодической структуре, состоящей из двух слоев диэлектрических цилиндров. Независимо от направления возмущения положения цилиндров добротность как защищенных симметрией ССК, так и ССК типа Фабри-Перо убывает квадратично с амплитудой беспорядка а. Важно отметить, что защищенные симметрией ССК более устойчив к флуктуациям расстояния между слоями, чем к флуктуациям периода. И наоборот, ССК типа Фабри-Перо более устойчив к флуктуациям в направлении периодичности. Мы показали, что отклонения положения структурных элементов вдоль периода и вдоль расстояния между слоями вносят свой вклад в потери независимо. Для больших значений амплитуды беспорядка а или большого числа периодов локализация электромагнитной энергии подавляет общую добротность за счет эффективного уменьшения длины резонатора.
Заключение
В диссертационной работе численно и аналитически исследуются условия возникновения и устойчивости резонансных состояний в диэлектрических фотонных структурах. Основные результаты работы:
1. Продемонстрирована возможность существования диэлектрических ме-таматериалов с электрическим откликом, а также построена фазовая диаграмма «фотонный кристалл - метаматериал» в ТМ поляризации для структуры, состоящей из диэлектрических цилиндров в узлах треугольной и квадратной решеток.
2. Построена фазовая диаграмма квазикристаллических фотонных структур на основе мозаики Пенроуза с магнитным откликом.
3. Продемонстрировано, что подход гомогенизации единым набором эффективных материальных параметров не позволяет описать все множество задач. При этом можно ввести отдельный набор эффективных параметров для описания распределения поля внутри структуры и другой - для распространения полей за пределами образца.
4. Показано, что в двухслойном резонаторе независимо от направления возмущения положения цилиндров добротность как защищенных симметрией квази-ССК, так и квази-ССК типа Фабри-Перо убывает квадратично с амплитудой беспорядка а. Важно отметить, что защищенный симметрией ССК более устойчивы к флуктуациям расстояния между слоями, чем к флуктуациям периода. И наоборот, ССК типа Фабри-Перо более устойчивы к флуктуациям в направлении периодичности. Флуктуации периода и расстояния между слоями вносят свой вклад в радиационные потери независимо.
5. Показано, что для больших значений амплитуды беспорядка а или длинных структур локализация электромагнитной энергии подавляет общую добротность за счет эффективного уменьшения длины системы.
Список иллюстративного материала
1 Зонная диаграмма фотонной структуры, состоящей из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки; поляризация ТМ. (а) Фотонный кристалл с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1. (б) Метаматериал с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. Вторая дисперсионная ветвь на диаграммах выделена толщиной линии. Зеленые кружки соответствуют нижней границе второй запрещенной зоны; красный пунктир показывает частоты максимального усиления поля на безразмерных частотах а/\ = 0.518 и а/\ = 0.472 в структурах из 5 на 250 цилиндров. (в) Эффективная диэлектрическая проницаемость £eff метаматериала с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. Серая заливка на панелях (б) и (в) соответствует запрещенной зоне Ми [86] ................ 15
2 Фотонная фазовая диаграмма ТМ+ТЕ для структур, состоящих из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки. Область электрического метаматериала для ТМ поляризации отмечена синей заливкой. Область магнитного метаматериала для ТЕ поляризации отмечена красной заливкой. Кружки показывают границу фаз, определенную из анализа зонных диаграмм. Сплошные кривые - аппроксимация границы. Коричневые крестики соответствуют режимам фотонного
кристалла (£ = 12; г/а = 0.1) и метаматериала (£ = 30; г/а = 0.1) [86] 17
3 Локализация электрического поля в пластинке, представляющей собой фотонный кристалл с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1 или метаматериал с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. (а) Распределение электрического поля по пластинке фотонного кристалла. (б) Интенсивность электрического поля в фотонном кристалле без учета поля в цилиндрах, нормированная на интенсивность электрического поля в свободном пространстве. (в) Интенсивность электрического поля в метаматериале без учета поля в цилиндрах, нормированная на интенсивность электрического поля в свободном пространстве. (г) Распределение электрического поля по пластинке метаматериала в режиме около-нулевой диэлектрической проницаемости. Зеленым пунктиром обозначены границы пластинок. Черные стрелки показывают направление падения гауссова пучка [86] ............................ 18
4 Зонные диаграммы для треугольной решетки при коэффициенте заполнения структуры г/а = 0.07: (а) фотонный кристалл (£ = 8), (б) промежуточное состояние (£ = 26), (в) метаматериал (£ = 40). Жирной линией обозначена вторая дисперсионная ветвь. Серым прямоугольником отмечена область зонной диаграммы, для которой были рассчитаны изочастотные контуры. (г)-(е) Изочастотные контуры, соответствующие зонным диаграммам (а)-(в). Незакрашенная область - зона Бриллюэна треугольной решетки. Жирной линией выделены контуры, соотсветсвующие частотам: (а),(г) а/Л=0.580, (б),(д) а/Л=0.571, (в),(е) а/Л=0.515; пунктирные линии на панели (д) а/Л=0.569. На вставках -структура в прямом пространстве (а) и зона Бриллюэна (б) [96] . . . 21
5 Фазовая диаграмма «фотонный кристалл - метаматериал» для ТМ поляризации. Большими кружками обозначена граница фазы метаматериала для треугольной решетки; маленькие кружки - для квадратной решетки [96] ......................... 23
6 Зависимость напряженности электромагнитного поля от степени структурного беспорядка а в метаматериальной структуре с диэлектрической проницаемостью £ = 30 и коэффициентом заполнения г/а = 0.1. На вставке показана гистограмма для
а = 0.003, красная линия — аппроксимация логнормальной функцией 25
7 Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от безразмерной частоты а/\. Сравнение обработок гомогенизации: внутренняя (синие сплошные символы), внешняя (красные открытые символы) и микроскопическое усреднение (зеленая пунктирная линия). Синие и красные сплошные линии служат ориентиром только для глаз. Тонкие серые линии показывают нулевую и микроскопическую усредняющую резонансную частоту гомогенизации. На вставке показана кривая, полученная
микроскопическим усреднением, в увеличенном масштабе [101] ... 27
8 Схематическое изображение ромбов, образующих мозаику Пенроуза. Голубым цветом обозначен широкий ромб, розовым -узкий. Справа представлен фрагмент мозаики Пенроуза с пентагональной симметрией С5, параметр сдвига s = 0........ 29
9 Структурный фактор для треугольной решетки (красные точки), квадратной решетки (черные точки) и дополненной решетки Пенроуза (синие точки). Красными стрелками показаны базисные вектора решетки Пенроуза........................ 30
10 Зависимость минимума спектров пропускания от толщины структуры: (а) фотонный кристалл и квазикристалл, (б) режим метаматериала............................... 31
11 Распределение электрического поля в призме, состоящей из диэлектрических цилиндров (a) квадратная решетка, (б) дополненная решетка Пенроуза [107] .................. 32
12 Фазовая диаграмма «фотонный квазикристалл - метаматериал» для ТЕ поляризации. Большими кружками обозначена граница фазы метаматериала для решетки на основе мозаики Пенроуза. Окружности — это границы, полученные из около-нулевого
значения магнитной проницаемости ц.................. 33
13 Распределение электромагнитного поля в квазикристаллической структуре (а) с октагональной симметрией, (б) с пентагональной симметрией ................................. 33
14 Зависимость среднего значения добротности Qtot неупорядоченных структур от амплитуды беспорядка а для s-ССК типа Фабри-Перо (г) и защищенных симметрией sp-ССК (д). Столбцы указывают стандартное отклонение. Количество периодов N = 100. Схематический вид резонатора со структурным беспорядком (в) по оси х, (г) по оси у и (д) по обеим осям. Зеленые сплошные кружки показывают упорядоченную структуру, синие открытые кружки показывают структуры с беспорядком [109]............... 35
15 Распределение электромагнитной энергии по двухслойному резонатору в случае ССК типа Фабри-Перо (s-ССК). Закрашенные разными цветами области показывают несколько реализаций беспорядка а = 0,085 по вдоль оси х. Серые кривые соответствуют распределению энергии по упорядоченным структурам. (а) N = 60, (б) N = 100, (в) N = 150, (г) N = 200. Черными пунктирными линиями на панелях (б)-(г) для сравнения показано распределение энергии в цепочке N = 60 в отсутствии беспорядка а = 0....... 36
16 Band diagram of a photonic structure consisting of dielectric rods located at the nodes of a square lattice; polarization TM. (a) Photonic crystal with parameters £ = 12 and r/a = 0.1. (b) Metamaterial with parameters £ = 30 and r/a = 0.1. The second dispersion branch in the diagrams is highlighted by the thickness of the line. Green circles correspond to the lower limit of the second band gap; the red dotted line shows the frequencies of maximum field enhancement at dimensionless frequencies a/\ = 0.518 and a/\ = 0.472 in structures of 5 by 250 rods. (c) Effective permittivity £eff of a metamaterial with parameters £ = 30 and r/a = 0.1. The gray shading in panels (b) and
(c) corresponds to the band gap Mie [86] ................. 48
17 Photonic phase diagram TM+TE for structures consisting of dielectric rods located at the nodes of a square lattice. The electrical metamaterial region for TM polarization is marked with blue shading. The magnetic metamaterial region for TE polarization is marked with red shading. The circles show the phase boundary determined from the analysis of band diagrams. Solid curves - approximation of the boundary. Brown crosses correspond to the photonic crystal (£ = 12;
r/a = 0.1) and metamaterial (£ = 30; r/a = 0.1) [86].......... 49
18 Localization of the electric field in a plate that is a photonic crystal with parameters £ = 12 and r/a = 0.1 or a metamaterial with parameters £ = 30 and r/a = 0.1. (a) Electric field distribution over a photonic crystal plate. (b) Electric field intensity in a photonic crystal without taking into account the field in the rods, normalized to the electric field intensity in free space. (c) Electric field intensity in the metamaterial without taking into account the field in the rods, normalized to the electric field intensity in free space. (d) Electric field distribution over a metamaterial plate in the regime of near-zero dielectric permittivity. The green dotted line indicates the boundaries of the plates. Black arrows show the direction of incidence of the Gaussian beam [86] ............................ 51
19 Band diagrams for a hexagonal lattice with a structure filling factor r/a = 0.07: (a) photonic crystal (£ = 8), (b) intermediate state (£ = 26),
(c) metamaterial ( varepsilon = 40). The thick line indicates the second dispersion branch. The gray rectangle marks the area of the band diagram for which the isofrequency contours were calculated.
(d)-(e) Isofrequency contours corresponding to band diagrams (a)-(c). The unshaded area is the Brillouin zone of the hexagonal lattice. The bold line highlights the contours corresponding to the frequencies: (a), (d) a/A=0.580, (b), (e) a/A=0.571, (c), (f) a/A=0.515; dashed lines in panel (e) a/A=0.569. The insets show the structure in direct space (a)
and the Brillouin zone (b) [96] ....................... 53
20 Phase diagram "photonic crystal - metamaterial" for TM polarization. Large circles indicate the metamaterial regime boundary for a
hexagonal lattice; small circles - for a square lattice [96]......... 55
21 Dependence of the electromagnetic field strength on the degree of structural disorder a in a metamaterial structure with dielectric permittivity £ = 30 and filling factor r/a = 0.1. The inset shows a histogram for a = 0.003, the red line is the lognormal function approximation ................................ 57
22 Dependence of the effective dielectric permittivity on the dimensionless frequency a/\. Comparison of homogenization treatments: internal (blue solid symbols), external (red open symbols), and microscopic averaging (green dotted line). The blue and red solid lines serve as a guide for the eyes only. Thin gray lines indicate the zero and microscopic averaging resonant frequency of homogenization. The inset
shows the curve obtained by microscopic averaging on an enlarged scale. 59
23 Schematic representation of the rhombi that form the Penrose tiling. The blue color indicates a thick rhomb, and the pink color indicates a thin one. On the right is a fragment of a Penrose tiling with pentagonal symmetry C5, shift parameter s = 0.................... 60
24 Structure factor for hexagonal lattice (red dots), square lattice (black
dots) and extended Penrose lattice (blue dots) .............. 61
25 Dependence of the transmission spectra minimum on the thickness of the structure: (a) photonic crystal and quasicrystal, (b) metamaterial
mode ..................................... 61
26 Electric field distribution in a prism consisting of dielectric rods (a)
square lattice, (b) extended Penrose lattice [107]............. 61
27 Phase diagram "photonic quasicrystal - metamaterial" for TE polarization. Circles indicate the phase boundary metamaterial for lattice based on Penrose tiling. The circles are the boundaries obtained from the ^-near-zero............................. 62
28 Electromagnetic field distribution in a quasicrystal structure (a) with octagonal symmetry, (b) with pentagonal symmetry........... 63
29 Dependence of the average factor Qtot of disordered structures on the disorder amplitude a for a a-BIC of Fabri-Perot type (a) and symmetry-protected sp-BIC (b). Columns indicate standard deviation. Number of periods N = 100. Schematic view of an array of rods with structural disorder (c) along the x axis, (d) along the y axis, and (e) along both axes. Green solid circles show ordered structures, blue open circles show disordered structures [109] .................. 64
30 Distribution of electromagnetic energy along a circuit during BIC of Fabri-Perot type (s-BIC). Curves with areas shaded in different colors show several realizations of disorder o = 0.085 along the x axis. Gray curves—distribution of structures without disorder. (a) N = 60, (b) N = 100, (c) N = 150, (d) N = 200. For comparison, the black dotted lines in panels (b)-(d) show the energy distribution in the N = 60 chain
without (J =0 disorder........................... 66
1.1 Прохождение луча через границу двух сред. 1 - падающий луч, 2 -отраженный луч, 3 - преломленный луч в случае, когда вторая среда левосторонняя, 4 - преломленный луч в случае, когда вторая среда правосторонняя. Рисунок воспроизводится по статье [119]. . . 80
1.2 Поляритонная особенность в зонной диаграмме метаматериала. Рисунок воспроизводится по статье [120] ................ 81
1.3 Поляритонная особенность в зонной диаграмме метаматериала. Квадратная решетка, £=200. Рисунок воспроизводится по статье [91] 82
1.4 Фазовая диаграмма «фотонный кристалл - метаматериал» для квадратной решетки диэлектрических цилиндров при ТЕ поляризации. Диэлектрическая проницаемость £ различных материалов обозначена горизонтальными линиями. Рисунок воспроизводится по статье [25] ...................... 83
1.5 Резкое изменение картины магнитного поля в зависимости от режимов фотонного кристалла или метаматериала (или соответствующей фазы). Расчет распределения поля для самой низкой частоты второй дисперсионной ветви в зависимости от радиуса цилиндра. Падающий гауссов пучок распространяется вдоль направления ГХ (a) - (d) или вдоль направления ГМ (e) - (h).
Граница структуры отмечена серой пунктирной линией; стрелками показано направление падения гауссова пучка, диэлектрическая проницаемость цилиндров £ = 25. Рисунок воспроизводится по
статье [97].................................. 84
1.6 Схематическое изображение квантовой ямы, дискретных уровней и континуума свободных фотонов. Рисунок воспроизводится по статье [125] ................................. 86
1.7 Пара вытекающих управляемых мод сильно связана в начале пространства импульсов, если структура периодичсная. Сильная связь вызывает конструктивное и деструктивное вмешательство. Первый создает утекающую моду с большими потерями излучения; последнее приводит к ССК с бесконечной радиационной добротностью. Рисунок воспроизводится по статье [125] ........ 87
1.8 Разбиение на конечные элементы элементарной ячейки двухслойного резонатора ......................... 90
2.1 Зонная диаграмма фотонной структуры, состоящей из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки; поляризация ТМ. (а) Фотонный кристалл с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1. (б) Метаматериал с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. Вторая дисперсионная ветвь на диаграммах выделена толщиной линии. Зеленые кружки соответствуют нижней границе второй запрещенной зоны; красный пунктир показывает частоты максимального усиления поля на безразмерных частотах а/Л = 0.518 и а/Л = 0.472 в структурах из 5 на 250 цилиндров. (в) Эффективная диэлектрическая проницаемость £eff метаматериала с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. Серая заливка на панелях (б) и (в) соответствует запрещенной зоне Ми [86] ................ 94
2.2 Фотонная фазовая диаграмма ТМ+ТЕ для структур, состоящих из диэлектрических цилиндров, расположенных в узлах квадратной решетки. Область электрического метаматериала для ТМ поляризации отмечена синей заливкой. Область магнитного метаматериала для ТЕ поляризации отмечена красной заливкой. Кружки показывают границу фаз, определенную из анализа зонных диаграмм. Сплошные кривые - аппроксимация границы. Коричневые крестики соответствуют режимам фотонного кристалла (£ = 12; г/а = 0.1) и метаматериала (£ = 30; г/а = 0.1), рассматриваемым в данном разделе [86] ................ 95
2.3 Распределение электрического поля в режиме с около-нулевым значением эффективной диэлектрической проницаемости по образцам электрических метаматериалов имеющим разную форму [профиль - треугольник (а),(б), квадрат (в),(г) и круг (д),(е)] и разное направление кристаллических осей [направления ГМ (а),(в),(д) и ГХ (б),(г),(е)]. Зеленый пунктир показывает границы образцов метаматериала. Черные стрелки показывают направление падения гауссова пучка. На вставках к панелям (а) и (б) показано распределение электрического поля в увеличенном масштабе. а/\ = 0.471, £ = 30, г/а = 0.1, поляризация ТМ [86] ............. 98
2.4 Локализация электрического поля в пластинке, представляющей собой фотонный кристалл с параметрами £ = 12 и г/а = 0.1 или метаматериал с параметрами £ = 30 и г/а = 0.1. (а) Распределение электрического поля по пластинке фотонного кристалла. (б) Интенсивность электрического поля в фотонном кристалле без учета поля в цилиндрах, нормированная на интенсивность электрического поля в свободном пространстве. (в) Интенсивность электрического поля в метаматериале без учета поля в цилиндрах, нормированная на интенсивность электрического поля в свободном пространстве. (г) Распределение электрического поля по пластинке метаматериала в режиме около-нулевой диэлектрической проницаемости. Зеленым пунктиром обозначены границы пластинок. Черные стрелки показывают направление падения гауссова пучка [86] ............................ 99
2.5 (а) Карта запрещенных зон структуры с треугольной решеткой для диапазон диэлектрической проницаемости £ = [1..100] и фиксированного фактора заполнения г/а = 0.07 в ТМ поляризации. Выделенные голубым цветом области соответствуют запрещенным зонам в фотонной структуре, черным - максимум резонансов Ми на структурных элементах (одиночных цилиндрах). Черный кружок показывает точку отщепления запрещенной зоны Ми от брэгговской стоп-зоны. Вертикальный пунктир - граница между фотонным кристаллом и метаматериалом. (б) Спектры рассеяния Ми на одиночном цилиндре: сплошная черная линия соответствует ТМ поляризации, пунктир - ТЕ поляризация [96] . . 102
2.6 Занные диаграммы для диэлектрической структуры с треугольной решеткой, коэффициент заполнения структуры г/а = 0.07: (а) фотонный кристалл (£ = 8), (б) промежуточное состояние (£ = 26),
(в) метаматериал (£ = 40). Жирной линией обозначена вторая дисперсионная ветвь. Серый прямоугольник показывает область частот, для которой были рассчитаны изочастотные контуры.
(г)-(е) Изочастотные контуры, соответствующие зонным диаграммам (а)-(в). Незакрашенная область соответствует зоне Бриллюэна треугольной решетки. Жирной линией выделены контуры, соотсветсвующие частотам: (а),(г) а/Л=0.580, (б),(д) а/Л=0.571, (в),(е) а/Л=0.515; пунктирные линии на панели (д) а/Л=0.569. На вставках - (а) структура в прямом пространстве и
(б) зона Бриллюэна [96]..........................103
2.7 Фазовая диаграмма «фотонный кристалл - метаматериал» для ТМ поляризации. Открытыми синими кружками обозначена граница режима метаматериала для треугольной решетки; фиолетовые сплошные кружки соотвествуют квадратной решетке [96] ......104
2.8 Зонные диаграммы диэлектрических цилиндров, расположенных в квадратной решетке для ТМ-поляризации. (а) Метаматериал с
£ = 30 и г/а = 0.1. (б) Фотонный кристалл с £ = 30 и г/а = 0.07. Вторая ветвь на диаграммах отмечена жирными линиями. Зеленые линии соответствуют нижней границе второй полосы ......... 107
2.9 Распределение электрического поля в структуре, состоящей из диэлектрических цилиндров с £ = 30, в двух режимах: метаматериальный [(а)-(г) г/а = 0.1] и фотонный кристалл [(д)-(з) г/а = 0.07]. Синими пунктирными линиями показаны границы структуры. Черные стрелки указывают направление падения
гауссова луча ...............................108
2.10 Напряженность электрического поля, нормированная на напряженность в свободном пространстве, без учета поля внутри цилиндров для режима метаматериала (£ = 30, г/а = 0.1): (а) сплошная структура, (б) полая структура ...............108
2.11 Распределение электромагнитного поля в структуре с беспорядком в режиме метаматериала: (а)-(е) £ = 30, г/а = 0.1, (ж)-(м) £ = 40,
г/ = 0.1...................................109
2.12 Зависимость напряженности электромагнитного поля от степени структурного беспорядка а в метаматериальной структуре с диэлектрической проницаемостью £ = 30 и коэффициентом заполнения г/а = 0.1. На вставке показана гистограмма для
а = 0.003, красная линия — аппроксимация логнормальной функцией 110
2.13 Распределение электромагнитного поля в метаматериале со структурным беспорядком, диэлектрической проницаемостью £ = 30, фактором заполнения г/а = 0.1 и степенью беспорядка а = 0.003: (а) частота однородной моды, (б) низшая частота в структуре
с беспорядком ............................... 111
2.14 Зависимость однородной частоты от размера структуры (п х п). Синяя пунктирная линия показывает экспоненциальную аппроксимацию...............................112
2.15 Схематическое изображение металинзы, состоящей из диэлектрических цилиндров. Черная стрелка показывает направление падения гауссова пучка [101] ...............114
2.16 Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от безразмерной частоты а/Л. Сравнение обработок гомогенизации: внутренняя (синие сплошные символы), внешняя (красные открытые символы) и микроскопическое усреднение (зеленая пунктирная линия). Синие и красные сплошные линии служат ориентиром только для глаз. Тонкие серые линии показывают нулевую и микроскопическую усредняющую резонансную частоту гомогенизации. На вставке показана кривая, полученная
микроскопическим усреднением, в увеличенном масштабе [101] . . . 117
2.17 Распределения электрического поля в обычной линзе (а)-(г), металинзе (д)-(з). Черные пунктирные линии показывают границы структуры метаматериала. Черные стрелки указывают направление падения гауссова пучка. ТМ поляризация [101] ............ 118
2.18 Интенсивность электрического поля вблизи фокуса для обычной линзы (а) и металинзы (б). (в) и (г) показывают полную интенсивность. Серые прямоугольники обозначают область, показанную на (а) и (б) [101] ....................... 119
2.19 Зависимость фокусировки от а/Л (синие кружки) в случае металлической линзы и от диэлектрической проницаемости £ (красные пустые прямоугольники) в случае обычной линзы [101] . . 120
3.1 Схематическое изображение ромбов, образующих мозаику
Пенроуза. Голубым цветом обозначен широкий ромб, розовым - узкий 124
3.2 Построение одномерных квазикристаллов типа Фибоначчи методом проектирования. Черные кружки - узлы квадратной решетки. -физическое пространство, Я± - пространство проекций. Проекция элементарной ячейки квадратной решетки (заштрихована) в пространство проекций определяет «окно проецирования». Проекция узлов квадратной решетки на физическое пространство формирует узел квазикристалла при условии попадания этого узла
в пространстве проекций в «окно проецирования» [105]........125
3.3 Проекция элементарной ячейки пятимерной гиперкубической решетки в трехмерное пространство, имеющая вид икосаэдра. Черные пятиугольники показывают сечения икосаэдра плоскостями
3.4 Зависимость максимального фактора заполнения от индекса симметрии. Синие кружки соответствуют максимальному фактору заполнения для структур, черная линия - линейное приближение. Вставки: (а) треугольная решетка, (б) квадратная решетка, (в) решетка графена, (г) квазикристаллическая решетка Пенроуза с симметрией С5, (д) решетка Пенроуза - Делоне, (е) дополненная решетка Пенроуза, (ж) квазикристаллическая решетка с симметрией С8 [107]............................128
3.5 Схематическое изображение процедуры построения решетки Пенроуза-Делоне и дополненной решетки Пенроуза. (а), (д) решетка Пенроуза, (б)-(г)поэтапное построение квазикристаллической структуры на основе мозаики Пенроуза с помощью триангуляции Делоне, (г) решетка Пенроуза-Делоне, (е)-(з) поэтапное построение дополненной квазикристаллической структуры на основе мозаики Пенроуза, (з) дополненная решетка
I = у/2х± [106]
126
Пенроуза [107]
129
3.6 Структурный фактор для треугольной решетки (красные точки), квадратной решетки (черные точки) и дополненной решетки Пенроуза (синие точки). Красными стрелками показаны базисные вектора решетки Пенроуза........................131
3.7 (а) Схематическое изображение расчета свертки квазикристаллической структуры. (б) Полярная карта свертки. Пунктирные стрелки показывают направления чередования брэгговсаих решеток, соответствующих разным периодам. Графики свертки по радиусу -т для углов (в) в =0° и (г) в = 90°. Модуль преобразования Фурье для свертки в направлении углов (д) в =0°
и (е) в = 90°................................133
3.8 Схематическое изображение (а) периодической структуры,(б) квазикристалла (76а х 10а)........................134
3.9 Спектр пропускания фотонного кристалла с квадратной решеткой (а), фотонного квазикристалла с решеткой типа Пенроуза (б). (в) Спектры пропускания для квазикристаллической структуры с параметром сдвига в = 0 (синяя линия), в = 0.2 (оранжевая линия), в = 0.5 (зеленая линия). Спектр пропускания для метаматериала: (г) с квадратной решеткой, (д) с решеткой типа Пенроуза. (е) Спектры пропускания метаматериалов для разных значений параметра сдвига..............................135
3.10 Зависимость минимума спектров пропускания от толщины структуры: (а) красными ромбиками обозначен фотонный кристалл с квадратной решеткой, сплошными и открытыми кружочками -основной и дополнительный минимумы квазикристалла, (б) режим метаматериала для обеих типов решеток................136
3.11 Распределение электрического поля в призме, состоящей из диэлектрических цилиндров (а) квадратная решетка, (б) дополненная решетка Пенроуза [107] ..................137
3.12 Зависимость квадратного корня минимума диэлектрической проницаемости цилиндров от поворотной симметрии структуры. Сплошная линия показывает аппроксимацию линейной функцией . . 138
3.13 Распределения магнитного поля для около-нулевого значения эффективной магнитной проницаемости ц^ в магнитных метаматериалах с параметром сдвига (а)-(г) й=0, (д)-(з) й=0.2, (и)-(м) й=0.5. Темно-синие пунктирные линии показывают границы структуры .................................139
3.14 Фазовая диаграмма «фотонный квазикристалл - метаматериал» для ТЕ поляризации. Большими кружками обозначена граница фазы метаматериала для решетки на основе мозаики Пенроуза. Границы получены из около-нулевого значения магнитной проницаемости ц .............................140
3.15 (а) Базисные векторы. (б) Геометрические группы 0\ [160]......141
3.16 Схематическое изображение групп квазикристаллической решетки
с октагональной симметрией: (а) 02, (б) 03 [160]............142
3.17 Распределение электромагнитного поля в структурах, состоящих из диэлектрических цилиндров: (а) фотонный квазикристалл с £ = 20 и (б) метаматериал с £ = 100. Зеленые пунктирные линии показывают границы квазикристаллической структуры. Черные стрелки указывают направление падения гауссова пучка [160] .... 142
3.18 Распределение электромагнитного поля в квазикристаллической структуре (а) с октагональной симметрией, (б) с пентагональной симметрией.................................143
4.1 Связанные состояния в континууме в двухслойной структуре бесконечных диэлектрических цилиндров. (а) Схематическое изображение фотонной структуры. (б) Распределение электрического поля Ег ССК типа Фабри-Перо (мода 1, мода 2) и защищенных симметрией (мода 3) ССК в Г-точке. Распределения полей соответствуют разным расстояниям между слоями Н (Н = 4.7 см для мод 1 и 3; Н = 3 см для моды 2). (в) Зонная диаграмма ТЕ-поляризованных мод. (г) Зависимость добротности ССК от расстояния между слоями Н [109]................145
4.2 Зависимость среднего значения добротности Qtot неупорядоченных структур от степени беспорядка а для э-ССК типа Фабри-Перо (г) и защищенных симметрией эр-ССК (д). Столбцы указывают стандартное отклонение. Количество периодов N = 100. Схематическое изображение двухслойного резонатора со структурным беспорядком (в) по оси х, (г) по оси у и (д) по обеим осям. Закрашенными зелеными кружками обозначено положение цилиндров в упорядоченной структуре, синие открытые кружки соотвествуют структуре с беспорядком [109] ..............148
4.3 (а) Среднее значение добротности Qtot э-ССК типа Фабри-Перо в структуре с беспорядком вдоль оси х для разных значений числа периодов N. Вертикальные столбцы показывают стандартное отклонение. Сплошные линии показывают приближение. (б) Среднее значение э-ССК типа Фабри-Перо, поддерживаемого структурой с беспорядком вдоль оси х, с разным числом периодов N. Синие, красные и зеленые символы соответствуют
N = 100,150, 200 соответственно [109] .................149
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.