Экстремальные свойства многочленов с ограничением на расположение нулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Акопян, Роман Размикович
- Специальность ВАК РФ01.01.01
- Количество страниц 69
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Акопян, Роман Размикович
1. Неравенства Бернштейна и Турана в Н2 для многочленов с нулями в замкнутом множестве.
1.1. Сведение задач о точных константах в неравенствах Бернштейна и Турана для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задачам для многочленов с нулями на границе множества.
1.2. Связь неравенств Бернштейна и Турана.
1.3. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов степени п ^
1.4. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов с нулями на окружности: случаи точного вычисления констант
1.5. Неравенство Бернштейна для многочленов с нулями во внешности круга радиуса
2. Неравенство Бернштейна-Джексона из Н2 в Н00 для многочленов с нулями в замкнутом множестве.
2.1. Неравенство Бернштейна-Джексона из Н2 в Нх для многочленов с нулями во внешности единичного круга
2.2. Сведение задачи о точной константе в неравенстве Бернштейна-Джексона из Н2 в Н^ для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задаче для многочленов с нулями на границе множества.
2.3. Неравенство Бернштейна-Джексона из Н2 в Н^ для многочленов с нулями в замкнутом множестве: случаи вычисления точных констант.
Список обозначений
Вр(п, Ь, С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштей-на в Нр для оператора Ь на множестве многочленов Тп(С)
С - расширенная комплексная плоскость <3(Д) = {г е С : \z\ZR} К (К) = {ге£ : Щ 5(Д) = {г Е С : И = Щ
Тп - множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами
Сп - подмножество Тп многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |4+1| ^ |4|, к = 0, п —
С®п - подмножество Сп многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |//с-1|2 + |^+1|2 ^ 2 к = 1,п — множество многочленов из 7?п, имеющих все п нулей во множестве С.
Вр(п, Ь, С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Берн-штейна в Нр для оператора Ь на множестве многочленов
Тр(п: Ь) С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Турана в Нр для оператора Ь на множестве многочленов РП(С)
Врд(п, Ь,С) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Берн-штейна на паре пространств Нч и Нр для оператора Ь на множестве многочленов (С) ээ= : РеГ^Сг)} ае00(п,1,С) = т£{^^: Р е Гп-^С), \г\ =
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Неравенство Бернштейна–Сеге для дробных производных тригонометрических полиномов в пространстве L_02019 год, кандидат наук Леонтьева Анастасия Олеговна
Некоторые экстремальные задачи для положительно определенных целых функций нескольких переменных2000 год, кандидат физико-математических наук Бердышева, Елена Евгеньевна
Экстремальные задачи в пространствах с несимметричной нормой1998 год, кандидат физико-математических наук Козко, Артем Иванович
Экстремальные и аппроксимационные свойства логарифмических производных рациональных функций2024 год, доктор наук Комаров Михаил Анатольевич
Оптимальное восстановление аналитических функций по приближенно заданным граничным значениям2021 год, доктор наук Акопян Роман Размикович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные свойства многочленов с ограничением на расположение нулей»
Обозначим через Vn множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами, не равных тождественно нулю. В тематике, обсуждаемой в данной работе, удобно считать, что любой многочлен из множества Vn имеет ровно п нулей с учетом кратности в расширенной комплексной плоскости; при этом, если точная степень многочлена есть п — га, 1 ^ т ^ п, то полагаем, что точка г = оо является нулем многочлена кратности т. На множестве многочленов Vn, в пространстве Нр на единичном круге, справедливо неравенство Бернштейна
ЦР'||р^п||Р||р, Регп, о^р^оо, (o.i) в котором
P||M = max{|PM| : \z\ = 1} ; -г />2тг \ 1/Р
P\\p=[-^Jo \P(eÜ)\Pdt) , 0<р<оо;
Р||о= Hm II-PL = ехр (— [ In \Р(ей) I dt
Константа п в неравенстве (0.1) точная; неравенство (0.1) обращается в равенство на многочленах вида czn, и в случае 0 < р ^ оо других экстремальных многочленов нет. Это утверждение при р = оо является классическим неравенством С.Н. Бернштейна [5]; при других р оно доказано А. Зигмундом (1 ^ р < оо) [6], В.В. Арестовым (0 ^ р < 1) [2]. Кроме оператора дифференцирования неравенства вида (0.1) исследовались и для других линейных операторов на множестве Vn. Так, известно, что при р ^ 1 и любом р, 0 ^ р ^ оо, справедливо точное неравенство Харди [15]
P(pz)\\p^pn\\P\\p, PeVn. (0.2)
Композицией Cere многочленов п п
Ь(г) = ^фкг\ P(z)=J2CknPkzk k=Q к=0 называют многочлен п
LP)(z) = Y,CknhVkZk. (0.3) к=0
При фиксированном многочлене L композиция Сеге (0.3) определяет линейный оператор во множестве многочленов Vn', который будем обозначать тем же символом L. В частности, многочлен L(z) = E(z) = = (z + 1)п порождает тождественный оператор ЕР = Р, многочлен L(z) = hp(z) = (pz + l)n - оператор hpP(z) = P(pz), а многочлен L(z) = D(z) = nz(z + l)™"1 порождает оператор дифференцирования DP(z) =zP'{z).
В.В. Арестов [2], [3] показал, что для любых двух многочленов L и Р из Vn справедливо неравенство
LP\\p^ ||L||0||P|U О^р^ос. (0.4)
В случае, когда многочлен L имеет все п нулей в круге \z\ ^ 1 или во множестве \z\ ^ 1, константа ||-£||о в неравенстве (0.4), на множестве многочленов Vn, точная [2]. Отметим, что неравенства (0.1) и (0.2) является частным случаем неравенства (0.4).
При 0 ^ р, q ^ оо обозначим через Bpq(n, L) точную (наименьшую) константу в неравенстве
LP\\p^Bpq{n,L)\\P\\q, PeVn. (0.5)
С помощью неравенства (0.4) нетрудно сделать вывод, что если р ^ q и все п нулей многочлена L принадлежат кругу \z\ ^ 1 или все п нулей многочлена L лежат во множестве \z\ ^ 1, то имеет место равенство Bpq(n,L) = ||L||0. При р > q точные константы в неравенстве (0.5) изучены мало, даже в случае тождественного оператора (смотри например [1], [17]). Достаточно простым является случай р = оо, q = 2 [16] в этой ситуации для любого оператора, определяемого формулой (0.3), имеет место равенство
Воо2(п,Ь)= (¿Ы2У, jfc=0 ' неравенство (0.5) с этой константой обращается в равенство на многочленах вида cJ2k=o^k(zC)k' Kl = 1- В формулу (0.3) многочлены L и Р входят симметрично, поэтому наряду с (0.4) имеет место неравенство ||ЬР||р ^ ||L||p||P||o, Р € Vn; на многочленах c(z + C)n, ICI = 1) последнее неравенство обращается в равенство. Следовательно для любого оператора, определяемого формулой (0.3), и значений параметров q — 0, р G [0, +оо] наилучшая константа в неравенстве (0.5) имеет значение
Вр0(п,Ь) = \\L\\p.
Работа посвящена точным неравенствам для многочленов, имеющих нули в замкнутом множестве. Пусть G - замкнутое подмножество расширенной комплексной плоскости и Vn(G) - множество многочленов из Vn, имеющих все п нулей во множестве G.
Обозначим через Bpq(n, L,G) точную (наименьшую) константу неравенства
ЬР||р < Bpq(n, L, G) ||Р||9, Р G Vn(G), (0.6) для оператора L на многочленах, имеющих нули во множестве G. Ясно, что для точной константы неравенства (0.6) справедливо равенство
Bpq(n,L,G) = supjlîp^ : PEVn(G)Y
В случае р = q для константы будем использовать обозначение Вр(п, L, G), а неравенство называть неравенством Бернштейна в Нр (для оператора L, на многочленах, имеющих нули во множестве G).
В случае р = оо, д = 2 назовем неравенство (0.6) неравенством Берн-штейна-Джексона из Н2 в Ню (для оператора Ь, на многочленах с нулями во множестве С).
Обозначим через Тр(п, Ь, С) точную (наибольшую) константу неравенства Турана в Нр для оператора Ь на многочленах, имеющих нули во множестве С
Для точной константы неравенства (0.7) справедливо равенство
Точное неравенство для многочленов с ограничением на расположение нулей впервые было рассмотрено П.Тураном [22], а именно, он доказал, что на множестве Тп(К), многочленов с нулями в замкнутом единичном круге справедливо точное неравенство ЦР'Цоо ^ § 11^Цоо-Изучение точных неравенств Бернштейна на множестве многочленов с ограничением на расположение их нулей началось с гипотезы П. Эрдеша [18], о том, что в неравенстве (0.1) при р = сю на множестве многочленов, не имеющих нулей в открытом единичном круге, т.е. в неравенстве для оператора дифференцирования, в случае когда С есть внешность С (Я) = {г : \г\ ^ Я} открытого круга радиуса Я (расширенной комплексной плоскости), при р — оо для Я = 1, точная константа равна п/2. Эта гипотеза была доказана П. Лаксом [18]. При Я — = 1 (т.е. на множестве 7-^(0(1)) ) точная константа в неравенстве (0.8) найдена для любых 0 ^ р ^ оо : П. Лаксом [18] (р — 2,оо), Н. Де'Брюйном [11] (1 ^ р < оо), К. Рахманом и Г. Шмейсером [21] (О ^ р < 1). Аналогичные результаты для неравенства (0.2) получили Н. Анкени, Т. Ривлин [8], Р. Боас, К. Рахман [9] (1 ^ р ^ оо),
ЬР\\р^Тр(п,Ь,С) \\Р\\р, РеГп(С).
0.7)
Р'\\р^Вр(п,Я)\\Р\\р: РеГп(0(Я))
0.8)
К. Рахман и Г. Шмейсер [21] (0 ^ р < 1). В более общем случае : в неравенстве (0.6) при 0 ^ р = д ^ оо на множестве РП(С(1)) в предположении, что многочлен Ь, определяющий оператор по формуле (0.3), имеет все п нулей в круге ^ 1, точная константа найдена В.В. Арестовым [7]
Bp(n,L,G( 1)) zn + 1||р в этом случае, неравенство (0.6) обращается в равенство на многочленах c(zn+C), |С| = 1. M. Малик [19] нашел точную константу в (0.8) для оператора дифференцирования при р = оо на множестве многочленов Vn{G(R)) для всех R ^ 1
7Ъ
Boo{n}R) = в этом случае, неравенство (0.8) обращается в равенство на многочленах c(z + R()n, |С| = 1.
Неравенство (0.7) полностью исследовано для оператора дифференцирования D при р = оо на множестве многочленов Vn(K(R)), имеющих все п нулей в круге K(R) радиуса R. П. Туран [22] (R = 1), М.Малик [19] (R < 1) и Н.Говил [13] (R > 1) доказали, что для точной константы в неравенстве
ЦР'Цоо ^ Гоо(п, D, K(R)) ЦРЦоо, Р £ Vn(K(R)), справедливо равенство
Т (г, П K(KW - / + 1} и экстремальными многочленами являются многочлены c(z -f RQn и c(z + RnQ, |С| = 1 соответственно при R ^ 1 и R ^ 1; при R = 1 экстремальными являются все многочлены с п нулями на единичной окружности. В работе В.М. Бадкова [4] доказано, что неравенство Ту-рана (R = 1) справедливо поточечно.
Представляет интерес вопрос о расположении нулей экстремальных многочленов в неравенствах на множестве многочленов с нулями в замкнутом подмножестве С расширенной комплексной плоскости. Подобная задача (в виде гипотезы о принадлежности нулей границе множества С) обсуждалась ранее Б. Бояновым [10].
В первой главе исследуются неравенства (0.6), (0.7) Бернштейна и Турана для многочленов с нулями в замкнутом множестве при р = 2, то есть неравенства
ЬР\\2 ^ В2(п, Ь, С)\\Р\\2, Р £ Гп(С), (0.9)
ЬР\\2 ^ Т2(п, I, С)\\Р\\2, Р е Гп(С). (0.10)
В § 1 показано, что при некоторых ограничениях на линейный оператор Ь и множество С любой экстремальный многочлен в неравенствах (0.9), (0.10) имеет все свои нули на границе множества С. Обозначим через эе2 = эе2(п, Ь, С) величину
Теорема. Предположим, что для линейного оператора Ь и замкнутого подмножества С с С выполнены следующие условия:
1) имеет место вложение 6г с (7(1) = {г £ С : \г\ ^ 1};
2) справедливо неравенство ге2(п, Ь, С) ^ 1. (0.11)
Тогда существует экстремальный многочлен неравенства (0.9), имеющий все п нулей на границе множества С; при этом, если неравенство (0.11) строгое, то любой экстремальный многочлен неравенства (0.9) имеет все п нулей на границе множества С.
Теорема. Предположим, что для линейного оператора Ь и замкнутого подмножества С с С выполнены следующие условия:
1) имеет место вложение
С с К(ге2(п, Ь, С)) = {г £ С : ^ ае2(п, £,£)};
2) справедливо неравенство (0.11).
Тогда существует экстремальный многочлен неравенства (0.10), имеющий все п нулей на границе множества С; при этом, если неравенство (0.11) строгое, то любой экстремальный многочлен неравенства (0.10) имеет все п нулей на границе множества С.
Приведем достаточное условие, при выполнении которого справедливо неравенство (0.11). Обозначим через Сп множество многочленов вида о Сп1к%к-, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам ^ 1> к = 1,п — 1. Для любого оператора определяемого многочленом Ь из Сп по формуле (0.3) и для произвольного множества С имеет место неравенство (0.11).
В § 2 установлена взаимосвязь между неравенствами Бернштей-на (0.9) и Турана (0.10). По оператору Ь вида (0.3) построим оператор Ь по следующему правилу. Пусть (3 = тах{|^|2 : 0 ^ к ^ п}; довольно очевидно, что ¡3 = 1/,С) есть квадрат наилучшей константы в неравенстве Бернштейна (0.9) на всем множестве многочленов Рп, или, тоже самое, для случая С = С. Выберем коэффициенты А&, 0 ^ к ^ п, оператора Ь, так, чтобы Л| = ¡3 — \1п-к\2, 0 ^ к ^ п. Определим во множестве многочленов Рп оператор Ь по формуле п
ЬРп)(г) = У£Скп\кскгк. к=0
Множеству С сопоставим множество О* = {1/z \ г £ С} с С. Отображение 2 —> 1/г является непрерывным отображением расширенной комплексной плоскости на себя; поэтому (в предположении замкнутости множества С) множество С* будет замкнутым. Теорема. Для любого замкнутого множества 6г имеют место равенства
Г|(п, Ь,С) = Р- В22(п} 2, С*), ВЦщ Ь,С)=Р- Т|(гс, (Г), где (3 = тах{|/д;|2 : 0 ^ к ^ п}. При этом если Р есть экстремальный многочлен неравенства Турана или Бернштейна для оператора Ь на множестве (7*, то многочлен Р*(г) = гпР будет экстремальным в неравенстве, соответственно, Бернштейна или Турана для оператора Ь на множестве С.
В § 3 найдены точные константы неравенств (0.9) и (0.10) для многочленов степени случае, когда множество С является окружностью 5(Д) = {г в С : \г\ = Я}, Я, > 0.
Теорема. При п = 1,2,3,4 для любого оператора Ь задаваемого фор мулой (0.3) и любого Я > 0 справедливы равенства в которых в зависимости от значения п параметр m — т(п) и многочлены Qj — Qj,n, 1 ^ j ^ m-, определяются следующим образом. Если п = 1, то m = 1 и Qi(z) — z — (Я. Если п = 2, то m = 2 и Qi(z) = z2 - СЯ2, Q2(z) = (z- (Я)2. Если п = 3, то m = 2 и Qx(z) = = z3 — (Я3, Q2(z) = (z — (Я)3. Наконец, если п = 4, то m = 4 и многочлены Qj, 1 ^ j 4, определяются формулами z4 — (-^ ~~ — (Я2)2, (z — (R)3(z + ("Д), (z — (Я)4- Во всех случаях ( есть произвольное комплексное число со свойством = 1.
В § 4 определено необходимое и достаточное условие экстремальности в неравенствах (0.9) и (0.10) многочленов вида c(zn + (Яп), = 1 и достаточные условия экстремальности многочленов вида c(z — ÇR)n, |С| = 1 в случае, когда множество G есть окружность S (Я).
Теорема. При любом п > 1 для произвольного оператора L вида (0.3) и параметра Я > 0 справедливы такие утверждения. 1. Неравенство (0.9) обращается в равенство на многочленах вида c(zn + (Яп), |С| = 1, тогда и только тогда, когда при 1 ^ j ^ и, v = = [|] выполняются следующие неравенства
1 + Я2п) (Я2%ч\2 + R2{n-])\lj\2)-{\ln\2 + R2n\kI2) (R2j + R2{n~j)) ^ 0 e этом случае имеет место равенство
2. Если число R > 0 для каждого j = 1, и удовлетворяет неравенству П ч.
- (л* + д2(«-л) ( ¿2 Vn-k\2R2k (скпу2 ) > О, к=О ' к=О то неравенство (0.9) на многочленах вида c(z — (R)n, |С| = 1, обращается в равенство, а следовательно, имеет место равенство
В2{щЬ,Ь{Щ) ----.
Zk=o(cn) R2k
3. Неравенство (0.10) обращается в равенство на многочленах вида c(zn + (Rn)i |С| = 1, тогда и только тогда, когда для любого j = 1, v выполняются неравенства
1 + R2n){R2j\ln4\2 + R2in-J)\lj\2) - (|У2 + R2n\l0\2)(R2j + R2^) ^ 0;
6 этой ситуации справедливо равенство
I ln\2 + \k\2R2n
Tj(n,L,S{R))
1 + R2n
4. Если число R > 0 для любого j = удовлетворяет неравенству п \
Е (сп)2R2k) (^2-%-;|2 + R2{n-j)\lj\2) k=0 '
П ч
Y,\k-k?R2kK)2 ko k=0 ' то неравенство (0.10) обращается в равенство на многочленах вида c(z — C-P)n, ICI — 1) и> как следствие, справедливо равенство
ELoI
Ti(n,L,S{R))
EL)
Пусть С есть подмножество С,п многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |^1|2 + |^+1|2 ^ 2 \1к\2, к = 1,п — 1.
Для многочленов I/ £ в диссертации выписаны достаточные условия, имеющие более простую форму и обеспечивающие выполнение предположений теоремы.
В § 5 найдена точная константа в неравенстве Бернштейна (0.9) в случае, когда множество О есть С{Я) внешность открытого круга радиуса й ^ 1 и оператор задается по формуле (0.3) многочленом с нулями в замкнутом единичном круге и равным нулю в точке г = 0.
Теорема. Пусть оператор задается по формуле (0.3) многочленом Ь, имеющим все п нулей в замкнутом круге с центром в начале координат радиуса единица и справедливо равенство Ь{0) = 0. Тогда для точной константы в неравенстве (0.9) при С = С(Я), 0 ^ Я ^ 1 справедливо равенство
В2{щЬ,С(В))
11г.
VI + в?п
На многочленах с(гп + (В!1), = 1, неравенство (0.9), в этом случае, обращается в равенство.
Во второй главе, в основном, исследуется точная константа в неравенстве (0.6) Бернштейна - Джексона при р = оо, д = 2, то есть исследуется неравенство
ЬР||оо < Д>о2(п,£,С)||Р||2, Р е Гп{С).
0.12)
В §1 вычислена константа Д^(п, Ь, С) в случае, когда множество О есть внешность С(1) открытого единичного круга, для любого оператора, определяемого формулой (0.3) с многочленом Ь, имеющим нули в замкнутом единичном круге ^ 1.
ТеоремаДлл произвольного оператора, определяемого по формуле (0.3) многочленом Ь, имеющим все п нулей в замкнутом единичном круге \г\ ^ 1, в случае, когда множество С есть внешность С(1) открытого единичного круга, справедливо равенство
1 71 1 п \ В^щ Ц С(1)) - ( - £ |Щ2 + -|]Г 1к1п.к\ ) к=0 к=0 '
1/2 к=0 14
Неравенство (0.12) с этой константой обращается в равенство лишь на многочленах п / п \
CY1 (h, + e~i4>ln-k) (az)k, \a\ = l, ф = arg ( ^ lklnk J. k=0 k=О
В §2 определены достаточные условия на линейный оператор Ь и множество С, при выполнении которых экстремальные многочлены неравенства (0.12) имеют все нули на границе множества С?. Для оператора Ь и множества С определим величину
ЬгР{г)\ эеоо(п, L, G) = inf
LP(z)\ Р е V„-i{G), \z\ = 1
Теорема. Предположим, что для линейного оператора Ь и замкну-того подмножества С с С выполнены следующие условия:
1) имеет место вложение С с (2(1) = {г £ С : ^ 1};
2) справедливо неравенство
Э9оо(™, L, G) ^ 1.
0.13)
Тогда любой экстремальный многочлен неравенства (0.12) имеет все п нулей на границе множества G.
Для оператора дифференцирования показано, что если R(G) = = min{|z| : z 6 G} ^ 2n — 1, то справедливо неравенство (0.13).
В § 3 найдена наилучшая константа в неравенстве (0.12) для оператора дифференцирования и тождественного оператора при больших значениях величины R(G) = min{|z| : z Е G}. При п ^ 2 определим многочлены Q — Qn формулами
Qn(R) = ( ¿ К)2 R2k) {R + Rn~l) (1 + n(R + Rn~l) + Rn) -^ fc=0 '
- n(l + Ä)2n (ß2 + i?2n"2) , n > 2, Р4 — 2Р3 — 2Р + 1. Пусть - наибольший (положительный нуль многочлена При п = 1 положим = 1. Получены двусторонние оценки величины При любом п ^ 4 для величины имеют место оценки п < Rn < 2п, а при п — 2; 3 для величины Rn справедливы оценки 2 < Rn < 2п.
Теорема. Если при п ^ 1 величина R = R(G) удовлетворяет условию R ^ Rn, mo длл оператора дифференцирования L = D точная константа в неравенстве (2.0.1) имеет следующее значение n , „ ^ nil + R)11-1 B^in, D, (?) =-^--ггг, и неравенство (0.12) обращается в равенство лишь на многочленах c(z — z0)n, где zq — произвольная точка множества G со свойством
Ы = R.
В § 4 исследована точная константа неравенства (0.6) в случае р £ £ [0, оо], q = 0, когда G есть замкнутое подмножество С, обладающее одним из свойств.
I) Множество G имеет хотя бы одну общую точку с единичной окружностью.
II) Множество G вложено в единичный круг.
III) Множество G вложено в дополнение единичного круга. Обозначим через ("о ближайшую к единичной окружности точку множества G.
Теорема. Пусть замкнутое подмножество G расширенной комплексной плоскости удовлетворяет одному из условий (I), (II) или (III). Тогда для любого р £ [0; +оо] и любого оператора L, определяемого формулой (0.3), справедливо равенство в („ТП- 11^г + д>"11"
На многочленах вида c(z — (о)п неравенство (0.6) с этой константой обращается в равенство.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Неравенства колмогоровского типа с несимметричными ограничениями на вторую производную2023 год, кандидат наук Паюченко Никита Славич
Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения2006 год, доктор физико-математических наук Горбачев, Дмитрий Викторович
Аналитические методы в экстремальных геометрических задачах на евклидовой сфере2014 год, кандидат наук Куклин, Николай Алексеевич
Экстремальные задачи теории приближения целыми функциями конечной степени и сплайнами2016 год, кандидат наук Гладкая Анна Владимировна
Точные постоянные в неравенствах типа Джексона и Бернштейна2007 год, доктор физико-математических наук Виноградов, Олег Леонидович
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Акопян, Роман Размикович, 2001 год
1. Арестов В. В. О неравенствах разных метрик для тригонометрических полиномов // Математические заметки. 1980. Т. 27, вып. 4. С. 539-547.
2. Арестов В.В. Интегральные неравенства для тригонометрических полиномов и их производных // Известия АН СССР. 1982. Т. 45. С. 3-22.
3. Арестов В.В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Математические заметки. 1990. Т. 48, вып. 4. С. 7-18.
4. Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса // Труды МИ-АН. 1992. Т. 198. С. 41-88.
5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т. 1. С. 13-41. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.
6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. — М.: Мир, 1965.
7. Arestov V. V. On integral inequalities for algebraic polynomials with restriction on zeros // Analysis Matematica. 1991. V. 17, N 1. P. 11-30.
8. Ankeny N.C., Rivlin T.J. On a theorem of S. Bernstein // Pacific J. Matematica. 1955. V. 5. P. 849-852.
9. Boas R.P., Rahman Q.I. Lp inequalities for polynomials and entire function // Arch. Rational Mech. Anal. 1962. V. 11. P. 34-39.
10. Bojanov Б., Problem BB1, p.243 In: Proceeding of International Conference "Open Problem in Approximation Theory", Voneshta voda,Bulgaria, June 18-24, 1993 (ed. B. Bojanov). — SCT Publishing, Singapore, 1994.
11. De Bruyn N.G. Inequalities concerning polynomials in the complex domain // Nederl. Akad. Watensh. Proc. 1947. V. 50. P. 1265-1272.
12. De Bruyn N.G., Springer T.A. On the zeros of composition-polynomials // Nederl. Akad. Watensh. Proc. 1947. P. 895-903. (= Indag Math. 1947. V. 9. P. 406-414).
13. Govil N.K. On the derivative of a polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V. 41, N 2. P. 543-546.
14. Govil N.K., Rahman Q.I., Schmeisser G. On the Derivative of a Polynomial, // Illinois J. of Mathematics. 1979. V. 23, N 2. P. 319 329.
15. Hardy G.H. The main value of the modulus of an analytic functions // Proc. London Math. Soc. 1915. V. 14. P. 269-277.
16. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1933. V. 39. P. 889-906.
17. Kozko A.I. On Jakson-Nikolskii inequalities for trigonometric polynomials in spaces with asymmetrical norms // East J. on Approx. 1996. V. 2, N 2. P. 177-186.
18. Lax P.D. Proof of the conjecture of P.Erdôs on the derivative of polynomials // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. P. 509-513.
19. Malik M.A. On the derivative of polynomials // J. London. Math. Soc. 1969. V. 1, N 2. P. 57-60.
20. Poly a (?., Szego G. Задачи и теорему из анализа. — M.: Наука, 1978.
21. Rahman Q.I., Schmeisser G. Inequalities for polynomials // J. Approx. Theory. 1988. V. 53. P. 26-33.
22. Turan P. Ueber die Ableitung von Polynomen // Compositio Math. 1939. V. 7. P. 89-95.Список работ автора
23. Akopyan R.R. Bernstein inequality in Н2 for algebraic polynomials with restriction on the zeros // East J. on Approx. 1997. V. 3, N 3. P. 333-349.
24. Akopyan R.R. Turun's inequality in H2 for algebraic polynomials with restrictions to their zeros // East J. on Approx. 2000. V. 6, N 1. P. 103124.
25. Akopyan R.R. Bernstein-Jackson's inequality for algebraic polynomials with restrictions on their zeros // East J. on Approx. 2001. V. 7, N 3. P. 351-370.
26. Акопян P.P. Неравенства Бернштейна в H2 для алгебраических полиномов с ограничением на расположение нулей // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-ой Саратовской зимней школы. — Изд-во СГУ, 1997. С. 5-6.
27. Акопян P.P. Неравенство Турана в пространстве Н2 для алгебраических полиномов с ограничением на расположение их нулей // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. — Издательство УрГУ, 1998. С. 15-16.
28. Акопян P.P. Неравенства Бернштейна и Турана для алгебраических полиномов с ограничением на расположение нулей // Известия ТулГУ. Серия математики, механики и информатики. 1998. Т. 4, N 3. С. 21-25.
29. Акоплн P.P. Неравенство Бернштейна-Джексона для алгебраических полиномов с ограничением на расположение их нулей // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. — Изд-во УрГУ, 2001. С. 6-7.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.