Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Фисунов, Павел Анатольевич

• Фисунов, Павел Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фисунов, Павел Анатольевич

Общая характеристика работы.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.

4. Методы исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость

7. Апробация

8. Публикации

9. Вклад автора в разработку избранных проблем

10. Структура и объем работы.

11. Некоторые замечания.

Содержание диссертации.

ГЛАВА I. Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.

§1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.

1. Дифференциальные уравнения гиперполосного распределения /п-мерных линейных элементов.

2. Поля охваченных геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении.

3. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения 7тг-мерных линейных элементов.

4. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения в смысле А.П. Нордена.

5. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения в смысле Э.Картана.

6. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения в смысле Э.Бортолотти.

7. Сильно оснащенные гиперполосные распределения.

§2. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго родов на гиперполосном распределении.

1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.

2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на гиперполосном распределении 7тг-мерных линейных элементов.

3. Двойственные нормальные связности на сильно оснащенном гиперполосном распределении ттг-мерных линейных элементов.

4. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях.

ГЛАВА II. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе.

§1. Поля фундаментальных и охваченных объектов т-мерной гиперполосы.

1. Дифференциальные уравнения гиперполосы и её двойственный образ

2. Инвариантные оснащения регулярной гиперполосы.

§2. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе.

1. Двойственные нормальные связности в расслоениях нормалей первого и второго родов на регулярной гиперполосе

2. Двойственные нормальные связности на сильно оснащенной регулярной гиперполосе.

3. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях.

§3. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов.

1. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах.

2. Нормальные связности на (д-2)-мерной гиперполосе.

3. Двойственные нормальные связности на регулярных гиперполосах с заданной сетью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении»

1. Постановка вопроса. Теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств. Свое начало эта теория берет от работ Т. Леви-Чиви-та [83] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля Г.Вейль [87] дал понятие пространства аффинной связности. Э.Картан ввел в рассмотрение общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О» [78]. Р.Кениг [82] изучал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А.Схоутен [85].

К середине нашего столетия назрела необходимость ввести понятие связности в расслоенном пространстве, что и сделали (независимо друг от друга) В.В.Вагнер [9] и Ш.Эресман [81]. Г.Ф. Лаптев [20], развивая эти результаты, отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. У него объект связности является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка, например, проективной дифференциальной группы [21]. Дальнейшее развитие общей теории связностей отражено в работе Ю.Г.Лумисте [24].

Существенное место в дифференциальной геометрии занимает теория связностей в однородных расслоениях, а также применение этой теории при изучении оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

Оснащение погруженного многообразия характеризуется строением основных функций \|/* , определяющих оснащающий объект (фундаментальный оснащающий объект многообразия): где со5' -первичные формы, со'2 -вторичные формы Пфаффа на многообразии (см. [20]). В зависимости от строения этих функций имеем различные типы оснащений подмногообразия (например, в смысле А.П.Нордена [28], Э.Картана [79], Э.Борто-лотти [77] и т. д.).

Изучением геометрии многообразий плоскостей в классических пространствах с помощью связности в расслоениях занимался В.В.Вагнер [86], а затем Ю.Г.Лумисте [23].

Геометрия подмногообразия принимает более стройный вид, если использовать связность не только в касательном, но и в нормальном расслоении.

Понятие нормальной связности в проективном пространстве ввели Чен [80], А.П.Норден [28] (который называет такого рода связность внешней) и А.В.Чакмазян [64]-[66].

Монография Чена [80] содержит значительную часть результатов изучения геометрии подмногообразий при помощи нормальных связностей. Обзор результатов исследований нормальных связностей приведен в работе Ю.Г. Лумисте [25], а также в его совместной с А.В.Чакмазяном статье [26].

В связи с актуальностью проблемы теория нормальных связностей получает развитие и в настоящее время в трудах ряда геометров. В первую очередь следует упомянуть А.В.Чакмазя-на, который в своих работах [64]-[70] подробно изучает локальное строение подмногообразия в классических однородных пространствах (проективном, аффинном, проективно-метричес-ком и евклидовом) с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Например, в работах [5], [65] и [69] он исследует оснащенные подмногообразия евклидова и аффинного пространства с плоской нормальной связностью.

Использование данного А.В.Столяровым [45] определения двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальной связностями позволяет существенно продвинуться в изучении геометрии оснащенных подмногообразий, в том числе и неголономных. A.B. Столяров в своих работах [45], [46] вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и на гиперполосном распределении пространства проективной связности. Развивая его идеи, С.В.Фисунова [59]-[62] исследует эти связности на распределении тп-мерных линейных элементов, распределении гиперплоскостных элементов и на поверхности в проективном пространстве.

А.К. Рыбников [34], ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.

Необходимо отметить усилившийся в последнее время интерес к изучению связностей в нормальных расслоениях калининградских геометров. Так, например, Ю.И.Попов [32] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т.Ю.Попова [33] рассматривает нормальную центропроективную связность на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства. Ю.И.Шевченко в своих работах (см., например, [72]) исследует групповые связности в главном расслоении и линейные связности в расслоении реперов, а также [73] связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями. С.Н.Юрьева [76] изучает обобщенные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Отметим, что A.B. Столяров [45], изучая такого рода связности на гиперполосном распределении пространства проективной связности, назвал их линейными связностями аффинного типа.

Предметом исследования в диссертации являются связности, индуцируемые в расслоениях нормалей (нормальные связности) на оснащенных подмногообразиях, погруженных в я-мер-ное проективное пространство Р,г. В первой главе в качестве подмногообразия берется регулярное^ гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов (то есть неголономная гиперполоса), а во второй главе — регулярная гиперполоса Ит.

2. Актуальность темы. Теория связностей занимает большое место в современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.

При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э.Картан (см. [16], [78], [79]), Г.Ф.Лаптев [17]-[21] и А.П.Норден [28]. В частности, А.П.Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П.А.Широков и А.П.Широков [74] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В.Столяров [45].

Геометрами раньше рассматривались нормальные связности, в основном, лишь на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства (см., например, [4], [5], [25], [26], [28], [32], [33], [67], [69], [70], [80]). Слабо исследовалась взаимосвязь между аффинными и нормальными связностями, индуцируемыми оснащениями подмногообразий. Почти не проводились исследования связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях), а также двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных). Исключением являются работы A.B. Столярова [45], [46] и C.B. Фисуновой [59]-[62].

Исследования по изучению двойственных нормальных связностей, индуцируемых оснащением составных [9] неголономных подмногообразий (каковым является гиперполосное распределение) ранее геометрами, за исключением работы [46], не проводились.

Всё вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы.

3. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является построение основ двойственной теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенных гиперполосах (неголономных и голономных), погруженных в д-мер-ное проективное пространство ± п. Решаются следующие основные задачи:

1) изучение двойственных центропроективных (то есть нормальных) связностей, индуцируемых в нормальных расслоениях при различных классических оснащениях (в смысле А.П.Нордена, Э.Картана, Э.Бортолотти, сильном оснащении, согласованном оснащении) гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов (глава I);

2) исследование геометрии двойственных нормальных связностей на регулярной гиперполосе, в том числе на гиперполосах специальных классов (глава II);

3) установление взаимосвязи между индуцируемыми на оснащенной регулярной гиперполосе аффинными и нормальными связностями (глава II).

4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева [20] и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана [47]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.

В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно, в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [20].

5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что: а) нормальные связности на оснащенных гиперполосах (неголономной и голономной) и, тем более, их двойственная геометрия ранее почти не изучались; б) в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных голономных и неголономных гиперполосах проводится инвариантными аналитическими методами [20], [47] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия.

В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании подмногообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью; б) по теории гиперполосных распределений ттг-мерных линейных элементов и гиперполос.

7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1997-1999 г.г.), на итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1998-1999 г.г.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по геометрии (Чувашский государственный педагогический университет, Чебоксары, 1999 г.), на XI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999 г.), на Всероссийской школе-конференции по теории функций, её приложениям и смежным вопросам (Казань, 1999 г.), на Международной научной конференции по инвариантным методам исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики (Москва, МГУ, 1999 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (1999 г.).

8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в десяти печатных работах [49]-[58] автора.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фисунов, Павел Анатольевич, 1999 год

1. Акивис МА. Фокальные образы поверхности ранга г // Изв. вузов. Мат.-1957.-№1.-С.9-19.

2. Акивис МА. О строении сопряженных систем на многомерных поверхностях // Изв. вузов. Мат.-1970.-№10.-С.З-11.

3. Акивис МА., Рыжков В.В. Многомерные поверхности специальных проективных типов // Тр. 4-го Всес. матем. съезда, 1961. Л. «Наука».-1964.-Т.2.-С. 159-164.

4. Акивис МА., Чакмазян А.В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле // ДАН СССР.-1975.-Т.60.-№3.-С.137-143.

5. Акивис МА., Чакмазян А.В. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью // ДАН АрмССР.-1976.-Т.62.-№2.-С. 75-81.

6. Базылев В.Т. О многомерных сетях и их преобразованиях // Геометрия. 1963 / Итоги науки ВИНИТИ АН СССР.-1965.-С.138-164.

7. Базылев В.Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Изв.вузов. Мат.-1966.-№2.-С.9-19.

8. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу.-1950.-Вып.8.-С.197-272.

9. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1950.-В.8.-С.11-72.

10. Василян МА. Об инвариантном оснащении гиперполосы // ДАН АрмССР.-1970.-Т.50.-№2.-С.65-70.

11. Василян М.А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН АрмССР. Мат.-1971.-Т.6.-№6.-С.477-481.

12. Василян МЛ. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы // ДАН АрмССР.-1973.-Т.57.-№4,-С.200-205.

13. Гейделъман P.M. Теория аналитических конгруэнций плоскостей в комплексных и двойных унитарных неевклидовых пространствах и проективная теория пар плоскостей // Матем. сб.-1959.-Т.39 (119).-С.281-316.

14. Гейделъман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 / ВИНИТИ АН СССР.- М., 1967.-С.323-374.

15. Голъдберг В.В. Об одной нормализации р-сопряженных систем д-мерного проективного пространства // Тр. Геометр, семинара.-1966.-Т. 1.-С. 89-109.

16. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности.-Изд. Казанск. ун-та, 1962.-210с.

17. Лаптев Г.Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР.-1943 -41.-№8.-С.329-391.

18. Лаптев Г.Ф. О погружении пространства аффинной связности в аффинное пространство // ДАН СССР.-1945.-47.-№8.-С.551-554.

19. Лаптев Г.Ф. Аффинное изгибание многообразий с сохранением внутренних геометрий // ДАН СССР.-1945.-58.-№4.-С.529-531.

20. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва.-1953 Т.2.-С.275-382.

21. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1966.-Т. 1.-С. 139-189.

22. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-Т.З.-С.49-94.

23. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуск. ун-та.-1965.-В. 177.-С.6-42.

24. Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-С.123-168.

25. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1975.-Т.13.-С.273-340.

26. Лумисте Ю.Г., Чакмазян А.В. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-М., 1980.-Т.12.-С.3-30.

27. Михайлова А.Н. Двойственные нормализации гиперполосного распределения // Вестник ЧГПУ (естественные науки).-Чебоксары, 1999.-С.25-29.

28. Норден А.П. Пространства аффинной связности.—М.: Наука, 1976.-432с.

29. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RPR). 1962.- T.7.- №2.- C.239-263.

30. Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-Т.3.-С.49-94.

31. Попов Ю.И. К теории оснащенной регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве // Уч.зап МГПИ, 1970.-№374.-Т. 1.-С. 102-117.

32. Попов Ю.И. Нормальная аффинная связность оснащенной гиперполосы аффинного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1998.-В. 29.-С. 53-59.

33. Попова Т.Ю. Нормальная центропроективная связность гиперполосы СН^г проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур / Калинингр. ун-т. Калининград, 1998.-В.29.-С.59-63.

34. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Матем.-1986.-№7.-С.60-69.

35. Рыжков В.В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях // Тр. Московск. матем. об-ва.-1958.-Т.7.~ С.179-226.

36. Савельев С.И. Поверхности с плоскими образующими, вдоль которых касательная плоскость постоянна // Докл. АН СССР.-1957.-Т.115.-№4.-С.663-665.

37. Смирнов Р.В. Преобразования Лапласа ^-сопряженных систем. // Докл. АН СССР.-1950.-Т.71.-№3.-С.437-439.

38. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-1975.-Т.7.-С.117-151.

39. Столяров A.B. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат.-1975.-№10.-С.97-99.

40. Столяров A.B. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат.-1975.-№11.-С. 106-108.

41. Столяров A.B. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат.-1977.-№8.-С.68-78.

42. Столяров A.B. Двойственная теория гиперполосного распределения и ее приложения // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1982.-Вып.13.-С.95-102.

43. Столяров A.B. Двойственная теория регулярной гиперполосы HmdPn,« // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1988.-Вып.19.-С.88-93.

44. Столяров A.B. Об оснащениях в смысле Э.Картана и Э.Бортолотти регулярной гиперполосы // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1991.-Вып. 22.-С. 104-108.

45. Столяров A.B. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. / Чуваш, пед. ин-т.-Чебоксары, 1994.-290с.

46. Столяров A.B. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ 4P (физ.-мат. науки).-Чебоксары, 1996.-№6.-С.9-14.

47. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.-М.; Л.: ГИТТЛ., 1948.-432с.

48. Фиников С.П. Теория пар конгруэнций.-М.:ГИТТЛ, 1956.-444с.

49. Фисунов ПЛ. Связность в нормальных расслоениях нагиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов.-Чебоксары: ЧГПИ, 1997.-В.2.-С.59-63.

50. Фисунов ПЛ. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе // ВИНИТИ РАН.- 1998.-17с.-№627-В98 Деп.

51. Фисунов ПЛ. Нормальные связности на оснащенном гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов.-Чебоксары: ЧГПИ, 1998.-В.3.-С.13-18.

52. Фисунов ПЛ. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе // ВИНИТИ РАН.-1998.-20с.-№3394-В98 Деп.

53. Фисунов ПЛ. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов.-Чебоксары: ЧГПУ, 1999.-В.5.-С.14-17.

54. Фисунов ПЛ. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов // ВИНИТИ РАН.- 1999.-З3с.-№1835-В99 Деп.

55. Фисунов ПЛ. Связности в нормальных расслоениях гиперполос специальных классов //XI Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы док л адов.-Казань, 1999.-С.53.

56. Фисунов ПЛ. Центропроективные связности в нормальных расслоениях регулярной гиперполосы проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1999.-Вып.30.-С.89-94.

57. Фисунова C.B. Связности в нормальных расслоениях на распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН.-1998.-15с.-№418-В98 Деп.

58. Фисунова C.B. Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН.-1998.-14с.-№1098-В98 Деп.

59. Фисунова C.B. Линейные связности на оснащенной регулярной гиперповерхности // ВИНИТИ РАН.-1998.-19с.-№-2847-В98 Деп.

60. Фисунова C.B., Фисунов ПЛ. Связности в нормальных расслоениях распределения 7тг-мерных линейных элементов // Тезисы докл. VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999.-С.108-109.

61. Чакмазян Л.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР.-1959.-Т.28.-№4.-С.151-157.

62. Чакмазян Л.В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Тезисы докл. Всес. геометр, конференции «150 лет неевклидовой геометрии».-Казань, 1976.-С.209.

63. Чакмазян A.B. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства с плоской нормальной аффинной связностью // Дифференциальная геометрия. Межвузовский тематический сборник.-Калинин.-1977.-С. 120-129.

64. Чакмазян A.B. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Рп // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-М., 1978.-Т.10.-С.55-74.

65. Чакмазян A.B. Нормализованное по Нордену подмногообразие с параллельным полем нормальных направлений в Рл // Изв. вузов. Мат.-1980.-№1.-С. 57-63.

66. Чакмазян A.B. О нормальной связности нормализованного многообразия плоскостей в проективном пространстве // Изв. вузов. Мат.-1984.-№7.-С.74-79.

67. Чакмазян A.B. Об оснащениях с плоской нормальной связностью для подмногообразия аффинного пространства // Изв. вузов. Мат.-1987.-№1.-С.48-53.

68. Чакмазян A.B. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / Армянск. пед. ин-т.-Ереван, 1990.-116с.

69. Ш any ков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-М., 1983.-Т.15.-С.61-93.

70. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголоном-ных гладких многообразий / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1998.-82с.

71. Шевченко Ю.И. Связности в расслоениях над голоном-ным и неголономным центропроективными многообразиями // Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конференции.-Казань, 1999.-С.234-235.

72. Широков ПЛ., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия.-М.: Физ.-матем. изд., 1959.

73. Шуликовский В.И. Проективная теория сетей.-Изд. Казанск. ун-та, 1964.-78с.

74. Юрьева С.Н. Гиперполосное распределение аффинного пространства // Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конференции.-Казань, 1999.-С.254-255.

75. Bortolotti Е. Connessioni nelle varietá luogo di spazi; applicazione alia geometría métrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sei. Univ. Cagliari.-1933.-V.3.-P.81-89.

76. Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalises // Acta math.-1926.-V.48.-P.1-42. (см. русск. перевод: Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств. Казань, 1939).

77. Cartan Е. Les éspaces á connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937.-Вып.4.-С.147-159.

78. Chen B.Y. Geometry of submanifolds.-New York, 1973.-P.308.

79. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un éspace fibre differentiable // Colique de Topologie.-Bruxelles, 1950.-P.29-55.

80. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeits-lehre. Jahresb // d. Deutsch. Math.Ver.-1920.-V.28.-P.213-228.

81. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente speeifieazione geométrica della curvatura- 128 Riemannianna // Rend. circ. matem.-Palermo, 1917.-V.42.-P.173-205.

82. Mihäilescu T. Geometrie differentialä projectivä.-Bucure§ti Acad. RPR, 1958.-494 p.

83. Schouten JA. Ricci-Calculus. An introduction to tensor analysis and its geometrical applications. 2-nd ed. // BerlinGöttingen-Heidelberg . -Springer .-1954.

84. Wagner V. Differential geometry of family of Ra,s in R„ and of the family of totally geodesic Sk-i,s in Sn-i of positive curvature // MaTeM. c6.-1954.-T. 10(52).-C. 165-212.

85. Weyl H. Raum, Zeit, Materie.-Berlin, 1918.