Дифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Матвеева, Анастасия Михайловна

• Матвеева, Анастасия Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матвеева, Анастасия Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

1. Исторический обзор.

2. Общая характеристика диссертации.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. Содержание диссертации.

Глава I АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ 94 ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С„ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЕ.

§1. Конформное пространство Сп.

§2. Распределение 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп.

1. Взаимно ортогональные распределения 94 гиперплоскостных и ^одномерных линейных элементов в С„.

2. Частичные и полные оснащения распределений 94 и Л в Ся.

3. Сферическое распределение гиперплоскостных элементов в Си.

4. Гиперполосное распределение Н в Р/г+1, ассоциированное с распределением 94 гиперплоскостных элементов в Сп.

§3. Пространства аффинной связности на вполне оснащённых распределениях 94 и 9£в конформном пространстве сп.:.

1. Теорема Картана - Лаптева.

2. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением распределения 94. гиперплоскостных элементов в Сп.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве»

1. Исторический обзор

1. Конформным я-мерным пространством Сп называется «-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа £ конформных преобразований является^ фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности,, точки как гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.

Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри, классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров: В начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты, и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства;, К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бер-вальда [100] в математической энциклопедии (1927 г.).

В отличие от аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.

В 1924 г. появляется работа Томсена [118], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пента-сферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [119]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [101], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С. Ли. К этому направлению исследований относятся также работы Т. Такасу; своирезультаты в области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый' том которой^ вышедший в 1938 г. [117], посвящен конформной геометрии.

В работе [104] Э. Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [114], [115] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.

Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [76], [77], второе - с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. П. Норденом в работах [62]-[66], третье - с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [29], [30].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [99] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, ти-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств.

В работах [63]—[66], а также в совместной с Г. В. Бушмановой работе [9] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.

Л. Ф. Филоненко в своих работах [89], [90], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве Р„, рассматривает распределение т-мерных линейных элементов в (и-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию.

Исследования А. М. Михайловой [60], [61] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.

Т. Н. Глухова (Андреева) [17]-[21], [87] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.

А. В. Столяров [82]—[85] рассматривает оснащения и линейные связности на распределениях в конформном пространстве Сп. В работах [86], [87] он строит пространство конформной связности Сп на базе пространства проективной связности Ри>и+1 и изучает внутреннюю геометрию нормализованного пространства конформной связности.

В работе В. Б. Лазаревой и А. М. Шелехова [28] при изучении тканей, порождаемых пучками сфер, широко используется отображение Дарбу многообразия сфер трехмерного пространства в четырехмерное проективное пространство Р4. Аналогичным образом в работе [97] А. М. Шелехов решает конформную задачу, поставленную Бляшке [102]: перечислить все регулярные (параллелизуемые) три-ткани, образованные пучками окружностей.

2. Наряду с интенсивным изучением дифференциальной геометрии го-лономных многообразий в последние 60-70 лет объектом исследования многих математиков явились неголономные многообразия, то есть распределения т-мерных линейных элементов, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства.

Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В.В.Вагнера [11], [13], А. В. Гохмана [23], И. К. Рашевского [74], С. А. Чаплыгина [96]).

Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле т-мерных пучков направлений не задает семейства т-мерных подпространств (см. работы В.В.Вагнера [10], [12], Д.М.Синцова [78], Схоутена [116], монографии Врэнчану [120] и Михэйлеску [112]).

В 70-х годах XX века теория распределений т-мерных касательных элементов (неголономных поверхностей) в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Р (в частности, в проективном пространстве Р„) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [32], [33], [70], [71]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В. И. Близникаса [6], [7]. Ю. Г. Лумисте [37] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А. П. Норден [67], [68] устанавливает связь теории многочисленных композиций с теорией распределений. А.В.Столяров [81] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности Р и находит некоторые пути приложения этой теории. В монографии Ю. И. Попова [73] построена инвариантная теория трехсоставных распределений, вложенных в проективное пространство Р;).

3. В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [111] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г. Вейль [121] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [110], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.

Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В. В. Вагнер [14], [15] и Ш. Эресман [108] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [34].

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [63]-[66]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [98].

Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [29]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [29], следуя идеям Э. Картана [27], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия; эти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана - Лаптева).

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э. Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно

Д. И. Перепелкин [72] и Фабрициус-Бьерре [109], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие; чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [36], [38].

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Норден в работе [66] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [94]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [95]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия- в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.

В отечественной и зарубежной- математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизны; обзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [106] и Ю. Г. Лумисте [36]. В работах [35], [38] дается-сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных ^-направлений, параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [107] изучают подмногообразия Ут риманова пространства Уп с параллельным /7-мерным подрасслоением нормального расслоения; М. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [3], [4] исследуют геометрию Ут с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.

П. А. Фисунов [92] изучает двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной голономной и неголономной гиперполосах я-мерного проективного пространства.

В работах С. Ю. Волковой [16], Н. А. Елисеевой [25], Т. Ю. Максаковой [39] исследуются нормальные связности на распределениях специальных классов в проективном пространстве Рн.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матвеева, Анастасия Михайловна, 2009 год

1. Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М.А. Акивис // Матем. сб. - М., 1952. — Т. 31.-№ 1. -С. 43-75.

2. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия / М. А. Акивис. Калинин, 1977. - 82 с.

3. Близникас В. И. О неголономной поверхности трехмерного про- ; странства / В. И. Близникас // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1971.-Т. З.-С. 115-124.

4. Бронштейн Р. Ф. К конформной теории многомерных распределений / Р. Ф: Бронштейн // Геометрия погруженных многообразий. — М. : МГПИ, 1983.-С. 17-25.

5. Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Буш-манова, А. П. Норден. Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. - 178 с.

6. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В; Вагнер // Сб. 8-го Межд. конкурса на соискание премий им. Лобачевского. Казань, 1940. - С. 195-262.

7. Вагнер В. В'. Геометрическая интерпретация движения неголо, номных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М. : МГУ, 1941. — Вып. 5. - С. 301—327.

8. Вагнер В. В. Геометрия («-1)-мерного неголономного многообразия в «-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М. : МГУ, 1941. — Вып. 5. - С. 173-225.

9. Вагнер В. В. Теория конгруэнции кругов и геометрия неголономного V2 в R3 / В: В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. -М: : МГУ, 1941. Вып. 5. - С. 271-283. •

10. Вагнер Bi В. Обобщенные тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В: Вагнер // ДАН СССР. -1945. № 8. -С. 335-338.

11. Глухова (Андреева) Т. Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства- / Т. Н. Глухова (Андреева) // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. — Чебоксары, 2004.-№ 1.-С. 3-9.

12. Глухова (Андреева) Т. Н; Конформно-дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. - № 744. - В2004. - 18 с.

13. Глухова (Андреева) Т. Н: Конформные и аффинные связности^ индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н: Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. -№ 1369.-B2004.- 18c.

14. Глухова. (Андреева) Т. Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2005. - № 379. - В2005. - 23 с.

15. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1979.-Т. 9.-246 с.

16. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения / Э. Картан. М. : МГУ, 1962. - 237 с.

17. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

18. Лазарева В. Б. Конфигурации и ткани, порождаемые пучками сфер / В. Б. Лазарева, А. М. Шелехов // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. - № 5 (52). - С. 100-107.

19. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва : сб. ст. 1953. - Т. 2. -С.275-382.

20. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда.-М., 1958.-Т. 3. С. 409-418.

21. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г. Ф. Лаптев // Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961). — Ленинград, 1964. Т. 2. - С. 226-233.

22. Лаптев Г. Ф. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I. / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 49-94.

23. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 29-48.

24. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1971.-С. 123-168.

25. Лумисте Ю. Г. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Известия вузов. Матем.-Казань, 1974.-№ 5.-С. 148-157.

26. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1975.-Т. 13.-С. 273-380.

27. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

28. Лумисте Ю. Г. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии /ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12.-С. 3-30.

29. Матвеева А. М. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 395. - В2006. -16 с.

30. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенной неголоном-ной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2007. - Т. 1. - № 3 (55). - С. 48-55.

31. Матвеева А. М. Нормальные связности на вполне оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М1 Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 443; - В2007. - 21 с.

32. Матвеева А. М. Поля фундаментальных геометрических объектов и аффинные связности на гиперполосном распределении конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 972. -В2007. -17 с.

33. Матвеева А. М. Внутренняя геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева //'ВИНИТИ РАН. М., 2008. - № 239. - В2008. - 27 с.

34. Матвеева А. М. Гиперсопряженная система конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. — Чебоксары, 2008. -№2 (58).-С. 30-36.

35. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. — Казань, 2008. — № 7. — С. 79-84.

36. Михайлова А. H. Внутренние оснащения гиперполосы в конформном пространстве / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2000. -№ 1497.-B2000.-17c.

37. Михайлова А. К Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2001. - № 1950. - В2001. - 14 с.

38. Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. -М., 2001. -№ 719. -В2001. 19 с.

39. Норден А. П. Аффинная связность на поверхностях проективного пространства / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1947. - Т. 20. - № 2. -С. 263-280.

40. Норден А. П. О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / А. П. Норден // ДАН СССР.,- 1948. Т. 61. - № 2. - С. 207-210.

41. Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1949. - Т. 24. - № 1. - С. 75-85.

42. Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1950. - Т. 14. - № 2. - С. 105-122.

43. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М. : Наука, 1976.-432 с.

44. Норден А. П. Многочисленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. — Казань, 1978. № 11. -С. 87-97.

45. Норден А. П. Теория композиций / А. П. Норден // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С.117-145.

46. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl. (RPR). 1962. -T. 7. —№ 2. — C. 231-240.

47. Остиану H. M. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II. / H. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 95-114.

48. Остиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Остиану // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

49. Перепелкин Д. И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве / Д. И. Перепелкин // ДАН СССР. -1935.-С. 593-598.

50. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства / Ю. И. Попов. — Изд-во С. — Петербургского унта, 1992.- 172 с.

51. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. М. : Гостехиздат, 1947. - 354 с.

52. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М. : Наука, 1967. - 664 с.

53. Розенфельд Б. А. Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1947. -Т. 57. - № 6: - С. 543-546.

54. Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1948. - Т. 59. - № 6. - С. 1057-1060.

55. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов.- Киев : Вища школа, 1972. 294 с.

56. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа /»-сопряженных систем / Р. В. Смирнов.// ДАН АН СССР! 1950. - Т. 71. - № 3. - С. 437-439.

57. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения га-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН' СССР.-М., 1975.-Т. 7.-С. 117-151.

58. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В>. Столяров. 2-е изд., доп. - Чебоксары : Изд-во Чуваш, гос. пед. инта, 1994.-290 с.

59. Столяров А. В. Линейные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2001.-№3.-С. 60-72.

60. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2002. - № 11. - С. 61-70.

61. Столяров А. В. Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем.- Казань, 2002. № 5. - С. 52-60.

62. Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2002. - 204 с.

63. Столяров А. В. Пространство конформной связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2006. — № 11. - С. 42-54.

64. Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. — 180 с.

65. Схоутен И. А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. М. : ГИИЛ, 1948. - Т. 2. - 348 с.

66. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии /С. П. Фиников. М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. -432 с.

67. Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве / П. А. Фисунов. — Чебоксары, 2006. — 129 с.

68. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // ДАН Арм. ССР. 1959. - Т. 28. - №4. - С. 151-157.

69. Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. -Казань, 1976. С. 209.

70. Чакмазян А. В; Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В: Чакмазян. Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. — 116 с.

71. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных. систем. Téo-рема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933. -Т. 1.- С. 212-214.

72. Шелехов А. М. О три-тканях, образованных пучками окружностей / А. М. Шелехов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. М., 2005. - Т. 32. - С. 7—28.

73. Широков П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М. : ГИФ-МЛ, 1959. - 320 с.

74. Akivis M. A. Conformai differential geometry and its generalizations / M. A. Akivis, V. V. Goldberg. USA, 1996. - 384 p.

75. Bervald L. Differential invarianten in der Geometrie. Enzuclopädie der Mathematischen Wissenschaften / L. Bervald. 1927. - Bd. III. - Heft 7. -S. 73-121.

76. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie. III / W. Blaschke // Differential-geometrie der Kriese und Kügeln. — Berlin, 1929.

77. Blaschke W. Einfürung in die Geometrie der Waben / W. Blaschke // Basel Stuttgart. - 1955. Имеется русский перевод: Бляшке В. Введение в геометрию тканей. -М. : Физматгиз, 1959.

78. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta lùogo di spazi; applicazione alla geometría métrica differenziale delle congruarize di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. - T. 3: - P. 81-89.

79. Cartan E. Les éspaces á connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. ' Polon. math. 1923. - 2. - P. 171-211.

80. Cartan E. Les éspaces ä connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М. : МГУ, 1937. - Вып. 4. — С.147-159.

81. Chen Bang Yen. Geometry of submanifolds / Chen Bang - Yen. -New york, Marseille, Dakar, 1973. - X. - 308 p.

82. Chen Bang Yen. Submanifolds umbilical with respect to a nonparallel normal subbundle / Chen Bang - Yen, Yano Kentaro // Ködai Math. Semin. Repts. - 1973. - 25. - № 3. - P. 289-296.

83. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie. — Bruxelles, 1950. -P. 29-55.

84. Fabricius-Bierre F. Sur variétés a torsion nulle / F. Fabricius-Bierre // Acta math. 1936. - S. 49-77.

85. König R Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehr / R. König // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920. - 28. - 28. - P. 213-228.

86. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. Palermo, 1917. - P. 173-205.

87. Mihâlescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihâlescu. Bu-curesti Acad. RPR, 1958. - 394 p.

88. Pfaff J.-Berl. Abh.'- 1814.-S. 76-135.

89. Sasaki S. On the theory of curves in a curved conformai space / S. Sasaki // Sei. Repts. Tôhoku Univ. 1939: - 27. - P. 392-409.

90. Sasaki S. On the theory of surfaces in a curved conformai space / S. Sasaki // Sei. Repts. Tôhoku Univ. 1940. - 28. - P. 261-285.

91. Schouten J. Ricci Calculus / J. Schouten. Berlin. 2nd ed., 1954.

92. Takasu T. Differentialgeometrien in der Kugelräumen. I. / T. Takasu //Konforme Differentialgeometrie von Lioville und Möbius. — Tokyo, 1938.tt

93. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. Humburg, 1924. -3.-P. 31-56.

94. Vessiot E. Contribution â la geometrie conforme. Theorie des surfaces / E. Vessiot // Buii. Soc. Math. France. 1926. - 54. - P. 139-179; - 1927. - 55. -P. 39-79.

95. Vranceanu L. Les èspaces non-holonomes / L. Vranceanu // Mémorial des Sei Math., fasc. LXXXV. Paris, 1936.

96. Weyl H Raum. Zeit, Materie. Berlin : Springer, 1923.