Движение твердой частицы в нелинейных волнах на поверхности жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Верхотуров, Анатолий Русланович

• Верхотуров, Анатолий Русланович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Верхотуров, Анатолий Русланович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Силы, действующие на твердую частицу

в волнах на поверхности жидкости

1.1. Силы, действующие на твердую частицу

со стороны жидкости

1.2. Волны на поверхности жидкости и их основные характеристики, влияющие на движение твердой

частицы

1.3. Определение сил, действующих на твердую

частицу в волнах

2. Математическая модель движения твердой частицы

в поверхностных волнах

2.1. Дифференциальные уравнения движения частицы

2.2. Дифференциальные уравнения движения частицы

с учетом поправки Осеена

3. Частные случаи движения частицы в поверхностных

волнах

3.1. Дифференциальное уравнение движения частицы

без учета затухания волн

3.2. Исследование уравнения движения методом

фазовой плоскости

3.2.1. Положения равновесия частицы на поверхности

волны

3.2.2. Фазовые траектории дифференциального уравнения

движения частицы

3.3. Движение частицы на поверхности

идеальной жидкости

3.3.1. Движение частицы без учета вязкого сопротивления и собственного циклического

движения жидкости

3.3.2. Движение частицы на поверхности идеальной

жидкости в общем случае

3.4. Численное интегрирование дифференциального

уравнения движения частицы

3.4.1. Основные цели и последовательность проведения

расчетов

3.4.2. Результаты численного решения дифференциального

уравнения движения частицы

3.4.3. Сравнение численных и аналитических решений

4. Экспериментальное исследование движения частиц

в поверхностных волнах

4.1. Описание экспериментальной установки

4.2. Порядок проведения и результаты эксперимента

4.3. Сравнение экспериментальных и теоретических

результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕР АТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение твердой частицы в нелинейных волнах на поверхности жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

Процессы перемещения твердых тел и частиц под действием вибраций получили широкое распространение в различных областях техники и технологии.

Одним из условий успешного применения и развития современных вибротехнологий явились глубокие исследования в области теории колебаний и виброперемещений, результаты которых отражены в работах И.И.Блехмана, Г.Ю.Джанелидзе, И.И.Артоболевского, И.И.Быховского, И.Ф.Гончаревича, В.О.Кононенко, Я.Г.Пановко, Р.Ф.Нагаева,

Р.Ф.Ганиева, Л.Е.Украинского, К.В.Фролова и других известных отечественных и зарубежных ученых.

Среди различных направлений в теории вибрационного движения важное место занимают исследования по динамике твердых тел, частиц и взвесей в жидкой среде в волновых или вибрационных полях. Современные исследования и обзор результатов в этой области наиболее полно были даны в работах [26,30] и других. Эти исследования обусловлены необходимостью решения ряда актуальных задач, связанных с проблемами рационального природопользования , защиты окружающей среды, создания современных комбинированных технологий добычи полезных ископаемых и разработки техногенных месторождений и другими задачами.

Применение вибраций в физических процессах, объектом которых являются многофазные среды, может приводить к различным эффектам , таким, как направленное перемещение твердых частиц в жидкости, группирование их в определенной области, разделение частиц по плотности, затопление или всплытие твердых тел, эффект псевдоожижения, изменения плотности материалов и их очистка и другие [26].

В представляемой диссертационной работе исследуется движение твердого плавающего тела ( частицы ) в однородной жидкой среде под дей-

ствием бегущих регулярных поверхностных волн, распространяющихся от источника вибрационного типа.

Среди известных моделей задачи наиболее простым является случай движения тела в идеальной несжимаемой жидкости. При этом на частицу, движущуюся в неограниченном объёме жидкости, при условии существования потенциала скорости, действует сила, обусловленная эффектом присоединённых масс жидкости [57].

При движении сферической частицы в вязкой несжимаемой жидкости сила вязкого сопротивления определяется известной формулой Стокса, полученной им при помощи линеаризации уравнений движения тела. Такое упрощение возможно при медленном стационарном обтекании сферы при малых числах Рейнольдса, когда силы вязкого сопротивления превосходят по величине инерционные силы [30,57].

Впоследствии результаты, полученные Стоксом, были уточнены Осееном и обобщены Буссинеском на случай произвольного неравномерного движения сферы. В результате сила сопротивления жидкости была представлена в виде дополнительных поправок к формуле Стокса [30,54,55].

Задача о движении тела в жидкости рассматривалась в трудах Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, А.М.Ляпунова, Н.Е.Кочина, Л.Н.Сретенского и других известных ученых [38,50,51,58,87]. Для их работ характерно применение при различных условиях задачи методов теории функций комплексного переменного. В работах [55,57,86,87] дается вычисление гидродинамических сил и моментов, действующих на полностью погруженное тело.

Новые модели задачи изложены в работах [85,93,112,115]. В статье [115] рассмотрено движение частицы в нестационарном потоке идеальной жидкости. Кроме обычных сил в рассмотрение вводится член, учитывающий неравномерность движения жидкости, выводится уравнение дви-

жения частицы. В работе [112] сила сопротивления сферы рассматривается в зависимости от её ускорения. Принимается, что в идеальной жидкости сила сопротивления пропорциональна квадрату ускорения.

Ряд экспериментальных исследований выполнен в последнее время учеными СССР, России, Украины, Японии и других стран [23, 28, 29, 121, 122, 124]. Силы сопротивления, действующие на круглый цилиндр, колеблющийся в продольном и поперечном направлении в потоке жидкости, были определены в исследовании [124]. Экспериментальное определение силы, действующей на цилиндр со стороны колеблющегося потока жидкости, коэффициента сопротивления и инерционного коэффициента сопротивления проведено в широком диапазоне изменения частоты, амплитуды и скорости потока для цилиндров различных размеров. Для вычисления горизонтальной силы сопротивления применяется формула Морисона [135], представляющая продольную силу в виде суммы инерционной составляющей и силы вязкого сопротивления. В статье [121] приведены результаты экспериментального определения сил сопротивления и инерции полностью погруженной сферы на регулярном и нерегулярном волнении.

Одновременно проводятся и теоретические исследования [39, 79, 85, 93, 122, 136]. В работе [93] рассматриваются колебания цилиндра, плавающего на волнении. Главный вектор и главный момент гидродинамических сил, действующих на тело, определяются интегрированием сил давления по поверхности погруженной части тела.

Динамика вертикального цилиндра, плавающего на регулярном волнении, исследуется в работе [39]. При определении сил, действующих на цилиндр, используется подход, основанный на теории качки корабля А.Н.Крылова. Полные силы сопротивления и возмущающие гидродинамические силы определяются интегралами по погруженной части поверхности цилиндра, которые не выражаются в элементарных функциях и вычисляются с помощью компьютера. Нелинейные уравнения движения ци-

линдра также интегрируются с помощью ЭВМ. Результаты показывают наличие горизонтального дрейфа цилиндра.

В последнее время в ряде работ задача о движении тела в жидкости рассматривается на основе энергетического метода. В статье [116] рассматриваются колебания цилиндра в жидкости. Приводятся выражения для силы демпфирования и горизонтальной силы, действующей на цилиндр, полученные через плотность потока энергии волн.

Задаче о движении твердых плавающих частиц под действием поверхностных волн посвящены исследования [10,43,44]. Для этих работ характерно применение энергетического метода, при котором сила, действующая на частицу со стороны жидкости, определяется через среднюю плотность потока энергии волн [10,43], а также через плотность потока мощности [44]. Полученные уравнения движения при решении приближенными методами показывают, что частица движется в направлении распространения волны, и скорость частицы стремится в пределе к фазовой скорости или к групповой скорости волн.

Определение характеристик волнового поля, в котором движется твердая частица, и задание параметров волн с учетом их нелинейности связано с основными результатами теории волн на поверхности жидкости. Теория поверхностных волн является важным разделом классической гидродинамики и широко представлена в литературе исследованиями Стокса, Рэлея, А.И.Некрасова, Г.Ламба, Н.Е.Кочина, Л.Н.Сретенского и многих других известных ученых [40,53,54,56,86,106]. Волновое движение на поверхности идеальной жидкости, в зависимости от постановки задачи и принимаемых упрощений реальной физической модели, описывается либо линейной, приближенной теорией волн (теория волн малой амплитуды), либо нелинейной теорией (теория волн конечной амплитуды). В обоих случаях исходными являются уравнения Эйлера движения идеальной жидкости совместно с определенными граничными и начальными условиями. Дви-

жение жидкости происходит в поле сил тяжести и поэтому будет потенциальным. Оно обладает потенциалом скоростей, функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа, частные производные которой по координатам есть проекции скорости жидкости на оси координат. Граничные условия заключаются в равенстве нулю нормальной производной потенциала скоростей на поверхности жидкости, равенстве нулю вертикальной составляющей скорости движения у дна, равенстве давления на свободной волновой поверхности атмосферному давлению и некоторых других. Начальные условия при установившемся движении жидкости не имеют значения.

Конечная задача теории волн состоит в отыскании интеграла уравнения Лапласа, а также нахождении функции, описывающей профиль волны. Сложность ее решения заключается в том, что все граничные условия должны выполняться неизвестным потенциалом скоростей на неизвестной границе волны, а также в том, что уравнения Эйлера являются нелинейными. Поэтому в настоящее время существует очень мало задач теории волн, которые решались бы с полным удовлетворением граничных и начальных условий [87].

Наиболее широко развита приближенная теория волн [50,54,87,106]. Упрощения здесь достигаются с помощью линеаризации уравнений Эйлера в предположении, что скорости движения жидкости невелики и можно пренебречь их квадратами. Линейная теория волн дает бегущую (прогрессивную) волну синусоидального профиля. Из уравнения движения частиц жидкости определяется, что их траектории есть эллипсы, большая полуось которых расположена вдоль горизонтальной оси. Для жидкости бесконечной глубины эти траектории выглядят круговыми. Для всех характеристик волны определяемые результаты являются приближенными, а по вопросу траекторий частиц жидкости и вовсе не соответствуют действительности, как это было показано в нелинейной теории.

Нелинейной теории волн (теории волн конечной амплитуды) посвящено большое количество исследований, обзор которых и основные результаты изложены в [40,53,54,55,56,57,62,63,67,69, 82,86,87,88,92,106] и других работах. Впервые Стоке, решая нелинейную задачу о волнах на поверхности идеальной жидкости [54,87], при условии существования потенциала скорости, показал, что, в отличие от линейной теории, для нелинейных волн характерны такие эффекты, как разомкнутость траекторий частиц жидкости и существование приповерхностного течения жидкости в сторону распространения волн, несимметричность профиля волны, подъем среднего уровня жидкости, увеличение фазовой скорости волны и другие. Усредненная по периоду волны скорость приповерхностного течения, или скорость волнового переноса жидкости, выражается экспоненциальной зависимостью от глубины жидкости и быстро убывает с ростом глубины. Решения этой задачи впоследствии были также даны Рэлеем [54].

Строгое доказательство существования волн Стокса независимо дали Леви-Чивита и А.И.Некрасов. В своих работах А.И.Некрасов развивает точную теорию волн конечной амплитуды, применяя метод конформных отображений теории функций комплексного переменного. Доказывается существование волнового переноса жидкости при определении времени прохождения частицей жидкости расстояния, равного длине волны, и другие эффекты нелинейной теории волн.

Нелинейная теория гравитационно-капиллярных волн развивается в работах [82,83,84,119,120]. Определяется профиль волны, фазовая скорость, скорость приповерхностного течения с учетом капиллярных эффектов. Более сложные и неоднозначные зависимости приповерхностного течения от амплитуды волны, вязкости, капиллярности, глубины жидкости выявлены в работах Харрисона, Лонге-Хиггинса, Хогана и других [119,131,132,133]. В работе [131] показано, что возможно совершенно противоположное распределение скорости приповерхностного течения по сравнению с тем, что дает

теория Стокса: при малой глубине жидкости у ее поверхности волновое течение направлено назад, против распространения волн, а у дна, наоборот, по направлению движения волны. Возможен и другой вариант: у поверхности течение направлено в сторону движения волн, в средней части потока против движения волн и у дна - вновь в сторону распространения волн. Величина этого течения может в 2...3 раза превосходить значение скорости, определяемое формулой Стокса, и достигать величины 20...80% от значения фазовой скорости волны.

На основании этих данных можно сделать вывод о том, что эффекты, связанные с нелинейностью волн, могут оказать достаточно существенное влияние на движение твердых частиц в поверхностных волнах, чтобы нельзя было пренебречь их влиянием. Это зависит от типа волн (гравитационные, гравитационно-капиллярные, капиллярные), их амплитуды, вязкости и глубины жидкости и других условий задачи.

В классических и современных исследованиях движения частиц, тел и взвесей в поверхностных волнах в жидкости влияние, которое оказывают на это движение приповерхностное течение и другие особенности , описываемые нелинейной теорией волн, не рассматривается или рассматривается лишь частично.

Анализ приведенных исследований показывает, что большинство работ посвящено задаче о движении тела, полностью погруженного в жидкость, и что задача о движении плавающих частиц в поле прогрессивных поверхностных волн в жидкости получила недостаточное внимание, несмотря на широкое распространение соответствующих процессов в природе и в производстве.

В последние годы в этом направлении выполнен ряд работ на уровне статей, научных отчетов, экспериментальных исследований. При этом большинство работ выполнены в рамках линейной теории волн (теории волн малой амплитуды) [9,11,43,44 и др.].

Несмотря на проводившиеся исследования, остался нерешенным целый ряд вопросов в теории движения твердых частиц в поверхностных волнах:

• не исследовано влияние, оказываемое на движение частицы со стороны приповерхностного течения жидкости и других особенностей нелинейных волн;

• не определялось влияние различных параметров волн на движение частиц;

• не производилось сравнение различных моделей движения частицы с целью определения их точности и эффективности в описании движения;

• не определялись положения равновесия частицы на поверхности волны;

• не определялись возможные режимы движения частицы в зависимости от параметров волн.

Отличие представляемой работы от предыдущих исследований в этой области состоит в том, что движение твердой частицы в волновом поле на поверхности жидкости рассматривается на основе методов, используемых в теории несвободного движения механических систем. При этом учитываются основные особенности волнового движения, описываемые нелинейной теорией волн (приповерхностное течение жидкости, асимметрия профиля волны и другие), и их влияние на движение частицы [4,9].

Цель представленной работы заключается в изучении закономерностей движения твердой плавающей частицы на поверхности вязкой однородной жидкости под действием бегущих гравитационных поперечных волн с учетом особенностей нелинейной теории волн. При этом основными задачами являются:

• построение математической модели движения частицы с применением методов механики несвободных систем при различных подходах к определению сил сопротивления ;

• исследование зависимостей скорости и перемещения частицы от характеристик волнового поля, среды и частицы

• выявление влияния волнового переноса жидкости на движение частицы;

• определение возможных положений равновесия частицы на поверхности волны и их устойчивости , а также возможных режимов движения.

На защиту выносятся следующие положения:

• математическая модель движения твердой плавающей частицы в нелинейных волнах на поверхности вязкой жидкости, основанная на применении методов теории несвободного движения механических систем;

• частные случаи решения дифференциальных уравнений движения частицы с определением положений равновесия частицы на поверхности волны и их устойчивости, а также возможных режимов движения;

• определение зависимости скорости частицы и ее перемещений от параметров волн с учетом влияния приповерхностного течения и других особенностей нелинейных волн.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматриваются основные факторы, определяющие характер и особенности динамики твердой частицы в поле бегущих волн на поверхности вязкой жидкости, способы определения скорости приповерхностного течения и ее зависимости от параметров волн.

Во второй главе приводится вывод дифференциального уравнения движения частицы в общей постановке задачи, с учетом нелинейности волн,

приповерхностного течения, вязкости жидкости и затухания волн. Дан порядок вывода дифференциального уравнения движения частицы с учетом поправки Осеена в силе вязкого сопротивления жидкости.

В третьей главе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения движения частицы, получены приближенные решения уравнения в частных случаях при различных упрощениях исходной математической модели. При исследовании уравнения применяется метод фазовой плоскости. Определены положения равновесия частицы на поверхности волны и возможные режимы движения. Производится численное интегрирование дифференциальных уравнений движения частицы на компьютере. Рассматривается влияние приповерхностного течения, а также влияние изменения параметров волн, связанных с их нелинейностью, на движение частицы. Аналитические решения в частных случаях сравниваются с численными решениями и с результатами эксперимента. Проинтегрировано численно дифференциальное уравнение движения частицы с учетом поправки Осеена. Уравнения решались при помощи компьютера по программам, составленным автором.

В четвертой главе приводятся результаты эксперимента, описание экспериментальной установки, порядок проведения исследований. Сравниваются их результаты с теоретическими решениями.

В заключении изложены выводы о результатах проведенного исследования и области их возможного применения.

1. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТВЕРДУЮ ЧАСТИЦУ В ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

Исследование динамики твердой плавающей частицы в волнах на поверхности жидкости с применением методов механики несвободных систем и построение математической модели движения связано с рассмотрением двух основных вопросов: определение сил, действующих на частицу, и определение характеристик волнового поля с учетом особенностей нелинейной теории волн. При этом факторами, оказывающими определяющее влияние на движение частицы, являются инерционные и вязкие свойства жидкости, а при малых длинах волн и капиллярные эффекты, плотность и размеры твердой частицы, а также такие характеристики волн как тип волны, уравнение свободной поверхности, фазовая скорость и другие. Немаловажным является влияние, оказываемое на движение частицы, собственного колебательного движение жидкости, приповерхностного течения и затухания волн, обусловленного вязкостью жидкости.

При определенных допущениях волновая поверхность жидкости может быть принята для твердой плавающей частицы в качестве связи, наложенной на частицу при ее движении. Это позволяет в данной задаче применить методы механики несвободного движения, и уравнение профиля волны будет являться уравнением связи при построении математической модели. Вопрос об условиях, в пределах которых это допущение можно принять, обсуждается в п. 1.3, 2.1.

Задание системы сил и характеристик волнового поля с учетом вышеизложенного определяют выбор и построение математической модели движения частицы и требует более подробного рассмотрения.

1.1. Силы, действующие на твердую частицу со стороны

жидкости.

При движении твердого тела в неограниченном объеме идеальной жидкости со скоростью V, при условии потенциальности течения, на тело действует сила, обусловленная эффектом присоединенных масс [31,57], определяемая в виде

— (IV аIV

^ = = (1.1) Л Л

здесь р - коэффициент присоединенной массы тела, зависящий от его формы;

о

Ру - плотность жидкости, кг/м ; С) - объем частицы, м3;

т* = Рр\() - присоединенная масса жидкости, кг.

Следовательно, сила, обусловленная действием присоединенных масс жидкости, определяется ее инерционными свойствами и зависит от плотности жидкости, объема и формы тела.

Тогда при действии на тело массой т. внешней силы Еа уравнение движения имеет вид [57]

(IV - - ¿V -

т-= F+Fa или (7и + 7и*)—- = ^л (1.2)

Л Л

В том случае, когда жидкость движется со скоростью ^, сила ^ будет зависеть от относительной скорости тела [31]

ш Ш

Вычислению присоединенных масс сферы и других тел посвящены многие исследования, которые даны в [19,20,57,78] и других источниках. Для сферы радиуса г , полностью погруженной в жидкость, коэффициент ¡5 = 0.5 (присоединенная масса равна половине массы жидкости в объеме данной сферы) [57]

2 з

т* = —р\лг (1.4)

а в случае, если сфера погружена наполовину, у? = 0.273 [19].

В случае движения сферической частицы в вязкой несжимаемой жидкости сила вязкого сопротивления по формуле Стокса имеет вид

К = -6Я!ЛГ¥ (1.5)

здесь ¡л - коэффициент динамической вязкости, нс/м . Данная формула справедлива при медленном стационарном обтекании сферы, когда параметр Рейнольдса Ле имеет значение [31,57]

2 г

V

Ле =-<1, (1.6)

v

здесь у - коэффициент кинематической вязкости, м2/с. При таких значениях Яе силы вязкости превосходят инерционные силы.

В том случае, когда параметр Рейнольдса не является малым, сила вязкого сопротивления определяется формулой Осеена [57]

- - 9 -

Я = -в7г/жУ--ТТ/игУ^ , (1.7)

Здесь второе слагаемое зависит от квадрата скорости частицы. Применение этой формулы ограничено значениями параметра Яе порядка нескольких единиц [57].

При больших значениях параметра Рейнольдса, Яе>1 ООО, для определения гидродинамического сопротивления жидкости, в котором в этом случае преобладают инерционные силы, пропорциональные квадрату скорости тела, могут применяться различные формулы с применением диаграммы Рэлея, представляющей собой экспериментальные зависимости коэффициентов сопротивления сферы от числа Ле, а также другие методы [40,50,51,54,57,80,86,104].

Если жидкость совершает потенциальное движение, формулы (1.5),(1.7) остаются справедливыми [31], с той разницей, что в них вводится относительная скорость тела. С учетом этого выражение (1.5) примет вид

Я = -Щ) = -а(Г -Щ) (1.8)

здесь а = вп/ж - коэффициент вязкого сопротивления, нс/м; а формула (1.7) запишется так

Я = -6л¡иг(У ярг(У -^)Яе =

8

—аСГ-УО-а^Г-ГОЯс (1.9)

здесь а0=— щг -коэффициент сопротивления в поправке

8

2 г Ке = -

г-г1

Осеена, нс/м;

- параметр Рейнольдса, взятый по относительной скорости.

При движении цилиндра в вязкой жидкости сумма сил ^ и й может быть определена с помощью формулы Морисона [135], представляющей собой сумму двух слагаемых

- - 1 ,-,- ЛЕС йУ

Р + Я = — (1.10)

здесь Се - коэффициент демпфирования;

'г

5 - площадь сечения погруженной части цилиндра, нормальной потоку, м2;

С^ - коэффициент инерционного сопротивления;

1С, <ЛС - длина и диаметр цилиндра, м. Обычно коэффициенты С^и С^ определяются для различных тел экспериментальным путем.

Выражение для полной силы Рп, действующей на твердую малую сферическую частицу при движении в невязкой среде при потенциальном течении, может быть найдено в виде [115]

- ЭУ <17

Рп = (Р1<2+>*)-рг->п*-г-рОё, (1-и)

£> д ихд УУлд где — = — + —— + —■— , д1 ск\ ду\

1/], Ж] - проекции скорости жидкости на оси неподвижной системы координат, м/с;

о

р - плотность частицы, кг/м ; ^ - ускорение силы тяжести, м/с2 .

В случае движения частицы в вязкой жидкости дополнительно к (1.11) вводится сила сопротивления, зависящая от квадрата относительной скорости частицы

\y-Vi\iV-Vi) (1.12)

Сила давления волн ^ на твердую сферическую частицу может быть вычислена с помощью плотности потока энергии волны и определяется выражением [10,44]

-1 (1ЛЗ)

сг

где ¡¥э - средняя плотность потока энергии, Дж м/с;

£ - площадь сечения погруженной части тела, нормального потоку, м2; с - фазовая скорость волны, м/с; |с| > \У\.

В выражении (1.13) сила вычисляется путем осреднения плотности потока энергии по периоду волны. При составлении дифференциальных уравнений движения частицы вводятся также силы инерционного и вязкого сопротивлений [10,44].

Разложение полной гидродинамической силы на составляющие применяется также в работах по теории качки корабля на волнении А.Н.Крылова [87] и М.Д.Хаскинда [99]. М.Д.Хаскинд обосновал для случая гармонических колебаний разделение гидродинамической нагрузки корабля на инерционную, демпфирующую, возмущающую и восстанавливающую составляющие [2]. Аналогичные методы, с некоторыми допущениями о малости тех или иных составляющих полной гидродинамической силы, применяются в различных по условиям задачах [1,11,39,57,87,100,115] и других.

С учетом изложенного силы, действующие на твердую частицу в волнах, в соответствии с условиями и методами решения рассматриваемой задачи, определены в п.1.3, 2.1.

1.2. Волны на поверхности жидкости и их основные характеристики, влияющие на движение твердой частицы

При решении нелинейной задачи о волнах на поверхности идеальной жидкости при условии существования потенциала скорости (р исходной является система уравнений, представляющая из себя интеграл Лагранжа-Коши уравнения Эйлера и уравнение неразрывности Лапласа с определенными граничными условиями [87, 106].

Потенциал скорости (р, удовлетворяющий этой системе уравнений, в соответствии с решениями Стокса представляется в виде тригонометрического ряда. В случае распространения гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости бесконечной глубины первое и второе приближения для (р совпадают и имеют вид [106]

ку

(р = асе 1со^{кх\-Ш) (1-14)

здесь а - амплитуда волны, м; с - фазовая скорость, м/с;

2ж , , Я

ш =--частота волны, 1/с; т =--период волны, с;

т с

к = — - волновое число, 1/м; Я - длина волны, м; Я

х1 ,у1- координаты точки жидкости, заданные в неподвижной системе координат О1Х1У1 , где ось 0]Х) совпадает с невозмущенной поверхностью жидкости, ось О1У1 направлена вертикально вверх.

Уравнение свободной поверхности волны или ее профиль представляет собой кривую с более длинной впадиной и более коротким гребнем по сравнению с синусоидальной волной в линейной теории. Во втором приближении оно имеет вид [106]

2

£ = -asm{kxi - mt)-а к cos - Ш) (1-15)

Проекции скорости частиц жидкости на оси неподвижной системы координат OjXjyi состоят из циклических составляющих, определяемых частными производными от (р из (1.14), и постоянной скорости волнового переноса жидкости вдоль оси OjX] и имеют вид [106]

ку 2 2 2ку

U\=--akce sin(bq - Ш)+ а к се ,

ку,

W\ = аксе 1 cos(feq - tut) . (1-16)

Постоянное слагаемое, входящее в выражение £Л, было получено Стоксом в процессе интегрирования уравнений движения частиц жидкости при определении вида их траектории. Оно определяет скорость приповерхностного течения или волнового переноса [106]

? 9 1ку\

Гп=а1к2се 1. (1.17)

Профиль волны и основные геометрические характеристики показаны на рис.1.1., где приведены также системы координат: О¡х^} - неподвижная и Оху - движущаяся поступательно с фазовой скоростью волны, оси Ох, 0]Х} совмещены с плоскостью невозмущенной поверхности жидкости.

Рис. 1.1. Параметры волны

Фазовая скорость волны находится в виде [106]

с = ^(1 + а2к2), (1.18)

что больше ее значения в линейной теории волн

ЧЁ (1Л9>

Данные результаты получены Стоксом. Задача о нелинейных поверхностных волнах рассматривалась также в работах Рэлея. Он показал , что в случае распространения волн на поверхности жидкости бесконечной глубины решениями будут функции [54, 87]

— = -х + ае^ бшАх, с

¥- = -у + аеку соБкх, (1.20)

с

где у/ - функция тока.

Компоненты скорости точек жидкости имеют вид

и = = с_ скае^ со&кх, дх

]¥ = -^)- = -скаеку ыпкх. (1.21)

Движение здесь рассматривается в подвижной системе координат, связанной с волной, или иначе, нестационарное движение жидкости сводится к стационарному заданием всему потоку жидкости скорости, равной фазовой скорости волны, в противоположном направлении.

Скорость приповерхностного течения, определяемая из решений Рэлея, совпадает по виду с выражением (1.17) [54].

В неподвижной системе координат Оух^у с учетом скорости приповерхностного течения проекции скорости жидкости запишутся в виде

ку,

17\= -аксе 1 - Ш) + Уц ,

ку

Щ = аксе ^т{кх\ - Ш) (1.22)

Из второй формулы выражений (1.20), при условии у = % ,

у/ = 0 методом последовательных приближений определяется профиль волны в виде

у = £ = ае^ собЬс=а0 совЬс + а2 соб2кх + а3 созЗЬс:+...., (1-23)

1,2 1 , 2 здесь ао=—ка , = а , а2~~ка 2 2

что является уравнением трохоиды.

Фазовая скорость волны имеет вид

С2 = ^Я(1 + а2к2+-а4к4+....), (1.24)

2п 4

что практически совпадает с (1.18), отличаясь членом третьего порядка.

Точная теория гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости развивается в работах А.И.Некрасова [68] на основе метода конформных отображений. Он дал строгое доказательство существования волн Сто-кса и волнового переноса жидкости, определил основные характеристики волн.

При рассмотрении волн, длина которых находится в диапазоне 0.02 < Я < 0.2 м, в рассмотрение вводятся капиллярные силы, зависящие от поверхностного натяжения жидкости [106]. Точная нелинейная теория гравитационно-капиллярных волн развивается в работах Я.И.Секерж-

3,23 а-2 = —к а

8

Зеньковича и других [82, 83, 84, 119]. Определены профиль волны, фазовая скорость и показано существование приповерхностного течения в виде, аналогичном формулам А.И.Некрасова.

В реальных средах на волновое движение жидкости существенное влияние оказывает ее вязкость. Теории волн на поверхности вязкой жидкости посвящены работы [69,70,130] и другие. В теории линейных волн вид свободной поверхности определяется в виде [69,106]

et

у\ = <; - -ае sin(foq - mt), (1.25)

2

где 9 = -2vk - коэффициент затухания, 1/с;

V - кинематическая вязкость жидкости, м2 /с. Выражения проекций скорости частицы жидкости на оси координат OjXjyj имеют вид [106]

6t

U\ = -Vee е i sin(foq - mt),

Wx = FgA^1 cos(foj - mt), (1.26)

где Ve = акс Аналогично определяются эти величины в работах [54, 69].

Уравнение свободной поверхности волны может быть представлено в форме [105]

7х . У л

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Верхотуров, Анатолий Русланович

Результаты исследования могут быть полезными при решении некоторых задач в области механики несвободных систем с голономными нестационарными идеальными и неидеальными связями с использованием методов, примененных для построения математической модели движения в данной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построена новая математическая модель движения твердой частицы в поле нелинейных волн на поверхности жидкости на основе методов механики несвободных систем для двух видов зависимости сил вязкого сопротивления среды, соответствующих формулам Стокса и Осеена. Предлагаемая модель позволяет упростить общую картину сил взаимодействия частицы и волны, провести анализ влияния различных параметров и особенностей нелинейных волн на движение частицы.

2. Исследованы дифференциальные уравнения движения частицы в частных случаях, определены соответствующие им фазовые траектории и их особые точки. Для автономной механической системы решена задача об определении положений равновесия материальной точки на поверхности волны и их устойчивости.

3. Положения устойчивого равновесия частицы на поверхности волны существуют при движении ее в волнах, имеющих крутизну больше предельной ( Кр>КрПР), как в идеальной , так и в маловязкой жидкости при незначительном затухании волн.

4. Существование устойчивых положений равновесия твердой частицы на поверхности волны позволяет сделать вывод о возможности получения режима движения частицы с фазовой скоростью волны.

5. Исследованы уравнения движения материальной точки в моногармонических и нелинейных волнах на поверхности идеальной жидкости. Полученные решения позволяют анализировать движение частицы в зависимости от различных параметров волн, определить основные режимы движения, а также ввести критерий перехода от одного режима к другому в виде предельной крутизны волны.

Эти решения показывают, что при движении материальной точки при наложении идеальной стационарной связи, описываемой рядом Фурье, существует первый интеграл движения в виде зависимости скорости от координаты

6. Анализ дифференциальных уравнений движения частицы в общем случае с применением численных методов решения позволяет определить основные характеристики движения частицы в зависимости от параметров волнового поля, среды и частицы, а также выявить влияние волнового переноса жидкости на перемещение частицы. Полученные решения показывают, что скорость и перемещение частицы при одинаковой длине волны растут с увеличением крутизны волны. Эти решения также показывают, что приповерхностное течение и другие эффекты нелинейных волн оказывают существенное влияние на перемещение частицы, которое растет при увеличении крутизны волны: рост перемещения может составлять 11. 27% при /ф=0.03.0.1. Установлено, что для получения максимального перемещения частицы эффективнее, при одинаковой длине, более крутые волны, с большей амплитудой. Влияние изменения длины волны на перемещение частицы неодназначно: при постоянной амплитуде выгодны более длинные волны; при постоянной крутизне волны при движении частицы в пологих гравитационных волнах могут быть эффективнее более короткие волны, а в крутых гравитационных волнах - более длинные.

Увеличение размеров частицы, по результатам численных решений, приводит к уменьшению скорости ее движения.

Влияние изменения вязкости жидкости проявляется в том, что при увеличении вязкости растут коэффициенты вязкого сопротивления частицы и затухания волны. Соответственно уменьшается абсолютное перемещение частицы, и, по мере затухания волны, затухает движение частицы тем быстрее, чем больше вязкость жидкости.

7. Проведено экспериментальное исследование движения частиц в поверхностных волнах. Выявлено соответствие теоретических решений с результатами эксперимента, а также с более ранними экспериментами [108]. Основные наблюдавшиеся режимы движения и их зависимости от параметров волнового поля и частицы качественно совпадают с теоретическими результатами, показывают возможность разделения частиц по размерам и плотности и управления их движением, что указывает на адекватность физической и математической моделей. Сравнение экспериментальных результатов с результатами численного интегрирования уравнений движения частицы показывает возможность применения построенной в работе математической модели движения к исследованию динамики твердых легких частиц в волновом поле вибрационного типа на поверхности жидкости. Эксперимент, проведенный в лабораторных условиях, подтверждает теоретические выводы.

8. Областью применения результатов работы являются теоретические вопросы обоснования различных технологий и инженерных разработок, связанных с процессами движения твердых частиц и тел в волнах на поверхности жидкостей, управления движением, разделением частиц по размерам и плотности, локализации их, очистки жидкости. Результаты могут быть применены при создании динамических моделей движения твердых частиц в вибрационных полях ( поля поперечных волн ), при разработке методик расчета характеристик соответствующих технологических процессов .

В частности, в области горно-обогатительных производств результаты могут иметь применение при разработке технологий, использующих гравитационные методы обогащения, для разделения смесей, очистки поверхности от частиц с пеной и других специфических процессах с использованием волновых или вибрационных полей. Возможно применение результатов работы при теоретическом описании технологических процессов в химических и металлургических производствах с использованием волновых воздействий. Кроме этого, результаты могут быть применены для описания движения твердых тел в некоторых волнах, наблюдаемых в естественных условиях, например, цунами и других.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Верхотуров, Анатолий Русланович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Колебания твердого тела на поверхности раздела двух жидкостей // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.-1987, N5.- С.34-40.

2. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1990.- 372 с.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981.-568 с.

4. Баландин O.A., Верхотуров А.Р. Уравнения движения точки при наложении неидеальной нестационарной связи // Динамика виброактивных систем и конструкций. - Иркутск, 1989, с.39-42.

5. Баландин O.A., Верхотуров А.Р. Движение малого твердого тела при наложении неголономных нестационарных связей // Депонент ВИНИТИ от 20.01.86 N533-B88, 1988,6с.

6. Баландин O.A., ВерхотуровА.Р. Математическая модель движения кругового цилиндра в поверхностных волнах // Управляемые механические системы. - ИЛИ, Иркутск, 1990. С.69-73.

7. Баландин O.A., Верхотуров А.Р. Движение материальной точки при наличии идеальной связи в виде бегущей волны // Управляемые механические системы. - ИЛИ, Иркутск, 1991. С.89-91.

8. Баландин O.A., Верхотуров А.Р. Исследование поведения плавающих тел при целенаправленном генерировании волнообразования // Тезисы докладов научной школы-семинара "Моделирование динамических процессов взаимодействия в системе тел с жидкостью". - ИМ АН УССР , Киев, 1989.-С.59.

9. Баландин O.A., Верхотуров А.Р., Резник Ю.Н. и др. Динамика материальных точек и твердых тел при наложении неголономных

нестационарных связей в виде поперечных волн // Отчет о НИР (промежуточный). Гос.регистрация N01860101227, инв.

N02880022730.- Чита, 1987. - 33с.

10. Баландин O.A., Верхотуров А.Р. Движение твердых частиц на поверхности вибрирующей жидкости // Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара " Вибрации в технике".- ИЛИ, Иркутск,1988. С.12.

11. Баландин O.A., Казаков В.Д. Движение твердой частицы в плоской бегущей волне // Управляемые механические системы. - Иркутск, 1979.-С.57-62.

12. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке, занимающим полупространство или плоский открытый канал конечной глубины. -Прикл.мат. и мех., 1955, т.19, вып.1, с.61-88.

13. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1975. - 631с.

14. Берто Г.О. Океанографические буи. - JL: Судостроение, 1979. - 250с.

15. Блехман И.И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии вибрации на нелинейные механические системы. -Изв. АН СССР. Мех.тв.т., 1976, N6, с. 13-27.

16. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. -М.: Наука, 1964. -410 с.

17. Блон П., Майсек JL Волны в океане. - М.: Мир, 1981.- Т. 1 - 479 с.

18. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.- М.: Наука, 1980.- 976 с.

19. Блох Э.Л. Горизонтальный гидродинамический удар сферы при наличии свободной поверхности жидкости. -Прикл.мат. и мех., 1953, т. 17, вып.5, с.579-592.

20. Блох Э.Л. Влияние глубины погружения сферы на коэффициент присоединенной массы при горизонтальном ударе. -Прикл.мат. и мех., 1955, т.19, вып.З, с.353-358.

21. Боголюбов И.И., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.- 503 с.

22. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.Н., Фуфаев П.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1976.-256 с.

23. Вдовиченко В.Г., Трепачев В.В., Урбанович В.М.,Чернышов В.П. Волны, вызванные волнопродукторами.- Ростов-на-Дону,1985.- 37с.

24. Верхотуров А.Р. Вопросы управления движением твердых частиц в нелинейных акустических полях // Управляемая механическая система.-Иркутск, 1986, с.34-38.

25. Верхотуров А.Р. Положения равновесия твердой частицы на поверхности волны // Деп. ВИНИТИ 11.07.96 N2320-696, 1996,-7с. Читинск. гос. техн. ун-т.-Чита,1996.

26. Вибрации в технике: Справочник. - М.: Машиностроение, 1979. Т.2. Колебания нелинейных механических систем/ Под ред. И.И.Блехмана. 1979.-351с.

27. Вибрации в технике: Справочник. - М.: Машиностроение, 1981. Т.4. Вибрационные процессы и машины / Под ред. Э.Э.Лавендела. 1981.- 509с.

28. Волновые движения жидкости: теория и эксперимент. Сб. научн. тр. Кубанского гос. ун-та.- Краснодар, 1984.- 159с.

29. Волны и их воздействия на сооружения. Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. 61.-Л.: Энергия, 1970.- 263 с.

30. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. О движении твердых частиц, взвешенных в колеблющейся сжимаемой среде. -Прикл.механ., 1975,т. 11, N2, с.3-14.

31. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Динамика частиц при воздействии вибраций. -Киев, Наук.Думка, 1975. -168 с.

32. Ганиев Р.Ф., Украинский J1.E. О динамике твердых частиц, взвешенных в несжимаемой жидкости при вибрационных воздействиях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1975, N5. - С. 31-40.

33. Гончаревич И.Ф., Фролов К.В. Теория вибрационной техники и технологии. -М.: Наука, 1981. -319 с.

34. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1964.- 228с.

35. Движение материальной частицы по шероховатой плоскости, совершающей колебания, близкие к круговым поступательным / И.И.Блехман, В.В.Гортинский, В.Г.Дулаев, Р.Ф.Нагаев // Изв. АН СССР. Механика твердолго тела.- 1971, N2.- С.136-141.

36. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических сооружений / Г.И.Дидух, ВЛЛобышев, В.М.Ляхтер, и др. - М.: Энергия, 1976.- 391с.

37. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1964.- 400с.

38. Жуковский Н.Е. Собр. сочинений. Т.2. - M.-JI.: Гостехиздат, 1949. -764с.

39. Золотенко Г.Ф. Колебания и дрейф вертикального цилиндра, плавающего на волнении// Гидромеханика- 1987,- Вып.55.- С.13-17.

40. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред.- М.: Иностр. литература, 1964.- 415с.

41. Исакович М.А. Общая акустика. -М.: Наука, 1973. -495 с.

42. Иориш Ю.И. Виброметрия. -М.: Машгиз, 1963. - 771 с.

43. Исследование динамики твердых частиц в акустических полях / Баландин O.A., Казаков В.Д., Козорезов B.C. и др. // Отчет о НИР (заключительный). Гос. регистрация N81004480, инв. N02830064764,-Чита, 1984.- 97 с.

44. Казаков В.Д. Взаимодействие твердых частиц с поверхностными волнами // Динамика, прочность и надежность в машиностроении: Сб. научн.трудов Читинск. политехн.ин-та.- Чита, 1984.- С.115-118.

45. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1977.- 832с.

46. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. -Жур.экспер. итеор.физ., 1951, т.21, вып.5, с.588-597.

47. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах.- М.: Иностр.лит., 1955.- 192с.

48. Красильников В.А., Подгорнов A.A., Солодов И.Ю. Экспериментальное наблюдение движения частиц в рэлеевской волне// 10-я Всесоюзная акустич. конференция.-М.: Акустика, АН СССР. - 1983.-Сер.6.-С.61-64.

49. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. /Под общ.ред. Арамановича И.Г. М.: Наука, 1974. -832 с.

50. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. -М.: Физматгиз, 1963, ч.1, -583 с.

51. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. -М.: Физматгиз, 1963, ч.2, -727 с.

52. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высш. школа, 1970.- 712с.

53. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. -М.: Наука, 1977. -407 с.

54. Ламб Г. Гидродинамика. -М.; Л.: Гостехиздат, 1947. -948 с.

55. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. -736 с.

56. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред. -М.: Физматгиз, 1954. -795 с.

57. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1973.- 848с.

58. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т.2.-М.: Наука, 1963.- 640 с.

59. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движениии тела в вибрирующей жидкости// ДАН СССР.- 1986. -289, N2.- С.314-317.

60. Лурье А.И. Аналитическая механика.-М.: Физматгиз, 1961.- 824с.

61. Мак-Кракен Д., ДорнУ. Чиссленные методы и программирование на ФОРТРАНе.- М.: Мир, 1977. -550с.

62. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -Минск, Высшая школа, 1974. -766 с.

63. Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа / Под ред. Л.И.Седова.- М.: Наука, 1972. - 711с.

64. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. -М.: Мир, 1964. -655 с.

65. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев, Наукова Думка, 1971. -440 с.

66. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.- М.: Наука, 1969.- 380с.

67. Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. -М.: Наука, 1978.-160 с.

68. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на по верхности тяжелой жидкости. -М.: Изд-во АН СССР. 1951. -95 с.

69. Оборотов И.П. Волны на поверхности вязкой жидкости конечной глубины// Изв. АН СССР. ОТН, механика и машиностроение.- 1960.-Ш. -С.47-75.

70. Оборотов И.П. Гравитационные волны на поверхности вязкой жидкости конечной глубины// Океанология.-1963.-3, N4. - С.22-34.

71. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний.- М.: Наука, 1971.-239с.

72. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара.- JL: Машиностроение, 1976. - 320с.

73. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. - JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 536с.

74. Прудников А.Л., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1982. - 800с.

75. Рагульскис K.M. Механизмы на вибрирующем основании. - Каунас: Изд. АН Лит. ССР, 1963.- 232с.

76. Риман И.С., Крепе Р.Л. Присоединенные массы тел различной формы // Труды ЦАГИ.- 1947.- N635.- 27с.

77. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука, 1973.-336с.

78. Сабанеев B.C. Влияние глубины погружения на величину присоединенной массы шара. -Уч.записки ЛГУ, 1960, вып.35, N280, с.238-241.

79. Савченко Ю.Н. Определение гидродинамического сопротивления движущихся объектов// Гидромеханика.- 1987.- Вып.55.- С.69-72.

80. Седов Л.И. Механика сплшной среды. Т.2.-М.: Наука, 1976.- 576с.

81. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- М.: Наука, 1987.- 430с.

82. Секерж-Зенькович Я.И. Об установившихся капиллярно-гравитационных вынужденныых волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа.- М.: Наука, 1972.- С.445-458.

83. Секерж-Зенькович Я.И. К точной теории волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости // Теория волн и течений. - Киев: Изд. АН УССР, 1963.- С.42-57.

84. Секерж-Зенькович Я.И. Установившиеся капиллярно-гравитационные волны на поверхности жидкости бесконечной глубины // Теория волн и течений. - Киев: Изд. АН УССР, 1963.- С.58-102.

85. Сенницкий B.JI. Движение шара в жидкости, вызываемое колебаниями другого шара // Жур. прикл. мех. и техн. физ. - 1986,- N4. - С.31-36.

86. Слезкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Гостехиздат, 1955. -519 с.

87. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. -М.: Наука, 1977.-815 с.

88. Современная гидродинамика. Успехи и проблемы: Пер с англ. / Дж. Бэтчелор, Г.Моффат, Ф.Сэффмен и др.; под ред. Дж. Бэтчелора и Г.Моффата.- М.: Мир, 1984.- 501с. 89. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. -М.: Изд-во иностр.литер., 1959. -617 с.

90. Стокер Дж.Дж. Нелинейные колебаия в механических и электрических ситемах. -М.: Изд-во иностр.литер., 1953. -256с.

91. Теория волн и течений. -Киев: Изд-во АН УССР, 1963. -151 с. Труды МГИ; т.27.

92. Теория поверхностных волн. / Под ред. Красносельского М.А. и Моисеева H.H. / -М.: Изд-во иностр.лит., 1959. -366 с.

93. Ткалич Е.Ф. О движении тел малых размеров в воде при наличии волнения // Гидромеханика.- 1972.- Вып.22.- С.3-8.

94. Ткачев Г.В. К расчету характеристик виброисточника, находящегося в слое жидости//Изв. АН УССР. Мех. жидк. и газа.- 1978.-N2.-С.3-8.

95. Токарь A.M., Улитко А.Ф. Движение материальной точки под действием бегущей синусоидальной волны// Докл. АН УССР.- 1983.-Сер.А, N7.- С.51-54.

96. Токарь A.M., Улитко А.Ф. Движение материальных частиц под действием произвольных упругих колебаний плоской шероховатой поверхности тела // Докл. АН УССР.-1984.- Сер.А, N7.- С.46-49.

97. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. -Л.: Гидрометеоиздат, 1980. -319 с.

98. Фортье А. Механика суспензий. -М.: Мир, 1971. -264 с.

99. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М.: Мир, 1973.- 327с.

100. Хаскинд М.Д. К теории наносов. О движении тяжелой частицы в турбулентном потоке. -Изв. АН СССР. ОТН, 1956, N11, с.28-39.

101. Хаскинд М.Д. Неустановившееся движение твердого тела в ускоренном потоке безграничной жидкости. -Прикл.мат. и мех., 1956, т.20, вып.1, с.120-123.

102. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. -М.: Мир, 1968. -432 с.

103. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. -Киев: Наук.Думка, 1980. -259 с.

104. Шохин В.Н., Лопатин А.Г. Гравитационные методы обогащения. Учебник для ВУЗов. -М.: Недра, 1980. -400 с.

105. ШулейкинВ.В. Физика моря. -М.: Наука, 1968. -1083 с.

106. Шуляк Б.А. Физика волн на поверхности сыпучей среды и жидкости. -С.: Наука, 1971.-400 с.

107. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука, 1969. -424 с.

108. Экспериментальные исследования очистки водной поверхности от плавающих веществ / Чижик К.И., Смольков В.В., Казаков В.Д., Баландин O.A. // Проблемы научных исследований в области изучения и освоения

Мирового океана: Материалы 4-й Всесоюзной конференции. -Владивосток, 1983. - С.59-61.

109. Avatani J. Studies on acoustic pressure. J.Acoust. Soc. America, 1955, v.27, N2, p.278-286.

110. Baily J.E. Particle motion in rapidly oscillatinq flows. Chemic. Eng. Sci., 1974, v.29, N3, p.767-773.

111. Bullok Geoffrey N., Short Ian. Water particle velocities in reqular waves.-J.Waterway Port Coast, and Ocean Enq. 1985, 111, N2, p. 189-200.

112. Caviglia G., Morro A. Drag on a sphere in a fluid.- Nuovo Cim. 1986, C9, N1, p.74-88.

113. Crapper G.D. On exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude.- J. Fluid Mech. 1957.2, p.532-540.

114. Gaberson H.A. Particle motion in oscillating Conveyors.- Pap. ASME. 1971. N.Vibr.- 15,16.

115. Gimenez-Curto L.A. On the motion of very small bodies in water waves. -J.geohys. Res., 1985, C.90, N1, p.l 127-1132.

116. Grue J., Palm E. Wave radiation and ave diffraction from a submerged body in a uniform current. - J. Fluid Mech., 1985, V.151, p.257-278.

117. Hamann F.H., Dalton C. The forces on a cylinder oscillating sinusoidally in water. - ASME J. of Engineering for Industry, V.93, Nov. 1971. p.l 197.

118. Havelock Т.Н. The forces on a circular cylinder submerged in a uniform stream. - Proc. R Soc. Lond. A157, 892 (1936), p. 526-534.

119. Hogan S.J. Particle trajectories in nonlinear gravity- capillary waves. -J.Fluid Mech. 1985, N151, p. 109-119.

120. Hogan S J. Particle trajectories in nonlinear capillary waves. - J.Fluid Mech. 1984, N143, June, p.243-252.

121. Iwata Koichiro, Mizutani Norimi, Kasai Shinzo. Iregular wave forces acting on a submerged sphere. Coast Eng. Jap., 1987, 30, N1, 117-130.

122. Jenkins S.A., Inman D.L. On a submerged sphere in a viscous fluid excited by small-amplitude periodic motions. J.Fluid Mech., 1985, 157, p. 199-224.

123. Kashiwagi Masaahi, Varyani Kamlesh, Ohkusu Makoto. For ward-spead effects on hydrodynamic forces acting on a submerged cylinder in waves. Repts. Res. Inst. Appl.Mech., 1987, 34, N102, p. 1-26.

124. Kato M., Tomiya M., Kumakiri T. Drag forces on oscillating cylinders in a uniform flow. Trans. ASME: J. Energy Resour. Technol., 1985, 107, N1, p. 1217.

125. King L.V. On the acoustic radiation pressure on spheres. Proc. Roy. Soc., 1934, A147, N861, p.212-240.

126. Keulegan G.H., Carpenter L.H. Forses on cylinders and plates in oscillating fluid.- Journal of National Bureau of Standarts,1958, V.60, N5.

127. Landweber L.. Macagno M.C. Added mass of two-dimensional forms oscillating in a free surface. J. of Ship Research, V.l, N3, November, 1957.

128. Landweber L.. Macagno M.C. Added mass of two-dimensional forms oscillating in a free surface. J. of Ship Research, V.2, N4, March, 1959. 129. Lee Lang Wah. The motion of a spherical particle in an oscillatting eluid. Forum Unsteady Flow. Winter Annu. Meet. ASME, New Orleans, La, Dec. 9-14, 1984. New York, N.Y., 1984, p.37-39.

130. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves. Phil.Trans. R.S.Lond., 1953, A245, p.535-581.

131. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in the boundary layer at a free oscillating surfaces. J. Fluid Mech., 1960, N8, p.293-306.

132. Longuet-Higgins M.S. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary waves. Proc. R. Soc. Lond., 1974, A337, p.1-13. 133. Longuet-Higgins M.S., Stewart R.W. Radiation stress and mass transport in gravity waves, with applications to "surf-beats." J. Fluid Mech., 1962, N13, p.481-504.

134. Maskell S.J. Ursell F. The transient motion of a floating body. J. Fluid Mech., 1970, V.44,p.303-313.

135. Morison J.R., et al. The forces exerted by surface waves on piles. Petroleum Trans., 1950, V.189, p. 149.

136. Newman J.N. Transient axisymmetric motion of a floating cylinders. J. Fluid Mech., 1985, V. 157, p. 17-33.

137. Saitou Tacashi, Hadano Kesayoshi, Moto Kenichirou. Fluid forces on a cilinder in the osscillating flow. Technol. Repts. Yamagushi Univ., 1983, V.3, N2, p.161-168.

138. Vlase S. A method of eliminating Lagrangian multipliers from the equations of motion of interconnected mechanical system. Trans. ASME: J. Appl. Mech., 1987, V.54, N1, p.235-237.