Эффекты нелинейной дисперсии при взаимодействии волн в жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Шуган, Игорь Викторович

• Шуган, Игорь Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шуган, Игорь Викторович

Введение

1 Воздействие внутренних волн на морскую поверхность

Введение.

1.1 Вывод основных уравнений

1.2 Квазистационарная модуляция волны Стокса на течении. Модуляция поверхностных волн вне областей группового синхронизма.

1.3 Модуляция волны Стокса в условиях группового синхронизма

1.4 Генерация поверхностных волн в поле внутренней волны.

1.5 Численный анализ модуляции волн Стокса течением, индуцированным внутренними волнами.

1.6 Выводы.;.

2 Сильная частотная модуляция нелинейных поверхностных волн

2.1 Введение

2.2 Основные уравнения

2.3 Стационарные волновые решения.

2.4 Анализ решений .I.

2.4.1 Положительный поток волнового действия

2.4.2 Отрицательный поток волнового действия

2.5 Заключительные замечания.

3 Массоперенос жидкости в канале с упругими стенками

3.1 Введение.

3.2 Система "жидкость - упругие стенки"

3.3 Дисперсионный анализ двухфазной среды

3.4 Расчет скорости дрейфа и построение модели массопереноса жидкости в трубе.

3.4.1 Большие числа Рейнольдса.

3.4.2 Малые числа Рейнольдса . . Расчет и оптимизация массопереноса Выводы

4 Модель лазерного измерения статистических свойств морской поверхности

4.1 Введение.

4.2 Модель формирования бликов зеркального отражения

4.3 Натурные самолетные исследования морских волн: статистика бликов лазерного отражения.

4.4 Дисперсия числа бликовых точек, уравнение для корреляционной функции случайной поверхности

4.5 Статистические свойства движущейся морской поверхности

4.6 Нелинейные статистические характеристики случайной морской поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты нелинейной дисперсии при взаимодействии волн в жидкости»

5.2 Постановка задачи . 161

5.3 Резонансное взаимодействие между двумя волнами и дном .162

5.4 Дисперсионные свойства огибающей волн Россби . 168

5.5 Резонансное взаимодействие трех волн Россби со дном170

5.5.1 Общее стационарное решение модуляционных уравнений . 174

5.5.2 Взаимодействие волн в ограниченной области 179

5.6 Выводы.181

6 Заключение 183 Литература 186

Введение

Нелинейная динамика поверхностных волн в жидкости отличается большим разнообразием проявлений и обнаруживает множество неожиданных свойств, которые не укладываются в рамки имеющихся представлений. Экспериментальные исследования последних двух десятилетий выявили целый ряд новых эффектов в поведении гидрофизических систем, традиционно являющихся объектом научного и практического интереса.

В первом ряду наблюдаемых явлений такого рода можно указать следующие:

- Воздействие внутренних волн (ВВ) на морскую поверхность. Впереди цуга ВВ, там, где колебания изотерм отсутствуют, находятся значительные поверхностные аномалии в виде предвестника ВВ. Изменения спектральной плотности поверхностных волн могут иметь период, значительно меньший периода ВВ, так что свойство воспроизводимости внутренних волн на морской поверхности существенно теряется. Возможна неустойчивость поверхности и генерация волн в зоне прохождения ВВ в отсутствие заметного ветрового волнения.

- Распространение нелинейных, поверхностных волн на воде. Многократно наблюдавшиеся в экспериментах эффекты, такие, как "потеря" и "слияние" волновых гребней, развороты фазы , быстрая перестройка волновой частоты, не име?от к настоящему времени удовлетворительного теоретического объяснения.

- Динамика колебательных движений жидкости с упругими границами, рассматриваемая как двухфазная система, обладает необычными дисперсионными свойствами. Массопёренос жидкой фазы в такой системе может иметь режимы, по порядку превосходящие существующие оценки на основе традиционных волновых схем расчета.

Этот список еще будет продолжен и детально рассмотрен ниже. Необходимо отметить, что сложность описания каждого из указанных явлений связана с многообразием факторов, определяющих поведение среды, и поэтому довольно трудно вычленить влияние каждого из них и их взаимодействие. В литературе можно даже встретить суждение, что эффекты такого рода принадлежат к сильнонелинейным явлениям и существующий сейчас уровень построения асимптотических представлений в принципе не позволяет строить удовлетворительные их описание. На наш взгляд, тем не менее, построение модуляционных моделей волновых движений сред в рамках слабонелинейных приближений и даже в традиционно принятых порядках этих приближений позволяет существенно продвинуться в понимании многих гидрофизических проблем.

Предметом нашего исследования явились следующие физические задачи:

- внутренние волны : их наблюдаемость , особенно, средствами дистанционного зондирования на свободной морской поверхности и воздействие на поверхностное волнение; распространение нелинейных волновых пакетов поверхностных волн с сильной частотной модуляцией;

- распространение и взаимодействие волн Россби над периодическим дном;

- волновые и колебательные движения двухфазной среды: жидкость - упругие границы; массоперенос в таких системах.

- модели лазерного дистанционного зондирования океана. Волновые движения в перечисленных задачах, имея совершенно разную физическую природу и своеобразные проявления, обнаруживают ряд общих свойств и закономерностей. Ключевым при изучении таких процессов, как всегда было принято в радиофизике, безусловно, является построение функции нелинейной дисперсии волнового движения, определяющей все поведение системы. Именно эта функция определяет разнообразие волновых решений и позволяет снять математические особенности известных решений.

Цель диссертационной работы состоит в разработке теоретических моделей вышеуказанных волновых движений гидрофизических сред и дистанционного их наблюдения на основе единого модуляционного подхода; описание ряда качественно новых физических эффектов и закономерностей в рамках слабонелинейных представлений.

Рассмотрим более подробно проблематику каждого из перечисленных направлений исследования.

Воздействие внутренних волн на морскую поверхность.

Внутренние волны (ВВ) - одно из самых интересных и малоизученных явлений в динамике океана. Несмотря на то, что встречаются они практически повсеместно, банк экспериментальных данных их измерений весьма ограничен. Натурные исследования, проводимые традиционными контактными океанографическими средствами, сопряжены со значительными техническими сложностями, морские экспедиции работают, как правило, в достаточно ограниченных акваториях Мирового океана и не способны решать задачи по составлению общей картины ВВ в глобальном масштабе.

В настоящее время наряду с контактными измерениями активно развивается другое направление изучения ВВ - по их проявлениям на морской поверхности. Способность ВВ существенно изменять структуру поверхностного волнения замечена достаточно давно [1, 2, 3], подтверждена многочисленными экспериментами и сейчас считается прочно установленной. Основная форма их проявления - это широкие параллельные полосы выглаженной морской поверхности (слики), а также зоны заметного повышения наклонов поверхности, вызывающих частные обрушения волн (сулои). Максимальному воздействию подвержены поверхностные волны (ПВ) в метровом и дециметровом диапазонах спектра.

Приборы дистанционного зондирования поверхности океана (радиолокаторы, традиционные оптические устройства, лазерные локаторы - лидары) способны надежно регистрировать поверхностные проявления ВВ. Установленные на борту авиа- или космических носителей дистанционные средства наблюдения типа локаторов с синтезированной апертурой позволяют оперативно исследовать широкие акватории Мирового океана. Это создает значительные преимущества их применения по сравнению с контактными измерениями.

Вместе с тем задача установления количественных характеристик ВВ по результатам дистанционного зондирования поверхности требует решения ряда теоретических проблем, главные среди которых - построение модели формирования изображения морской поверхности и установление механизмов возмущения морской поверхности ВВ.

В настоящее время уже накоплен достаточно большой объем экспериментальных данных по дистанционному наблюдению В В и предложен ряд теоретических моделей формирования морских изображений в различных каналах аппаратуры дистанционного зондирования. Исследованию воздействия ВВ на морскую поверхность посвящены многочисленные экспериментальные и теоретические работы. Вместе с тем, пока еще не существует исчерпывающих экспериментальных данных для описания процесса такого воздействия во всех областях спектра ПВ в различных гидрометеорологических условиях. Это связано с большим разнообразием факторов, влияющих на взаимодействие ВВ и ПВ, таких, как характеристики приводного ветра, свойства пленок поверхностно-активных веществ, различные параметры и масштабы самих ВВ и т.д.

Тем не менее, можно выделить основные закономерности поверхностных аномалий, экспериментально установленных в ходе комплексных гидрофизических экспедиций по изучению взаимодействия ВВ с морской поверхностью [4, 5, 6]:

1) широкие полосы сликов и сулоев перемещаются с фазовой скоростью цуга ВВ; наиболее отчётливо полосы видны при небольших значениях скорости ветра (< 5 м/с), с ростом этой скорости ширина полос заметно уменьшается;

2) максимальная модуляция наблюдается при попутном распространении ветровых волн и ВВ для тех спектральных компонент волнения, групповая скорость которых сд близка к фазовой скорости с ВВ (сд ~ с); обычно это условие выполняется для коротких гравитационных волн метрового или дециметрового диапазона;

3) в целом вся зона взаимодействия характеризуется меньшими среднеквардратичными уклонами поверхности по сравнению с невозмущенной поверхностью, области выглаженной поверхности занимают большую площадь, чем зоны сулоя с интенсивным волнением;

4) положение индивидуального слика неоднозначно относительно фазы ВВ: он может располагаться как над подошвой, так и над гребнем ВВ;

5) расстояние между полосами обычно соответствует длине ВВ;

Детальные экспериментальные исследования [7], проведенные в натурных условиях, выявили ряд новых дополнительных особенностей процесса попутного взаимодействия ПВ и ВВ:

6) спектральная плотность волнения вдоль однородного по амплитуде цуга ВВ в среднем нарастает от конца цуга к его началу; спектральная плотность ПВ дециметрового диапазона в начале цуга может почти в 7 раз превышать свое невозмугценное значение, что значительно превосходит характерные величины этой плотности при встречном взаимодействии, которая практически однородна вдоль цуга ВВ; значительные поверхностные аномалии имеются впереди цуга ВВ, где колебания изотерм отсутствуют, т.е. возникает предвестник ВВ; для цуга линейных ВВ предвестник выражен значительно сильнее, чем для нелинейных ВВ, близких по форме к уединенным волнам; в ряде экспериментальных наблюдений предвестник ВВ обнаружен не был;

8) изменения спектральной плотности имеют харатерный период, меньший периода ВВ.

Наблюдения резонансно связанных пакетов ПВ, групповая скорость которых соответствует фазовой скорости ВВ, в отсутствии заметного ветрового волнения приведены в работах [8, 9]"

Следует отметить, что целый ряд интересных физических эффектов, таких, как изменение направления волновых векторов спектральных составляющих волнения в зависимости от фазы ВВ, особенности взаимодействия с нелинейным пакетом ПВ, остается до настоящего времени за рамками экспериментальных исследований как в натурных, так и в лабораторных условиях.

Теоретическому описанию взаимодействия ПВ и ВВ посвящены многочисленные работы, выполненные в течение последних 25 лет. Тем не менее, единой и исчерпывающей теории этого явления до сих пор не существует, хотя и предложено несколько механизмов такого взаимодействия, характерных для различных спектральных диапазонов поверхностного волнения.

Свойства высокочастотных волн гравитационно-капиллярного и капиллярного масштабов при определенных условиях могут в сильной степени зависеть от поверхностно-активных веществ, присутствующих в виде тонкой пленки на морской поверхности. В работе [10] рассмотрены свойства реальных морских пленок, рассчитаны зависимости декрементов затухания коротковолновой ряби различной длины от концентрации поверхностно-активных веществ (ПАВ), модулированной приповерхностным течением, вызванным ВВ. Проанализирована динамика пленки в поле ВВ, показано, что ПАВ при определенных условиях способны сильно гасить рябь.

В работах [11,12] изучены возможности воздействия ВВ на характеристики приповерхностной турбулентности, которые, в свою очередь, также способны модулировать достаточно высокочастотные составляющие спектра ПВ или непосредственно проявляться на свободной поверхности.

В метровом и дециметровом диапазонах ПВ основным механизмом модуляции, видимо, является воздействие приповерхностного течения, вызванного ВВ, на ПВ.

Внутренние волны в приповерхностном влое воды представлены горизонтальным течением, переменным по направлению распространения: и(К(х — сЬ)) , практически не изменяющимся по глубине и перемещающимся с фазовой скорость ЗВ с.

Пространственные и временные масштабы изменения течения намного превосходят соответствующие масштабы ПВ, что дает основание положить в основу модели взаимодействия распространение ПВ в медленно изменяющейся и движущейся среде.

Общее уравнение энергии для волн в неоднородной среде дЕ/дг + У[(и + се)Е] + (Е/а)[к ■ (с8 • У)и] - 0 (1) впервые получено в работе [13] . Здесь Е - локальная плотность энергии волн; <т, сё, к - собственная частота, вектор групповой скорости и волновой вектор ПВ; и - скорость течения, медленно изменяющаяся на масштабе поверхностных волн. Первые два члена в уравнении (1) представляют собой локальную скорость изменения волновой энергии и дивергенцию потока энергии, которая переносится относительно движущейся среды с групповой скоростью сё. Последнее слагаемое описывает обмен энергии между волнами и течением.

Кинематика такого взаимодействия описывается законом сохранения плотности волн в неоднородной среде [14]: дк/дЬ + Ч(а + к-и) = 0 (2)

Уравнения (1),(2), дополненные линейным дисперсионным соотношением для поверхностных волн а = <т(к), составляют замкнутую систему, описывающую распространение волн в движущейся среде. Отметим, что в такой постановке поведение волнового вектора на течении определяется только условием существования фазы (2) и не зависит от динамических характеристик возмущения.

Анализ одномерной стационарной задачи на основе системы уравнений (1),(2) был проведен Филлипсом [15]. В этой работе показано, что амплитуда цуга ПВ изменяется в зависимости от фазы ВВ, а наибольшее усиление достигается при попутном распространении волн и когда групповая скорость ПВ близка к фазовой скорости ВВ. Если эти значения близки или совпадают, решение становится некорректным, так как дает неограниченно растущие амплитуды в окрестности точек "блокировки" волн течением, где сё + и — с = 0. Отсюда был сделан вывод о невозможности построения стационарного решения в этом случае и необходимости численного анализа соответствующей нестационарной задачи.

Теоретический и численный анализ нестационарного режима воздействия ВВ на морскую поверхность был проведен в цикле работ [17, 18, 19]. Линейная модель нестационарного взаимодействия поверхностных и внутренних волн (Семенов А.Ю., Шуган И.В. 1997. [17]) показала возможность нарушения гладкости и образования движущихся разрывов во временной динамике функции волнового числа поверхностных волн. При этом амплитуда огибающей пакета ПВ многократно возрастает и представляет собой движущиеся функции, устойчиво существующие во времени. Момент возникновения особенности соответствует результатам теоретического исследования [19] и выражает собой потерю однозначности решения для функции волнового числа. Формально резкие градиенты амплитуды ПВ заведомо нарушают приближения исходной модели и делают некорректным решение, начиная с момента образования разрыва функций. Тем не менее, даже в рамках данной модели возможно построить решение, включающее разрывы типа ударных волн фазы волнового движения, и сопроводить зто решение физически осмысленными условиями на разрыве (аналог в газовой динамике - принцип неубывания энтропии). Эта процедура нуждается в экспериментальном подтверждении, а также в переосмыслении и переопределении всех базовых характеристик волнового движения. Более естественным путем представляется построение модели воздействия ВВ на морскую поверхность с учетом нелинейности и самовоздействия ПВ.

Детальное аналитическое исследование нестационарной задачи Коши о влиянии ВВ на линейное поле ПВ проведено в работе [19]. Здесь выявлена природа сингулярности амплитуды и волнового числа пакета в окрестности точек "блокировки". Существенной особенностью полученного решения является возможность образования конечной зоны полного выглаживания поверхности с равной нулю амплитудой ПВ. Равномерно пригодное решение в окрестности каустики строится применением модифицированнно-го метода стационарной фазы с использованием полной системы уравнений волн на воде.

Двумерное стационарное взаимодействие ПВ и ВВ в модуляционной постановке задачи (система уравнений (1) и (2)) было исследовано Гаржеттом и Хьюзом [20]. При этом невозмущенный цуг ПВ малой амплитуды был направлен под ненулевым углом во по отношению к направлению распространения ВВ.

В расчете показано, что при выполении условия сдо cos 6>0 > с , где сдо - невозмущенная групповая скорость ПВ, волновой вектор ПВ изменяет свое направление, приближаясь к направлению ВВ при прохождении ее гребня, и амплитуда ПВ возрастает. Если сдо cos во < с , направление ПВ изменяется на обратное при прохождении гребня ВВ и амплитуда ПВ уменьшается. Противоположные эффекты должны наблюдаться в ПВ при прохождении подошвы ВВ. В приводимом решении также возникает область сингулярности энергии ПВ, соответствующая выполнению векторного условия "блокировки" сё + и — с = 0 , амплитуды при этом становятся неограниченными, что автоматически нарушает лежащие в основе анализа предположения о малости амплитуд ПВ.

Таким образом, на основе линейной модели (1) и (2) не удается построить корректное стационарное решение задачи в окрестности группового резонанса сд ~ с, между тем именно эта часть спектра ПВ наиболее подвержена воздействию ВВ.

Дальнейшее развитие теория распространения волн в медленно изменяющейся движщейся среде получила в работах Брезертона и Гаретта [21], в которых на основе гамильтонова формализма был установлен общий принцип сохранения волнового действия, справедливый для недиссипативных волн малой амплитуды: дА/дг + Щи + с^А] = 0 (3) где А = Е/а - плотность волнового действия; а - собственная частота волн.

Динамика линейных поверхностных волн, заложенная в модели (3), (2), позволяет легко перейти к спектральному описанию процесса взаимодействия [22] и исследовать модуляцию течением отдельных спектральных компонент и соответствующих компонент спектра волнового действия: дЪ/дЬ + (и + с8) • УФ = А '' (4)

Здесь Ф — Ф(к, ж, ¿) - спектральная компонента волнового действия, являющаяся функцией координат и соответствующего волнового вектора к (ж, £) , который модулирован течением со скоростью и согласно уравнению (2). В правой части уравнения (4) присутствует член А , определяемый феноменологически и описывающий влияние приводного ветра, а также нелинейные и диссипативные эффекты. В [21] принята следующая модель:

А = /3(к,иад)Ф-/3(к)Ф2/Ф0(к) (5) где /3(к, иУ]) характеризует инкремент нарастания поверхностных волн под действием ветра, имеющего скорость -и^ ; второе слагаемое правой части соответствует нелинейному ограничению экспоненциального роста Ф(к) (Фо(к) - невозмущенное значение спектральной плотности).

Такой вид функции Л в значительной степени произволен, так как в настоящее время способа даже для одназначного выбора инкремента Д(к,иад) не существует.

В работе [23] , например, предпринята попытка более адекватного учета указанных выше эффектов путем соответствующей модификации члена Л в уравнении (4). Феноменологическое описание диссипативных, нелинейных волновых процессов в [23] , привлекаемое из различных моделей поверхностного волнения, неудовлетворительное состояние теории о генерации поверхностных волн под действием ветра, постулирование линейного дисперсионного соотношения для спектральных составляющих без учета самовоздействия волн не позволяют рассматривать предлагаемый в [23] вид члена Л в уравнении волнового действия (4) как существенно лучшее приближение по сравнению с выражением (5).

Исследование нестационарного двумерного взаимодействия поверхностного волнения с периодической ВВ на основе системы (2), (4), (5) проведено в цикле теоретических работ [24, 25, 26]. В них детально изучена кинематика волновых пакетов, установлены режимы "захвата" ПВ течением, отражения и прохождения поверхностных пакетов. Также в работах рассчитаны спектры морского волнения и дисперсия уклонов морской поверхности в присутствии ВВ, проанализировано влияние ветра на процесс взаимодействия. Показана возможность образования предвестника и уменьшение периода огибающей ПВ в зоне прохождения периодического цуга коротких диспергирующих ВВ.

Основные выводы из расчетов, проведенных по "кинематической" модели взаимодействия (2) - (5) и качественно согласующихся с экспериментальными данными, сводятся к следующему: наиболее сильная модуляция в спектре ветрового волнения происходит в интервале длин волн с групповыми скоростями, близкими к скорости ВВ; относительное изменение дисперсии уклонов поверхности увеличивается с ростом амплитуды ВВ и уменьшается с ростом скорости ветра; расположение зоны слика относительно фазы ВВ завичит от скорости ветра, начального спектра ветрового волнения, угла между направлениями скорости ветра и распространения ВВ. Эти модели основывались на линейном описании ПВ.

В ряде теоретических исследований проанализировано влияние нелинейности поверхностных волн на процесс взаимодействия с медленно изменяющимся течением. В работе [27] показано, что учет самовоздействия ПВ в виде волн Стокса может снять сингулярность линейного стационарного решения, описывающего поведение ПВ на стационарном неоднородном течении. В то же время в [28] на основе многомасштабных разложений установлено, что резонансные условия при учете нелинейности ПВ изменяются лишь незначительно, не снимая проблемы построения равномерно пригодного решения.

Исследование устойчивости волн Стокса в неоднородной по скорости среде проведено Гербером [29]. Им предложен аналог уравнения Шредингера для комлпексной огибающей узкого волнового пакета в движущейся среде. Поведение несущей при этом определяется из линейной теории. Принятый подход позволяет проследить поведение цуга поверхностных волн при условиях, далеких от резонансных.

Проведенный анализ теоретических и экспериментальных результатов по данной теме показывает недостаточное внимание, которое уделяется нелинейным аспектам волновых взаимодействий в проблеме наблюдаемости ВВ на морской поверхности. И это значительно сужает круг экспериментальных явлений, удовлетворительно описываемых в рамках имеющихся моделей.

Первая глава диссертации посвящена изучению влияния самовоздействия поверхностных волн на процесс взаимодействия с течением, вызванным внутренней волной (см. [16] - [19]).

Цель работы состоит в построении равномерно пригодной модели воздействия ВВ на поверхностное морское волнение, включающей как режимы амплитудно-частотной модуляции ПВ для различных частотных диапазонов поверхностных волн, так и режимы генерации ПВ в поле ВВ. Такую модель можно построить, включив в рассмотрение нелинейные дисперсионные свойства поверхностных волн и модуляционную дисперсию. Модуляционная дисперсия учитывает влияние изменений амплитуды на собственную частоту волн и неизбежно возникает при описании распространения волн в неоднородной среде.

Учет дисперсии высших порядков позволяет снять особенности стационарного решения, данного Филлипсом [15] , и предложить теоретическое описание ряда экспериментальных эффектов из описанных выше, таких как возможность образования предвестника и следа ВВ, неоднородность модуляции ПВ и т.д.

Анализ условий, близких к резонансным, при которых происходит максимальная модуляция ПВ цугом ВВ, позволяет установить количественные характеристики взаимодействия в критических областях. Задача исследуется в адиабатическом приближении без учета источников и стоков энергии, вызванных действием ветра. Это дает возможность в чистом виде представить роль нелинейности при описании некоторых принципиально новых, по сравнению с линейной моделью, режимов модуляции ПВ, а также описать процесс генерации ПВ в присутствии цуга ВВ.

Возможно, самым важным в рассматриваемой физической задаче является вопрос о наблюдаемости ВВ на морской поверхности. И здесь особую роль призваны сыграть локализованные волновые решения, при которых цуги поверхностных волн сопровождают ВВ и экспоненциально затухают вне зоны их взаимодействия. "Время жизни" таких волновых образований в сильно за-шумленных природных условиях должно быть значительно больше характерного времени волновых взаимодействий, разнесенных по скоростям волновых пакетов. Описание режимов генерации поверхностных волн в поле ВВ также становится возможным при включении дисперсии высших порядков в описание поверхностного волнения.

Сильная частотная модуляция нелинейных поверхностных волн.

Эксперименты, проведенные в течение двух последних десятилетий по распространению поверхностных нелинейных волн на воде, выявили ряд модуляционных эффектов, не имеющих удовлетворительного теоретического объяснения по настоящее время.

Лэйк и Юэнь (Lake & Yuen 1978) [30] впервые экспериментально наблюдали эффект "потери" волновых гребней в окрестности модуляционных узлов при распространении сильно модулированных поверхностных пакетов. Подобный эффект отмечен также Ра-мамоньярисоа и Молло-Христенсеном (Ramamonjiarisoa & MolloChristensen 1979 [31] , Mollo-Christensen &; Ramamonjiarisoa 1982 [32]) и для поля ветровых волн, и в лабораторных условиях: нелинейная поверхностная волна сливается с предыдущей и затем исчезает. В результате такого слияния период волны мгновенно удваивается. Эти локальные эффекты волнового движения могут способствовать снижению средней частоты волн на большом разгоне (Huang, Long к Shen 1996 [33]).

Мелвилл (Melville 1983 [34]) детально изучил эволю цию однородного цуга поверхностных волн Стокса в длинном лабораторном лотке. На начальном участке волнового движения он наблюдал развитие хорошо известной неустойчивости Бенджамена-Фейра (Benjamin & Feir 1967 [35]) в боковых спектральных полосах и соответствующую слабую амплитудно-частотную модуляцию цуга волн. С нарастанием нелинейных эффектов возрастала также ассиметрия огибающей волны относительно ее гребня. Одновременно было отмечено изменение сдвига фазы между модуляцией амплитуды и частоты: начальная задержка . фазы 7г/2 стремилась к 7г в развитом нелинейном режиме, так что модуляция амплитуды приобретала фазу, противоложную модуляции частоты. При дальнейшем распространении волнового цуга Мелвилл наблюдал наиболее яркие особенности развития нелинейности -развороты фазы, сопровождающиеся достаточно быстрыми изменениями частоты, волнового числа и фазовой скорости. При этом частота становилась даже отрицательной вблизи этих локальных фазовых кинков.

Для объяснения быстрых изменений в модулированных нелинейных волновых группах Черескин и Молло-Христенсен (Chereskin & Mollo-Christensen 1985 [36]) численно анализировали нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), выведенное для волн на воде Захаровым (1968 [37]) и пришли к выводу о невозможности объяснить отмеченные эффекты в рамках решений этого уравнения, а также других уравнений для слабонелинейного взаимодействия волн. Согласно теории НУШ вначале однородный цуг волн периодически трансформируется в связанную группу соли-тонов огибающей (Захаров, Шабат 1972 [38]), а затем происходит обратный процесс слияния солитонов. НУШ модели неоднократно усовершенствовались для адекватного описания разнообразной динамики нелинейных поверхностных волн конечной амплитуды. Наиболее популярными в этой области являются модели волнового самовоздействия, основанные на модуляционных уравнениях четвертого порядка по крутизне волны (Ковкев 1977 [39], Був^е 1979 [40], Тотйа 1986 [41], Ьо к Ме1 1987 [42], Аку1ав 1989 [43], 1991 [44]). Отмеченные работы посвящены главным образом объяснению так называемого группового расщепления волн, наблюдавшегося в экспериментах на глубокой воде Фейром (Рек 1967) [45] и Сю (Би 1982 [46]), когда изначально симметричная (типа решений НУШ) группа поверхностных волн становилась на большом разгоне упорядоченной последовательностью пакетов, благодаря снижению средней частоты волн передних пакетов. Именно этот частотный сдвиг указывает на то, что теория может усовершенствоваться за счет ослабления ограничений на вариации спектра волнового пакета. Результаты численного интегрированйя НУШ четвертого порядка для бимодального волнового спектра оказались в количественном соответствии с экспериментами (Ьо к Ме1 1985 [47], 81ап8Ье^ 1995 [48]). Модели, включающие диссипа-тивные эффекты, дают удовлетворительное теоретическое объяснение экспериментально наблюдаемому сдвигу средней частоты волн (Нага к Ме1 1991 [49], 1994 [50]; К^о к 01калга 1995 [51]; исЫуата к КалуаЬага 1994 [52]). Однако, численный анализ упомянутых моделей не дал никакой интерпретации отмеченным выше сильным скачкообразным эффектам в поведении нелинейных поверхностных волн (фазовым кинкам, отрицательным частотам, слиянию гребней).

Вывод НУШ в третьем порядке приближения по крутизне волны всегда основан на приближении спектрально узкой модуляции волн. Тем не менее, мы предполагаем, что класс равномерно пригодных решений общей системы модуляционных уравнений в рамках такого приближения не исчерпывается известными решениями НУШ для огибающей волнового пакета.

Во второй главе диссертации представлены вывод и анализ общей системы уравнений медленно изменяющихся волновых пакетов, распространяющихся на глубокой воде в приближении третьего порядка по крутизне волны. В отличие от других работ, предлагаемая модель включает возможность значительных (порядка единицы), относительных вариаций частоты и волнового числа на "медленных" координатах времени и пространства (cM.I.Shugan and K.Voliak, 1998 [53]).

Глубокие модуляции такого типа наблюдались в описанных выше экспериментах и не могут быть описаны в рамках классической НУШ теории. В данной работе асимптотическое двух-масштабное разложение будет применено непосредственно к потенциалу скорости и смещению свободной поверхности для безвихревого движения жидкости. Стационарные решения системы модуляционных уравнений для трех функций, характеризующих волновое движение - амплитуды потенциала скорости, волнового числа и частоты - дают равномерно пригодную асимптотику поведения слабонелинейных поверхностных волн, позволяющую описать указанные перебросы фазы, отрицательные частоты И другие экспериментально наблюдаемые эффекты.

Предлагаемая теория обобщает НУШ теорию и сводится к последней при определенных значениях управляющих параметров. С другой стороны, мы надеемся открыть некоторые новые режимы распространения волновых пакетов, обусловленные теми же причинами, что и локальные перебросы фазы. Например, представляется интересным найти некоторое обобщение солитона огибающей НУШ, решая более общую систему уравнений. Такие решения в форме уединенной волны могут иметь в принципе свойства, отличные от солитонов НУШ. Отказ от приближения несущей частоты дает возможность (по крайней мере, формальную) моделировать очень короткие пакеты, содержащие несколько периодов волн. Обычно такие волновые группы без огибающей описываются комбинированными уравнениями более высокого порядка, подобными уравнениям НУШ типа и включающими эффекты нелинейной групповой скорости, аберрации волн и т.д. (см. Громов, Таланов 1996 [55]). Как будет показано, солитоны НУШ образуют специфический класс уединенных волновых решений новой теории, которые имеют, ненулевую амплитуду на бесконечности. Значительно более глубоко модулированные волновые решения нового типа не укладываются в рамки традиционных модельных представлений о волнах, имеющих плавно изменяющуюся огибающую с постоянной несущей.

Массоперенос жидкости при движении в канале с упругими границами.

Изучение течения жидкости в каналах с подвижными границами обычно ассоциируется с проблемой перистальтического движения как важного механизма функционирования многих живых организмов (Fung Y.C.& Yih C.S.1968 [56], Shapiro А.Н. [57], Jaffrin M.Y.& Weinberg S.L. 1969 [58], Zien T.F.& Ostrach S. 1970 [59]). Перистальтический поток - это движение жидкости, вызванное распространением поперечных волн вдоль подвижной упругой стенки канала. Режим "продавливания" представляет собой предельную моду движения жидкости, которое происходит в случае, когда стенки могут полностью перекрыть канал. При этих условиях массоперенос максимален. Этот принцип используется в нескольких модификациях насосов (Zien T.F.& Ostrach S. 1970 [59]). Неполное блокирование канала приводит к сложному вихревому движению жидкости, где главным механизмом массопереноса является ее дрейф в направлении распространения волн, т.е. вдоль стенок канала (Barton C.&Raynor S. 1968 [60]). В этом случае вязкость жидкости играет определяющую роль, и число Рейнольдса Re = a?cr/v представляет собой главный безразмерный параметр задачи. Этот параметр определяет баланс между инерционными и вязкими эффектами, где а- это характеристическая частота колебаний стенки, V - кинематическая вязкость жидкости и а - характеристическая ширина канала.

В работах (Braun T.D. к Hung Т.1977 [61], Ayukawa К. & Takabake S. 1982 [62]) исследован массоперенос жидкости для различных значений числа Рейнольдса и перепада давления вдоль канала. Эти работы представляют результаты аналитического и численного решения уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Волновое движение включает в себя движущиеся вихри и возвратные струи. Исследование траектории движения частиц показывает возможность продвижения жидких частиц навстречу основному потоку.

Работы (Allison Н. 1983 [63], Longuet-Higgins M.S. 1983 [64]) посвящены теоретическому и экспериментальному исследованию перистальтического движения, вызванного гравитационными волнами, бегущими вдоль синусоидальной подвижной стенки. Линеаризованная модель позволяет детально изучить режимы течения для различных чисел Рейнольдса. Для малых Re распределение скорости поперек канала аналогично профилю Пуазейля. Для больших Re структура течения подобна решению для пограничного Слоя Рэлея со струями жидкости,возникающими около стенки. В этой моде скорость жидкости остается постоянной в основной части трубы. ■ Экспериментально наблюдаемые скорости дрейфа (Allison Н. 1983 [63]) имеют тот же порядок, что и величины рассчитанных скоростей. Тем не менее, измеряемые перепады давления превосходят соответствующие теоретические оценки.

Обычно в исследованиях перистальтического движения жидкости предполагают движение стенок заданным по известному закону и пренебрегают обратным эффектом влияния жидкости на стенки канала.

Целью настоящего исследования, изложенного в третьей главе диссертации, является создание модели движения двухфазной среды, включающей жидкость и упругие стенки канала, которая предполагает возможность взаимодействия между фазами и расчет массопереноса жидкости в канале (см. I.Shugan 1999, [66]).

Собственные колебания такой Системы существенно отличаются от свободных колебаний каждой из фаз, принципиально изменяют общую структуру потока и обладают совершенно иными дисперсионными характеристиками волнового движения. Богатый модовый состав решений сильно зависит от значений числа Re задачи.

Массоперенос представлен здесь дрейфом жидкости, возникающем во втором порядке разложения решения по малому параметру крутизны волн.

Наряду с волновыми режимами движения упругих стенок канала, представляет интерес исследовать массоперенос жидкости при стоячих быстрозатухающих колебаниях системы, также присутствующих в спектре собственных колебаний пластины. Ранее колебания такого типа при анализе способов перекачки жидкости по каналам с подвижными границами не рассматривались .

Модель лазерного дистанционного зондирования морской поверхности.

Дистанционные методы зондирования - важнейший инструмент исследования свойств поверхности Мирового океана. К настоящему времени сложилось несколько методик дистанционного зондирования. Еще до появления лазеров оптические методы, основанные на отражении и преломлении света взволнованной морской поверхностью, использовались для измерения таких характеристик волнения, как статистическое распределение и среднеквадратичные значения высот и уклонов, спектральные характеристики волн. Измерения плотности вероятности уклонов по фотографиям солнечных бликов, выполненные в работах [68, 69], продемонстрировали широкие возможности оптических методов в исследовании морского волнения. Они позволили установить эмпирическую зависимость параметров волнения от скорости и направления ветра, исследовать степень негауссовости (нелинейности) случайной системы поверхностных волн. Такая, экспериментальная техника получила развитие в работах [70, 71], в которых были измерены среднеквадратичные значения крутизны волн. Радиолокация с борта самолета или спутника при помощи микроволнового радара дает возможность анализировать состояние морской поверхности на больших акваториях [70]. Основной недостаток этого метода - низкое пространственное разрешение, обусловленное большой шириной диаграммы направленности радаров. Пятно пространственного разрешения при зондировании с борта самолета составляет несколько десятков метров. С помощью таких систем можно измерять характеристики длинных волн (> 50м) и изучать крупномасштабные образования на поверхности океана.

В последнее десятилетие наряду с традиционными методами исследования морского волнения — аэрофотосъемка, контактная волнография, короткомикроволновая радиолокация — получили развитие лазерные методы. Эти активные дистанционные методы обладают рядом достоинств. Применение лазеров, как и радиолокаторов, не требует равномерного естественного освещения, что облегчает условия проведения экспериментов. Лазерная локация с борта самолета позволяет исследовать большие участки поверхности за короткое время, в течение которого синоптические условия на этих участках не успевают изменяться. Высокая направленность излучения лазеров позволяет обеспечить расходимость светового луча ~ 10-5рад, что на 3 — 4 порядка ниже, чем у радара. При этом разрешающий элемент поверхности от 1см до 1м. Лазерное зондирование поэтому позволяет в принципе измерять и мелкомасштабные характеристики волнения.

К настоящему времени сложились два основных метода лазерного зондирования морской поверхности: импульсная локация и фазовая профилометрия.

В основе импульсной локации лежат измерения временной задержки между зондирующими и отраженными морской поверхностью импульсами, а также измерения формы и длительности отраженных импульсов [72, 73]. По этим измерениям определяют средний уровень и наклоны поверхности взволнованного моря и оценивают балльность волнения. Точность измерения среднего уровня поверхности в пятне светового луча ограничена длительностью зондирующего импульса.

Один из уже разработанных методов измерений предполагает освещение поверхности моря короткими лазерными - импульсами, падающими под скользящими углами [74, 75]. В каждый момент времени зондирующий импульс освещает полоску поверхности длиной ст. При распространении светового импульса такая полоса движется по поверхности моря, давая отраженный сигнал на участках, ориентированных нормально оси лазерного пучка.

Теоретический анализ, выполненный в отмеченных работах для одномерного волнения, позволяет в принципе установить интегральную связь между формой отраженного сигнала и профилем поверхности. Имеются также попытки (см., например, [72]) найти корреляцию формы отраженного сигнала с характеристиками профиля отражающей поверхности при вертикальном лазерном зондировании. В условиях многократного освещения поверхности моря световыми импульсами, пространственная протяженность которых мала по сравнению с характерной длиной поверхностной волны, можно пытаться также проследить эволюцию волн во времени. Такая попытка была предпринята в работе [76] при зондировании под скользящими углами со стационарной платформы.

Другая методика импульсного зондирования состоит в определении статистических характеристик волнения при облучении больших участков поверхности. Так, в работе [77] выполнен теоретический анализ возможных результатов вертикальной импульсной, лазерной локации, когда по временному уширению отраженного импульса оценивается дисперсия распределения высот морской поверхности.

При лазерном зондировании на углах, близких к вертикали [78], в апертуру приемника попадает отраженный сигнал, амплитуда которого пропорциональна вероятности уклонов участков поверхности с нормалью, совпадающей с направлением источник — приемник. Это позволяет на основе зависимости интенсивности отраженного сигнала от угла зондирования определить функцию распределения уклонов поверхности. Точность такого метода определения вероятности уклонов при работе с самолета связана, в основном, с полнотой статистики принятых импульсов и обеспечивается высокой частотой работы лазера. Такая методика получила в работе [78] качественную экспериментальную проверку при зондировании с берега.

Аналогично работе [77] дисперсию уклонов морской поверхности (в предположении нормального закона их распределения) можно измерить также по временному уширению отраженных сигналов при вертикальной локации короткими импульсами в расходящемся лазерном пучке [79, 80]! В этих работах были выполнены одни из немногих экспериментов по зондированию поверхности моря короткими лазерными импульсами с вертолета.

Однако реальное пространственное разрешение при импульсном зондировании, определяемое длительностью лазерного импульса, во всех известных практических реализациях этого метода составляет величину более Зм. Это означает, что указанный метод зондирования может быть применен только для исследования крупномасштабного волнения (с длинами волн в десятки метров и значительными амплитудами — порядка 1 м и выше). Вследствие своей ограниченности метод импульсной лазерной локации пока не нашел широкого практического применения.

Фазовая профилометрия поверхности включает использование фазового лазерного дальномера, установленного на самолете и работающего в режиме измерения высот [81, 82]. Последовательные по времени отсчеты высоты дают возможность восстановить разрез профиля поверхности в направлении полета.

В настоящее время схемы таких фазовых профилометров хорошо разработаны и с успехом применяются для измерения профиля как земной [83, 84], так и морской [85, 86] поверхности. Однако схемные принципы измерения профиля отражающей (рассеивающей) поверхности в двух этих случаях все же существенно отличаются друг от друга вследствие разных механизмов формирования принимаемого сигнала. Отражение света при зондировании земной поверхности носит чисто диффузный характер. Это обеспечивает постоянство (или по крайней мере колебания в небольшом динамическом диапазоне) интенсивности принимаемого сигнала. При зондировании же морской поверхности, как ранее указывалось, наряду с диффузной составляющей обратного сигнала, возникающей при рассеянии как от поверхности, так и на частицах в подповерхностном слое, существует интенсивная зеркальная компонента. Одновременный прием отраженного и рассеянного сигналов технически сложен, поскольку соотношение их интенсивностей составляет ~ 103 —104; отраженный сигнал в этих условиях играет роль мощной импульсной помехи.

Отсюда вытекают общие требования к лазерным фазовым про-филометрам морской поверхности: световой сигнал, принимаемый от поверхности, должен обеспечиваться преимущественно зеркальной составляющей; для непрерывного приема такого зеркального сигнала необходимо, чтобы размер лазерного пятна на поверхности воды был больше минимальной длины волны, порождающей зеркальный "блик".

Таким образом, фазовые лазерные профилометры морской поверхности, так же как и импульсные локаторы, способны регистрировать лишь крупномасштабную часть морского волнения. Этот вывод действительно подтверждается данными лазерного зондирования морской поверхности, а именно: оптимальный диаметр пятна на поверхности воды при зондировании морской поверхности лежит в интервале 10—15 см [87]; большинство фазовых измерений профиля морской поверхности с помощью лазеров дает информацию о длинноволновой части спектра волнения, например о положении его спектрального пика [86].

Целью многих океанографических исследований является изучение наряду с крупномасштабным также и мелкомасштабного волнения. Примером может служить задача о взаимодействии внутренних волн с поверхностным волнением, при которой наиболее существенны изменения в спектре коротких поверхностных волн. Поэтому актуальной проблемой становится разработка лазерного метода,- способного обеспечить измерения характеристик морского волнения с длинами волн от нескольких сантиметров до десятков метров. ~

В четвертой главе диссертации изучается метод дистанционного лазерного измерения статистических характеристик волнения, основанный на непрерывном зондировании морской поверхности узким лучом и регистрации сигналов обратного отражения (см. [88, 89, 90]). При зондировании с самолета индикация бликов не требует больших масштабов усреднения сигнала, что значительно улучшает пространственное разрешение и позволяет продвинуться в изучении характеристик мелкомасштабной ряби. В отличие от фазовой профилометрии, предлагаемая методика не дает информации о конкретном профиле морской поверхности вдоль трассы зондирования (полета). Однако, учитывая случайный характер волнения морской поверхности, такая информация не всегда является необходимой, поскольку интерес могут представлять только статистические характеристики поверхности. В нашей методике вероятностный анализ случайной последовательности зеркально отраженных бликов позволяет определить статистические свойства волнения. Экспериментальное определение азимутальной функции средней плотности бликов при зондировании морской поверхности по разным направлениям дает возможность оценить как угловые характеристики энергетического спектра, так и развитость и насыщенность поверхностного волнения.

Теоретические расчеты статистики лазерных бликов морской поверхности основываются на приближении "замороженности" морской поверхности, что оправдано при высоких скоростях движения носителя ус с, где с - характерная скорость движения поверхностных волн. В реальной ситуации (в частности, в экспериментах, описанных в [89, 90]) скорость самолета с лазерным измерителем ус = 100 м/с, так что скорость крупномасштабных волн (с = 10) м/с может составлять заметную величину от скорости носителя. Поэтому нами предложена методика расчета статистических характеристик последовательности лазерных бликов с учетом движения поверхностных волн и проанализированы результаты экспериментов по наклонному зондированию морской поверхности с учетом рассчитанных поправок(см. [91]).

В проведенных расчетах предполагалось, что для описания поверхности применима гауссова статистика линейного ансамбля поверхностных волн. Однако такой подход применим при сравнительно слабом волнении, когда уклоны морской поверхности невелики. При сильном волнении для описания статистических свойств морской поверхности необходим учет нелинейных поправок. Модель случайного нелинейного волнового пакета, основанного на разложении Стокса [95], обладает достаточной наглядностью и позволяет детально исследовать различные статистические характеристики волнения. На основе одномерной модели случайного волнового поля [95] нами изучены статистические характеристики морской поверхности, которые могут быть измерены в экспериментах по дистанционному лазерному зондированию: средняя плотность пересечений заданного уровня среднее число точек заданного уклона на единице длины АГ5(см. [96]).

Взаимодействие волн Россби над периодическим дном.

Распространение волн в периодической среде представляет собой одно из наиболее интересных и важных явлений в волновой динамике и физике колебаний. Мы рассматриваем крупномасштабные движения жидкости в океане над периодическим дном, используя теорию мелкой воды. Сложная форма океанического дна и береговых границ различным образом воздействуют на течения и волны в океане, и обычно слабые модуляции движения малыми топографическими особенностями могут иногда приводить к сильной неустойчивости и бифуркациям к новым волновым режимам.

Анализ устойчивости волн Россби над периодическим дном был главным образом сфокусирован на вынужденных волнах Россби, индуцированных дивергенцией зонального течения из-за длин-номасштабной топографии. Стационарная теория этих волн была развита Чарни и Элиазен (J.G. Charney &; A. Eliassen.1949) [101]. Топографическая неустойчивость таких течений была описана в серии работ (см., например, Чарни и Тевор (J.G. Charney &; J.G. De Vore.1979) [102] и Педлоски (Pedlosky 1982) [103]). Показана неустойчивость зонального потока в приближении /3-плоскости при синусоидальной топографии дна. С другой стороны, различными авторами был проведен линейный анализ устойчивости свободных волн Россби для различных типов возмущений ( R.P. Mied.1978 [104]). В частности, динамика волн конечной амплитуды и их устойчивости была изучена Денингером ( R. Deinenger.1982 [105]). В работе показано, что с возрастанием возмущения амплитуда и фазы волн Россби эволюционируют, создавая нелинейное обратное воздействие, стабилизирующее начальное возмущение.

Топографическая неустойчивость свободных волн Россби изучалась также для достаточно малой шероховатости рельефа дна. Кри и Свотерс (Cree & Swatérs.1991 [106]) проанализировали длин-номасштабные амплитудно- фазовые модуляции резонансных взаимодействующих трех волн Россби на медленно изменяющейся топографии. Используя технику многомасштабных разложений, авторы показали существование нарушения векторного резонанса волн. Расстройка волновой триады приводит к существенному уменьшению энергетического обмена между взаимодействующими волнами.

Периодическое дно резонансной частоты оказывает сильное воздействие на распространение волн Россби и их резонансные взаимодействия. В первом порядке асимптотических разложений можно легко получить дисперсионное соотношение для свободных волн, во втором порядке разложения возникают резонансные взаимодействия между волнами Россби и периодическим дном. Райнс и Бре-зертон (P.B.Rhines &; F.P. Bretherton.1973 [107]) первыми указали на возможность взаимодействия между волнами Россби и периодической топографией. Необходимо отметить, что подобный резонанс может также иметь место для гравитационных волн на соответствующих временных и пространственных масштабах. Одним из примеров здесь можно указать полное отражение поверхностных гравитационных волн, индуцированных периодическими береговыми барами (С.С. Mei.1985 [108]; Воляк К. и Пурини Р.1990 [109]). Приближение мелкой воды с квадратичной нелинейностью для волнового движения дает резонансные условия Брег-га Ль = 1/2As, где Ль and As - это длины волн дна и поверхности , соответственно. Экспериментальные работы (A.G. Davies' & A.D.Heathershow 1984 [110], A.D.Heathershow.1982 [111],) подтверждают основные теоретические результаты.

Медленные модуляции пакета поверхностных волн распространяющегося над периодическим дном были проанализированы Мит-ро и Гринбергом (A. Mitra & M.D. Greenberg.1984 [112]). Новые возможности резонанса волны-дно были показаны Воляком и Пурини (1990) [109] на основе уравнений движения жидкости конечной глубины. Установлено существование нелинейного резонанса между тремя гравитационными волнами и синусоидально изменяющимся дном.

Пятая глава диссертации посвящена изучению распространения и резонансного взаимодействия волн Россби с периодическим дном (см. Purini R., Shugan I. 1993, [113]). Условия полного отражения волн периодическим рельефом дна, энергообмен между падающими и отраженными волнами исследуются для различных граничных условий в традиционной постановке. Проводится анализ дисперсионных свойств огибающей волн Россби в периодической среде. Установлены кинематические условия резонанса тройки волн Россби и синусоидального дна, характеристики энергетического обмена при таком взаимодействии. Изучены возможности генерации и модуляции различных мод волн Россби, распространяющихся над синусоидальным рельефом дна.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Шуган, Игорь Викторович

5.6 Выводы

Мы изучили слабо-нелинейное резонансное взаимодействие свободных волн Россби в присутствии периодической топографии дна. Математическая модель взаимодействия основана на квазигеостро-фических уравнениях для несжимаемой баротропной жидкости. В этой модели члены, выражающие влияние топографии дна имеют '-тот же порядок, что и нелинейные члены в уравнении завихренности. Мы использовали метод двухмасштабных временных и пространственных асимптотических разложений для анализа резонансного взаимодействия волн Россби с донным рельефом.

Прастранственные условия резонанса могут быть выполнены для каждого градиента вектора волнового дна и двух пар резонансных волн одинаковой частоты ст. Тем не менее резонансные условия требуют, чтобы волновое число дна было меньше, чем 1/<7 (во временной шкале волн Россби). Скорости распространения энергии резонансных волн всегда имеют противоположные проекции на направление волнового вектора дна. В результате анализа была расчитана пространственная модуляция огибающих волн Россби в рассматриваемой периодической среде.

Для достаточно малых расстроек от условий резонанса получено экспоненциальное затухание падающей волны в области переменной топографии. Взаимодействие в достаточно протяженных областях может приводить к полному отражению этой волны. Инкремент такой волны линейно возрастает с ростом амплитуды донного рельефа и достигает максимума при точном резонансе.

Далее мы рассмотрели взаимодействие волн в области с периодическим дном, прилегающим к твердой стенке. В этом случае коэффициент отражения тоже равен единице. В более общем случае неоднородных ( в пространстве и времени ) огибающих все волны Россби, распространяющиеся в периодической среде, обнаруживают дисперсионные свойства. Низкочастотные спектральные компоненты падающего волнового пакета экспоненциально затухают и генерирует отраженную волну. Высокочастотные компоненты моделируются волновым рельефом довольно слабо. Пара волн Россби равной частоты может резонансно взаимодействовать с периодическим дном, но с другой стороны, эти две волны могут образовать резонансную триаду волн с волной Россби удвоенной частоты. В этом случае направление волнового вектора дна должно быть близко к меридиональному.

Пространственная модуляция волновых огибающих в периодической среде была проанализирована для различных граничных условий. Для существенно широкой области взаимодействия мы показали, что пара распространяющихся волн может генерировать встречную уединенную волну. Для конечной ширины зоны взаимодействия установлена возможность затухания входящей волны и образования пары встречных волн Россби и изучены энергетические характеристики этого взаимодействия.

Использованная упрощенная математическая модель баротроп-ного движения показывает, что слабые вариации топографии дна могут приводить к сильным структурным изменениям в распространении пакетов волн Россби.

6 Заключение

1. Модуляция слабонелинейных поверхностных волн внутренними максимальна в условиях группового синхронизма - отсутствия потока энергии ПВ относительно фронта ВВ. Амплитуда ПВ значительно возрастает на встречном течении, передавая его форму для крупномасштабных ВВ. Модуляция ПВ на попутном течении приводит к образованию сликов - областей выглаживания поверхности - и сопровождается относительно высокочастотными модуляциями амплитуды огибающей ПВ.

Набегание цуга ПВ на зону прохождения достаточно короткой ВВ может вызывать образование её предвестника в виде нелинейной модулированной поверхностной волны. Если фазовая скорость ВВ превосходит групповую скорость коротких ПВ, то в этом случае возможно образование следа ВВ на поверхности. Модуляции цугов ПВ периодической достаточно длинной ВВ передают её основные характеристики, такие, как период, амплитуду и некоторые свойства формы. Модуляции, вызванные короткими ВВ, могут характеризоваться периодами, меньшими периода ВВ, и неоднородностью изменения вдоль периодического цуга.

Указанные свойства осложняют проблему восстановления структуры ВВ по её проявлениям на морской поверхности.

2. Локализованные решения, при которых пакеты ПВ сопровождают ВВ и экспоненциально затухают при удалении от области переменного течения, существуют только при выполнении группового синхронизма. Эффективная генерация ПВ значительной амплитуды происходит на встречном течении, вызываемом ВВ. Пороговые условия возбуждения различных мод огибающей ПВ в поле ВВ определяются величиной и пространственным масштабом течения. Для длинных ВВ связанные ПВ на встречном приповерхностном течении имеют вид волновых пакетов с глубокой модуляцией огибающей и периодом в несколько раз меньшем длины ВВ.

3. Построенная модель нелинейных пакетов поверхностных волн на воде включает возможность глубоких (порядка единицы) относительных вариаций частоты и волнового числа. Проведенное сравнение с имеющимися экспериментальными данными показывает, что такие важные эффекты нелинейной модуляции, как отрицательные частоты, фазовые кинки, слияние гребней волн, удвоение периода и т.п., адекватно воспроизводятся полученными решениями.

Предлагаемая теория обобщает НУШ теорию и сводится к последней при определенных значениях управляющих параметров. Уединенные волновые пакеты в данной модели имеют переменную частоту и распространяются на постоянном волновом фоне; солитоны НУШ образуют здесь специфический класс уединенных волновых решений.

4. Двухфазная модель колебательного движения жидкости в канале с упругими стенками принципиально отличается от об-щейринятой модели с неизменной формой движущихся стенок канала. Присутствие вязкой жидкости дает существенное снижение скорости изгибных колебаний в пластине и затухание волн. При больших значениях числа Рейнольса происходит вырезание полосы низких частот в спектре собственных волновых колебаний системы, Увеличение относительной массы жидкости приводит к изменению функционального вида дисперсионного соотношения и уменьшению пространственного масштаба волн при заданной частоте возбуждения. Для малых значений числа Рейнольдса возможны три моды колебательного движения, одна из которых описывает волновое движение стенок со слабым затуханием, две остальные задают стоячие резко затухающие вдоль трубы колебания системы.

5. Изучение свойств массопереноса жидкости проведено последовательно для всего модового состава колебаний двухфазной системы. Для больших значений числа Рейнольдса стоячие быстро-убывающие колебания стенок трубы обеспечивают максимальный поток массы, на порядок превосходящий волновые режимы массопереноса. Это изменяет принятое мнение о главных механизмах и способах перекачки жидкости по каналам с подвижными границами. Скорость дрейфа жидкости во входном сечении трубы дает встречную струю у стенок трубы, в выходном сечении - течение Пуазейля. Для малых значений числа Рейнольдса волновая слабозатухающая мода движения стенок канала обеспечивают максимальный массоперенос жидкости.

6. Разработаны модели расчета статистических характеристик случайной морской поверхности при лазерном дистанционном зондировании поверхности и регистрации сигналов обратного отражения. Основные параметры пространственного спектра волнения расчитываются по средней плотности зеркальных лазерных бликов.

Учет средней скорости движения зеркальных точек существенно влияет на результаты расчетов угловых характеристик волнения и позволяет оценить скорости энергонесущих компонент морских волн. Учет нелинейности ПВ существенно влияет на измеряемые статистические характеристики волнения, такие, как среднее »число точек заданного уровня и среднее число точек заданного уклона на кривой сечения поверхности узким лазерным лучом.

7. Энергетический обмен пары околорезонансных волн Россби может приводить к полному отражению волн в областях с периодическим рельефом дна. Огибающая пакета волн Россби при входе в такую область изменяет свои дисперсионные свойства. Низкочастотные спектральные компоненты огибающей испытывают при этом полное отражение.

Резонанс между тремя волнами Россби и дном также возможен при направлении хребтов и впадин волн, близком к широтному. Нелинейный энергетический обмен между резонансными компонентами может приводить к различным устойчивым пространственным структурам огибающих.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шуган, Игорь Викторович, 2000 год

1. Perry R., Schimke G. 1965. Large amplitude internal waves of the north-west coast of Sumatra. J.Geophys.Res., Vol.70, p. 2319 - 2324.

2. Osborne A., Burch T. 1980. Internal solitons in the Andaman Sea. Science. Vol. 208, N 4443., p.451 460.

3. Apel J., Byrne H., Proni J., Charnell R. 1975. Observations of oceanic internal and surface waves from the earth resources technology satellite. J.Geophys.Res. Vol.80, N 6 . P. 865-881.

4. Hughes В., Grant H. 1978. The effect of internal waves " on surface wind waves. 1. Experimental measurements.

5. J.Geophys.Res. Vol.83C, N 1,Р! 443-454.

6. Веселов B.M., Давыдов А.А., Скачков В.А. и др. 1984. Радиодистанционные измерения внутренних волн с борта судна. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 20. N 4 С. 308 318.

7. Браво-Животовский Д.М., Володина Н.И., Гордеев Л.Б. и др. 1982. Исследования воздействия океанских внутренних волн на поверхностное волнение дистанционными методами. Докл. АН СССР. Т. 265, N.2. С. 457-460.

8. Басович А.Я.,Баханов В.В.,Браво-Животовский Д.М. и др. 1986. Воздействие коротких цугов интенсивных внутренних волн на ветровое волнение. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 22, N. 11. С. 1194-1204.

9. Phillips О.М. 1974. Nonlinear dispersive waves. Ann. Rev. Fluid Mech., v.6, p.93 110.

10. Osborne A.R., Burch T.L. 1980. Internal solitons in the Andaman Sea, Science, v.258, p.451- 460.

11. Ермаков С.А., Пелиновский Е.М., Талипова Т.Г. 1980. О влиянии пленок поверхностно-активных веществ на изменение спектров ветрового волнения под действием внутренних волн. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 16, N. 10. С. 1068-1076.

12. Островский Л.А., Соустова И.А., Цимринг JI.III. 1981. Воздействие внутренних волн на мелкомасштабную турбулентность в океане: Препр. ИПФ АН СССР N 31. Горький. 13 с.

13. Иванов A.B., Островский Л.А., Соустова И.А., Цимринг Л.Ш. 1982. Взаимодействие внутренних волн и турбулентности в верхнем слое океана. Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Горький. С. 75-85.

14. Longuet-Higgins M.S., Stewart R.W. 1960. Changes in the form of short gravity waves on tidal currents. J.Fluid Mech. Vol.8. P. 565 583.

15. Whithem G.B. A note on group velocity. 1960. J.Fluid Mech. Vol.9, P. 347 352.

16. Gargett A., Hughes В. 1972. On the interaction of surface and internal waves. J. Fluid Mech. Vol.52. P.179 191.

17. Bretherton F., Garrett C. 1969. Wavetrains in inhomogeneous moving media. Proc. Roy. Soc. London A. Vol.302. P. 529 554.

18. Hughes B. 1978. The effect of internal waves on surface wind waves. 2. Theoretical analysis. J.Geophys.Res. Vol.83C, N 1. P. 455 465.

19. West В., Thomson J. 1975. Statistical mechanics of ocean waves. J.Hydronaut., Vol.9, N 1, P. 25 31.

20. Басович А.Я. 1979. Трансформация спектра поверхностного волнения под действием внутренних волн. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 15, N. ,6. С. 655-661.

21. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. 1982. Влияние интенсивных внутренних волн на ветровое волнение: (Кинематическая модель). Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Горький. С. 8-31.

22. Басович А.Я.,Баханов В.В., Таланов В.И. 1987. Трансформация спектров ветрового волнения короткими цугами внутренних волн. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 23, N. 7, С. 694- 705.

23. Holliday D. 1973. Nonlinear gravity-capillary surface waves in a slowly varying current. J. Fluid Mech. Vol.57, P. 797 802.

24. Smith R. 1976. Giant waves. J.Fluid Mech. Vol.77. P.417 431.

25. Gerber M. 1987. The Benjamin-Feir instability of a deep-water stokes waterpacket in the presence of a nonuniform medium. J.Fluid Mech. Vol. 176, P. 311 332.

26. Lake, B.M. & Yuen, H.C. 1978 A new model for nonlinear wind waves. Part 1: Physical model and experimental evidence. J. Fluid Mech. 88, 33-62.

27. Ramamonjiarisoa, A.R. & Mollo-Christensen, E. 1979 Modulation characteristics of sea surface waves. J. Geophys. Res. 84, 7769-7775.

28. Mollo-Christensen, E. & Ramamonjiarisoa, A.R. 1982 Subharmonic transitions and group formation in a wind wave field. J. Geophys. Res. 87, 5699-5717.

29. Huang, N.E., Long, S.R. & Shen Z. 1996 The mechanism for frequency downshift in nonlinear wave evolution. Adv. Appl. Mech. 32, 59-117.

30. Melville, W. 1983 Wave modulation and breakdown. J.Fluid Mech. 128, 489-506.

31. Benjamin, T.B.& Feir, J.E. 1967 The disintegration of wave trains on deep water. Pt.l. Theory. J. Fluid Mech. 27, 417-430.

32. Chereskin, T. & Mollo-Christensen, E. 1985 Modulational development of nonlinear gravity-wave groups. J. Fluid Mech. 154, 337-365.

33. Захаров B.E. 1968 Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ No. 2, 86-94.

34. Захаров В.Е., Шабат А.Б. 1971 Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ т.61, с.118-134.

35. Roskes, G. 1976 Comments on 'Nonlinear deep water waves: theory and experiment'. Phys. Fluids 19, 766.

36. Dysthe, K.B. 1979 Note on a modification to nonlinear Schrodinger equation for application to deep water waves. Proc. R. Soc. Lond. A 369, 105-114.

37. Tomita, H. 1986 On nonlinear sea waves and the induced mean flow. J. Ocean. Soc. Japan 42, 153-160.

38. Lo, Y. &; Mei, C.C. 1987 Slow evolution of nonlinear deep water in two horizontal directions: a numerical study. Wave Motion 9, 245-259.

39. Akylas, T.R. 1991 Higher-order modulation effects on solitary wave envelopes in deep water. J. Fluid Mech. 198, 387-397.

40. Akylas, T.R. 1991 Higher-order modulation effects on solitary wave envelopes in deep water. Pt.2. Multi-solution envelopes. J. Fluid Mech. 224, 417-128.

41. Feir, J.E. 1967 Discussion: some results from wave pulse experiments. Proc. R. Soc. Lond. A 299, 54-56.

42. Su, M.Y. 1982 Evolution of groups of gravity waves with moderate to high steepness. Phis. Fluids 25, 2167-2174.

43. Lo, Y. & Mei, C.C. 1985 A nukerical study of water-wave modulation based on a higher-order Shr'odinger equation. J. Fluid Mech. 150, 395-416.

44. Stansberg, G.T. 1995 Spatially developing instabilities observed in experimental bichromatic wave trains. 26th IAHR Congress (HYDRA 2000), vol.3, 180-185. Thomas Telford.

45. Hara, T. &; Mei, C.C. 1991 Frequency downshift in narrow-banded surface waves under the influence of wind. J. Fluid Mech. 230, 429-477.

46. Hara, T. & Mei, C.C. 1994 Wind effects on the nonlinear evolution of slowly varying gravity-capillary waves. J. Fluid Mech. 267, 221-250.

47. Kato, Y. & Oikawa, M. 1995 Wave number downshift in modulated wavetrain through a nonlinear damping effect. J. Phys. Soc. Japan 64, 4660-4669.

48. Громов Е.М., Таланов В.И. 1996 Приближения высшего по-• рядка в дисперсионной теории нелинейных волн в однородной и неоднородной среде. Изв. РАН. Сер. физическая. 60,с.1836.-1848.

49. Fung Y.C. & Yih C.S. 1968. Peristaltic transport. Trans.ASMEE E:J.Appl.Mech. v.35, pp.669-675.

50. Shapiro A.H., Jaffrin M.Y.& Weinberg S.L. 1969. Peristaltiv pumping with long wavelengths at low Reynolds number. J.Fluid Mech.v.37,pp.799-825.

51. Jaffrin M.Y.& Shapiro A.H. 1971. Peristaltic pumping.Ann.Rev.Fluid Mech., v.3,pp.13-36.

52. Zien T.F.& Ostrach S. 1970. A long wave approximation to peristaltic motion. J. Biomech. v.3.pp. 63-75.

53. Barton C.&; Raynor S. 1968.Peristaltic flow in tubes. Bull.Math.Biophys. v.30, pp. 663-683.

54. Braun T.D.& Hung T. 1977. Computational and experimental investigations of two-dimensional nonlinear peristaltic flows.J.Fluid Mech. v.83, pp.249-272.

55. Ayukawa К. к Takabake S. 1982. Numerical study of two dimensional peristaltic flows. J. Fluid Mech. v.122, pp. 439-465.

56. Allison H. 1983. Streaming of fluid under a near-bottom membrane for utilization of sea-wave energy. J.Fluid Mech. v.137, pp. 385-392.

57. Сох С., Munk W. J. Mar. Res. 1954, 12 (2), 198.

58. Сох С., Munk W. JOSA. 1954, 44 (11), 838.

59. SchooleyA. J. Opt. Soc. Am. 1954, 44(1), 37.

60. WuJ. J. Opt. Soc. Am. 1972, 62(3), 395.

61. Захаров B.H., Костко O.K. Метеорологическая лазерная локация. JI.: Гидрометеоиздат, 1977.

62. Stamm С., HarrisL. Appl. Opt. 1974, 13 (11), 2477.

63. Захаров B.M., Павлов B.H., РокотянВ.Е. Труды ЦАО. 1973. Вып. 105, 69.

64. ГуревичГ.С., Жигулева И. С., Лысенко Б.М. и др. В кн.: Оптические методы изучения океанов и внутренних водоемов. Новосибирск: Наука, 1979. С. 107.

65. ГуревичГ.С., Жигулева И. С., Лысенко Б.М. и др. Труды ЦАО. 1979. Вып. 139, 93.

66. ГуревичГ.С. IV Всесоюз. симп. по лазерному зондированию атмосферы: Тез. докл. Томск, 1976. С. 121.

67. ГолъдинЮ.А., КагайнВ.Э., Келъбалиханое Б.Ф., Пелевин В.Н. В кн.: Оптические методы изучения океанов и внутренних водоемов. Новосибирск: Наука, 1979. С. 135.

68. ПелевинВ.Н. В кн.: Световые поля в океане. М.: Наука, 1979. С. 212.

69. СтемковскийА.И. В кн.: Световые поля в океане. М.: Наука, i 1979. С. 224.

70. ВафиадиВ.ГПопов Ю.В. Скорость света и ее значение в науке и технике. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1970.

71. RossD., Cardone V., ConawayJ. IEEE Trans. Geosci. Electron. 1970, GE-8(4), 326.

72. Куллсов А.Г., МарасинЛ.Е., Попов Ю. В. и др. Геодезия и картография. 1979, № 10, 41.

73. Miller В. Aviat. Week and Space Technol. 1965, 82 (13), 60.

74. Olsen W., Adams Я. J. Geophys. Res. 1970, 75 (12), 2185.

75. Lin P., RossD. J. Phys. Oceanogr. 1980, 10(11), 1842.

76. J.G.Charney and A. Eliassen.1949. A numerical method for predicting the perturbation of the middle latitude westerlies. Tellus 1, 38.

77. J.G. Charney and J.G. De Vore.1979. Multiple flow equilibria in the atmosphere and blocking. J. Atmos. Sci. 36, 1205.

78. J. Pedlosky.1982. Resonant tepographic waves in barotropic and baroclimic flows. J. Atmos. Sci. 38, 2626.

79. R.P. Mied.1978. The instabilities of finite-amplitude barotropic Rossby waves .J. Fluid Mech. 86, 225.

80. R. Deinenger.1982. Free Rossby wave instability at finite amplitude. J. Atmos. Sci. 39, 563.

81. W. Cree and G. Swaters. 1991. On the tepographic dephasing and amplitude modulation of nonlinear Rossby wave interactions. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 61, 75.

82. Р.В. Rhines and F.P. Bretherton.1973. Topographic Rossby waves in a rough-bottomed ocean. J. Fluid Mech. 61, 583.

83. C.C. Mei.1985. Resonant reflection of surface water waves by periodic sand bars. J. Fluid Mech. 152, 315.

84. Воляк К., Пурини P.1990. Surface opposing-wave interaction over a periodically corrugated bed. Dyn. Atmos. Oceans 14,170.

85. A.G. Davies and A.D. Heathershow.1984. Surface-wave propagation over sinusoidally varying topography. J. Fluid Mech. 144, 419.

86. A.D. Heathershow. 1982. Seabed-wave resonance and sand-bar i growth. Nature 296, 343.

87. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. JL: Гидроме-теоиздат, 1980.

88. Jle Блон П., Майсек JI. 1981. Волны в океане. М.: Мир. Т. 1/2. 820 с.

89. Уизем Дж. 1977. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 622 с.

90. Chu, V.H. & Mei, C.C. 1970 On slowly-varying Stokes waves. J. Fluid Mech. 41, 873-877.

91. Stokes G.G. 1849. On the theory of oscillatory waves. Trans. Camb. Phil. Soc. Vol.8. P.441 455.

92. Yuen H., Lake B. 1975. Nonlinear deep water waves: Theory and experiment. Phys.Fluids. Vol.18. P.956 960.

93. Юэн Г., Лэйк Б. 1987. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир. 179 с.

94. Chu, V.H. к Mei, С.С. 1971 The nonlinear evolution of Stokes waves in deep water. J. Fluid Mech. 47, 337-351.

95. Седов JI.И. Механика сплошной среды.ТТ. 1,2 . 1976.12^. Быстров В.П., Володин В.В., Ломоносов A.M. и др. 1985. Тезисы докл. 12 Всесоюз.конф. по когерентной и нелинейной оптике. М. с. 566.

96. Солнцев М.В. 1986. Статистические свойства эхо-сигнала при дистанционном лазерном зондировании морской поверхности. Кр. сообщ. по физике. N 4 , с.22 25.

97. Longuet-Higgins М. Philos. Trans. Roy. Soc. London A. 1957, 249, 321.

98. RiceS. Bell Syst. Tech. J. 1944, 23, 282.

99. Jans en P., KauenG. J. Geophys. Res. 1984, 89(3), 3635.

100. Крамер Г., Лидбеттер M. Стационарные процессы. М.: Мир, 1969.

101. Steiberg#., SchultheissP., WorginC., ZweigF. J. Appl. Phys. 1966, 26, 195.

102. Longuet-Higgins M. 1963 J. Fluid Mech. , 17, 459.

103. Taifun M.A.1980. J.Geophys. Res. Vol.85., P.1980133. * АванесоваГ.Г., ВоллкК.ИШуганИ.В. В кн.: Исследования по гидрофизике. М.: Наука, 1984. (Труды ФИ АН. Т. 156).

104. Океанология, т.2 , Физика океана, под ред. Каменковича В.М., Монина А.С. М. Наука 1978.

105. A.G. Davies.1982. The reflection of wave energy by undulations on the seabed. Dyn. Atmos. Oceans 6, 207.