Проблемы устойчивости вибрационных течений стратифицированной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Хеннер, Михаил Викторович

• Хеннер, Михаил Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хеннер, Михаил Викторович

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Проблема устойчивости течений стратифицированной жидкости в вибрационном поле

1.2 Обзор литературы

1.2.1 Течения двуслойных жидкостей, устойчивость поверхности раздела и волны

1.2.2 Течения непрерывно стратифицированных жидкостей

и их вибрационная устойчивость

1.3 Краткое содержание работы

2 УСТОЙЧИВОСТЬ ИНДУЦИРОВАННОГО ВИБРАЦИЯМИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ -

2.1 Постановка задачи

2.2 Предельный случай отсутствия молекулярной диффузии

2.2.1 Модель идеальной жидкости. Конечные частоты вибраций

2.2.2 Предел высоких частот

2.3 Высокочастотное вязкое и диффузионное демпфирование

2.4 Заключение

3 ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ СТРАТИФИКАЦИИ: УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВИБРАЦИЙ

3.1 Постановка задачи

3.2 Приближение идеальных жидкостей

3.2.1 Основное течение и задача линейной устойчивости

3.2.2 Сведение к уравнению Матье

3.2.3 Вязкое демпфирование

3.3 Линейная задача устойчивости для вязких жидкостей

3.3.1 Основное течение и устойчивость

3.3.2 Результаты численных расчетов

3.4 Слабонелинейный анализ длинноволновой неустойчивости в рамках приближения высоких частот вибраций

3.5 Заключение

4 ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЧИСЛЕННЫМ РЕШЕНИЕМ КРАЕВЫХ И НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Метод сведения краевой задачи к задаче Коши

4.2 Процедура численного решения спектрально-амплитудной краевой задачи на ЭВМ с параллельными процессорами

5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы устойчивости вибрационных течений стратифицированной жидкости»

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Проблема устойчивости течений стратифицированной жидкости в вибрационном поле

Под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой (плотность, теплоемкость, динамическая вязкость и др.) в основном (стационарном или квазистационарном) состоянии меняются лишь вдоль некоторого выделенного направления. Иначе говоря, в основном состоянии физические характеристики жидкости являются функциями лишь одной пространственной переменной. Стратификация жидкости может быть вызвана различными физическими причинами; наиболее часто встречающейся из них является сила тяжести. Эта сила создает в жидкости такое распределение ее частиц, растворенных в ней солей и взвешенных суспензий, при котором возникает неоднородность жидкости вдоль направления гравитационного поля. Такая неоднородность называется плотностной стратификацией. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние по сравнению с другими видами стратификации на динамические свойства жидкости, на процессы распространения в ней волновых движений. Вследствие этого при рассмотрении волновых движений в стратифицированной жидкости обычно пренебрегают всеми видами стратификации, кроме плотностной, и под стратифицированной жидкостью понимают жидкость с плотностной стратификацией. В дальнейшем мы также будем придерживаться этой общепринятой тер-

минологии.

Если физическая система, состоящая из вязкой жидкости, находится в попе силы тяжести и не подвергается какому-либо другому внешнему воздействию, то она стремится к состоянию покоя, характеризующемуся, в частности, тем, что плотность жидкости убывает вверх от нижней стенки (дна) сосуда, т.е. появляется стратификация. Как известно, при подчинении такой системы внешнему воздействию, например, вибрациям, состояние механического равновесия, вообще говоря, становится неустойчивым. В диссертации рассмотрен один частный но, тем не менее, важный случай вибрационного воздействия на жидкость, а именно, рассматриваются линейно-поляризованные вибрации вдоль направления, нормального к градиенту плотности. Вибрации такой ориентации напрямую возбуждают движение в жидкости, давая возможность быстрого развития неустойчивости.

Вибрации индуцируют некоторое (в общем случае нестационарное) течение, обладающее, однако простой структурой. Это состояние будем называть в дальнейшем основным состоянием, или состоянием квазиравновесия. Пусть интенсивность внешнего воздействия на систему характеризуется параметром Я. Тогда, начиная с некоторого критического значения Я*, состояние квазиравновесия становится неустойчивым, уступая место регулярному движению. Регулярность движения сохраняется при небольших надкритических значениях параметра К. При достаточно больших Я движение становиться очень сложным, нерегулярным и хаотическим, т.е. возникает турбулентность.

Все эти явления зависят, разумеется, от размеров и формы полости, в которой находится стратифицированная жидкость, от свойств самой жидкости и других факторов.

По своей сути исследование эволюции системы от состояния механического (квази)равновесия к хаотическому поведению сводится к описанию процесса, согласно которому по мере увеличения управляющего параметра системы одни решения теряют устойчивость и переходят в другие. Для достижения этой цели обычно используются три основных типа анализа: линейный, слабо-нелинейный (локальный) и сильно-нелинейный (глобальный).

В рамках линейной теории критические значения управляющего параметра, при которых происходит смена устойчивости исследуемого решения, могут быть установлены на основе анализа линеаризованных уравнений для возмущений основного стационарного или нестационарного состояний. При этом рассматриваются лишь бесконечно малые возмущения, для которых применимы линеаризованные уравнения. Критерии линейной теории могут дать лишь достаточное условие потери устойчивости, так как течение, которое по линейной теории является устойчивым, может в действительности оказаться неустойчивым относительно возмущений конечной величины.

Следующим этапом исследования свойств устойчивости различных состояний системы является слабо-нелинейный или локальный анализ. Так как, вообще говоря, течение, устойчивое согласно линейной теории, вовсе необязательно будет устойчивым, то для понимания основных физических особенностей неустойчивости таких течений требуется анализ нелинейной задачи. Суть слабо-нелинейного анализа заключается в том, что решения, параметр, а иногда и оператор дифференцирования по времени разлагаются вблизи точки бифуркации, выявленной в результате линейного анализа, в ряды по малому параметру, который может иметь смысл надкритичности, амплитуды решения и т.д. Метод и его результаты яв-

ляются локальными, поскольку они ограничены малыми амплитудами и дают информацию о ветвлении решений лишь вблизи рассматриваемой точки бифуркации.

Наконец, полную информацию о глобальной устойчивости того или иного решения можно получить в рамках сильно-нелинейной теории, в которой рассматриваются полные нестационарные нелинейные уравнения. Как правило, расчеты развитых конвективных движений требуют применения численных методов. Способы решения уравнений в частных производных могут быть достаточно разными. Наиболее употребительным является конечно-разностный метод, когда система уравнений в частных производных сводится к системе алгебраических уравнений. Для решения же последней существуют высокоэффективные численные методы.

Целью диссертационной работы является изучение с помощью вышеуказанных методов вибрационной неустойчивости квазиравновесия и надкритических движений в случаях, когда

- жидкость непрерывно стратифицирована;

- имеются два не смешивающихся слоя жидкости с разными физическими свойствами.

Следует отметить, что случай 2 нельзя получить из случая 1 простым предельным переходом от непрерывного к разрывному распределению плотности, так как появление поверхности раздела между жидкими слоями влечет за собой необходимость учитывать эффекты, связанные с наличием поверхностного натяжения.

В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники и созданием мощных ЭВМ на основе кластеров быстродействующих процессоров, способных выполнять вычисления намного эффективнее компьютеров, оснащенных единственным (пусть далее достаточно мощным)

процессором, появилась возможность численного эксперимента в классе сложных многомодовых задач теории гидродинамической устойчивости. Создание работоспособного численного алгоритма для "параллельного" компьютера имеет свои специфические особенности и эта область деятельности является достаточно новой. Между тем, специалисты сходятся во мнении, что именно за параллельными вычислениями будущее вычислительной гидродинамики и именно поэтому теория и практика этих вычислений активно культивируются в мировых вычислительных центрах. Эти надежды базируются на том, что большинству физических моделей присущ внутренний "параллелизм" и поэтому "параллельный" алгоритм их расчета кажется наиболее естесственным. В Пгаве 4 этой диссертационной работы излагается процедура реализации одного из методов решения спектрально-амплитудных краевых задач теории гидродинамической устойчивости (метод сведения к задаче Коши) на ЭВМ типа "Компьютер с Распределенной Памятью, или Distributed Memory Computer" с "параллельными" процессорами. "Параллельные" компьютеры этого типа в настоящее время получили наибольшее распространение ввиду их относительно простой архитектуры и дешевизны, гибкости и приспособляемости к нуждам конкретных пользователей.

В следующем параграфе дается обзор работ, имеющих прямое отношение к теме диссертации.

1.2 Обзор литературы

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике, а также проблемами охраны и изучения окружающей среды и рядом дру-

гих задач значительно возрос интерес к изучению динамики волновых движений различных неоднородных и, в частности, стратифицированных жидкостей. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникаюших здесь проблем.

Конечно, для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой стратифицированных жидкостей, необходимо исходить из достаточно развитых нелинейных моделей, для полного исследования которых применимы лишь численные методы, основанные на использовании современных электронно-вычислительных машин. Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических (а также полуаналитических) методов их исследования. Оказывается, чти в этом отношении весьма характерны задачи динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам [6, 7].

Многообразие течений стратифицированной жидкости можно разделить на 2 класса: течения двуслойных (в общем случае - многослойных) жидкостей и течения непрерывно стратифицированных жидкостей. К течениям 1го класса с успехом применимы аналитические методы исследования. Примером может служить задача, рассмотренная в Гяаве 3 диссертации.

1.2.1 Течения двуслойных жидкостей,

устойчивость поверхности раздела и волны

Двуслойные и многослойные гидродинамические системы находят применение во многих физических и технологических процессах. В качестве примера можно привести, скажем, прослойку жидкости, облегчающую течение нефти по трубопроводу, или несколько жидких пленок, наслае-ваемых одна на другую при изготовлении фотопленки. Неустойчивость поверхности раздела между жидкими слоями может оказать серьезное влияние на эти процессы и привести, например, к уменьшению перепада давления в трубопроводе или к плохому качеству фотопленки.

В большинстве работ, относящихся к этому классу, исследуются различные типы волновых движений на поверхности раздела между двумя несмешивающимися слоями жидкости с различными физическими свойствами. Как правило, считается, что жидкости находятся в плоском бесконечном горизонтальном слое (т.е. таком слое, протяженность которого в горизонтальных направлениях много больше его толщины) с твердыми или свободными (или нижней твердой, а верхней свободной; или обеими свободными) горизонтальными границами. Такие предположения позволяют не учитывать взаимодействие жидкости с вертикальными границами слоя, что существенно упрощает анализ. Иногда, в целях дальнейшего упрощения задачи, делаются предположения об относительной толщине жидких слоев. Например, считается, что нижний слой много толще верхнего или (предельный случай) что оба слоя бесконечной толщины.

Относительное движение слоев, влекущее за собой деформацию поверхности раздела, может быть вызвано наличием градиента давления в

горизонтальном направлении (двуслойное течение Пуазейля), или сдвиговым механизмом, например движением в горизонтальной плоскости одной из твердых границ слоя (течение Куэтта), или комбинацией обоих механизмов (течение Куэтта-Пуазейля). Деформация плоской поверхности раздела приводит к образованию вихревых структур, называемых волнами Кельвина-Гельмгольца, которые распространяются с приблизительно средней скоростью между двух потоков (обзор работ, посвященных неустойчивости Кельвина-Гельгольца, приведен в [36]). Если плотности жидкостей различны, то может дополнительно существовать пара неустойчивых бегущих волн, или мод Холмбо, имеющих равные и противоположные по знаку направления в системе отсчета, двигающейся со средней скоростью между потоками [46].

Если вязкости жидкостей различны, то изначально плоская поверхность раздела может стать неустойчивой [52], что происходит, например, в случае когда более вязкая жидкость находится в более тонком слое. В то же время, обратная конфигурация может быть линейно устойчива по отношению к длинноволновым возмущениям. Поверхностное натяжение незначительно влияет на длинноволновые возмущения, в отличие от коротковолновых [37], на которые оно оказывает стабилизирующее влияние [30]. Возмущения произвольных длин волн исследованы в [48]. Отмечено также, что пренебрежение в анализе поверхностным натяжением может привести к спонтанному возникновению участка(ов) поверхности с малым радиусом кривизны (сингулярных точек) [47].

Вибрации сосуда существенно влияют на течение неоднородной по плотности жидкости, содержащейся в нем. Действительно, в этом случае в системе отсчета, связанной с сосудом, в жидкости появляется неоднородное поле сил инерции. На фоне стационарного течения, включение вибраци-

онного движения может как увеличить, так и уменьшить устойчивость. В [53] исследована устойчивость вязкой жидкости, находящейся на плоской поверхности, совершающей гармонические колебания в своей плоскости. Верхняя поверхность жидкого слоя может свободно деформироваться. Показано, что вибрации индуцируют длинноволновую неустойчивость, причем при увеличении частоты вибраций увеличивается и амплитудный порог неустойчивости. Возмущения произвольных длин волн исследованы численно в [42]. Обнаружена коротковолновая неустойчивость с конечным порогом по частоте вибраций. В [34] рассматривалась задача устойчивости течения двуслойной жидкости между параллельными твердыми пластинами, одна из которых осциллирует вдоль оси потока. Авторы получили явное выражение для декремента возмущений; равенство нулю последнего означает, что возмущения нейтральны (не нарастают и не затухают с течением времени), положительность означает, что возмущения нарастают, а отрицательность означает, что возмущения затухают и стационарный поток Куэтта устойчив. Там же показано, что вибрации верхней пластины могут оказать как стабилизирующее,так и дестабилизирующее влияние на длинноволновые возмущения. Получены результаты, указывающие, что неустойчивая поверхность раздела между слоями может быть полностью стабилизирована вибрациями. В [49] рассматривался усложненный вариант этой задачи, а именно, был добавлен градиент давления вдоль потока, состоящий из стационарной компоненты и осциллирующей во времени компоненты, причем имелся сдвиг по фазе с колебаниями верхней пластины. В этой интересной задаче, однако, оказалось слишком много независимых параметров (11), чтобы можно было сделать окончательные выводы об устойчивости.

Интенсивно исследовалось также влияние вертикальных вибраций (или,

что то же самое, переменного гравитационного поля) на устойчивость горизонтальной поверхности раздела или свободной поверхности [51, 5, 27, 41]. Характерной особенностью указанной задачи является двоякое воздействие переменного внешнего поля на устойчивость системы. С одной стороны, переменное внешнеее воздействие может подавить монотонные возмущения, приводящие, в отсутствие полей, к развитию неустойчивости (подавление неустойчивости Рэлея-Тейлора). С другой стороны, переменное внешнее поле может раскачать колебания, затухающие в их отсутствие (параметрическое возбуждение ряби Фарадея). Таким образом, для подавления гидродинамических неустойчивостей параметры внешнего поля должны быть такими, чтобы поле подавляло монотонные возмущения и при этом не приводило к развитию резонансных колебаний [5, 27].

Пренебрегая вязкой диссипацией, можно показать, что уравнения для малых возмущений плоской поверхности раздела сводятся к уравнению типа Матье:

¿■+(р-дСО8и;*)£ = 0, (1.1)

где р ид- некоторые параметры. Т.к. нас интересует возможность стабилизации абсолютно неустойчивых в отсутствие модуляции состояний, будем полагать, что в спектре значений параметра р по крайней мере Ртт < 0. Пусть частота модуляции гораздо больше обратного характерного времени развития наиболее опасного возмущения (си2 > \ртт\). Тогда молено показать [5], что для устойчивости необходимо выполнение условия

д2 > -2со2рт1П. (1.2)

В задачах гидродинамической устойчивости встречаются две качестве-

нно разные ситуации, описываемые уравнением (1.1). Если при постоянных параметрах кроме нарастающих монотонных существуют затухающие колебательные возмущения, модуляция может привести к новому типу неустойчивости (кроме того, который имел место при д = 0) - высокочастотному параметрическому резонансу. Считая амплитуду модуляции достаточно малой (д <р), можно получить следующее условие устойчивости по отношению к параметрическому возбуждению [5]:

д2<4р-бЛ (1.3)

Таким образом, полная стабилизация в этом случае достигается в диапазоне амплитуд модуляции, достаточно больших, чтобы предотвратить исходную монотонную неустойчивость (условие (1.2)), но в то же время достаточно малых, чтобы не вызвать параметрический резонанс (условие (1.3)). Более простым является случай, когда в спектре собственных движений присутствуют только монотонные. Тогда, по крайней мере при малых амплитудах модуляции, параметрическое возбуждение невозможно, и для стабилизации достаточно выполнения условия (1.2).

Включение вязкой диссипации обычно повышает порог устойчивости по отношению к параметрическому возбуждению. Для учета слабых дис-сипативных эффектов в уравнение Матье традиционно включается слагаемое, описывающее линейное трение:

ё' + 27е + (р-дсо8^)^ = 0. (1.4)

В [41] проведено сравнение результатов, полученных при использовании модельного уравнения (1.4) и результатов, полученных численно при расчете вязких линеаризованных уравнений Навье - Стокса. По отношению к порогу устойчивости, полученному из анализа уравнений Навье -

Стокса, порог устойчивости, следующий из анализа модельного уравнения оказался смещенным в сторону меньших волновых чисел и больших значений амплитуд вибраций.

Движение неоднородной жидкости в высокочастотном вибрационном поле может быть разложено на осредненную и пульсационную компоненты. С помощью метода осреднения для них молено получить замкнутую систему уравнений и граничных условий. В работе [14] в рамках такого подхода рассмотрена задача о форме свободной поверхности жидкости в модулированном гравитационном поле, в [15, 10] изучена линейная и нелинейная устойчивость плоской границы раздела двух горизонтальных слоев лшдкости со сравнимыми плотностями в поле касательных вибраций.

Экспериментально было обнарулсено [51, 1], что горизонтальные вибрации сосуда приводят к образованию неподвилшого волнового рельефа на поверхности раздела. В [15] показано, что

- возмолшы состояния квазиравновесия, в которых осредненное двилсе-ние отсутствует, а поверхность раздела совершает малые (порядка амплитуды смещения сосуда) колебания вблизи неподвилшого рельефа;

- при достюкении критической амплитуды скорости вибраций плоская поверхность раздела становится неустойчивой и сменяется неподвижным волновым рельефом;

- в случае, когда тялселая лсидкость находится сверху, всегда найдутся возмущения, ведущие к потере устойчивости. Таким образом, в этом случае плоская поверхность раздела абсолютно неустойчива, т.е. горизонтальные вибрации не препятствуют развитию неустойчивости Рэлея-Тейлора, в отличие от вертикальных, которые при определенных условиях подавляют ее развитие;

- волновой рельеф (в случае, когда тяжелая жидкость находится снизу) возможен только на поверхности раздела жидкостей со сравнимыми плотностями, но не для свободной поверхности. Это обстоятельство отмечено и в экспериментальных работах [51, 1];

- рельеф с конечной длиной волны возможен не для любых толщин жидкостей, а именно, рельеф с конечной длиной волны возникает лишь в достаточно толстых слоях, таких, что /г > [3а/(р\ - Ръ)^^, где а - коэффициент поверхностного натяжения, р\ и р2 - плотности нижней и верхней жидкостей соответственно, д - ускорение свободного падения.

С помощью метода малого параметра найдены зависимости характеристик квазиравновесных периодических по пространству форм поверхности раздела от надкритичности, определены границы областей мягкого и жесткого возбуждения рельефа.

В работе [18] предложен метод сквозного счета для численного решения данной задачи, основанный на представлении двуслойной жидкости как непрерывной среды с параметрами, зависящими от концентрации примеси - маркера; при этом поверхность раздела "размывается" в переходный слой с резко меняющимися параметрами. В качестве маркера использовалась величина плотности среды. На Фиг. 1.1-3 приведены результаты расчетов задачи, взятые из работы [18]. На Фиг. 1.1 изображены квазиравновесные формы поверхности раздела жидкостей с отношением плотностей р — 1.25 (внизу находится более плотная жидкость) для полутолщины слоя Н = 6 и безразмерной амплитуды скорости вибраций В = 11.0,12.0,12.5. При дальнейшем увеличении вибрационного параметра, как и в экспериментах [51, 1], наблюдается удвоение пространственного периода волнового рельефа. Последовательные стадии формирования структуры с удвоенным периодом при В = 13, Н = 6, р = 1.25 показаны на

Фиг. 1.2. При больших надкритичностях, как показывают расчеты, развитие возмущений приводит к образованию "страт". Слой разбивается по горизонтали на систему чередующихся полос, заполненных разными жидкостями с почти вертикальными поверхностями раздела (Фиг. 1.3).

Во всех этих работах рассматривался случай линейной поляризации вибрационного поля. Более общему случаю посвящены работы [16, 17], в которых выведены уравнения и граничные условия осредненного течения непрерывно стратифицированной жидкости [16] и двуслойной жидкости [17] при произвольном законе поступательного движения сосуда.

Проблема волновых движений на поверхности раздела невязких жидких сред конечной толщины в общей постановке рассмотрена в [32, 33]. В [32] в рамках слабонелинейного анализа исследованы бифуркации всех типов двумерных волн: бегущих волн, стоячих волн и смешанных волн (смешанная волна есть суперпозиция бегущей вправо и бегущей влево волн с различными амплитудами). Детально исследована устойчивость всех типов волн по отношению к трехмерной модуляции. В случае касательных модуляций пороги устойчивости стоячих и бегущих волн совпадают, если же наряду с касательными присутствуют также поперечные модуляции, то стоячие волны оказываются менее устойчивы, чем бегущие. Увеличение отношения плотностей в целом оказывает стабилизирующее влияние на бегущие волны, но дестабилизирующее влияние на стоячие. То же можно сказать и про поверхностное натяжение. В [31] получены общие эволюционные уравнения для двумерных слабонелинейных волн на поверхности раздела жидких сред. Толщина верхнего жидкого слоя предполягается малой в сравнении с характерной длиной волны, в то время как на толщину нижнего слоя не накладывается никаких ограничений. Рассматриваются различные типы границ. Большинство хорошо известных нелинейных мо-

делей, например уравнение Кортевега-де Фриза [29] для волн на мелкой воде, описывающие (в числе прочих) солитонные решения, содержатся в полученных общих уравнениях как частные случаи.

1.2.2 Течения непрерывно

стратифицированных жидкостей и их вибрационная устойчивость

Ранее уже отмечалось, что течения непрерывно стратифицированной жидкости в большинстве случаев удается исследовать лишь численно, привлекая новейшие разработки в области конечно-разностных, спектральных, конечных элементов и т.д. методов. Неплохие обзоры методов численного решения задач динамики стратифицированной жидкости имеются в [2, 3].

Влияние вибраций на слаб о стратифицированную (в результате неоднородного нагрева) жидкость исследовано достаточно подробно [8] (так называемая вибрационная конвекция). Напротив, вибрационная устойчивость в сильностратифицированной жидкости (с характерным перепадом плотностей в 2 и более раз) и с возможным учетом влияния молекулярной диффузии (если вместо однородной по составу среды рассматривается смесь) фактически не исследовалась, что и обусловливает интерес к задачам, подобным рассмотренным в Пгаве 2 диссертации. Еще одно заслуживающее внимания обстоятельство связано с тем, что в большинстве работ по вибрационной конвекции рассматривается ситуация, когда градиент плотности и вибрации направлены соосно [50]. Случай нормально-ориентированных внешней силы и градиента значительно сложнее, так как осциллирующие конвективные слагаемые в уравнениях движения за-

трудняют проведение линейного анализа устойчивости. Именно такая ситуация рассмотрена в Пгаве 2.

Следует отметить работу [38], в которой рассматривается устойчивость непрерывно стратифицированного сдвигового течения жидкости в поле произвольно ориентированных вибраций. Считая жидкость безграничной и переходя к Лагранжевым координатам, автору удается свести задачу в частных производных к эволюционной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и получить некоторые заключения об устойчивости течения в различных предельных случаях.

1.3 Краткое содержание работы

Материал в работе расположен следующим образом.

В Главе 2 рассматривается задача устойчивости плоского течения непрерывно стратифицированной жидкости в вибрационном поле, причем ось вибраций и градиент плотности ортогональны. В первой и второй Частях этой главы формулируются задачи линейной устойчивости в рамках соответственно модели идеальной жидкости (Часть 1) и приближения высоких частот вибраций (Часть 2) без учета молекулярной диффузии и вязкости. Закон стратификации выбран линейным. В Части 3 этой Главы рассматриваются линейные эффекты, связанные с включением диссипа-тивных механизмов - молекулярной диффузии и вязкости. Таким образом, выясняются области значений параметров, для которых наиболее опасными являются плоские возмущения.

Глава 3 посвящена анализу устойчивости плоской поверхности раздела между двумя несмешивающимися жидкостями с различными физическими свойствами в касательном к (невозмущенной) поверхности раз-

дела вибрационном поле. Эта задача является, в некотором смысле, предельным случаем задачи, решенной в Гиаве 2. Постановка задачи дана в Части 1. В Части 2 рассматривается линейная устойчивость (относительно плоских возмущений) поверхности раздела между идеальными жидкостями. В Части 3 формулируется и решается численно задача линейной устойчивости в полной постановке, то есть для случая вязких несжимаемых жидкостей. Частоты вибраций считаются конечными. В Части 4 этой Гкавы в рамках приближения высоких частот вибраций методами слабонелинейного анализа исследуется длинноволновая поверхностная мода неустойчивости.

В Главе 4 подробно рассматриваются численные аспекты формулировки краевых и начальных задач (для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений) подобных тем, с которыми мы имеем дело во второй и третьей Главах. Излагается эффективная процедура численного решения краевой задачи на мощной ЭВМ с параллельными процессорами.

Основные результаты диссертации опубликованы в [19, 20, 21, 22, 23, 39, 40] и докладывались на II Международной Школе по механике сплошных сред (Пермь, 1997); IV международной конференции "Parallel Computing Technologies" (Ярославль, 1997); Meeting of the European Network "Dynamics of Multiphase Flows across Interfaces" (Wavre, Belgium, 1997).

Фиг. 1.1 Неподвижный волновой рельеф на поверхности раздела для различных значений вибрационного параметраВ. (а) 11.0; (Ъ) 12.0; (с) 12.5 (изработы [18]).

Фиг. 1.2 Последовательные стадии удвоения периода рельефа

при дальнейшем увеличении надкритичности (В >= 13).

Фиг. 1.3 Образование "страт" при больших надкритичностях.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Хеннер, Михаил Викторович

5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследуется устойчивость течений стратифицированной по плотности жидкости в линейно поляризованном вибрационном поле с осью вибраций, направленной нормально к градиенту плотности.

1. Обнаружено, что в случае непрерывно стратифицированной по линейному закону идеальной жидкости вибрации приводят к возникновению многоуровневой коротковолновой неустойчивости с конечным порогом. Кроме неустойчивости этого типа имеет место параметрическая неустойчивость, связанная с резонансной накачкой энергии во внутренние гравитационные волны. Этот тип неустойчивости характеризуется нулевым порогом возбуждения и имеет место в узких интервалах волновых чисел. Суммируя сказанное, можно сказать, что неустойчивость возможна при любой сколь угодно малой интенсивности вибрационного воздействия на жидкость. Построена непротиворечивая модель, учитывающая диссипативные процессы (молекулярную диффузию и вязкость) в сильно неоднородной двухкомпонен-тной смеси. Показано, что включение диссипативных механизмов позволяет стабилизировать коротковолновую неустойчивость. В рамках линейной теории исследована структура критических возмущений.

2. При переходе от непрерывной стратификации к разрывной, то есть при замене линейно стратифицированной жидкости системой двух несмешивающихся жидкостей с различными не слишком отличающимися плотностями появляется необходимость учитывать эффекты, связанные с наличием поверхностного натяжения на поверхности раздела между жидкими слоями. Показано, что в случае идеальных жи-

дкостей задача линейной устойчивости относительно плоских возмущений сводится к анализу уравнения Матье. Касательные вибрации порождают неустойчивость поверхности раздела жидкостей, связанную как с неустойчивостью Кельвина - Гельмгольца на границе нестационарных встречных потоков, так и с параметрической раскачкой волн на поверхности раздела. Первый тип неустойчивости характеризуется конечным порогом амплитуды возбуждения, в то время как для параметрической неустойчивости порог отсутствует. Однако, при достаточно высоких частотах вибраций параметрическая неустойчивость имеет место в узком интервале волновых чисел и, как следствие, сильно чувствительна к вязкому демпфированию. Кроме того, из анализа длинноволновой поверхностной моды неустойчивости следует, что высокочастотные вибрации могут привести к деформации поверхности в виде неподвижного солитона. В случае вязких жидкостей разница между параметрической и непараметрической неустойчивостью исчезает.

3. Предложена эффективная численная процедура решения спектрально-амплитудных линейных задач гидродинамической устойчивости на мощных ЭВМ с параллельными процессорами. Применение данной процедуры позволяет сократить затраты машинного времени (при расчетах на двух процессорах) примерно (в зависимости от конкретной задачи) в два раза по сравнению с однопроцессорным режимом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хеннер, Михаил Викторович, 1998 год

Литература

[1] Безденежных, Н.К., Брискман, В.А., Любимов, Д.В., Черепанов, A.A., Шаров, М.Т. Управление устойчивостью поверхности раздела жидкостей с помощью вибраций, электрических и магнитных попей. В кн.: 3-й Всесоюзный семинар по гидромеханике и теппомассоб-мену в невесомости. Тез. доклад Черноголовка, 1984, стр. 18-20.

[2] Белолипецкий, В.М., Шокин, Ю.И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991, 173 стр.

[3] Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984, 519 стр.

[4] Бирих, Р.В., Рудаков, Р.Н. Применение метода ортогонализации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений. Пермь: Перм. Ун-т, Гидродинамика, вып.5, 1974, стр. 149-158.

[5] Брискман, В.А. Параметрическая стабилизация границы раздела жидкостей. ДАН СССР, 1976, том 226, N 5, стр. 1041-1044.

[6] Габов, С.А., Свешников, А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986, 287 стр.

[7] Габов, С.А., Свешников, А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990, 341 стр.

[8] Гершуни, Г.З., Жуховицкий, Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972, 392 с.

[9] Годунов, C.K. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 1961, том 16, вып. 3, стр. 171-174.

[10] Замараев, A.B., Любимов, Д.В., Черепанов, A.A. О равновесных формах поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. УрО АН СССР, Гидродинамика и процессы тепломассообмена, 1989, стр. 2328.

[11] Корн, Г., Корн, Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973, 832 стр.

[12] Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Теоретическая Физика. Т. 6 Гидродинамика. М.: Наука, 3-е издание, 1986. 736 с.

[13] Левич, В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.:, 1952, 539 стр.

[14] Любимов, Д.В., Саввина, М.В., Черепанов, A.A. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести. Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. Новосибирск, СО АН СССР, 1987, стр. 97-105.

[15] Любимов, Д.В., Черепанов, A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном попе. Механика жидкости и газа, N 6, 1986, стр. 8-13.

[16] Любимов, Д.В., Черепанов, A.A. Влияние вязкости на структуру пупьсационного поля скорости жидкости в вибрирующем сосуде. УрО АН СССР, Динамика вязкой жидкости, 1987, стр. 49-58.

[17] Любимов, Д.В., Черепанов, A.A. Движение неоднородной жидкости в поле высокочастотных поступательных вибраций. Пермь, Конвективные течения, ПГПИ, 1989, стр. 52-59.

[18] Любимов, Д.В., Любимова, Т.П. Об одном методе сквозного счета для решения задач с деформируемой поверхностью раздела. Моделирование в механике, том 4 (21), N 1.

[19] Любимов, Д.В., Хеннер, М.В., Шоц, М.М. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях. Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 1998, N 3, стр. 25-31.

[20] Любимов, Д.В., Хеннер, М.В. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях. Тез. докл. II Международной Школы по механике сплошных сред, Пермь, 1997, с. 200.

[21] Любимов, Д.В., Хеннер, М.В. О длинноволновой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях, сб. статей " Гидродинамика", Пермь, 1998, стр. 191 - 196.

[22] Любимов, Д.В., Хеннер, М.В. Об устойчивости плоскопараллельного вибрационного течения неоднородной жидкости, сб. статей "Гидродинамика", Пермь, 1998, стр. 197- 207.

[23] Любимов, Д.В., Хеннер, М.В. Об устойчивости вибрационного течения смеси. Изв. РАН, Механика жидкости и газа (принято к печати).

[24] Найфе, А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 535 стр.

[25] Таблицы для вычисления функций Матье. Собственные значения, коэффициенты и множители связи. М.:, Выч. Центр АН СССР, 1967.

[26] Форсайт, Д.Э., Малькольм, М., Моулер, К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, 279 стр.

[27] Черепанов, А.А. Влияние переменных внешних полей на неустойчивость Рэлея - Тейлора. В "Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости". Препринт, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1984.

[28] Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: Учебное пособие. Пермь: Издательство Пермского Университета, 1996, 324 стр.

[29] Benjamin, Т.В. Internal waves of finite amplitude and permanent form. J. Fluid. Mech., 1966, vol. 25, pp. 241-270.

[30] Charm, F., Fabre, J. Long waves at the interface between two viscous fluids. Phys. Fluids, 1994, vol. 6(3), pp. 1223-1235.

[31] Choi, W., Camassa, R. Weakly nonlinear internal waves in a two-fluid system. J. Fluid. Mech., 1996, vol. 313, pp. 83-103.

[32] Christodoulicles, P., Dias, F. Stability of capillary-gravity interfacial waves between two bounded fluids. Phys. Fluids, 1995, vol. 7(12), pp. 3013-3027.

[33] Christodoulides, P., Dias, F. Resonant capillary-gravity interfacial waves. J. Fluid. Mech., 1994, vol. 265, pp. 303-343.

[34] Coward, A.V., Papageorgiou, D.P. Stability of oscillatory two-phase Couette flow. IMA J. Appl. Maths., 1994, vol. 53, pp. 75-93.

[35] Hindmarsh, Alan C. Odepack, a systematized collection of ode solvers. In Scientific Computing, r. s. Stepleman et a 1. (eds.), North-Holland, Amsterdam, 1983, pp. 55-64.

[36] Но, С.M., Huerre, P. Perturbed free shear layers. Ann. Rev. Fluid Mech., 1984, vol. 16, pp. 365-424.

[37] Hooper, A.P., Boyd, W.G.C. Shear-flow instability at the interface between two viscous fluids. J. Fluid. Mech., 1983, vol. 128, pp. 507-528.

[38] Jacqmin, D. Stability of an oscillated fluid with a uniform density gradient. J. Fluid. Mech., 1990, vol. 219, pp. 449-468.

[39] Khenner, M.V., Lyubimov, D.V., Roux, В., Shklyaev, S.V. The App-plication of Parallel Computations Technique to the Solution of Certain Hydrodynamic Stability Problems. Lecture Notes Сотр. Science, 1997, vol.1277, pp.40-44.

[40] Khenner, M.V., Lyubimov, D.V., Belozerova, T.S., Roux, В. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system. European Journal of Fluid Mechanics (принято к печати).

[41] Kumar, К., Tuckerman, L.S. Parametric instability of the interface between two fluids. J. Fluid. Mech., 1994, vol. 279, pp. 49-68.

[42] Or, A.C. Finite-wavelength instability in a horizontal liquid layer on an oscillating plate. J. Fluid. Mech., 1997, vol. 335, pp. 213-232.

[43] Parsytec Programmer's Guide, copyright 1992-1995. PARSYTEC Eastern Europe GmbH, Bernsdorfer Str. 210-212, 09126 Chemnitz, Germany.

[44] Petersen, J. Introduction to Programming on Distributed Memory Multiprocessors. In Numerical Techniques and Parallelism in Physics, Ninth Summer School on Computing Techniques in Physics, Skalsky Dvur, Czechoslovakia, Sept., 1991.

[45] Petzold, Linda R. Automatic selection of methods for solving stiff and nonstiff systems of ordinary differential equations. Siam J. Sci. Stat. Comput. 4 (1983), pp. 136-148.

[46] Pouliquen, O., Chomaz J.M., Huerre, P. Propagating Holmboe waves at the interface between two immiscible fluids. J. Fluid. Mech., 1994, vol. 266, pp. 277-302.

[47] Pozrikidis, C. Numerical studies of singularity formation at free surfaces and fluid interfaces in two-dimensional Stokes flow. J. Fluid. Mech., 1997, vol. 331, pp. 145-167.

[48] Renardy, Y.Y. Instability at the interface between two shearing fluids in a channel. Phys. Fluids, 1985, vol. 28, pp. 3441-3443.

[49] Renardy, Y.Y. Small-amplitude oscillatory forcing on two-layer plane channel flow. J. Fluid. Mech., 1997, vol. 334, pp. 87-109.

[50] Wadih, M., Roux, B. Natural convection in a long vertical cylinder under gravity modulation. J. Fluid. Mech., 1988, vol. 193, p. 391.

[51] Wolf, G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium. Z. Physik, 1961, v. 227, pp. 291-300.

[52] Yih, C.-S. Instability due to viscosity stratification. J. Fluid. Mech.,

1967, vol. 27, pp. 337-352.

[53] Yih, C.-S. Instability of unsteady flows or configurations. Part 1. Instability of a horizontal liquid layer on an oscillating plate. J. Fluid. Mech.,

1968, vol. 31, pp. 737-751.