Нелинейные волны на поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Басинский, Константин Юрьевич

• Басинский, Константин Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Басинский, Константин Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

1.1. Уравнения и граничные условия

1.2. Нелинейная краевая задача

Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

2.1. Постановка и решение задачи

2.2. Фазовая скорость, декремент затухания и амплитуда волны

2.3. Расчеты для конкретных сред

2.4. Траектории жидких частиц

2.5. Слабовязкое приближение

2.6. Задача о волнах на слое конечной глубины

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ СЛАБОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания

3.3. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и амплитуды

3.4. Волновые траектории частиц слабовязкой жидкости

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ СЛАБОВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ

4.1. Постановка задачи

4.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания

Глава 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

5.1. Постановка задачи

5.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и амплитуды

5.3. Волновые траектории частиц несущей и дисперсной фазы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные волны на поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена нелинейному моделированию распространения волн на свободной поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси, а также разработке приближенных аналитических методов исследования нелинейных волновых моделей.

Теория волн на поверхности жидкости оформилась в самостоятельный раздел гидромеханики и математической физики в классических работах Ж.Л.Лагранжа, О.Коши и С.Пуассона. Линеаризация задачи о волнах, положенная в основу теории волн бесконечно малой амплитуды, предложена О.Коши [67]. Теория волновых движений жидкости развивалась главным образом в связи с вопросами качки корабля, волнового сопротивления, а также теории приливных волн в каналах и реках. Среди тех, кто способствовал развитию линейной теории волн, следует отметить П. Лапласа, М.В. Остроградского, Дж. Эри, Дж. Стокса, У. Кельвина, Дж. Рэлея, Г. Ламба и других ученых.

Подавляющее большинство краевых задач, описывающих

распространение волн, являются нелинейными, что не позволяет получать их

точные аналитические решения. Эффективный метод решения нелинейной

задачи о незатухающих прогрессивных волнах на поверхности идеальной

жидкости первым разработал Дж. Стоке [74]. Этот метод известен как метод

малого параметра (или последовательных приближений). В дальнейшем этот

метод получил широкое применение при решении различных прикладных

задач. Значительный вклад в его разработку и обоснование внесли Рэлей,

Пуанкаре, Лайтхилл [49] и др. Наиболее полное изложение данного вопроса

можно найти в работах Ван-Дайка [35] и Найфэ [ 52, 53]. Теория нелинейных

волн на поверхности идеальной жидкости была усовершенствована в работах

А.И. Некрасова[54], Леви-Чивита[72], Н.Е. Кочина[44], Л.Н. Сретенского

[63], Я.И. Секерж-Зеньковича [60, 61], Ю.З.Алешкова [3] и других авторов.

Дальнейшее развитие этой теории было связано с рассмотрением

4

нелинейных задач о волнах на поверхности жидкости более сложной физической природы и применением метода Стокса к их решению. Так теория волн на поверхности неоднородной жидкости отражена в современных работах [4, 5, 36, 37, 51, 56, 57]. Вопросам корректности постановок таких задач и устойчивости решений посвящены работы [38, 40]. Развитие метода малого параметра для решения нелинейных краевых задач о магнитогидродинамических поверхностных волнах представлено в работах [6, 9, 45, 73]. Таким образом, аналитические исследования нелинейных поверхностных волн проводятся давно и охватывают достаточно широкое многообразие моделей. Однако, в этих моделях как правило рассматриваются бездиссипативные волновые движения жидкостей, т.е. в них не учитывается влияние диссипативных факторов, например, вязкости. Хотя еще в 1845г. Дж. Стоке указывал на важность учета вязкости жидкости при рассмотрении волновых задач [75]. В своей работе он пытался найти функциональную зависимость между декрементом затухания волны и коэффициентом вязкости.

Теоретическое изучение влияния вязкости на волновое движение жидкости началось ближе к середине XX века и проводилось в основном в линейном приближении. К основополагающим исследованиям этого периода можно отнести работу Г. Ламба [47]. В ней найдено решение линейной задачи на поверхности слоя вязкой жидкости бесконечной глубины в виде комплексных функций, состоящих из потенциальной и вихревой части. Для определения комплексной частоты Ламб получил алгебраическое уравнение четвертой степени (дисперсионное уравнение). Решение этого уравнения (дисперсионные соотношения) было выписано только в приближении слабовязкой жидкости, когда вихревой частью решения пренебрегают по сравнению с потенциальной. В дальнейших работах в основном использовались результаты, полученные Ламбом, например [2, 32, 48, 50, 68]. При этом оставались ненайденными: точное решение дисперсионного уравнения (аналитические выражения для частоты и декремента затухания);

5

условия существования волнового режима течения; ограничения применимости моделей слабо- и сильновязкой жидкости. Наличие этих проблем приводило к результатам отличным от полученных Ламбом, например [58, 65, 66, 69, 70, 71]. В работе [70] в случае слабовязкого приближения найдено выражение для декремента затухания вдвое меньше полученного Ламбом. В работе [58] при рассмотрении линейной задачи в полной форме также установлено, что найденная Ламбом зависимость

и Т"ч и

декремента от кинематическои вязкости не выполняется. В этой статье численно получено ограничение на значения относительной вязкости, при котором волновое движение возможно. Это и ограничения на применимость моделей слабо- и сильновязкой жидкости играют важную в океанологии и гидрофизике. Они позволяют правильно выбирать модели при расчетах волновых движений жидкости [41]. Таким образом, даже в линейном приближении задачу о волнах на поверхности вязкой жидкости нельзя считать полностью решенной. Поэтому в рамках линейного приближения целью диссертационной работы является аналитическое определение точных: дисперсионных соотношений, условий существования волнового движения, ограничений на модели слабо- и сильновязких жидкостей.

Решений нелинейных задач о волнах на поверхности вязкой жидкости, учитывающих известные нелинейные эффекты Стокса до настоящего времени не было. Отдельные попытки применить метод Стокса к таким задачам были предприняты в работах [1, 32, 33, 64]. За линейное приближение в них взято решение Ламба. Нелинейное исследование свелось к нахождению второго приближения стандартным методом Стокса. Применение этого метода к получению третьего приближения для вязкой жидкости приводит к неразрешимой ситуации - появляются неопределяемые функции времени. Поэтому в этом приближении стандартным методом нельзя получить решение. Но, как известно, только в третьем приближении проявляются нелинейные эффекты Стокса: наличие поправки к фазовой скорости и приповерхностное течение. Поэтому разработка эффективного

б

аналитического метода, который обобщает метод Стокса на нелинейные задачи для вязкой жидкости, является еще одной целью данной диссертационной работы.

Волновое движение двухфазной смеси из-за межфазного трения является диссипативным. Поэтому решение нелинейной задачи о таком движении является еще одной целью диссертационной работы. Нелинейная математическая модель распространения волн по свободной поверхности слоя дисперсной смеси была приведена в работах [10, 12, 13]. В них также приводится решение линейной краевой задачи, выражения фазовой скорости и декремента затухания волны. Решение нелинейной задачи с точностью второго приближения по амплитудному параметру приведено в [7, 11], при этом остаются не исследованными нелинейные эффекты, которые проявляются только в третьем приближении: зависимость фазовой скорости от высоты волны, наличие течения Стокса. Для решения задачи в трех приближениях в данной диссертации применяется метод переменной во времени частоты, использованный для задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Получена нелинейная добавка к фазовой скорости, определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.

Первая глава диссертации посвящена постановке нелинейной краевой задачи о волновом движении на свободной поверхности вязкой жидкости. Приводятся уравнения, описывающие движение жидкости, и граничные условия на свободной поверхности жидкости.

Во второй главе рассматривается линейная задача о плоских волнах на слое вязкой жидкости бесконечной глубины. Найдено точное решение задачи, а также выражения для частоты, фазовой скорости и декремента затухания волны. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой. Определены траектории жидких частиц. Найдены дисперсионные уравнения

7

для задачи линейной задачи о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины.

В третьей главе рассматривается нелинейная задача о распространении гравитационных волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Для решения задачи предложен метод переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.

В четвертой главе рассматривается нелинейная задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Задача решена методом переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности.

В пятой главе приводится постановка задачи о волнах на поверхности среды с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое. Приводятся уравнения, описывающие движения двухфазной среды, и граничные условия на свободной поверхности слоя. Решена нелинейная задача о плоских волнах на слое дисперсной смеси бесконечной глубины. Решение найдено с точностью до третьего приближения по малому амплитудному параметру методом переменной во времени частоты. Найдена поправка к фазовой скорости волны, определены скорости волнового движения, возмущения давления и концентрации дисперсной фазы, а также форма свободной поверхности. Исследованы траектории частиц несущей и дисперсной фазы.

В диссертации принята тройная нумерация формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Басинский, Константин Юрьевич

Основные результаты и выводы диссертации.

1. Для линейной задачи о волнах на поверхности вязкой жидкости найдены выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны. Исследовано влияние вязкости на траектории движения жидких частиц.

2. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение, а также границы применимости модели слабовязкой и сильновязкой жидкости.

3. Получена система дисперсионных уравнений для линейных волн на слое вязкой жидкости конечной глубины. Численно установлено, что конечность слоя изменяет частоту и декремент затухания, если глубина меньше длины волны. Если глубина больше, то частота и декремент мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя.

4. С точностью третьего приближения методом переменной частоты, являющимся обобщением метода Стокса для диссипативных процессов, решена задача о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Получены нелинейные выражения скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Установлено, что с течением времени фазовая скорость стремится к ее линейному значению. Найдены нелинейные траектории движения частиц слабовязкой жидкости, а также выражение для приповерхностного течения. Выражения для частоты и скорости приповерхностного течения являются обобщением нелинейных эффектов Стокса на случай слабовязкой жидкости.

5. Исследовано влияние поверхностного натяжения на волновое движение слабовязкой жидкости. Установлено, что капиллярно-гравитационная волна движется быстрее гравитационной, но при этом амплитуды их убывают с одной скоростью.

6. Найдено решение с точностью третьего приближения нелинейной задачи о поверхностных волнах на слое дисперсной смеси методом переменной частоты. Тем самым, показана универсальность данного метода для диссипативных волновых процессов. Найдена нелинейная поправка к фазовой скорости волны. Исследованы траектории движения частиц несущей и дисперсной фазы. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере движения, а частицы с большей плотностью поднимаются ближе к свободной поверхности. Найдены выражения для скорости приповерхностного течения несущей и дисперсной фазы.

7. Разработана программа для ЭВМ «ЬУТга]ес1:огу», предназначенная для компьютерного моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Басинский, Константин Юрьевич, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрашкин A.A. Пространственные волны на поверхности вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2008. №6. С. 89-96.

2. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 176 с.

3. Алешков Ю. 3. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. Л.: Изд-во. Ленингр. ун-та, 1981. 196 с.

4. Алешков Ю. 3. Теория взаимодействия волн с преградами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 372 с.

5. Алешков Ю. 3. Течение и волны в океане. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 228 с.

6. Алешков Ю. 3., Баринов В. А., Тактаров Н. Г. О распространении нелинейных магнитогидродинамических поверхностных волн // Магнитная гидродинамика. 1989. №4. С. 79-86.

7. Алешков Ю.З., Баринов В.А., Бутакова H.H. Нелинейные поверхностные волны на слое двухфазной среды // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2003. Сер. 1. Вып. 4. С. 64-75.

8. Баринов В.А. Распространение волн по свободной поверхности вязкой жидкости//Вестник С.-ПбГУ. 2010. Сер.Ю. Вып. 2. С. 18-31.

9. Баринов В. А., Тактаров Н. Г. Математическое моделирование магнито-гидродинамических поверхностных волн. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1991.96 с.

10. Баринов В.А., Бутакова H.H. Распространение волн по свободной поверхности двухфазной смеси // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2003. №6. С. 94-102.

11. Баринов В.А., Бутакова H.H. Нелинейная задача о поверхностных волнах на двухфазной смеси // ЖВМиМФ. 2003. Т.43. №12. С. 1870-1883.

12. Баринов В.А., Бутакова H.H. Волны на свободной поверхности двухфазной среды // Прикладная механика и техн. физика. 2002. Т. 43. № 4. С. 2735.

13. Баринов В.А., Бутакова H.H. Исследование распространения волн по свободной поверхности двухфазной жидкой смеси // Вестник Тюмен. ун-та. №2. 2002. С. 182- 190.

14. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Моделирование волновых движений вязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. 2009. №6. С. 144 -151.

15. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Развитие метода Стокса для слабовязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. 2010. №6. С. 127 - 133.

16. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2011. Сер. 10. Вып. 2. С. 9-16.

17. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны Стокса на поверхности слабовязкой жидкости // Вестн. Удм. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 112-122.

18. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Моделирование волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Сборник науч. трудов «Математическое и информационное моделирование». Вып. 11. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук». 2009. С.10-17.

19. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Волновые траектории частиц вязкой жидкости // Сборник трудов третьей региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений». - Тюмень: Изд-во Тюмен. ун-та, 2010. С. 27-32.

20. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Влияние вязкости жидкости на распространение поверхностных волн // Труды 10-ой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб.: Наука, 2010. С. 205-208.

21. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейное моделирование волн на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Сборник науч. трудов «Математическое и информационное моделирование». Вып. 12. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук». 2010. С.18-27.

22. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волновые траектории частиц слабовязкой жидкости // Сборник науч. трудов «Математическое и информационное моделирование». Вып. 12. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук».

2010. С.27-34.

23. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Уфа: Гилем, 2011. С. 36-39.

24. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Моделирование нелинейных волн на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Математика и математическое моделирование». - Саранск: Изд-во Мордов. гос. пед. ин-та, 2012. С. 31-36.

25. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны на поверхности двухфазной смеси. Труды 11-ой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб.: Наука, 2012. С. 196200.

26. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны на поверхности слабовязкой жидкости. Труды 11-ой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб.: Наука, 2012. С. 200-203.

27. Басинский К.Ю. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. №7.

2011. С. 123- 127.

28. Басинский К.Ю. Нелинейные волны на поверхности слабовязкой жидкости // Сборник трудов третьей региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного

моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т-решений» . - Тюмень: Изд-во Тюмен. ун-та, 2010. С. 32-36.

29. Басинский К.Ю. Распространение капиллярно-гравитационных волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011. С. 86-91.

30. Басинский К.Ю. Моделирование нелинейных капиллярно-гравитационных волн // Сборник трудов четвертой региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т-решений» . - Тюмень: Изд-во Тюмен. ун-та, 2011. С. 12-17.

31. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Т.М. Численные методы.-М.: Наука. 1987. 598с.

32. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2003. №2. С. 184-192.

33. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О внутреннем нелинейном резонансном взаимодействии капиллярно-гравитационных волн на плоской поверхности вязкой жидкости// Журнал технической физики. 2006. Т. 76. Вып. 12. С. 25-36.

34. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 792 с.

35. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир. 1967. 296 с.

36. Габов С. А. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука. 1986. 288 с.

37. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ, 1988. 176 с.

38. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука, 1998.

448 с.

39. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука. 1966. 664 с.

40. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит. 2005. 288 с.

41. Кожевников М.П. Гидравлика ветровых волн. М.: Энергия. 1972. 264 с.

42. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973. 832 с.

43. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Физматгиз. 1963. 728 с.

44. Кочин Н.Е. Собрание сочинений в 2-х т. М.; Л, 1949 Т. 1. 616 с. Т. 2. 538 с.

45. Корсунский C.B. Нелинейные МГД - волны в электропроводящих диспергирующих средах. Севастополь: Изд-во Морского гидрофиз. ин-та АН Украины. 1993. 137с.

46. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.

47. Ламб Г. Гидродинамика. Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

48. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 735 с.

49. Лайтхилл. Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. 603 с.

50. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 700 с.

51. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 420 с.

52. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

53. Найфэ А. X. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 536 с.

54. Некрасов А.И. Собрание сочинений в 2-х томах. М.: Физматгиз, 1961. С. 358-439.

55. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

56. Овсянников Jl. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.319 с.

57. Перегудин С.И. Волновые движения в жидких и сыпучих средах. СПб.: Из-во С.-Петерб. ун-та. 2004. 288 с.

58. Саночкин Ю.В. Влияние вязкости на свободные поверхностные волны в жидкостях // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. №4. С. 156-164.

59. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. М. Наука, 1970. 492 с.

60. Секерж-Зенковича Я.И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины. // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1951. Т. 15. № 1. С. 57-73.

61. Секерж-Зенькович Я.И. Трехмерные стоячие волны конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины. // Труды Морск. гидрофиз. ин-та АН СССР. 1959. № 18. С. 3-39.

62. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1955. 520 с.

63. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

64. Abrashkin А.А. , Bodunova Yu.P. Nonlinear gravitational waves on the surface of viscous fluid: lagrangian approach // Physics of waves Phenomena. 2010. Vol. 18. №4. P. 251-255.

65. Behroozi F. Fluid viscosity and the attenuation of surface waves: a derivation based on conservation of energy// Eur. J. Phys. 2004. Vol. 25. P. 115-122.

66. Behroozi F., Podolefsky N. Dispersion of capillary-gravity waves: a derivation based on conservation of energy// Eur. J. Phys. 2001. Vol. 22. P. 225-231.

67. Cauchy A. Theorie de la propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indefme // Oeuvres Completes d'Augustin Cauchy. 1815. S. 1. Vol. l.P. 5-318.

68. Chen Xiao-Bo, Duan Wen-Yang, Lu Dong-Qiang. Gravity waves with effect of surface tension and fluid viscosity // Conference on Global Chinese Scholars

on Hydrodynamics. - Shanghai, 2006. P. 317-322.

69. Joseph D.D., Wang J. The dissipation approximation and viscous potential flow // J. Fluid Mech. 2004. V. 505. P. 365-377.

70. Joseph D. D., Funada T., Wang J. Potential Flows of Viscous and Viscoelastic Fluids. Cambridge University Press, 2008. 497 p.

71. Joseph D. D., Padrino J. C. Correction of Lamb's dissipation calculation for the effects of viscosity on capillary-gravity waves // Physics of Fluids. 2007. Vol. 19. P. 82-105.

72. Levi-Civita J. Determination rigoureuse des ondes permanents d'ampleur fmie // Math. Ann. 1925. Vol. 93. P. 264-314.

73. Shivamoggi B.K. Nonlinear surface waves in magnetohydrodynamics // Acta mechanica. 1986. V.61, N 1-4. P. 51-58.

74. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Math, and Phys. Papers. 1880. Vol. l.P. 197-229.

75. Stokes G G On the theories of the internal friction of fluids in motion // &c Camb. Trans. 1845 Vol. 8. P. 287-315.