B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Половинкина, Марина Васильевна

• Половинкина, Марина Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Половинкина, Марина Васильевна

1 Основные понятия и обозначения. Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов

1.1 Основные понятия и обозначения.

1.2 Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов.

1.2.1 В-гиперсингулярные интегралы с В-гармоническими характеристиками.

1.2.2 Представление В-гиперсингулярных интегралов в виде регуляризации Адамара расходящихся интегралов.".

1.3 Основные факты теории В-потенциалов Рисса.

2 Некоторые свойства функциональных пространств

2.1 Непрерывность в целом по обобщенному сдвигу в весовом функциональном классе LJ(£l+).

2.2 Усреднения Соболева-Киприянова и плотность всюду в множества бесконечно дифференцируемых на Rn ФункЦий и пространства типа Лизоркина.

2.3 Обобщенное В-дифференцирование.

3 Пространства В-потенциалов Бесселя

3.1 Определение В-потенциалов Бесселя и нахождение явного вида их ядер.

3.2 Свойства В-потенциалов Бесселя и их ядер.

3.3 Весовые кольца Винера.

3.4 Связь между В-потенциалами Рисса и Бесселя.

3.5 Пространство В-потенциалов Бесселя.

4 Пространство В-потенциалов Рисса

4.1 Интегральные представления обобщенных конечных разностей и В-гиперсингулярных интегралов.

4.2 Описание пространства весовых потенциалов Рисса

4.3 О модуле непрерывности (В-11)-потенциалов.

4.4 Свойства весовых функциональных пространств дробной В-гладкости

5 Существование слабых В-производных целого порядка от функций из пространства В-потенциалов Рисса

5.1 В-преобразование Рисса и квазириссов В-потенциал

5.2 Слабые В-производные.

5.3 Описание пространства (В-Я)-потенциалов U^(Z^) посредством В-производных порядка 2[ а/2 ]

6 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой и весовые классы функций L^r(R+) НО

6.1 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой.

6.2 Весовые классы функций (R^)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости»

Актуальность темы диссертации.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И. А. Киприянову [5]. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом (см. [13]) в первой половине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Разностная регуляризация расходящихся интегралов для описания бесселевых потенциалов была применена И.М. Стейном [41] в частном случае 0 < а < 2, где а — порядок потенциала, и П.И. Лизоркиным [15]—[18] в общем случае. Им же введены лиувиллевские классы дробной гладкости г , получившиеся как естественное обобщение пространств бесселевых и риссовых потенциалов. Использование классов для описания пространств потенциалов было осуществлено С.Г. Самко [32]—[38].

JI.H. Ляхов ввел разностную регуляризацию весовых расходящихся интегралов (В-гиперсингулярных интегралов), используя сдвиги Ванштейна-Дельсарта (см. [19], [23]). Им же введены пространства В-потенциалов Рисса для случая, когда обобщенный сдвиг действует в Rn по всем переменным и дано описание пространств В-потенциалов Рисса на основе соответствующего класса гиперсингулярных интегралов [24]. Естественным образом возникает проблема использования В-гиперсингулярных интегралов, регуляризация которых основана на применении смешанных обобщенных сдвигов (т. е. когда по части переменных действуют обычные сдвиги, а по другой — обобщенные сдвиги разных весовых индексов), для описания пространств весовых потенциалов Рисса и Бесселя.

Необходимость исследования пространств В-потенциалов Рисса и Бесселя обусловлена также построением основ теории весовой интегральной геометрии на базе преобразования Радона-Киприянова, поскольку именно пространства В-потенциалов оказываются, в некотором смысле, худшими из тех, на которых преобразование Радона-Киприянова обратимо (см. [3]). Поэтому вопрос о распознавании функций из этих пространств является актуальным и эти результаты могут быть использованы в компьютерной томографии осесимметричных объектов.

Изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя в конце ХХ-го и начала XXI-го веков посвящено немало работ, среди которых выделяются работы А.Д. Гаджиева и B.C. Гулиева [46] и их учеников. Однако эти работы, как и работы других авторов, посвященные изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя, не используют схемы Стейна-Лизоркина-Самко (т.е. аппарат дробного В-риссового дифференцирования) по причине малой изученности последних.

Это обусловливает интерес к пространствам дробной В-гладкости L^'" , которые включают в себя и пространства В-потенциалов Рисса и пространства В-потенциалов Бесселя, а также к функциональным пространствам Киприянова W^'f. Кроме того, самостоятельный интерес представляет и техника исследования. Поэтому рассмотренные в диссертации вопросы теории пространств дробной В-гладкости актуальны в современных научных исследованиях.

Цель работы. Изучить пространства смешанных В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса, промежуточные между ними пространства лиувиллевского типа дробной В-гладкости а также пространства И.А. Киприянова . Дать описание пространств В-потенциалов и тем самым установить критерии принадлежности функций пространствам В-потенциалов Рисса и В-потенциалов Бесселя. Установить важнейшие свойства пространств Lfy* и , такие, как теоремы вложения пространств по параметрам г и а , теоремы о промежуточных производных, критерии принадлежности этим пространствам на основе В-дифференцирования целого порядка.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Введены смешанные усреднения Соболева-Киприянова функций из весовых пространств Лебега LJ , изучены их свойства и доказаны теоремы о плотности некоторых пространств бесконечно дифференцируемых четных функций в пространствах LJ .

2. Определено ядро В-потенциала Бесселя в случае, когда В-потенциал Бесселя определен в виде свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом. Установлена связь В-потенциалов Бесселя с В-потенциалами Рисса.

3. Введены классы функций дробной В-дифференцируемости Щ,а и L^r (построенные по типу лиувиллевских классов функций). Последние совпадают с пространством В-потенциалов Бесселя при р = г и с пространством В-потенциалов Рисса, когда число г равно предельному показателю Соболева в весовых функциональных классах LJ . Получено описание пространств В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса на основе дробного В-дифференцирования, осуществляемого В-гиперсингулярным интегралом смешанного типа.

4. На основе весовых сферических функций введено смешанное В-преобразование Рисса и . квазириссов В-потенциал. Получено представление квазириссовых В-потенциалов в виде суперпозиции В-преобразования Рисса целого порядка т = [си] (или В-дифференцирования целого порядка) и В-потенциала Рисса дробного порядка а — т .

5. Получены оценки модулей непрерывности для В-потенциалов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математическом анализе, в компьютерной томографии осесимметрических объектов и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2004 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в С.-Петербурге в 2006 г., на международной школе-коллоквиуме по прикладной и промышленной математике, на 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева, международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина в 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [49]—[56] . В совместных публикациях [49], [50], [52], [53] соавтору принадлежит только постановка задач. Работа [50] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав и списка цитируемой литературы, включающего 56 наименований. Общий объем диссертации — 121 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Половинкина, Марина Васильевна, 2009 год

1. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М.Гельфанд , Г.Е. Шилов - М.:ГИФМЛ, 1959.- 470 с.

2. Гоц Е.Г. Обобщенные разности и общие В-сингулярные интегралы / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // ДАН. 2005. - Т. 405, N4. - С. 444 -447

3. Гоц Е.Г. Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством дробного дифференцирования Грюнвальда-Летникова-Рисса / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Доклады Академии Наук. 2007. - Т. 412, N 1, с. 11 - 14.

4. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн , И.М. Рыжик. — М: ГИФМЛ. 1965.- 1100 с.

5. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов.— М.: Наука, 1997.-199 с.

6. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов / И.А. Киприянов // Тр.МИРАН.— 1967.- Т.89, С.130-213.

7. Киприянов И.А. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН 1969.- Т. 186, N6.- С. 740-743.

8. Киприянов И.А. Оценки поверхностных потенциалов, порожденных обобщенным сдвигом / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН 1969.- Т.188, N5.- с. 115-118.

9. Киприянов И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // Сиб.мат.журн.— 1970.— Т.11, N 5.— С.1060-1082.

10. Киприянов И.А. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифференциальным оператором Бесселя / И. А. Киприянов, М.И. Ключанцев // Дифференциальные уравнения с частными производными: сб.научн. тр.

11. Киприянов И.А. Об операторе осреднения связанным с обобщенным сдвигом / И. А. Киприянов, Н.А. Кащенко / / Доклады Академии Наук СССР. 1974. - Т.218, N 1. - С. 21-23.

12. Киприянов И.А. Весовые потенциалы Рисса. Сингулярные задачи / И.А. Киприянов // ДАН.- 1998.- Т.363, N6.- С. 738-740.

13. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б.М. Левитан // УМН.- 1951.- Т.6, N2.- С.102-143.

14. Левитан Б.М. Нормированные кольца, порожденные оператором обобщенного сдвига / Б.М. Левитан // ДАН, 1945 т.47, N1, с. 3-6.

15. Лизоркин П.И. Теоремы вложения для функций из пространства Lrp{En) / П.И. Лизоркин // ДАН.- 1962.- Т.143, N5.- С.1042-1045.

16. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lp{En) . Теоремы вложения / П.И. Лизоркин // Мат.сб.— 1963.- Т.60, N3.- С.325-353.

17. Лизоркин П.И. Пространства Lrv. Теоремы продолжения и вложения / П.И. Лизоркин // ДАН, 1965. 145. С. 527-530.

18. Лизоркин П.И. Описание пространства Lrp(Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов / П.И. Лизоркин // Мат.сб.— 1970.- Т.81, N1.- С.79-91.

19. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л.П. Ляхов // ДАН.- 1990.- Т.315, N2.- С.291-296.

20. Ляхов Л.Н. Обращение В-потенциалов / Л.Н. Ляхов// ДАН.— 1991.- Т.321, N3.- С. 466-469.

21. Ляхов Л.Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя / Л.Н. Ляхов // Тр.МИРАН.— 1996.- Т.214.- с.234-249.

22. Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Л.Н. Ляхов // ДАН,— 1996.- Т.350, N6.- С.735-738.

23. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л.Н. Ляхов.— Воронеж: ВГТА, 1997.- 144 с.

24. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя / Л.Н. Ляхов// ДАН.—1998.— Т. 360, N1- С.16-19.

25. Ляхов Л.Н. Весовые кольца Винера и Тауберова теорема аппроксимации, порожденные обобщенным сдвигом Бесселя / Л.Н. Ляхов // ДАН.- 2001.- Т.380, N5.- С. 588-590.

26. Ляхов Л.Н. Общие гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой / Л.Н. Ляхов, Э.Л. Шишкина // Доклады Академии Наук. — 2007. Т. 412, N 2, с. 162 - 166.

27. Ляхов Л.Н. Обращение общих В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых классах функций / Л.Н. Ляхов, Э.Л. Шишкина // Доклады Академии Наук. — 2009. — Т. 426, N 4, с. 1 5.

28. Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский М.: Наука. 1977. С.456.

29. Самко С.Г. О пространствах Риссовых потенциалов / С.Г. Самко // Изв. АН, Сер. мат.- 1976.- Т.40, N5.- С.1443-1472.

30. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы; их символы и обращение / С.Г. Самко // ДАН.— 1977.- Т.232, N3.— С.528-531.

31. Самко С.Г. Пространства Lp^r{Rn) и гиперсингулярные интегралы / С.Г. Самко // Stud.Math.— 1977.- Vol.61, N3.- Р.193-230.

32. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы; их символы и обращение / С.Г. Самко // Тр.МИАН.— 1980.- Т.156.— С.157-222.

33. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения / С.Г. Самко.— Ростов н/д: Изд-во Рост.ун-та, 1984.— 208 с.

34. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко. — Минск: Наука и техника, 1987.— 688 с.

35. Самко С.Г. Описание пространства риссовых потенциалов в терминах старших производных / С.Г. Самко, С.М. Умарходжиев // Изв.вузов.Мат.— 1980.- N11.- С.79-82.

36. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. — ЛГУ. 1950, С. 255.

37. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев — М.: Наука, 1974. — 808 с.

38. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. М. Стейн; перев. с англ. В.И. Буренкова М.: Мир, 1973.- 343 с.

39. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель; перев. с англ. В.И. Буренкова. — М.: Мир, 1980 — 664 с.

40. Чернышев Г.Л. О задаче Коши с сингулярным гиперболическим оператором: Автореф. дис. . канд. физ.-мат.наук: 01.01,02 /Воронежск.госуниверс.— Воронеж, 1973.— 11 с.

41. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде; пер. с англ. Б.Х. Бермана и И.Б. Раскиной под редакцией В.Я. Лина.- М.: Мир 1960. 1072 с.

42. Calderon А.P. On the existence of certain singular integrals / A.P. Calderon, A.Zygmund // Acta Math. — 1952.— T. 88.— P.85-139.

43. Gadjiev A.D., Guliyev V.S. The Stein-Weiss type inequality for fractional integrals, associated with the Laplace-Bessel differential operator / A.D. Gadjiev , V.S. Guliyev // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2008. Vol. 11, N 1. - P. 77 - 90.

44. Schwartz I.T. A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued function / I.T. Schwartz // Com.Pure Appl.Math.— 1961.- T.14.— P. 785-799.

45. Stein E.M. The characterisation of function arising as potentials / E.M. Stein // Bull. Amer. Math. Soc.- 1961.- Vol.67, N1.- P.102-104.

46. Половинкина M.B. О пространствах дробной гладкости, построенных на основе В-производных Рисса / М.В. Половинкина, Л.Н. Ляхов // Воронежская зимняя математическая школа —2004: Тез. Докл. — Воронеж, 2004. — С. 88 89.

47. Половинкина М.В. Пространства весовых Бесселевых потенциалов / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Труды математического института им. Стеклова. — 2005. — Т.250. — С. 192 -197.

48. Половинкина М.В. Ядра В-потенциалов Бесселя смешанного типа / М.В. Половинкина // Вестник Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина. — 2005. — Выпуск 8, N 1. — С. 71 75.

49. Половинкина М.В. Пространство потенциалов Рисса-Ванштейна-Киприянова / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Материалы научной конференции "Герценовские чтения". — 2006. — С. 201 208.

50. Половинкина М.В. О смешанных усреднениях Соболева -Киприянова / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Математические модели и операторные уравнения: Сб. науч. тр. — Т.4. — Воронеж: ВорГУ, 2007. С. 98 - 103.

51. Половинкина М.В. Пространства И.А. Киприянова дробной В-гладкости лиувиллевского типа / М.В. Половинкина / / Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (5), март 2007. С. 131 - 139.

52. Половинкина М.В. О В- дифференцировании смешанных усреднений Соболева Киприянова / М.В. Половинкина // Черноземный альманах научных исследований. — N 2 (6), декабрь 2007. - С. 135 - 142.

53. Половинкина М.В. О весовых функциональных классах лиувиллевского типа / М.В. Половинкина / / Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (8), апрель 2009. — С. 316 325.