Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гоц, Екатерина Григорьевна

• Гоц, Екатерина Григорьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гоц, Екатерина Григорьевна

Ведение

1 Общие В-гиперсингулярные интегралы

1.1 Обобщенные сдвиги. Конечные разности.

1.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы.

1.3 Аннигиляция.

2 Аналог теоремы Планшереля для преобразования Киприянова-Радона

2.1 Весовые сферические интегралы.

2.2 Преобразование Киприянова-Радона

2.2.1 Свойства преобразования Киприянова-Радона

2.2.2 О весовых (^-функциях, сосредоточенных на плоскости, и вычислении преобразования Киприянова-Радона некоторых функций.

2.2.3 Связь преобразования Киприянова-Радона с преобразованиями Фурье и Фурье-Бесселя.

2.2.4 Преобразование Киприянова-Радона смешанного обобщенного сдвига и обобщенной свертки

2.2.5 Сдвиг в пространстве 2.2.6 В-дифференцирование.

2.3 Аналог теоремы Планшереля.

2.3.1 Обращение преобразования Киприянова-Радона р 2.3.2 Аналог теоремы Планшереля.

2.4 Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством одномерного дробного дифференцирования

3 Теорема о носителе

3.1 Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций.

3.2 Теорема о носителе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе»

Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознания, особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновских и электромагнитных диагностик. Первые попытки исследования этого преобразования были предприняты Иоганом Радоном еще в 1917 году [1]. А вот первое описание введенного И. Радоном преобразования появилось только в 1955 году в книге F. John [2j. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п > 2).

В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллип-тических уравнений И.А. Кинриянов и В.И. Кононенко [3] предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, то есть в ситуации, когда часть переменных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом, в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие исследования этого научного направления оказывались невозможны в виду отсутствия общих подходов и, главное, общих формул обращения.

В 1990 году J1.H. Ляховым был введен класс гиперсингулярных интегралов [4], который обращал В-потенциалы Рисса, в том числе и дробного порядка. И.А. Киприянов предложил использовать этот класс операторов для обращения специального преобразования Радона. Первые результаты в этом направлении получены в работе И.А. Киприянова, J1.H. Ляхова [5] (1998 г.). Хотя в этих исследований все же не удалось получить формулу обращения, но был сделан важный принципиальный шаг для дальнейшего изучения проблемы, а именно, дано два определения специального преобразования Радона, одно из которых могло быть приспособлено для работы не только с осевой, но и с центральной симметрией и получена замечательная формула, связывающая все три преобразования — Фурье, Фурье-Весселя и Радона. В дальнейшем (2004 г.) определение специального преобразование Радона, данное в вышеуказанной работе, стало называться :преобразованием Киприянова-Радош (далее используем сокращение — KR-преобразование). В частном случае, когда весовая переменная единственна (то есть лишь для задач с осевой симметрией), Л.Н. Ляховым были получены общие формулы обращения, основанные на применении В-гиперсингулярных интегралов. При этом, в его работе [6] использовался не исследованный класс В-гиперсингулярных интегралов (далее в этой работе этот класс операторов назван общими В-гиперсингулярными интегралами).

Возник еще один очень непростой вопрос. Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, но и производные (целого порядка) но одномерному параметру, характеризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными по сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В работах JI.H. Ляхова могли быть использованы лишь степени (причем в общем случае — дробные) сингулярного дифференциального оператора в частных производных А#, а возможность перехода к соответствующим обыкновенным производным указывалась лишь в случае натуральных значений весового показателя.

В данной работе введены общие В-гиперсингулярные интегралы, с помощью которых получены самые общие формулы обращения KR-преобразования (обобщающие классические формулы и формулы JI.H. Ляхова). Получены формулы обращения применением обыкновенных производных ио соответствующему параметру, но, и в этом принципиальное отличие от классических формул обращения, порядок производной в общем случае — дробный. Кроме того, получены очень важные в теоретическом и практическом плане теоремы - аналог теоремы Планшереля и частный случай теоремы о носителе, являющийся обобщением хорошо известной теоремы С. Хелгасона о носителе преобразования Радона [7j.

Актуальность этой темы исследования вытекает из возможности применения результатов работы к задачам фундаментальной физики, техники, математики и вычислительной томографии, в которых присутствует центральные, осевые и многоосевые симметрии, а также в задачах в пространствах дробной размерности с соответствующими симметриями.

Целью работы является исследование наиболее общей формы KR-нреобразования, включающей в себя следующие темы. Исследование смешанных обобщенных конечных разностей (о.к.р.) центрированного и нецентрированного видов; создание на их основе нового класса общих В-гиперсингулярных интегралов, которые включают в себя гиперсингулярные интегралы, построенные по схемам И. Стейна [8], П.И. Лизоркина [9], С.Г. Самко [10] и В-гиперсингулярные интегралы Л.Н. Ляхова. Получение обобщенных формул обращения общего KR-иреобразования путем применения дробных степеней оператора Киприянова А в (общие В-гиперсингулярные интегралы). Получение формул обращения KR-преобразования посредством одномерного дробного дифференцирования. Доказательство аналога теоремы Планшереля для KR-преобразования. Доказательство аналога теоремы Хелгасона о носителе для KR-иреобразования.

Методика исследований. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы и подходы, развитые в трудах И.А. Киприянова и его учеников, для исследования весовых функциональных классов и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Следующие результаты, полученные в диссертации являются новыми.

1. Введены конечные разности смешанного типа (но одной части переменных действует обычный сдвиг, а по другой части - обобщенный, главной особенностью последнего является то, что он не имеет обратного и перестановочен с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя). Этот результат обобщает введенные ранее Ляховым Л.Н. обобщенные конечные разности, порожденные обобщенным сдвигом.

2. Введены общие В-гиперсингулярные интегралы (далее примем сокращение — общий В-г.с. интеграл) с постоянной характеристикой. Эти операторы, в зависимости от весового параметра могут представлять, с одной стороны, обычные гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко, а с другой, В-гинерсингулярные интегралы (В-г.с. интегралы) Ляхова. Принципиально то, что введенные в данной работе общие В-г.с. интегралы не обладают некоторыми из свойств В-г.с. интегралов.

3. Получены общие формулы обращения KR-преобразования на основе применения к KR-преобразованию функции общего В-г.с. интеграла дробного порядка.

4. Получены формулы обращения KR-преобразовапия путем применения одномерных дробных производных Грюнвальда-Летнико-ва-Рисса, или применением средних от левосторонней и правосторонней дробных производных Римана-Лиувилля.

5. Для KR-преобразования доказана теорема типа теоремы План-шереля.

G. В одном частном случае доказана теорема о носителе для KR-преобразования, представляющая собой аналог хорошо известной теоремы С. Хелгасона.

Практическая и теоретическая значимость. Исследования, проведенные в данной работе, позволяют ввести KR-иреобразование весовых распределений, что откроет возможность применения KR-преобразования при исследовании краевых задач уравнений с частными производными, в которых по одному или нескольким переменным действуют сингулярные дифференциальные операторы Бесселя разных индексов. Кроме того, в работе приведены способы применения преобразования Радона к центрально-симметрическим функциям, то есть по сути к функциям одной переменной, что казалось невозможным, поскольку преобразование Радона можно применять лишь к функциям, заданным в пространствах с размерностью п > 1. Результаты работы также могут быть полезны для проблем фундаментальной физики, для исследования осессимметрических и центральносим-метрических задач математической физики и уравнений с частными производными, в теории функции и функциональных пространств, в теории приближений. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/Д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. В.А. Стек-лова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре JI. Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю. И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. О.М. Пенкина в Белгородском государственном университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН России; на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2005; международной конференции "Анализ и связанные с ним вопросы", Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005; второй международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения", Дагестанский государственный университет, Махачкала, 2005; школе молодых ученых "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания", Липецк, 2005; Воронежской зимней математической школе-2006; научной кон- . ференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006", Санкт

Петербург, 2006; Воронежской весенней математической школе "Понт-рягинские чтения -XVII", Воронеж, 2006; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2006; международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT 2006, Лиссабон, Португалия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [И]-[26], список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [13], [15], [17]-[19], [21], [23] Л.Н. Ляхову принадлежит постановка задачи. Доказательства основных результатов принадлежат диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих девять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 44 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гоц, Екатерина Григорьевна, 2006 год

1. Radon J. Uber die Bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte langs gewissel mannigfaltigkeiten./ J. Radon // Ber. Verh. Sache. Acad. Wiss. Leipzig. Math.-Nat. kl., 1917, 69, 262-277.

2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в приложении к дифференциальным уравнениям с частными производными./ Ф. Йон.-М.: ИЛ, 1958.- 156 с.

3. Киприянов И.А. О фундаментальных решениях некоторых уравнений в частных производных./ И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференциальные уравнения.- 1969,- Т.5.- N 8.- С. 1470-1483.

4. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных операторов./ Л.Н. Ляхов // ДАН.- 1990.- Т. 315, N 2.- С. 291-296.

5. Киприянов И.А. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона./ Киприянов И.А., Ляхов Л.Н./ И.А. Киприянов, Л.Н. Ляхов // ДАН.- 1998.- Т.360, N 2.- С.157-160.

6. Ляхов Л.Н. Обращение преобразования Киприянова-Радона./ Л.Н. Ляхов // ДАН.- 2004.- Т. 399, N 5.- С.597-600.

7. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ./ С. Хелгасон- М.: Мир, 1987.- 736 с.

8. Stein Е.М. The caracterisation of function arising as potentials./ E.M. Stein // Bull.Aiiier.Math.Soc.- 1961.- Vol.67, N 1.- P. 102-104.

9. Лизоркин П.И. Описание пространств Lrp(Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов./ П.И. Лизоркин // Мат.сб- 1970.-Т.81, N 1.- С. 79-91.

10. Гоц Е.Г. Аналог теоремы Планшереля для двумерного преобразования Киприянова-Радона./ Е.Г. Гоц // Сборник научных статей иод ред. Ю.Е. Гликлиха и 10.И. Сапронова.- Воронеж: ВГУ, 2005.-Вып.1.

11. Гоц Е.Г. Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов.// Материалы международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения ВГУ.- Воронеж, 2005 С. 78-79.

12. Гоц Е.Г. Обобщенные разности и общие гиперсингулярные интегралы./ Е.Г. Гоцг Л.Н. Ляхов // Доклады Академии Наук.- 2005.Т. 405, N 4.- С. 444-447.

13. Год Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций./ Е.Г. Гоц, JI.H. Ляхов// Материалы международной конференции "Analysis and Related Topics".- Национальный Университет им. Ивана Франко Львов, Украина, 17-20 ноября 2005.- С. 35.

14. Гоц Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона сдвигов./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Материалы конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Воронеж: Воронежская государственная академия, 2005 С. 73.

15. Гоц Е.Г. Символ общего В-гииерсингулярного интеграла./ Е.Г. Гоц // Материалы научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2006".- СПб., 2006.- С. 175-181.

16. Гоц Е.Г. Отображение, осуществляемое преобразованием Киприянова-Радона основных функций./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета.- Т.1.- Вып.1.- 2006.- С. 13-19.

17. Гоц Е.Г. Носитель преобразования Киприянова-Радона./ Е.Г. Гоц // Материалы XLIV отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА.- Воронеж, 2006.- Ч.2.- С. 199.

18. Год Е.Г. Общие В-гииерсингулярные интегралы, порожденные центрированными смешанными обобщенными конечными разностями./ Е.Г. Гоц // Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2006.- Воронеж: ВорГУ, 2006.- С. 44-51.

19. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя./ Б.М. Левитан // УМН.- 1951.- Т. 6, N 2.- С. 102-143.

20. Самко С.Г. О пространствах риссовых потенциалов./ С.Г. Самко // Известие АН СССР. Сер.мат.- 1976.- Т. 40, N 5.- С. 1443-1472.

21. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения./ С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев -Минск: Наука и техника, 1987.- 688 с.

22. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом./ Л.Н. Ляхов Воронеж, гос. технол. акад.-Воронеж, 1997.- 144 с.

23. Киириянов И.А. Сингулярные эллиптические граничные задачи./ И.А. Киприянов М.: Наука, 1997.- 196 с.

24. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик М.: ГИФМЛ, 1963.- 1100 с.

25. Гельфанд И.М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений./ И.М. Гельфанд, М.И. Граев, И.Я. Виленкин- М.: ГИФМЛ, 1962.- 656 с.

26. Ватсон Г.Н. Теория бессолевых функций./ Г.Н. Ватсон.- М.: ИЛ, 1947.- 780 с.

27. Хелгасон С. Преобразование Радона./ С. Хелгасон М.: Мир, 1983.- 148 с.

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения./ С.М. Никольский- М.: Наука, 1969.- 480 с.

29. Ляхов Л.Н. Об одном классе сферических функций и сингулярных псевдодифференциальных операторов / Л.Н. Ляхов// ДАН 1983-Т.272, N 4.- С. 781-784.

30. Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Л.Н. Ляхов // ДАН.- 1996,- Т.350, N 6-С. 735-738.

31. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения./ Н. Винер.- М.: ГИФМЛ, 1963.- 256 с.

32. Киприянов И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига./ И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН.- 1969.- Т. 188, N 5.- С. 115-118.

33. Киприянова Н.И. О разложении по собственным функциям некоторых сингулярных дифференциальных операторов / Н.И. Киприянова // ДАН.- 1976.- Т.231, N 2.- С. 523-525.

34. Ключанцев М.И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / М.И. Ключанцев // Сиб.мат.журн.-1970.- T.ll, N 4.- С. 810-821.

35. Лизоркин П.И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием и классы дифференцируемых функций / П.И. Лизоркин // Тр.МИАН.- 1972.- Т. 117.- С. 212-243.

36. Schwartz I.T. A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued function / I.T. Schwartz // Com.Pure Appl.Math.-1961.- Vol.14.- P. 785-799