Метод композиционных интегральных преобразований для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и его дробными степенями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Шишкина Элина Леонидовна

• Шишкина Элина Леонидовна
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Шишкина Элина Леонидовна

1.1 Специальные функции

1.1.1 Гамма-функция, бета-функция, символ Похгаммера и функция ошибок

1.1.2 функции Бесселя

1.1.3 функции гипергеометрического типа

1.2 Классы функций, оператор Пуассона и преобразование Ханкеля

1.2.1 Пространства О™, Щ и Весовые обобщенные функции

1.2.2 Оператор преобразования Пуассона

1.2.3 Интегральные преобразования и обобщение пространства Лизоркини Сим ко

1.2.4 Дробные интегралы и производные

1.3 Композиционный метод. Обобщенный сдвиг и весовое сферическое среднее

1.3.1 Композиционный метод

1.3.2 Обобщенный сдвиг и обобщенная свертка

1.3.3 Интегралы по части сферы

1.3.4 Весовое сферическое среднее

2 Весовые обобщенные функции, связанные с квадратичными формами

2.1 Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса

2.1.1 В-ультрагиперболический оператор

2.1.2 Весовая обобщенная функция öY(P)

2.1.3 Представления производных функции ö7(P)

2.2 Весовые обобщенные функции, реализующие степени квадратичных форм

2.2.1 Весовые обобщенные функции P?},±

2.2.2 Весовые обобщенные функции P} и (P ± ¿0)}

2.3 Другие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной формой

2.3.1 Функции (w2 — |ж|2)+7 и (c2 + P ± ¿0)}

2.3.2 Общие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной формой

2.4 Преобразование Ханкеля весовых обобщенных функций, связанных

с квадратичной формой

2.4.1 функции P}, (P ± ¿0)} и P}±

2.4.2 Функций (w2 — |x|2)+ и (c2 + P ± ¿0)}

3 B-гиперболические дифференциальные уравнения дробного порядка

3.1 Дифференциальные уравнения с дробными степенями В-

гиперболического выражения

3.1.1 Определение риссова дробного В-дифференцирования

3.1.2 Интегральное представление ядра тд<^5

3.1.3 Принадлежность усеченных дробных В-производныхи Рисса классу Lp

3.1.4 Общее ядро Пуассона

3.1.5 Представление усеченных дробных B-производных Рисса в виде конечной суммы интегралов

3.1.6 Решение В-гиперболического дифференциального уравнения

дробного порядка

3.2 Априорная оценка решения В-гиперболического дифференциального уравнения дробного порядка

3.2.1 Краткая история теории потенциалов как дробных степеней операторов

3.2.2 Абсолютная сходимость и ограниченность гиперболического В-потенциала

3.3 Свойства решения В-гиперболического дифференциального уравнения дробного порядка

3.3.1 Полугрупповые свойства гиперболических В-потенциалов

3.3.2 Примеры гиперболических В-потенциалов и решений итерированных В-гиперболических уравнений

3.4 Гиперболический В-потенциал Рисса и его аналитическое продолжение

3.4.1 Замена переменных в пространстве Лоренца

3.4.2 Тождественный оператор

3.4.3 Аналитическое продолжение гиперболического В-потенциала Рисса /□ и решений задачи для итерированного неоднородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

3.4.4 Примеры гиперболических В-потенциалов Рисса и решений задач для итерированного неоднородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

3.5 Дифференциальные уравнения с дробными степенями смешанного В-гиперболического выражения

4 Методы решения гиперболических уравнений с оператором Бесселя

4.1 Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу со спектральным параметром

4.1.1 Решение смешанной задачи для уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу со спектральным параметром применением преобразования Ханкеля

4.1.2 Пример

4.2 В-ультрагиперболическое уравнение

4.2.1 Итерированное В-ультрагиперболическое уравнение

4.3 Метод потенциалов Рисса решения неоднородных итерированных

уравнений типа Эйлера-Пуассона-Дарбу

4.3.1 Общее неоднородное итерированное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

4.3.2 Смешанный усеченный гиперболический В-потенциал Рисса и решение задачи с однородными условиями по времени для неоднородного общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

4.3.3 Примеры

5 Дробные дифференциальные уравнения с оператором Бесселя

5.1 Дробные интегралы Бесселя

5.1.1 Элементарные свойства дробных степеней оператора Бесселя

5.1.2 Дробные интегралы Бесселя от степенной функции и нормированной функции Бесселя

5.2 Дробные производные Бесселя и пространства Мак-Брайта

5.2.1 Определения дробных производных Бесселя

5.2.2 Пространства Мак-Брайта

5.3 Интегральные преобразования Меллина и Ханкеля дробных степеней оператора Бесселя на полуоси

5.3.1 Преобразование Меллина дробных степеней оператора Бесселя на полуоси

5.3.2 Преобразование Ханкеля дробных степеней оператора Бесселя на полуоси

5.3.3 Полугрупповые свойства дробных степеней оператора Бесселя на полуоси и их обращение

5.4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с дробной

производной Бесселя

5.4.1 Метод преобразования Меллина решения дифференциальных уравнения с дробной производной Бесселя

5.4.2 Примеры

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод композиционных интегральных преобразований для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и его дробными степенями»

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Основные законы, на которых основано изучение процессов и явлений окружающего мира, обычно выражаются уравнениями с частными производными, часто сингулярным или вырождающимся. Их исследование требует применения различных методов современной математики и является актуальной областью исследования, как с теоретической так и с практической точек зрения.

Особый интерес представляет случай, когда дифференциальное уравнение в частных производных является сингулярным, то есть по крайней мере один из коэффициентов при неизвестной функции или при какой-либо ее производной стремится к бесконечности на границе или внутри рассматриваемой области. Важность рассмотрения сингулярных дифференциальных уравнений объясняется как внутренними потребностями теории дифференциальных уравнений в частных производных так и прикладным значением сингулярных дифференциальных уравнений.

Диссертация посвящена методам решения дифференциальных уравнений в частных производных дробного и целого порядка с сингулярным дифференциальным оператором1 Бесселя, который имеет вид

>' = £ + Ш' т > 0

Такие дифференциальные уравнения в частных производных являются сингулярными, поскольку коэффициенты при первых частных производных неизвестной

1 Здесь и далее операторами, следуя традиции, называется то, что, возможно, более точно следует называть дифференциальными выражениями.

функции стремятся к бесконечности на границе или внутри рассматриваемой области. А именно, рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных вида

к - (вк)*

г=1

и = с2и, к Е К, с > 0, и = и(ж, £),

(В71 )Х1 - Ек

¿=2

и(ж) = ](ж), а > 0,

(2)

(3)

д 2

)хЛ и(ж) = /(ж), ж = (жь ...,Жп), жг > 0, г = 1,...,п, £ Е К, (4)

д£2 ^ К /г! х г=1

Р

п

к - Е к

. г=1 г=р+1

и(ж) = / (ж), шеМ,

и

Е Аж2(а+к)(В7)а+к/(ж) = й(ж), ж > 0, а > 0,

(5)

(6)

к=0

где £ > 0 ж = (ж1 ,..., жп), жг > 0 г = 1,..., п, Ак Е К, к = 0,..., 1.

Одной их основополагающих работ, побудивших интерес к краевым задачам для эллиптических сингулярных дифференциальных уравнений в частных производных была работа М. В. Келдыша [46], в которой были выявлены основные особенности постановки краевых условий в таких задачах. Весовая задача Коши для сингулярных гиперболических уравнений изучалась Ж. Л. Лионсом [210], Р. Кэр-ролом, Р. Шоуолтером [162] (см. также библиографию в этих книгах). Сингулярные параболические уравнения рассматривались в [37,38,73] и др. Сингулярные функционально-дифференциальные параболические уравнения, были рассмотрены в [75,212,213] с применением методов из [100,101].

Основоположником школы по сингулярным дифференциальным уравнениям с операторами Бесселя в Воронеже является И. А. Киприянов. Начиная с 60-х годов XX века Киприянов начинает рассматривать задачи с оператором Бесселя (см. [48-56]). И. А. Киприянов предложил использовать интегральное преобразование Фурье-Бесселя (Ханкеля) при построении весовых функциональных

а

а

т

пространств и при решении задач с оператором Бесселя и другими сингулярными дифференциальными и интегро-дифференциальными операторами, соответствующими этому преобразованию. Введенные Киприяновым функциональные пространства были использованы им для изучения краевых задач для так называемых В-эллиптических уравнений (эллиптических уравнений с оператором Бесселя вместо всех или некоторых вторых производных) с граничными условиями на нехарактеристической части границы. И. А. Куприяновым совместно с Л. Н. Ляховым при помощи преобразования Фурье-Бесселя (Ханкеля), было получено распространение понятия сингулярного псевдо-дифференциального оператора, а совместно с В. В. Катраховым были введены комплексные степени В-эллиптических операторов. В 80-х годах XX века И. А. Киприяновым совместно с Л. А. Ивановым изучались фундаментальные решения В-эллиптических и В-гиперболических уравнений (гиперболических уравнений с оператором Бесселя вместо всех или некоторых вторых производных). Затем, И. А. Киприяновым совместно с В. В. Катраховым изучались краевые задачи для эллиптических уравнений, с особенностями типа существенных особенностей аналитических функций в изолированных граничных точках. Л. И. Ляховым были изучены вопросы о мультипликаторах смешанного преобразования Фурье-Бесселя (Ханкеля), дробные степени В-эллиптических операторов (эллиптических операторов с оператором Бесселя вместо всех или некоторых вторых производных) и другие вопросы (см. [67-71,118,119]).

Методы решения задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя достаточно подробно разработаны А. Ванштейном [267-269] и И. А. Киприяновым [52]. В работах Я. И. Житомирского [37] и М. И. Матийчука [73,74] были построены методы для решения задач для параболических линейных уравнений в частных производных, содержащих оператор Бесселя. Методы решения задач для уравнения гиперболического типа с оператором Бесселя, действующим по времени, которое называется классическим уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу развивались в работах Р. В. Кэрролла [163], Р. И. Шовалтера [162], Д. В. Брестер-

са [159,160], А. Ванштейна [266,270,271], M. М. Смирнова [102], С. А. Терсено-ва [111], Ш. Т. Каримова [41,194,265] и др.

Уравнения с оператором Бесселя имеют много приложений. Ряд физических проблем, в таких разнообразных областях, как теория колебаний, электростатическая теория поля, распространение тепла, гидродинамика, теория упругости, сводятся к изучению сингулярных дифференциальных уравнений с оператором (1). Так, к гиперболическим уравнением с оператором Бесселя, в случае, когда число v в (1) натуральное приводят модели, в которых присутствует симметрия по всем переменным или по группам переменных. К таким проблемам относится, например, проблема колебаний вращающегося диска (шара), которая привлекает внимание исследователей из-за важности ее применения к моделированию турбин, гироскопов и высокоскоростных камер (см. [158]). Случай, когда v произвольное вещественное крайне интересен с теоретической точки зрения, но также возникает в приложения (например, — в задачах о случайном блуждании частицы [179,180], в газовой динамике и механике сплошных сред [16,62,103,106,113]).

Методы применения теории обобщенных функций, порожденных квадратичной формой, к классическим дифференциальным уравнениям в частных производных, разработаны И. М. Гельфандом, Г. Е. Шиловым, Л. Хермандером (см. [17,18,192]). Весовые обобщенные функции, порожденные квадратичной формой, с весом, взятым по одной переменной, рассматривались и применялись к исследованию дифференциальным уравнениям в частных производных с оператором Бесселя И. А. Киприяновым, Л. А. Ивановым (см. [51-55]). Оценки выражений, содержащих весовые обобщенные функции, порожденные индефинитной квадратичной формой, получены А. Б. Муравником в [214]. В диссертации рассматриваются классы весовых обобщенных функций, порожденных неопределенной квадратичной формой, изучаются производные таких функций, описывается поведение этих функций в особых точках, найдено их преобразование Ханкеля.

Отдельный класс дифференциальных уравнений с оператором Бесселя состав-

ляют уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу вида

Аи = (Вк) и, и = и(х,^; к), (7)

где А — линейный оператор, действующий только по переменным х = (х1,..., хп). Стабилизация решений задачи Коши для уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу была исследована В. Н. Денисовым (см. [35, 36]). Задачи Коши для уравнения (Вк ^и(х,£) = Ди(ж,£) с начальными условиям и вида и(х, 0) = 0, и^=0=^(х) и и(х, 0)=/(х), ¿7(и — ик(/))^=0=^>(х) изучалась С. А. Терсеповым (см. [111]). А. В. Глушаком изучались абстрактные дифференциальные уравнения

А

вом пространстве (см. [20-24]). В частности, им исследован вопрос об устойчивости свойства равномерной корректности задачи Коши для указанных уравнений и изучены условия разрешимости таких задач с фредгольмовым оператором при производных. Линейные дифференциальные соотношения между решениями эллиптических аналогоы уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу исследованы А. В. Аксеновым в [3]. В статьях Ш. Т. Каримова [41,195,265] для решения задачи Коши для уравнения с сингулярным оператором Бесселя типа Эйлера-Пуассона-Дарбу бы и применены операторы Эрдейи-Кобера и Лаундеса. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу и его обобщения имеют широкое применение в газовой и гидро-динамике (см. [106,113]), теории оболочек (см. [14,168]), в различных разделах механики сплошных сред (см. [16,62,103]), в теории распространения звука (см. [165]), при изучении столкновения гравитационных волн (см. [190]), в квантовой механике и теории относительности (см. [263]). Гиперболическое уравнение с оператором Бесселя, действующим по каждой из переменных, типа Клейна-Гордона, обобщающее уравнение типа Эйлера-Пуассона-Дарбу, описывает распространение волн в физически неоднородной среде с жесткостью. В одномерном случае такое уравнение с произвольными с переменными коэффициентами при первых производных описывающее, например, распространение волн по струне с переменными плотностью, было рассмотрено А. В. Боровских (см. [10]). В диссертации рассматривается уравнение типа Эйлера-Пуассона-Дарбу вида (2) и его обобщения вида (3) и (5).

Специальный класс представляют дифференциальные уравнения с оператором Бесселя (1) дробного порядка вида (3) и (4). В качестве метода решения этого уравнения выбран метод потенциалов Рисса. Метод потенциалов к решению задач для уравнений Лапласа, Гельмгольца и волнового уравнения был применен в работах М. Рисса [223,224], И. Т. Копсона [166], В. В. Лукьянова, А. И. Назарова [66]. Кроме того, теория потенциалов Рисса приведена в книгах Л. Шварца [227,228], И. Стейна [109], С. Хелгасона [191], С. Г. Самко [90] и в работе В. А. Ногина и Е. В. Сухинина [78]. Исследования М. Л. Гольдмана (см. [27-31]) и В. С. Гулиева (см. [181-187]) внесли существенный вклад в разработку методов работы с операторами типа потенциала Рисса. Прикладной аспект гиперболических уравнений с оператором Бесселя дробного порядка тесно связан с различными методами визуализации, которые представляют большой интерес в различных областях современных исследований, имеющих дело с изображениями в некоторых типах томографических экспериментов, в том числе оптоакустической томографии, термоакустической томографии, радиолокации и эхолокации (см. [191,208,209,225]).

Большой интерес представляют впервые рассмотренные в диссертации дифференциальные уравнения с дробными степенями оператора Бесселя вида (6). Исследование дробных степеней оператора Бесселя было начато в работах И. Г. Шпринхайзен-Купер [260] и А. Ц. Макбрайдом [211]. Академик Болгарской академии наук И. Димовски и В. Кирякова исследовали, в частности, гипер-бесселев оператор, который является одним из обобщений оператора Бесселя и его дробные степени (см. [170-172,198-201]). Так, например обобщение интегрального преобразования типа Пуассона, предложенное Димовский применяется к дифференциальным уравнениям Бесселя произвольного порядка. В качестве основы операционного исчисления для гипер-бесселевых дифференциальных операторов произвольного порядка было использовано одно из наиболее общих интегральных преобразований типа Лапласа, так называемое интегральное преобразование Обрешкова, впервые введенное и изученное Обрешковым в [216]. Уравнения с дробной степенью оператора Бесселя моделируют случайное блуждание частницы

(см. [179,180]). Дробно-дифференциальные уравнения, описывающие случайные блуждания в непрерывном времени рассмотрены в [58].

Общим методом решения перечисленных задач для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя является метод операторов преобразования. Ненулевой оператор T называется оператором преобразования для пары операторов (A,B), если выполняется соотношение TA = BT. Использование операторов преобразования позволяет получать формулы связи между решениями возмущенного и невозмущенного уравнений, в том числе, обобщать известные формулы, связанные со вторыми производными, на случай, когда вместо второй производной применяется оператор Бесселя. В работах [42-44, 95-98, 257-259] был развит композиционный метод построения операторов преобразования, который позволяет указать алгоритмы не только для получения новых операторов преобразования, но также и для построения дробных степеней любых подходящих операторов. Важным результатом применения схемы композиционного метода являются различные классы потенциалов, при помощи которых можно вводить и изучать дробные степени дифференциальных операторов, рассматривать дифференциальные уравнения дробного порядка, а также получать интегральные представления решений дифференциальных уравнений целого и дробных порядков.

Таким образом, тема диссертации «Метод композиционных интегральных преобразований для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и его дробными степенями» является актуальной для теории дифференциальных уравнений, динамических систем и оптимального управления.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Основной целью диссертационного исследования является создание и разработка методов решения сингулярных гиперболических уравнений с операторами Бесселя дробного и целого порядка. Особое внимание удляется обоснованию существования решения дифференциального гиперболического уравнения с операторами Бесселя дробного порядка в виде обобщенного потенциала и получению

априорных оценок для этого решения. Для достижения поставленной цели в диссертации были решены следующие задачи.

1. Ввести классы весовых обобщенных функций, порожденной неопределенной квадратичной формой, изучить производные таких функций, описать поведение функций в особых точках, найти их преобразование Ханкеля.

2. Применить результаты, полученные для весовых обобщенных функций, к построению фундаментального решения итерированного ультрагиперболического уравнения с оператором Бесселя, действующим по каждой из переменных.

3. Разработать методы решения смешанной задачи для уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу.

4. Найти решение дифференциального уравнения с оператором Бесселя гиперболического типа дробного порядка. Исследовать решение на ограниченность в весовых функциональных классах, найти аналитическое продолжение этого решения.

5. Выработать метод решения смешанных задач для общего неоднородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, с использованием гиперболических потенциалов, обобщающих потенциалы Рисса.

6. Исследовать дробные интегралы и производные Бесселя и сконструировать метод решениях дифференциальных уравнений с дробной производной Бесселя.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

В диссертации разработаны оригинальные методы решения дифференциальных уравнений с оператором Бесселя целого и дробного порядков. Основным методом получения новых объектов и инструментов исследования является композиционный метод или метод факторизации. Кроме того, в работе используются методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функций, теории специальных функций, теории операторов преобразования, теории

интегральных преобразований, теории дробного интегродифференцирования, интерполяционные методы, аппроксимативный метод регуляризации расходящихся интегралов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

Все результаты диссертации являются новыми и получены лично автором. На защиту выносятся утверждения, полученные лично автором. Перечислим главные из них.

1. Введены и изучены весовые обобщенные функции, порожденной неопределенной квадратичной формой.

2. Впервые построены и исследованы дробные степени гиперболического оператора, в котором по каждой из переменных действует оператор Бесселя.

3. Найдено решение дифференциального уравнения с оператором Бесселя гиперболического типа дробного порядка.

4. Построено аналитическое продолжение и получены оценки в весовых функциональных классах решения дифференциального уравнения с оператором Бесселя гиперболического типа дробного порядка.

5. Весовые обобщенные функции, порожденной неопределенной квадратичной формой применены к построению фундаментального решения итерированного ультрагиперболического уравнения с оператором Бесселя, действующим по каждой из переменных.

6. Представлен новый метод решения смешанной задачи для общего однородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, с использованием преобразования Ханке-ля и весовых обобщенных функций, порожденных неопределенной квадратичной формой.

7. Выработан оригинальный метод решения смешанных задач для общего неоднородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, с использованием гиперболи-

ческих потенциалов, обобщающих потенциалы Рисса.

8. Выполнено оригинальное исследование дробные интегралов и производных Бесселя и сконструирован метод решения дифференциальных уравнений с дробной производной Бесселя.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории уравнений в частных производных, теории интегродифференциальных уравнений, теории общего дробно-дифференциального интегрирования, теории вложения пространств, теории оптимального управления, в интегральной геометрии, в частности к обращению преобразования Радона на многообразиях. К практическим приложениям результатов диссертации относятся приложения к стохастическим методам изучения случайного блуждания частиц, приложения к задачам компьютерной томографии, приложения к обратным задачам и теории рассеяния, к задачам фильтрации, геофизики, трансзвуковой газодинамики и теоретической механики. Результаты диссертации будут полезны в научных исследованиях, проводимых в Российском университете дружбы народов, МГУ им. М. В. Ломоносова, Южном математическом институте Владикавказского научного центра РАН, исследовательском Мексиканском математическом центре Синвестав, Самарском, Казанском, Воронежском, Ферганском, Бакинском госуниверситетах, Южном федеральном университете, Белгородском государственном национальном исследовательском университете и других российских и зарубежных математических центрах.

СТЕПЕНЬ ДОСТОВЕРНОСТИ И АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на многих научных семинарах, в том числе

1. на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в Математическом инсти-

туте им. В. А. Стеклова РАН под руководством члена-корреспондента РАН О. В. Бесова (2018 г.);

2. на семинаре отдела математической физики Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН под руководством члена-корреспондента РАН И. В. Во-ловича (2018 г.);

3. на семинаре по математической физике им. В.И. Смирнова в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН под руководством профессора А. И. Назарова (2018 г.);

4. на семинаре по аналитической теории дифференциальных уравнений в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН под руководством профессора В. П. Лексина (2018 г.);

5. на семинаре "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" в РУДН под руководством профессора А. Л. Скубачевского (неоднократно, 2017, 2018 гг.);

6. на семинаре "Экстремальные задачи и нелинейный анализ" в РУДН под руководством профессора В. И. Буренкова и профессора А. В. Арутюнова (2018 г.);

7. на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством профессора И. В. Асташовой, профессора А. В. Боровских, профессора Н. X. Розова, профессора И. Н. Сергеева, (неоднократно, 2017, 2018 гг.) и др.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались более чем на 50 международных конференциях, за период с 2005 по 2018 годы, в том числе на

1. 7-м Европейском математическом конгрессе (Берлин, Германия, 2016 г.);

2. Международном научном семинаре AMADE (Analytic Methods of Analysis and Differential Equations) (Минск, Беларусь, 2015, 2018 гг.);

3. Международной конференции "Operator theory" (Timisoara, Romania, 2018 г.);

4. Международной конференции "Transform methods and special functions" (Sofia, Bulgaria, 2018 г.);

5. Международной конференции "Waves in Science and Engineering" (Кэрэтаро, Мексика, 2016 г.);

6. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Владимир, Россия, 2008, 2017 гг.);

7. Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (Владикавказ, Россия, 2015, 2017 гг.);

8. Международной конференции: "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (Ростов-на-Дону, Россия, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 гг.);

9. Восьмой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Россия, 2017 г.);

10. Международной научной конференции «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвященной памяти академика А. В. Бицадзе (Москва, Россия, 2016 г.);

11. Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, Россия, 2009 г.);

12. Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения А. М. Ляпунова (Харьков, Украина, 2007 г.);

13. Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной памяти И.Г. Петровского. (Москва, Россия, 2007 г.);

14. Международной научной конференции "Analysis and related topics" (Львов, Украина, 2005 г.);

15. Международной конференции "Современные методы и проблемы метемати-ческой гидродинамики - 2018" (Воронеж, Россия, 2018 г.);

16. Международной конференции, посвященной 90-летию В. А. Ильина (Москва, Россия, 2018 г.);

17. Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, Россия, 2018 г.);

18. Воронежской зимней математической школе (Воронеж, Россия, 2016 г.) и др.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

По теме диссертации опубликовано 30 статей в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК (см. [117—131, 229-243]), 23 из которых (или их переводы) опубликованы в изданиях, входящих в международные реферативные базы и системы цитирования Web of Science, Scopus, MathSciNet.

Научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Из совместных статей [118-123,126-128,130,131,230,232,234,236,237,242,243] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация изложена на 313 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 270 наименования. Каждая глава состоит из нескольких разделов; объемные разделы разделены на пункты. Принята своя нумерация разделов в каждой из глав.

В списке цитированной литературы в алфавитном порядке идут сначала работы на русском, а затем — на иностранных языках.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

В первой главе приведены необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем для решения сингулярных дифференциальных уравнений результаты, а также описан композиционный метод и представлены используемые далее операторы преобразования, построенные этим методом. В содержание первой главы входят сведения о специальных функциях, весовых пространствах, интегральных преобразованиях, а также в этой главе введено обобщение пространства Лизоркини Сим ко. описаны дробные производные и интегралы, построены операторы преобразования. Эта часть работы служит фундаментом для систематического изучения в последующих четырех главах весовых обобщенных функций; дробныех степеней гиперболического оператора, в котором по каждой из переменных действует оператор Бесселя; решения дифференциальных уравнений с оператором Бесселя гиперболического типа дробного и целого порядков; решения дифференциальных уравнений с дробной производной Бесселя.

Во второй главе изучены некоторые классы весовых обобщенных функций, связанных с неопределенной квадратичной формой, которые затем использованы для решения дифференциальных уравнений вида

где х = (х1,...,хп), хг > 0 г = 1,...,п, t > 0. Более конкретно, во второй главе определена весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса, для которой доказаны теоремы о представлении ее производных; определены весовые обобщенные функции, реализующие степени неопределенных квадратичных форм; рассмотрены их особые точки; найдены вычеты в этих особых точках; введен класс общих весовые обобщенные функции, прожденных неопределенной квадратичной формой, связанных в частных случаях с функциями Бесселя; найдены преобразования Ханкеля рассмотренных функций. Весовые обобщенные функции, порожденные индефинитной квадратичной формой, с весом, взятым по всем

и

переменным, а также более общие весовые обобщенные функции, порожденные функциями Бесселя являются основными составляющими компонентами при построении решения дифференциальных уравнений с оператором Бесселя гиперболического типа дробного и целого порядков, а также через них выражается фундаментальное решение ультрагиперболического дифференциального уравнения с операторами Бесселя, действующими по каждой из переменных.

Третья глава посвящена методу потенциалов Рисса решения дифференциальных уравнений дробного порядка вида

n \ а

(B7l)Xlu(x) = f(x), x = (xi,...,xn), Xi > 0, i = l,...,n, (8)

i=2

и

dt2

)xi ) u(x) = f (x), x = (xi, ...,Xn), Xi > 0, i = 1,...,n,t e R, (9)

i=l

где В7. — дифференциальный оператор Бесселя (1), 7« > 0 г = 1,..., п, а > 0. Для указанного решения доказаны априорная оценка в весовых пространствах, абсолютная сходимость, ограниченность и полугрупповые свойства, построено аналитическое продолжение^ также приведены примеры. Решение дифференциального уравнения (8) методом теории потенциала потребовало преодоления целого ряда трудностей и доказательства нескольких сложных в техническом отношении теорем. Основную трудность по сравнению с классическими дифференциальными уравнениями связаны с использованием более общих дифференциальных уравнений с операторами Бесселя, а также намного более сложно устроенного оператора обобщенного сдвига.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Шишкина Элина Леонидовна, 2019 год

Список использованной литературы

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. — М. : Наука, 1979. — 832 с.

2. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978. — 352 с.

3. Аксенов, А. В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу/ А. В. Аксенов// Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 6. — С. 787-794.

4. Березанский, Ю. М. Об операторе, порожденном ультрагиперболическим дифференциальным выражением / Ю. М. Березанский // Укр. матем. ж. — 1959.

- Т. И, № 3. - С. 315-321.

5. Благовещенский, А. С. О некоторых корректных задачах для ультрагиперболического и волнового уравнений с данными на характеристическом конусе / А. С. Благовещенский // ДАН СССР. - 1961. - Т. 140, № 5. - С. 990-993.

6. Благовещенский, А. С. О характеристической задаче для ультрагиперболического уравнения / А. С. Благовещенский // Матем. сб. — 1964. — Т. 63(105), л" 1. - С. 137-168.

7. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс, Ф. Джон, М. Шех-тер_ _ М_ . Мир5 19бб _ 352 с.

8. Берг, Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лефстрем.

- М. : Мир, 1980. - 264 с.

9. Бесов, О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М. : Наука, 1975.

10. Боровских, А. В. Формула распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды / А. В. Боровских // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, л'" 6. - С. 758-767.

11. Ватсон, Г. И. Теория Бесселевых функций. Часть первая / Г. И. Ватсон. — М. : ИЛ., 1949. - 798 с.

12. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров,

B. В. Жаринов. — М. : Физматлит, 2004. — 400 с.

13. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики. Учебник для физич. и механико-математ. спец. вузов / В. С. Владимиров. — М. : Наука, 1981. — 512 с.

14. Власов, В. 3. Избранные труды. Общая теория оболочек, т. 1 / В. 3. Власов. - М. : Наука, 1974. - 448 с.

15. Волк, В. Я. О формулах обращения для дифференциального уравнения с особенностью при х = 0 / В. Я. Волк // УМН. — 1953. — Т. 111, № 4(56). —

C. 141-151.

16. Волкодавов В. Ф. Краевые задачи для одной системы уравнений в жесткопла-стических средах. / В. Ф. Волкодавов, В. Л. Спицин, Ю. И. Федоров //В сб.: Дифференциальные уравнения (математическая физика). — Куйбышев, Пед. институт. — Т. 236. — 1980, с. 36-45.

17. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними: Учеб. пособие / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Гос. изд-во физико-мат. лит-ры, 1958. — 440 с.

18. Гельфанд, И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Обобщенные функции, выпуск 3 / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Гос. изд-во физико-мат. лит-ры, 1958. — 275 с.

19. Герасимов, А.Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения. Прикладная математика и механика, т. XII, 1948,с. 251-260

20. Глушак, А. В. Нелокальная задача для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / А. В. Глушак // Изв. вузов. Матем. — 2016. — № 6. — С. 27-35.

21. Глушак, А. В. Формулы связи между решениями абстрактных сингулярных дифференциальных уравнений / А. В. Глушак, Т. Г. Романченко // Научные Ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - 2016. - Т. 42, № 6(227). - С. 36-39.

22. Глушак, А. В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / А. В. Глушак // Матем. заметки. — 1996. — Т. 60, № 3. — С. 363-369.

23. Глушак, А. В. Обратная задача для абстрактного дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / А. В. Глушак, В. А. Попова // СМФН. — 2006. - Т. 15. - С. 126-141.

24. Глушак, А. В. Критерий разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / А. В. Глушак, О. А. Покручин // Дифф. уравн. - 2016. - Т. 52, № 1. - С. 41-59.

25. Глушак, А. В. Операторная функция Бесселя и связанные с нею полугруппы и моди- фицированное преобразование Гильберта / А. В. Глушак // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 128 - 130.

26. Глушак, А. В. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши / А. В. Глушак, В. И. Кононенко, С. Д. Шмулевич // Изв. вузов. Матем., 1986, № 6. С. 55-56.

27. Гольдман, М. Л. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов / М. Л. Гольдман // ДАН. - 2007. - Т. 414, № 2. - С. 159-164.

28. Гольдман, М. Л. Перестановочно-инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса / М. Л. Гольдман // ДАН. — 2008. — Т. 423, Л'° 1. С. 14-18.

29. Гольдман, М. Л. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов / М. Л. Гольдман // Тр. МИАН. - 2008. - Т. 260. - С. 151-163.

30. Гольдман, М. Л. Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса / М. Л. Гольдман // Тр. МИАН. — 2010. — Т. 269. — С. 91-111.

31. Гольдман, М. Л. Об оценке равномерного модуля непрерывности обобщенного потенциала Бесселя / М. Л. Гольдман, А. В. Малышева // Тр. МИАН. — 2013. - Т. 283. - С. 80-91.

32. Гольдман, М. Л. Обобщенные ядра дробного порядка / М. Л. Гольдман // Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7, № 12. — С. 2199-2210.

33. Гольдман, М. Л. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и Рисса / М. Л. Гольдман // Доклады РАН. - 2009. - Т. 428, № 3. - С. 305-309.

34. Гольдман, М. Л. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1 / М. Л. Гольдман, О. М. Гусельникова // Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика. — 2011. — № 3. — С. 4-16.

35. Денисов, В. Н. О стабилизации средних от решения задачи Коши для гиперболических уравнении в пространстве отрицательной кривизны/ В. Н. Денисов// Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 1. — С. 34-43.

36. Денисов, В. Н. О стабилизации средних по времени от разности решений задачи Коши для гиперболических уравнений / В. Н. Денисов// Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 1. - С. 47-62.

37. Житомирский, Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя / Я. И. Житомирский // Матем. сб. - 1955. - Т. 36(78), № 2. - С. 299-310.

38. Загорский, Г. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа / Г. Я. Загорский. — Львов : Изд-во Львовского ун-та, 1961. — 115 с.

39. Ильин, В. А. Ядра дробного порядка / В. А. Ильин // Матем.сб. — 1957. — Т. 41, № 4. - С. 459-480.

40. Йон, Ф. Плоские волны и сферичесие средние в применении к диференциаль-ным уравнениям с частными производными / Ф. Йон. — М. : ИЛ, 1958. — 158 с.

41. Каримов, Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для обобщенного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу.//Узбекский математический журнал. - 2013. № 3. -С. 57-69.

42. Катрахов, В. В. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений / В. В. Катрахов, С. М. Ситник // СМФН. _ 2018. - Т. 64, № 2. - С. 211-426.

43. Катрахов, В. В. Метод факторизации в теории операторов преобразования / В. В. Катрахов, С. М. Ситник //В сб.: «Мемориальный сборник памяти Бориса Алексеевича Бубнова: неклассические уравнения и уравнения смешанного типа». — 1990. — С. 104-122.

44. Катрахов, В. В. Композиционный метод построения В-эллиптических, B-параболических и B-гиперболических операторов преобразования / В. В. Катрахов, С. М. Ситник // Докл. РАН. - 1994. - Т. 337, № 3. - С. 307-311.

45. Катрахов, В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений / В. В. Катрахов // Мат. сб. — 1980. - Т. 112, № 3. - С. 354-379.

46. Келдыш, М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // Докл. АН СССР. — 1951. — Т. 77, № 1. - С. 181-183.

47. Килбас, А. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии / А. А. Килбас, О. А. Репин // Труды Института математики. Минск. — 2004. — Т. 12, № 2. — С. 75-81.

48. Киприянов, И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя / И. А. Киприянов // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 2. - С. 275-278.

49. Киприянов, И. А. Фундаментальные решения B-эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифф. уравн. — 1967. — Т. 3, № 1. — С. 114-129.

50. Киприянов, И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И. А. Киприянов // Дифф. уравн. — 1971. — Т. 7, № 11. — С. 2065-2077.

51. Киприянов, И. А. Фундаментальные решения для однородных В-гиперболических уравнений / И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // Сиб. мат. журн. - 1980. - Т. 21, № 4. - С. 95-102.

52. Киприянов, И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов. — М. : Наука-Физматлит, 1997. — 200 с.

53. Киприянов, И. А. Получение фундаментальных решений для однородных уравнений с особенностями по нескольким переменным / И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // АН СССР Сиб. отд. инст. мат. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. Труды семинара С.Л. Соболева. _ 1983. Д" 1. С. 55-77.

54. Киприянов, И. А. Потенциалы Рисса на пространствах Лоренца / И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // Матем. сб. — 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 465-474.

55. Киприянов, И. А. К теории потенциалов Рисса на пространствах Лоренца / И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // Тр. МИАН СССР. - 1987. - Т. 180. -С. 134-135.

56. Киприянов, И. А. О фундаментальном решении волнового уравнения с многими особенностями и о принципе Гюйгенса / И. А. Киприянов, Ю. В. Засорин // Дифф. уравн. - 1992. - Т. 28, № 3. - С. 452-462.

57. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1981. — 496 с.

58. Колокольцов, В. Н. Обобщенные случайные блуждания в непрерывном времени (CTRW), субординация временами достижения и дробная динамика / В. Н. Колокольцов// Теор. вер. и ее примен. — 2008 / — Т. 53, № 4. — С. 684-703.

59. Костомаров, Д. П. Задачи Коши для ультрагиперболических уравнений / Д. П. Костомаров. — М. : Наука, 2003. — 81 с.

60. Кочубей, А. Н. Диффузия дробного порядка // А. Н. Кочубей / Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 4. - С. 660-670.

61. Курант, Р. Уравнения математической физики. Т.2 / Р. Курант, Д. Гильберт. - М.-Л. : ГИТТЛ, 1945. - 620 с.

62. Ландау, Л.Д. Механика сплошных сред : Гидродинамика и теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. ; Л. : ОГИЗ : Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1944. — 624 с.

63. Левитан, Б. М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Усп. мат. наук. — 1951. — Т. 6, № 2. — С. 102-143.

64. Лизоркин, П. И. Поведение функций из лиувиллевских классов на бесконечности. О риссовых потенциалах произвольного порядка / П. И. Лизоркин // Тр. МИАН СССР. - 1979. - Т. 150. - С. 174-197.

65. Лизоркин, П. И. Неизотропные бесселевы потенциалы. Теоремы вложения для пространства Соболева Lp(ri,..., rn) с дробными производными / П. И. Лизоркин // Докл. АН СССР. - 1966. - Т. 170, № 3. - С. 508-511.

66. Лукьянов, В. В. Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельм гольца с помощью повторных потенциалов/ В. В. Лукьянов, А. И. Назаров Математические вопросы теории распространения волн. 27, Зап. научн. сем. ПОМИ, 250, ПОМИ, СПб. - 1998. - С. 203-218.

67. Ляхов, Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л. Н. Ляхов ДАН СССР. - 1990. - Т. 315, № 2. - С. 291-296.

68. Ляхов, Л. Н. Описание пространства В-потенциалов РиссаЦ^(^) с помощью В-производных порядка 2[а/2] / Л. Н. Ляхов // ДАН. — 1995. — Т. 341, № 2. - С. 161-165.

69. Ляхов, Л. Н. Пространства В-потенциалов Рисса / Л. Н. Ляхов // ДАН СССР. _ 1994. _ т. 334, № 3. - С. 278-280.

70. Ляхов, Л. Н. Обращение В-потенциалов / Л. Н. Ляхов // Докл. АН СССР. _ 1991. _ т. 321, № 3. - С. 466-469.

71. Ляхов, Л. Н. О символе интегрального оператора типа В-потенциала с однократной характеристикой / Л. Н. Ляхов // Докл. РАН. — 1996. — Т. 351, № 2.

- С. 164-168.

72. Ляхов, Л. Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя / Л. Н. Ляхов // Тр. МIIАН. Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 17. — 1997. — Т. 214.

- С. 234-249.

73. Матшчук, М. I. 11ирибол1чш та елштичш криГкнп зили'п з особливостями М. I. Матшчук. Б. м. : Чершвщ, 2003. — 248 с.

74. Матшчук, М. I. 11ирибол1чш сингулярш крииош зили'п / М. I. Матшчук. — Knin : In-г математики HAH Украши, 1999. — 176 с.

75. Муравник, А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи

Коши / А. Б. Муравник // Соврем, мат. Фундам. направл. — 2014. — Т. 52. _ с. 3-141.

76. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М. : Наука, 1977. — 480 с.

77. Ногин, В. А. Обращение некоторых потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае / В. А. Ногин, К. С. Шевченко // Изв. вузов. Матем. - 1999. - Т. 10, № 499. - С. 77-80.

78. Ногин, В. А. Обращение и описание гиперболических потенциалов с плотностями / В. А. Ногин, Е. В. Сухинин // Докл. РАН. — 1993. — Т. 329, № 5. - С. 550-552.

79. Ногин, В. А. Обращение и описание гиперболических потенциалов с плотностями / В. А. Ногин, Е. В. Сухинин // Депонирована в ВИНИТИ. Москва. - 1992. - № 2512-92. - С. 234-249.

80. Платонов, С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой / С. С. Платонов // Изв. РАН. Сер. Мат. — 2007. — Т. 71, № 5. - С. 149-196.

81. Платонов, С. С. Обобщённые сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближения функций в метрике Ь2. 1 / С. С. Платонов // Тр. ПетрГУ. Сер. Мат_ _ 2000. - Т. 7. - С. 70-82.

82. Платонов, С. С. Обобщённые сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближения функций в метрике 2 / С. С. Платонов // Тр. ПетрГУ. Сер. Мат_ _ 2001. - Т. 8. - С. 20-36.

83. Платонов, С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой / С. С. Платонов // Сиб. матем. журн. — 2009. - Т. 50, № 1. - С. 154-174.

84. Платонов, С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые обратные теоремы теории приближения функций на полупрямой / С. С. Платонов // Тр. ПетрГУ. Сер. Мат. - 2007. - Т. 14. - С. 44-57.

85. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М. : Наука, 1981. — 800 с.

86. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М. : Наука, 1983. — 752 с.

87. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М. : Наука, 2003. - 688 с.

88. Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О. А. Репин. — Саратов : Изд-во Саратовского университета, 1992. — 164 с.

89. Риман, Б. Сочинения / Б. Риман. — М.-Л. : ОГИЗ, 1948. — 543 с.

90. Самко, С. Г. Гиперсингулярньте интегралы и их приложения / С. Г. Сам-ко Ростов. Изд-во Рост, ун-та, 1983. — 208 с.

91. Самко, С. Г. О плотности в Ьр(Яп) пространств Фу типа Лизоркина / С. Г. Самко // Матем. заметки. - 1982. - Т. 31, № 6. - С. 855-865.

92. Самко, С. Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве, и о делении на функции / С. Г. Самко // Матем. заметки. — 1977. — Т. 21, № 5. - С. 677-689.

93. Самко, С. Г. О плотности пространств Фу типа Лизоркина в пространствах Рр(Яп) со смешанной нормой / С. Г. Самко // Докл. РАН. — 1991. — Т. 319, № 3. - С. 567-569.

94. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск : Наука и техника, 1987. — 687 с.

95. Ситник, С. М. Унитарность и ограниченность операторов Бупшини Эрдеии нулевого порядка гладкости / С. М. Ситник // Препринт Ин-та автоматики и процессов управл. ДВО РАН. — 1990.

96. Ситник, С. М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бупшини Эрдеии / С. М. Ситник // Докл. АН СССР. — 1991, _ т. 320, № 6. - С. 1326-1330.

97. Ситник, С. М. Обзор основных свойств операторов преобразования Бупшини Эрдейи / С. М. Ситник // Челябинский физико-математический журнал. — 2016. - Т. 1, № 4. - С. 63-93.

98. Ситник, С. М. Применение операторов преобразования Бупшини Эрдеии и их обобщений в теории дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах : дис. ... докт. физ.-мат. наук : 01.01.02 / С. М. Ситник. — Воронеж : - 2016. - 360 с.

99. Ситник, С. М. О явных реализациях дробных степеней дифференциального оператора Бесселя и их приложениях к дифференциальным уравнениям / С. М. Ситник // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии ни.ук. - 2010. - Т. 12, № 2. - С. 69-75.

100. Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. I / А. Л. Скубачев-ский // Соврем, мат. Фундам. направл. — 2007. — Т. 26. — С. 3-132.

101. Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. II / А. Л. Скубачевский // Соврем, мат. Фундам. направл. - 2009. - Т. 33. - С. 3-179.

102. Смирнов, М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. — Минск : Вышэйш. школа, 1997. — 160 с.

103. Соколовский, В. В. Статика сыпучей среды. Изд. 3-е перераб. и доп. / В. В. Соколовский. — М. : Физ.-мат. лит., 1960. — 242 с.

104. Солдатов, А. П., Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / А. П. Солдатов. — М. : Высшая школа, 1991. — 206 с.

105. Солдатов, А. П., Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I / А. П. Солдатов // СМФН. — 2017. — Т. 63, № 1. — С. 1 189.

106. Станюкович, К. П. Теория неустановившихся движений газа / К. П. Станюкович. — М. : изд-во Бюро новой техники, 1948. — 164 с.

107. Сташевская, В. В. Метод операторов преобразования / В. В. Сташевская // ДАН СССР. - 1953. - Т. ИЗ, № 3. - С. 409-412.

108. Сташевская, В. В. Об обратной задаче спектрального анализа для дифференциального оператора с особенностью в нуле / В. В. Сташевская // Уч. зап. Харьков, мат. об-ва. — 1957. — № 5. — С. 49-86.

109. Стеин. И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. - М. : Мир, 1973. - 342 с.

110. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. — М. : Мир, 1974.

111. Терсенов, С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе / С. А. Терсенов. — Новосибирск : НГУ, 1973. — 143 с.

112. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. 1. Теория распределений / Л. Хермандер. — М. : Наука, 1986. _ 482 с.

113. Чаплыгин, С. А. О газовых струях. Собрание соч., т. 2 / С. А. Чаплыгин // _ _ • Гостехиздат, 1948. — 644 с.

114. Чер, Хе Кан О явных формулах решения задач Дарбу и Кош и Гурси для вырождающегося гиперболического уравнения / Хе Кан Чер // Сиб. матем. жури. - 1999. - Т. 40, № 3. - С. 710-717.

115. Чер, Хе Кан Смешанная задача для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в исключительном случае / Хе Кан Чер // Матем. заметки. _ lose. - Т. 40, № 1. - С. 87-92.

116. Чернышев, Г. Л. О задаче Коши с сингулярным гиперболическим оператором : автореф. дне. ... канд. физ.-мат.наук : 01.01.02 / Г. Л. Чернышев. — Воронеж: ВГУ : б. и. , 1973. — 11 с.

117. Шишкина, Э. Л. Обобщенная весовая функцияrY / Э. Л. Шишкина // Вестн. ВГУ. Сер. Физ. Мат. - 2006. - No 1. - С. 215-221.

118. Шишкина, Э. Л. Обобщенные B-потенциалы Рисса смешанного типа / Э. Л. Шишкина, Л. Н. Ляхов // ДАН. - 2006. - Т. 406, No 3. - С. 303-307.

119. Шишкина, Э. Л. Общие В-гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой / Э. Л. Шишкина, Л. Н. Ляхов // ДАН. — 2007. — Т. 412, No 2. — С. 162-166.

120. Шишкина, Э. Л. Обращение общих В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствах / Э. Л. Шишкина, Л. Н. Ляхов // ДАН. _ 2009. - Т. 426, No 4. - С. 443-447.

121. Шишкина, Э. Л. Об одной задаче И. А. Киприянова для сингулярного ультрагиперболического уравнения / Э. Л. Шишкина, Л. Н. Ляхов, И. П. Поло-винкин // Дифференц. уравнения. — 2014. — Т. 50, No 4. — С. 516-528.

122. Шишкина, Э. Л. Формулы решения задачи Коши для сингулярного волнового уравнения с оператором Бесселя по времени / Э. Л. Шишкина, Л. Н. Ляхов, И. П. Половинкин // ДАН. - 2014. - Т. 459, No 5. - С. 533-538.

123. Шишкина, Э. Л. Решение общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, содержащее оператор Бесселя по всем переменным / Э. Л. Шишкина, О. П. Барабаш

// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, _ 2016. - Т. 21, N0 6. - С. 2146-2151.

124. Шишкина, Э. Л. Интегральное представление ядра оператора, аппроксимирующего обратный оператор для гиперболического В-потенциала Рисса / Э. Л. Шишкина // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2016. — Т. 21, N0 2. — С. 450-458.

125. Шишкина, Э. Л. О свойствах одного усредняющего ядра в весовом классе Лебега / Э. Л. Шишкина // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. — 2016. — Т. 42, 6(227). — С. 12-19.

126. Шишкина, Э. Л. Об одном тождестве для итерированного весового сферического среднего и его приложениях / Э. Л. Шишкина, С. М. Ситник // Сибирские электронные математические известия. — 2016. — Т. 13. — С. 849-860.

127. Шишкина, Э. Л. Об обобщении биноминальной теоремы, возникающем в теории дифференциальных уравнений / Э. Л. Шишкина, Д. С. Дончев, С. М. Ситник // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. — 2017. — Т. 49, 27(276). — С. 19-25.

128. Шишкина, Э. Л. Об уточнениях неоклассического неравенства и его приложениях в теории стохастических дифференциальных уравнений и броуновского движения / Э. Л. Шишкина, Д. С. Дончев, С. М. Ситник // Челябинск, физ.-мат. ж. - 2017. - Т. 2, N0 3. - С. 257-265.

129. Шишкина, Э. Л. Весовые обобщенные функции, отвечающие квадратичной форме с комплексными коэффициентами / Э. Л. Шишкина // Челябинск, физ.-мат. ж. - 2017. - Т. 2, N0 1. - С. 88-98.

130. Шишкина, Э. Л. О дробных степенях оператора Бесселя на полуоси / Э. Л. Шишкина, С. М. Ситник // Сибирские электронные математические известия. — 2018. — Т. 15. — С. 1-10.

131. Шишкина, Э. Л. О представлении в виде ряда интегральных ядер операторов преобразования для возмущенных уравнений Бесселя/ В. В. Кравченко, Э. Л. Шишкина, С. М. Торба // Матем. заметки. — 2018. — Т. 104, № 4. — С. 552-570.

132. Шишкина, Э. Л. Применение преобразования Киприянова-Радона к вычислению некоторых весовых криволинейных интегралов / Э. Л. Шишкина // Международная конференция Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященная столетию академика С. М. Никольского: Тезисы докладов. Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. - 2005. - С. 248.

133. Шишкина, Э. Л. Представление некоторых весовых сферических интегралов / Э. Л. Шишкина // Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения»: Тезисы докладов. Махачкала: ДГУ. - 2005. - С. 173-175.

134. Шишкина, Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя обобщенной весовой функции rA / Э. Л. Шишкина // Международная научная конференция «Analysis and related topics»: Тезисы докладов. Львов. — 2005. — С. 98.

135. Шишкина, Э. Л. Сингулярные дифференциальные многочлены и общие В-гиперсингулярные интегралы / Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, ВлГУ. — 2006. — С. 229-230.

136. Шишкина, Э. Л. Теорема об ограниченности смешанных потенцалов Рисса-Киприянова в допредельной области / Э. Л. Шишкина // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов. Москва. МГУ. - 2007. - С. 294.

137. Шишкина, Э. Л. Общие В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Э. Л. Шишкина, Л. Н. Ляхов // Тезисы докладов

международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, ВлГУ. — 2008. — С. 168-170.

138. Шишкина, Э. Л. Интегральное представление усеченных общих В-гиперсингулярных интегралов / Э. Л. Шишкина // материалы международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего, Москва. - 2009. - С. 58.

139. Шишкина, Э. Л. Обращение общих В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых классах Лебега / Э. Л. Шишкина, Л. И. Ляхов // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, ВлГУ. — 2010. — С. 121-122.

140. Шишкина, Э. Л. Дробные степени сингулярных дифференциальных операторов и их применение к исследованию потенциалов / Э. Л. Шишкина // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики» посвященный 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. Часть II: тез. докл. Якутск. — 2010. — С. 67-69.

141. Шишкина, Э. Л. Оценка двойного интеграла с обобщенным сдвигом / Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, ВлГУ. — 2012. - С. 181-182.

142. Шишкина, Э. Л. Равенство для интерированных весовых сферических средних, порожденных обобщенным сдвигом / Э. Л. Шишкина // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2013. Материалы научной конференции. — 2013. - С. 143-145.

143. Шишкина, Э. Л. Функционалы, сосредоточенные на части конуса, действующие в весовых функциональных классах / Э. Л. Шишкина // Некоторые

актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2014. Материалы научной конференции. — 2014.

- С. 146-151.

144. Шишкина, Э. Л. Весовое сферическое среднее как решение дифференциального уравнения / Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов международной научной конференции Современные методы и проблемы теории операторов и гармони-ческкого анализа и их приложения - IV. — 2014. — С. 122.

145. Шишкина, Э. Л. Две теоремы о весовых сферических средних / Э. Л. Шишкина //В книге: Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование тезисы докладов международной научной конференции. Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания. — 2014.

- С. 159-160.

146. Шишкина, Э. Л. Весовые обобщенные функции и фундаментальное решение В-ультрагиперболического уравнения / Э. Л. Шишкина // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2015. Материалы научной конференции. — 2015.

- С. 125-128.

147. Шишкина, Э. Л. Ограниченность В-гиперболического потенциала / Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов международной научной конференции Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - V. — 2015. — С. 147-148.

148. Шишкина, Э. Л. Ограниченность обобщенных В-гиперболических потенциалов / Э. Л. Шишкина // Материалы Шестого Международного математического научно-образовательного форума Владикавказ-Цей. — 2015. — С. 173174.

149. Шишкина, Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя специального усредняющего ядра / Э. Л. Шишкина // Воронежская зимняя математическая школа С. Г.

Крейна - 2016. Материалы международной конференции. — 2016. — С. 440 443.

150. Шишкина, Э. Л. Весовые однородные распределения / Э. Л. Шишкина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной научно-технической конференции. — 2016. — С. 4750.

151. Шишкина, Э. Л. Обобщенная функция отвечающая квадратичной форме / Э. Л. Шишкина // Математический форум (Итоги науки. Юг России). _ т. 10. - 2016. - С. 88-102.

152. Шишкина, Э. Л. Дробные степени оператора Бесселя на полуоси и их свойства / Э. Л. Шишкина, С. М. Ситник // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции. Российский педагогический университет им. А. И. Герцена. _ 2017. - С. 144-150.

153. Шишкина, Э. Л. Решение сингулярной задачи коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / Э. Л. Шишкина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной научно-технической конференции. — 2017. — С. 149-155.

154. Шишкина, Э. Л. Гиперболические B-потенциалы Рисса / Э. Л. Шишкина Современные методы и проблемы метематической гидродинамики - 2018. Материалы международной научной конференции. — 2018. — С. 217-228.

155. Asgeirsson, L. Uber eine Mittelwertseigenschaft von Losungen homogener linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten L. Asgeirsson // Math. Ann. - 1937. - P. 321-346.

156. Baker, B. B. The Mathematical Theory of Huygens' Principle / B. B. Baker, E. T. Copson. — New York : Oxford University Press, 1939. — 160 p.

157. Bessel, F. W. Untersuchung des Teils der planetarischen St orungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht / F. W. Bessel // Abhandlungen der Berliner Akademie (1824). - 1826. - P. 1-52.

158. Bhuta, P. G. (1963). Symmetrie Planar Vibrations of a Rotating Disk/ P. G. Bhuta, J. P. Jones // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1963.

- Vol. 35, no. 7. - P. 982-989.

159. Bresters, D. W. On the equation of Euler-Poisson-Darboux / D. W. Bresters // SIAM J. Math. Anal. - 1973. - Vol. 4, no. 1. - P. 31-41.

160. Bresters, D. W On a Generalized Euler-Poisson-Darboux Equation /

D. W Bresters // SIAM J. Math. Anal. - 1978. - Vol. 9, no. 5. - P. 924-934.

161. Campos, H. Transmutations L-bases and complete families of solutions of the stationary Schrödinger equation in the plane / H. Campos, Kravchenko V. V., Torba S.M. //J. Math. Anal. Appl. - 2012. - Vol. 389, no. 2. - P. 1222-1238.

162. Carroll, R. W. Singular and degenerate Cauchy problems / R. W. Carroll, R. E. Showalter. — N.Y. : Academic Press, 1976. — 333 p.

163. Carroll, R. W. Transmutation and operator differential equations / R. W. Carroll.

— Amsterdam^New York^Oxford : North Holland, 1979. — 258 p.

164. Castillo-Pérez, R. Spectral parameter power series for perturbed Bessel equations / R. Castillo-Pérez, V. V. Kravchenko, S. M. Torba // Appl. Math. Comput. — 2013. - Vol. 220. - P. 676-694.

165. Copson, E. T. Partial differential equations / E. T. Copson // Cambridge Univ. Press. - 1975. - 280 p.

166. Copson, E. T. Some applications of Marcel Riesz's integrals of fractional order /

E. T. Copson // Pro Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. - 1943. - Vol. 61. - P. 260-272.

167. Craig, W. On determinism and well-posedness in multiple time dimensions / W. Craig, S. Weinstein // Proc. R. Soc. - 2008. - Vol. 465, no. 2110. - P. 30233046.

168. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. Vol. 2. / G. Darboux. — Paris : Gauthier-Villars, 1915. - 579 p.

169. Delsarte, J. Sur une extension de la formule de Taylor / J. Delsarte // J. Math. Pures Appl. - 1938. - Vol. 17. - P. 217-230.

170. Dimovski, I. Foundations of operational calculi for the Bessel-type differential operators / I. Dimovski // Serdica Bulgarian Mathematics Publications. — 1975. _ Vol. 1. - P. 51-63.

171. Dimovski, I. Transmutations convolutions and fractional powers of Bessel-type operators via Meijer's G-function / I. Dimovski, V. Kiryakova //In Pro Complex Anal. Appls., Varna. - 1983. - P. 45-66.

172. Dimovski, I. The Obrechkoff integral transform: properties and relation to a generalized fractional calculus / I. Dimovski, V. Kiryakova // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 2007. — Vol. 21, no. 1-2. — P. 121-144.

173. Dettman, J. W. Analysis of the abstract Euler-Poisson-Darboux equation using transmutation operators / J. W. Dettmana // Math. Chronicle. — 1985. — Vol. 14. _ p. 21-38.

174. Elouadih, S. Generalization of Titchmarsh's Theorem for the Dunkl Transform in the Space (x)dx) / S. Elouadih, R. Daher // International Journal of Mathematical Modelling k Computations. - 2016. - Vol. 6, no. 4. - P. 261-267.

175. Erdelyi, A. Transformation of hypergeometric integrals by means of fractional integration by parts / A. Erdelyi // Quart. J. Math. Oxford. — 1939. — Vol. 10. - P. 176-189.

176. Euler, L. Institutiones calculi integralis / L. Euler // Opera Omnia. — 1914. — Vol. 1, no. 13. - P. 212-230.

177. Exton, H. On the system of partial differential equations associated with Appell's function F4 / H. Exton // J. Phys. A: Math. Gen. - 1995. - Vol. 28. - P. 631-641.

178. Fox, D. N. The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem / D. N. Fox // J. Math. Mech. - 1959. - Vol. 8. - P. 197-219.

179. Garra, R. Random flights related to the Euler-Poisson-Darboux equation / R. Garra, E. Orsingher // Markov processes and related fields. — 2016. — Vol. 22. - P. 87-110.

180. Garra, R. Fractional Klein-Gordon Equations and Related Stochastic Processes / R. Garra, E. Orsingher, F. Polito // Journal of Statistical Physics. — 2014. — Vol. 155. - P. 777-809.

181. Guliev, V. S. Sobolev theorems for B-Riesz potentials / V. S. Guliev // Dokl. RAN. - 1998. - Vol. 358, no. 4. - P. 450-451.

182. Guliev, V. S. Some properties of the anisotropic Riesz-Bessel potential / V. S. Guliev // Analysis Mathematica. - 2000. - Vol. 26, no. 2. - P. 20.

183. Gadjiev, A. D. The Stein-Weiss type inequalities for the B-Riesz potentials / A. D. Gadjiev, V. S. Guliyev, A. Serbetci, E. V Guliyev //J. Math. Inequal. — 2011. - Vol. 5, no. 1. - P. 87-106.

184. Guliev, V. S. Weighted inequality for fractional maximal functions and fractional integrals, associated with the Laplace-Bessel differential operator / V. S. Guliev // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. — 2006. — Vol. 26, no. 1. _ p. 7i^8o.

185. Guliev, V. S. Sobolev-Morrey type inequality for Riesz potentials, associated with the Laplace-Bessel differential operator / V. S. Guliev, J. J. Hasanov // Fract. Cal Appl. Anal. - 2006. - Vol. 9, no. 1. - P. 17-32.

186. Guliev, V. S. On maximal function on the Laguerre hypergroup / V. S. Guliev, A. Miloud // Fract. Cal. Appl. Anal. - 2006. - Vol. 9, no. 3. - P. 1-12.

187. Guliev, V. S. On maximal function and fractional integral, associated with the Bessel differential operator / V. S. Guliev // Math. Inequal. Appl. — 2003. — Vol. 6, no. 2. - P. 317-330.

188. Guliev, V. S. Nikol'skii-Besov and Lizorkin-Triebel spaces constructed on the base of the multidimensional Fourier-Bessel transform / V. S. Guliev, A. Serbetci, A. Akbulut, Y. Y. Mammadov // Eurasian Math. J. - 2011. - Vol. 2, no. 3. -P. 42-66.

189. Hamma, M. E. Estimate of K-functionals and modulus of smoothness constructed by generalized spherical mean operator / M. E. Hamma, R. Daher // Pro Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). - 2014. - Vol. 124, no. 2. - P. 235-242.

190. Hauser I. Initial value problem for colliding gravitational plane wave/ I. Hauser, F. J. Ernst //J. Math. Phys. - 1989. - Vol. 30, no. 4. - P. 872-887.

191. Helgason, S. Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions / S. Helgason. — S. 1. : American Mathematical So, 1984. - 654 p.

192. Hormander, L. The analysis of linear partial differential operators I / L. Hormander. — Berlin : Springer Verlag, 1983. — 391 p.

193. John, A. The Ultrahyperbolic Differential Equation with Four Independent Variables / A. John // Duke Math. J. - 1938. - Vol. 4, no. 2. - P. 300-322.

194. Karimov, S. T. Multidimensional generalized Erdelyi^Kober operator and its application to solving Cauchy problems for differential equations with singular coefficients / S. T. Karimov // Fract. Cal. Appl. Anal. — 2015. — Vol. 18, no. 4. - P. 845-861.

195. Karimov, S. T. On Some Generalizations of Properties of the Lowndes Operator and their Applications to Partial Differential Equations of High Order / S. T. Karimov // Filomat. - 2018. - Vol. 32, no. 3. - P. 873-883.

196. Karoui, I. On the Bessel-Wright harmonic analysis : Ph.D. thesis / I. Karoui ; Universit'e de Carthage. — S. 1. : s. n. , 2017. — 68 p.

197. Kilbas, A. A. Theory and applications of fractional differential equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 800 p.

198. Kiryakova, V. Applications of the generalized Poisson transformation for solving hyper-Bessel differential equations / V. Kiryakova // Godishnik VUZ. Appl. Math. _ 1986. _ Vol. 22, no. 4. - P. 129-140.

199. Kiryakova, V. Generalized fractional calculus and applications / V. Kiryakova. — Harlow : Longman, 1994. — 360 p.

200. Kiryakova, V. Transmutation method for solving hyper-Bessel differential equations based on the Poisson-Dimovski transformation / V. Kiryakova // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2008. — Vol. 11, no. 3. — P. 299316.

201. Kiryakova, V. Explicit Solutions to Hyper-Bessel Integral Equations of Second Kind / V. Kiryakova, B. Al-Saqabi // Computers and Mathematics with Applications. - 1999. - Vol. 37. - P. 75-86.

202. Kravchenko, V. V. Transmutations for Darboux transformed operators with applications / V. V. Kravchenko, S. M. Torba // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2012. - Vol. 45, no. 7. - P. 21.

203. Kravchenko, V. V. Construction of transmutation operators and hyperbolic pseudoanalytic functions / V. V. Kravchenko, S. M. Torba // Complex Analysis and Operator Theory. - 2015. - Vol. 9, no. 2. - P. 379-429.

204. Kravchenko, V. V. Analytic approximation of transmutation operators and applications to highly accurate solution of spectral problems / V. V. Kravchenko, S. M. Torba // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2015. — Vol. 275. - P. 1-26.

205. Kravchenko, V. V. Representation of solutions to the one-dimensional Schrödinger equation in terms of Neumann series of Bessel functions / V. V. Kravchenko,

L. J. Navarro, S. M. Torba // Applied Mathematics and Computation. — 2017. — Vol. 314, no. 1. - P. 173-192.

206. Kravchenko, V. V. Construction of a transmutation for the one-dimensional Schrôdinger operator and a representation for solutions / V. V. Kravchenko // Applied Mathematics and Computation. — 2018. — Vol. 328. — P. 75-81.

207. Kravchenko, V. V. A Neumann series of Bessel functions representation for solutions of perturbed Bessel equations / V. V. Kravchenko, S. M. Torba, R. Castillo-Pérez // Applicable Analysis. - 2018. - Vol. 97, no. 5. - P. 677-704.

208. Kuchment, P. The Radon Transform and Medical Imaging / P. Kuchment // Philadelphia: SIAM, 2014. - 233 p.

209. Kuchment, P. Generalized Transforms of Radon Type and Their Applications / P. Kuchment // in G. Olafsson and E. T. Quinto (Editors), The Radon Transform, Inverse Problems, and Tomography, Proc. Symp. Appl. Math. v. 63, AMS, Providence, RI 2006, pp.67 - 91.

210. Lions, J. L. Equations différentielles opérationnelles et problèmes aux limites / J. L. Lions // — Springer, 1961. — 292 p.

211. McBride, A. C. Fractional Powers of a Class of Ordinary Differential Operators / A. C. McBride // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1982. — Vol. 3, no. 45. - P. 519-546.

212. Muravnik, A. B. Fourier^Bessel transformation of measures and singular differential operators / A. B. Muravnik // Paul Erdôs and his mathematics».

- Budapest: J'anos Bolyai Math. Soc. - 1999. - P. 182-184.

213. Muravnik, A. B. On weighted norm estimates for the mixed Fourier^Bessel transforms on non-negative functions / A. B. Muravnik // Integral methods in science and engineering: Analytic methods. Harlow: Longman. — 1997. — Vol. 1.

- P. 119-123.

214. Muravnik, A. B. Fourier-Bessel Transformation of measures with several special variables and properties of singular differential equations / A. B. Muravnik //J. Korean Math. Soc. - 2000. - Vol. 37, No 6. - P. 1043-1057.

215. Nikolayev, D. I. Characteristics of the ultrahyperbolic differential equation governing pole density functions / D. I. Nikolayev, H. Schaeben // Inverse Problems. - 1999. - Vol. 15. - P. 1603-1619.

216. Obrechkoff, N. On certain integral representation of real functions on the real semi-axis / N. Obrechkoff // Izvestia Mat. Inst. Sofia. — 1958. — Vol. 3. — P. 228.

217. Ortigueira, M. D. Fractional Calculus for Scientists and Engineers / M. D. Ortigueira. — Netherlands : Springer. Series: Lecture Notes in Electrical Engineering, 84, 2011. — 154 p.

218. Owens, O. G. Uniqueness of solutions of ultrahyperbolic partial differential equations / O. G. Owens // Amer. J. Math. - 1947. - Vol. 69, no. 1. - P. 184-188.

219. Owens, O. G. An ultrahyperbolic equation with an integral condition / O. G. Owens // American Journal of Mathematics. — 1960. — Vol. 82, no. 4. - P. 799-811.

220. Pick, L. Function Spaces, vol. 1 / L. Pick, A. Kufner , O. John, and S. Fucik. — De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications 14, Berlin, 2nd edition, 2013. - 479 p.

221. Poisson, S. D. Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différences partielles / S. D. Poisson // Journal de l'École Royale Polytechnique. Ser. 1. — 1823. - Vol. 19, no. 12. - P. 215-248.

222. Radzikowski, J. On the uniqueness of the limit problem for the ultrahyperbolic equation / J. Radzikowski // Bull. Acad, polon. sci. ser. sci. math., astr., phys. — I960. _ Vol. 8, no. 4. - P. 203-207.

223. Riesz, M. Intégrale de Riemann-Liouville et solution invariantive du problème de Cauchy pour l'équation de sondes / M. Riesz // Comptes Rendus du Congres International des Mathématiciens. — 1936. — Vol. 2. — P. 44-45.

224. Riesz, M. L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy / M. Riesz // Acta Math. - 1949. - Vol. 81, no. 1-2. - P. 1-223.

225. Rubin, B. Fractional Integrals and Potentials / B. Rubin. — 1996. — 424 p.

226. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ. — 1977. — Vol. 11, no. 2. — P. 135-143.

227. Schwartz, L. Theorie des distributions / L. Schwartz. — Paris : Hermann, 1966. _ 794 p.

228. Schwartz, L. Theorie des Distributiones. Tome I / L. Schwartz. — Paris : Hermann, 1950. - 427 p.

229. Shishkina, E. L. Inversion of integral of B-potential type with density from / E. L. Shishkina // J. Math. Sci. - 2009. - Vol. 160, no. 1. - P. 95-102.

230. Shishkina, E. L. Weighted mixed spherical means and singular ultrahyperbolic equation / E. L. Shishkina, L. N. Lyakhov // Analysis (Germany). — 2016. — Vol. 36, no. 2. - P. 65-70.

231. Shishkina, E. L. On weighted generalized functions associated with quadratic forms / E. L. Shishkina // Probl. Anal. Issues Anal. — 2016. — Vol. 5(23), no. 2. - P. 52-68.

232. Shishkina, E. L. Accompanying Distributions of Singular Differential Operators / E. L. Shishkina, L. N. Lyakhov, M. V. Polovinkina // Journal of Mathematical Sciences. - 2016. - Vol. 219, no. 2. - P. 184-189.

233. Shishkina, E. L. On the boundedness of hyperbolic Riesz B-potential / E. L. Shishkina // Lith. Math. J. - 2016. - Vol. 56, no. 4. - P. 540-551.

234. Shishkina, E. L. On fractional powers of Bessel operators / E. L. Shishkina, S. M. Sitnik // J. Inequal. Spec. Funct. - 2017. - Vol. 8, no. 1. - P. 49-67.

235. Shishkina, E. L. Inversion of the mixed Riesz hyperbolic B-potentials / E. L. Shishkina // International Journal of Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 30, no. 6. - P. 487-500.

236. Shishkina, E. L. General form of the Euler-Poisson-Darboux equation and application of the transmutation method / E. L. Shishkina, S. M. Sitnik // Electron. J. Differ. Equ. - 2017. - Vol. 2017, no. 177. - P. 1-20.

237. Shishkina, E. L. Applications of integral transforms composition method to wave-type singular differential equations and index shift transmutations / E. L. Shishkina, A. Fitouhi, I. Jebabli and S. M. Sitnik // Electron. J. Differ. Equ_ _ 2018. - Vol. 2018, no. 130. - P. 1-27.

238. Shishkina, E. L. Generalized Euler-Poisson-Darboux equation and singular Klein^Gordon equation / E. L. Shishkina //J. Phys. Conf. Ser. — 2018. — Vol. 973. - P. 1-21.

239. Shishkina, E. L. Solution of the singular Cauchy problem for a general inhomogeneous Euler-Poisson-Darboux equation / E. L. Shishkina // Carpathian Journal of Mathematics. - 2018. - Vol. 2. - P. 255-267.

240. Shishkina, E. L. Singular Cauchy problem for the general Euler-Poisson-Darboux equation / E. L. Shishkina // Open Mathematics. — 2018. — Vol. 16. — P. 23-31.

241. Shishkina, E. L. Properties of Mixed Hyperbolic B-Potential / E. L. Shishkina // Progress in Fractional Differentiation and Applications. — 2018. — Vol. 4, no. 2. — P. 83-98.

242. Shishkina, E. L. Singular Cauchy problem for generalized homogeneous Euler-Poisson-Darboux equation / E. L. Shishkina, M. Karabacak // Математические заметки СВФУ. - 2018. - Т. 25, No 2. - С. 85-96.

243. Shishkina, E. L. Method of Riesz potentials applied to solution to nonhomogeneous singular wave equation / E. L. Shishkina, S. Abbas // Математические заметки С В ФУ. - 2018. - Т. 25, No 3. - С. 68-91.

244. Shishkina, Е. L. The Fourier-Bessel transform of the radial function / E. L. Shishkina // International Conference on the occasion of the 150th birthday of A. M. Lyapunov, book of abstracts. Kharkiv. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU. — 2007. — P. 151.

245. Shishkina, E. L. Presentation of Singular Deferential Operators in Partial Derivatives by General B-Hypersingular Integrals with Homogeneous Characteristic / E. L. Shishkina // "New Trends and Directions in Harmonic Analysis, Approximation Theory, and Image Analysis", book of abstracts, Inzell, Germany. _ 2007. - P. 26-27.

246. Shishkina, E. L. The fundamental identity for iterated weighted spherical mean / E. L. Shishkina // Тезисы докладов международной научной конференции Современные методы и проблемы теории операторов и гармоническкого анализа и их приложения - VI. — 2016. — С. 123-124.

247. Shishkina, Е. L. The refined Asgeirsson's weithed mean value theorem for the singular ultrahyperbolic equation / E. L. Shishkina, L. N. Lyakhov, I. P. Polovinkin // Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных. Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной памяти академика А. В. Бицадзе. — 2016. — С. 121.

248. Shishkina, Е. L. Boundedness of Riezs B-potential operators with hyperbolic distance / E. L. Shishkina // 7th European Congress of Mathematics. Technische Universität Berlin Book of Abstracts. — 2016. — P. 396.

249. Shishkina, E. L. B-potential operators with hyperbolic distance / E. L. Shishkina // International Conference Waves in Science and Engineering. Book of Abstracts. - 2016. - P. 40.

250. Shishkina, E. L. Cauchy problem for the generalized Euler-Poisson-Darboux equation / E. L. Shishkina, V. V. Kravchenko, Torba S. M. // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции. Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук. _ 2017. - С. 114-115.

251. Shishkina, Е. L. Singular solution of the general Euler-Poisson-Darboux equation / E. L. Shishkina // Восьмая международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям Тезисы докладов Международного семинара. — 2017. — С. 165-166.

252. Shishkina, Е. L. Boundedness of potential operators with hyperbolic distance / E. L. Shishkina // Тезисы докладов 8-го международного научного семинара. Минск, Беларусь. — 2015. — С. 90.

253. Shishkina, Е. L. The Cauchy Problem for A B-Hyperbolic Equation / E. L. Shishkina // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений : Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск. — 2013. — С. 345.

254. Shishkina, Е. L. Fractional Bessel integral and derivative on the semi-axis / E. L. Shishkina // International Conference Transform methods and special functions. Book of Abstracts. Bulgaria. Sofia. — 2017. — P. 57.

255. Shishkina, E. L. Hyperbolic Riesz B-potential / E. L. Shishkina // International Conference on operator theory. Book of Abstracts. Romaniz. Timisoara. — 2017. _ p. 32.

256. Shishkina, E. L. Cauchy problem for the generalized Euler-Poisson-Darboux equation / E. L. Shishkina // Современные методы теории краевых задач. Материалы международной конференции, посвященной 90-летию Владимира Александровича Ильина. — 2018. — С. 272.

257. Sitnik, S. M. Transmutations and applications: a survey / S. M. Sitnik. arXiv: 1012.3741 [math. CV] 16 Dec 2010.

258. Sitnik, S. M. A short survey of recent results on Buschman^Erdélyi transmutations / S. M. Sitnik //J. Inequal. Spec. Funct. — 2017. — Vol. 8, no. 1.

- P. 140-157.

259. Sitnik, S. M. Buschman^Erdélyi transmutations and applications / S. M. Sitnik // Abstr. of the 8th Int. Conf. «Transform Methods and Special Functions». — Bulgaria, Sofia : Inst. Math. Inf. Bulg. Acad. Sei., 2017. — P. 59.

260. Sprinkhuizen-Kuyper, I. G. A fractional integral operator corresponding to negative powers of a certain second-order differential operator / I. G. Sprinkhuizen-Kuyper //J. Math. Analysis and Applications. — 1979. — Vol. 75. — P. 674-702.

261. Srivastava, H. M. Multiple Gaussian Hypergeometric Series / H. M. Srivastava, P. W Karlsson. — New York, Chichester, Brisbane and Toronto : Halsted Press, John and Sons, Wiley, 1985. — 426 p.

262. Stellmacher, K. L. Eine Klasse Huygenscher Differentialgleichungen und ihre Integration / K. L. Stellmacher // Mathematische Annalen. — 1955. — Vol. 130.

- P. 219-233.

263. Stewart, J. M. The Euler-Poisson-Darboux equation for relativists/ J. M. Stewart // General Relativity and Gravitation. — 2009. - Vol. 41, I. 9. - P. 2045-2071.

264. Umarov, S. R. Introduction to Fractional and Pseudo-Differential Equations with Singular Symbols / S. R. Umarov. — S. 1. : Springer International Publishing, Series: Developments in mathematics, 41, 2015. — 434 p.

265. Urinov, A. K. Solution of the Cauchy Problem for Generalized Euler-Poisson-Darboux Equation by the Method of Fractional Integrals / A. K. Urinov, S. T. Karimov // In: Reissig M., Ruzhansky M. (eds) Progress in Partial Differential Equations. Proceedings in Mathematics & Statistics. Springer, 44. — Heidelberg : Springer, 2013. - P. 321-337.

266. Weinstein, A. Spherical means in spaces of constant curvature / A. Weinstein // Annali di Matematica Рига ed Applicata. — 1962. — Vol. 4, no. 60. — P. 87-91.

267. Weinstein, A. Discontinuous integrals and generalized theory of potential / A. Weinstein // Translation American Mathematical Society — 1948. — Vol. 63, no. 2. - P. 342-354.

268. Weinstein, A. Generalized axially symmetric potential theory / A. Weinstein // Bull. Amer. - 1953. - Vol. 59. - P. 20-38.

269. Weinstein, A. Some applications of generalized axially symmetric potential theory to continuum mechanics / A. Weinstein // Приложения теории функций в механике сплошных сред. Труды международного симпозиума. Т 2. Механика жидкости и газа математические методы. — 1965. — С. 440-453.

270. Weinstein, A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson / A. Weinstein // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, Vol. V, Wave motion and vibration theory, Book Company, In. — New York, Toronto, London : McGraw-Hill, 1954. - P. 137-147.

271. Weinstein, A. The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation / A. Weinstein // Summa Brasiliensis Mathematicae. — 1955. — Vol. 3. - P. 125-147.