Вложения однородных пространств и геометрическая теория инвариантов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Аржанцев, Иван Владимирович

• Аржанцев, Иван Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Аржанцев, Иван Владимирович

Введение

Постановки задач и известные результаты.

Краткое содержание диссертации

Используемые обозначения и соглашения.

1 Некоторые результаты теории алгебраических групп преобразований

1.1 Алгебраические группы преобразований и однородные пространства

1.2 Классификация аффинных однородных пространств сложности один.

1.3 Стягивания аффинных сферических многообразий

1.4 Линейные действия со сферическими орбитами.

1.5 Стабильность диагональных действий.

1.6 Критерий Мацусимы и инвариантные идеалы.

2 Аффинные вложения однородных пространств

2.1 Аффинно замкнутые однородные пространства.

2.2 Модальность вложений.

2.3 Каноническое вложение.

2.4 Стабильность действий подгрупп на аффинных вложениях

2.5 Автоморфизмы аффинных вложений.

2.6 Алгебры с конечно порожденными инвариантными подалгебрами

2.7 Инвариантные алгебры на однородных пространствах компактных групп Ли.

3 Комбинаторные методы в геометрической теории инвариантов

3.1 Необходимые сведения о хороших факторах

3.2 Линеаризованные дивизоры Вейля и квазипроективные факторы.

3.3 GIT-веер для действия редуктивной группы на аффинном многообразии.

3.4 А2-факторы для аффинных факториальных многообразий

3.5 Мулътиградуированные алгебры и характеризация GIT-Beepal

4 Кольцо Кокса нормального алгебраического многообразия

4.1 Дивизориальные алгебры и относительные спектры.

4.2 Кольцо Кокса для многообразия со свободной группой классов дивизоров.

4.3 Кручение в группе классов дивизоров.

4.4 Кольцо Кокса однородного пространства.

4.5 Реализация Кокса для аффинных многообразий.

4.6 Подъем автоморфизмов.

5 Вложения с малой границей для однородных пространств

5.1 Проективные вложения с малой границей.

5.2 V-вложения с малой границей.

5.3 А2-максимальные эквивариантные вложения с малой границей

5.4 Примеры

5.5 Геометрия вложений с малой границей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вложения однородных пространств и геометрическая теория инвариантов»

Диссертация посвящена теории алгебраических групп преобразований, теории открытых эквивариантньтх вложений однородных пространств алгебраических групп и геометрической теории инвариантов. При этом мы преследуем несколько целей, среди которых - развить теорию аффинных вложений однородных пространств и применить ее результаты к описанию всех вложений данного однородного пространства с малой границей, описать все открытые инвариантные подмножества данного С-многообразия, допускающие хороший фактор относительно действия группы G, изучить свойства такого инварианта нормального алгебраического многообразия как его кольцо Кокса. Попутно мы получаем ряд классификационных результатов и характеризаций для однородных пространств и представлений аффинных алгебраических групп.

Постановки задач и известные результаты

Всюду далее основное поле К предполагается алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Пусть G — аффинная алгебраическая группа и X — алгебраическое многообразие, снабженное регулярным действием G х X —> X группы G. В этом случае будем говорить, что X является G-многообразием. Аффинная алгебраическая группа G называется редуктивной, если G не содержит нетривильных нормальных уни-потентных подгрупп или, эквивалентно, каждый рациональный С-модуль вполне приводим.

Пусть Н — замкнутая подгруппа аффинной алгебраической группы G. Согласно теореме Шевалле, однородное пространство G/H несет каноническую структуру квазипроективного многообразия, для которой транзитивное действие группы G левыми сдвигами регулярно. Важной задачей является описание геометрии многообразия G/H в терминах теоретико-групповых свойств пары (G,H). Известно, что однородное пространство G/H проективно тогда и только тогда, когда Н — параболическая подгруппа в G. Конструктивное описание обозримых подгрупп Н, т.е подгрупп, для которых однородное пространство G/H квазиаффиино, дано в работе A.A. Суханова [33]. Известный критерий Мацусимы, доказанный независимо Ю. Мацусимой [103] и A.JI. Онищиком [24] в комплексно-аналитической категории, а затем А. Бялыницким-Бирулей [48] в алгебраической ситуации, утверждает, что для редуктивной группы G однородное пространство G/H аффинно тогда и только тогда, когда подгруппа Н редуктивна. В работе Д. Луны [100] приведено простое доказательство критерия Мацусимы, основанное на использовании теоремы Морозова-Джекобсона. Отметим, что до настоящего времени неизвестны критерий аффинности однородного пространства G/H в случае произвольной группы G, а также теоретико-групповая характеризация эпиморфпых подгрупп, т.е. подгрупп Н С G, для которых каждая регулярная функция на однородном пространстве G/H постоянна. Еще один важный класс образуют подгруппы Гроссханса. Так называют обозримые подгруппы Н С G, для которых алгебра регулярных функций K.[G/H] конечно порождена. В случае редуктивной группы G теорема Ф. Гроссханса [71] связывает такие подгруппы с 14-й проблемой Гильберта: для обозримой подгруппы Н конечная порожденность алгебры K[G/íí] равносильна конечной порожденное™ алгебр инвариантов где V пробегает все конечномерные рациональные G-модули. В настоящее время известно, что подгруппами Гроссханса являются определенные классы подгрупп (например, ре-дуктивные подгруппы или уиипотентные радикалы параболических подгрупп), а также построено несколько серий унипотентных подгрупп, не являющихся подгруппами Гроссханса. Первая серия получена в знаменитой работе М. Нагатьг [108] и затем усовершенствована Р. Стейпбергом [128], другая основана на конструкции П. Робертса, см. [120] и [41]: Обзор результатов теории алгебраических однородных пространств можно найти в книге Ф. Гроссханса [73].

Важной характеристикой действия является его сложность. Понятие сложности однородного пространства возникло в работе Д. Луны и Т. Ву-ста [102], а для произвольного (^-многообразия было введено в работе Э.Б. Винберга [11]. Как показали исследования последующих десятилетий, сложность действия адекватно отражает степень трудностей, возникающих в классификационных задачах, и играет ключевую роль при изучении геометрии однородного пространства, в теории его эквивариаитных открытых вложений, в теории инвариантных гамильтоновых систем на кокасательном расслоении и других областях, связанных с однородными пространствами и действиями.

Напомним определение сложности. Пусть аффинная алгебраическая группа G действует на неприводимом многообразии X, и В — борелев-ская подгруппа в G. Слоотностью с(Х) = со(Х) G-многообразия X называют минимальную коразмерность В-орбитьт на X для индуцированного ^-действия. По теореме Розенлихта сложность действия равна степени трансцендентности поля рациональных 5-инвариантных функций на X. Нормальное (^-многообразие X называют сферическим, если с(Х) = 0, или, эквивалентно, на X имеется открытая В-орбита. Однородное пространство G/H редуктивной группы G и подгруппа Н С G называются сферическими, если G/H является сферическим относительно действия группы G левыми сдвигами. Теория сферических многообразий является одним из наиболее разработанных разделов теории алгебраических групп преобразований. Ниже мы-рассмотрим ее в контексте более общей теории вложений однородных пространств.

Зафиксируем аффинную алгебраическую группу G и ее замкнутую подгруппу Н. Вложением однородного" пространства G/H называется пара (Х,х), где X — алгебраическое G-миогообразие и х € X — точка, орбита Gx которой открыта и плотна в X. а стабилизатор Gx совпадает с подгруппой Н. Можно сказать, что вложения однородного пространства G ¡H это G-многообразия с предписанной открытой (7-орбитой. В частности, каждое сферическое многообразие можно рассматривать как вложение некоторого сферического однородного пространства. Р1сторически теория вложений однородных пространств возникла из задач перечислительной геометрии: число тех или иных геометрических объектов интерпретировалось как индекс пересечения дивизоров па однородном пространстве, и для вычисления такого индекса пространство удобно пополнить и учитывать точки пересечения "на бесконечности". Позже выяснилось, что в терминах вложений можно описывать свойства исходного однородного пространства G/H. Вот замечательный пример: однородное пространство G/H является сферическим тогда и только тогда, когда каждое его вложение содержит конечное число (7-орбит. Это утверждение следует из работ нескольких авторов, а именно, Ф. Серведио [124] доказал конечность числа G-орбит па аффинном сферическом многообразии, Д. Луна и Т. Вуст [102] обобщили это на произвольные сферические многообразия, и Д.Н. Ахиезер [7] доказал обратную импликацию. Более общо,, сложность произвольного однородного пространства можно охарактеризовать в терминах вложений. По аналогии с работами В.И. Арнольда по теории особенностей, модальностью действия связной аффинной алгебраической группы F на многообразии X называется целое неотрицательное число moàF{X) — nmx min codimy-.F7/, где Y пробегает все F-инвариантные неприводимые подмногообразия вХ Тем самым, модальность действия — это максимальное число параметров в непрерывном семействе орбит на многообразии. В частности, действия модальности нуль — это в точности действия с конечным числом орбит. В работе [11] Э.Б. Винберг показал, что для произвольного многообразия X с действием редуктивной группы G модальность mocle(Jf) совпадает со сложностью действия. В частности, модальность mod^pi) вложения (Х,%) однородного пространства G/H не превосходит его сложности. С другой стороны, Д.Н. Ахиезер [8] построил проективное вложение произвольного однородного пространства G/H, модальность которого равна cg(G/H). Итак, сложность однородного пространства редуктивной труппьг — это максимальное значение модальности по всем его вложениям.

Для сферических однородных пространств построена замечательная теория вложений, см. [102], [86], [133], обобщающая теорию торических многообразий. Здесь вложения задаются так называемыми цветными конусами и веерами. Развивая результаты Д. Луны и Т. Вуста [102], Д.А. Ти-машев [34] получил аналогичное (но существенно более сложное) описание вложений однородных пространств сложности один. Однако для однородных пространств сложности > 2 описание всех вложений в рамках теории Луны-Вуста едва ли возможно. Поэтому естественно исследовать специальные классы вложений данного однородного пространства.

Будем называть вложение (X, ж) однородного пространства О/Н аффинным, если X является аффинным многообразием. Нетрудно показать, что однородное пространство допускает аффинное вложение тогда и только тогда, когда оно квазиаффинно. Важным дополнительным средством изучения аффинных вложений по сравнению с проективным случаем является С-модульная структура на алгебре регулярных функций и взаимодействие этой структуры с умножением в алгебре. С другой стороны, аффинные вложения можно получать из проективных, переходя от проективного многообразия к конусу над ним. Эти соображения часто используются в диссертации.

Насколько нам известно, впервые аффинные вложения однородных пространств аффинных алгебраических групп рассматривались в работе М. Розенлихта [122]. Через несколько лет в работах Г. Хохшильда и Г. Мостов [78], [79] был введен комплексно-аналитический вариант этого понятия. Важными примерами описания всех аффинных вложений данного однородного пространства являются классификация Э-многообразий (Э.Б. Винберг и В.Л. Попов [16]) и построенная В.Л. Поповым [28] теория ЗЬ(2)-вложений. Активно развивающаяся в последнее время теория аффинных алгебраических моноидов также является частью теории аффинных вложений, так как каждый аффинный моноид с группой обратимых элементов является аффинным вложением однородного пространства (<3х £?)/(?, и обратно, каждое такое вложение имеет структуру моноида. К теории аффинных вложений следует отнести многочисленные результаты о замыканиях орбит алгебраических групп на аффинных многообразиях. Среди них — критерий Д. Луны [99] замкнутости орбит, который послужил мотивировкой для введения автором в работе [Д18] понятия аффин-но замкнутого пространства, т.е. аффинного однородного пространства, которое допускает только тривиальное аффинное вложение. В диссертации мы описываем аффинно замкнутые пространства для произвольной аффинной алгебраической группы и используем это понятие при решении других задач. Среди прочего, мы описываем (совм. с ДА. Тимаше-вым) аффииные однородные пространства редуктивной группы, каждое аффинное вложение которых имеет конечное число орбит, и находим максимальное значение модальности по всем аффинным вложениям данного аффинного однородного пространства. Обобщая результат B.JI. Попова [28] о группе эквивариантньтх автоморфизмов ЗЬ(2)-вложения, мы получаем условие разрешимости связной компоненты единицы группы эк-вивариантных автоморфизмов аффинного вложения.

Пусть Н подгруппа Fpoccxanca в группе G. Тогда однородное пространство G/H допускает аффинное вложение в спектр SpecK[(7/iT] алгебры регулярных функций на пространстве G/H. В работе [Д11] мы назвали это вложение каноническим и обозначили его СЕ(G/H). Из результатов Ф. Гроссхаттса (см. [73]) следует, что СЕ(G/H) — нормальное аффинное вложение, в котором дополнение к открытой орбите имеет коразмерность > 2. Эти свойства определяют каноническое вложение однозначно, и из существования у однородного пространства G/H аффинного вложения с такими свойствами следует, что Н -- подгруппа Гроссханса в G. В диссертации каноническое вложение играет ключевую роль: с его помощью мы осуществляем переход от аффинных вложений к вложениям с малой границей.

Мы рассматриваем несколько приложений теории аффинных вложений. Первое относится к классификации алгебр с конечно порожденными инвариантными подалгебрами. Хорошо известно, что каждая подалгебра в алгебре многочленов Щж] над произвольным полем К конечно порождена. Нетрудно показать, что это свойство выполнено и в любой конечно порожденной целостной алгебре, размерность Крулля которой равна 1. С другой стороны, в алгебре К[ж, ?/] легко указать не конечно порожденную мономиальную подалгебру. Используя лемму Нетер о нормализации, можно вложить такую подалгебру в любую алгебру с размерностью Крулля > 2. В диссертации найдены все аффинные G-алгебры, в которых каждая инвариантная подалгебра конечно порождена. Напомним, что аффинной G-алгеброй называется конечно порожденная К-алгсбра А с заданным действием аффинной алгебраической группы G автоморфизмами, причем это действие определяет на А структуру рационального G-модуля. Оказывается, что помимо одномерных алгебр интересующим нас свойством обладают только алгебры функций на ¿"-многообразиях. определяемых полугруппой ранга один, и алгебры функций на аффинтто замкнутых однородных пространствах.

Второе приложение касается иивариантных алгебр на однородных пространствах компактных групп Ли. Задача описания инвариантных подалгебр в банаховой алгебре всех непрерывных комплекспозпачиых функций на однородном пространстве K/L компактной группы Ли К изучалась начиная с 60-х годов XX века методами функционального анализа, см. например [67] и [139]. В работах В.М. Гичева и И.А. Латыпова [23], [69], [96], [97] намечен алгебраический подход к решению этой задачи. В диссертации, основываясь на идеях Э.Б. Винберга, мы превращаем этот подход в строго обоснованное соответствие.

Напомним, что действие редуктивной группы на аффинном многообразии называется стабильным, если типичная орбита этого действия замкнута, см. работу B.JI. Попова [26]. Стабильные действия играют важную роль в геометрической теории инвариантов, поскольку условию стабильности удовлетворяет действие группы на инвариантных аффинных картах множества стабильных точек линеаризованного расслоения. Класс стабильных действий удобен для исследования методами современной теории инвариантов, поскольку стабильные действия — это действия, для которых слой общего положения морфизма факторизации состоит из одной орбиты. Мы доказываем, что для произвольного действия полупростой группы G на аффинном многообразии X диагональное (^-действие на декартовой степени Хт становится стабильным при достаточно больших значениях т. Это подтверждает общий тезис о том, что типичное действие полупростой группы стабильно; в случае линейных действий это следует из критерия стабильности B.JI. Попова [26] и таблиц А.Г. Элашви-ли [39], [40]. Теорема Д. Луны [99] утверждает, что для любых редуктив-ных подгрупп F и Н редуктивной группы G левое действие подгруппы F на аффинном однородном пространстве G/H стабильно. В диссертации изучается стабильность действия редуктивных подгрупп на аффинных вложениях некоторых неаффипных однородных пространств G/H.

Значительная часть диссертации посвящена геометрической теории инвариантов. Основу этой теории составляет конструкция Д. Мамфор-да [105]. Пусть X — нормальное проективной многообразие с действием редуктивной группы G, и L — обильное линейное расслоение на X. Предположим, что расслоение L G-линеаризовано, т.е. задано такое регулярное действие группы G на пространстве расслоения L, что проекция L —f X G-эквивариантна и действие линейно на слоях. Линеаризация определяет структуру рационального модуля на пространствах сечений Г(Х, L®"7) тензорных степеней расслоения L. С каждым инвариантным сечением / £ Г(Х, L®rn)G свяжем открытое аффинное инвариантное подмножество X/ = {х £ X; f(x) ф 0}. Тогда множеством 'полустабильных точек Xsf)(L) называется объединение подмножеств X/ по всем натуральным т и всем / 6 Г(Х, L0m)G. Множество полустабильных точек допускает фактор XSS(L) —> XSS(L)//G, который получен склейкой категорных факторов для аффинных многообразий Xj —> Xjf/G. Зафиксируем последнее свойство в качестве определения. Пусть U - нормальное алгебраическое многообразие с действием редуктивной группы G. Инвариантный аффинный морфизмр: U Y в алгебраическое многообразие Y называется хорошим фактором, если индуцированный им гомоморфизм пучков алгебр р*: Оу —> Оц является изоморфизмом. Термин "good quotient" впервые был использован в работе К.С. Шегаадри [125]. Хороший фактор является категорным в категории алгебраических многообразий, поэтому для данного действия может быть не более одного такого фактора, и фак-торпростраиство У принято обозначать ?7//(?. Известно, что для фактора Мамфорда Х-Ч8(Ь) X59 (!/)//(? факторпространство Хвз(Ь)//0 проек-тивпо. Конструкцию Мамфорда можно обобщить на произвольное нормальное (^-многообразие X и произвольное &-линеаризованное линейное расслоение Ь, используя в определении Хвя(Ь) только аффинные открытые подмножества XЗдесь факторпространства Хвв(Ь)//О квазипроек-тивны.

Определение хорошего фактора является весьма ограничительным, и далеко не каждое (^-многообразие допускает такой фактор. С другой стороны, на данном С-мтюгообразии может быть много инвариантных открытых подмножеств, обладающих хорошим фактором. Такие подмножества принято называть хорошими С-подмножествами. Одной из центральных задач геометрической теории инвариантов является задача описания всех хороших (7-подмножеств на данном ^-многообразии X. Будем говорить, что открытое подмножество V хорошего (^-подмножества II насыщено в и, если V = %Г1{\У) для некоторого открытого подмножества IV С II//(?. Ясно, что при описании хороших (^-подмножеств достаточно ограничиться максимальными относительно насыщенных включений. Имеет смысл рассматривать хорошие (7-подмножества для конкретных классов фак-торпространств. Помимо квазипроективных мы рассматриваем более широкий класс А 2-многообразий, т.е. многообразий, любые две точки которых имеют общую аффинную окрестность. По аналогии с определением квазипроективпого многообразия как локально замкнутого подмножества проективного пространства, теорема Я. Влодарчика [138] характеризует А2-многообразия как замкнутые подмногообразия торических многообразий. Максимальные хорошие Ог-подмножеетва среди хороших (7-подмпожеств с квазипроективттым (соот. А2-) факторпроетранством называют (¡р-максимальпыми (соот. (0,2)-максимальным). Известно, что на гладком С-мпогообразии X каждое qp-мaкcимaльнoe подмножество имеет вид Х8$(Ь) для некоторого линеаризованного линейного расслоения Ь. см. [50]. Ю. Хаузеи [76] доказал, что этот результат справедлив для произвольного нормального (^-многообразия, если заменить линеаризованные линейные расслоения на подходящим образом определенные линеаризованные дивизоры Вейля.

Два линеаризованных линейных расслоения Ь\ и Ь2 на (^-многообразии X называются (? 1Т-эквивалентными, если Х38{Ь\) = Х^(Ь2)- Как показано в работах [65], [131] и [117], для проективного (^-многообразия отношение С1Т-эквивалентности определяет на конусе линеаризованных обильных расслоений структуру веера. Будем называть этот веер С1Т-веером. Для доказательства этого результата и вычисления СГГ-веера в указанных работах использовался численный критерий Мамфорда. Например, И.В. Долгачев и Ю. Ху в работе [65] вычислили этим методом

01Т-веер для диагонального действия группы ЭЦтг) па (Р™-1)'".

В работе Ф. Берхтольда и Ю. Хаузена [46] в случае действия тора на аффинном многообразии Z был предложен элементарный метод вычисления С1Т~веера, который описывает С1Т-эквивалентность для различных линеаризаций тривиального линейного расслоения. Здесь ШТ-конуса получаются всевозможными пересечениями орбитных конусов. Если Z фак-ториально, так получаются все яр-максимальные подмножества. В диссертации мы обобщаем этот подход и описываем все яр-максимальные и (С, 2)-максимальные подмножества на аффинном факториальном многообразии с действием связной редуктивной группы (7. Наши результаты включают в себя полученные ранее А. Бялыницким-Вирулей и Й. Свициц-кой описания максимальных хороших подмножеств для действий торов на векторном пространстве [54] и торическом многообразии [129]. Следует отметить, что комбинаторное описание максимальных хороших О-подмножеств, факторпроетранства для которых являются произвольными алгебраическими многообразиями, или. более общо, алгебраическими пространствами, неизвестно. Пример, разобранный в работе [130], показывает, что такое описание едва ли возможно.

Одной из основных идей, использованных в диссертации, является перенос результатов с аффинных на произвольные многообразия с помощью так называемой реализации Кокса. В своей известной работе [64] Д. Кокс связал с каждым невырожденным торическим многообразием кольцо многочленов, которое позже стали называть кольцом Кокса то-рического многообразия. Ю. Ху и С. Кил [81] заметили, что кольцо Кокса можно определить для более широкого класса многообразий, и охарактеризовали многообразия с конечно порожденным кольцом Кокса в терминах геометрической теории инвариантов. Грубо говоря, кольцо Кокса нормального многообразия X с конечно порожденной группой классов дивизоров С1(Х) определяется как

Я(Х) := 0 ГрГ, Ох(£>))• л€с1(х)

Формальное определение, особенно в случае наличия кручения в группе С1(Х), требует дополнительных усилий, см. [44], [77] и [Д4]. Важным свойством кольца Кокса при условии свободности группы С1(Х) является его факториалыюсть, см. [44] и [66]. Если в группе С1(Х) есть кручение, мы определяем градуированную версию факториальности и доказываем, что кольцо Я(Х) ею обладает, а также приводим примеры нефакториальиых колец Кокса.

Далее будем предполагать, что многообразие X имеет конечно порожденную группу С1(АГ) и конечно порожденное кольцо Кокса Я(Х). Тотальным координатным пространством X многообразия X называют аффинное (однородно факториальное) многообразие Эрес П{Х). Определим квазитор Нерона-Севери Нх многообразия X как диагонализуе-муго алгебраическую группу, группа характеров которой отождествлена с С1рГ). Тогда С1(.Х)-градуировка на R(X) определяет действие квазитора Нх иа^миогообразии X. Имеется открытое Дх-инвариантное подмножество X С X, дополнение к которому имеет коразмерность > 2, и многообразие X реализуется как хороший фактор X по действию квазитора Нх- Морфизм факторизации q: X —У X называют универсальным торсором или реализацией Кокса для многообразия X. Важно отметить, что примеры реализаций Кокса возникали в разных работах до или одновременно с публикацией статьи Д. Кокса. Например, построенная в работе Э.Б. Винберга [136J обертывающая полугруппа в нашей терминологии является тотальным координатным пространством над чудесной компактификацией полупростой группы присоединенного типа в смысле де Кончини-Прочези.

В работе Ф. Берхтольда и Ю. Хаузена [47] предложен способ кодировать реализацию Кокса многообразия X с помощью комбинаторных данных, связанных с системой образующих факториального кольца R(X). Авторы назвали эти данные кольцом со связкой (a bunched ring). Используя кольцо со связкой, можно охарактеризовать многие геометрические свойства исходного многообразия.

Реализация Кокса может оказаться удобной для задания многообразий того или иного типа. Например, в работе В.В. Батырева и Ф. Хаддад [42] на этом пути было найдено единообразное описание всех аффинных SL(2)-вложений как факторов четырехмерных гиперповерхностей. Как отмечалось выше, кольцо Кокса торического многообразия является кольцом многочленов, но для неполных многообразий обратное утверждение неверно. Тем не менее, вычисление кольца Кокса часто позволяет найти все то-рические многообразия в данном классе многообразий, см. [18], [42], [Д6], [Д14], [Д15].

В диссертации основное применение реализации Кокса связано с классификацией вложений с малой границей. Будем говорить, что вложение (X, х) однородного пространства G/H имеет малую границу, если многообразие X нормально и дополнение к открытой G-орбите в X имеет коразмерность > 2. Бели Н -- подгруппа Гросханса в G, то единственным аффинным вложением с малой границей однородного пространства G/H является его каноническое вложение GE(G/H). Примером проективного вложения с малой границей служит диагональное действие группы SL(n) на (pn"1)m при т < п. Для вложений с малой границей кольцо Кокса R{X) совпадает с кольцом Кокса однородного пространства R(G/H), которое в свою очередь изоморфно K[(?/iii], где Hi — пересечение ядер всех характеров подгруппы Н. Универсальным торсором является проекция однородных пространств G/Hi G/H, и для описания вложений с малой границей и определенными условиями максимальности (проективность, А2-максималыгость, 2-полнота) мы используем комбинаторное описание максимальных хороших -^'-подмножеств на аффинном факто-риальном многообразии СЕ(СУ£/\). В частности, мы получаем теорему конечности для таких вложений. Поскольку вложения с малой границей возникают у нас вместе со своей реализацией Кокса, мы можем воспользоваться теорией колец со связками и описать все локально факториалытые и О-факториальиые вложения, а также вычислить различные конуса дивизоров на пространстве вложения.

Также реализация Кокса использована нами для описания qp-мaкcи-мальных и (С, 2)-максимальных хороших подмножеств на произвольном нормальном (^-многообразии X со свободной конечно порожденной группой С1(Х) и конечно порожденным кольцом И(Х). Для этого устанавливается соответствие между хорошим О- под м ножест в а м и на X и хорошими (С? х Дх)-подмножествами на X. В частности, для данного класса многообразий мы получаем положительный ответ на вопрос А. Бялыницкого-Бирули [49] о конечности числа qp-мaкcимaльньrx подмножеств.

Краткое содержание диссертации

В первой главе получены результаты, относящиеся к теории алгебраических групп преобразований аффинных многообразий. В разделе 1.1 мы напоминаем необходимые сведения об алгебраических группах преобразований и однородных пространствах алгебраических групп. В разделе 1.2 получена классификация аффинных однородных пространств сложности один. Одним из важнейших классификационных результатов в теории алгебраических групп преобразований является классификация М. Крамера [94] сферических аффинных однородных пространств простых групп. Составленные в работе [94] таблицы, которые помимо перечня однородных пространств содержат образующие весовой полугруппы для каждого из пространств, многократно использовались в работах по теории инвариантов, теории представлений, теории интегрируемых систем, дифференциальной геометрии и математической физике. Классификация сферических аффинных однородных пространств полупростых групп была получена И.В. Микитюком [22] и. независимо, М. Брионом [60]. Наконец, все аффинные однородные пространства сложности один простых групп были найдены Д.И. Панюшевым [113]. В диссертации мы в определенном смысле завершаем этот классификационный цикл и получаем список аффинных однородных пространств сложности один полупростых групп. Это результат совместной работы с О.В. Чувашовой [Д8]. Здесь же мы напоминаем необходимые сведения из симплектической геометрии и теории интегрируемых гамильтоновых систем и объясняем значение однородных пространств сложности один для этих областей. Использованный нами метод классификации близок к методу работы И.В: Микитгока [22]. В частности, операция, которую мы называем сцепкой, в [22] называлась "расширением пар". Отметим, что применение операции сцепки:двух пар алгебра-подалгебра позволяет избежать рассмотрения глубины* подалгебры (М. Брион) и проводить индукцию лишь по числу простых компонент объемлющей алгебры. Вычисление сложности однородного пространства основано на изучении стационарной подалгебры общего положения для представления изотропии и применении формул Пашошева (теоремы 1.11 и 1.12). Как показывает нагла классификация, списки однородных пространств сложности < 1 имеют разумный объем. Это подтверждает предположение, высказанное в работе [11], где задача классификации пространств сложности один была поставлена впервые.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Аржанцев, Иван Владимирович, 2010 год

1. О.М. Адамович, Е.О. Головина: Простые линейные группы, имеющие свободную алгебру инвариантов. Вопр. теории групп и гомол. алгебры. Ярославль, 1979, 3-41.

2. И.В. Аржанцев: О действиях сложности один группы ЭЬг. Изв. РАН. Сер. мат. 61:4 (1997), 3-18.

3. И.В. Аржанцев: О действиях редуктивпых групп с однопараметри-ческим семейством сферических орбит. Мат. сборник 188:5 (1997), 3-20.

4. И.В. Аржанцев: О нормальности замыканий сферических орбит. Функц. анализ и его прил. 31:4 (1997), 66- 69.

5. М. Атья, И. Макдональд: Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972.

6. Д.Н. Ахиезер: Плотные орбиты с двумя концами. Изв. АН СССР. Сер. мат. 41:2 (1977), 308-324.

7. Д.Н. Ахиезер: О действиях с конечным числом орбит. Функц. анализ и его прил. 19:1 (1985), 1-5.

8. Д.Н. Ахиезер: О модальности и сложности действий редуктивных групп. Успехи Мат. Наук 43:2 (1988), 129-130.

9. Э.Б. Винберг: Инвариантные липейньте связности в однородном пространстве. Труды ММО 9 (1960), 191-210.

10. Э.Б. Винберг: Группа Вейля градуированной алгебры Ли. Изв. АН СССР. Сер. мат. 40:3 (1976), 488-526.

11. Э.Б. Винберг: Сложность действий редуктивных групп. Функ. анализ и его прил. 20:1 (1986), 1-13.

12. Э.Б. Винберг: Коммутативные однородные пространства и коизо-тропные симплектические действия. Успехи Мат. Наук 56:1 (2001), 3-62.

13. Э.Б. Винберг, В.В. Горбацевич, А.Л. Онищик: Строение групп и алгебр Ли. М.: ВИНИТИ, 1990. Итоги науки и техники, Совр. проблемы мат-ки, Фунд. направления, том 41.

14. Э.Б. Винберг, Б.Н. Кимельфельд: Однородные области на флаговых многообразиях и сферические подгруппы полупростых групп Ли. Функц. анализ и его прил. 12:3 (1978), 12-19.

15. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик: Семинар по группа Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.

16. Э.Б. Винберг, В.Л. Попов: Об одном классе квазиоднородных: аффинных многообразий. Изв. АН СССР. Сер. мат. 36:4 (1972), 749-763.

17. Э.Б. Винберг, В.Л. Попов: Теория инвариантов. М.: ВИНИТИ, 1989. Итоги науки и техники, Совр. проблемы мат-ки, Фунд. направления, том 55, 137-309.

18. С.А. Гайфуллин: Аффинные торические 8Ь(2)-вложепия. Мат. сборник 199:3 (2008), 3-24.

19. Е.Б. Дыпкин: Максимальные подгруппы классических групп. Труды ММО 1 (1952), 39-166.

20. Е.Б. Дынкии: Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Мат. сборник 30:2 (1952). 349-462.

21. X. Крафт: Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987.

22. И.В. Микитюк: Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами. Мат. сборник 129:4 (1986), 514-534.

23. И.А. Латыпов: Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли. Дисс. канд. физ.-мат. наук, Омский Гос. университет, 1999.

24. А.Л. Онищик: Комплексные оболочки компактных однородных пространств. Докл. АН СССР 130:4 (1960), 726-729.

25. А.Л. Онищик: Транзитивные компактные группы преобразований. Мат. сборник 60 (1963), 447-485.

26. В.Л. Попов: Критерий стабильности действия полупростой: группы на факториальном многообразии. Изв. АН СССР. Сер. мат. 34:3 (1970), 523 531.

27. В.Л. Попов: О стабильности действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии. Изв. АН СССР. Сер. мат. 36:2 (1972), 371-385.

28. В.Л. Попов: Квазиоднородные аффинные алгебраические многообразия группы ЗЬ2. Изв. АН СССР. Сер. мат. 37:4 (1973), 792-832.

29. B.J1. Попов: Группы Пикара однородных пространств линейных алгебраических групп и одномерные однородные векторные расслоения. Изв. АН СССР. Сер. мат. 38:2 (1974), 292-322.

30. B.JI. Попов: Классификация трехмерных аффинных алгебраических многообразий, квазиоднородных относительно действия алгебраической группы. Изв. АН СССР. Сер. мат. 39:3 (1975), 566-609.

31. B.JI. Попов: Стягивание действий редуктивных алгебраических групп. Мат. сборник 130:3 (1986), 310-334.

32. Т. Спрингер: Теория инвариантов. Москва: Мир, 1981.

33. А.А. Суханов: Описание наблюдаемых подгрупп линейных алгебраических групп. Мат. сборник 137:1 (1988), 90 102.

34. Д.А. Тимаптев: Классификация G-многообразий сложности 1. Известия РАН, Сер. мат. 61:2 (1997), 127-162.

35. Дж. Хамфри- Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.

36. Дж. Хамфри: Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. М.: МЦНМО, 2003.

37. Р. Хартсхорн: Алгебраическая геометрия. М1.: Мир, 1981.

38. И.Р. Шафаревич: Основы алгебраической геометрии (в 2-х томах). М.: Наука, 1988.

39. А.Г. Элашвили: Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых линейных групп Ли. Функц. анализ и его прил. 6:1 (1972), 51-62.

40. А.Г. Элашвили: Стационарные подалгебры точек общего положения для неприводимых линейных групп Ли. Функц. анализ и его прил. 6:2 (1972), 65-78.

41. A. A'Carripo-Neuerr Note on a counterexample to Hilbert's fourteenth problem given by P. Roberts. Indag. Math. 5 (1994), no. 3, 253-257.

42. V. Batyrev. F. Haddad: On the geometry of SL(2)-equivariant flips. Moscow Math. J. 8 (2008), no. 4, 621-646.

43. C. Benson, G. Ratcliff: A classification of multiplicity free actions. J. Algebra 181 (1996), 152-186.

44. F. Beichtold, J. Hausen: Homogeneous coordinates for algebraic varieties. J. Algebra 266 (2003), no. 2, 636-670.

45. G. Horroks: Fixed point scheme of additive group actions. Topology 8 (1969), 233-242.

46. Y. Hu, S. Keel: Mori dream spaces and GIT. Michigan Math. J. 48 (2000), 331- 348.

47. V.G. Kac: Some remarks on nilpotent orbits. J. Algebra 64 (1980), 190213.

48. M.M. Kapranov: Chow quotients of Grassmannians. I. Advances in Soviet Math. 16, Part 2 (1993), 29 110.

49. K. Kaveh: Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties. Transform. Groups 9 (2004), no. 1, 47-63.

50. G. Kempf: Instability in invariant theory. Ann. Math. 108 (1978), no. 2, 299 -316.

51. F. Knop: The Luna-Vust theory of spherical embeddings. Proc. Hyderabad' Conf. on Algebraic Groups (S. Ramanan, ed.), pp. 225-249, Manoj Prakashan, Madras, 1991.

52. F. Knop: Uber Bewertungen, welche unter einer reduktiven Gruppe invariant sind. Math. Ann. 295 (1993), 333-363.

53. F. Knop: Über Hilberts vierzehntes Problem für Varietäten mit Kompliziertheit eins. Math. Z. 213 (1993), 33-35.

54. F. Knop: The asymptotic behavior of invariant collective motion. Invent. Math. 116 (1994), 309 -328.

55. F. Knop, H. Kraft, D. Luna, Th. Vust: Local properties of algebraic group actions. Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie, 63-75, DMV Sem. 13, Birkhäuser, Basel, 1989.

56. F. Knop, H. Kraft, Th. Vust: The Picard group of a G-variety. Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie, 77-87, DMV Sem. 13, Birkhäuser, Basel, 1989.

57. B. Kostant: Lie group representations on polynomial rings. Amer. J. Math. 85 (1963), 327-404.

58. H. Kraft, V.L. Popov: Semisimple group actions on the three dimensional affine space are linear. Comment. Math. Helv. 60 (1985), 466-479.

59. M. Krämer: Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen. Composit. Math. 38 (1979), 129-153.

60. A. Laface, M. Velasco: A survey on Cox rings. Geom. Dedicata 139 (2009), 269-287.

61. I.A. Latypov: Homogeneous spaces of compact connected Lie groups which admit nontrivial invariant algebras. J. Lie Theory 9 (1999), 355360.

62. I.A. Latypov: Invariant function algebras on SU(2). Siberian Adv. Math. 10 (2000), no. 4, 122 133.

63. A.S. Leahy: A classification of multiplicity free representations. J. Lie Theory 8 (1998), 367-391.

64. D. Luna: Sur les orbites fermées des groupes algébriques reductifs. Invent. Math. 16 (1972), 1 -5.

65. D. Luna: Slices étales. Bull. Soc. Math. Fr. 33 (1973), 81-105.

66. D. Luna: Adhérences d'orbite et invariants. Invent. Math. 29 (1975), 231-238.

67. D. Luna, Th. Vust: Plongements d'espaces homogènes. Comment. Math. Helv. 58 (1983), 186-245.

68. Y. Matsushinia: Espaces homogènes de Stein des groupes de Lie complexes. Nagoya Math. J. 16 (1960), 205-218.

69. G.D. Mostow: Cohomology of topological groups and solvmanifolds. Ann. Math. 73 (1961), no. 1, 20-48.

70. D. Mumford, J. Fogarty. F. Kirwan: Geometric invariant theory. Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete34, SpringerVerlag, Berlin, 1994.

71. I.V. Mykytyuk: Actions of Borel subgroups on homogeneous spaces of reductive complex Lie groups and integrability. Compositio Math. 127 (2001), 55-67.

72. I.V. Mykytyuk, A.M. Stepin: Classification of almost spherical pairs of compact simple Lie groups. In Poisson Geometry, Banach Center Publ. 51, Polish Acad. Sei., Warsaw (2000), 231 241.

73. M. Nagata: On the fourteenth problem of Hilbert. In: Proceedings Int. Cong. Math. 1958, Cambridge Univ. Press (1960), 459-462.

74. M. Nagata: On rational surfaces II. Mem. Coll. Sei. Univ. Kyoto, Ser. A Math. 33 (1960/61), 271-293.

75. T. Oda: Problems on Minkowski sums of convex lattice polytopes. The Oberwolfach Conference "Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry 26.10-01.11, 1997, см. также arXiv: 0812.1418.

76. R.S. Palais, Т.Е. Stewart: The cohomology of differentiable transformation groups. Amer. J. Math. 83 (1961), no. 4, 623-644.

77. D.I. Panyushev: Complexity and rank of homogeneous spaces. Geom. Dedicata 34 (1990), 249-269.

78. D.I. Panyushev: Complexity of quasiaffine homogeneous varieties, t-decompositions, and affine homogeneous spaces of complexity 1. Advances in Soviet Math. 8 (1992), 151-166.

79. D.I. Panyushev: Complexity and nilpotent orbits. Manuscripta Math. 83 (1994), 223-237.

80. D.I. Panyushev: A restriction theorem and the Poincaré series for U-invariants. Math. Ann. 301 (1995), 655-675.

81. M. Polito: 8L{2, C)-quotients de (P1)". C. R. Acad. Sci. Paris 321, Série I (1995), 1577-1582.

82. N. Ressayre: The, GIT-equivalence for G-line bundles. Geom. Dedicata 81 (2000), no. 1-3, 295-324.

83. R.W. Richardson: Affine coset spaces of reductive algebraic groups. Bull. London Math. Soc. 9 (1977), no. 1, 38 -41.

84. A. Rittatore: Algebraic monoids and group embeddings. Transformation Groups 3 (1998), no. 4, 375-396.

85. P. Roberts: An infinitely generated symbolic blow-up in a power series ring and a new counterexample to Hilbert's fourteenth problem. J. Algebra 132 (1990), no. 2, 461-473.

86. M. Rosenlicht: Some basic theorems on algebraic groups. Amer. J. Math. 78 (1956), 401-443.

87. M. Rosenlicht: On quotient varieties and the affine embedding of certain homogeneous spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 101 (1961), 211-223.

88. P. Samuel: Lectures on unique factorization domains. Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1964.

89. F.J. Servedio: Prehomogeneous vector spaces and varieties. Trans. Amer. Math. Soc. 176 (1973), 421-444.

90. C.S. Seshadri: Quotient spaces modulo reductive algebraic groups. Ann. Math. (2) 95 (1972), 511-556.

91. R. Steinberg: Nagata's example. In: Algebraic groups and Lie groups, Austral. Math. Soc. Lect. Ser. 9, Cambridge (1997), 375-384.

92. J. $wi§cicka: Quotients of toric varieties by actions of subtori. Colloq. Math. 82 (1999), no. 1, 105- 116.

93. J. $wi§cicka: A combinatorial construction of sets with good quotients by an action of a reductive group. Colloq. Math. 87 (2001), no. 1, 85-102.

94. M. Thaddeus: Geometric invariant theory and flips. J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 691-723.

95. M. Thaddeus: Complete collineations revisited. Math. Ann. 315 (1996), 469-495.

96. D.A. Timashev: Homogeneous spaces and equivariant embeddings. To appear in Encyclopaedia Math. Sci. 138, Springer-Verlag, 2010.

97. K. Trautman: Orbits that always have affine stable neighbourhoods. Adv. Math. 91 (1992), 54-63.

98. E.B. Vinberg: On stability of actions of reductive algebraic groups. In "Lie Algebras, Rings and R,elated Topics", Fong Yuen, A.A. Mikhalev, E. Zelmanov Eds, Springer-Verlag Hong-Kong Ltd. (2000), 188-202.

99. E.B. Vinberg: On reductive algebraic semigroups. In "Lie Groups and Lie Algebras: E.B. Dynkin Seminar" (S. Gindikin, E. Vinberg Eds.), AMS Transl. 169 (1995), 145 182.

100. Th. Vust: Operation de groupes reductifs dans un type de cones presque homogenes. Bull. Soc. math. France 102 (1974), 317-333.

101. J. Wlodarczyk: Embeddings in toric varieties and prevarieties. J. Alg. Georn. 2 (1993), no. 4, 705-726.

102. I.V. Arzhautsev, J. Hausen: On embeddings of homogeneous spaces with small boundary. Journal of Algebra 304 (2006), no. 2, 950-988.

103. I.V. Arzhantsev, J. Hausen: On the multiplication map of a multigraded algebra. Math. Research Letters 14 (2007), no. 1, 129-136.