О сферических и сверхсферических подгруппах полупростых групп Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Зорин, Арсений Александрович

• Зорин, Арсений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зорин, Арсений Александрович

1 Введение

1.1 Сферические и, слабо симметрические подгруппы редуктивных групп Ли

1.2 Сверхсферические и коизотропные подалгебры полупростых алгебр Ли.

1.3 Действие центра коизотропной подалгебры в неприводимом представлении полупростой алгебры

1.4 Структура работы.

1.5 Обозначения.

1.6 Благодарности.

2 Связь сферичности и слабой симметричности нередуктивных подгрупп редуктивных групп Ли.

2.1 Два критерия слабой симметричности.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

2.3 Контрпримеры.

2.4 Связь с коммутативными однородными пространствами.

3 Коизотропные подалгебры полупростых алгебр Ли.

3.1 Основные используемые определения и сведения про пуассоновы многообразия.

3.2 Геометрический критерий коизотропности.

3.3 Некоторые сведения об индексах алгебр Ли.

3.4 Редуктивные подалгебры малых корангов в алгебре з1п+х.

3.5 Нередуктивные коизотропные подалгебры в простых алгебрах Ли.

3.6 Нередуктивные коизотропные подалгебры с тривиальной группой характеров в полупростых алгебрах Ли.

4 Сверхсферические подалгебры полупростых алгебр Ли.

4.1 Доказательство теоремы 1.2.

4.2 Структура централизаторов коизотропных подалгебр в универсальной обертывающей алгебре.

5 Действие централизатора коизотропной подалгебры в неприводимом представлении простой алгебры Ли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О сферических и сверхсферических подгруппах полупростых групп Ли»

Диссертация посвящена сферическим и сверхсферическим нередуктивным подгруппам полупростых групп Ли.

1.1 Сферические и слабо симметрические подгруппы редуктивных групп Ли

Основным полем является поле комплексных чисел. Пусть G — связная редуктивная комплексная алгебраическая группа, Н — алгебраическая подгруппа в G и X — алгебраическое многообразие. Открытые и замкнутые множества рассматриваются в топологии Зарисского.

Определение 1.1. Действие G : X группы G на многообразии X называется сферическим, если борелевская подгруппа группы G имеет в пространстве X открытую орбиту. В таком случае пространство X также называется сферическим. Подгруппа Н называется сферической, если сферическим является однородное пространство X = G/H относительно действия G левыми сдвигами.

Если Я - редуктивная подгруппа, то однородное пространство X = G/H является аффинным. Сферические пространства в этом случае хорошо исследованы. Подгруппа Н является сферической тогда и только тогда, когда спектр действия группы G левыми сдвигами на пространстве полиномиальных функций С[Х] имеет простой спектр [20]. В силу двойственности Фробениуса это свойство эквивалентно тому, что размерность пространства Vя ii-инвариантных векторов в любом неприводимом представлении р : G —GL(V) группы G не превосходит 1. Получена полная классификация сферических подгрупп полупростых алгебраических групп [7], [26], [3]. Она эквивалентна классификации всех аффинных сферических пространств.

Определение 1.2. Однородное пространство X = G/H группы G по подгруппе Н называется слабо симметрическим, если существует такой автоморфизм а группы G, что а(Н) = Н, а2 6 Int G и г(д) € Нд-1Н для почти всех элементов д группы G, то есть для всех д из некоторого плотного открытого подмножества группы G.

Понятие слабо симметрического пространство было введено в 1956г. Сельбергом в работе [15], посвященной формуле следа, для компактных подгрупп К вещественных групп Ли С?. Впоследствии был дан ряд эквивалентных определений слабой симметричности. Слабо симметрические пространства есть обобщение симметрических пространств. В последние пятнадцать лет для них получена серия интересных результатов. В частности, в случае когда (3 - редуктивная вещественная группа Ли, было доказано, что класс слабо симметрических пространств совпадает с классами коммутативных и слабо коммутативных пространств [26], [4], [19]. Однородное пространство X — С?/К называется коммутативным, если коммутативна алгебра Т>(Х)С всех £-инвариантных дифференциальных операторов на X. Однородное пространство X = О/К называется слабо коммутативным, если коммутативна алгебра Пуассона, ассоциированная с алгеброй Т>(Х)°, то есть алгебра (^-инвариантных функций на кокасательном расслоении Т*Х многообразия X, полиномиальных на слоях.

Определение 1.2 есть переформулировка для алгебраических комплексных многообразий одного из эквивалентных определений слабо симметричности в вещественном случае. Если О - редуктивная алгебраическая группа, и Я С С - редуктивная подгруппа, то, как и в вещественном случае, пространство X является слабо симметрическим тогда и только тогда, когда оно является сферическим [1]. Интересно установить, сохраняется ли данная эквивалентность для однородных пространств нередуктивных подгрупп Н.

Одной из проблем в случае нередуктивной подгруппы Н является то, что простоты спектра действия С? : С[Х] недостаточно для сферичности, поскольку алгебра С[Х] может быть очень мала. Тем не менее, для некоторого класса нередуктивных подгрупп Н спектр представления С : С[Х] по-прежнему определяет, является ли пространство X сферическим.

Определение 1.3. Алгебраическая подгруппа Н группы С называется обозримой в С?, если существует такое линейное представление К : (7 —У С1/(У), что Н = {д € Я(д)у = у} — стационарная подгруппа некоторого вектора V 6 V.

Если Н - обозримая подгруппа, то однородное пространство О/Н является квазиаффинным, то есть является открытым (по Зарисскому) подмножеством аффинного многообразия. Для сферичности обозримой алгебраической подгруппы по-прежнему необходима и достаточна простота спектра действия С : С[Х]. Доказательство полностью повторяет редуктивный случай [19, Теорема 2].

Определение 1.4. Инволюция в : О —^ б? называется инволюцией Вейля, если существует такой максимальный тор Т С О что £?(£) = для всех te T.

Известно, что инволюции Вейля существуют и для всякой редуктивной сферической подгруппы H существует инволюция Вейля 9 такая, что в(Н) = H [1]. В этой работе мы докажем следующую теорему.

Теорема 1.1. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, H — произвольная обозримая подгруппа, и существует такая инволюция Вейля в группы G, что 9{Н) = Н. Пространство X = G/H слабо симметрично тогда и только тогда, когда оно сферичпо.

Также в работе приведены примеры, которые показывают, что если не существует инволюции Вейля, сохраняющей подгруппу H, то обе импликации теоремы 1.1 неверны. Также приведен пример обозримой подгруппы H такой, что однородное пространство X = G/H является и сферическим и слабо симметрическим, но для которой не существует инволюции Вейля, ее сохраняющей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зорин, Арсений Александрович, 2008 год

1. Akhiezer D.N., Vinberg Е.В., Weakly symmetric spaces and spherical varieties, Transformation Groups, 4, no.l, 3-24, 1999.

2. Bincer A.M., Mikelsson lowering operators for the symplectic group, Lect. Notes Phys., 135, 459-463, 1980.

3. Brion M., Classification dea espaces homogenes sphériques, Compositio Math., 63, 189-208, 1987.

4. Guillemin E., Stenberg S., Multiplicity-free spaces, J. Differential Geom., 19, 31-56, 1984.

5. Knop F., Der Zentralisator einer Liealgebra in einer einhüllenden Algebra, J. Reine Angew. Math. 406, 5-9, 1990.

6. Kostant В., Lie group representations on polynomial ring, Amer. J. Math., 85, 327-404, 1963.

7. Krämer M., Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math., 38, 129-153, 1979.

8. Luna D., Sur les orbites fermées des groupes algébriques reductifs, Ineent. Math. 16, 1-5, 1972.

9. Molev A.I., A Basis for Representations of Symplectic Lie Algebras Comm. in Math. Physics, 201, Is. 3, 591-618, 1999.

10. Panyushev D., Inductive formulas for the index of seaweed Lie algebras, Moscow Math. J., 1, 221-241, 2001.

11. Panyushev D., On the coadjoint representation of Ъп-contractions of reductive algebras, Advanc. in Math., V.213, Is.l, 380-404.

12. Panyushev D., A restriction theorem and the Poincare series for U-invariants, Math. Ann. 301, 655-675, 1995.

13. Panyushev D., Premet A., Yakimova O., On symmetric invariants of cen-tralisers in reductive algebras, Jour. Of Algebra, 313 (Special issue celebrating the 70th birthday of E.B. Vinberg), 343-391.

14. Rais M., L'indice des produits semi-directs E xpg, C.R. Acad. Se. Paris, Ser A. t.287, 195-197, 1978.

15. Seiberg A., Harmonie analysis and discontinouos groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc., V. 20, 47-87, 1956.

16. Taueel P., Yu R.W.T., Sur l'indice de certaines algebres de Lie, Annales de l'institut Fourier, 54, no.6, 1793-1810, 2004.

17. Андреев E.M., Винберг Э.Б., Элашвили А.Г. Орбиты наибольшей размерности полупростых линейных групп Ли, Функциональный анализ и его приложения, 1, №4, 3-7, 1967.

18. Вейль Г., Теория групп и квантовая механика, М., Наука, 1986.

19. Винберг Э.Б., Коммутативные однородные пространства и коизотропные действия, Успехи математических наук, т. 56, вып.1, 3-62, 2001.

20. Винберг Э.Б., Кимельфельд Б.Н., Однородные области на флаговых многообразиях и сферические подгруппы полупростых групп Ли, Функциональный анализ и его приложения, 12, 12-19, 1978.

21. Винберг Э.Б., Попов B.JL, Теория инвариантов, Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т.55. М.: ВИНИТИ, 137-309, 1989.

22. Гельфанд И.М., Цетлин M.JL, Конечномерные представления группы ортогональных матриц, ДАН СССР, Т. 71, № 6, 1017-1020, 1950.

23. Диксмье Ж., Универсальные обертывающие алгебры, Москва, Мир, 1978.

24. Желобенко Д.П., Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений, Успехи математических наук, т. 17, №1, 27-119, 1962.

25. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов, Москва, Мир, 1987.

26. Микитюк И.В., Об интегрируемости инвариантных гамилътноновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб., 129, 514-534, 1986.27.Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, М.: Наука, 1980.

27. Штепин В.В., Промежуточные алгебры Ли и их конечномерные представления, Изв. РАН, Сер. матем., 57, JYe6, 176-198, 1993.

28. Штепин В.В., Промежуточная ортогональная алгебра Ли Ьп 1/2 и ее конечномерные представления, Изв. РАН, Сер. матем., 62, №3, 201-223, 1998.

29. Штепин В.В., Промежуточная алгебра Ли Dni/2, весовая схема и ее конечномерные представления со старшим весом, Изв. РАН, Сер. матем., 68, №2, 159-190, 2004.

30. Элашвили А.Г., Индекс оросферических подалгебр полупростых алгебр Ли, Труды Тбил. Матем. Инст. 77, 116-126, 1985.Публикации автора на тему диссертации

31. Зорин A.A., О связи сферичности и слабой симметричности однородных пространств редуктивных групп Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. №4, 14-18, 2005.

32. Зорин A.A., О коммутативности централизатора подалгебры в универсальной обертывающей алгебре Ли. Депонировано в ВИНИТИ РАН 29.10.08 № 832-В2008, 26с.