Представления и инварианты унитреугольной группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Севостьянова, Виктория Владимировна

• Севостьянова, Виктория Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Севостьянова, Виктория Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Поле инвариантов присоединенного действия уни-треугольной группы на нильрадикале параболической

подалгебры

1.1. Основные определения

1.2. Другое определение инварианта Ь^

1.3. Вспомогательные утверждения о строении обобщенной базы

1.4. Система корней Т и главные миноры

1.5. Канонические матрицы на А-орбитах общего положения . 45 Глава 2. Алгебра инвариантов присоединенного действия

унитреугольной группы на нильрадикале параболической подалгебры

2.1. Алгебра инвариантов в случае двух блоков

2.2. Дополнительная серия А-инвариантов

2.3. Алгебра инвариантов в случае (2, к, 2)

2.4. Алгебра инвариантов в случае (1, 2, 2,1)

Глава 3. Структурные вопросы алгебры инвариантов

3.1. Конечная порождённость алгебры инвариантов

3.2. Свободность алгебры инвариантов

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления и инварианты унитреугольной группы»

Введение

Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина почти два века назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Еще в ХХ-м веке она оказала большое влияние на развитие многих разделов алгебры, таких как алгебраическая геометрия и теория представлений. В настоящее время теория инвариантов имеет обширные приложения и служит основой многих исследований в коммутативной алгебре, гомологической алгебре, теории алгебр и групп Ли, теории представлений алгебраических групп, алгебраической геометрии.

Основной задачей теории инвариантов принято считать проблему построения образующих алгебры инвариантов произвольной алгебраической группы, действующих на. аффинном алгебраическом многообразии, нахождение определяющих соотношений между этими образующими, указание канонических представителей орбит. В настоящее время, наряду с этими вопросами решаются задачи вычисления стабилизаторов, изучение алгебро-геометрических свойств самих орбит и их взаимного расположения, построение различного рода "сечений" и "факторов". Для того, чтобы явно описать все инварианты заданной алгебраической группы достаточно указать систему образующих алгебры инвариантов. Задача отыскания системы образующих произвольной группы сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры инвариантов. В 1890 г. Гильберт доказал теорему конечности для

алгебры инвариантов действия редуктивной линейной группы (см. [Н] или обзоры [УРЦКЬрЗрЫМ]).

Для нередуктивиых линейных групп проблема конечной порождегшости алгебры инвариантов не имеет удовлетворительного решения и представляется чрезвычайно трудной. Ключевым моментом в ее решении является случай унипотентных групп. Действительно, пусть С С СЬ(У) — алгебраическая линейная группа и и — ее унипотентный радикал. Тогда если алгебра к\у]и конечно порождена, то и алгебра к[У}с конечно порождена [УР]. В 1958 г. Нагата построил [ГчГ],[Э^ 1 ] пример унипотентной группы, алгебра инвариантов которой не является конечно порожденной. Вопрос о том, является ли алгебра инвариантов для произвольной алгебраической линейной группы конечно порожденной, называется 14-й проблемой Гильберта (сам Гильберт, правда, сформулировал ее в 1900 году иначе [РН], но после появления контрпримера Нагаты она стала рассматриваться именно в такой форме). В более широкой постановке 14-ую проблему Гильберта рассматривают как проблему конечной порожденности алгебр инвариантов произвольных действий алгебраических групп на аффинных многообразиях. В этом плане интересен результат В.Л. Попова [Р], являющийся в некотором смысле обращением теоремы конечности Гильберта. Некоторые положительные результаты по 14-й проблеме Гильберта получил Гроссханс [С1]. Оказалось, что вопрос о конечной порожденности алгебры инвариантов некоторой подгруппы Н редуктивной группы С на векторном пространстве сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры к[С/Н]. В работе [Нс1] Д.Хаджиев показывает, что когда Н — максимальная унипотентная подгруппа связной алгебраической группы С и С-алгебра конечно порождена, алгебра инвариантов действия группы Н также конечно порождена. Также можно отметить результат Вайценбёкка [V] о конечной порожденности любой одномерной унипотентной линейной группы.

Ряд положительных результатов имеется в случае, когда параболическая подгруппа Р редуктивной алгебраической группы С действует сопряжением на своем унипотеитоиом радикале и присоединенио па нильрадикале в соответствующей параболической подалгебре. В частности, Ричардсон показал (см. [Я]), что это действие имеет плотную Р-орбиту, называемую орбитой Ричардсона. Количество Р-орбит вообще говоря не является конечным, а проблема описания Р-орбит кажется очень трудной. Случай, когда Р имеет конечное множество орбит в нильрадикале, был поднят в работе Попова и Рорле [РЯ]. Для классических групп, если основное поле нулевой характеристики или характеристика хорошая, Хилле и Рорле классифицировали [ШИ],[НГ12] параболические подгруппы, имеющие конечное множество орбит на соответствующем нильрадикале. С помощью компьютера Юргенс и Рорле расширили классификацию до исключительных групп [Ж]. Более того, для параболических подгрупп в БЬ,, имеется точное описание Р-орбит [Н112], [ВН1Ш]. До настоящего времени не известно сколько-нибудь полное описание Р-орбит на нильрадикале для других классических типов. Специальный случай Р = В присоединенных орбит борелевской группы в нильпотент-ной алгебре Ли рассматривали Бюргстейн и Хесселинк [ВН]. В настоящей работе мы рассматриваем присоединенное действие максимальной унипо-тентной подгруппы в С на нильрадикале в соответствующей Р параболической подалгебре.

Здесь представляет интерес вопрос о том, как устроены классы сопряженности унипотентных групп. Над конечным полем в ряде работ рассматривались сопряженные классы группы и(д) строго верхнетреугольных матриц. Хигман и Томпсон изучали [Ы^],[Т] число классов сопряженности для группы Вера-Лопес и Арреджи показали [АУЬ], что число классов

сопряженности для п ^ 13 — многочлен от д с целыми коэффициентами. Другой подход к изучению присоединенных орбит максимальной унипотент-

ной группы состоит в том, чтобы рассматривать некоторый их класс, орбитальное многообразие, являющееся неприводимой компонентой пересечения нилыготентной орбиты и алгебры Ли строго верхиетреугольиых матриц. Орбитальные многообразия изучались в ряде работ Н.Спалтенстейна [8р1], Р.Стейнберга Э.Жозефа [Ло], Э.Бенлоло [Вп1], [Вп2], А.Мельниковой [М11],[М12] и др. В настоящей работе среди прочего мы описываем орбиты максимальной размерности присоединенного действия максимальной унипо-тентной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Целями настоящей работы являются изучение алгебры и поля инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Основные результаты исследований отражены в работах [РБ], [81]-[87].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы, содержащего 52 наименования. В каждой главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, предложений, замечаний и примеров и отдельная нумерация для формул. Для нумерации диаграмм используется сквозная нумерация. Общий объем диссертации составляет 107 страниц.

Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам.

В главе 1 получено полное описание поля инвариантов присоединенного действия унипотентной группы в нильрадикале параболической подалгебры. Основные результаты главы сформулированы в теоремах 1.5.5, 1.5.6 и 1.5.7.

Пусть К — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Обозначим через С группу СЦп, К). Пусть В (соответственно А) — ее борелев-ская (соответственно максимальная унипотентная) подгруппа треугольных матриц с ненулевыми элементами на диагонали (соответственно с единичными элементами по диагонали). Зафиксируем параболическую подгруппу Р, содержащую В. Обозначим через р, п подалгебры Ли в $1(п, К), соответ-

ствующие подгруппам Ли Р, N. Представим параболическую подалгебру р в виде р = m0r, где m — нильрадикал, а г — редуктивная подалгебра. Пусть размеры диагональных блоков в г равны (г\, 7*2,..., rs), п = г\ +Г2 + ... + rs.

Определено присоединенное действие на подалгебре m группы N:

AdyX = gxg~l, х Е m, д Е N.

Продолжим это действие до представления группы N в алгебре К\т] и поле К(т):

Adgf(x) = f{g-lxg), f(x) E K(m), g E N.

Настоящая работа посвящена изучению алгебры инвариантов K[m]N и поля инвариантов K(xn)N.

В параграфе 1 мы строим систему основных инвариантов и доказываем их алгебраическую независимость. Конструкция этой системы инвариантов базируется на следующих определениях. Через Д обозначим систему корней, определенную по максимальному тору в G, состоящему из диагональных матриц, а через Д+ и — соответственно систему всех положительных корней и подсистему корней в Д+, соответствующую редуктивной подалгебре г. Мы отождествляем положительный корень 7 = е^ — £j с парой (г, j) и множество положительных корней Д+ с множеством всех пар (i,j). Будем использовать также обозначение Е1 для базисного элемента Eij, если корень 7 = {hi)- Мы определяем отношение в Д+:

7' >- 7, если 7' — 7 €

Пусть j' у 7 или У -< 7, назовем корни 7 и 7' сравнимыми. Обозначим через М множество корней 7 Е Д+, для которых Е7 6 т. Будем отождествлять алгебру Я"[тп] с алгеброй многочленов от переменных Xij, (i,j) Е М.

Определение 1.1.1. Подмножество S в М будем называть базой, если элементы S попарно не сравнимы и для любого 7 £ M\S существует £ Е S, такой, что 7 >- Заметим, что М имеет единственную базу S.

Определение 1.1.4. Будем говорить, что два корня £ = (а, 6), = (с, d) из базы образуют допустимую пару q = (£,£')> если корень а9 = (6, с) содержится в Д+. Заметим, что находится по q однозначно.

По каждой допустимой паре <? = (£, £') построим положительный корень

= aq + Рассмотрим подмножество Ф = {(fig : q G Q}. Назовем множество корней S U Ф расширенной базой. По каждому корню из расширенной базы мы будем строить iV-инвариант. А именно, обозначим через X формальную матрицу, в которой на местах (i,j) G М стоят переменные Xij, а остальные элементы равны нулю. Для любого 7 = (а, 6) G М пусть S1 — множество тех £ = (i,j) в 5, для которых i > а и j < Ъ. Пусть 57 = {(ai, &i), • ■ •, (tt/c, Для каждого корня 7 G 5 мы определяем А/"-ин-вариантный минор М7 = X'/ матрицы X с упорядоченными системами строк / и столбцов J, где / = ord{a, аь ..., а/J, J = ord{&i,..., bk, b}. По каждому ip G Ф, соответствующему допустимой паре q = (£,£'), строим Af-инвариант

аьа2еД+ U{0} Oj +0:2=07,

Теорема 1.1.9. Для произвольной параболической подалгебры система многочленов {М£ G 5; L«^, </? G Ф} содержится в алгебре и ал-

гебраически независима над К.

Параграф 2 посвящен альтернативному определению инварианта L^, где (р G Ф. Пусть / и /' — наборы номеров строк и J и J' — наборы номеров столбцов (наборы образованы идущими подряд натуральными числами), причем та х/ < min J' ^ min/' и max J' ^ max/' < min J. Предположим,

что миноры Xj' и X'/, окаймлены нулями снизу и слева в матрице X. Пусть

|/| + |/'| = |J| + |J'|.

Назовем следующий определитель смешанным минором:

X/' (X2)/

0 X/,

/J'

Лемма 1.2.2. Смешанный минор Оур является N-инвариантом.

Предположим, что = {ьз) £ Ф соответствует допустимой паре (£, £'), аиЬ — номера строк, в которых лежат корни £ и соответственно, а р и д — количество корней соответственно в и Обозначим

I = {а,а+ 1,...,а + р}, 3 = {з ~ Я, 3 ~ Ч + ■ ■ ■, з),

/' = {6 + 1, 6 + 2,..., 6 + д}, 7' = {г - р, г - р + 1..., г - 1}.

Мы доказываем, что совпадает со смешанным минором • Обозначим через У подмножество в т, состоящее из матриц вида

с'рЕц»

(,€3 ^е Ф

где ф 0, с^, ф- 0. Будем называть матрицы из У каноническими.

Теорема 1.5.5. Существует непустое открытое по Зарискому подмножество и С т такое, что N-орбита любого х Е II пересекает У в единственной точке.

Доказательству этой теоремы посвящены параграфы 3—5 первой главы. Пусть теперь £ — множество знаменателей, порожденное минорами М^, £ Е 5. Образуем локализацию Я^т^ алгебры К[т] по Поскольку миноры М$ являются ^-инвариантами, то [т]^ = (Х[ш]5)ЛГ.

Теорема 1.5.6. Кольцо [ш]^ является кольцом многочленов от и Ь^, где £ Е 5 и <р Е Ф.

Теорема 1.5.7. Поле инвариантов К(т)^ поле рациональных функций от М^, ( е 5, и Ьр, (р Е Ф.

Следствие 1.5.8. Максимальная размерность N-орбиты в ш равна

сПтт - |£| - |Ф|.

Выпишем все корни обобщенной базы: 5 = {£ь ..., Ф = {<£>1, ..., (рд}. Рассмотрим отображение ш : т —> Кр+<1, действующее по правилу

Введем на обобщенной базе отношение частичного порядка <, для которого (а, Ь) < (с, о?), если а > с и Ь < д. Пусть (с^,..., с^,..., с^) € ти(т). Для а Е Б обозначим через са число где произведение берется по всем

корням (3 Е 5, таким, что ¡3 < а и /3 — максимальный корень в смысле порядка <. Пусть 17 С т — непустое открытое по Зарискому множество из условия теоремы 1.5.5. Мы можем явно выписать канонический представитель А^-орбиты любой матрицы из II.

Следствие 1.5.9. Пусть х Е V и т(х) = (с^,..., с^,..., с^ ). Канонический представитель N-орбиты элемента х имеет следующий вид:

где (Р'1 Е Ф соответствует допустимой паре (т^Т?-)'

В главе 2 предлагается конструкция, позволяющая строить некоторые ЛГ-инвариантные многочлены, дополнительные к построенным по обобщенной базе инвариантам. Мы показываем, что в ряде случаев эти дополнительные инварианты порождают алгебру инвариантов. Основные результаты настоящей главы — теоремы 0.1, 2.3.1 и 2.4.2.

В параграфе 1 мы приводим описание алгебры инвариантов в случае, когда редуктивная подалгебра в р образована двумя блоками, а именно, показываем, что алгебра инвариантов — свободная алгебра с образующими

( 6 5. Этот результат не является новым и может быть найден, например, в работе [Вг]. В параграфе 2 мы выписываем дополнительную серию ЛГ-иивариа.итов, которые не содержатся в алгебре, порожденной многочленами М^ и Ьр, где £ Е 5 и <р Е Ф.

Пусть р — произвольная параболическая подалгебра. Для произвольного корня (г,]) из обобщенной базы обозначим

_ I если (г,з) Е Ф;

I ^ • если (г,^) Е 5 и существует число а, такое, что

(а, г) Е б1.

Пусть теперь корни (т,г), (/,г), (т, 7) из Ф, (1^) Е и Ф, причем г < ] и т < /, и корень (т, г) соответствует допустимой паре (£, £'). Предположим I = т + 1, в этом случае обозначим

Теперь предположим, что не существует номера к (т < к < /), такого, что (г, к) лежит в обобщенной базе, обозначим

BmJ = С, г, =

Щ'

Lm+\,iLmj Lmj-\jljr

В силу алгебраической независимости Мс и L^ инварианты В^^С^ не содержатся в алгебре L^^s^eф- Из предложений 2.2.5 и 2.2.6 следует

следующая теорема.

Теорема 0.1. Api, С.г'п являются многочленами на m и инвариантны относительно присоединенного действия N.

Пусть а и b — номера строк, в которых лежат корни £ и соответственно, pnq — количество корней во множествах и Sg соответственно. Тогда, взяв

в качестве множеств

I = (а, а + 1,... , а + р}, 3 = {] - д,з - д + 1,... ,.?'}, Г = {6 + 2,6 + 3, ...,6 + 9}, 3' = {т-р + 1,т-р + 2...,т- 1},

мы показываем, что инвариант С}п совпадает со смешанным минором .

В параграфе 3 мы рассматриваем случай параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, к, 2), где к > 3. Обобщенная база в этом случае состоит из корней ^ Е (р{ Е Ф, г = 1,... ,4, где

6 = (М), 6 = (2,3), £з = (* + 1,А: + 4), & = {к + 2, к + 3),

<Р1 = (3,/с + 3), = (3, к + 4), = (4, /с + 3), </?4 = (4, к + 4).

Мы показываем, что инвариантов М^ и Ь^ не достаточно, чтобы образовать алгебру инвариантов.

Теорема 2.3.1. Для параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, /с, 2), к > 3, алгебра инвариантов /^[т]^ порождается многочленами Ь^ (£ Е 5, </? Е Ф) и элементом

3 " л^

Следствие 2.3.2. Алгебра инвариантов К[т]ы в случае (2,/с, 2), к > 3, изоморфна фактор-алгебре

К[ХиХ2, Х3, Х4, Уь У2, У3, У4, - У2У3 + У^).

Параграф 4 посвящен изучению случая, когда редуктивная подалгебра г образована блоками (1,2,2,1). Обобщенная база образована корнями

& Е 5, г = 1,...,4, щ Е Ф, з = 1,2, где

6 = (1,2), 6 = (3,4), & = (2,5), £4 = (5,6), = (2,4), (р2 = (4,6).

12

2

Здесь мы также показываем, что инвариантов М^. и Ь(р1 не достаточно, чтобы образовать алгебру инвариантов К[т]м. Обозначим I) = (X3)®.

Теорема 2.4.2. В случае (1,2,2,1) алгебра инвариантов ^[ш]^ порождается инвариантами М^ и Ь^ , где г = 1,... ,4 и ] = 1,2, и элементом Б.

Кроме того, в параграфе 4 мы получаем соотношение, связывающее И и инварианты из основной серии:

= - (3)

Следствие 2.4.3. Алгебра инвариантов в случае (1,2,2,1) изо-

морфна фактор-алгебре

К[ХЪХ2, х4, уь у2, г\/{х2г - те + хххъхА).

В главе 3 мы изучаем два вопроса о структуре алгебры инвариантов К[хп]м\ является ли алгебра инвариантов конечно порожденной и будет ли она. свободной. Найдены достаточные условия для того, чтобы алгебра инвариантов не являлась свободной. Теоремы 3.1.3, 3.2.3 и 3.2.4 содержат результаты главы 3.

В параграфе 1 мы показываем конечную порожденность алгебры инвариантов для частного случая параболических подалгебр.

Теорема 3.1.3. Пусть размеры диагональных блоков (г\, г2, • • •, г3) в подалгебре г монотонно возрастают (убывают). Тогда алгебра инвариантов является конечно порожденной.

В параграфе 2 поднимается вопрос о свободиости алгебры инвариантов ^[т]^. Если параболическая группа Р совпадает с борелевской В или если редуктивная подалгебра г состоит из двух блоков, алгебра инвариантов является свободной. Мы показываем, что это верно далеко не всегда, а именно,

для довольно большого класса параболических подалгебр А^т]^ не свободна. Здесь мы опираемся на результаты 3 и 4 параграфов второй главы.

Теорема 3.2.3. Пусть параболическая группа Р такая, что существует номер /с, для которого > 1, г/,: > 2, > 1. Тогда алгебра инвариантов К[т]м не является свободной.

Теорема 3.2.4. Пусть для некоторого номера /с, 1 < к < в — 1, выполняется Гк = Гк+1 = 2. Тогда алгебра инвариантов /^[т]^ не является свободной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Севостьянова, Виктория Владимировна, 2011 год

Список литературы

[УР] Винберг, Э.Б. Теория инвариантов / Э.Б. Винберг, В.Л. Попов // Итоги науки и техн., Сер. Соврем, проблемы мат. Фунд. исследования. - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т.55. - С. 137-309.

[СС] Гото, М. Полупростые алгебры Ли / М. Гото, Ф. Гроссханс - М.: Мир, 1981. - 336 с.

[К] Крафт, X. Геометрические методы в теории инвариантов / X. Крафт - М.: Мир, 1987. - 312 с.

[РБ] Панов, А.Н. Регулярные А^-орбиты в нильрадикале параболической подалгебры / А.Н. Панов, В.В. Севостьянова // Труды международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского. - Самара: Изд-во "Самарский университет", 2007. - С. 152-161.

[Р] Попов, В.Л. К теореме Гильберта об инвариантах / В.Л. Попов // Изв. ДАН СССР. - 1979. - Т.249. - №3. - С.551-555.

[РН] Проблемы Гильберта. - М.: Наука. - 1969.

[81] Севостьянова, В.В. Поле инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры / В.В. Севостьянова // Записки науч. семинаров ПОМИ. -2010. - Т.375. - С.167-194.

[52] Севостьянова, В.В. Алгебра инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры / В.В. Севостьянова // Вестник СамГУ. - 2010. -№2(76). - С.72-83.

[53] Севостьянова, В.В. Нильпотентные орбиты треугольной группы / В. В. Севостьянова // Тезисы докладов Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию

B.Е. Воскресенского. - Самара: Изд-во "Универс групп". - 2007. -

C.46.

Севостьянова, В.В. Adjoint orbits of the unitriangular group / B.B. Севостьянова //Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фад-деева, Санкт-Петербург - 2007. - С. 157-158.

[S5] Севостьянова, В.В. Регулярные У-орбиты в нильрадикале параболической подалгебры / В.В. Севостьянова // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. - М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ. - 2008. -С.208-209.

Севостьянова, В. В. Поле инвариантов присоединенного представления унитреугольной группы / В.В. Севостьянова // Тезисы докладов летней школы-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". - Самара: Изд-во "Универс групп". - 2009. - С.44-45.

Севостьянова, В.В. Поле и алгебра инвариантов присоединенного представления унитреугольной группы в нильрадикале парабо-

[S4]

[S6]

[S7]

лической подалгебры / B.B. Севостьянова // Тезисы докладов Второй школы-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". - Москва: Изд-во "Ол Би Принт". - 2011. -С.60-61.

[Sp] Спрингер, Т. Теория инвариантов / Т. Спрингер - М.: Мир, 1981. -192 с.

[Hd] Хаджиев, Д. Некоторые вопросы теории векторных инвариантов / Д. Хаджиев // Мат. сб. - 1967. - Т.72. - №3. - С.420-435.

[AVL] Arregi, J.M. Conjugacy classes in unitriangular matrices / J.M. Arregi, Vera A. Lopez // Linear Algebra Appl. - 2003. - V.370. - P.85-124.

[Bnl] Benlolo, E. Etude sur les variétés orbitales dans s(n(C): PhD thesis. /

E. Benlolo - Haifa University, 1990.

[Bn2] Benlolo, E. Sur la quantification de certaines variétés orbitales / E. Benlolo // Bull. Sei. Math. - 1994. - V.3. - P.225-241.

[Br] Brion, A4. Representations exceptionnelles des groups semi-simple / M. Brion // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. - 1985. - V.18. - P.345-387.

(BHRR] Briistle, T. The A-filtered modules without self-extensions for the Auslander Algebra of k[T]/{Tn) / T. Brüstle, L. Hille, С.M. Ringel, G. Röhrle // Algebras and Representation Theory. - 1999. - V.2. -P.295-312.

[BH] Bürgstein, H. Algorithmic orbit classification for some Borel group actions / H. Bürgstein, W.H. Hesselink // Compositio Math. - 1987. -V.61. - №1. - P.3-41.

[Gl] Grosshans, F. Observable groups and Hilbert's fourteenth problem /

F. Grosshans // Amer. J. Math. - 1973. - V.95. - №1. - P.229 253.

[G2] Grosshans, F. The invariants of unipotent radicals of parabolic subgroups / F. Grosshans // Invent. Math. - 1983. - V.73. - P. 1-9.

[G3] Grosshans, F. Algebraic homogeneous spaces and invariant theory / F. Grosshans // Lecture Notes in Math. - Springer-Verlag, 1997.

[J] Jantzen, J.C. Nilpotent orbits in representation theory, Lie theory /

J.C. Jantzen // Progr. Math. Birkhäuser, Boston, M, 2004. - V.228. -P. 1-211.

[Jo] Joseph, A. On the variety of a highest weight module / A. Joseph // J. of Algebra. - 1984. - V.88. - P.238-278.

[JR] Jürgens, U. MOP—algorithmic modality analysis for parabolic group actions / U.Jürgens.. G.Röhrle // Experiment. Math. - 2002. - V.ll. -№1. - P.57-67.

[Hs] Hesselink, W. A classification of the nilpotent triangular matrices / W. Hesselink // Comp. Math. - 1985. - V.55. - P.89-133.

[Hg] Higman, G. Enumerating p-groups / G. Higman //I. Inequalities, Proc. London Math. Soc. - 1960. - V.3. - №10. - P.24-30.

[H] Hilbert, D. Ueber die Theorie der algebraischen Formen / D. Hilbert // Math. Ann. - 1890. - V.36. - P.473-534.

[HR1] Hille, L. On parabolic subgroups of classical groups with a finite number of orbits on the unipotent radical ,/L. Hille, G. Röhrle // C.R. Acad. Sei. Paris. - 1997. - Série 1. - P.465-470.

[HR2] Hille, L. A classification of parabolic subgroups of classical groups with a finite number of orbits on the unipotent radical / L. Hille, G. Röhrle // Transformation Groups. - 1999. - V.4. - №1. - P.35-52.

[HM] Hochschild, G. Unipotent groups in invariant theory / G. Hochschild, G.D. Mostov .// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1973. - V.70. - P.646-648.

[Mil] Melnikov, A. Irreducibility of the associated variety of simple highest weight modules in si(n) / A. Melnikov // C.R. Acad. Sci. Paris (I). -1993. - V.316. - P.53-57.

[M12] Melnikov. A. Orbital varieties and order relations on Young tableaux / A. Melnikov - Preprint, 1994.

[M] Mumford, D. Geometric invariant Theory / D. Mumford - Berlin: Springer-Verlag, 1995. — 147 p.

[N] Nagata, M. On the fourteenth problem of Hilbert / M. Nagata // Amer. J. Math. - 1959. - V.81. - P.766-772.

[Pml] Pommerening, K. Invariants of unipotent groups / K. Pommerening // Lect. Notes in Math. - Springer-Verlag, 1987. - V.1278. - P.8-17.

[Pm2] Pommerening, K. Ordered sets with the standardizing propety and straightening laws for algebras of invariants / K. Pommerening // Advances in Math. - 1987. - V.63. - №3. - P.271-290.

[Pm3] Pommerening, K. Invarianten unipotenter Grouppen / K. Pommerening // Math. Z. - 1981. V.176. - P.359-374.

[Pm4] Pommerening, K. Observable radizclle Untergruppen von halbcinfachen algebraischen Gruppen / K. Pommerening // Math. Z. - 1979. -V.165. - P.243-250.

[PR] Popov, V. On the number of orbits of a parabolic subgroup on its unipotent radical / V. Popov, G. Rohrle // "Algebraic groups and Lie Groups" (G.I.Lehrer, ed.), Australian Math. Soc. Lect. Series, - 1997. -V.9. - P.297-320.

[R] Richardson, R.W. Conjugacy classes in parabolic subgroups of semisimple algebraic groups / R.W. Richardson // Bull. London Math. Soc. -1974. - V.6. - P.21-24.

[RRS] Richardson, R. Parabolic subgroups with Abelian unipotent radical / R.Richardson, G.Rbhrle, R.Steinberg // Invent. Math. - 1992. V.110. -P. 649-671.

[Rhl] Rohrle, G. Parabolic subgroups of positive modality / G. Rohrle // Geom. Dedicata. - 1996. - V.50. - P.163-186.

[Rh2] Rohrle, G. Maximal Parabolic Subgroups in Classical Groups are of Modality Zero / G. Rohrle // Geom. Dedicata. - 1997. - V.66. -P.51-64.

[Rh3] Rohrle, G. On normal abelian subgroups in parabolic groups / G.

Rohrle // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 1998. - V.48. - №5. - P.1455-1482.

[Spl] Spaltcnstein, N. Classes unipotcntcs dc sous-groupcs de Borel / N. Spaltenstein - LN in Math., vol. 964, Springer-Verlag, 1982.

[Stl] Steinberg, R. Nagata's example / R. Steinberg // Alg. Groups Lie Groups, Cambridge University Press, Austral. Math. Soc. Lect. Series. -1997. - V.9. - P.375-384.

[St2] Steinberg, R. On the desingularization of the unipotent variety / R. Steinberg // Invent. Math. - 1976. - V.36. - P.209-224.

[T] Thompson, J. k(Un(Fq)) / J. Thompson // Preprint, 2004. -http://www.math.ufl.edu/fac/thompson.html.

[V] Weitzenbock, R. Ueber die invarianten von linearen Gruppen / R. Weitzenbock // Acta Math. - 1932. - V.58. - P.230-250.