Численный анализ сверхзвуковых течений со сложными ударно-волновыми структурами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Хотяновский, Дмитрий Владимирович

• Хотяновский, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хотяновский, Дмитрий Владимирович

Введение

1 Основные уравнения и метод их численного решения

1.1 Основные уравнения.

1.2 Метод численного решения уравнений Навье-Стокса

1.2.1 Пространственная дискретизация на основе MUSCL TVD схемы.

1.2.2 Пространственная дискретизация на основе конечно-разностных ENO и WENO схем.

1.2.3 Интегрирование по времени.

1.3 Граничные условия.

1.4 Параллельная реализация численного алгоритма.

1.5 Результаты тестовых расчетов.

1.5.1 Одномерная задача об ударной трубе.

1.5.2 Задача о структуре ударной волны.

1.5.3 Отражение скачка уплотнения.

1.5.4 Распространение акустической волны.

2 Переход между регулярным и маховским отражением скачков

2.1 Постановка задачи и состояние исследований.

2.2 Переход между регулярным и маховским отражением при изменении угла клина.

2.3 Переход между регулярным и маховским отражением при изменении числа Маха набегающего потока.

2.4 Трехмерное регулярное и маховское отражение.

2.5 Особенности асимметричного взаимодействия скачков

2.6 Отражение скачка в условиях взаимодействия с догоняющей волной разрежения.

3 Влияние возмущений потока на регулярное и маховское отражения

3.1 Переход между регулярным и маховским отражением под действием возмущений плотности

3.2 Влияние импульсного энергоподвода на регулярное и маховское отражение

4 Неустойчивость высокоскоростных свободных сдвиговых течений

4.1 Мотивация исследования.

4.2 Результаты линейной теории устойчивости.

4.2.1 Устойчивость слоя смешения.

4.2.2 Устойчивость плоской струи

4.3 Нелинейное развитие возмущений.

4.3.1 Развитие возмущений в сжимаемом слое смешения

4.3.2 Неустойчивость плоской сверхзвуковой струи, истекающей в спутный поток.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ сверхзвуковых течений со сложными ударно-волновыми структурами»

Благодаря быстрому прогрессу вычислительной техники и появлению новых эффективных алгоритмов сквозного счета стало возможным проводить на основе численного решения уравнений Эйлера и Навье - Сток-са исследование сверхзвуковых течений со сложными взаимодействиями ударных волн и других газодинамических особенностей. Одной из таких задач является задача об отражении косого скачка от твердой поверхности или плоскости симметрии.

Как хорошо известно [1, 2], при отражении скачка в зависимости от угла падения а возможны конфигурации регулярного и маховского отражения. Теоретическое исследование регулярного и маховского отражением было начато в 40-х годах прошлого века в работах Дж. фон Неймана [3], который показал, что для достаточно сильных ударных волн существует диапазон углов падения скачка а^ < а < o>d (область двойного решения), внутри которого теоретически возможно существование обоих типов отражения. Вопрос о том, при каком же именно угле будет действительно происходить переход, оставался без точного ответа в течение нескольких последующих десятилетий. Господствовало мнение, что, скорее всего, при стационарном отражении ударных волн маховское отражение возникает, как только это становится возможным, т. е. вблизи о;jy.

В последние годы были получены новые численные и экспериментальные результаты, которые свидетельствуют, что регулярное отражение скачка может реализовываться при скдг < а < а^. В численном моделировании при изменении угла падения а наблюдается гистерезис [4, 5, б, 7]. При увеличении а регулярное отражение сохраняется в области двойного решения вплоть до значения а^, где происходит переход к маховскому отражению. При уменьшении угла падения маховское отражение сохраняется вплоть до значения а, близкого к скдг, где происходит переход к регулярному отражению. В экспериментах наблюдается большой разброс углов перехода к маховскому отражению. Во многих экспериментах в области двойного решения всегда наблюдается маховское отражение, переходы от регулярного отражения к маховскому и обратно происходят вблизи o/v [8]. В некоторых экспериментах [9, 10] при увеличении а регулярное отражение наблюдается в области двойного решения в небольшом диапазоне углов вблизи скдг, однако переход к маховскому отражению происходит при углах, существенно ниже а^. В недавних экспериментах, проведенных в ИТПМ СО РАН на аэродинамической трубе Т-325 с пониженной степенью турбулентности потока переход к маховскому отражению происходил вблизи а^ [и].

Объяснение причин расхождения экспериментальных данных друг с другом и с результатами численного моделирования является весьма актуальной задачей. В аэродинамическом эксперименте имеется большое число факторов, которые могут влиять на переход: возмущения потока аэродинамической трубы; трехмерность течения; нестационарность течения при изменении угла атаки клина, генерирующего падающий скачок; возможная асимметрия течения из-за неточной установки модели; и др. Кроме того, для понимания механизма перехода необходим анализ влияния некоторых физических особенностей течения: волн разрежения, исходящих с задней кромки клина; слоев смешения, исходящих из тройных точек при маховском отражении скачка; и т.п.

Другой важной стороной исследований может стать управление течением. В последнее время, активно рассматривается возможность управления сверхзвуковым обтеканием тел путем локального энерговыделения перед ними [12, 13, 14, 15]. В области двойного решения, где возможно существование различных ударно-волновых конфигураций, можно использовать введение в поток искусственных возмущений, чтобы сменить тип отражения. Поэтому представляется необходимым детальное численное моделирование процессов взаимодействия между возмущениями и стационарными конфигурациями ударных волн.

Неустойчивость слоя смешения, исходящего из тройной точки при маховском отражении, представляет отдельный интерес, поскольку развитие возмущений и интенсивное образование вихрей могут оказывать существенное влияние на маховскую конфигурацию. При углах падения скачка вблизи критерия Неймана, когда высота ножки Маха небольшая, усиление возмущений в слое смешения может приводить к преждевременному переходу к регулярному отражению в условиях, когда маховское отражение еще возможно по невязкой теории.

В соответствии с вышесказанным, целью диссертационной работы является численный анализ особенностей течения, важных для понимания механизма перехода между регулярным и маховским отражением скачков.

В соответствии с целью исследования представляется необходимым исследовать следующие конкретные задачи:

- исследовать нестационарный процесс перехода при непрерывном изменении углов клиньев и влияние скорости вращения клиньев на углы перехода;

- проанализировать влияние конечного размаха клина на конфигурацию регулярного и маховского отражений и углы переходов;

- исследовать возможность получения гистерезиса перехода при изменении числа Маха набегающего потока;

- изучить особенности асимметричного взаимодействия скачков, проверить существование теоретически возможных конфигураций взаимодействия;

- исследовать процесс перехода в условиях взаимодействия скачка с волной разрежения;

- исследовать возможность инициировать переходы между регулярным и маховским отражением в области двойного решения с помощью возмущений потока;

- исследовать механизмы неустойчивости слоя смешения и двух параллельных слоев смешения (плоской струи), определить влияние параметров течения (чисел Маха смешивающихся потоков) на характер развития неустойчивости.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Показано существование гистерезиса регулярного и маховского отражений при непрерывном изменении угла клина, исследовано влияние скорости вращения на углы перехода.

2. Обнаружено существование гистерезиса перехода при изменении числа Маха набегающего потока.

3. Детально изучена пространственная трехмерная структура регулярного и маховского отражений.

4. Полностью подтверждено существование теоретически возможных конфигураций асимметричного маховского взаимодействия. Обнаружено существование специфической конфигурации асимметричного регулярного взаимодействия, в которой один из отраженных скачков принадлежит сильному семейству.

5. Показано, что локализованные возмущения плотности в набегающем потоке могут вызывать переходы между регулярным и маховским отражением в области двойного решения.

6. Показана возможность управляемого перехода от регулярного к ма-ховскому отражению с помощью импульсного подвода энергии в поток.

7. Показан существенно различный механизм нелинейного развития неустойчивости в слое смешения и плоской струе при дозвуковых и сверхзвуковых конвективных числах Маха. Также показано, что синусоидальные возмущения является определяющими для неустойчивости плоской струи как при дозвуковых, так и сверхзвуковых конвективных числах Маха.

Полученные результаты способствуют значительному продвижению в понимании особенностей течения и механизма перехода между регулярным и маховским отражениями. Результаты исследований имеют большое значение для широкого круга приложений в аэрокосмической технике и энергетике, в частности при разработке воздухозаборников перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов, анализе течений газа в соплах, сверхзвуковых струях и других газодинамических устройствах. Положения, выносимые на защиту:

1. Результаты численного исследования перехода между регулярным и маховским отражением скачка при непрерывном изменении угла клина, зависимость углов перехода от скорости вращения клина.

2. Переход между регулярным и маховским отражением скачка при изменении числа Маха набегающего потока, гистерезис перехода.

3. Результаты исследования влияния конечного размаха клина на регулярное и маховское отражение.

4. Результаты исследования асимметричного взаимодействия скачков, гистерезис перехода, конфигурация регулярного взаимодействия с отраженным скачком сильного семейства.

5. Результаты исследования влияния догоняющей волны разрежения на падающий скачок; переход между регулярным и маховским отражением при изменении геометрических параметров задачи в условиях взаимодействия с догоняющей волной разрежения.

6. Результаты численного моделирования перехода между регулярным и маховским отражением под действием локализованного возмущения плотности, необходимые для этого пороговые амплитуды возмущений.

7. Результаты исследования влияния импульсного подвода энергии в поток на регулярное и маховское отражение, управляемый переход к маховскому отражению.

8. Характеристики линейной устойчивости сжимаемого слоя смешения и плоской изобарической струи со спутным потоком; результаты численного моделирования нелинейного развития волн неустойчивости.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Хотяновский, Дмитрий Владимирович

Основные результаты работы:

1. На основе численного моделирования показано, что нестационарные эффекты могут вызывать заметное изменение формы падающего скачка по сравнению со стационарным решением для данного значения угла, а также сдвиг углов перехода между регулярным и маховским отражениями. Показано наличие гистерезиса регулярного и маховского отражения при изменении угла клина и числа Маха потока.

2. Проведено трехмерное численное моделирование отражения скачков между двумя телами конечного размаха. Выявлено существование гистерезиса при переходе от регулярного к маховскому отражению, и обратно. Получено близкое совпадение высот ножек Маха в расчетах и экспериментах, а также подтверждено сильное влияние относительного размаха клина на высоту ножки Маха. Построены трехмерные формы взаимодействующих ударных волн для регулярного и маховского отражений, демонстрирующие наличие периферийного маховского отражения в случае регулярного отражения, немонотонную зависимость высоты ножки Маха от поперечной координаты. Обнаружен специфический комбинированный тип отражения.

3. Исследованы особенности асимметричного взаимодействия скачков. Показано наличие гистерезиса перехода между регулярным и маховским типами взаимодействия при изменении угла атаки одного из клиньев. В расчетах при маховском взаимодействии обнаружены предсказанные ранее теоретически конфигурации прямого, стационарного и инверсного отражения. Показано существование в некотором диапазоне параметров потока специфической конфигурации регулярного взаимодействия, в которой один из отраженных скачков принадлежит сильному семейству.

4. Исследован переход между регулярным и маховским отражением в условиях взаимодействия падающего скачка с волной разрежения. Подтверждена применимость критерия максимального угла поворота для предсказания перехода от регулярного к маховскому отражению. Численно показано наличие гистерезиса перехода при изменения расстояния между клиньями. Проведено сравнение с экспериментом ONERA, которое показало хорошее согласие численных и экспериментальных данных по высоте маховского скачка.

5. Путем численного моделирования показано, что если угол падения ударной волны находится внутри области двойного решения, то локальные изменения плотности набегающего потока могут привести к переходу между регулярной и маховской ударно-волновыми конфигурациями. Пороговая амплитуда возмущений, вызывающих такой переход, определена аналитически. Вызвать переход к маховскому отражению оказывается существенно легче, чем обратный переход, так что маховская конфигурация может рассматриваться как более устойчивая в области двойного решения по сравнению с регулярной.

6. Исследовано взаимодействие возмущения потока, индуцированного с помощью одиночного лазерного импульса, с трехмерными конфигурациями регулярного и маховского отражения. Показано, что возмущение такого вида может индуцировать переход от регулярного к маховскому отражению в области двойного решения.

7. На основе линейной теории и с помощью прямого численного моделирования проведено исследование устойчивости слоя смешения сжимаемого газа и плоской изобарической струи. Увеличение конвективного числа Маха приводит к появлению двух новых неустой

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хотяновский, Дмитрий Владимирович, 2007 год

1. Черный Г.Г. Газовая динамика.- М.: Наука, 1988 - 424с.

2. Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Beylich A.E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves // Phys. Fluids. 1995. - V. 7. - P. 685-687.

3. Chpoun A., Ben-Dor G. Numerical confirmation of the hysteresis phenomenon in the regular to the Mach reflection transition in steady flows // Shock Waves. 1995. - V. 5. - P. 199-203.

4. Schmisseur J., Gaitonde D. Numerical simulation of Mach reflection in steady flows // AIAA Paper 2001-0741, 13 p.

5. Hornung E.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock wave. Part 2. The steady-flow criterion //J. Fluid Mech. 1982. - V. 123. - P. 155-164.

6. Chpoun A., Passerel D., Li H., Ben-Dor G. Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 1. Experimental investigation // J. Fluid Mech. 1995. - V. 301. - P. 19-35.

7. Sudani N., Sato M., Karasawa Т., Noda J., Tate A., Woatanabe M. Irregular effects on the transition from regular to Mach reflection of shock waves in wind tunnel flows //J. Fluid Mech. 2002. - v. 459, p. 167-185.

8. Ivanov M.S., Kudryavtsev A.N., Nikiforov S.B., Khotyanovsky D.V., Pavlov A.A. Experiments on shock wave reflection transition and hysteresis in low-noise wind tunnel // Physics of Fluids. 2003. - V. 15, No. 6, 2003, P. 1807-1810.

9. Георгиевский П.Ю., Левин В. А. Управление обтеканием различных тел с помощью локализованного подвода энергии в сверхзвуковой набегающий поток // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. № 5. - С. 155-167.

10. Третьяков П.К, Гаранин А.Ф., Грачев Т.Н., Крайнев В.Л., Понома-ренко А.Г., Иванченко А.И., Яковлев В. И Управление сверхзвуковым обтеканием тел с использованием мощного оптического пульсирующего разряда // Докл. Академии Наук. 1996. - Т. 351, № 3.

11. Коротаева Т.А., Фомин В.М., Шашкин А.П. Анализ воздействия локального энергоисточника на сверхзвуковое обтекание эллиптического конуса // Прикл. механика и техн. физика. 1999. - Т. 40, № 6.

12. Желтоводов А.А., Пимонов Е.А. Исследование воздействия локализованного энергоподвода на взаимодействие продольного вихря с косым скачком уплотнения // Теплофизика и аэромеханика. 2005. - Т. 12. -№ 4. - С. 553-574.

13. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ.- М.: Мир, 1991. 552с.

14. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

15. Moretti G. Three-dimensional supersonic flow computations // AIAA Journal. 1963. - V. 1, No. 9. - P. 2192-2193.

16. Бабенко К.П., Воскресенский Г.П., Любимов А.Н., Русанов В.В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. М: Наука, 1964. - 508 с.

17. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач: Пер. с англ. М: Мир, 1972. - 420 с.

18. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. В 2-х т. -М: Наука, 1970.22. von Neumann J., Richtmyer R.D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks //J. Applied Physics. 1950. - Vol. 21. - P. 232— 237.

19. Самарский AA., Арсенин В.Я. О численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкости // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1961. -Т. 1, № 2. - С. 357-360.

20. Куропатенко В. Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений гидродинамики // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. 1962. Т. 3, № 28. - С. 75-83.

21. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикладной механики. Вычисл. центр; Ред. Федотова З.И. Новосибирск: Наука, 1985, 364 с.

22. Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. Сборник. 1959. - Т. 47, вып. 3.- С. 271-306.

23. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые зап. ЦАГИ. 1972. - Т. 3, № 6.- С. 68-77.

24. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. V. 49, No. 3. - P. 357-393.

25. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementaton of essentially non-oscillatory schock-capturing schemes //J. Comput. Phys. 1989. - V. 83. - N. 1. -P. 32-78.

26. Чакраварти С.P., Жем К.-И. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. 1987. - № 11. - С. 22-35.

27. Einfeldt В, Munz C.D., Roe P.L., Sjogren В. On Godunov-type methods near low densities // J. Comput. Phys. 1991. - V. 92. -P. 273-295

28. Yamamoto S., Daiguji H. Higher-order-accurate upwind schemes for solving the compressible Euler and Navier-Stokes equations // Computers and Fluids. 1993. - V. 22. - P. 259-270.

29. Jiang G.S., Shu C. W. Efficient Implementation of Weighted ENO Schemes // J. Comput. Phys. 1996. - V. 126. -P. 202-228.

30. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementaton of essentially non-oscillatory schock-capturing schemes //J. Comput. Phys. 1988. - V.77. - N.2. -P.439-471.

31. Thompson K. W. Time dependent boundary conditions for hyperbolic systems //J. Comput. Phys. 1987. -V.68. - P. 1-24.

32. Poinsot T.J., Lele S.K Boundary conditions for direct simulations of compressible viscous flows //J. Comput. Physics . -1992. V. 101. -P. 104-129.

33. MPI: A message passing interface standard. University of Tennessee, Knoxville, Tennessee: 1994, 228p.

34. Sod G.A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws //J. Comput. Phys. 1978. - V. 27. -P. 1-31.

35. Harten A., Engquist В., Osher S., Chakravarthy S.R. Uniformly high-order accurate essentially nonoscillatory schemes, III // Journal Comput. Physics. 1987. - V. 71. - P. 231-303.

36. Lax P. D. Weak solutions of non-linear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. - V. VII. -P. 159-193.

37. Хайрер Э., Нёрсетт СВаннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

38. Хейз У.Д. Основы теории газодинамических разрывов. В кн.: Основы газовой динамики / под. ред. Г. Эммонса, пер. с англ. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 702с.

39. Адрианов А.Л., Усков В.Н., Старых А.Л. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. - 180 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В Ют. Т. VI. Гидродинамика. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1986. -736с.

41. Bleakney W., ТаиЪ А.Н. Interaction of shock waves. Reviews of Modern Physics. - 1949. - V. 21, No. 4. - P. 584-605.

42. Bazhenova T.V., Fokeev V.P., Gvozdeva L.G Regions of various forms of Mach reflection and its transition to regular reflection // Acta Astronautica. 1976. - V. 3, P. 131-140.

43. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах / Баженова Г.В. и др. М.: Наука, 1986. - 206 с.

44. Pantazopol D., Bellet J.-С., Soustre J. Sur les conditions d'apparition de l'effet de Mach dans la reflexion d'une onde de choc oblique en ecoulement supersonique // C.R. Acad. Sc. Paris. 1972 - T. 275. - Ser. A. - P. 225228.

45. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflexion // J. Fluid Mechanics. 1975. - V. 68, Pt. 1. - P. 139-155.

46. Hornung H. G., Oertel H., Sandeman R.J. Transition to Mach reflexion of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation //J. Fluid Mech. 1979. - v. 90. - P. 541-560.

47. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1987.- 840с.

48. Гриффите У. Ударные волны. В кн.: Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М: Мир. 1984,- с. 120-146.

49. Ivanov M.S., Zeitoun D., Vuillon J., Gimelshein S.F., Markelov G.N. Investigation of the hysteresis phenomena in steady shock reflection using kinetic and continuum methods // Shock Waves. 1996. - vol. 5, p. 341346.

50. Ivanov M.S., Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., Gimelshein S.F. Numerical analysis of shock wave reflection transition in steady flows // AIAA J. 1998. - v. 36, p. 2079-2086.

51. Passerel D. Etude de la transition entre reflexion reguliere et reflexion de Mach. These de doctorat de l'Universite Pierre et Marie Curie. Paris, 1996.

52. Quirk J.J. AMRITA A computational facility (for CFD modeling) // VKI 29th CFD Series. - 1998. - p. 23-27.

53. Park S. 0., Chung Y.M., Sung H.J. Numerical study of unsteady supersonic compression ramp flows // AIAA J. 1994. - vol. 32- no. 1. - p. 216-218.

54. Skews B.W. Aspect ratio effects in wind tunnel studies of shock wave reflection transition // Shock Waves 1997. - v. 7 - p. 373-383.

55. Иванов M.C., Кудрявцев A.H., Никифоров С.Б., Хотяновский Д.В. Переход между регулярным и маховским отражением ударных волн: новые численные и экспериментальные результаты // Аэромеханика и газовая динамика. 2002 - №3.- с. 3-12.

56. Li Н., Chpoun A., Ben-Dor G. Analytical and experimental investigations of the reflection of asymmetric shock waves in steady flows // J. Fluid Mech. 1999. - v. 390, p. 25.

57. Chpoun A., Lengrand J. C. Confirmation experimentale d'un phenomene d'hysteresis lors de l'interaction de deux chocs obliques de families differentes // C. R. Acad. Sci. Paris. 1997,- v. 304, p. 1.

58. Hornung E.G. // Shock Waves 7, 123 (1997)

59. Solas M.D., Morgan B.D. // AIAA J., 21, 1611 (1983)

60. M older S.M., Timofeev E.V., Dunham C.G., McKinley S., Voinovich P. A. //Shock Waves 10, 389 (2000)

61. H. Li and G. Ben-Dor Oblique-shock/expansion-fan interaction -analytical solution // AIAA J.- 1996,- v. 34. no. 2. - p. 418-421.

62. Мешков В.P., Омелъченко А.В., Усков B.H. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения // Вестник С.-Пб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 2, № 9. - С. 99-106.

63. Durand A. Phenomenes d'hysteresis dans les interferences de choc, en ecoulements stationnaires supersonique et hypersonique // These de doctorat de l'Universite d'Orleans, Orleans, 2002, 199p.

64. Тешуков B.M. Об устойчивости регулярного отражения ударных волн // ПМТФ,- 1989.- №2,- С.26-33.

65. Ivanov M.S., Kudryavtsev A.N., Markelov G.N., Gimelshein S.F. Transition between regular and Mach reflection of shock waves in steady flows // AIAA Paper 97-2511.

66. Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Markelov G.N. Statistical simulation of the transition between regular and Mach reflection in steady flows // Computers and Mathematics with Applications. 1998. - V. 35. - N. 1-2. - P. 113-126.

67. Yan H., Adelgren R., Elliott G., Knight D., Beutner Т., Ivanov M. Laser energy deposition in intersecting shocks // AIAA Paper 2002-2729.

68. Yan H., Adelgren R., Elliott G., Knight D., Beutner TEffect of energy addition on MR RR transition // Shock Waves. 2003. - V. 13. -P. 113-121.

69. Yan H., Adelgren R., Boguszko M., Elliott G., Knight D. Laser energy deposition in quiescent air // AIAA Journal. 2003. - V. 41. - P. 19881995.

70. Adelgren R., Yan H., Elliott G., Knight D., Beutner Т., Zheltovodov A., Ivanov M., Khotyanovsky D. Localized flow control by laser energy deposition applied to Edney IV shock impingement and intersecting shocks // AIAA paper 2003-0031.

71. Кудрявцев A.H., Соловьев А.С. Устойчивость слоя сдвига сжимаемогогаза // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1989. - № 6. - С. 119— 127.

72. Jackson T.L., Grosch С.Е. Inviscid Spatial Stability of a Compressible Mixing Layer //J. Fluid Mech. 1989. - V. 208. - P.609-637

73. Бетчов P.,Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.

74. Gill А.Е. Instabilities of "top-hat"jets and wakes in compressible fluids // Physics of Fluids. 1965. - V. 8. - P. 1428-1430.

75. Watanabe D, Maekawa H. Transition of supersonic plane jet due to symmetric/antisymmetric unstable modes // Journal of Turbulence. -2002. V. 3, P. 1-17.

76. Metcalfe R.W., Orszag S.A., Bracket M.E., Menon S., Riley J.J. Secondary instability of a temporally growing mixing layer //J. Fluid Mech. 1987. - V. 184. - P. 207-243.

77. Soetrisno M., Eberhardt S., Riley J.S., McMurtry P. A study of inviscid, supersonic mixing layers using a second-order total variational diminishing scheme // AIAA J. 1989. - V. 27, No. 12. - P. 1770-1778.

78. Hedges L.S., Eberhardt D.S. Comparison of confined, compressible, spatially developing mixing layers with temporal mixing layers // AIAA J. 1993. - V. 31, No. 11. - P. 1977-1983.

79. Но C.M., Huerre P. Perturbed free shear layers // Annual Rev. of Fluid Mech. 1984. - V. 16. - P. 365-424.