W-модификация метода Годунова и ее приложения в моделировании газодинамических течений с ударными волнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Васильев, Евгений Иванович

• Васильев, Евгений Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Васильев, Евгений Иванович

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И СОДЕРЖАНИЕ \У-МОДИФЙКАЦИИ МЕТОДА ГОДУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

1.1. Общие понятия и определения. Задача Римана. Формулировка схемы Годунова. Подход к повышению точности схемы Годунова

1.2. Линейные и нелинейные модификации схемы Годунова второго порядка для модельного уравнения переноса. Условие монотонности.

Второе дифференциальное приближение. Примеры функций-лимитеров

1.3. Нелинейная модификация схемы Годунова для двумерного уравнения переноса. \¥-шаблон вычисления поправок. Теорема о монотонности в двумерном случае. Примеры функций осреднения пш1(а,&)

1.4. Обобщение ^^-модификации для системы уравнений в одномерном и двумерном случаях

2. \¥-МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ГОДУНОВА НА ПОДВИЖНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТКАХ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДВУМЕРНЫМ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ТЕЧЕНИЯМ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

2.1. Дифференциальные и интегральные формы уравнений движения. Расчетные формулы для подвижной четырехугольной ячейки

2.2. Процедура ускорения численного решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва.

2.3. Вычисление Ш-поправок к методу Годунова для уравнений Эйлера на подвижных криволинейных сетках. Тестовые расчеты и оценка порядка точности ЭД"-метода

2.4. Перемещение границы подвижной сетки, связанной с ударной волной

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ

С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

3.1. Истечение сверхзвуковой струи из расширяющейся щели. Влияние скорости расширения щели и начального перепада давлений на характер течения. Периодические пульсации течения при медленном расширении щели.

3.2. Распад комбинированного разрыва около прямого угла. Режим течения с периодическими пульсациями

3.3. Маховское отражение сильной ударной волны от клина. Различные случаи отражений. Пульсации спутной струйки в двойном маховском отражении

3.4. Маховское отражение слабой ударной волны от клина в условиях парадокса Неймана. Методика численного моделирования и результаты вычислений. Четырехволновая схема течения. Сопоставление численных, теоретических и экспериментальных результатов

4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ОТРАЖЕНИЯ КОСОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

4.1. Некоторые особенности численного моделирования

4.2. Влияние подветренного угла порождающего клина и внешнего противодавления

4.3. Численное исследование неоднозначности стационарного отражения косой ударной волны. Эффекты гистерезиса.

4.4. Эффект гистерезиса при вариации внешнего противодавления

5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА

5.1. Уравнения движения запыленного газа. Трехэтапная разностная схема численного решения

5.2. Численное моделирование взаимодействия плоской ударной волны с пылевым облаком

5.3. Течение запыленного газа в сверхзвуковых соплах и струях. Постановка задачи. Методика построения сетки и реализация граничных условий. Результаты численного моделирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «W-модификация метода Годунова и ее приложения в моделировании газодинамических течений с ударными волнами»

Исследование различных течений жидкости и газа с помощью моделирования на ЭВМ стало в настоящее время признанным и быстроразвивающимся направлением науки, получившим название вычислительная аэрогидродинамика. Эта дисциплина состоит из теории механики жидкости и газа, вычислительных методов, математического и программного обеспечения ЭВМ.

Численное моделирование аэрогидродинамических явлений относится к разряду наиболее ресурсоёмких компьютерных задач. Стремительный рост быстродействия и памяти ЭВМ не может в полной мере удовлетворить потребностям практики и научных исследований, опережающий рост запросов которых во многом стимулируется именно прогрессом вычислительной техники. По этой причине совершенствование имеющихся и создание новых экономичных и быстродействующих численных методов неизменно является актуальной и первостепенной задачей вычислительной аэрогидродинамики.

Для серийных практических расчетов наиболее важными требованиями являются относительная простота и надежность численного метода. Для газодинамических течений с ударными волнами первым методом, удовлетворяющим указанным критериям, по праву считается метод, основанный на "распадной" схеме С.К. Годунова [34]. Гибкость метода, сочетающая устойчивый сквозной счет с возможностью использования подвижных сеток и простых процедур выделения разрывов, определила его широкое распространение не только в России. Значительную роль в популяризации метода сыграла вышедшая в 1976г. первая в своем роде коллективная монография [36].

Последующее развитие явной схемы Годунова связано с появлением монотонной модификации Колгана [43], имеющей второй порядок по пространственной переменной, идеи которой далее были развиты и обобщены в целом ряде отечественных [44, 47, 26, 27, 64, 65, 57, 33, 4] и зарубежных работ [162, 163, 105, 92, 157, 174, 106, 175, 93].

Монотонные схемы для одномерной нестационарной газодинамики изучены достаточно полно. К 90-ым годам работы по монотонным методам повышенной точности переместились в актуальную плоскость создания и исследования схем для нестационарных многомерных течений однофазных, двухфазных и вязких сред. С повышением сложности математических моделей неизбежно возрастает и сложность разностных схем. В связи с этим повышается роль тестирования методов и их апробации на примере классических двумерных нестационарных задач, в которых еще имеется целый спектр собственных нерешенных проблем (например, задача о маховском отражении ударных волн).

Целями настоящей работы являются: создание и тестирование эффективных полностью двумерных монотонных разностных схем повышенной точности для расчетов нестационарных плоских и осесим-метричных течений однофазных и двухфазных сжимаемых сред исследование пульсирующей неустойчивости автомодельных решений в некоторых течениях струйного типа с ударными волнами комплексное численное исследование нестационарного маховского отражения сильных ударных волн от плоского клина численное моделирование с высокой точностью маховского отражения слабой ударной волны от плоского клина и создание обоснованных теоретических схем течения около тройной точки в условиях парадокса Неймана численное моделирование стационарного отражения косой ударной волны от плоскости и исследование гистерезисных эффектов численное моделирование и исследование течений запыленного газа в соплах и перерасширенных струях, включая нестационарную фазу формирования течения

Разработка новых численных методик осуществляется на базе известного метода С.К. Годунова. При исследовании свойств разностных схем используется метод дифференциального приближения [69]. Применяется теоретическое обоснование монотонности разностной схемы для модельного двумерного уравнения переноса. Численные расчеты проводятся с помощью созданной W-модификации метода Годунова на криволинейных подвижных сетках с применением как известной [48], так и модифицированной процедуры выделения ударных волн.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы; содержит 213 стр., включая 86 стр. с рисунками и 12 стр. списка литературы. В работе 106 рисунков и 178 библиографических ссылок.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Васильев, Евгений Иванович

Основные результаты и выводы работы:

1. Предложена новая полностью двумерная модификация схемы Годунова с вычислением поправок на W-шаблоне, которые обеспечивают второй порядок точности по пространству и времени. Доказаны теоремы о монотонности схемы для линейного скалярного уравнения переноса в одномерном и двумерном случаях. Предложены новые виды функций осреднения (лимитеры), значительно повышающие степень локализации слабых ударных волн и контактных разрывов. Выведены формулы вычислений поправок для уравнений Эйлера в случае криволинейных подвижных сеток. Разработана процедура быстрого решения задачи Римана с контролем точности. Предложена модифицированная схема расчета перемещений узлов ударной волны при ее выделении, учитывающая скорость распространения возмущений за фронтом волны. На примере тестовых задач показана эффективность метода при расчете разрывных течений и продемонстрирован второй порядок точности при расчете двумерных нестационарных непрерывных течений.

2. Рассмотрена новая задача об истечении газа из расширяющейся щели, моделирующая начальную стадию раздвижения диафрагмы в ударной трубе.

Методом установления получены автомодельные решения при больших и средних скоростях раздвижения {Vq > 0.2со), исследовано влияние исходных параметров на конфигурацию и расположение внутренних ударных волн, контактных и тангенциальных разрывов, обнаружено наличие вихревой области, давление в которой в 2-3 раза ниже давления перед первичной волной. В области исходных параметров выявлена граница существования вторичного скачка торможения на оси симметрии, в частности установлено, что в режиме быстрого раздвижения с присоединенным к кромке диафрагмы фронтом первичной ударной волны вторичный скачок не возникает. При медленных раздвижениях диафрагмы (Vp < 0.2со) обнаружено отсутствие (неустойчивость) автомодельных решений, вместо которых наблюдаются пульсации течения с периодом равным времени 4-х —5-ти кратного увеличения размера щели. Объяснен механизм порождения и поддерживания пульсаций течения, установлено, что амплитуда колебаний растет при уменьшении скорости раздвижения УЬ и перепада давлений Pi/Pô? достигая 40-50% по избытку давления на первичной ударной волне.

3. Обнаружены пульсации аналогичной природы в течении, возникающем при распаде комбинированного разрыва с сектором плотного газа около кромки прямого угла. Получен эффект кратного увеличения частоты пульсаций при уменьшении их интенсивности.

4. Проведено численное исследование нестационарного маховского отражения сильной ударной волны от клина в широком диапазоне исходных данных с использованием технологии выделения фронтов ударных волн.

Установлено, что выпуклость-вогнутость фронта Маха и закручивание контактной поверхности вслед за фронтом Маха не имеют жесткой связи между собой и с каким-либо типом отражения. Изучено влияние числа Маха падающей ударной волны Mi и угла клина 0Ш на геометрию спутной струйки. Обнаружена неустойчивость тангенциального разрыва и спутной струйки в двойном маховском отражении в диапазоне М* ^ 2.5, 45° ^ вт ^ 25°. Нерегулярные пульсации в струйке вызывают колебания параметров на стебле Маха, которые по избыточному давлению не превышают 10%. Установлены некоторые закономерности для зависимостей интенсивности стебля Маха и угла траектории тройной точки от исходных данных. Для двойного маховского отражения впервые обнаружен каскадный тип взаимодействия второго стебля Маха с тангенциальным разрывом, который характеризуется чередующейся последовательностью волн сжатия и разрежения с убывающей интенсивностью. В области двузначности решения обнаружены новая разновидность двойного маховского отражения и переходный вид между двойным и тройным маховским отражением.

5. Для численного моделирования отражения слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана разработана специальная методика расчета на подвижной сильно неравномерной сетке с выделением всех разрывов.

По результатам расчетов обнаружено присутствие центрированной сверхзвуковой волны разрежения за отраженным фронтом и построена новая четырехволновая (4\¥) теория течения в окрестности тройной точки, которая дополняет трехударную теорию Неймана и устраняет теоретический аспект парадокса. Исходя из положений 4\¥-теории выведено уравнение для формы отраженного фронта и показано, что отраженный фронт имеет логарифмическую особенность в тройной точке. Классифицированы три вида отражений слабых ударных волн с особенностью: слабое неймановское сильное неймановское (БИ) и слабое маховское С\¥М), причем показано, что для двух последних характерный размер особенности более чем на порядок меньше пределов разрешимости экспериментальных измерений в настоящее время. Обнаружено, что граница возникновения особенности в тройной точке лежит в области простого маховского отражения (БМЯ). С помощью экстраполяции численных результатов установлено, что предельные конфигурации ударных волн и параметры течения непосредственно в тройной точке для всех видов отражений описываются трехударной и четырехволновой теориями. Продемонстрировано хорошее согласие теоретических результатов с известными экспериментальными данными.

6. Проведено численное моделирование стационарного маховского отражения сильной ударной волны в канале в диапазоне двузначности решения.

Исследовано влияние подветренного угла отражающего клина на характер течения. Подтвержден эффект гистерезиса по углу падающей волны. Показано, что область гистерезиса покрывает весь диапазон двузначности решения. Обнаружено, что выделение фронта падающей волны создает побочный численный эффект более раннего перехода регулярного отражения в маховское и сужает область гистерезиса. Создана процедура выделения линии срыва в режимах с противодавлением, с помощью которой рассчитаны зависимости для высоты минимального сечения канала. При вариации противодавления обнаружен эффект вынужденного гистерезиса в переходах между регулярным отражением и инверсным маховским отражением. Найдены две разновидности переходных процессов Ш1—>1пМ11: с промежуточной стадией в виде переходного регулярного отражения (TR.it) и без промежуточной стадии. Определены границы между этими разновидностями. Показано, что переходы ГШ^иМИ в обоих направлениях сопровождаются скачкообразным изменением высоты ножки Маха и перестройкой структуры течения.

7. С использованием процедуры вычисления поправок на \У-шаблоне построена новая трехэтапная разностная схема второго порядка для двумерных нестационарных течений запыленного газа. Продемонстрирована эффективность предложенного метода на примере задачи о взаимодействии ударной волны со сферическим облаком пыли. Показано, что неявная аппроксимация правых частей позволяет получать хорошие результаты и в случае жестких источниковых членов.

Проведены расчеты сквозного формирования двухфазного течения в сопле ЛРЬ (короткое сопло) и в перерасширенной струе на выходе из сопла начиная с момента запуска при разрыве диафрагмы в критическом сечении и заканчивая установлением течения в струе.

Изучено влияние размера частиц, начальной загрузки и коэффицента сопротивления на характеристики стационарного течения. Установлено, что влияние частиц "малого" и "большого" размеров приводит к смещению диска Маха в струе в противоположных направлениях. Для чистого газа при повышенном противодавлении обнаружены пульсации в струе из-за неустойчивого положения диска Маха. Показано, что присутствие пыли стабилизирует течение в струе и уменьшает время формирования течения внутри сопла. Обнаружено, что существует оптимальный размер частиц, быстро демпфирующих распространение слабых возмущений в дозвуковой секции сопла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненных автором исследований созданы новые эффективные численные методы моделирования нестационарных разрывных движений однофазных и двухфазных сред, на основе которых обнаружен и описан целый ряд ранее неизвестных закономерностей в газодинамических течениях с ударными волнами.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Васильев, Евгений Иванович, 1999 год

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах. Т. 1. М.: Мир, 1990. 384 с.

2. Арутюнян Г.М., Белоконь В.А., Карчевский Л.В. О влиянии показателя адиабаты на отражение ударных волн

3. ПМТФ. 1970. N 74. С. 62-66.

4. Арутюнян Г.М., Карчевский Л.В. Отраженные ударные волны. М.: Машгиз. 1973. 376 с.

5. Аукин М.К., Тагиров Р. К. Конечно-разностная схема второго порядка точности для расчета трехмерных сверхзвуковых течений идеального газа / / ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29. N 7. С. 1057-1066.

6. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука. 1977. 271с.

7. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П., Ляхов В.Н., Фаресов Ю.М., Фокеев В. П. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. М.: Наука. 1986. 206с.

8. Бен-Дор Г., Деви Дж.М. Универсальные обозначения для схемы отражения ударных волн. Проект // Аэрокосмическая техника. 1986. N 5. С. 194-196.

9. Британ A.B., Васильев Е.И. Ударный запуск плоских сопел с большим углом раствора // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N 4. С. 100-106.

10. Британ A.B., Васильев Е.И. Особенности формирования течения в профилированном сопле ударной трубы // Докл. АН СССР. 1985. Т 281. N 2. С. 295-299.

11. Британ A.B., Васильев Е.И. Исследование запуска профилированного сопла ударной трубы большого диаметра // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 5. С. 88-95.

12. Британ А.БВасильев Е.И., Митичкин С.Ю. Волновые процессы в ударной трубе переменного сечения // Теплофизика высоких температур. 1992. Т. 30. N6. С, 1136-1141.

13. Британ A.B., Васильев Е.И., Куликовский В.А. Моделирование процесса ослабления ударной волны экраном из пены // Физика горения и взрыва. 1994. N 3. Т. 30. С. 135-142.

14. Васильев Е.И. Нестационарное движение сверхзвуковой струи в затопленном пространстве // В сб. Аэродинамика входа тел в атмосферы планет. М.: Изд-во МГУ. 1983. С. 24-28.

15. Васильев Е.И. Нестационарное истечение струи в затопленное пространство // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N 1. С. 42-46.

16. Васильев Е.И. Монотонная модификация схемы Годунова второго порядка точности по пространству и времени для квазиодномерных нестационарных уравнений газовой динамики // Матем. моделирование в задачах механики и управления. Волгоград, 1990. С. 84-94.

17. Васильев Е.И. Монотонная схема повышенной точности для решения двумерных нестационарных уравнений Эйлера на подвижных сетках на основе схемы Годунова // Аннот. докл. 7-го Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике. Москва, 1991. М., 1991. С. 73.

18. Васильев Е.И., Данильчук Е.В. Численное решение задачи о развитии течения в ударной трубе при поперечном выдвижении диафрагмы // Изв. РАН. МЖГ. 1994. N 2. С. 147-154.

19. Васильев Е.И., Митичпин С.Ю., Тестов В.Г. Волновые процессы в бездиафраг-менной ударной трубе // Отчет Института механики МГУ. N 4379. 1994. 44 с.

20. Васильев Е.И. \\^-модификация метода С.К. Годунова и ее применение для двумерных нестационарных течений запыленного газа // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. N 1. С. 122-135.

21. Васильев Е.И., Данильчук Е.В. Численное моделирование и исследование истечения газа из расширяющейся щели // Волгоград: ВГПУ, 1996. 48с.

22. Васильев Е.И. Численное моделирование нестационарных сопловых и струйных течений запыленного газа // Вестник ВолГУ. Серия Математика и Физика. 1996. N1.0. 55-64.

23. Васильев Е.И., Митичкин С.Ю., Тестов В.Г. Хайбо Ху. Численное моделирование и экспериментальное исследование влияния синерезиса на распространение ударных волн в газожидкостной пене // ЖТФ. 1997. Т. 67. N 11. С. 1-9.

24. Васильев Е.И. О неустойчивости некоторых автомодельных течений идеального газа с ударными волнами // Изв. РАН. МЖГ. 1998. N 4. С. 166-175.

25. Васильев Е.И. Обобщение теории Неймана для маховского отражения слабых ударных волн // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика и Физика. 1998. Вып. 3. С. 74-82.

26. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. Л.: Ги-дрометеоиздат, 1971. 208 с.

27. Ганжело А.Н., Крайко А.Н., Макаров В.Е., Тилляева Н.И. О повышении точности решения газодинамических задач // Современные проблемы аэромеханики. М.: Наука. 1985. С. 87-102.

28. Ганжело А.Н. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений невязкого газа методом сквозного счета второго порядка точности // Уч. записки ЦАГИ. 1986. Т. 17. N 6. С. 27-32.

29. Гвоздева JI.Г., Предводителева O.A. Экспериментальное исследование махов-ского отражения отражения ударных волн при скорости 1000-3000 м/с в углекислом газе, азоте и воздухе // ДАН СССР. 1965. Т. 163. N 5. С. 1088-1091.

30. Гвоздева Л.Г., Предводителева O.A. Особенности маховского отражения ударных волн, движущихся в углекислом газе и в азоте со скоростями порядка 2000 м/с // В сб. Исследование по физической газодинамике. М.: Наука. 1966. 186 с.

31. Гвоздева Л.Г., Предводителева O.A., Фокеев В.П. Двойное маховское отражение сильных ударных волн // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. N 1. С. 12-19.

32. Гвоздева Л.Г., Фокеев В.П. Экспериментальное исследование нерегулярного отражения ударных волн от поверхности клина // Физика горения и взрыва. 1976. Т. 12. N 2. С. 260-269.

33. Гвоздева Л.Г., Фокеев В.П. Переход от маховского отражения к регулярному в области существования различных форм маховского отражения // Физика горения и взрыва. 1977. Т. 13. N 1. С. 102-109.

34. Гнесин В.И., Ершов C.B. Монтонная разностная схема второго порядка точности для двумерных задач газовой динамики / / Моделирование в механике. Новосибирск, 1988. Т. 2. N 2. С. 39-47.

35. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сб. 1959. Т. 47. С. 271-306.

36. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 с.

37. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400с.

38. Гриффите У. Ударные волны. В кн. Современная гидродинамика, успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. 501с.

39. Гудерлей К.Г, Теория околозвуковых течений. Под ред. Овсянникова Л.В. М.: ИЛ, 1960.

40. Дулов В.Г. О движении тройной конфигурации ударных волн с образованием следа за точкой ветвления // ПМТФ. 1973. N 6. С. 67-75.

41. Заславский Б.И., Сафаров P.A. О маховском отражении слабых ударных волн от жесткой стенки // ПМТФ. 1973. N 5. С. 26-33.

42. Ивандеев А.И., Куташев А.Г., Пигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных сред. М.: ВИНИТИ. Сер. МЖГ. 1981. т. 16. С. 209.

43. Калугин В. Т., Луценко А.Ю. Экспериментальные исследования обтекания спускаемых аппаратов при струйном управлении аэродинамическими характеристиками // Изв. РАН. МЖГ. 1996. N 3. С. 115-125.

44. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Уч. записки ЦАГИ. 1972. Т. 3. N б. С. 68-72.

45. Колган В.П. Конечно-разностная схема для расчета двумерных разрывных решений нестационарной газовой динамики // Уч. записки ЦАГИ. 1975. Т. 6. N 1. С. 9-14.

46. Копченое В.И., Крайко А.Н. Решение в рамках двужидкостной модели прямой задачи о двухфазном течении в сопле Лаваля // Научн. тр. Ин-та механ. МГУ. М., 1974. N 32. С. 96-108.

47. Копченое В. И. Решение прямой задачи о течении двухфазной смеси газа и инородных твердых или жидких частиц с сопле Лаваля // ПМТФ. 1975. N6.0. 37-42.

48. Копченое В.И., Крайко А.Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N 4. С. 848-859.

49. Крайко А.Н., Макаров В.Е., Тилляева Н.И. К численному построению фронтов ударных волн // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20. N 3. С. 716-723.

50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

51. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1973. 848с.

52. Меррит Д.Л. О маховском отражении на конусе // Ракетная техника и космонавтика. 1968. Т. 6. N 6. С. 73-89.

53. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 338 с.

54. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Ч. 1. 464 с. Ч. 2. 360 с.

55. Пирумов У.Р., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. 368 с.

56. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. 1956. Т. 20. вып. 2. С. 184-195.

57. Рихтмайер Р.Д., Мортон К.У. Разностные методы решения краевых задач. М.-. Мир, 1972. 418 с.

58. Родионов А.В. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К. Годунова // ЖВМ и МФ. 1987. Т. 27. N 12. С. 1853-1860.

59. Сагомонян А.Я. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во МГУ, 1962. 80 с.

60. Семёнов А.Н., Сыщикоеа М.П., Березкина М.К. Экспериментальное изучение особенностей маховского отражения в ударной трубе // ЖТФ. 1970. Т. 15. N 5. С. 795-803.

61. Семенов А.Н., Сыщикова М.П., Березкина М.К. Свойства маховского отражения при взоимодействии ударных волн с неподвижным клином / / Физика горения и взрыва. 1975. Т. 11. N 4. С. 596-608.

62. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. М.: Машиностроение. 1980. 176 с.

63. Стернин Л.Е., Шрайбер А.А. Многофазные течения газа с частицами. М.: Машиностроение. 1994. 320 с.

64. Такаяма К., Бен-Дор Г. Обращенное маховское отражение // Аэрокосмическая техника. 1986. N 5. С. 197-204.

65. Тилляева Н.И. Модификация разностной схемы С.К. Годунова, сохраняющая аппроксимацию при решении задач газовой динамики на произвольных нерегулярных сетках // Уч. зап. ЦАГИ. 1986. Т. 17. N 2. С. 25-33.

66. Тилляева Н.И. Обобщение модифицированной схемы С.К. Годунова на произвольные нерегулярные сетки // Уч. зап. ЦАГИ. 1986. Т. 17. N 6. С. 18-26.

67. Ченг И-Ши. Одно- и двухкомпонентные течения в соплах // Ракетная техника и космонавтика. 1980. N 12. С. 59-67.

68. Чёрный Г.Г. Газовая динамика: Учебник для университетов и втузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 424с.

69. Шиндяпин Г.П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МЖГ. 1996. N 2. С. 183-190.

70. Шопин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 364с.

71. Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. Mach reflection of a weak shock waves // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1994. V. 60. N 575. C. 2281-2286.

72. Azevado D.J. Analytical prediction of shock patterns in a high-speed wedge bounded duct. PhD thesis, Dept. of Mechanical and Aerospace Engineering, State University of New York, Buffalo, USA, June 1989.

73. Azevado D.J., Liu S.L. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows. AIAA Journal. 1993. Vol. 31. No. 1. P. 83-90.

74. Bazhenova T.V., Fokeev V.P., Gvozdeva L.G. Regions of various forms of Mach reflection and its transition to regular reflection // Acta Astro. 1976. V 3. P. 131-140.

75. Bazhenova T.V., Gvozdeva L.G., Nettleton M.A. Unsteady interactions of shock waves // Progr. Aerospace Sci. 1984. V. 21. N 4. P. 249-331.

76. Ben-Artzi M., Falcovitz J. A Second-Order Godunov-Type Scheme for Compressible Fluid Dynamics //J. Comput. Phys. 1984. V. 55. P. 1-32.

77. Ben-Dor G. Regions and Transitions of Nonstationary oblique Shock-wave difractions in Perfect and Imperfect Gases // UTIAS Rep. No 232. 1978.

78. Ben-Dor G.„ Glass-LI. Domains and boundaries of nonstationary oblique shock wave reflections. 1. Diatomic gas // J. Fluid Mechanics. 1979. V. 92. P. 459-496.

79. Ben-Dor G., Glass I.I. Domains and boundaries of nonstationary oblique shock wave reflections. 2. Monatomic gas //J. Fluid Mechanics. 1980. V. 96. P. 735-756.

80. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. Springer-Verlag, New York. 1991.

81. Btn-Dor G., Tdkayama K. The phenomena of shock wave reflection a review of unsolved problems and future research needs // Shock Waves. 1992. V. 2. P. 211-223.

82. Ben-Dor G., Elperin L, Igra O. and Vasiliev E. Gas-Solid Flow in a nozzle and the Overexpanded Free Jet // Proceedings of ASME Inter. Mechanical Engineering Congress. Dallas, Texas, USA. 1997. P. 195-208.

83. Btn-Dor G., Elperin T., Li H., Vasiliev E. Downstream Pressure Induced Hysteresis in the Regular Mach Reflection Transition in Steady Flows // Physics of Fluids. 1997. V. 9. No. 10. P. 3096-3098.

84. Ben-Dor G., Elperin T., Li H., Vasiliev E., Chpoun A. Zeitoun D. Dependence of Steady Mach Reflections on the Reflecting-Wedge Trailing-Edge Angle // AIAA journal. 1997. V. 35. No. 11. P. 1780-1782.

85. Boris J.P. and Book D.L. Flux-Corrected Transport 1. SHASTA, A Fluid Transport Algorithm that Works //J. Comput. Phys. 1973. V. 11. P. 38-69.

86. Boris J.P., Landsberg A.M., Oran E.S., Gardner J.H. LCPFCT — a flux-corrected transport algorithm for solving generalized continuity equation // Naval Research Laboratory Memorandum. 1993. Report 6410-93-7192.

87. Bryson A.E., Gross R.W.F. // J. Fluid Mechanics. 1961. V. 10. P. 1

88. Carlson D.J., Hoglund R.F. Particle Drag and Heat Transfer in Rocket Nozzles // AIAA Journal. 1964. V. 2. N 11. P. 1980-1984.

89. Chpoun A., Passerel D.} Li H., Ben-Dor G. Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 1. Experimental investigation //J. Fluid Mechanics. 1995. Vol. 301. P. 19-35.

90. Chpoun A., Ben-Dor G. Numerical confirmation of the hysteresis phenomenon in the regular to the Mach reflection transition in steady flows // Shock Waves. 1995. V. 5. P. 199-203.

91. Coltlla P. Approximate Solution of the Riemann Problem for Real Gases // Lawrence Berkeley Laboratory Reprt LBL-14442.

92. Colella P., Glaz H.M. Efficient Algorithms for the Solution of the Riemann Problem for Real Gases // Lawrence Berkeley Laboratory Reprt LBL-15776. 1983.

93. Colella P., Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Comput. Phys. 1984. V. 54. P. 174-201.

94. Colella P. Multidimensional Upwind Methods for Hyperbolic Conservation Laws // J. Comput. Phys. 1990. V. 87. P. 171-200.

95. Colella P., Henderson L.F. The von Neumann paradox for the diffraction of weak shock waves //J. Fluid Mechanics. 1990. V. 213. P. 71-94.

96. Danil'chuk E.V., Vasit'ev E.I. About the efficiency of the W-modification of Godunov's scheme for discontinuity flows // Труды Междунар. конгресса ассоциации "Женщины-математики", Москва-Пущино 1994, вып. 2 / Волгоград, 1994. С.137-144.

97. Deschambault R.L., Glass I.I. An update on non-stationary oblique shock-wave reflection: Actual isopycnics and numerical experiments //J. Fluid Mechanics. 1983. V. 131. P. 27-57.

98. Elperin I., Igra 0., Ben-Dor G. and Vasiliev E. Dusty Gas Flow in a Converging Diverging Nozzle // Abstracts of 20th Inter. Symposium on Shock Waves. Pasadena, USA, July 23-28, 1995. P. 617-618.

99. Elperin I., Igra 0., Ben-Dor G. and Vasiliev E, Dusty Gas Flow in a Nozzle // Proceedings of 20th Inter. Symposium on Shock Waves. Pasadena, USA, July 1995. P. 1303-1308.

100. Fromm J.D. A Method for Reducing Dispersion in Convective Difference Schemes // J. Comput. Phys. 1968. V. 3. P. 176-189.

101. Fujita M. Axisymmetric oscillations of an opposing jet from a hemispherical nose // AIAA Journal. 1995. V. 33. N 10. P. 1850-1856.

102. Glaz H.M., Colella P., Glass 1.1., Deschambault R.L. A detailed numerical, graphical and experimental study of oblique shock wave reflection // Lawrence Berkeley Laboratory Report 20033, University of California. 1985. 380p.

103. Griffith W.C. Shock wave interactions // J. Fluid Mechanics. 1981. V. 106. P. 81-101.

104. Gvozdeva L.G., Bazhenova T.V., Predvoditeleva O.A., Foheev V.P. Mach reflection of schock waves // Astron. Acta. 1969. V. 14. P. 503-508.

105. Gvozdeva L.G., Bazhenova T.V., Predvoditeleva O.A., Foheev V.P. Pressure and temperature at the wedge surface in Mach reflection of strong shock waves // Astron. Acta. 1970. V. 15. P. 503-510.

106. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws //J. Comput. Phys. 1983. V. 49. P. 357-393.

107. Harten A., Osher S. Uniformly High-Order Accurate Nonoscillatory Schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1987. V. 24. P. 279-309.107.108109.110.111.112,113.114.115116117.118.119120121

108. Hatta N., Fujimoto H., Ishii R. and Kokado J. Theoretical Analysis of Supersonic Gas-Particle Two-Phase Flow and Its Application to Relatively Complicated Flow Fields // Mem. Fac. Engng. Kyoto Univ. 1990. V. 52. N 3. P. 115-185.

109. Hayashi A.K., Matsuda M., Fujiwara T. and Arashi K. Numerical Simulation of Gas-Solid Two-Phase Nozzle and Jet Flows // AIAA Thermophys., Plasmadyn. and Lasers Conf., San Antonio, 1988: AIAA 88-2627. P. 1-9.

110. Hayashi A.K., Matsuda M., Fujiwara T. Numerical study on gas-solid two-phase nozzle and jet flows // Mem. Fac. Engng. Nagoya Univ. 1989. V. 40. N 2. P. 351-362.

111. Henderson C.B. Drag coefficient of spheres in continuum and rarefied flows // AIAA Journal. 1976. V. 14. N 6. P. 707-708. P

112. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on Transition to Mach Reflexion //J. Fluid Mechanics. 1975. V. 68. part 1. P. 139-155.

113. Henderson L.F., Lozzi A. Further experiments on transition to Mach reflexion //J. Fluid Mechanics. 1979. V. 94, part 3. P. 541-559.

114. Henderson L.F. On the Whithman theory of shock-wave difraction at concave corners // J. Fluid Mechanics. 1980. V. 96. part 4. P. 801-811.

115. Henderson L.F., Siegenthaler A. Experiments on the diffraction of weak blast waves: The von Neumann paradox

116. Proc. Roy. Soc. London A, 1980. Vol. 369. N 1739. P. 537-555.

117. Henderson L.F., Gray P.M. Experiments on the diffraction of strong blast waves Proc. Roy. Soc. London A, 1981. Vol. 377. N 1771. P. 363-378.

118. Henderson L.F., Crutchfild W. Y., Virgona R.J. The effects of thermal conductivity and viscosity of argon on shock waves diffracting over rigid ramps J. Fluid Mechanics. 1997. V. 331. P. 1-36.

119. Hillitr R. Computation of shock wave diffraction at a ninety convex edge // Shock Waves. 1991. V. 1. P. 89-98.

120. Homung H.G., Oertel H., Sandeman R.J. Transition to Mach reflection of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation // J. Fluid Mechanics. 1979. V. 90. part 3. P. 541-560.

121. Homung H.G., Taylor J.R. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 1. The effect of viscosity in pseudo-steady case //J. Fluid Mechanics. 1982. V. 123. P. 143-154.

122. Homung H.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion // J. Fluid Mechanics. 1982. V. 123. P. 155-164.

123. Hwang C.J., Chang G.C. Numerical Study of Gas-Particle Flow in a Solid Rocket Nozzle // AIAA Journal. 1988. V. 26. N 6. P. 682-689.

124. Ikui T., Matsuo K., Akoi T., Kondoh N. Investigation of Mach reflection of a shock wave. 1. Configurations and domains of shock reflection // Bull. JSME. 1982. V. 25. N 208. P. 1513-1520.

125. Ishii R., Umeda Y., Kawasaki W. Nozzle flows of gas-particle mixtures // Phys. Fluids. 1987. V. 30. N 3. P. 752-760.

126. Ishii R., Umeda Y., Yuhi M. Numerical analysis of gas-particle two-phase flows //J. Fluid Mechanics. 1989. V. 203. P. 475-515.

127. Ivanov M.S., Rogasinsky S. V. Theoretical analysis of traditional and modern schemes of the DSMC method // Proc. 17th Int. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Aachen, Germany. 1991. P. 629-642.

128. Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Beylich A.E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves // Phys. Fluids. 1995. V. 7. N 4. P. 685-687.

129. Ivanov M., Zeitoun D., Vuillon J., Gimelshein S., Markelov G. Investigation of the hysteresis phenomena in steady shock reflection using kinetic and continuum methods // Shock Waves. 1996. V. 5. P. 341-346.

130. Jeng Y.N., Payne U.J. An Adaptive TVD Limiter // J. Comput. Phys. 1995. V. 118. P. 229-241.

131. Laney C.B., Caughey D.A. Monotonicity and Overshoot Conditions for Numerical Approximations to Conservation Laws // Report FDA-91-10, Fluid Dynamics and Aerodynamics Program. Cornell Univ., NY, 1991. 62 p.

132. Laney C.B., Caughey D.A. An Annotated Chronological Bibliography of Extremum Control: 1980-90 // Report FDA-91-11, Fluid Dynamics and Aerodynamics Program. Cornell Univ., NY, 1991. 45 p.

133. Lax P.D., Wendroff B. Systems of Conservation Laws // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. V. 13. P. 217-237.

134. Lax P.D., Wendroff B. Shock Waves and Entropy // Proc. Symposium, University of Wisconsin, 1971. E.H. Zaratonell, ed. P. 603-634.

135. Law C.K., Glass I J. Diffraction of strong shock waves by a sharp compressive corner // CASI Trans. 1971. V. 4. N 1. P. 2-12.

136. Lee J.H., Glass I.I. Pseudo-stationary oblique-shock wave reflections in frozen and equilibrium air // Prog. Aerospace Sci. 1984. V. 21. P. 33-80.

137. MacCormack R.W. The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering // AIAA Paper No. 69-354. 1969.

138. Mach E. Uber einige mechanische Wirkungen des electrischen Funkens // Akademie der Wissenschaften Wien. 1878. V. 77. N II. P. 819.

139. Mach E. Uber den Verlauf von Funkenwellen in der Ebene und im Räume // Vienna Academy Sitzungsberichte. 1878. V. 78. P. 819-838.

140. Meshkov E.E. // Fluid Dynamics. 1970. V 5. P. 554

141. Morawetz C.S. // Potential Theory for Regular and Mach Reflection of a Shock at a Wedge // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1994. V. 47. P. 593-624.

142. Nishida M., Ishimaru S. Numerical Analysis of Gas-Solid Two-Phase Nonequilibrium Nozzle Flows // JSME Int. Journal. 1990. Series II. V. 33. N 3. P. 494-500.

143. Oertel H. Oxygen vibrational and dissociation relaxation behind regular reflected shocks

144. J. Fluid Mechanics. 1976. V. 74. part 3. P. 477-495.

145. Oleinik O.A. On the Uniqueness of the Generalized Solution of Cauchy's Problem for a Nonlinear System of Equations Occurring in Mechanics // Uspehi Mat. Nauk. 1957. V. 73. P. 169-176.

146. Olim M., Dewey J.M. A revised three-shock solution for the Mach reflection of weak shocks // Shock Waves. 1992. V. 2. P. 167-176.

147. Ranz W.E., Marshall W.R. Evaporation from drops // Chemical Engineering Progress. 1952. V. 48. P. 141-146. and P. 173-180.

148. Richardson L.F, The differed approach to the limit. 1: Single lattice // Philos. Trans. Roy. Soc., London, ser. A. 1927. V 226. P. 299-349.

149. Roe P.L., Pike J. Efficient Construction and Utilization of Approximate Riemann Solvers //In Computing Methods in Applied Science and Engineering, VI. Editors Glowinski R., Lions J.-L., NHPC, 1984.

150. Roe P.L. Some Contributions to the Modelling of Discontinuous Flows // Proc. 15th A MS-SI AM Summer Sem. on Appl. Math. July 1983. Lectures in Appl. Math. 1985. V. 22. Pt. 2. P. 63.

151. SasohA., Takayama K. Characterization of disturbance propagation in weak shock-wave reflections // J. Fluid Mechanics. 1994. V. 277. C. 331-345.

152. Sauret R., Daniel E., Loraud J.G. Two-Phase Flows: Second-Order Schemes and Boundary Conditions // AIAA Journal. 1994. V. 32. N 6. P. 1214-1221.

153. Saurel R., Forestier A., Veyret D., Loraud J.C. A Finite Volume Scheme for Two-Phase Compressible Flows // Int. J. Numerical Methods in Fluids. 1994. V. 18. N 9. P. 803-819.

154. Saxena S.K., Ravi K. Some Aspects of High-Speed Blunt Body Flow Computations with Roe Scheme // AIAA Journal. 1995. V. 33. N 6. P. 1025-1031.

155. Smith L. G. Photographic investigation of reflection of plane shocks in air // Office of Scientific Research and Development, Washington. 1945. Rep. N 6271.

156. Smith W.R. Mutual reflection of two shock waves of arbitrary strengths // Phys. Fluids. 1959. V. 2. N 5. P. 533-541.

157. Sommerfeld M. The structure of particle-laden, underexpanded free jets // Shock Waves. 1994. V 3. P. 299-311.

158. Sweby P.K, High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V. 21. P. 995-1011.

159. Takayama K., Inoue 0. Shock wave diffraction over a 90 degree sharp corner. Posters presented at 18th ISSW // Shock Waves. 1991. V. 1. P. 301-312.

160. Того E.F., Spruce M., Speares W. Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver // Shock Waves. 1994. V. 4. P. 25-34.

161. Того E.F. Direct Riemann solvers for the time-dependent Euler equations // Shock Waves. 1995. V. 5. P. 75-80.

162. VasiVev E.I. W-Modification of Godunov's Scheme and it's Application for Nonstationary Two-Phase Flow // Abst. of Inter. Conf. Advanced Mathematics, Computational and Applications. Novosibirsk, June 20-24, 1995. P. 335-338.

163. Vasil'ev E.I. High Resolution Simulation for the Mach Reflection of Weak Shock Waves // Proc. ECCOMAS 4th Computational Fluid Dynamics Conference, Athens, Greece. 1998. V. 1. Part 1. P. 520-527.

164. Vuillon J., Zeitoun D., Ben-Dor G. Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 2. Numerical investigation //J. Fluid Mechanics. 1995. V. 301. P. 37-50.

165. Vuillon J., Zeitoun D.j Ben-Dor G. Numerical Investigation of Shock Wave Reflections in Steady Flows // AIAA Journal. 1996. V. 34. N 6. P. 1167-1173.

166. Walker D.K., Dewey J.M., Scotten L.N. Observation of density discontinuities behind reflected shocks close to the transition from regular to Mach reflection // J. Appl. Phys. 1982. part 4. N 3. P. 1398-1400.

167. Warming R.F., Beam R.M. Upwind Second-Order Difference Schemes and Applications in Unsteady Aerodynamic Flow // Proc. AIAA 2nd Computational Fluid Dynamics Conference, Hartford, Connecticut. 1975. P. 17-28.

168. Warming R.F., Beam R.M. Upwind Second-Order Difference Schemes and Applications in Aerodynamic Flows // AIAA J. 1976. V. 14. P. 1241-1252.

169. White D.R. An experimental survey of the Mach reflection of shock waves // Princeton Univ., Dept. Phys. Tech. Report 11-10. Princetion, 1951.

170. White D.R. An experimental survey of the Mach reflection of shock waves. Ph. D. Thesis, Princeton University. 1952.

171. White D.R. An experimental survey of shock waves // Proc. 2nd Midwest Conf. on Fluid Mechanics. Ohio, State Univ., 1952. N 3. P. 253-262.

172. Woodward P.R., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks //J. Comput. Phys. 1984. V. 54. N 1. P. 115-173.

173. Yang J. Y. and Lombard C.K. Uniformly second order accurate ENO schemes for the Euler equations of gas dynamics

174. AIAA 8th Comput. Fluid Dyn. Conf., Honolulu, 1987: AIAA 87-1166. P. 696-704.

175. Fee H.C. and Shinn J.L. Semi-implicit and fully implicit shock-capturing methods for hyperbolic conservation laws with stiff source terms // AIAA 8th Comput. Fluid Dyn. Conf., Honolulu, 1987: AIAA 87-1116. P. 159-176.

176. Zalesak S.T. Fully Multidimensional Flux-Corrected Transport Algorithms for Fluids // J. Comput. Phys. 1979. V. 31. P. 335-362.

177. Zalesak S. T. A Preliminary Comparizon of Modern Shock-Capturing Schemes: Linear Advection // In: Advances in Computer Methods for Partial Differential Equations. VI. Editors Vichnevetsky R., Stepleman R.S. IMACS, 1987.