Численное исследование влияния вязкости на процессы взаимодействия и распространения ударных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шоев, Георгий Валерьевич

• Шоев, Георгий Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шоев, Георгий Валерьевич

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОТРАЖЕНИЕ СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН

1.1. Постановка задачи

1.2. Техника ударных поляр

13. Численные методы. Начальные и граничные условия

1.4. Маховское отражение

2. ОТРАЖЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН

2.1. Постановка задачи

2.2. Четырехволновая модель Гудерлея

" 2.3. Построение численных данных в плоскостях (u/u„, v/u«,), (е,р/рм), (о,р/рш) и (е,Т/Тм)

2.4. Маховское отражение с отраженной волной направленной перпендикулярно к

потоку за падающей волной при rew~103

2.5. Маховское отражение с отраженной волной направленной вверх

по потоку при rew~103

2.6. Маховское отражение с приходящей отраженной волной при Rew~103

2.7. Нерегулярное отражение в условиях парадокса Неймана при Rev~103

2.8. Техника вложенных расчетных областей

2.9. Маховское отражение с отраженной волной направленной вниз по

потоку при Ке«=103-109

2.10. Нерегулярное отражение в условиях парадокса Неймана при Rew=103-109

2.11. Сравнение с моделью Штернберга с учетом вязкости

3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН НА МИКРОМАСШТАБАХ

3.1. Постановка задачи. Численные методы и граничные условия

3.2. Исследование входа и распространения ударной волны в микроканале

3.3. Сравнение с моделью Саласа для распространения ударной волны в канале с

ч

разрывом площади поперечного сечения

3.4. Сравнение результатов расчетов с учетом вязкости и теплопроводности

при Kn=8-10 3 с экспериментальными данными

3.5. Исследование входа и распространения ударной волны в микроканале при Kn=8-10"2

3.6. Влияние геометрии входа на распространение ударной волны внутри

микроканала при KN=8'10"2

3.7. Исследование входа и распространения ударной волны в микроканале при Kn=8-10"1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование влияния вязкости на процессы взаимодействия и распространения ударных волн»

Введение

Задача об отражении ударной волны от твердой поверхности или плоскости симметрии является одной из классических задач газовой динамики. Как установил в конце XIX века Э. Мах [1], при достаточно больших углах падения обычное регулярное отражения сменяется нерегулярным (маховским). При маховском отражении точка, в которой встречаются падающая и отраженная волна, расположена на некотором расстоянии от отражающей плоскости и соединяется с ней третьей, почти нормальной к набегающему потоку и слегка искривленной ударной волной («ножкой Маха»), Возникновение нерегулярного отражения является одним из следствий нелинейной природы ударных волн, делающей их отражение существенно более сложным для изучения, чем отражение линейных акустических или электромагнитных волн.

Исследование критериев перехода к маховскому отражению сильных ударных волн (М>2,2 при у=1,4) было начато в 40-ых годах прошлого века в работах Дж. фон Неймана [2], [3], который показал, что регулярное отражение невозможно, если угол падения волны а становится больше аа,

значения, соответствующего критерию максимального отклонения потока. Анализ маховской конфигурации в окрестности тройной точки приводит к другому критерию, определяющему минимальный угол при котором возможно существование маховского отражения {критерий механического равновесия или критерий фон Неймана). Для достаточно сильных ударных волн ам так что существует диапазон углов падения (область двойного решения), внутри которого теоретически не запрещено существование как регулярной так и маховской ударно-волновой конфигурации. Размер области двойного решения аа - аИ быстро увеличивается с ростом числа Маха.

В конце 1970 гг. X. Хорнунг высказал предположение о возможном существовании гистерезиса при переходе между регулярным и маховским

отражением в стационарных течениях. Именно, при увеличении а маховское отражение будет возникать при а = а,, при его же уменьшении обратный переход к регулярному отражению будет происходить только по достижении а = аи. Проведенные Хорнунгом эксперименты не подтвердили, однако, данное предположение - переход всегда наблюдался вблизи ам. После этого общепринятой точкой зрения стало, что в случае сильных стационарных ударных волн переход к маховскому отражению происходит в соответствии с критерием фон Неймана.

В середине 1990-х годов, в ИТПМ СО РАН были начаты численные исследования отражения ударных волн, в которых впервые было обнаружено существование гистерезиса. В апреле 1995 г. эти результаты были опубликованы в [4], а в декабре того же года появилась статья [5] французских и израильских ученых, в которой было доложено об экспериментальном наблюдении данного явления. Однако, если основные детали гистерезиса, обнаруженного численно, согласовывались с гипотезой X. Хорнунга, то в экспериментах ситуация была менее ясной. В частности, переход к маховскому отражению происходил примерно в середине области двойного решения.

Численное и экспериментальное наблюдение гистерезиса вызвало

большой интерес как у нас в стране, так и за рубежом. В последующее

десятилетие данная тема стала предметом интенсивного изучения, в

котором активное участие принимали специалисты ИТПМ СО РАН,

которыми был выполнен большой объем численных исследований.

Расчеты проводились как путем решения уравнений Эйлера и Навье-

Стокса, так и с помощью метода прямого статистического моделирования

решения кинетического уравнения Больцмана. Следует сказать, что,

несмотря на простоту формулировки, рассматриваемая задача

представляет значительные трудности для численного моделирования. Это

связано как с самой природой изучаемого явления (неединственность

стационарного состояния, его зависимость от предыстории), так и с тем,

4

что расчеты необходимо выполнять при гиперзвуковых числах Маха, когда поле течения включает сильную, почти прямую ударную волну (ножку Маха) с зоной дозвукового течения за ней и область очень сильного разрежения за клином. Кроме того, во многих случаях, особенно для сравнения экспериментом, необходимо проводить трехмерные расчеты, учитывая конечный размах клиньев - генераторов ударных волн. Эти проблемы были преодолены, используя разработанные вычислительные программы, основанные на применении современных схем сквозного счета высокого порядка точности для решения континуальных уравнений, и схемы мажорантной частоты - для статистического моделирования. Программы были распараллелены для применения на многопроцессорных ЭВМ.

Расчеты, проведенные с помощью континуального и кинетического подходов, с большой надежностью показали, что в диапазоне ам <а < а,, при одинаковых параметрах набегающего потока, в зависимости от начальных условий, в качестве стационарного решения действительно может быть получена, как регулярная, так и маховская ударно-волновая конфигурация. Их смена при плавном изменении угла сопровождается гистерезисом, при этом углы переходов находятся в отличном согласии с теоретическими критериями.

Для экспериментального подтверждения результатов численного моделирования [4], [6]-[13] были проведены исследования в аэродинамических трубах ИТПМ СО РАН. Было получено очень хорошее количественное согласие расчетных и экспериментальных данных. Это доказало способность современных численных алгоритмов описывать с высокой точностью такие сложные пространственные конфигурации ударных волн.

Таким образом, в результате выполненного в ИТПМ СО РАН цикла работ была фактически решена одна из последних остававшихся нерешенными задач классической газовой динамики - установлены

5

условия перехода между регулярным и нерегулярным взаимодействием сильных ударных волн в стационарных течениях. Группа сотрудников ИТПМ СО РАН (М.С. Иванов, А.Н. Кудрявцев, Д.В. Хотяновский) была удостоина премии РАН им. А.Н. Крылова за выдающиеся работы по использованию вычислительной техники в решении задач механики и математической физики.

Для отражения сильных ударных волн многочисленные расчеты [14] на основе уравнений Эйлера дают достаточно хорошее согласие с трехволновой теорией. В численном моделировании [15] на основе уравнений Эйлера с использованием схем сквозного счета за тройной точкой наблюдается небольшая область, где давление и температура отличаются от предсказаний трехволновой теории. Необходимо отметить, что при использовании схем сквозного счета всегда присутствует схемная вязкость, которая может влиять на численное решение. Однако детального исследования влияния вязкости (физической, не численной) и теплопроводности на структуру течения в окрестности тройной точки при отражении сильных ударных волн проведено не было.

Стационарное отражение ударных волн играет очень важную роль в аэродинамике. Регулярное и нерегулярное отражение ударных волн является характерным примером течения в воздухозаборнике на сверхзвуковом летательном аппарате. Однако, несмотря на обширный материал экспериментальных и численных исследований, некоторые наблюдаемые явления при нерегулярном стационарном отражении ударных волн до сих пор не имеют удовлетворительных объяснений. Одним из таких явлений является трехволновая конфигурация ударных волн, которая возникает в области параметров, где согласно теории Неймана подобной конфигурации существовать не должно. Это несоответствие получило название парадокс Неймана [16]-[23]. Впервые противоречия экспериментальных данных с трехволновой теорией обнаружил Уайт [16], [17]. При изучении взаимодействия слабых ударных

волн (М<2,2 при у=1,4) помимо количественных расхождений с теорией Неймана он обнаружил маховские конфигурации для таких параметров потока, где трехволновая теория не предсказывает существования маховской конфигурации. Многочисленные последующие эксперименты подтвердили упомянутое несоответствие.

Можно выделить два различных подхода для разрешения парадокса Неймана: первый подход использует модель идеального газа; второй -учитывает вязкость и теплопроводность. Далее рассмотрим основные результаты исследований, полученные в рамках этих подходов более подробно.

В исследованиях применяющих первый подход, основанный на модели идеального газа, предполагалось существование газодинамических особенностей в окрестности тройной точки или применялась модификация граничных условий, которые позволяют построить решение в условиях парадокса Неймана. В частности, предполагалось наличие волн сжатия, локального веера волн разрежения (модель Гудерлея, [24], [25]), коррекция условия параллельности потоков на контактной поверхности [18], [26]-[28]. Также к особенностям относятся центрированная волна разрежения, исходящая из тройной точки, и локальная сверхзвуковая зона («supersonic patch» - сверхзвуковая заплатка), полученные в [23], [29]-[35].

Первые попытки численного моделирования нерегулярного отражения в условиях парадокса Неймана были сделаны в [20] на основе уравнений Эйлера с использованием схем сквозного счета со вторым порядком точности на адаптивно-сгущающейся сетке. На основе полученных результатов в [20] сделан вывод, что отраженная волна в окрестности тройной точки переходит в волну сжатия. Наиболее подробные численные исследования в рамках уравнений Эйлера были проведены в работе [23], в которой впервые численно была подтверждена гипотеза Гудерлея о наличии центрированного веера волн разрежения в окрестности тройной точки. В этой же работе, отмечена необходимость

дальнейших исследований отражения ударных волн с учетом вязкости. Численное моделирование [31] на основе уравнений Эйлера показало, что размеры сверхзвуковых заплаток составляют порядка ~10"5Ь, где Ь -высота ножки Маха. В то же время, в [36] расчеты, проведенные с использованием схем сквозного счета и схем с различными комбинациями выделения скачков (включая контактный разрыв), не подтвердили существования локальных сверхзвуковых зон за тройной точкой. В целом можно заключить, что вопрос о существовании этих локальных сверхзвуковых особенностей остается открытым. Численное моделирование [37], [38] в рамках уравнений мелкой воды также показали наличие четырехволновой конфигурации и сверхкритической области за тройной точкой с числом Фруда (аналог числа Маха) Б>1. Размер этой области составлял ~10"39-Ь, где Ь - высота ножки Маха. Отметим, что исследование структур таких малых пространственных масштабов требует учета неидеальности газа и, следовательно, использования подхода, учитывающего вязкость и теплопроводность.

Результатом исследований с использованием этого подхода стало качественное совпадение структуры течения в окрестности тройной точки, полученное в недавних экспериментальных [39] и численных [32]-[35] исследованиях: была обнаружена ударно-волновая конфигурация подобная четырехволновой конфигурации Гудерлея. Однако еще слишком рано говорить об экспериментальном подтверждении гипотезы Гудерлея, так как размеры локальных сверхзвуковых зон отличаются более чем на порядок (менее 1% от высоты ножки Маха в расчетах и -10% в эксперименте). Отметим, что экспериментальные исследования нерегулярного отражения ударных волн в условиях парадокса Неймана также были проведены в [40]-[43]. Однако в [40]-[43] существование локальных сверхзвуковых зон подтверждено не было. Количественное различие результатов экспериментальных и численных исследований

указывает на необходимость более детального анализа влияния вязкости и теплопроводности на структуру течения в окрестности тройной точки.

Другой подход для разрешения парадокса Неймана - это попытаться учесть эффекты вязкости и теплопроводности [44], [45], [46] в окрестности точки пересечения ударных волн. Принимая во внимание конечную толщину ударных волн, течение в этой области существенно отличается от течения, описываемого невязкой теорией. В работе [44] впервые было сделано предположение об определяющем влиянии вязкости на структуру течения и построена теоретическая модель нерегулярного отражения в окрестности точки пересечения слабых ударных волн. Как отмечается в [44], в области пересечения должна быть зона двумерного течения, которая была названа «поп Rankine-Hugoniot shock wave zone», где существенную роль играют градиенты параметров потока вдоль фронта ударной волны. Эта область является зоной перехода, разделяющей ударные волны в условно верхней и нижней части течения, для которых выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио. Размер этой зоны оценивался как толщина нескольких ударных волн. Именно поэтому, из-за недостаточного разрешения поля течения в окрестности точки пересечения ударных волн невозможно подтвердить или опровергнуть существование такой вязкой зоны, основываясь на экспериментальных результатах. Как отмечается в [44] одним из возможных способов определения структуры течения в окрестности тройной точки является проведение экспериментов в ударных трубах низкой плотности (т.е. при низких числах Рейнольдса), где возможно провести детальные измерения в окрестности тройной точки. Однако до настоящего времени подобных экспериментов проведено не было и вопрос о влиянии вязкости на структуру течения в окрестности точки пересечения ударных волн практически не изучался. Современное состояние методов математического моделирования позволяет заменить экспериментальные исследования численным моделированием и провести детальный анализ влияния вязкости на структуру течения в окрестности

тройной точки. Такие исследования, несомненно, являются актуальными и позволяют проанализировать особенности парадокса Неймана. Как было отмечено ранее в известной книге Куранта и Фридрихса [47] «только углубившись в физические основы нашей теории, т.е. учитывая теплопроводность и вязкость, мы можем надеяться на полное объяснение явления трехволновой сингулярности».

Эффекты вязкости, теплопроводности и разреженности также играют важную роль в микротечениях. Вследствие очень небольших характерных масштабов течения, свойства в них отличаются от привычных свойств течений жидкости и газа на макроскопических масштабах. В последнее время достигнут определенный прогресс в исследовании дозвуковых микротечений ([48]-[50] и др.), в то время как сверхзвуковые микротечения с ударными волнами являются практически неисследованной областью.

В настоящее время достигнут значительный прогресс в разработке микроэлектромеханических (МЭМС) систем [51]. Широкий спектр устройств микромасштаба разработан для применения в электронике, аэрокосмических и медико-биологических приложениях, других отраслях. Одной из актуальных задач дальнейшего развития МЭМС-технологии является разработка устройств, способных производить механическую работу из тепловой энергии, например, микродвигателей. Эффективность таких устройств, как двигатели внутреннего сгорания и газовые турбины, существенно падает при их геометрическом масштабировании до миниатюрных размеров. Одним из возможных способов преодоления этой проблемы является увеличение скорости выделения тепла за счет горения, индуцированного (поддерживаемого) ударными волнами, в частности детонации. Однако это требует более глубокого понимания физических механизмов, определяющих формирование, динамику и взаимодействие ударных волн на микромасштабах.

Исследования эффектов вязкости и разреженности на распространение ударных волн в трубах при низких давлениях начались в

середине прошлого века [52]-[56]. В этих работах ударная волна генерировалась разрывом диафрагмы, разделяющей области высокого и низкого давления. Одним из главных результатов этих работ было замедление ударной волны и ускорение контактного разрыва. Как упомянуто выше, в результате определенного прогресса в микро- и нано-технологиях возобновился интерес к поведению ударных волн на микромасштабах [57]-[61].

Численные исследования [62] распространения ударной волны в микроканале с учетом вязкости и эффектов разреженности показали значительное отличие от невязкой теории, которая корректно описывает большинство особенностей течения на макромасштабах. В [62] ударная волна генерировалась в микроканале с прямоугольным поперечным сечением разрывом диафрагмы, разделяющей области высокого и низкого давления. Однако, как отмечается в [63], провести подобные экспериментальные исследования в настоящий момент очень сложно. Недавно был предложен альтернативный вариант - генерировать в ударной трубе обычного размера ударную волну, которая затем входит в микроканал. Численные исследования [64] входа и распространении ударной волны в микроканале в рамках уравнений НС показали затухание ударной волны. Отметим, что в [64] рассматривались течения при числе Кнудсена Кп~10°, т.е. в диапазоне параметров, где эффекты разреженности не оказывают большого влияния на структуру течения. В [64] также учитывалось взаимодействие контактного разрыва и отраженной ударной волны, результатом которого была сильная волна сжатия, которая входила в микроканал вслед за ударной волной. Экспериментальные исследования [65], также показали затухание ударной волны. Отметим, что в [65] расстояние между ударной волной и контактным разрывом было больше длины микроканала, т.е. контактный разрыв не влиял на течение в микроканале. Однако процесс входа и распространения ударной волны по микроканалу все еще малоизучен.

Целью диссертационной работы является численный анализ влияния вязкости на структуру течения при взаимодействии ударных волн в стационарных потоках и на процесс их распространения в микроканалах.

Основные задачи исследования:

1. провести анализ влияния вязкости на структуру течения при маховском отражении сильных ударных волн (Мсо>2,4 при у=5/3, где у - показатель адиабаты);

2. изучить влияние вязкости на ударно-волновую конфигурацию при маховском отражении слабых ударных волн (Моо<2,4 при у=5/3);

3. проанализировать влияние вязкости на угол наклона отраженной ударной волны и детали течения в окрестности точки пересечения ударных волн в условиях парадокса Неймана;

4. исследовать влияние вязкости и теплопроводности на процесс входа и распространения ударных волн в микроканалах при различных числах Кнудсена;

На защиту выносятся следующие положения, составляющие научную новизну работы:

1. Результаты численного исследования маховского отражения сильных ударных волн с учетом вязкости и теплопроводности. Показано, что в окрестности тройной точки структура течений при различных числах Рейнольдса совпадает в координатах, нормированных на среднюю длину свободного пробега в набегающем потоке. При низких числах Рейнольдса размер этой области соизмерим с характерным масштабом задачи, и вязкость оказывает существенное влияние на всю структуру течения. При увеличении чисел Рейнольдса размер зоны, где течение определяется вязкими эффектами, уменьшается и в остальной области вязкость не оказывает существенного влияния на структуру течения.

2. Детальный анализ влияния вязкости на структуру течения в окрестности точки пересечения слабых ударных волн при маховском отражении. Показано, что в вязком потоке реализуются конфигурации с отраженной волной, направленной вниз по потоку, вне зависимости от положения отраженной ударной волны, соответствующей трехволновой теории.

3. Результаты моделирования взаимодействия слабых ударных волн в широком диапазоне чисел Рейнольдса в условиях парадокса Неймана. Показано, что существует механизм, позволяющий непрерывным образом осуществить переход от параметров течения за ножкой Маха к параметрам течения за отраженной волной через зону выравнивания, где течение существенно двумерное и соотношения Ренкина-Гюгонио на косых скачках не выполняются. Существование этой зоны позволяет разрешить парадокс Неймана.

4. Численное исследование входа и распространения ударной волны в микроканале с учетом вязкости и теплопроводности. При распространении ударных волн в микроканалах их интенсивность уменьшается и в зависимости от числа Кнудсена скорость движения ударной волны либо слабо изменяется по сравнению с начальной скоростью, либо существенно падает и волна движется со скоростью близкой к скорости звука.

Полученные результаты способствуют значительному продвижению в понимании особенностей течений с ударными волнами в вязком, теплопроводном газе, в частности существенному пониманию проблемы трехволновой сингулярности (парадокс Неймана). Результаты исследований могут иметь значение для приложений в аэрокосмической технике, энергетике, а также при создании МЭМС. В частности эти результаты могут использоваться при разработке воздухозаборников перспективных сверхзвуковых и гиперзвуковых летательных аппаратов и при создании микроударных труб.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на разделы. В каждой главе содержится раздел с описанием используемых численных методов, начальных и граничных условий. Численное моделирование проводится с использованием двух принципиально различных подходов: континуального (уравнения Эйлера, Навье-Стокса) и кинетического (уравнение Больцмана).

В первой главе представлено исследование отражения сильных ударных волн на плоскости симметрии между двумя клиньями в стационарном потоке. Рассмотрен случай маховского отражения ударных волн, когда существует трехволновое решение. Проведено детальное исследование влияния вязкости на структуру течения в окрестности точки пересечения ударных волн. Также представлено сравнение результатов расчетов с результатами трехволновой теории. Проведено сравнение расчетных полей течений в окрестности точки пересечения ударных волн в координатах, нормированных на среднюю длину свободного пробега в набегающем потоке.

Во второй главе рассматривается нерегулярное отражение слабых ударных волн в стационарном потоке. Рассмотрено несколько различных типов маховского отражения. Для случая маховского отражения с отраженной волной направленной вниз по потоку, а также в условиях парадокса Неймана проведены серии расчетов при различных значениях числа Рейнольдса. Рассмотрены случаи, когда согласно трехволновой теории должно реализовываться маховское отражение с отраженной ударной волной расположенной перпендикулярно к потоку за падающим скачком и направленной против потока. Для всех этих случаев представлено сравнение результатов численного моделирования с результатами трех- и четырехволновой теориями. В конце главы дано сравнение результатов расчетов с учетом вязкости с результатами вязкой модели Штернберга в окрестности точки пересечения ударных волн.

Третья глава посвящена численному исследованию распространения ударных волн на микромасштабе. Представлены результаты моделирования процесса входа ударной волны и дальнейшего ее распространения в микроканале. Расчеты проведены в двумерной постановке на основе уравнений Эйлера, НС, а также уравнения Больцмана. Сравниваются результаты квазиодномерной модели Саласа (без учета вязкости и теплопроводности) распространения ударной волны по каналу с разрывом в поперечном сечении с результатами расчетов на основе двумерных уравнений Эйлера. Численное моделирование на основе двумерных уравнений НС и методом ПСМ проведено для различных чисел Кнудсена (Рейнольдса). Результаты расчетов с учетом вязкости сравниваются с экспериментальными данными. Исследовано влияние формы входа на распространение ударной волны в микроканале.

Основные результаты работы сформулированы в заключении. Результаты опубликованы в следующих рецензируемых журналах:

1. Шоев Г.В., Бондарь Е.А., Хотяновский Д.В., Кудрявцев А.Н., Марута К., Иванов М.С. - Численное исследование входа и распространения ударной волны в микроканале. // Теплофизика и Аэромеханика - 2012 - Том 19. - №1 - с. 19-34.

2. М. S. Ivanov, Ye.A. Bondar, D.V. Khotyanovsky, A.N. Kudryavtsev, G.V. Shoev, «Viscosity Effects on Weak Irregular Reflection of Shock Waves in Steady Flow». Progress in Aerospace Sciences, 46, 2010, 89105.

3. D.V. Khotyanovsky, Y.A. Bondar, A.N. Kudryavtsev, G.V. Shoev, M.S. Ivanov,«Viscous effects in steady reflection of strong shock waves». AIAA Journal, Vol. 47, No. 5, 2009, pp. 1263-1269.

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТПМ СО РАН, ИТ СО РАН, Института механики жидкости (Сендай, Япония), а также на следующих ведущих научных конференциях: международных конференциях по методам аэрофизических исследований

(1СМАЯ, Новосибирск, 2010, Казань, 2012), международных симпозиумах по взаимодействию ударных волн (Москва, 2010, Стокгольм, 2012), Международном симпозиуме по динамике разреженного газа (1ШВ27, Монтерей, Калифорния, США, 2010), 6-й, 8-й и 9-й международных конференциях по динамике потоков (Сендай, Япония, 2009, 2011, 2012), Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), Международном симпозиуме по ударным волнам (188\У28, Манчестер, Англия, 2011).

Исследования проведены при поддержке РФФИ, «Регионального фонда содействия отечественной науке», правительства новосибирской области. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю проф. д.ф.-м.н. М.С. Иванову за руководство над работой в аспирантуре, интересные поставленные научные задачи и всестороннюю поддержку в ходе всего курса обучения. Особую благодарность и признательность автор выражает к.ф.-м.н. Е.А. Бондарю за помощь в проведении расчетов методом ПСМ. Автор также выражает признательность проф. М. Бруиетту (Канада) - за предоставленные экспериментальные данные; коллективу лаборатории вычислительной аэродинамики ИТПМ СО РАН - за рабочую атмосферу и всестороннюю поддержку в работе, в частности к.ф.-м.н. А.Н. Кудрявцева и к.ф.-м.н. Д.В. Хотяновского - за оказанную помощь при численном решении уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

1. Отражение сильных ударных волн 1.1. Постановка задачи

Рассматривается взаимодействие скачков уплотнения, создаваемых двумя симметричными клиньями, помещенными в сверхзвуковой поток. Такая постановка обладает важным преимуществом по сравнению со случаем отражения ударной волны от твердой стенки, так как исключаются эффекты, связанные с наличием пограничного слоя. Как хорошо известно, при стационарном отражении возможны две различные ударно-волновые конфигурации - регулярная и нерегулярная (обычно маховская). Регулярное отражение, показанное на Рис. 1а состоит из падающего косого скачка 1Б и отраженного скачка ЯБ. В падающей волне поток разворачивается на угол по отношению к вектору скорости набегающего потока. В отраженной волне происходит обратный разворот потока на угол, равный 0Ш, с тем, чтобы обеспечить равенство нулю нормальной составляющей скорости на плоскости симметрии. Поток при прохождении через регулярную конфигурацию остается сверхзвуковым. Маховское отражение, показанное на Рис. 16 характеризуется наличием маховского скачка (ножки) МБ, за которым происходит торможение потока до дозвуковой скорости. С задней кромки клина исходит веер волн разрежения ЕБ, который преломляется на отраженной волне КБ и затем взаимодействует с контактной поверхностью 88. В результате

а) Регулярная конфигурация б) Маховская конфигурация

Рис. 1. Стационарные конфигурации стационарного отражения косого скачка.

взаимодействия контактная поверхность искривляется, и образуется «виртуальное сопло», в котором прошедший через маховский скачок дозвуковой поток вновь ускоряется до сверхзвуковой скорости. Характерным масштабом данной задачи является длина наклонной части клина \¥. Геометрия течения определяется параметром где % -

расстояние между задней кромкой клина и плоскостью симметрии, \у -длина наклонной части клина. Точкой Р обозначена точка отражения маховского скачка от плоскости симметрии. Точку пересечения падающего К, отраженного КБ и маховского скачка МБ, как правило, называют тройной точкой (точка Т).

1.2. Техника ударных поляр

Качественный и количественный анализ взаимодействия косых ударных волн в рамках невязкой теории часто проводится путем геометрических построений ударных поляр на плоскости, в которой показана связь параметров потока за фронтом ударной волны. Основными плоскостями для построения ударных поляр являются: плоскости годографа (u,v), (е,р), (е,р) и (е,Т), где u,v - компоненты вектора скорости, о - угол поворота потока, р - давление, р - плотность и Т - температура за фронтом ударной волны. Отметим, что наиболее значимой плоскостью для построения ударных поляр является плоскость (е,р), так как в этой плоскости нет разрыва, соответствующего контактной поверхности. Ударные поляры в плоскости (е,р) также часто называют сердцевидными кривыми. Ударные поляры строятся на основе соотношений Ренкина-Гюгонио и выражают законы сохранения массы, импульса и энергии на косых скачках. Более детально построение ударных поляр описано в [66], [67], [68]. В настоящей работе в основном используются безразмерные комплексы, состоящие из размерных величин, например, р/рда соответствует давлению обезразмеренному на значение в набегающем потоке, поэтому далее для обозначения таких плоскостей как, например, «угол поворота потока, давление», будем использовать обозначение

(е,р/роо).

На Рис. 2 представлены ударные поляры в плоскости (е,р/роо) для случая регулярного и маховского отражения в одноатомном газе (у=5/3) с числом Маха набегающего потока Мга=4. Из точки А (Рис. 2а), соответствующей параметрам набегающего потока, строится ударная поляра I-polar падающей волны. Затем из точки В, соответствующей параметрам течения за падающей ударной волной, строится ударная поляра R-polar отраженной волны. Координаты точки В определяются углом раствора клина 9W. Для случая регулярного отражения косого скачка

в, с!ед 9, с!ед

а) б)

Рис. 2. Ударные поляры в плоскости (е,р/роо) для регулярного и маховского отражения.

ударная поляра отраженной волны всегда пересекает ось давления (точка С). Параметры газа в точках А, В, С на Рис. 2а соответствуют параметрам газа в областях А, В, С на Рис. 1а. Аналогичным образом можно найти все газодинамические параметры. Вышеописанная техника ударных поляр для решения задачи о стационарном регулярном отражении ударных волн соответствует методу построения двухволнового решения (точка С). В терминах ударных поляр маховское отражение М11 отличается от регулярного Ю1 тем, что поляра отраженной ударной волны не пересекает ось давления (см. Рис. 26). Здесь и далее под маховским отражением мы будем подразумевать случай, когда ударные поляры пересекают друг друга и ударная поляра отраженной волны не пересекает ось давления. Отметим, что также существует область двойного решения, где поляра отраженной ударной волны пересекает ось давления и поляру падающей волны. В зависимости от начальных условий может реализовываться как регулярное, так и маховское отражение. Переход между регулярным и маховским отражением детально изучен в [4]-[13] и не рассматривается в настоящем исследовании.

Рассмотрим более детально случай маховского отражения ударных волн (Рис. 3). Как и в случае регулярной конфигурации, поляра

отраженной волны строится из точки Б на поляре падающей волны, соответствующей параметрам потока за падающей ударной волной (в данном случае угол поворота потока за падающей волной 0Ш=25°). Отметим, что для поляр в плоскости годографа поляра отраженной волны строится в системе координат, связанной с течением за падающей волной. На рисунках точка А на поляре падающей волны соответствует параметрам потока за прямым скачком, в данном случае это параметры течения за ножкой Маха на плоскости симметрии (Рис. За). Участок АВ поляры падающей волны соответствует параметрам течения за ножкой Маха от плоскости симметрии до тройной точки. Отметим, что из-за кривизны ножки Маха происходит увеличение угла поворота потока и уменьшение давления, плотности и температуры на участке АВ. Точка пересечения поляр В(С) в плоскости (е,р/роо) соответствует параметрам течения за ножкой Маха и отраженной волной в окрестности тройной точки, а угол поворота потока, в котором поляры пересекаются, соответствует углу наклона контактной поверхности 055, выходящей из тройной точки.

Поскольку на контактной поверхности плотность, температура и компоненты скорости терпят разрыв, то в плоскостях (и/и^у/и«,), (е,р/роо), (е,Т/Тю) контактная поверхность соответствует двум точкам В и С. Точки В и С это точки пересечения поляры падающей и отраженной волны с прямой соответствующей углу наклона контактной поверхности 058. Следовательно, на полярах в плоскостях (и/и«,,у/и«,), (е,р/роо), (е,Т/Тот) участок ВС соответствует переходу через контактную поверхность, причем переход осуществляется скачком из точки В в точку С.

Таким образом, по известному числу Маха в набегающем потоке и углу поворота потока за падающей волной (или углу клина 0ТО) можно получить давление и угол наклона контактной поверхности, а также углы всех волн и параметры течения в окрестности тройной точки. Совокупность всех этих параметров далее будем называть трехволновым

в) Плоскость годографа ч _ , , , Л „ , .

(u/uœ v/uoo) г) Плоскость (в,р/роо) д) Плоскость (е,Т/Тда)

Рис. 3. Стационарная маховская конфигурация и ударные поляры в различных плоскостях.

решением. Отметим, что трехволновое решение можно построить только для случая, когда поляра падающей волны пересекается с полярой отраженной волны в плоскости (е,р/роо).

Рассмотрим различия между сильным и слабым отражением ударных волн в соответствии с определением, данным в [69], [70]. Зафиксируем число Маха набегающего потока и будем менять угол клина. Рассмотрим такой угол клина, при котором ось давления в плоскости (e,p/pœ) является касательной к поляре отраженной волны. На Рис. 4 показаны ударные поляры в плоскости (e,p/pœ) при различных числах Маха набегающего потока. На Рис. 4а изображен случай, в котором давление в точке касания больше, чем давление за прямым скачком, в этом случае имеет место отражения сильных ударных волн (например, Mœ>2,4 при у=5/3, Моо>2,2 при у=7/5). На Рис. 46 показан случай, когда в точке касания давление меньше, чем за прямым скачком, в этом случае имеет место отражение

а) Моо=3, 7=5/3, 0№=17,35°. б) Мет=1,7, у=5/3, 9№=7,64°.

Рис. 4. Ударные поляры в плоскости (е,р/рот) для отражения сильных (а) и слабых (б) ударных волн.

слабых ударных волн (например, Мю<2,4 при 7=5/3, Мю<2,2 при у=7/5). Таким образом, согласно данному определению, в случае отражения слабых ударных волн возможен случай, когда поляра отраженной волны не будет пересекать поляру падающей волны, что соответствует парадоксу Неймана. В случае отражения сильных ударных волн поляры падающей и отраженной волн всегда пересекаются. Один из таких случаев рассмотрен в данной главе.

1.3. Численные методы. Начальные и граничные условия

Для моделирования течений с ударными волнами в данном исследовании использовались два принципиально различных численных метода: метод прямого статистического моделирования Монте-Карло (ПСМ) и численное решение уравнении Навье-Стокса (НС). Для подтверждения достоверности результатов численного моделирования проводилось сравнение результатов, полученных этими двумя методами. Ниже представлены детали реализации каждого из методов. Дополнительно, в данной работе проводятся расчеты на основе уравнений Эйлера. Сравнение результатов моделирования на основе уравнений Эйлера и НС позволяет оценить влияние эффектов вязкости и теплопроводности.

Метод прямого статистического моделирования Монте-Карло (ПСМ) [71], [72] - это метод, в котором течение разреженного газа представляется ансамблем модельных частиц, каждая из которых

19 0С\

представляет большое число (-КГ-КГ) реальных молекул. Процесс моделирования разбит на два независимых этапа: столкновительная релаксация и свободномолекулярный перенос на шаг Д1:. В течение временного шага в каждой «столкновительной» ячейке, на которые разбита расчетная область, производятся столкновения молекул без учета их взаимного расположения. Затем на шаге А1 молекулы во всех ячейках сдвигаются на расстояние, пропорциональное их скоростям. Если в процессе свободномолекулярного движения молекула сталкивается с поверхностью обтекаемого тела, то моделируется ее отражение в соответствии с заданным законом взаимодействия газа с поверхностью. Пространственное распределение газодинамических параметров, таких как скорость, плотность, температура и т.п. получаются осреднением молекулярных признаков по времени в каждой из ячеек. Результаты, полученные методом ПСМ, фактически являются решением уравнения

Больцмана [71 ] в пределе, когда число частиц стремиться к бесконечности, а размер временного шага и ячеек стремится к нулю.

Расчеты методом ПСМ проводились с использованием вычислительного комплекса SMILE (Statistical Modeling In Low-density Environment / Статистическое моделирование в средах малой плотности) [73], [74] разработанного в лаборатории «Вычислительной аэродинамики» ИТПМ СО РАН. В системе SMILE используются две независимые прямоугольные сетки для моделирования столкновительной релаксации и вычисления газодинамических параметров.

Для численного моделирования нерегулярного отражения ударных волн методом ПСМ использовалась геометрия с каналом, показанная на Рис. 5. Для вычисления газодинамических параметров использовалась сетка, сгущающейся в окрестности тройной точки для более детального изучения структуры течения, в этой области. Столкновительная сетка в соответствии со стандартными требованиями к точности расчетов методом ПСМ строилась таким образом, чтобы линейный размер ячейки был меньше локальной длины свободного пробега. В качестве примера на Рис. 6 представлено отношение локальной длины свободного пробега к линейному размеру сетки для одного из случаев, рассмотренного в настоящем исследовании. Расчетная сетка в окрестности тройной точки показана на Рис. 7а. В качестве условной границы ударных волн взяты изолинии давления. Внутри ударных волн используется как минимум 30 ячеек.

На границе канала и плоскости симметрии ставилось условие зеркального отражения, т.е. моделировалось абсолютное упругое отражение, при котором составляющая скорости молекул, касательная к поверхности, остается неизменной, а нормальная составляющая меняет свой знак на противоположный. При такой модели взаимодействия на гладкой поверхности твердого тела не существует ни вязкого, ни температурного пограничных слоев. В начальный момент времени газ в

расчетной области находится в состоянии покоя. На левой границе вбрасываются частицы с параметрами набегающего потока. Вычисление макропараметров производится после полного установления течения.

Рис. 5. Расчетные области и граничные условия для метода ПСМ и численного решения уравнений НС

Анализ точности численного решения методом ПСМ осложняется наличием различных ошибок, которые можно классифицировать следующим образом:

1. ошибки, связанные с временной и пространственной дискретизацией;

2. ошибки, связанные с конечным числом модельных частиц в системе;

3. статистические ошибки осреднения макропараметров.

Для анализа первых двух ошибок, как правило, проводится серия расчетов с уменьшением шага по времени, измельчением сетки и увеличением числа модельных частиц. Достижение сходимости результатов численного моделирования по всем этим параметрам показывает, что эти ошибки малы и не влияют на результат. Такие серии расчетов были проведены в данном исследовании. Статистическая ошибка осреднения обратно пропорциональна корню квадратному из величины

Symmetry plane

выборки. В данном исследовании использовалось осреднение результатов по времени, начиная с момента установления.

Для примера, сходимость по числу модельных частиц продемонстрирована профилями давления на плоскости симметрии (у=0) для разного числа частиц, показанными на Рис. 8а и Рис. 86. Параметры набегающего потока соответствуют некоторым случаям, рассмотренным в настоящей и второй главе. На Рис. 8а видно отличие результатов, полученных с использованием 2,2 миллионами частиц, от результатов, полученных с 4,4 миллионами частиц: разница в положении фронта ударной волны достигает почти 0,01 длин клина. Однако при дальнейшем увеличении числа частиц до 8,8 миллионов распределение давления не меняется, что позволяет сделать вывод о достижении сходимости по числу частиц.

На Рис. 86 показана сходимость по числу модельных частиц для

ЬапЬда/йх

1. 394е*00 1.4 75«+00 1.563**00 1.699**00 1.765*1-00 1.191**00 2.009**00 2.191**00 2.310*100 2.489**00 2.692**00 2.924**00 3.191**00 3.503**00 3.872**00 4.315**00 4.856**00 5.532**00 6.401**00 7.560**00 9.183**00 1.162**01 1.567**01 2.379**01

Рис. 6. Отношение локальной длины свободного пробега к линейному размеру шага пространственной дискретизации. Мос=1,7, Яе№=2123, Кп=0,001, у=5/3, 0№=9,63°.

другого случая. На рисунке видно отличие результатов, полученных при

использовании 8,6 миллионов частиц, от результатов, полученных с 34

миллионами частиц: разница в положении фронта ударной волны

достигает почти 0,005 длин клина. При последующем увеличении числа

частиц до 70 миллионов распределение давления не меняется, что

позволяет сделать вывод о достижении сходимости по числу частиц. Отметим, что для получения этого результата потребовалось более суток машинного времени при использовании 200 процессоров.

а) ПСМ б) НС

Рис. 7. Пространственное разрешение расчетных сеток в ПСМ и НС. Мх=1,7, Rew=2123, Кп=0,001, у=5/3, 9W=9,63\

Численное решение уравнений Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса (НС) решались на структурированной прямоугольной сетке методом установления с использованием схемы WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) [75] 5-го порядка для конвективных членов, центрально-разностной схемой [76], [77] 4-го порядка для диффузионных членов, интегрирования по времени с использованием схемы Рунге-Кутты [78] 2-го порядка. Для решения поставленной задачи использовалась достаточно густая сетка, позволяющая полностью разрешать вязкую структуру ударной волны. Для примера, на Рис. 76 показана сетка, использованная в одном из расчетов второй главы. Внутри ударных волн используется более 10 ячеек, чего достаточно для разрешения внутренней структуры.

На Рис. 5 представлена расчетная область для численного моделирования маховского отражения на основе уравнений НС. На нижней границе ставилось условие симметрии. Верхняя граница расчетной области разбивалась на четыре части: область 12 до падающей волны,

профиль падающей ударной волны 23, область 34 между падающим скачком и веером волн разрежения, область 45 за веером волн разрежения. В каждой из этих областей ставились следующие граничные условия:

• Область 12 - параметры набегающего потока

• Область 23 - профиль падающей ударной волны, который задавался решением Беккера [79], [80] для одномерных уравнений Навье-Стокса

• Область 34 - условия Ренкина-Гюгонио за косой ударной волной

• Область 45 - условие симметрии (условие непротекания, т.е. равенства нулю нормальной составляющей вектора скорости)

а) Моо=4, Кп=0,003, у=5/3, 0№=25° б) Моо=1,7, Кп=0,001, у=5/3, 6^=9,63°.

Рис. 8. Сходимость по числу модельных частиц. Давление на линии симметрии, при различном числе частиц.

Как уже отмечалось ранее, расчеты в настоящем исследовании проводились с полным разрешением внутренней структуры ударных волн. В представленных результатах разрешение пространственной сетки при численном решении уравнений НС, было таким, что число Рейнольдса, вычисленное по размеру ячейки (сеточное число Рейнольдса), составляло Кес~1. Для численного решения уравнений НС в большинстве случаев это заведомо обеспечивает малость численной вязкости по сравнению с вязкостью физической.

Для дополнительной проверки численной точности результатов было проведено исследование сходимости на последовательности измельчающихся сеток. Особенно чувствительными к уровню разрешения являются результаты в плоскости (о,р/роо) и годографа. На Рис. 9 представлены результаты для случая с отраженной волной, направленной против потока, и сверхзвуковым течением за ней (2.6 Маховское отражение с приходящей отраженной волной). Видно, что с увеличением разрешения сетки результаты расчетов сходятся. В частности результаты

а) Плоскость (е,р/рш) б) Плоскость годографа (и/и«,у/и«)

Рис. 9. Численное решение уравнений НС при различных разрешениях пространственной сетки, Мда=1,7, у=5/3,11ете=2123, Кп=0,001, 0№=13°.

В следующем разделе представлены результаты расчетов для случая маховского отражения ударных волн при числе Маха набегающего потока Моо=4. Расчеты проводились для одноатомного (у=5/3) при угле раствора клина 0№=25°. В расчетах использовалась степенная зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры в

соответствии с доступными данными для Аргона [71] (со=0,81). Безразмерным параметром, выражающим отношение сил инерции к силам вязкости, является число Рейнольдса

11е = р и Ж / И П)

IV / сс ос г <г> у-*/

где Poo, Uoo - плотность и скорость в набегающем потоке, w - длина клина. Число Рейнольдса при данных параметрах набегающего потока может быть однозначно выражено через число Кнудсена

X

= ^ (2)

w

характеризующее степень разреженности газа, где X» - средняя длина свободного пробега в набегающем потоке,

Кп

2(5 - 2a>)(J - 2со) {у} М

15\[тг

2

Re

(3)

2(5 - 2Й>)(7 - 2а>) ц

\ъ4п py¡2RT (4)

Таким образом, при фиксированном числе Маха Мю существует

однозначная связь между числами Кнудсена Кп и Рейнольдса Rew. Для

изучения влияния вязкости расчеты проводились при различных числах

Рейнольдса.

1.4. Маховское отражение

На Рис. 10 показано характерное поле плотности и числа Маха. На рисунке хорошо видна трехволновая конфигурация. Наибольший интерес для данного исследования представляет течение в окрестности тройной точки, поэтому далее будут приводиться поля течения в этой окрестности. Отметим, что в вязком случае в связи с конечной толщиной ударных волн обычное невязкое определение тройной точки не имеет смысла. Здесь и далее под «тройной точкой» подразумевается область, в которой сходятся ударные волны (падающая, отраженная и ножка Маха). Характерный размер этой области определяется толщиной ударной волны.

а) Поле плотности и линии тока (Rew=104, Кп=510"4).

б) Поле числа Маха и звуковая линия M=1 (Rew=510\ Кп=10"3). Рис. 10. Характерные поля течения (ПСМ). М,=4, у=5/3, 0W=25°.

масп 3.96 3.64 3.32 3 2.68 2.36 2.04 1.72

1.4

1.08

0.76

0.44

й.З -0.2 -0.1 0. 0.1 0.2 0.3 й.З -0.2 -0.1 0. 0.1 0.2 0.3

х/V» Х/'Н

в) 11е№=5103, Кп=10~3 г) Яе\ч=104, Кп=5-10"4

Рис. 11. Поле плотности в окрестности тройной точки (ПСМ). Мг=4, у=5/3, 9и=25°. Черными сплошными линиями показано расположение ударных волн согласно трехволновой теории.

На Рис. 11 показаны поля течения в окрестности тройной точки при различных числах Рейнольдса. Из рисунков видно, что при увеличении числа Рейнольдса толщины ударных волн уменьшаются. Черными линиями показано расположение ударных волн согласно трехволновой теории. При 1^=500 наблюдается отличие в расположении ударных волн в расчете от предсказаний трехволновой теории. При увеличении числа Рейнольдса видно хорошее соответствие в расположении ударных волн в окрестности тройной точки, полученных в расчете, с теоретически предсказываемым положением.

На Рис. 12 приведено сравнение результатов расчетов методом ПСМ с численными решениями уравнений НС при различных числах Рейнольдса. При 11еш<1,66103 (Рис. 12а, Рис. 126) поля давления, полученные различными методами, отличаются друг от друга. В частности, наблюдаются различия в толщине ударных волн и положении ножки Маха. При 11е™> 1,66 103 (Рис. 12в, Рис. 12г) изолинии хорошо совпадают, небольшие отличия наблюдаются в ширине ударных волн. Однако за исключением этого отличия результаты, полученные кинетическим и континуальным подходом, находятся в очень хорошем

а)К.е№=5 102,Кп=10"2.

б) Ке№=1,66 103,Кп=3-10"3.

0.6 -

в)Яе№=5103, Кп=10"3.

г) Яе№=104, Кп=5-10"4.

Рис. 12. Сравнение расчета методом ПСМ (черные изолинии) с численным решением уравнений НС (белые изолинии). Поля давления. Мю=4, у=5/3, 0„,=25°.

а) Ке%у=5 103, Кп=10~3, у/\у=0,38. б) Яе«Н04, Кг^-Ю"4, у/\у=0,41.

Рис. 13. Сравнение распределений давления при разных числах Рейнольдса. Мю=4, 7=5/3, 0№=25°.

количественном соответствии.

Для более детального сравнения внутренней структуры области, в которой взаимодействуют ударные волны на Рис. 13 представлены распределения давления вдоль оси х через окрестность тройной точки. Решение уравнений НС дает размер области, в которой взаимодействуют ударные волны меньше, чем в случае ПСМ. Однако в обоих случаях, за тройной точкой давления совпадают. Значение давления за тройной точкой превышает значение, предсказанное по трехволновой теории на -10%, для обоих случаев.

На Рис. 14 показано сравнение решения, полученного методом ПСМ, с численным решением уравнений НС в плоскости (е,р/рот). Видно, что поведение численных данных в плоскости (е,р/роо) хорошо совпадает для обоих случаев. Небольшие различия наблюдаются в точках 1 и 2, где численных данные меняют направления. В частности, в точке 1 уравнения НС предсказывают больший разворот потока на -1,5°, чем ПСМ. В точке 2 уравнения НС дают большее давление на -3%, по сравнению с ПСМ.

Координаты (е,р/роо) точек определялись следующим образом:

• по численному полю течения строились распределения макропараметров параллельно оси х для разных значений координаты у

• для каждого распределения находилась координата х, соответствующая максимуму давления за ударной волной

• на плоскость (в,р/роо) наносилась точка соответствующая данному максимуму давления

а) ПСМ. б) НС.

3 3

Рис. 14. Сравнение численных данных в плоскости (е,р/роо) при Ке„,=5■ 10 , Кп=10" .

Далее точки с координатами (Хща^ущах), полученные вышеуказанным

методом, будем называть линией максимумов. Эта линия показана

сплошной линией на Рис. 15. За ножкой Маха в окрестности тройной точки

линия максимумов отходит далеко (расстояние большее, чем толщина

ударной волны) от стебля Маха. Поэтому для построения точек в

плоскости (е,р/роо) использовалась модифицированная линия максимумов

(пунктирная линия на Рис. 15), которая отличается от линии максимумов

только «прямым» участком 12 за ножкой Маха в окрестности тройной

точки. Отметим, что небольшие отклонения (на расстоянии меньше

толщины ударной волны) от модифицированной линии максимумов не

приводят к существенным изменениям в распределении параметров в

плоскости (е,р/рю). Таким образом, в настоящей главе численные данные в

36

плоскости (е,р/рда) строились вдоль линии максимумов с небольшой модификацией на участке 1,2.

Рис. 15. Плотность (НС) при 1*^=1,66 103.

Сравнение результатов расчетов в плоскости (о^/р») при различных числах Рейнольдса представлено на Рис. 16. При числе Рейнольдса

л

1^=5-10 численные данные не совпадают с ударными полярами, за исключением участка ножки Маха в окрестности плоскости симметрии. Отметим, что численное решение уравнений НС в плоскости (о,р/р,л) не совпадает с пересечением ударных поляр, т.е. не совпадает с трехволновым решением. Увеличение числа Рейнольдса до значений Яе^б-Ю2 приводит к заметному изменению численного решения. В частности появились участки, на которых численные данные совпадают с ударными полярами, образовался участок разворота потока за ножкой Маха, и появились участки, которые проходят через точку пересечения ударных поляр. Отметим, что количественного и качественного различия между численными данными (ПСМ и НС) в плоскости (о,р/рл) практически не наблюдается. Однако в плоскости (х/ш,у/ш) в зависимости от числа Рейнольдса наблюдаются отличия, например, в высоте ножки Маха (см. Рис. 12).

На Рис. 17 показаны результаты расчетов при числе Рейнольдса 11е*,=5 ■ 101 в плоскостях (х/ш,у/\у), (е,р/рл), (и/и^у/иД (е,р/рх,) и (о,Т/Т*,).

Точки А, В, С, Д Е, Р в плоскости (х/ш,у/ш) соответствуют точкам в

числах Рейнольдса. Моо=4, 7=5/3, 0ЧУ=25°.

На плоскостях (е,р/рто), (и/иот,у/ию), (е,р/роо), (е,Т/Тю) точки А, В, С, Б, Е, Б нанесены следующим образом. Точка А соответствует условиям за прямым скачком (параметры течения на плоскости симметрии). Точка В -первая точка «ухода» численных значений с поляры падающей волны, эта точка соответствует локальному максимуму угла поворота потока за ножкой Маха и, начиная с этой точки, численные данные перестают совпадать с полярой падающей волны (давление, плотность и температура начинают увеличиваются, х- и у-компоненты скорости начинают уменьшаться). Точка С соответствует «развороту» численных данных, эта точка соответствует локальному минимуму угла поворота потока за

ножкой Маха в окрестности тройной точки и, начиная с этой точки х, у-компоненты скорости начинают увеличиваться, температура начинает уменьшаться, давление и плотность продолжают расти. Точка Э -максимальный угол поворота потока на всем рассматриваемом участке. Е -точка «прихода» численных значений на поляру отраженной волны, начиная с этой точки численные данные, начинают совпадать с полярой отраженной волны. Точка Р соответствует уходу численных данных с поляры отраженной волны, с этой точки начинается влияние веера волн разрежения исходящего от задней кромки клина.

4.5 Я-ро1аг х° 1°

о. ■а О1 „ ° I

3.5 С „о ° .........1в,°,тт в

А 1-ро1аг 1

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шоев, Георгий Валерьевич

Основные результаты работы:

1. Результаты расчетов маховского отражения сильных ударных волн с учетом вязкости показали, что существует локальная зона (соизмеримая с толщиной ударных волн) в окрестности тройной точки, где параметры течения отличаются от значений, предсказываемых трехволновой теорией. Численно продемонстрировано, что поля течений в этой зоне в исследованном диапазоне чисел Рейнольдса совпадают в координатах, нормированных на среднюю длину свободного пробега в набегающем потоке. Следовательно, для сильных ударных волн вязкость оказывает только локальное влияние на масштабах соизмеримых с толщиной ударных волн.

2. Численно показано, что при маховском отражении слабых ударных волн в окрестности тройной точки формируется вязкая зона двумерного течения, в которой не выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио на косых скачках. Наличие такой вязкой зоны приводит к существенному изменению угла наклона отраженной волны по сравнению с углом наклона, предсказываемым трехволновой теорией. Это изменение проявляется только для случаев, когда трехволновое решение дает отраженную волну направленную вверх по потоку за падающим скачком. Для случаев, когда трехволновое решение дает отраженную волну направленную вниз по потоку за падающей волной, вязкость не приводит к качественному изменению ударно-волновой конфигурации.

3. На основе численного моделирования с учетом вязкости показано, что при отражении ударных волн в условиях парадокса Неймана структура течения качественно совпадает со структурой течения при маховском отражении слабых ударных волн (когда существует трехволновое решение). В окрестности тройной точки вязкость также приводит к формированию зоны выравнивания, в которой параметры за ножкой Маха непрерывно переходят к параметрам за отраженной волной. Существование этой зоны выравнивания, где соотношения Ренкина-Гюгонио не выполняются, позволяет разрешить парадокс Неймана.

4. Результаты численного моделирования входа и распространения ударной волны в микроканале показали усиление ударной волны в окрестности входа в микроканал. При дальнейшем распространении ударной волны происходит ее затухание, что согласуется с экспериментальными данными. Усиление ударной волны обусловлено влиянием высокого давления за отраженной от стенки волной перед входом в микроканал. Показано, что геометрия входа также влияет на процесс распространения ударной волны в окрестности входа в микроканал. На достаточно большом расстоянии от входа в микроканал влияние вязкости становится значительным и приводит к значительному затуханию (ослаблению) ударных волн. Темп этого затухания зависит от числа Кнудсена (Рейнольдса).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шоев, Георгий Валерьевич, 2013 год

Литература

[1] Mach Е. // Sitzungsbr. Acad. Wiss. Wien. 1878. Vol. 78. P. 819-838.

[2] J. von Neuman, «Collected Works», Vol. 4, Pergamon Press, 1963.

[3] J. von Neumann, «Oblique reflection of shocks», Explosive Research, 1943, Report no. 12. Navy Dept. Bureau of ordinance, Washington.

[4] Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Beylich A.E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves // Phys. Fluids. - 1995. - V. 7. - P. 685-687.

[5] A. Chpoun, D. Passerel, H. Li and G. Ben-Dor (1995). Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 1. Experimental investigation. Journal of Fluid Mechanics, 301, pp 19-35 doi: 10.1017/S0022112095003776

[6] Ivanov M.S., Zeitoun D., Vuillon J., Gimelshein S.F., Markelov G.N. Investigation of the hysteresis phenomena in steady shock reflection using kinetic and continuum methods. Shock Waves, 1996, Vol. 5, pp. 341-346.

[7] Иванов M.C., Клеменков Г.П., Кудрявцев A.H., Фомин В.М., Харитонов A.M. Экспериментальное исследование перехода к маховскому отражению стационарных ударных волн. ДАН, 1997, Т. 357, №5, С. 623-627.

[8] Ivanov M.S., Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., Gimelshein S.F. Numerical analysis of shock wave reflection transition in steady flows. AIAA Journal., 1998, Vol. 36, pp. 2079-2086.

[9] Иванов M.C., Кудрявцев A.H., Хотяновский Д.В. Численное моделирование перехода между регулярным и маховским отражением ударных волн под действием локальных возмущений. ДАН, 2000, Т. 373, №3, С. 332-336.

[10] Ivanov M.S., Vandromme D., Fomin V.M, Kudryavtsev A.N., Hadjadj A., and Khotyanovsky D.V. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results. Shock Waves, Vol. 11, No. 3, 2001, pp. 197-207.

[11] Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V., Ivanov M.S., Hadjadj A., Vandromme D. Numerical investigations of transition between regular and Mach reflections caused by free-stream disturbances // Shock Waves. - 2002. -V. 12, No. 2.-P. 157-165.

[12] Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Effects of a singlepulse energy deposition on steady shock wave reflection // Shock Waves. -

2006. - V. 15, No. 5. - P. 353-362.

[13] M.C. Иванов, A.H. Кудрявцев, С.Б. Никифоров, Д.В. Хотяновский, «Переход между регулярным и маховским отражением ударных волн: новые численные и экспериментальные результаты», Аэромеханика и газовая динамика, 2002 №3, с. 3 - 15.

[14] Хотяновский Д. В. Численный анализ сверхзвуковых течений со сложными ударно-волновыми структурами // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. ИТПМ СО РАН,

2007.

[15] Ben-Dor, G., Takayama, К., and Needham, С. Е., "The Thermal Nature of the Triple Point of a Mach Reflection," Physics of Fluids, Vol. 30, No. 5, 1987, pp. 1287-1293. doiil0.1063/1.866243.

[16] White D. An experimental survey of the Mach reflection of shock waves. PhD thesis 1952, Princeton University.

[17] White D. An experimental survey of shock waves. In: Proceedings of the second Midwest conference on fluid mechanics. Ohio State University. 1952, p. 253-62.

[18] Zaslavsky B, Safarov R. Mach reflection of weak shock waves from a rigid wall. Appl Mech Tech Phys, 1973; 14(5): 624-9.

[19] Henderson L, Siegenthaler A. Experiments on the diffraction of weak blast waves: the von Neumann paradox. Proc Roy Soc London 1980: 537-555.

[20] Colella P, Henderson L. The von Neumann paradox for the diffraction of weak shock waves. Fluid Mech 1990; 213:71-94.

[21] Olim M, Dewey J. A revised three-shock solution for the Mach reflection of weak shocks. Shock Waves 1992; 2:167-76.

[22] Sasoh A, Takayama K. Characterization of disturbance propagation in weak shock-wave reflections. Fluid Mech 1994; 277:331-45.

[23] E. И. Васильев, A. H. Крайко, «Численное моделирование дифракции слабых скачков на клине в условиях парадокса Неймана», Журнал вычислительной математики и математической физики, №8, 1999.

[24] Guderley К. (1947) Considerations on the Structure of mixed subsonic supersonic flow patterns, HQ Air Materiel Command, Wright Field, Dayton, Ohio, Technical Report F-TR-2168-ND.

[25] Guderley K.G. (1962) The theory of transonic flow, Translated from the German by J.R. Moszynski. Oxford, New York, Pergamon Press, p. 344.

[26] Dulov V. Motion of triple configuration of shock waves with formation of wake behind branching point. Appl Mech Tech Phys 1973; 14(6): 791-7.

[27] Adachi T, Suzuki T, Kobayashi S. Mach reflection of a weak shock waves. Trans Jpn Soc Mech Eng 1994; 60 (575): 2281-6.

[28] Shindyapin G. Mach reflection and interaction of weak shock waves under the von Neumann paradox conditions. Fluid Dyn 1996; 31(2):318-24.

[29] Vasilev E. High resolution simulation for the Mach reflection of weak shock waves. In: Proceedings of the ECCOMAS fourth computational fluid dynamics conference, Athens, Greece. Vol. 1, parti; 1998, p. 520-7.

[30] Vasilev E. Four-wave scheme of weak mach shock wave interaction under von Neumann paradox conditions. Fluid Dyn 1999; 34 (3):421-7.

[31] E. Vasilev, M. Olhovskiy: The complex structure of supersonic patches in the steady Mach reflection of the weak shock waves, Abstracts of the 26th international symposium on shock waves, 2009, p. 322.

[32] A. M. Tesdall and J. K. Hunter, Self-similar solutions for weak shock reflection, SIAM Journal on Applied Mathematics, 63 (2002), pp. 42-61.

[33] J. K. Hunter and A. M. Tesdall, Weak shock reflection, A Celebration of Mathematical Modeling: The Joseph B. Keller Anniversary Volume (D. Givoli,

128

M. Grote and G. Papanicolaou, eds.), Kluwer Academic Press, New York, 2004, pp. 93-112.

[34] A. M. Tesdall, R. Sanders, and B. L. Keyfitz, The triple point paradox for the nonlinear wave system, SIAM Journal on Applied Mathematics, 67 (2006), pp. 321-336.

[35] A. M. Tesdall, R. Sanders, B. L. Keyfitz (2008) Self-similar solutions for the triple point paradox in gas dynamics, SIAM J. Appl. Math., 68, pp. 13601377.

[36] M. Ivanov, R. Paciorri, A. Bonfiglioli: Numerical simulations of von Neumann reflections, AIAA, 40th Fluid Dynamics Conference and Exhibit, 28 June -1 July 2010, Chicago, Illinois, 4859.

[37] A. Defina, F. M. Susin, D. P. Viero (2008) Numerical study of the Guderley and Vasilev reflections in steady two-dimensional shallow water flow, Physics of Fluids, vol. 20(9), pp. 097102-1, DOI: 10.1063/1.2972936.

[38] Defina A., Viero D. P., Susin F. M. (2008) Numerical simulation of the Vasilev reflection, Shock Waves, vol. 18. p. 235-242.

[39] Skews B, Li G, Paton R. Experiments on Guderley Mach reflection. Shock Waves 2009; 19:95-102.

[40] S. Kobayashi and T. Adachi (2011) Consideration of von Neumann reflection and Mach reflection for strong shock waves, Papers of 28th International Symposium on Shock Waves, Manchester, UK, 17-22 July 2011, Paper Num. 2456.

[41] S. Kobayashi, T. Adachi, Detailed Investigation of Self-Similarity of Strong Shock Reflection Phenomena, Journal of the physical society of Japan 81 (2012) 044403. DOI: 10.1143/JPSJ.81.044403

[42] S. Kobayashi, T. Adachi, Intermediate Reflection between Mach and von Neumann Reflections, 60th Japan National Congress for Theoretical and Applied Mechanics, 2011, p. 119-125.

[43] S. Kobayashi, Т. Adachi and T. Suzuki. The von Neumann paradox for strong shock waves // Shock Waves. - 2009. - P. 1539-1542, DOI: 10.1007/978-3-540-85181 -3 121.

[44] J. Sternberg. Triple-Shock-Wave Intersections. Phys. Fluids., Vol. 2, No. 2, 1959, pp. 179-206.

[45] A. Sakurai, "On the problem of weak Mach reflection", J. Phys. Soc., Jpn. 19, 1440-1450(1964)

[46] A. Sakurai, M. Tsukamoto, D. Khotyanovsky, M. Ivanov, "The flow field near the triple point in steady shock reflection", Shock Waves (2011) 21:267272, DOI 10.1007/s00193-011-0329-8

[47] R. Courant, К. O. Friedrichs, «Supersonic Flow and Shock Waves», New York, 1948.

[48] Tabeling P. Introduction to microfluids. Oxford: Oxford University Press, 2005. 301 p.

[49] Karnidakis G., Beskok A., Aluru N. Microflows and nanoflows. Fundamentals and simulations. / Ed. by S.S. Antman, J.F. Marsden, L. Sirovich. Interdisciplinary

Applied Mathematics. N. Y.: Springer Sciences+Business Media, Inc., 2005. Vol. 29. 818 p.

[50] B.M. Анискин, Д.А. Бунтин, A.A. Маслов, С.Г. Миронов, И.С. Цырюльников Исследование устойчивости дозвуковой газовой микроструи Журнал технической физики, 2012, том 82, вып. 2

[51] Encyclopedia of Microfluidics and Nanofluidics. Li, Dongqing (Ed.) // Springer, 2008, ISBN 978-0-387-48998-8, Version: eReference (online access).

[52] Duff, R.E.: Shock-tube performance at low initial pressure. Phys. Fluids 2, 207-216(1959).

[53] Roshko, A.: On flow duration in low pressure shock tube. Phys. Fluids 3, 835-842 (1960).

[54] Mirels, H.: Test time in low pressure shock tube. Phys. Fluids 6, 1201-1214 (1963).

[55] R. J. Emrich, C. W. Curtis. Attenuation in the Shock Tube // J. Appl. Phys. Vol. 24, Num. 3, P. 360-363 (1953); doi: 10.1063/1.1721279.

[56] R. N. Hollyer. Attenuation in the Shock Tube: I. Laminar Flow. J. Appl. Phys. Vol. 27, Num. 3, P. 254-261 (1956); doi: 10.1063/1.1722352.

[57] Sun, M., Ogawa, Т., Takayama, K.: Shock propagation in narrow channel. In: 23rd International Symposium on Shock Waves, Fort Worth, Texas, USA, 22-27 July 2002.

[58] Brouillette, M.: Shock waves at microscales. Shock Waves 13, 3-12 (2003).

[59] Ю.Ю. Клосс, В.В. Рябченков, Ф.Г. Черемисин, П.В. Шувалов. Взаимодействие ударной волны с пограничным слоем в узком канале. // Математическое моделирование. 2011, том 23, номер 4, стр. 131-140.

[60] Zeitoun, D.E., Burtschell, Y.: Navier-Stokes computations in micro shock tubes. Shock Waves 15, 241-246 (2006).

[61] J. Giordano, J. D. Parisse, and P. Perrier. Numerical study of an original device to generate compressible flow in microchannels // Physics of Fluids. -2008.-V. 20, 096101, DOI: 10.1063/1.2990764.

[62] D. E. Zeitoun, Y. Burtschell, I. A. Graur, M. S. Ivanov, A. N. Kudryavtsev, Y. A. Bondar. Numerical simulation of shock wave propagation in microchannels using continuum and kinetic approaches // Shock Waves. 2009, Vol.19, P. 307-316.

[63] G. Mirshekari, M. Brouillette. One-dimensional model for microscale shock tube flow // Shock Waves. 2009, Vol. 19, P. 25-38.

[64] J. D. Parisse, J. Giordano, P. Perrier, Y. Burtschell, I. A. Graur. Numerical investigation of micro shock waves generation // Microfluid Nanofluid. 2008, Vol. 6, P. 699-709.

[65] G. Mirshekari, M. Brouillette. Experimental study of the shock propagation in a micron-scale channel // Proceedings of the 27th International Symposium on Shock Waves, Russia, St. Petersburg, 2009, P. 260.

[66] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В Ют. Т. VI. Гидродинамика. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1986.

[67] Черный Г.Г. Газовая динамика - М.: Наука, 1988.

[68] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[69] G. Ben-Dor, «Handbook of Shock waves», Chapter 8.1, Department of Mechanical Engineering, Ben-Gurion University of the Negev, Beer Sheva, Israel, 84105.

[70] Hornung, H., Regular and Mach reflection of shock waves. Ann. Rev. Fluid Mech., Vol. 18, 1986, pp. 33-58.

[71] G. A. Bird, «Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows», Oxford University Press, 1994.

[72] Г. Берд, «Молекулярная газовая динамика», Oxford University Press, 1976, 1979, перевод на русский язык, с дополнениями, «Мир», Москва 1981

[73] M.S. Ivanov, G.N. Markelov, and S.F. Gimelshein, Statistical simulation of reactive rarefied flows: numerical approach and applications, AIAA Paper No. 98-2669, 1998.

[74] Kashkovsky, A. V., Markelov, G. N., Ivanov, M. S.: An objectoriented software design for the direct simulation Monte Carlo method. AIAA Paper 2001-2895 (2001).

[75] G.S. Jiang, C.-W. Shu. Efficient Implementation of Weighted ENO Schemes // J. Comput. Phys. - 1996 - V.126 - P. 202-228.

[76] A.N. Kudryavtsev, D.V. Khotyanovsky. A numerical method for simulation of unsteady phenomena in high-speed shear flows. // Proc. 9th Int. Conf. on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR 98), Novosibirsk, Russia, June 29 -July 3, 1998, Part 3, P. 165-170.

[77] A. Kudryavtsev, D. Khotyanovsky. Numerical investigation of high speed free shear flow instability and mach wave radiation // Int. J. Aeroacoust. 2005, Vol. 4, P. 325-344.

[78] C.-W. Shu, S. Osher. Efficient implementaton of essentially non-oscillatory schock-capturing schemes // J. Comput. Phys. - 1988. - V.77. - N.2. - P.439-471.

[79] Хейз У.Д. Основы теории газодинамических разрывов. - В кн.: Основы газовой динамики / под. ред. Г. Эммонса, пер. с англ. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 702с.

[80] Becker R. Stosswelle und Detonation. Z Physik 1922; 8:321-62.

[81] Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Издательство наука. Главная редакция физико-математической литературы. Москва, 1966.

[82] Ben-Dor, G. "A reconsideration of the three-shock theory for a pseudo-steady Mach reflection," J. Fluid Mech., Vol. 131, 1987, pp. 467^184.

[83] Vasiliev E, Elperin T, and Ben-Dor G. Analytical reconsideration of the von Neumann paradox in the reflection of a shock wave over a wedge. Phys. Fluids 2008; 20, 046101.

[84] M. S. Ivanov, A. Bonfiglioli, R. Paciorri, F. Sabetta, Computation of weak steady shock reflections by means of an unstructured shock-fitting solver, Shock Waves (2010) 20:271-284, DOI 10.1007/s00193-010-0266-y

[85] URL: http://www.itam.nsc.ru/about/wind tunnels.php, дата обращения: 20.02.2013

[86] M.H. Коган, Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

[87] Г.Н. Абрамович. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, ч. 2, 1991.

[88] Хотяновский Д.В., Кудрявцев А.Н., Иванов М.С. Течение вязкого теплопроводного газа в ударной трубе // Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение: Тез. докл. Всерос.конф., приурочен.к 90-летию акад. Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 23-28 апреля 2009г.). -Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН им. М.А. Лаврентьева, 2009, С. 147-148.

[89] Quirk J.J. AMRITA - A computational facility (for CFD modeling) // VKI 29th CFD Series. - 1998. - p. 23-27.

[90] M. D. Salas, Shock wave interaction with an abrupt area change // NASA Technical Paper 3113, 1991

[91] С.Ф. Чекмарев, Импульсные течения газа в сверхзвуковых соплах и струях. Институт Теплофизики им. С.С. Кутателадзе, Новосибирск, 1989

[92] G. Rudinger. Passage of shock waves through ducts of variable cross section // the Physics of Fluids, 1960, Vol. 3, No. 3, P. 449-455

[93] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Редактор А.И. Чекмарев. 1950.

[94] Watvisave D., Puranik В. and Bhandarkar U., A DSMC-MD Investigation of Shock Tube Flow Operating at High Knudsen Numbers, 28th Int. Symposium on Shock Waves, Manchester, UK, (2011), paper number 2441, p. 199-204