Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Велищанский Михаил Александрович

• Велищанский Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Велищанский Михаил Александрович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Нелинейные динамические системы

1.1.1. Обратимые системы

1.1.2. Аффинные системы

1.2. Терминальная задача

1.3. Метод обратных задач динамики

Глава 2. УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО

АППАРАТА

2.1. Модель космического аппарата как твердого тела

2.2. Полиномиальные расширения

2.3. Сплайн-расширения

2.4. Другие способы задания кинематической траектории. Кубические В-сплайны

2.5. Стабилизация программной траектории

2.6. Учет ограничений

2.7. Моделирование

2.7.1. Переориентация космического аппарата без ограничений

на управления

2.7.2. Переориентация космического аппарата при наличии ограничения на управления

2.7.3. Переориентация космического аппарата с недиагональной

матрицей инерции при наличии ограничений на управления

2.7.4. Работа алгоритма стабилизации в условиях не точной информации об инерционных характеристиках космического аппарата и наличии ограничения на управления

2.7.5. Моделирование квазиоптимального и оптимального алгоритмов переориентации космического аппарата

2.7.6. Обсуждение результатов моделирования

Выводы по второй главе

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ДОПУСТИМЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

3.1. Модель летательного аппарата как материальной точки в тра-екторной системе координат

3.2. Преобразование модели летательного аппарата к каноническому виду

3.3. Построение траектории на базе полиномов при известном времени маневра

3.4. Численная минимизация времени перелета в классе полиномов

5-й степени

3.5. Моделирование

3.6. Другие методы построения траектории

3.6.1. Построение фазовой траектории

3.6.2. Оптимизационный подход к выбору фазовой траектории

3.6.3. Моделирование

3.6.4. Векторный случай

3.6.5. Движение летательного аппарата в вертикальной плоскости при наличии ограничений на состояния

3.6.6. Пространственное движение летательного аппарата при наличии ограничений на состояния

Выводы по третьей главе

Стр.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО РАБОТЕ

ЛИТЕРАТУРА

Список сокращений и обозначений

КА — космический аппарат. ЛА — летательный аппарат.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем»

Введение

Актуальность темы. Задача управления движением различных механических объектов не нова, но остается и по сей день актуальной. Это обусловлено как ростом числа подобных объектов, так и требованиями улучшения тех или иных характеристик уже существующих алгоритмов управления. Среди данных задач можно выделить класс, когда за заданное или конечное время требуется перевести объект из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Такие задачи называют терминальными. Однако, большинство разработанных к настоящему моменту методов решения терминальных задач [3,35,36,42-44,51,68-70,75,84] не дают возможности учета ограничений, наложенных на состояние системы. Применение принципа максимума Понтрягина к решению терминальных задач при наличии ограничений на управления ведет к получению управления, не являющегося непрерывным. Одним из возможных подходов к учету ограничений на состояния в терминальных задачах является метод локальных вариаций [50,74] применение которого, однако, может приводить к ограничениям на реализуемость траектории. В настоящее время широкое распространение получили методы, основанные на преобразовании аффинных систем к регулярному каноническому виду при помощи замен переменных состояния, управления и независимой переменной [45,69-71,79,82,85-88]. В некоторых методах процесс поиска требуемой программной траектории и управления, с целью учета наложенных ограничений, может быть итерационным [37,38,71,79].

К подобным задачам относятся и рассматриваемые в данной работе задача переориентации космического аппарата (КА), а так же задача движения летательного аппарата (ЛА) через заданные граничные состояния. Решение данных задач достаточно сложны и основные трудности связаны с необходимостью учета ограничений на переменные состояния и управления. При этом для некоторых объектов, в силу их специфики, чаще возникают ограничения

на управления, как, например, в задаче переориентации КА, что вызвано ограниченностью ресурсов систем управления.

Задача переориентации КА в различных постановках рассмотрена в целом ряде работ [1,4,5,9,10,20,21,24,47,48,52-59,61-63,72,73]. В большинстве из них — это задача оптимизационная. В работах рассматриваются вопросы получения управления, оптимального по быстродействию [1,5,56,59,61,62], расходу топлива или интегралу энергии [1,4,24,53,58].

Для осесимметричного тела известно аналитическое решение задачи нахождения оптимального по быстродействию управления, построенное на основе принципа максимума Понтрягина [5]. Другой вариант синтеза управления, оптимального по быстродействию, для решения динамической задачи переориентации основан на использовании метода экстенсивного разворота [1], базирующегося на теореме Эйлера о конечном повороте твердого тела, имеющего неподвижную точку. В [4,59], с использованием принципа максимума Понтрягина рассмотрена задача оптимального по быстродействию управления пространственной переориентацией КА при наличии интегральных ограничений на вектор угловой скорости. При этом до конца решить задачу аналитически удается лишь в кинематической постановке.

В [52,53] с использованием прогнозирующей модели изложен вариант синтеза управления для задачи пространственной переориентации несимметричного КА по критерию минимума расхода топлива и при наличии ограничений на управляющие моменты. В основе метода лежит известное решение задачи нахождения оптимального по быстродействию управления для осесимметрич-ного тела и соответствующей траектории, которая выбирается в качестве прогнозируемой траектории на заданный интервал времени.

В [81] строится управление с обратной связью по состоянию в случае наличия ограничений на управления и отсутствия возможности вести расчет управления в реальном времени. Суть метода заключается в построении законов управления, оптимизируемых по заданным критериям, для всех режимов

ориентации КА еще на этапе проектирования КА, т.е. до его вывода на орбиту. Для каждого режима ориентации КА при синтезе закона управления все пространство состояний КА разбивается на области, в каждой из которых находится управление в виде обратной связи по состоянию. В блок управления КА записываются найденные области и законы управления в каждой из них и на орбите по результатам анализа текущего положения выбирается необходимый закон управления. Данный подход особенно актуален для небольших КА.

В [72] предложен способ синтеза алгоритма управления ориентацией КА, базирующийся на концепции обратных задач динамики [48] с использованием кватернионного способа описания вращательного движения КА. Используется расширенный (восьмимерный) вектор состояния КА и расширенный (четырехмерный) вектор управления, что позволяет синтезировать регулярные в целом законы управления. Программная траектория задает перевод КА из заданного начального состояния покоя в требуемое конечное состояние покоя и строится в виде плоского эйлерова разворота. При построении программной траектории используется принцип максимума Понтрягина, когда необходимо реализовать оптимальный по быстродействию разворот КА, либо кубические сплайны, когда задано время переориентации КА. Предложен способ построения программной траектории в случае наличия у КА равных начального и конечного вектора угловой скорости.

В работе [58] рассматривается задача оптимального управления пространственным разворотом КА из произвольного начального в заданное конечное угловое положение за заданное время. Оптимизация траектории производится по критерию минимума интеграла кинетической энергии вращения КА с использованием принципа максимума Понтрягина. Приводятся структура оптимального управления и соотношения для определения программного движения КА. Однако в общем случае, решении задачи переориентации получается лишь численными методами. Для динамически симметричного КА

дается полное решение задачи переориентации в замкнутой форме. Приводится расчет программных управлений при наличии конкретного вида ограничений.

При планировании требуемых траекторий движения ЛА достаточно широко используется подход, основанный на концепции обратных задач динамики [48], включающий два этапа: задание кинематической траектории движения объекта и определение управлений, реализующих данную траекторию. Преимуществом данного подхода является возможность сформировать желаемую траекторию, удовлетворяющую заданным ограничениям, и исследовать ее реализуемость. Однако именно задача поиска траектории, удовлетворяющей заданным ограничениям, зачастую и представляет собой наибольшую трудность. Кроме того, для нахождения программного управления, реализующего заданную программную траекторию, отображение «вход-выход» математической модели, описывающей движение, должно быть обратимым. Обратимость отображения «вход-выход» означает, что для любой программной траектории в пространстве выходов найдется реализующее ее программное управление. При этом учет ограничений зачастую ведет к итерационной процедуре, когда в некотором классе функций по тому или иному алгоритму перебираются возможные траектории, пока не будет найдена такая траектория, которая бы удовлетворяла наложенным ограничениям.

Первые алгоритмы решения задачи по переводу ЛА из заданной начальной точки пространства в заданную конечную точку за фиксированное время представлены в [67]. В [89] приведены достаточно общие идеи применения концепции обратных задач динамики применительно к исследованию движения вертолета. В указанных работах, а так же в [13,16,30-33,47], в качестве модели ЛА использовалась нелинейная система 6 порядка, записанная в траекторной системе координат с использованием перегрузок. Данная модель рассматривает ЛА как материальную точку и не учитывает движение ЛА вокруг его центра масс. Несмотря на приближенный характер, данная

модель является общепринятой благодаря своей универсальности поскольку отражает динамику пространственного движения ЛА любой схемы компоновки в предположении о неизменности массы ЛА. Кроме этого, данная модель обладает еще одним существенным достоинством — она позволяет задавать кинематическую траекторию в земной системе координат в виде набора дважды дифференцируемых функций времени.

Для проектирования сложных пространственных траекторий ЛА можно использовать метод [31,32], основанный на компоновке траектории из определенного набора более простых траекторий, соответствующих типовым маневрам (смена эшелона, разворота, прямолинейного движения и т.д.). Однако и при таком подходе, при проектировании траекторий являющихся базовыми, возникает задача по учету ограничений.

Цель проведенных исследований — разработка и программная реализация методов аналитического и численного решения терминальных задач для обратимых систем в множестве непрерывных управлений при наличии ограничений на переменные состояния и управления, применение разработанных методов для решения задач переориентации КА, планировании движения ЛА и сравнение различных решений этих задач.

Основными вопросами, рассматриваемыми в диссертации, являются методы построения параметрических множеств траекторий, удовлетворяющих граничным условиям, нахождение в этих множествах решения поставленной задачи, сравнение различных решений.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, методы конечномерной оптимизации, концепция обратных задач динамики, метод Бубнова — Галеркина, различные численные методы и методы математического моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. Методы построения параметрических семейств траекторий для терминальных задач, реализуемых в классе непрерывных управлений, для систем с обратимым отображением «вход-выход».

2. Численный метод решения терминальных задач для класса обратимых систем при наличии ограничений.

3. Численное решение задач переориентации КА, планирования движения ЛА и сравнение различных решений этих задач.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы могут использоваться для разработки алгоритмов терминального управления для широкого класса механических систем, а также других динамических систем, используемых как модели в различных областях естествознания.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XIII-й международной конференции Process Control (г. Братислава, Словакия 2001), I-й Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании» (г. Москва, 2001), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Екатеринбург, 2011), VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, 2002), втором Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» (г. Москва в 2002), VIII Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (г. Донецк, Украина, 2002), XII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, 2012), Международной конференции по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2015, 2017), XIII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, 2016), XX-ом конгрессе IFAC (Toulouse, France, 2017).

Основные научные результаты диссертации отражены в 7 научных работах общим объемом 3.47 п.л., в том числе в 6 статьях из Перечня российских рецензируемых научных журналов и изданий [10,12,13,15,16,91], и 8 тезисах докладов [6-8,11,14,17,18,90] объемом 0.71 п.л.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 124 страницах, содержит 45 иллюстраций. Библиография включает 92 наименования.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 02-01-00704, № 11-01-00733, № 12-07-329, № 13-07-00743, № 14-01-00424, № 15-07-06484, Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-4144.2010.1, грант НШ-3659.2012.1) и Минобрнауки РФ (проект 1.644.2014/К).

Глава 1. Основные сведения из геометрической теории нелинейных динамических систем

1.1. Нелинейные динамические системы

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений

х = ^(х,г,п), х = (х1,...,хп)т е Шп,и = (м1,...,ит)т е Кт, ^(х, £, и) = (^1(х, и),..., ^п(х, и))т, (.) =

называют (п-мерной) нелинейной нестационарной динамической системой с управлением и и состоянием х, Кп = {х} — пространством состояний, а переменные х1, ..., хп называют переменными пространства состояний.

Если на состояния х нелинейной системы накладываются ограничения в виде х е X С Кп, то X называют множеством допустимых состояний, а х е X — допустимым состоянием. На управления так же зачастую накладываются ограничения вида и е и С Кт. Кроме того, часто предполагают, что управления, как функции времени, принадлежат некоторому классу функций.

Если управление зависит только от независимого переменного £, то его называют программным, а управление, зависящее только от состояния системы, называют управлением в виде обратной связи. Управление, зависящее и от времени и от состояния системы называют нестационарной обратной связью.

1.1.1. Обратимые системы

Понятие обратимой системы встречается в целом ряде работ [2,25-27,78] и др., однако единого чёткого определения ни в этих, ни в других работах найти не удалось. В работах [2,25-27] рассматривается задача восстановления неизвестного входа системы по проводимым измерениям ее выхода, что и называется авторами задачей обращения динамической системы. Большинство указанных работ данных авторов посвящены линейным системам с запаздыванием и без.

В [78] даны определения левых и правых обратных систем для аффинной системы (см. 1.1.2) с выходом, которые, по видимому, наиболее близко отражают суть, вкладываемую в данной работе в понятие обратной системы.

Прежде чем дать определение обратимой системы рассмотрим несколько примеров, поясняющих данное понятие. Рассмотрим для начала алгебраическую систему, описывающую прохождения тока по цепи с сопротивлением Я при подачи на нее напряжения и

В данной системе, в качестве входа системы естественно взять напряжение и, а в качестве выхода — силу тока г. Для данной системы в качестве обратной системы естественно назвать систему, которая в качестве своего выхода имеет напряжение и, а в качестве входа — силу тока г

Очевидно, что с помощью полученной обратной системы можно определять вход и исходной системы, для получения любого требуемого ее выхода г.

Рассмотрим теперь, в качестве следующего примера, динамическую систему, описывающую прохождение тока по цепи, содержащей сопротивление Я и индуктивность Ь. В качестве входа системы по прежнему выберем напряжение и(Ь), а в качестве выхода, традиционно обозначаемого как у — силу тока г

Обратная система должна по входному сигналу у(Ь) выдать в качестве выходного сигнала напряжение и(Ь). В качестве такой системы, можно рассмотреть следующую систему

и = Яг.

* = У,

и

*(0) = г(0).

Однако, существует более простая система, подходящая на роль обратной

и=(Я)у+у ■

Последний пример показывает, что обратная система, если она существует, не обязательно единственная. Так же отметим, что в общем случае размерность выхода системы может не совпадать ни с размерностью пространства состояния системы ни с размерностью входа.

Вернемся теперь к определению левых и правых обратных систем из [78]. Рассмотрим следующую аффинную систему с выходом

х = ^ (ж) + д(х)и,

у ; у ; ж е и е у е (1.2)

У = Н(ж)

где ], д и Н аналитические функции переменной ж. Определение 1.1. Система

* = Р (г,у,у ,...,У{у)), ( ,

( . (1.3) и = Н (*,у,у ,...,у(^)),

называется правой обратной системой для системы (1.2), если существует г(0), такое что выход у(£) системы (1.2) равен входу у(£) системы (1.3), всякий раз, когда вход и(£) системы (1.2) выбирается равным выходу системы (1.3).

Определение 1.2. Система

г = Р (г,у,у ,...,у{у)), (14)

и = Н (г,у,у, ...,у(^)),

называется левой обратной системой для системы (1.2), если выход и(£) системы (1.4) равен входу и(£) системы (1.2), всякий раз, когда вход у(£) системы (1.4) выбирается равным выходу системы (1.2).

Выбор в [78] именно аффинной системы в качестве обращаемой, по видимому, обусловлен наличием для аффинных систем так называемого «структурного алгоритма» или, как его еще называют, «алгоритма обращения»,

позволяющего находить вход системы, с целью реализации требуемой выходной функции.

Под обратимой системой, в данной работе, будет пониматься система, для которой существует правая обратная система, в смысле определения (1.1). Мы лишь расширим рассматриваемый класс систем и не будем ограничиваться только аффинными системами.

Определение 1.3. Система

X = ^ (х,и), У = Мх)

называется обратимой, если для любого, наперед заданного выхода у(£) системы (1.5) найдется реализующий его вход и(£).

(1.5)

1.1.2. Аффинные системы

Система (1.1) называется аффинной системой, если она имеет следующий

вид

XX = А(х) + ^ Бг(х)иг, х е П С Кп,

г=1

(1.6)

где А(х) = (а1 (х),...,ап(х))т, Вг(х) = (Ън(х),... ,Ъш(х))т, г = 1,т.

Аффинная система (1.6) называется системой канонического вида, если она имеет следующий вид

¿1 = Х'2,..., ¿щ-1 = Zní, ¿щ = №) + X] 913(г)щ

г=1

¿П1+...+пт_1+1 ¿п1+...+пт-1+2, . . . , ¿п /т(%) + Ху 9тз (¿)uj,

г=1

(1.7)

где п1 + ... пт = п, ¿ = (¿1,..., ¿п) е Z С Яп — канонические переменные. Введем фазовые переменные, полагая

У1 = ¿1, У1 = ¿2,

(П1-1) =

у1 = ¿П1,

(1.8)

ут ¿п 1+...+пт—1+1, ут ¿п1+...+пт_ 1+2, . . . , у

(пт-1)

¿п.

Тогда каноническую систему (1.7) можно записать в виде системы из т дифференциальных уравнений

(П > т У1 = ЛИ + Е 013 (У)из,

3=1

... (1.9)

(П > т

Ут = /т(У ) + Е 9тз (У)из ,

3=1

- / • (п1 — 1> • (пт — 1>\ Т

где У = (У1, УУ1, . . . , У( >,...,Ут ,УУт,...,ут >)Т .

Отметим, что системы канонического вида (1.7) и системы (1.9) обладают рядом преимуществ по сравнению с просто аффинными системами (1.6), не приводимыми к каноническому виду, поскольку для систем канонического вида разработано большое количество методов анализа множеств достижимости, управляемости, декомпозиции и синтеза алгоритмов управления [23,40,41,64]. Кроме того, системы канонического вида с выходом Н = = (¿1,... ,^щ+...+пт_1+1) для (1.7) (Н = (У1,... ,Ут) для (1.9)) в случае невырожденности матрицы ) =|| 03IIз =1т (^(У) = \\ дз(У) \\г,з =1т для (1.9))

являются обратимыми системами (см. 1.1.1).

Существуют необходимые и достаточные условия чтобы для аффинной системы (1.6) в О существовали переменные, в которых она принимала бы канонический вид (1.7) или (1.9).

Теорема 1.1. Для того, чтобы для аффинной системы (1.6) в О существовали канонические переменные, в которых она имеет вид (1.7), необходимо и достаточно, чтобы существовали такие функции ^1(ж),..., ^т(ж) € Ото(О), которые удовлетворяют в О системе уравнений в частных производных

ВзАк<#(ж) = 0, к = 0,п - 2, г,= 1,т, (1.10)

а соотношения

к-1

¿п(г)+к = А ^г(ж), к = 1,Пг, г = 1,т, (1.11)

где п(1) = 0, п(г) = п1 +... + п^_1, г > 1 задавали в О гладкую невырожденную замену переменных.

Теорема 1.2. Для того, чтобы для аффинной системы (1.6) в П существовали канонические переменные, в которых она имеет вид (1.9) необходимо и достаточно, чтобы существовали такие функции ^1(х),..., ^т(х) е Ото(П), которые удовлетворяют в П системе уравнений

ааХБ^г(х) = 0, к = 0,пг - 2, г,;' = 1,т, (1.12)

а соотношения

ук = Ак<^г(х), к = 1, пг - 1, г = Т~т, (1.13)

задавали в П гладкую невырожденную замену переменных. В этих переменных аффинная система имеет канонический вид (1.9), при этом

/г(у) = Ап ^г(х), ^ (у) = Бj Ап^-1 ^г(х), где х = ^(у) — решение (1.13) относительно х.

В данных теоремах использовались следующие обозначения:

д „ А, , , д

А = Е аг(х)др Бj = ^2 Ъгj(х)др ; =

г=1 г г=1 г

ааА Б = Б, аал Б = [А, Б], а^ Б = [А, ааЛ-1 Б], к> 1,

[А, Б] = АБ - БА, Ак = ААк-1, к = 2,3,....

1.2. Терминальная задача

Вернемся к рассмотрению нелинейной динамической системы (1.1) и рассмотрим некоторые условия для нее

хг0 = хг(£о), г = 1,т, т < п, ^

х^ = Xj (£*), ; = т + 1,п.

Под терминальной задачей для (1.1), (1.14) мы понимаем нахождение программной траектории х(£) и программного управления и(£), обеспечивающих перевод системы из заданного начального состояния при £ = £0, в заданное конечное состояние при £ = £*.

Отметим, что в отличие от задачи Коши для (1.1), которая при фиксировании любого, например непрерывного управления п = п(£), имеет (хотя бы локально) решение х = х(£) (разумеется, если функции ^(х,£,п), г = 1,п, удовлетворяют теореме Коши), рассматриваемая краевая задача (1.1), (1.14) (при фиксированном управлении п = п(£)) может и не иметь решений или же иметь их несколько, в том числе и бесконечное множество. Кроме того, решение терминальной задачи может быть осложнено наличием ограничений как на переменные состояния системы х € X С Кп, так и на управления п € и С Кт. Так же к терминальным задачам относятся случаи, когда количество граничных условий меньше размерности пространства состояния системы. Обычно к таким случаям относятся задачи с целым множеством допустимых конечных состояний. Например, в задаче о поражении цели управляемым боеприпасом, в качестве конечного состояния естественно указать лишь координаты цели, поскольку скорость боеприпаса при достижении заданных координат нас не интересует, в то время как в качестве начального состояния необходимо рассматривать полный вектор состояния системы, включающий в себя координаты центра масс боеприпаса, его вектор скорости и, возможно, другие параметры, в зависимости от используемой математической модели. Кроме того, в терминальной задачи время достижения системой конечного состояния может быть не задано точно, вместо этого может быть указан допустимы диапазон времени, как, например, в примере с управляемым боеприпасом.

Таким образом под терминальной задачей в теории управления понимается нахождение программного движения, включающего в себя программную траекторию и программное управления, переводящего динамическую систему из заданного начального состояния в заданное конечное. При этом время перевода системы может быть заданным или просто конечным и выбираться из каких-либо дополнительных соображений, а на переменные состояния и управления могут быть наложены ограничения.

1.3. Метод обратных задач динамики

Пусть известна математическая модель движения системы, описываемая некоторой нелинейной нестационарной динамической системой

х = ^(х,£,и), х е Кп, и е Кт, £ е К, (1.15)

и задано ее начальное состояние х(0) = х0.

В динамике — науке о движении материальных систем — изучают методы решения двух основных задач.

В первой задаче по известной математической модели (1.15), начальному состоянию и заданному воздействию и(£) необходимо найти траекторию движения системы т.е. х(£), £ ^ 0. Решение данной задачи фактически сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (1.15) с заданными начальными условиями, которое может быть выполнено аналитически или численно.

Во второй задаче по известной математической модели (1.15), начальному состоянию и назначенной траектории движения системы т.е. х*(£), £ ^ 0 необходимо найти такое входное воздействие и(£), которое обеспечивало бы движение системы по назначенной траектории, т.е. х(£) = х*(£), £ ^ 0.

Сформулированные задачи противоположны по содержанию, поэтому первую из них в теории управления принято называть прямой задачей динамики, а вторую — обратной. Если входное воздействие и(£) представляет собой управляющую силу и/или момент, то в математическом отношении содержание обратной задачи динамики составляет синтез алгоритма управления, при котором управляемая система обладает требуемыми динамическими характеристиками. Таким образом, метод обратных задач динамики состоит из двух основных этапов: во-первых в построении требуемой траектории движения объекта управления и, во-вторых, в определении необходимых управляющих воздействий для реализации требуемой траектории.

Согласно [47], содержание обратных задач динамики должно включать определение законов управления движением динамических систем и их параметров из условия осуществления движения по назначенной траектории. При таком подходе область применения обратных задач динамики не ограничивается задачами управления механическими системами, а охватывает управление системами всех видов, которые по определению относятся к динамическим системам. Таким образом, подобный подход применим не только к механическим системам, но и к управляемым системам электромеханической, электрической, химической и другой природы.

Отметим так же, что при решении задач управления при использовании метода обратных задач динамики мы получаем физически реализуемую траекторию движения объекта управления, в то время как при решении прямой задачи, мы можем получить и не реализуемую на практике траекторию движения. Однако, определение закона управления п(£) при известной функции ^(х,£,п) (1.15) не всегда представляется возможным, хотя для некоторых классов систем такая задача может быть всегда решена. В частности к таким системам относятся обратимые системы см. п. 1.1.1 и, в частности, системы приводимые к каноническому виду см. п. 1.1.2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Велищанский Михаил Александрович, 2018 год

Литература

1. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977. 121 с.

2. Атамась Е.И., Ильин А.В., Фомичев В.В. Обращение векторных систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1364-1369.

3. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Метод накрытий для терминального управления с учетом ограничений // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 12. С. 1629-1639.

4. Бирюков В.Г., Челноков Ю.Н. Построение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента твердого тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2014. № 5. С. 3-21.

5. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

6. Велищанский М.А., Крищенко А.П. Управление угловым движением твердого тела на основе концепций обратных задач динамики // Декомпозиционные методы в математическом моделировании: Тез. докл. 1-й Московской конф. М., 2001. С. 23-24.

7. Управление угловым положением космического аппарата с изменяющейся структурой / М.А. Велищанский [и др.] // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докл. М., 2001. С. 150.

8. Велищанский М.А. Управление угловым положением твердого тела с использованием параметрических множеств функций // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. VII международного семинара. М., 2002. С. 155-157.

9. Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Квазиоптимальная переориентация космического аппарата // Межведомственный сборник научных трудов. Механика твердого тела. 2002. Вып 32. С. 144-153.

10. Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Синтез алгоритмов переориентации космического аппарата на основе концепции обратной задачи динамики // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 5. C. 156-163.

11. Велищанский М.А. Сравнение квазиоптимального и оптимального алгоритмов переориентации космического аппарата // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XII международной конференции. М., 2012. С. 76-77.

12. Велищанский М.А. Исследование свойств квазиоптимального и оптимального алгоритмов переориентации космического аппарата // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 2. С. 1-12. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/345396.html (дата обращения: 28.03.2017)

13. Велищанский М.А Синтез квазиоптимальной траектории движения беспилотного летательного аппарата // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 12 С. 417-430. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/646471.html (дата обращения: 28.03.2017)

14. Велищанский М.А., Канатников А.Н. Задача терминального управления с ограничениями на состояние // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тез. докл. Суздаль, 2015. С. 48-49.

15. Велищанский М.А., Крищенко А.П. Задача терминального управления для системы второго порядка при наличии ограничений // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 8. С. 301318. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/793667.html (дата обращения: 28.03.2017)

16. Велищанский М.А. Движение летательного аппарата в вертикальной плоскости при наличии ограничений на состояния // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 3. C. 70-81.

17. Велищанский М.А. Терминальное управление механической системой при наличии ограничений на переменные состояния // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XIII международной конференции. М., 2016. С. 95-97.

18. Велищанский М.А., Крищенко А.П. Задача терминального управления летательным аппаратом с фазовыми ограничениями // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тез. докл. Суздаль, 2017. С. 49-50.

19. Механика полета: Справочник. / Горбатенко С.А. [и др.] М: Машиностроение, 1989. 420 с.

20. Григорьев И.С., Григорьев К.Г. Об использовании решений задач оптимизации траекторий КА импульсной постановки при решении задач оптимального управления траекториями КА с реактивным двигателем ограниченной тяги. I // Космич. исслед. 2007. Т.45. № 4. С. 358-366.

21. Ермошина О.В., Крищенко А.П. Синтез программных управлений ориентацией космического аппарата методом обратных задач динамики // Изв. РАН. ТиСУ. 2000. № 2, С. 155-162.

22. Жевнин А.А., Крищенко А.П., Глушко Ю.В. Управляемость и наблюдаемость нелинейных систем и синтез терминального управления // Докл. АН СССР, 1982. Т.266, № 4. С. 807-811.

23. А.А. Жевин, К.С. Колесников, А.П. Крищенко и др. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 4. С. 178-188.

24. Зелепукина О.В., Челноков Ю.Н. Построение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента динамически симметричного твердого тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2011. № 4. С. 31-49.

25. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Диф-ференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 3. C. 329-339.

26. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 34, № 6. C. 744-750.

27. А.В. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев Обращение управляемых динамических систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2006. № 3. C. 49-58.

28. Кавинов А.В., Крищенко А.П. Стабилизация аффинных систем // Дифференц. уравнения. 2000. V.36. № 11. C. 1482-1487.

29. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 456 c.

30. Канатников А.Н., Шмагина Е.А. Задача терминального управления движением летательного аппарата // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей. Вып. 7 /Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. С. 79-94.

31. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Планирование пространственного разворота беспилотного летательного аппарата // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Энергетическое и транспортное машиностроение. Специальный выпуск. 2011. C. 151-163

32. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Допустимые пространственные траектории беспилотного летательного аппарата в вертикальной плоскости// Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 3 С. 1-17. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/367724.html (дата обращения: 28.03.2017)

33. Канатников А.Н. Построение траекторий летательных аппаратов с немонотонным изменением энергии // Наука и образование. МГТУ

им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 4. С. 107-122. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/554666.html (дата обращения: 28.03.2017)

34. Канторович Л.В. Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

35. Касаткина Т.С. Преобразование аффинных систем к каноническому виду с использованием замен независимой переменной // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 7. С. 285-298. URL: http://technomag.edu.ru/doc/566578.html (дата обращения: 28.03.2017 )

36. Касаткина Т.С., Крищенко А.П. Решение терминальной задачи для систем 3-го порядка методом орбитальной линеаризации // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журнал. 2014. № 12. С. 781797. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/612563.html (дата обращения: 28.03.2017)

37. Касаткина Т.С., Крищенко А.П. Метод вариаций решения терминальных задач для двумерных систем канонического вида при наличии ограничений // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 5. С. 266-280.

38. Касаткина Т.С. Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений: дис. ... канд.тех.наук. Москва. 2016. 122 с.

39. Каханер Д., Моулер К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 c.

40. Крищенко А.П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984. № 6. C. 30-36.

41. Крищенко А.П. Управляемость и множества достижимости нелинейных стационарных систем // Кибернетика и вычисл. техника. 1984. Вып. 62. C. 3-10.

42. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Преобразование аффинных систем и решение задач терминального управления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 2. С. 3-16.

43. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Задача терминального управления для аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 11. С. 1410-1420.

44. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Терминальная задача для многомерных аффинных систем // Доклады Академии наук. 2013. Т. 452. № 2. С. 144149.

45. Крищенко А.П. Орбитальная линеаризация аффинных систем // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 620-623.

46. Крищенко А.П. Параметрические множества решений интегральных уравнений //Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 3 С. 3-10.

47. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.

48. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели. М.: Наука, 1988. 327 с.

49. Крутько П.Д. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепций обратных задач динамики. Системы с одной степенью свободы // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 3. С. 130-142.

50. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6, № 2. С. 203-217.

51. Кузнецов М.Н. Терминальное управление аэробаллистическим высокоскоростным ЛА: дис. ... канд.тех.наук. Москва. 2013. 145 с.

52. Левский М.В. Задача оптимального управления терминальной переориентацией КА. // Космич. исслед. 1993. Т.31. № 4. С. 12-17.

53. Левский М.В. Оптимальное управление пространственным разворотом космического аппарата // Космич. исслед. 1995. Т.33. № 5. С. 498-502.

54. Левский М.В. Управление пространственной переориентацией космического аппарата по методу свободных траекторий // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2007. № 6. С. 127-141.

55. Левский М.В. Применение принципа максимума Л.С. Понтрягина к задачам оптимального управления ориентацией космического аппарата // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2008. № 6. С. 144-157.

56. Левский М.В. Задача оптимального по быстродействию управления переориентацией космического аппарата // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73. № 1. С. 23-38.

57. Левский М.В. Синтез оптимального управления терминальной ориентацией космического аппарата с использованием метода кватернионов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2009. № 2. С. 7-24.

58. Левский М.В. Управление переориентацией космического аппарата с минимальным интегралом энергии. // Автоматика и телемеханика. 2010. № 12. С. 25-42.

59. Левский М.В. Кинематически оптимальное управление переориентацией космического аппарата. // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 1. С. 119-136.

60. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Изд-во МАИ, 1998. 344 с.

61. Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение задачи оптимального по быстродействию разворота сферически-симметричного космического аппарата в классе конических движений // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 2. С. 13-25.

62. Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного твердого тела при произвольных граничных условиях в классе обобщенных конических движений // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2014. № 5. С. 22-34.

63. Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое приближенное решение задачи оптимального разворота космического аппарата при произвольных граничных условиях. // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 3. С. 131-141.

64. Назаренко А.Н. Управление выходными характеристиками нелинейных систем // Математическое моделирование технических систем. М., 1988. (Тр. МВТУ; № 512). С. 88-104.

65. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 5. С. 149-155.

66. Решмин С.А. Оценка пороговой величины управления в задаче о наискорейшем приведении спутника в желаемое угловое положение // Известия РАН. Сер. «Механика твердого тела». 2017. № 1. С. 12-22.

67. Тараненко В.Т. Динамика самолета с вертикальным взлетом и посадкой. М.: Машиностроение, 1978. 278 с.

68. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для аффинных систем квазиканонического вида на основе орбитальной линеаризации // Дифференциальные уравнения. 2014. Т.50, № 12. С. 1660-1668.

69. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2014. № 5. С. 16-31.

70. Фетисов Д.А. О построении решений терминальных задач для многомерных аффинных систем квазиканонического вида // Дифференциальные уравнения. 2016. Т.52, № 12. С. 1709-1720.

71. Фетисов Д.А. Линеаризация аффинных систем на основе замен независимой переменной, зависящих от управления // Дифференциальные уравнения. 2017. Т.53, № 11. С. 1514-1525.

72. Челноков Ю.Н. Управление ориентацией космического аппарата, использующее кватернионы // Космич. исслед. 1994. Т.32. Вып.3. С. 21-32.

73. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2007. № 5. С. 18-44.

74. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, № 4. С. 749-754.

75. Четвериков В.Н. Метод накрытий для решения задач терминального управления // Наука и образование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журнал. 2014. № 2. С. 125-143. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/699730.html (дата обращения: 28.03.2017)

76. Byrd R.H., Gilbert J.C., Nocedal J. A Trust Region Method Based on Interior Point Techniques for Nonlinear Programming // Mathematical Programming. 2000. Vol 89. № 1. P. 149-185.

77. Byrd R.H., Hribar M.E., Nocedal J. An Interior Point Algorithm for Large-Scale Nonlinear Programming // SIAM Journal on Optimization. 1999. Vol 9. № 4. P. 877-900.

78. G. Conte, C.H. Moog, A.M. Perdon Algebraic Methods for Nonlinear Control Systems. 2nd Edition: Springer, 2007. 178 c.

79. Fetisov D.A. Orbital Feedback Linearization: Application to Solving Terminal Problems for Multi-Input Control Affine Systems // IFAC-PapersOnline. 2017. Volume 50, Issue 1. P. 2677-2683.

80. Forsythe G.E., Malcolm M.A., and Moler C.B. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1977. 267 c.

81. Hegrenas Q., Gravdahl J., Tondel P. Spacecraft attitude control using explicit model predictive control // Automatica. 2005. Vol. 41, № 12, pp. 2107-2114.

82. Hoffner K., Guay M. Geometries of Single-Input Locally Accessible Control Systems // Proceedings of the ACC Conference. 2009. P. 1480-1484.

83. Krishchenko A.P. Estimation of stabilisation domains for program motion of affine systems // 5th IFAC Symposium Nonlinear Control Systems NOLCOS'Ol. St-Petersburg, Russia, 2001. Preprints. Vol. 4. P.1003-1006.

84. Levine J., Martin Ph., Rouchon P. Flat systems. Mini-Course // ECC' 97 European Control Conference, Brussels, 1-4 July, 1997. P. 54.

85. Li S.-J., Respondek W. Orbital feedback linearization for multi-input control systems // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2015. V. 25, Is. 9. P. 1352-1378.

86. Saito A., Sekiguchi K., Sampei M. Exact Lineariztion by Time Scale Transformation Based on Relative Degree Structure of Single-Input Nonlinear Systems // Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control. Atlanta, 2010. P. 5408-5414.

87. Sekiguchi K., Sampei M. Multi-step algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems // Proceedings of the SICE Annual Conference. Akito (Japan), 2012. P. 1293-1297.

88. Sekiguchi K., Sampei M. On Multi Time-Scale Form of Nonlinear Systems // Proceedings of the 9th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. Toulouse, France, 2013. P. 524-530.

89. Thomson D.G., Bradley R. Recent developments in the calculations of inverse solutions of the helicopter equations of motion // Proc. of the UK simulation counsil triental conference, September 1987. P. 227-234.

90. Attitude control design for spacestation with variable structure / M.A. Velishchanskii [et al.] // XIII Int. Conf. on Process Control'01. Bratislava, 2001. P. 36.

91. Solution of a terminal control problem under state constraints / M.A. Velishchanskiy [et al.] // IFAC PapersOnLine. 2017. Vol. 50. Issue 1. P. 10679-10684.

92. Waltz R.A., Morales J.L., Nocedal J., Orban D. An interior algorithm for nonlinear optimization that combines line search and trust region steps // Mathematical Programming. 2006. Vol 107. № 3. P. 391-408.

научного руководителя на диссертацию Велищанского Михаила Александровича

Велищанский Михаил Александрович 1977 года рождения. В 2000 году окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана. В том же году поступил в заочную аспирантуру на кафедре математического моделирования и работал математиком 1-й категории ОЛЦВМ «ФН». Начиная со старших курсов и до настоящего времени Велищанский М.А. проявляет большой интерес к решению задач теории управления и моделированию различных алгоритмов управления.

С 2003 года и по настоящее время Велищанский М.А. работает в качестве старшего преподавателя кафедры математического моделирования, ведет семинарские занятия для студентов старших курсов, успешно сочетая преподавательскую деятельность с научной работой.

Велищанский М.А. принимал активное участие в выполнении работ по грантам РФФИ (2014-2016 г.) и проектам Министерства образования и науки РФ (2014-2016 г.). К настоящему времени он является сформировавшимся научным сотрудником, способным самостоятельно формулировать и решать задачи в области теории управления.

В 2017 году представил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 6 статей -в журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях и семинарах.

Считаю, что диссертация Велищанского М.А. «Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем» соответствует требованиям ВАК при Министерстве образования и науки РФ, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальностям 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ и 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, машиностроение), а Велищанский М.А. заслуживает присуждения степени кандидата физико-математических наук.

Заведующий кафедрой математического моделирования

федерального государственного бюджетного Крищенко

образовательного учреждения высшего образования Александр Петрович

«Московский государственный технический

университет имени Н.Э. Баумана (национальный

исследовательский университет)» доктор физико-

математических наук, профессор, член-корреспонтент

РАН

Тел.: [phone] E-mail: [e-mail]

ОТЗЫВ

научного консультанта соискателя ученой степени Велищанского Михаила Александровича

Велищанский Михаил Александрович в 2000 году окончил МГТУ имени Н.Э. Баумана по специальности «Прикладная математика». В 2004 году окончил заочную аспирантуру по кафедре математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана. В те годы отличался серьезным отношением к учебе и упорством. Проявляет интерес к научным исследованиям. Принимал участие в 2012-2014 г. в научных проектах, поддержанных РФФИ. Имеет серьезный опыт программирования, который использовал в научных исследованиях и при написании диссертации.

Деловые качества Велищанского М.А. в полной мере проявились в его преподавательской деятельности. За время работы на кафедре он вел семинары по кратным интегралам и рядам, теории вероятностей и математической статистике, дискретной математике. С этими обязанностями справляется успешно.

Результаты его научной деятельности отражены в ряде публикаций и материалах международных конференций. Эти результаты показывают, что Велищанский М.А. — сформировавшийся исследователь, способный самостоятельно формулировать и решать задачи в теории управления обратимыми системами.

Научные результаты, полученные Велищанским Михаилом Александровичем, легли в основу подготовленной им диссертации на тему «Численное решение терминальных задач для обратимых систем». Считаю, что диссертация Велищанского М.А. соответствует требованиям ВАК при Министерстве образования и науки РФ, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальностям 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ и 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, машиностроение), а Велищанский М.А. заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата физико-математических наук.

Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического моделирования федерального государственного бюджетного

Канатников

образовательного учреждения высшего образования

Анатолий Николаевич

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)» Тел.: [phone] E-mail: [e-mail]