Аналитический синтез модального управления угловым движением космических аппаратов на участке спуска при не полностью измеряемом векторе состояния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Лапин Алексей Владимирович

• Лапин Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Лапин Алексей Владимирович

Список сокращений

Введение

Глава 1. Задачи управления угловым движением космических аппаратов на участке спуска и методы их решения

1.1. Задача построения орбитальной ориентации космического аппарата

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Математическая модель

1.1.2.1. Уравнения движения

1.1.2.2. Параметры объекта и условия моделирования

1.1.3. Существующее решение

1.2. Задача стабилизации спускаемого аппарата в атмосфере Земли

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Математическая модель

1.2.2.1. Уравнения движения

1.2.2.2. Параметры объекта и условия моделирования

1.2.3. Существующее решение

1.2.3.1. Штатный алгоритм

1.2.3.2. Условия для сравнения алгоритмов

1.2.3.3. Статистика и характерные переходные процессы

1.3. Аналитические методы модального управления при неполной информации о векторе состояния

1.3.1. Задачи модального управления при неполной информации о векторе состояния

1.3.2. Базовый метод модального управления по состоянию

1.3.3. Модальное управление по оценке состояния

1.3.4. Модальное управление по производной состояния

1.3.5. Модальное управление по выходу

Выводы по первой главе

Глава 2. Модификация аналитических методов модального управления при неполной информации о векторе состояния

2.1. Обобщение модального управления по состоянию

2.1.1. Автоматизированный алгоритм управления по состоянию

2.1.2. Обобщённые формулы Басса - Гура и Аккермана

2.1.2.1. Класс применимости обобщённых формул

2.1.2.2. Обобщённая формула Басса - Гура

2.1.2.3. Обобщённая формула Аккермана

2.1.2.4. Выбор желаемого характеристического полинома

2.1.2.5. Практическое применение обобщённых формул

2.2. Модификация модального управления по оценке состояния

2.2.1. Модальное управление по оценке состояния от релейных исполнительных органов с переменными длительностями импульсов

2.2.2. Модификация нелинейной дискретной модели

2.2.3. Модификация линейной дискретной модели

2.3. Модификации модального управления по выходу

2.3.1. Модификации подходов Ван дер Воуда

2.3.1.1. Регулятор по выходу на нулевом уровне декомпозиции

2.3.1.2. Автоматизированный алгоритм управления по выходу

2.3.1.3. Управляемость по выходу за счёт верхних уровней декомпозиции

2.3.2. Параметрический подход

Выводы по второй главе

Глава 3. Управление угловым движением космических аппаратов на участке спуска с помощью модифицированных аналитических методов

модального управления при не полностью измеряемом векторе состояния

3.1. Новые алгоритмы построения орбитальной ориентации космического аппарата

3.1.1. Пересчёт линейного управления на релейные двигатели

3.1.2. Бортовые математические модели

3.1.2.1. Непрерывные линейные модели

3.1.2.2. Дискретные линейные модели

3.1.3. Управление по оценке состояния

3.1.3.1. Общий вид регулятора

3.1.3.2. Модальный регулятор

3.1.3.3. Общий вид наблюдателя

3.1.3.4. Модальный наблюдатель

3.1.4. Наблюдатели для непрерывной модели

3.1.4.1. Наблюдатель полного порядка без дробления такта

3.1.4.2. Наблюдатель полного порядка с дроблением такта

3.1.4.3. Редуцированный наблюдатель

3.1.5. Наблюдатели для дискретной модели

3.1.5.1. Наблюдатель полного порядка без дробления такта

3.1.5.2. Наблюдатель полного порядка с дроблением такта

3.1.5.3. Редуцированный наблюдатель без дробления такта

3.1.5.4. Редуцированный наблюдатель с дроблением такта

3.2. Новые алгоритмы стабилизации спускаемого аппарата в атмосфере Земли

3.2.1. Пересчёт линейного управления на релейные двигатели

3.2.2. Бортовые математические модели

3.2.2.1. Полная линейная модель

3.2.2.2. Упрощённая линейная модель

3.2.3. Стабилизация по полной линейной модели

3.2.3.1. Регулятор по выходу на основе модификации прямого подхода Ван дер Воуда

3.2.3.2. Регулятор по выходу на основе модификации дуального подхода Ван дер Воуда

3.2.4. Стабилизация по упрощённой линейной модели

3.2.4.1. Регулятор по выходу на основе модификации прямого подхода Ван дер Воуда

3.2.4.2. Регулятор по выходу на основе модификации дуального подхода Ван дер Воуда

3.2.4.3. Робастный регулятор по выходу

3.2.5. Перевороты по крену

3.2.5.1. «Идеальный» переворот по крену

3.2.5.2. Управление с ограничением на сигнал по углу крена

3.2.5.3. Управление с оптимальным по времени переворотом

3.2.6. Комбинированный алгоритм стабилизации с переворотами по крену

3.2.6.1. Описание комбинированного алгоритма

3.2.6.2. Движение с одним переворотом по крену

3.2.6.3. Движение с двумя переворотами по крену

Выводы по третьей главе

Общие выводы и заключение

Список литературы

Приложение

Список сокращений

ГИУ - гироскопический измеритель углов

ГСК - гринвичская система координат

ДУ - дифференциальное уравнение

ДУС - датчик угловой скорости

ЗСУ - замкнутая система управления

ИКВ - инфракрасная вертикаль

ИО - исполнительные органы

КА - космический аппарат

ЛА - летательный аппарат

ЛДС - линейная динамическая система

МГТУ - Московский государственный технический университет

МО - математическое ожидание

НУ - начальные условия

НШС - нештатная ситуация

ОСК - орбитальная система координат

ПП - переходный процесс

ПМ - принцип максимума

РД - реактивный двигатель

СА - спускаемый аппарат

СИОС - система исполнительных органов спуска

СК - система координат

СКО - среднеквадратичное отклонение

ССК - связанная система координат

ТАУ - теория автоматического управления

ТПК - транспортный пилотируемый корабль

ЦМ - центр масс

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитический синтез модального управления угловым движением космических аппаратов на участке спуска при не полностью измеряемом векторе состояния»

Введение

Актуальность темы исследования. Современные бортовые алгоритмы управления движением (в частности, угловым) космических аппаратов (КА) в основном построены с использованием численных методов [47, 68, 69, 73, 78, 111]. Эти методы постоянно совершенствуются [7, 63, 64, 71]. В теории автоматического управления (ТАУ) в основу синтеза бортовых алгоритмов положена теория линейных динамических систем (ЛДС) [13, 21, 104]. Но и в ней преобладают численные алгоритмы. Качественно новые результаты в этой области ТАУ приносит аналитический синтез регуляторов, основанный на матричном подходе к модальному управлению [30, 60, 70].

Методы матричного синтеза продолжают развиваться [62, 67, 75, 99, 103, 109], но для модального управления системами с более чем одним входом они ещё далеки от получения исчерпывающих решений. Существующие аналитические методы модального управления при неполной информации о векторе состояния [30, 44, 80, 88, 93, 112] применимы лишь к весьма ограниченным классам управляемых ЛДС и исполнительных органов (ИО) [74, 79, 87, 92, 94]. Получаемые решения громоздки [97, 100, 113, 114] и зачастую не удовлетворяют требованиям к качеству переходных процессов (ПП) [101, 102, 110].

При неполной информации о векторе состояния наиболее распространены системы управления с динамическими наблюдателями [9, 13, 43, 47, 104]. Хорошо известны наблюдатели [47], которые строятся для стационарных ЛДС при управлении от непрерывных ИО (например, от маховиков) или от релейных ИО с постоянными длительностями импульсов (например, от двигателей, работающих не менее такта). Но алгоритмы с такими наблюдателями не обеспечивают требуемого быстродействия и точности оценивания, как минимум, в двух видах задач. Это задачи приведения ориентации КА на релейных ИО с переменными длительностями импульсов и поддержания ориентации КА по нестационарным линейным моделям. Они требуют исследования в плане доработки алгоритмов с наблюдателями или использования других типов обратной связи.

Оба вида задач, требующих исследования, имеют место при построении орбитальной ориентации КА перед выдачей тормозного импульса на спуск и стабилизации спускаемого аппарата (СА) в атмосфере Земли. Повышение быстродействия и точности управления на данных участках полёта актуальны для разрабатываемых в настоящее время перспективных транспортных пилотируемых кораблей (ТПК) [59].

Приведение ориентации КА на релейных ИО с переменными длительностями импульсов имеет место в задаче быстрого и точного построения орбитальной ориентации КА перед выдачей тормозного импульса на спуск [14, 63, 73]. Задача актуальна в нештатных ситуациях (НШС), когда необходим быстрый сход КА с орбиты с посадкой в заданном районе. Существующий алгоритм [7, 14] содержит несколько этапов управления: выставка местной вертикали, определение курсового угла, трёхосная коррекция. Он эффективен в штатном режиме работы для медленных орбитальных процессов, но недопустим по быстродействию в режимах НШС. Для нелинейной системы описания объекта управления в данной задаче характерны относительно малые значения возмущающих движение сил и моментов (гравитационный момент) [11, 73]. С учётом особенностей релейных ИО это делает практически эквивалентным применение линейных и нелинейных наблюдателей. При этом нелинейные наблюдатели (Арановский С. В., Краснова С. А.) строятся значительно сложнее [9, 43].

Поддержание ориентации КА по нестационарной линейной модели имеет место в задаче высокоточной стабилизации СА в программном балансировочном положении при движении в атмосфере Земли [3, 4, 69]. Актуальность задачи обусловлена тем, что переход пилотируемых программ России с космодрома Байконур на космодром Восточный существенно повышает требования по точности посадки СА, которая обеспечивается не только управлением движением центра масс (ЦМ) [45, 46, 86], но и зависит от точности и быстродействия при управлении ориентацией [64, 90]. Существующий алгоритм стабилизации СА [4, 69, 91] направлен на отслеживание программного угла крена и гашение угловых скоростей. Приведение аппарата в балансировочное положение по углам атаки и

скольжения осуществляется лишь за счёт статической устойчивости аппарата [4, 69]. Поэтому точность стабилизации углового положения СА на этапе спуска в верхних слоях атмосферы, где управление наиболее эффективно, оказывается недостаточной для выполнения повышенных требований к точности посадки, независимо от количества переворотов по крену.

Обеспечиваемые на штатных КА длительность построения орбитальной ориентации более 360 с [7, 14] и точность стабилизации СА в программном балансировочном положении не лучше 3° [91] являются не вполне достаточными.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научная задача ускоренного построения орбитальной ориентации КА перед выдачей тормозного импульса на спуск и повышения точности стабилизации СА в программном балансировочном положении без увеличения расхода топлива.

Степень разработанности темы. Бортовые алгоритмы рассматриваемых в диссертации задач, а также рассматриваемые аналитические методы модального управления существуют.

Алгоритмам построения орбитальной ориентации КА посвящены работы Богачёва А. В. [66], Борисенко Ю. Н. [7], Бранца В. Н. [15, 16, 17], Платонова В. Н. [7], Сумарокова А. В. [14, 81, 82].

Алгоритмы стабилизации СА в атмосфере Земли отражены в работах Голубева Ю. Ф. [69], Евдокимова С. Н. [86], Климанова С. И. [3], Комаровой Л. И. [91], Кудрявцева С. И. [45, 46], Охоцимского Д. Е. [69], Сихарулидзе Ю. Г. [90].

Аналитические методы модального управления известны по трудам Зубова Н. Е. [2, 19, 33, 72], Микрина Е. А. [65, 77, 84, 88], Мисриханова М. Ш. [75, 79, 85, 87], Рябченко В. Н. [30, 31, 32, 74].

Для решения актуальной задачи повышения быстродействия и точности указанные алгоритмы и методы требуют совершенствования.

Целью диссертационной работы является сокращение времени построения орбитальной ориентации КА перед выдачей тормозного импульса на спуск с околоземной орбиты и повышение точности стабилизации СА в программном балансировочном положении при движении в верхних слоях атмосферы, без

увеличения расхода топлива, за счёт расширения возможностей аналитического синтеза модальных регуляторов при не полностью измеряемом векторе состояния.

Достижение указанной цели потребовало решения следующих научно-технических задач:

- анализ штатных алгоритмов управления угловым движением КА на орбитальном участке и на участке спуска с околоземной орбиты на предмет удовлетворения повышенным требованиям по быстродействию и точности;

- сравнительный анализ существующих аналитических методов модального управления при неполной информации о векторе состояния, выявление их недостатков и возможностей применения к рассматриваемым задачам;

- разработка модификаций методов модального управления при неполной информации о векторе состояния, расширяющих класс ЛДС и ИО, для которых можно аналитически синтезировать модальное управление с выполнением требований к качеству 1111: устойчивости, точности, робастности и др.;

- приведение ориентации КА на релейных ИО с переменными длительностями импульсов (при неполной информации о векторе состояния) на примере построения орбитальной ориентации КА перед выдачей тормозного импульса;

- поддержание ориентации КА по нестационарной линейной модели (при неполной информации о векторе состояния) на примере стабилизации СА в программном балансировочном положении при движении в атмосфере Земли.

Метод проведения исследований - расчётно-теоретический. При решении перечисленных научно-технических задач использовались ниже представленные научные разделы и методы: • из математики

- математический анализ, дифференциальные уравнения (ДУ) и их системы, аналитическая геометрия, линейная алгебра, теория функций комплексных переменных, матричные вычисления (блочные матрицы, матричные уравнения, формулы Фробениуса и Шура, Шермана - Моррисона, лемма Вудбери),

экстремумы функций многих переменных (алгоритмы Дэвидона - Флетчера -Пауэлла, Нелдера - Мида, симплекс-метод);

• из ТАУ

- теория идентификации и оценивания, аналитические и численные методы модального управления (по состоянию, выходу, оценке состояния, производной состояния и при наличии возмущений), наблюдатели полного и пониженного порядков, методы оптимизации, принцип максимума (ПМ) Понтрягина.

• из математического моделирования

- численное интегрирование ДУ (методы Эйлера II порядка, Рунге-Кутты IV порядка), работа с библиотеками Symbolic Math Toolbox и Control System Toolbox в среде MATLAB, использование аппарата Simulink.

• из программирования

- модульное программирование и отладка единых программных продуктов в среде MATLAB, объектно-ориентированное программирование на языке C++.

Объектом исследований является система управления движением и навигации (СУДН) пилотируемых КА.

Предметом исследований являются бортовые алгоритмы СУДН КА, математические модели движения КА и методы модального управления.

Научная новизна полученных в работе результатов состоит в следующем:

• для модального управления по состоянию (раздел 2.1)

- разработан автоматизированный алгоритм аналитического расчёта модального управления по состоянию для любых полностью управляемых (наблюдаемых) ЛДС независимо от их размерности, наличия переменных (символьных) параметров, а также от кратности полюсов; на основе этого алгоритма разработана программа в среде MATLAB, пригодная для внедрения в прикладной пакет Control System Toolbox (раздел 2.1.1);

- получены и доказаны обобщённые формулы Басса - Гура и Аккермана для широкого класса ЛДС с векторным входом, обеспечивающие компактный аналитический расчёт параметризованного множества регуляторов или

наблюдателей по состоянию без многоуровневой декомпозиции и расширяющие аналогичное множество, получаемое путём декомпозиции (раздел 2.1.2);

• для модального управления по оценке состояния (раздел 2.2)

- в ЛДС, управляемых от релейных ИО с переменными длительностями импульсов, для повышения точности оценивания предложено динамические наблюдатели строить путём выделения интервалов с постоянным управлением на вычислительных тактах (при наличии выключений ИО внутри такта), численного интегрирования ДУ в несколько итераций и, при необходимости, расчёта производных от вложенных функций численного интегрирования (способ может быть применён к непрерывным наблюдателям и к дискретным моделям);

• для модального управления по выходу (раздел 2.3)

- для основанных на подходах Ван дер Воуда аналитических методов модального управления по выходу разработаны модификации (раздел 2.3.1), расширяющие класс управляемых по выходу ЛДС за счёт синтеза регулятора по выходу только на нулевом уровне декомпозиции, а также за счёт назначения специальным образом на верхних уровнях (с целью обеспечения управляемости по выходу на нижних уровнях) матриц с желаемыми спектрами, неоднозначных матричных делителей нуля и единицы и компонент скелетных разложений;

- для систем с векторным входом предложен вариант получения модальных регуляторов по выходу (в частности, робастных, т.е. не зависящих от параметров объекта управления) путём параметризации множеств модальных регуляторов или наблюдателей по состоянию (раздел 2.3.2), найденных из определённых матричных уравнений или обобщённых формул Басса - Гура и Аккермана.

Практическая значимость работы заключается в следующих положениях.

- Предложенные модификации аналитических методов модального управления (Глава 2) могут быть применены к синтезу регуляторов и наблюдателей в широком классе ЛДС. Такие регуляторы и наблюдатели способны обеспечивать устойчивые ПП, а благодаря получению параметризованных множеств решений, уменьшать расходы на управление и

влиять на качество 1111. Кроме того, получаемые аналитические формулы позволяют отслеживать взаимные связи управляющих сигналов с фазовыми координатами и элементами параметризации.

- Аналитические алгоритмы совместного синтеза непрерывного модального регулятора и различных модальных наблюдателей (непрерывного или дискретного, полного или пониженного порядков) при учёте особенностей работы ИО с переменными длительностями импульсов (раздел 3.1) позволяют по сравнению со штатными циклограммами снизить длительность построения орбитальной ориентации КА при отсутствии измерения угла рыскания. Использование дискретных наблюдателей способствует достижению высокой точности поддержания орбитальной ориентации. А непрерывный редуцированный наблюдатель позволяет путём простых скалярных вычислений (без численного интегрирования ДУ, многоитерационного построения и линеаризации дискретных моделей) достичь приемлемых (хоть и несколько уступающих дискретным наблюдателям) показателей по быстродействию и точности независимо от характера управления (наличия или отсутствия переменных по длительности управляющих импульсов).

- Аналитические алгоритмы модального управления по выходу, основанные на модификации подходов Ван дер Воуда, а также параметризации модального управления по состоянию (раздел 3.2), способствуют повышению точности поддержания ориентации СА в балансировочном положении при спуске в атмосфере Земли по сравнению со штатным алгоритмом, направленным, в основном, на демпфирование угловых скоростей. При этом комбинированный робастный модальный алгоритм с оптимальным по времени переворотом по крену (при ограничении расхода топлива на переворот) (разделы 3.2.4.3, 3.2.5) не зависит от переменных параметров движения СА и не требует повышения затрат топлива ни в режиме стабилизации, ни при выполнении переворотов по крену.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- использованием ранее доказанных фундаментальных результатов;

- сопоставлением с результатами исследования штатных СУДН КА;

- сравнением с результатами моделирования процессов управления на основе других широко известных методов;

- анализом существенных факторов, влияющих на исследуемые процессы;

- проверкой разработанных алгоритмов на автоматизированном рабочем месте отработки бортовых алгоритмов управления движением ТПК «Союз».

Реализация результатов работы. Материалы диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ в рамках Госзадания Минобрнауки РФ в учебном процессе кафедры систем автоматического управления МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Разработанные аналитические методы модального управления при неполной информации о векторе состояния использованы в лекциях, семинарах и лабораторных работах в среде МЛТЬАВ по дисциплине «Теория автоматического и автоматизированного управления». Алгоритмы управления угловым движением космических аппаратов на участке спуска внедрены в курс лекций по дисциплине «Системы ориентации и управления движением космических аппаратов».

Апробация работы проведена на следующих российских и международных научно-технических конференциях (НТК):

1. XIX НТК молодых учёных и специалистов РКК «Энергия» (Королёв, 2011) [48];

2. XXXVII Академические чтения по космонавтике (Москва, 2013) [52];

3. 56-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2013) [54];

4. XX НТК молодых учёных и специалистов РКК «Энергия» (Королёв, 2014) [55];

5. XLП Академические чтения по космонавтике (Москва, 2018) [53];

6. XLШ Академические чтения по космонавтике (Москва, 2019) [50];

7. Международная молодёжная НТК «Аэрокосмические технологии» (Реутов, 2019) [27];

8. Международная НТК «Автоматизация» (Сочи, 2019) [107];

9. XLIV Академические чтения по космонавтике (Москва, 2020) [49].

Личный вклад и публикации. Результаты, приведённые в диссертации, получены автором лично. Также автор выражает благодарность академику

Микрину Е. А. за содействие и ценные указания на начальных этапах работы и

д.т.н. Рябченко В. Н. за обсуждения и критику разработанных методов.

По теме диссертации автором опубликовано 22 работы [8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 67, 80, 89, 106, 107], в том числе:

• 8 тезисов конференций [27, 48, 49, 50, 52, 53, 54, 55],

• 13 статей в рецензируемых изданиях из Перечня ВАК Минобрнауки РФ [8, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 51, 67, 80, 89, 106],

• 7 статей в журналах из Scopus [8, 25, 28, 29, 89, 106, 107],

• 3 статьи в журналах из Web of Science [25, 28, 89].

Положения, выносимые на защиту

1. Предложены способы модального управления по оценке состояния от релейных ИО с переменными длительностями импульсов. Дискретная модель строится по непрерывному аналогу в несколько итераций интегрирования и линеаризуется через производные многократно вложенной функции.

2. Предложены модификации прямого и дуального подходов Ван дер Воуда, расширяющие класс ЛДС, для которых можно аналитически синтезировать модальное управление по выходу. Модификации содержат следующие аспекты.

2.1. Регулятор по выходу строится только на нулевом уровне декомпозиции.

2.2. Управляемость по выходу достигается за счёт всех уровней декомпозиции.

2.3. Неоднозначно назначаемые матрицы параметризуются для получения желаемого вида матрицы регулятора по выходу.

3. Разработан альтернативный подходам Ван дер Воуда параметрический подход к модальному управлению по выходу через множество регуляторов (наблюдателей) по состоянию. Подход основан на следующих положениях.

3.1. Получены и доказаны аналитические обобщённые формулы Басса - Гура и Аккермана, позволяющие без декомпозиции находить общее решение

задачи модального управления по состоянию для широкого класса ЛДС с векторным входом.

3.2. Обобщённые параметры дают возможность синтезировать робастные регуляторы по выходу (не зависящие от ряда коэффициентов ЛДС), актуальные для ЛДС с переменными коэффициентами.

4. С помощью предложенных модификаций аналитических методов модального управления при неполной информации о векторе состояния решена задача уменьшения времени построения орбитальной ориентации КА перед выдачей тормозного импульса на спуск без увеличения расхода топлива.

5. С помощью предложенных модификаций аналитических методов модального управления при неполной информации о векторе состояния решена задача повышения точности стабилизации СА при спуске в атмосфере Земли без увеличения расхода топлива.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложения. Общий объём - 224 страницы, включая 53 рисунка и 23 таблицы. Список литературы содержит 1 15 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи исследования, приведены сведения о методах, объекте и предмете исследований, научной новизне, практической значимости, достоверности и реализации результатов работы и её апробации. Указаны личный вклад автора и его публикации по теме диссертации, а также положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена постановке задач управления ориентацией КА перед выдачей тормозного импульса и при спуске с околоземной орбиты (с неполной информацией о векторе состояния), обзору штатных методов их решения и существующих аналитических методов модального управления при неполной информации о векторе состояния. Описаны недостатки существующих методов и возможные пути их устранения. Представлены математические модели движения КА для сравнения различных алгоритмов управления.

Во второй главе описаны полученные автором модификации аналитических методов модального управления при неполной информации о векторе состояния.

Предложен способ учёта переменных длительностей управляющих импульсов от ИО при синтезе динамических наблюдателей. Сформулирована и доказана теорема о модификации подходов Ван дер Воуда с расчётом регулятора по выходу только на нулевом уровне декомпозиции. Получен автоматизированный алгоритм модального управления по состоянию и выходу с возможным внедрением в библиотеки MATLAB. Предложены модификации для верхних уровней декомпозиции, позволяющие расширить множество управляемых по выходу ЛДС и возможности параметризации. Разработан параметрический подход модального управления по выходу через множество модальных регуляторов (наблюдателей) по состоянию. Получены и доказаны аналитические обобщённые формулы Басса - Гура и Аккермана для ЛДС с векторным входом.

В третьей главе приведены исследования и решения задач управления ориентацией КА перед выдачей тормозного импульса и при спуске с околоземной орбиты на основе предложенных модификаций. Получены новые алгоритмы построения орбитальной ориентации КА с различными наблюдателями: непрерывными и дискретными, полного и пониженного порядков, с учётом и без учёта переменных длительностей управляющих импульсов - и проведено их сравнение по быстродействию, точности и расходу. Получены новые алгоритмы стабилизации СА в атмосфере Земли с различными регуляторами по выходу: для полной и упрощённой линейных моделей, основанные на прямом и дуальном подходах Ван дер Воуда, а также на параметризации регуляторов по состоянию -и проведено их сравнение по точности и расходу. Рассмотрены варианты построения робастного регулятора, не зависящего от стохастических параметров объекта управления, и способы повышения точности отслеживания программного положения СА при выполнении переворотов по крену.

В заключении приведены основные результаты работы и выводы по ней.

В приложении представлена полная математическая модель движения СА в атмосфере Земли и подробно описан ключевой аспект её линеаризации.

Глава 1. Задачи управления угловым движением космических аппаратов на

участке спуска и методы их решения

1.1. Задача построения орбитальной ориентации космического аппарата

1.1.1. Постановка задачи

Рассмаривается ориентация КА, движущегося по круговой околоземной орбите с орбитальной («orbital») угловой скоростью юог6, и связанной с ним системы координат (СК) E = oxyz относительно орбитальной СК I = oxorbyorbzorb с началом в точке o, совпадающей с ЦМ КА [15].

Угловое положение СК E относительно СК I описывается вектором

0E"=[уМ»Г ,

содержащим углы крена у, рысканья у и тангажа & (ГОСТ 20058-80). Абсолютные угловые скорости СК E и I соответственно равны

G),

= [ю

Ю.

ю„

-ю

orb

, »I=[010

Здесь и далее нижним индексом с названием СК или её осей обозначены отображения векторов (матриц-столбцов) и матриц (тензоров инерции, кинематических уравнений) на соответствующие базисы или проекции векторов на указанные оси. Верхний индекс указывает на базис, абсолютное движение которого характеризует данный вектор. Если рассматривается относительное движение, в верхнем индексе добавляются символ «^» и после него обозначение базиса, относительно которого происходит движение.

Задача для исследования состоит в ускоренном построении трёхосной орбитальной ориентации КА путём совмещения базисов Е и I, т.е. в приведении вектора состояния

x =

E+I

0

= [у | у | &

ю.

ю.

ю.

:]] ,

(1.1)

к его программному («program») значению

0 со

x pr =

3x1

"ЮогЪ ]

= [о I о; о; о; о

для заданного диапазона начальных (с индексом «0») условий (НУ)

(1.2)

Уо, Зо е[-3о; 3о]°; ^о е[-17о; 17о]°; юЕо, юЕо, ®Ео е[-о.о1; о.о1] град/с с помощью реактивных двигателей (РД), создающих постоянные «чистые» управляющие моменты по соответствующим осям СК Е (£ = x, y, z) и

направлениям вращения (s = +1) с переменными длительностями импульсов, т.е. с помощью релейного управления с суммарным управляющим («control») моментом M^ir

u = [Mc* \MCr \MCr J (1.3)

по информации от инфракрасной вертикали (ИКВ) (углы у и З) и датчика угловых скоростей (ДУС) (угловая скорость ю ЕЕ) о векторе наблюдения

У = [у|З

ю.

ю.

ю.

]г-

(1.4)

Требуется с помощью аналитических методов модального управления уменьшить, насколько это возможно, длительность ПП, обеспечив точность стабилизации не хуже, чем в штатном алгоритме.

1.1.2. Математическая модель

1.1.2.1. Уравнения движения

Сформируем математическую модель системы управления, описанной в параграфе 1.1.1. В базисе Е кинематические и динамические уравнения углового движения КА как абсолютно твёрдого тела имеют вид [15, 16, 20]

еЕ- = GГ (еЕ* )(шЕ - в,(еЕ")шI),

«ь Е = J Е (м г (е)+М f (ш Е)+м- ),

где СЕЕ1 (0Е"!) и (0е) - соответственно матрицы кинематических

уравнений и направляющих косинусов, характеризующие переход I ^ Е; 3Е -

тензор инерции КА относительно ЦМ в базисе Е; М|гу (0е"1 ) и М|Г («Е) -

соответственно гравитационный и гироскопический моменты.

Тензор инерции 3Е в общем случае содержит как осевые /, 3, /, так и

центробежные , / , /х моменты инерции [15, 20]:

^ Е =

"ху 32Х

- / 3 - 3

ху у у

- "\х - Л

(1.6)

Гравитационный момент от центрального ньютоновского поля тяготения Земли на круговой орбите рассчитывается по формуле [73]

м г ( 0е ) = 3 ш2^ jE (0е-1 ) X (J е }Е (0е"1 )), (1.7)

где ]е (0е'1 ) = DI ^ ( 0е*1 ) }, , \1 = [0 ! 1; 0] - соответствующие отображения орта

местной гравитационной вертикали.

Гироскопический момент равен векторному произведению [20]

м ет («Е )=( J е«Е )х «Е

'Е-

(1.8)

Матрицы СЕ 1 и для последовательности элементарных поворотов

Крылова «рысканье - тангаж - крен», соответствующей ГОСТ 20058-80 и логике работы ИКВ, принимают вид [15, 20, 73]

С

Е - (0Е"! ) = G Е" ([гМ^Г ) =

~ 1 -9 соб у | 9 Бт у

0 Бес 9 соб у | - Бес 9б1п у

0 Бт у | соб у

(1.9)

Б! _ Е (0 Е) = DI _ Е ([уМ9]Г ) =

собусоб9 Бт у Бт у - соб у соб у Бт 9 соб у Бт у + Бт у соб у Бт 9

Бт 9 собусоб9 - Бт у соб 9

- Бт у соб 9 Бт у соб у + соб у Бт у Бт 9 соб у соб у - Бт у Бт у Бт 9

1.1.2.2. Параметры объекта и условия моделирования

Построение орбитальной ориентации КА исследуется на примере объекта с типовыми характеристиками [41, 73] (Таблица 1), на модели (1.5) - (1.10) с

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лапин Алексей Владимирович, 2020 год

Список литературы

1. Авиация: Энциклопедия / гл. ред. Г. П. Свищев. Москва: ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского, 1994. 736 с.

2. Алгоритм вычисления программных значений компонент вектора угловой скорости при терминальном пространственном развороте космического аппарата в инерциальной системе координат / Н. Е. Зубов, Е. К. Ли, М. В. Ли, Е. А. Микрин, М. Н. Поклад, В. Н. Рябченко // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 6. С. 3-20.

3. Алгоритм стабилизации возвращаемого аппарата пилотируемого транспортного корабля «Федерация» при спуске в атмосфере Земли / С. Н. Евдокимов, И. С. Ильюшенко, Л. А. Ильюшенко, С. И. Климанов // XLI Академические чтения по космонавтике: Тез. докл. конф. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Москва. 2017. С. 396-397.

4. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г., Ярошевский В. А. Маневрирование космических аппаратов. Москва: Машиностроение, 1970. 416 с.

5. Алфёров Г. В. Механика в криволинейных координатах. В вопросах и ответах. Санкт-Петербург: СПбГУ, 2006. 21 с.

6. Амелькин Н. И. Кинематика и динамика твёрдого тела. Москва: МФТИ, 2000. 62 с.

7. Анализ статистики ускоренного построения орбитальной системы координат транспортных пилотируемых и грузовых кораблей и методы повышения точности / А. В. Сумароков, Ю. Н. Борисенко, Н. Ю. Борисенко, В. Н. Платонов // Космическая техника и технологии. 2018. № 2 (21). С. 71-79. http://energia.ru/ktt/archive/2018/02-2018/02-08.pdf

8. Аналитическая формула вычисления регулятора для линейной SIMO-системы / Е. А. Микрин, Н. Е. Зубов, А. В. Лапин, В. Н. Рябченко // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 1. С. 1-11. http: //diffj ournal. spbu.ru/pdf/mikrin_2020_ 1_1.pdf

9. Арановский С. В. Идентификационные методы для синтеза адаптивных наблюдателей нелинейных систем: дис. ... докт. техн. наук. Санкт-Петербург. 2016. 250 с.

10. Асмыкович И. К., Овсянников А. В. О синтезе модального управления во многовходных линейных системах в среде МЛТЬЛБ // Проектирование научных и инженерных приложений в среде МЛТЬЛБ: Тез. докл. II Всерос. конф. Москва. 2004. С. 803-805.

11. Бебенин Г. Г., Скребушевский Б. С., Соколов Г. А. Системы управления полётом космических аппаратов. Москва: Машиностроение, 1978. 270 с.

12. Богданов К. А. Метод последовательного замыкания мод в задачах модального синтеза адаптивных систем управления движением космических объектов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. 2019. 131 с.

13. Боднер В. А. Системы управления летательными аппаратами. Москва: Машиностроение, 1973. 504 с.

14. Борисенко Н. Ю., Сумароков А. В. Об ускоренном построении орбитальной ориентации грузовых и транспортных кораблей серий «Союз МС» и «Прогресс МС // Изв. РАН. ТиСУ. 2017. № 5. С. 131-141. БОЬ 10.7868/80002338817050110

15. Бранец В. Н. Лекции по теории бесплатформенных инерциальных навигационных систем управления. Москва: МФТИ, 2009. 304 с.

16. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. Москва: Наука, 1992. 280 с.

17. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. Москва: Наука, 1973. 320 с.

18. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Москва: Физматлит, 2004. 560 с.

19. Джабаров М. А., Зубов Н. Е. Об одном подходе к решению задачи спуска космического аппарата в атмосфере Земли // Пилотируемые полёты в космос. 2018. № 2 (27). С. 46-63.

20. Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. Москва: Высшая школа, 1983. 575 с.

21. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. Москва: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.

22. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Микрин Е. А. Об одном методе решения задачи синтеза законов управления угловым движением возвращаемого аппарата // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 10 (22). С. 1-17. Б01: 10.18698/2308-6033-2013-10-1073

23. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Микрин Е. А. Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией космических аппаратов // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 10 (22). С. 1-14. Б01: 10.18698/23086033-2013-10-1074

24. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Микрин Е. А. Применение метода точного размещения полюсов к решению задачи приведения ориентации космического аппарата в элементах кватернионов // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2014. № 3 (117). С. 3-9.

25. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Микрин Е. А. Синтез развязывающих законов управления угловым движением возвращаемого аппарата с посадочной твердотопливной двигательной установкой, обеспечивающих минимизацию времени переходного процесса // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 3. С. 161-172. Б01: 10.7868/80002338813030189

26. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Микрин Е. А. Стабилизация орбитальной ориентации космического аппарата // Космическая техника и технологии. 2013. № 3 (3). С. 74-81. http://energia.ru/ktt/archive/2013/03-2013/03-07.pdf

27. Зубов Н. Е., Лапин А. В. Реализация в среде МАТЬАБ аналитических алгоритмов модального управления по состоянию и выходу // Аэрокосмические технологии: Тез. докл. Междунар. молод. конф. Реутов. 2019. С. 50-51.

28. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Рябченко В. Н. Аналитический алгоритм построения орбитальной ориентации космического аппарата при неполном измерении компонент вектора состояния // Изв. РАН. ТиСУ. 2019. № 6. С. 128-138. Б01: 10.1134/80002338819040176

29. Зубов Н. Е., Лапин А. В., Рябченко В. Н. Аналитический синтез модального регулятора по выходу для управления ориентацией спускаемого аппарата при спуске в атмосфере Земли // Изв. вузов. Авиационная техника. 2О19. № 3. С. 46-59.

30. Зубов Н. Е., Микрин Е. А., Рябченко В. Н. Матричные методы в теории и практике систем автоматического управления летательных аппаратов. Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2О16. 672 с.

31. Зубов Н. Е., Микрин Е. А., Рябченко В. Н. Об одном подходе к идентификации дискретной системы на основе матричных делителей нуля // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2О17. № 3 (114). С. 20-32. 001: 10.18698/0236-3933-2017-3-20-32

32. Зубов Н. Е., Микрин Е. А., Рябченко В. Н. Синтез астатического управления линейной системой на основе обобщённой формулы Аккермана // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2О17. № 1 (112). С. 67-74. Б01: 10.18698/0236-3933-2017-1 -67-74

33. Зубов Н. Е., Рябченко В. Н. Управление космическим аппаратом при сходе с орбиты и движении в атмосфере. Королёв: РКК «Энергия» им. С. П. Королёва, 2О15. 2ОО с.

34. Идентификация дискретной системы на основе матричных делителей нуля / Е. А. Микрин, Н. Е. Зубов, В. Н. Рябченко, Д. Е. Ефанов, М. Н. Поклад // Автоматизация. Современные технологии. 2О17. Т. 71. № 6. С. 269-274.

35. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. Москва: Мир, 1977. 65О с.

36. Кетков Ю. Л., Кетков А. Ю., Шульц М. М. МАТЬАБ 7: программирование, численные методы. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2ОО5. 752 с.

37. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. Москва: Физматлит, 2ОО3. 288 с.

38. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. Москва: Физматлит, 2ОО4. 464 с.

39. Козьмин Ю. С. Синтез модального управления по Ван дер Воуду многомерным процессом кристаллизации // Восточно-европейский журнал передовых технологий. 2014. Т. 2. № 2 (68). С. 68-72.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1973. 832 с.

41. Космические аппараты / под общ. ред. К. П. Феоктистова. Москва: Воениздат, 1983. 319 с.

42. Кочетков С. А., Уткин В. А. Минимизация нормы матрицы обратной связи в задачах модального управления // Автомат. и телемех. 2014. № 2. С. 72-105.

43. Краснова С. А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем: дис. ... докт. техн. наук. Москва. 2003. 278 с.

44. Краснова С. А., Уткин В. А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. Москва: Наука, 2006. 272 с.

45. Кудрявцев С. И. Комбинированное управление спуском орбитального пилотируемого корабля для высокоточной посадки возвращаемого аппарата на территории России: дис. ... докт. техн. наук. Москва. 2018. 270 с.

46. Кудрявцев С. И. Комплексный баллистический анализ проблем высокоточного управления спуском перспективного пилотируемого корабля в атмосфере Земли // Космонавтика и ракетостроение. 2015. № 1 (80). С. 5-13.

47. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. Москва: Машиностроение, 1976. 184 с.

48. Лапин А. В. Варианты управления спускаемым аппаратом с посадочной твердотопливной двигательной установкой на конечном участке посадки // XIX научно-техническая конференция молодых учёных и специалистов РКК «Энергия»: Тез. докл. конф. РКК «Энергия» им. С. П. Королёва. Королёв. 2012. Ч. 2. С. 1-4.

49. Лапин А. В., Зубов Н. Е. Аналитическое решение задачи стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата с двигателями-маховиками // ХЫУ Академические чтения по космонавтике: Тез. докл. конф. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Москва. 2020. Т. 2. С. 173-175.

50. Лапин А. В., Зубов Н. Е. Зависимость модальной управляемости по выходу динамических систем от вида матриц с желаемыми спектрами на верхних уровнях декомпозиции // ХЬШ Академические чтения по космонавтике: Тез. докл. конф. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Москва. 2О19. Т. 2. С. 9О-91.

51. Лапин А. В., Зубов Н. Е. Реализация в среде МАТЬАБ аналитических алгоритмов модального управления по состоянию и выходу // Инженерный журнал: наука и инновации. 2О2О. № 1 (97). С. 1-16. Б01: 10.18698/2308-60332020-1-1950

52. Лапин А. В. Минимизация времени программного разворота возвращаемого аппарата на твердотопливных двигателях при заходе на посадку // XXXVII Академические чтения по космонавтике: Тез. докл. конф. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Москва. 2О13. С. 1-2.

53. Лапин А. В. Модальное управление по выходу ориентацией спускаемого аппарата в верхних слоях атмосферы // ХЬП Академические чтения по космонавтике: Тез. докл. конф. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Москва. 2О18. С. 311-312.

54. Лапин А. В. Применение метода точного размещения полюсов к решению задачи приведения ориентации космического аппарата в параметрах кватерниона // 56-я научная конференция МФТИ: Тез. докл. конф. МФТИ. Долгопрудный. 2О13. Т. 1. С. 74-75.

55. Лапин А. В. Управление угловым движением КА «Союз» на участке спуска в атмосфере Земли // XX научно-техническая конференция молодых учёных и специалистов РКК «Энергия»: Тез. докл. конф. РКК «Энергия» им. С. П. Королёва. Королёв. 2О14. С. 15О-152.

56. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / под ред. Н. Д. Егупова. Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2ООО. 748 с.

57. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического

управления / под ред. Н. Д. Егупова. Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 736 с.

58. Микрин Е. А., Михайлов М. В. Ориентация, выведение, сближение и спуск космических аппаратов по измерениям от глобальных спутниковых навигационных систем. Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. 360 с.

59. Микрин Е. А. Перспективы развития отечественной пилотируемой космонавтики (к 110-летию со дня рождения С. П. Королёва) // Космическая техника и технологии. 2017. № 1 (16). С. 5-11. http: //energia.ru/ktt/archive/2017/01-2017/mikrin.pdf

60. Мисриханов М. Ш., Рябченко В. Н. Алгебраические и матричные методы в теории линейных MIMO-систем // Вестник ИГЭУ. 2005. Вып. 5. С. 196-240.

61. Мисриханов М. Ш., Рябченко В. Н. Синтез управления энергетической системой на основе обобщённой формулы Аккермана // Повышение эффективности работы энергосистем: Тр. ИГЭУ. 2009. Вып. IX. С. 400-413.

62. Модификация метода точного размещения полюсов и его применение в задачах управления движением космического аппарата / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 2. С. 118-132. DOI: 10.7868/S0002338813020133

63. Муртазин Р. Ю. Схемы ускоренного доступа к орбитальной станции для современных космических кораблей // Космические исследования. 2014. Т. 52. № 2. С. 162-175.

64. Новые возможности автономной системы управления модернизированных кораблей «Союз» и «Прогресс» для реализации «быстрой» встречи с МКС / Е. А. Микрин, И. В. Орловский, А. Ф. Брагазин, А. В. Усков // Космическая техника и технологии. 2015. № 4 (11). С. 58-67.

65. Об одном методе решении краевой задачи при управлении линейными стационарными динамическими системами / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, А. С. Олейник, В. Н. Рябченко // 7-ая Российская мультиконференция по проблемам управления УМАС-2014: Тез. докл. конф. Санкт-Петербург. 2014. С. 59-63.

66. Оптимальное управление орбитальной ориентацией космического аппарата на основе алгоритма с прогнозирующей моделью / Е. А. Микрин, Н. Е. Зубов, С. С. Негодяев, А. В. Богачёв // Труды МФТИ. 2О1О. Т. 2. № 3. С. 189-195.

67. Оптимизация законов управления орбитальной стабилизации космического аппарата / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, С. С. Негодяев, В. Н. Рябченко, А. В. Лапин // Труды МФТИ. 2О12. Т. 4. № 2 (14). С. 164-176.

68. Основы теории полёта космических аппаратов / под ред. Г. С. Нариманова и М. К. Тихонравова. Москва: Машиностроение, 1972. 6О8 с.

69. Охоцимский Д. Е., Голубев Ю. Ф., Сихарулидзе Ю. Г. Алгоритмы управления космическим аппаратом при входе в атмосферу. Москва: Наука, 1975. 4ОО с.

70. Подчукаев В. А. Теория автоматического управления (аналитические методы). Москва: Физматлит, 2ОО5. 198 с.

71. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. Москва: Наука, 2ОО2. 3О3 с.

72. Применение алгоритма точного размещения полюсов при решении задач наблюдения и идентификации в процессе управления движением космического аппарата / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко, С. Н. Тимаков // Изв. РАН. ТиСУ. 2О13. № 1. С. 135-151. Б01: 10.7868/80002338813010137

73. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление ориентацией космических аппаратов. Москва: Наука, 1974. 6ОО с.

74. Синтез законов управления боковым движением летательного аппарата при отсутствии информации об угле скольжения. Аналитическое решение / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, В. Н. Рябченко, А. В. Фомичёв // Изв. вузов. Авиационная техника. 2О17. № 1. С. 61-70.

75. Синтез развязывающих законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2О12. № 1. С. 92-108.

76. Синтез стабилизирующего управления космическим аппаратом на основе обобщённой формулы Аккермана / Е. А. Воробьёва, Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко, С. Н. Тимаков // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 1. С. 96-106.

77. Синтез терминального релейно-импульсного управления сближением космических аппаратов / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, А. С. Олейник, В. Н. Рябченко // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 10 (22). С. 124. Б01: 10.18698/2308-6033-2013-10-1082

78. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. Москва: Наука, 1987. 712 с.

79. Стабилизация взаимосвязанных движений летательного аппарата в каналах тангаж-рысканье при отсутствии информации об угле скольжения / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 1. С. 95-105. Б01: 10.7868/80002338815010151

80. Стабилизация орбитальной ориентации космического аппарата по производным вектора состояния / Е. А. Микрин, Н. Е. Зубов, А. В. Лапин, В. Н. Рябченко // Автоматизация. Современные технологии. 2016. № 5. С. 19-25.

81. Сумароков А. В. Резервные режимы ориентации спутников связи серии «Ямал» с использованием наземных радиоизмерений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. 2008. 115 с.

82. Сумароков А. В. Ускоренное построение орбитальной ориентации грузовых и транспортных кораблей серий «Союз МС» и «Прогресс МС» // Ракетно-космическая техника. 2017. Т. 1. № 2 (10). С. 100-106.

83. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов / В. В. Кульба, Е. А. Микрин, Б. В. Павлов, В. Н. Платонов. Москва: Наука, 2006. 579 с.

84. Терминальное построение орбитальной ориентации космического аппарата / Н. Е. Зубов, М. В. Ли, Е. А. Микрин, В. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2017. № 4. С. 154-173. Б0Т: 10.7868/80002338817040138

85. Терминальное релейно-импульсное управление линейными стационарными динамическими системами / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов,

A. С. Олейник, В. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 3. С. 134-148. DOI: 10.7868/S0002338814030172

86. Терминальный алгоритм управления продольным движением спускаемого аппарата с ограничением перегрузки / С. Н. Евдокимов, С. И. Климанов, А. Н. Корчагин, Е. А. Микрин, Ю. Г. Сихарулидзе // Изв. РАН. ТиСУ. 2012. № 5. С. 102-118.

87. Управление по выходу продольным движением летательного аппарата / Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 5. С. 164-175. DOI: 10.7868/S0002338815040149

88. Управление по выходу спектром движения космического аппарата / Н. Е. Зубов, Е. Ю. Зыбин, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, А. А. Пролетарский,

B. Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 4. С. 111-122. DOI: 10.7868/S0002338814040179

89. Управление по выходу спектром линейной динамической системы на основе подхода Ван дер Воуда / Н. Е. Зубов, А. В. Лапин, Е. А. Микрин, В. Н. Рябченко // Доклады Академии наук. 2017. Т. 476. № 3. С. 260-263.

90. Управление продольным и боковым движением спускаемого аппарата в коридоре углов входа с ограничением перегрузки / С. Н. Евдокимов, С. И. Климанов, А. Н. Корчагин, Е. А. Микрин, Ю. Г. Сихарулидзе // Изв. РАН. ТиСУ. 2012. № 6. С. 63-73.

91. Управление угловым движением спускаемого аппарата типа «Союз» при возвращении с орбиты спутника Земли / С. Н. Евдокимов, С. И. Климанов, Л. И. Комарова, Е. А. Микрин // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 5. С. 143-152.

92. Abdelaziz T.H.S., «Parametric Eigenstructure Assignment Using State-Derivative Feedback for Linear Systems,» J. Vib. Control, vol. 18, iss. 12, pp. 1809 - 1827, 2012. DOI: 10.1177/1077546311423549

93. Abdelaziz T.H.S., and Valasek M., «Direct Algorithm for Pole Placement by Statederivative Feedback for Multi-input Linear Systems - Nonsingular Case,» Kybernetika, vol. 41, iss. 5, pp. 637 - 660, 2005.

94. Abdelaziz T.H.S., and Valasek M., Eigenstructure Assignment by State-Derivative and Partial Output-derivative Feedback for Linear Time-invariant Control Systems,» Acta Polytechnica, vol. 44, iss. 4, pp. 54 - 60, 2004.

95. Ackermann J., «Der Entwurf linearer Regelungsysteme im Zustandraum,» Regeltech, Proz.-Datenverarb., vol. 20, iss. 1-12, pp. 297 - 300, 1972. DOI: 10.1524/auto.1972.20.112.297

96. Bass R.W., and Gura I., «High Order System Design via State-Space Considerations,» Proceedings of the 1965 Joint Automatic Control Conference, vol. 3, pp. 311 - 318, 1965.

97. Blumthaler I., and Oberst U., «Design, Parameterization, and Pole Placement of Stabilizing Output Feedback Compensators via Injective Cogenerator Quotient Signal Modules,» Linear Algebra and its Applications, vol. 436, iss. 5-2, pp. 963 -1000, 2012. DOI: 10.1016/j.laa.2011.05.016

98. Costandin M., Dobra P., and Gavrea B., «A New Proof of Ackermann's Formula from Control Theory,» Studia Universitatis Babes-Bolyai Mathematica, vol. 62, iss. 3, pp. 325-329, 2017. DOI: 10.24193/subbmath.2017.3.05

99. Dorf R.C., and Bishop R.H., Modern Control Systems, Pearson Education Inc., NJ, 2017. 1106 p.

100. Eremenko A., and Gabrielov A., «Pole Placement by Static Output Feedback for Generic Linear Systems,» SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 41, iss. 1, pp. 303 - 312, 2002. DOI: 10.1137/S0363012901391913

101. Franke M., «Eigenvalue Assignment by Static Output Feedback - on a New Solvability Condition and the Computation of Low Gain Feedback Matrices,» International Journal of Control, vol. 87, iss. 1, pp. 64 - 75, 2014. DOI: 10.1080/00207179.2013.822102

102. Fu M., «Pole Placement via Static Output Feedback is NP-hard,» IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 49, iss. 5, pp. 855 - 857, 2004. DOI: 10.1109/TAC.2004.828311

103. Iracleous D.P., and Alexandridis F.T., «A Simple Solution to the Optimal Eigenvalue Assignment Problem,» IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, iss. 9, pp. 1746 - 1749, 1999. DOI: 10.1109/9.788545

104. Kailath T., Linear Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980. 682 p.

105. Kautsky J., Nichols N.K., and Van Dooren P., «Robust Pole Assignment in Linear State Feedback,» Int. J. Control, vol. 41, iss. 5. pp. 1129 - 1155, 1985. DOI: 10.1080/0020718508961188

106. Lapin A.V., and Zubov N.E., «Generalization of Bass-Gura Formula for Linear Dynamic Systems with Vector Control,» Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, vol. 89, iss. 2, pp. 41-64, 2020. DOI: 10.18698/1812-3368-2020-2-41 -64

107. Lapin A.V., and Zubov N.E., «Parametric Synthesis of Modal Control with Output Feedback for Descent Module Attitude Stabilization,» Proceedings of the 2019 International Russian Automation Conference, Sochi, Russia, pp. 1 - 6, 2019. DOI: 10.1109/RUSAUTOCON.2019.8867744

108. Luenberger D.G., «Canonical Form for Linear Multivariable Systems,» IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 12, iss. 3, pp. 290-293, 1967. DOI: 10.1109/TAC.1967.1098584

109. Nordstrom K., and Norlander H., «On the Multi Input Pole Placement Control Problem,» Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, CA, USA, vol. 5, pp. 4288 - 4293, 1997. DOI: 10.1109/CDC.1997.649511

110. Peretz Y., «A Randomized Approximation Algorithm for the Minimal-Norm Static-Output-Feedback Problem,» Automatica, vol. 63, pp. 221 - 234, 2016. DOI: 10.1016/j.automatica.2015.10.001

111. Slotine J.J.E., and Li W., Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1991. 461 p.

112. Van der Woude J.W., «A Note on Pole Placement by Static Output Feedback for Single-Input Systems,» Systems & Control Letters, vol. 11, iss. 4, pp. 285 - 287, 1988. DOI: 10.1016/0167-6911(88)90072-2

113. Wang X.A., and Konigorski U., «On Linear Solutions of the Output Feedback Pole Assignment Problem,» IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 58, iss. 9, pp. 2354 - 2359, 2013. DOI: 10.1109/TAC.2013.2250077

114. Yang K., and Orsi R., «Generalized Pole Placement via Static Output Feedback: A Methodology Based on Projections,» Automatica, vol. 42, iss. 12, pp. 2143 - 2150, 2006. DOI: 10.1016/j.automatica.2006.06.021

115. Zhou K.M., and Doyle J.C., Essentials of Robust Control. Prentice Hall, 1999. 411 p.

Приложение

П.1. Модель движения спускаемого аппарата в атмосфере Земли

П.1.1. Системы координат

При моделировании движения СА в атмосфере Земли используются различные СК (Рис. П.1.1). Инерциальные СК («замороженные» на момент времени разарретирования ГИУ £ ) обозначены буквой I с соответствующими

индексами; подвижные СК, связанные с СА, - буквой Е; прочие подвижные СК -буквой б. Здесь и далее записи вида ^ и Д соответствуют элементарному

повороту вокруг оси г (1 - абсцисс, 2 - ординат, 3 - аппликат) на угол с; и матрице направляющих косинусов для этого поворота.

Гринвичская система координат (ГСК) ^ жёстко связана с Землёй.

Начало расположено в ЦМ Земли (точка О). Оси X и У лежат в плоскости экватора, ось 2 перпендикулярна ей.

Направления осей:

• ось 2 направлена на северный полюс Земли;

• ось X направлена в точку пересечения плоскости экватора Земли с гринвичским меридианом;

• ось У дополняет указанные оси до правой СК.

Движение ЦМ СА характеризуется вектором положения относительно Земли г, направленным от центра Земли к ЦМ СА и вектором скорости относительно Земли V. Каждый из этих векторов удобно описывать сферическими координатами.

Система сферических координат вектора положения (базис ^ ):

• линейная координата г > 0 (модуль радиус-вектора),

• угловая координата 1 Хе[0; 2л) (долгота),

• угловая координата 2 фе[-л/2; л/2] (широта).

Угол долготы - это двугранный угол между плоскостью меридиана, проходящего через ЦМ СА (содержащей радиус-вектор ЦМ СА), и плоскостью гринвичского меридиана. Он откладывается от направления из центра Земли на гринвичский меридиан против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса Земли.

Угол широты - это угол между радиус-вектором ЦМ СА (местной вертикалью) и плоскостью экватора. Он положителен, если угол между радиус-вектором ЦМ СА и направлением из центра Земли на север острый.

При значениях угла ф = + л/2 угол X не определён.

Начало системы криволинейных координат (г, X, ф) совпадает с ЦМ СА, оси представлены соответственно ортами ег, и еф согласно определению осей криволинейной СК и указанным описаниям параметров г, X и ф:

• орт ег направлен по радиус-вектору от центра Земли к ЦМ СА, т.е. в сторону увеличения координаты г;

• орт ех направлен по касательной к местной параллели в сторону увеличения угла X, т.е. на восток;

• орт е направлен по касательной к местному меридиану в сторону

увеличения угла ф , т.е. на север.

Подвижный базис О = (ег, , еф) всегда ортогонален, т.к. он может быть получен из ортогонального базиса ^ путём двух последовательных поворотов вокруг координатных осей:

(О™ ^ О, ) = %Х+^2,-ф-

Криволинейные координаты располагаются в «правой» последовательности Ч = [г \ X \ ф]г, а вектор г в данном базисе имеет отображение

О =и °!°Г. (П.1.1)

Система сферических координат вектора скорости (базис О ):

• линейная координата V > 0 (модуль вектора скорости),

• угловая координата 1 ле[0; 2л) (курс),

• угловая координата 2 6е[-л/2; л/2] (наклон траектории).

Угол курса - это угол между проекцией вектора скорости на плоскость местного горизонта и местной параллелью. Он откладывается от направления по местной параллели на восток против часовой стрелки, если смотреть с вершины радиус-вектора (местной вертикали).

Угол наклона траектории - это угол между вектором скорости и его проекцией на плоскость местного горизонта. Он положителен, если угол между вектором скорости и радиус-вектором (местной вертикалью) острый.

При значениях угла 0 = + л/2 угол ц не определён.

Начало системы криволинейных координат (V, ц, 0) совпадает с ЦМ СА, оси представлены соответственно ортами еу, е и е0 согласно определению осей криволинейной СК и указанным описаниям параметров V, ц и 0 :

• орт еу направлен по вектору скорости ЦМ СА, т.е. в сторону увеличения координаты V;

• орт е лежит в плоскости местного горизонта, перпендикулярен проекции

вектора V на эту плоскость и направлен в сторону увеличения угла ц, т.е. по векторному произведению г х V;

• орт е0 лежит в плоскости, образованной векторами V и г, перпендикулярен вектору V и направлен в сторону увеличения угла 0, т.е. образует острый угол с вектором г .

Подвижный базис О =(ее, еу, ел) всегда ортогонален, т.к. он может быть получен из ортогонального базиса О путём двух последовательных поворотов вокруг координатных осей:

О ^ О, ) = *1,ц+%-0-

Криволинейные координаты располагаются в «правой» последовательности Чу = [0 IV I ц]г, а вектор V имеет отображение

Х =[0| VI О]7. (П12)

Плоскостью движения (орбиты) ЦМ СА назовём плоскость, образованную векторами г и V. Согласно определению угла наклона траектории 0 угол между этими векторами ^(г, V) = (л/2 -0) е[0; л]. Данное понятие и связанные с ним

понятия орбитальной и скоростной СК, приведённые ниже, имеют смысл, только если векторы г и V неколлинеарны, т.е. |у х г| ф 0 (9 ф +л/2).

Орбитальная система координат (ОСК) ОгЪ

Начало расположено в ЦМ СА. Оси Хогй и ТогЪ лежат в плоскости движения (орбиты) ЦМ СА, ось 2огЪ перпендикулярна этой плоскости.

Направления осей:

• ось УогЪ направлена по радиус-вектору, т.е. УогЬ ТТ г;

• ось Хогй перпендикулярна радиус-вектору и направлена по проекции вектора скорости на плоскость местного горизонта в сторону движения ЦМ СА,

т.е. хогь ТТ(г х(v х г));

• ось 1огЪ дополняет оси ХогЪ и УогЬ до правой СК, т.е. 2оъЪ ТТ(V х г).

Скоростная система координат О

Начало расположено в ЦМ СА. Оси Ху и 7у лежат в плоскости движения (орбиты) ЦМ СА, ось перпендикулярна этой плоскости.

Направления осей:

• ось Ху направлена по касательной к траектории в сторону движения ЦМ СА, т.е. Ху ТТ V;

• ось 7у направлена по нормали к траектории, лежащей в плоскости движения, в сторону радиус-вектора ЦМ СА, т.е. 7у ТТ ((V х г)х V);

• ось дополняет оси Ху и до правой СК, т.е. ^ ТТ(Vх г).

Взаимное расположение базисов О и а фиксировано:

(О, ^ О ) = %я/2 + .

Переход из базиса ОогЪ в базис О задаётся элементарным поворотом

(ОогЪ ^ О,) = ^3,9-

Рассмотрим плоскость, образованную продольной осью СА (т.е. сонаправленным с этой осью ортом е базиса Е) и вектором V линейной

скорости ЦМ СА относительно Земли (и относительно воздушной среды, т.к. считаем, что атмосфера вращается вместе с Землёй). Т.к. угол as между векторами v и ех согласно ГОСТ 20058-80 называется пространственным («spatial») углом атаки, эту плоскость назовём плоскостью пространственного угла атаки. Она однозначно определена, только если векторы v и ех

неколлинеарны, т.е. |v х ех| ф 0. Можно определить понятие СК Qs, связанной с этой плоскостью, а также скоростной СК Qa (ГОСТ 20058-80).

П.1.2. Модель движения ЦМ СА

П.1.2.1. Кинематика движения ЦМ СА

Кинематические уравнения движения ЦМ СА выражают связь производных по времени (;, À, ф) от координат положения ЦМ СА относительно Земли с самими этими координатами (;, À, ф) и координатами скорости ЦМ СА относительно Земли (6, v, . Установим эту связь через вектор v скорости ЦМ СА относительно Земли (базиса Q ).

С одной стороны, вектор v равен взятой локально в базисе Q производной по

времени от вектора r положения ЦМ СА относительно Земли. Известно отображение (П. 1.1) вектора r на базис Q , вращающийся относительно базиса Qgrn с угловой

скоростью œQ:; . Указанную производную можно рассчитать по формуле Бура:

dQ Г dQ Г Q ^Q

v = = + шQqr-Qgrn х r.

dt dt

В базисе Q данное равенство примет векторно-матричный вид

Ч = Q - rq,œ£^• (П.1.3)

Здесь и далее векторам, обозначенным строчной буквой, ставятся в соответствие кососимметрические матрицы, обозначенные той же буквой, но заглавной:

r =

r " 0 -r r

x z y

r - R = r 0 -r

y z x

r -r r 0

_ z _ _ y x

Такие матрицы позволяют заменить любое векторное произведение матрично-векторным произведением:

г х р = Кр.

Для поворота ^ ^ ) = + (Рис. П. 1.1)

ш

Qqr ' Qgrn

" 0 " " 0" i sin ф 0 I sin ф j 0 r

-ф + D, m 2,-ф 0 = -ф = 0 0 -1 i

0 i i cos ф 0 i cosф i 0 _(ф _

(П. 1.4)

Подставив значения (П. 1.1) и (П. 1.4) в формулу (П. 1.3), получим

"1 0 0" r

yQqr = 0 r cos ф 0 i

0 0 r _ф _

Отсюда может быть выражен искомый вектор производных

r i Ф

0

sec ф 0

(П. 1.5)

С другой стороны, известно отображение (П. 1.2) вектора v на базис Q . Выполним пересчёт этого вектора в базис Q (Рис. П. 1.1):

sin 0

v0 = Dj D3eV0 = v cosц cos 0 . (П.1.6)

Qqr ' I ' Qqv

sin ц cos 0

Объединив формулы (П. 1.5) и (П.1.6), получим кинематические уравнения движения ЦМ СА

r sin 0

cos ц cos 0 sec ф . (П. 1.7)

sin ц cos 0

f

i v

r

_ф _

П.1.2.2. Динамика движения ЦМ СА

Динамические уравнения движения ЦМ СА выражают связь производных по времени (0, V, ) от координат скорости ЦМ СА относительно Земли через сами эти координаты (0, v, '), координаты положения ЦМ СА относительно Земли (г, X, ф) и силовые воздействия (внешние силы и силы инерции) с равнодействующей Г. Установим связь через вектор а ускорения ЦМ СА относительно Земли (базиса б ).

С одной стороны, вектор а равен взятой локально в базисе б производной по

времени от вектора V скорости ЦМ СА относительно Земли. Известно отображение (П. 1.2) вектора V на базис б , вращающийся относительно базиса б&гп с угловой

скоростью ш

^. указанную производную можно рассчитать по формуле Бура:

а =

с1п V йп V

бетп бЗу

+ шОзу :бгп

X V.

Ж Ж

В базисе О данное равенство примет векторно-матричный вид

а— \т — V гл°зу 'бвп

О = О УО шб .

^Зу ^Зу ^Зу ^Зу

(П. 1.8)

Угловая скорость шОзу

определяется через промежуточный базис О как

сумма относительной и переносной угловых скоростей ш°Зу '°Зг и шОзг :

шбЗу ^п». = шбЗу ° + шбЗг Оин.

бЗу бЗу бЗу

Отображение ш°Зу "°Зг найдём для поворота О ^ б ) = л + ^з -е (Рис. П.1.1)

ш

Озу О

" 0 " 1 ' соб 0 " 0 0 соб 0 "0"

0 + О 3,-0 0 = ' 0 = 0 0 Бт 0 V

-0 0 -0 -1 0 0 11 _

Отображение ш

Озг О

бз„

найдём, перепроектировав (Рис. П.1.1) отображение (П. 1.4)

с подстановкой производных (П. 1.7):

rnQqr: Qgrn = D D mQq": Q

v

•Qgrn = - cos e

1 ^qr ъ*

cos e cos Л tg ф sin e cos Л tg ф 1

Суммарное отображение будет равно

ш

Qq,

Qq„

" 0 0 cos e "e" v +—cos e

0 0 sin e V

r

-1 0 0 л _

cos e cos Л tg ф sin e cos Л tg ф 1

(П. 1.9)

Подставив значения (П. 1.2) и (П. 1.9) в формулу (П. 1.8), получим

-1

a.

V 0 0 " "e"

V2 ч— cos e r

0 1 0 V

0 0 v cos e л _

0

cos e cos Л tg ф

Отсюда может быть выражен искомый вектор производных

"e" " 1 " "1 0 0 "

V 0 1 0 0

V = — cos e + - V

r V 0 0 sec e

л _ - cos л tg ф

a.

(П. 1.10)

С другой стороны, вектор а определяется из II закона Ньютона. Т.к. суммарную силу Г, действующую на СА, удобно искать в базисе 0У (Рис. П.1.1),

а^ =1 . (П.1.11)

^ т^

Объединив формулы (П. 1.10) и (П.1.11), получим динамические уравнения движения ЦМ СА

"e" " 1 " "0 1 ; 0 "

V 0 1 ч-- 0 0

V = - cos e V

r mV 0 0 - sec e_

Л _ - cos л tg ф

LSv

(П. 1.12)

П.1.2.3. Силовые воздействия

Наиболее существенное влияние на движение СА в атмосфере Земли оказывают аэродинамическая ¥аег и гравитационная Г^ силы. Учитывают также

силу инерции Fmr, вызванную вращением Земли (подвижностью базиса Q ).

Равнодействующая всех сил F для подстановки в динамические уравнения (П. 1.12) рассматривается в проекциях на базис Q:

FQ, = fT+FT+FT. (П113)

При расчёте всех сил, кроме аэродинамической, СА считается материальной точкой массой m. Связь между движением ЦМ и угловым движением СА проявляется через аэродинамическую силу.

П.1.2.3.1. Аэродинамическая сила

Аэродинамическая сила, действующая на СА, зависит от его ориентации в воздушном потоке, т.е. от положения вектора скорости ЦМ СА относительно Земли v в одном из связанных с СА базисов, например, в базисе E. Указанное положение описывается в соответствии с ГОСТ 20058-80 одной из пар углов:

• угол атаки а и угол скольжения р

ае(-л; п], ре[-п/2; п/2];

• пространственный угол атаки as и аэродинамический угол крена ф^

а е[°; 4 Ф, е(-п; п].

Связь между этими парами углов определяется однозначно через равенство

= vD „ D Re = vD, e

E 3,а 2,р 1 1,ф^ 3,аг 1

и выражается прямыми зависимостями

а = arctan(cosф,ctgа), P = arcsin(sinа sinф5) (П. 1.14)

или обратными зависимостями

а = arccos (cos а cos р), ф = arctan (tg P,sin а). (П. 1.15)

С некоторым приближением можно считать, что СА капсульного типа обладает аэродинамической симметрией относительно продольной оси ox. Тогда

вектор аэродинамической силы ¥аег всегда будет лежать в плоскости пространственного угла атаки, т.е.

Г ■ ■ -|Т

Сг = зЯ 1-с^\сУ1 \ 01 , (П. 1.16)

где q - скоростной напор, S - характерная площадь (миделева сечения) СА; Cx и C - коэффициенты проекций аэродинамической силы на соответствующие оси СК Qs, которые в рамках приближённой модели аэродинамики СА рассматриваются как функции Cx (М, as), Cy (М, as) числа Маха М и пространственного угла атаки as и на большей части своей области определения являются положительными.

Скоростной напор q и число Маха М рассчитываются по формулам

q = pv2/2, М = v/vsound, в которых плотность атмосферы p = p(h) и скорость звука в атмосфере

Vsoimd Vsoimd

(h) как функции высоты h положения ЦМ СА над уровнем моря

определяются путём аппроксимации кубическими сплайнами дискретных табличных значений, приведённых в ГОСТ 4401-81. Для простейшей сферической модели Земли при отсутствии рельефа высота h = r - REarth рассчитывается через осреднённый радиус Земли («Earth») REarth = 6371 км.

Аэродинамические коэффициенты C и C определяются по

экспериментальным данным следующим образом. В качестве исходной информации используются полученные с помощью продувок макета СА в аэродинамической трубе графические зависимости Cx (М., as), Cy (М., as) для

набора из N фиксированных чисел Маха М. (г = 1, 2, ..., N). Далее выбираются характерные точки на графиках, по которым графические зависимости можно с необходимой точностью аппроксимировать по аргументу as кубическими сплайнами, и составляются соответствующие аналитические зависимости. После этого находятся конкретные значения коэффициентов Cx (М, а) и Cy (М, а) при

заданных значениях аргументов М = М и а5 = а5 путём линейной интерполяции точечных значений С (М., а) и С (М, а) по аргументу М. Выбор в пользу линейной интерполяции по аргументу М обусловлен тем, что экспериментальные значения Мг расположены на оси этого аргумента крайне неравномерно. Из-за этого при использовании других видов аппроксимации (сплайнами или полиномами более высоких порядков) информация в промежуточных точках может значительно искажаться.

Для подстановки аэродинамической силы в рамках суммы (П. 1.13) в динамические уравнения (П. 1.12) выполним пересчёт вектора (П. 1.16) в базис 0У (Рис. П.1.1), используя связи аэродинамических углов (П. 1.14) и (П. 1.15):

-С

Fа

D-, FT

D,., D2,-PD, ,-а D^ = qS

C (cos у + ctg a sin В sin у)

ya \ '

Cy (sin у- ctg a sin В cos у)

, (П. 1.17)

где C и C - соответственно коэффициенты силы лобового сопротивления и подъёмной силы - компонент вектора

FT = qS KaiCa i-Ca ctg a sin P]7.

вычисляемые из соотношений

sin2 a s cos ф s .

C = C cos a„ + C---1, C = C, cos a cos ф - C sin a.

ya ys 1 - x~

xa xs

s У-

sin a cos P

П.1.2.3.2. Гравитационная сила

Используя сферическую модель гравитационного поля Земли, в которой гравитационная сила направлена от ЦМ СА к ЦМ Земли, запишем вектор гравитационной силы в базисе ^

FT = -" 7 Pio¡o]

(П. 1.18)

V

где ц = 3.986 -1014 м3/с2 - гравитационный параметр Земли (произведение гравитационной постоянной и массы Земли). Для подстановки гравитационной силы в рамках суммы (П. 1.13) в динамические уравнения (П. 1.12) выполним пересчёт вектора (П. 1.18) в базис Q (Рис. П.1.1):

FQgV Di n^ ^^-eD^FI"7 = -m4 [sin 0 i cos 0 j 0]T. (П. 1.19)

П.1.2.3.3. Сила инерции

Сила инерции Fmr, условно действующая на СА вследствие вращения Земли, складывается из переносной силы инерции («force of moving space») Fmov и силы инерции Кориолиса («Coriolis force») FCor:

FT = Fmv + F^. (П.1.20)

При расчёте силы инерции в исследуемой задаче учитывается только вращение Земли вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью

™QC =[0I0! «e^ ]T, (П.1.21)

где ®Earth = 7.29 -10-5 с-1. Найдём её отображение на базис Q (Рис. П.1.1):

sin 0 sin ф + cos 0 cos ф sin ц cos 0 sin ф- sin 0 cos ф sin ц - cos ф cos ц

Переносная сила инерции записывается в виде произведения

Fmov =-mamov (П.1.23)

через переносное ускорение

nmov „mov,rot . nmov,axl

a = a + a , ,

состоящее из вращательной («rotational») amov,rot и осестремительной («axial») amov,axl составляющих.

В силу вышеуказанного допущения о том, что вращение Земли вокруг своей оси равномерно, для вращательной составляющей имеем

™Qr=Di,nD3,n 2D3,-0DmD2,-pD3,.®Q;ri=

. (П. 1.22)

a

d0 &Qgn mov.rot _ Qgrn

dt

x r = O3xl x r = O3xl.

Рассчитаем осестремительную составляющую. Её отображение на базис Qv определим по формуле для двойного векторного произведения

v,axl _ r^Qg

amo-=югx Кг x ra)=K- •r) - (™Qgn •) rQv. (П.1.24)

„ Qgrn Qg¡

Поскольку скалярные произведения векторов не зависят от СК, в которой записаны сомножители, расчёты на основании значений (П. 1.1) и (П. 1.21) удобно вести в виде (Рис. П.1.1)

ю

Qgrn

r=Qв2,-фвзХ:=^Earhrsinф. ^ • ^ = (^1)