Задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Панкратов, Илья Алексеевич

• Панкратов, Илья Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Панкратов, Илья Алексеевич

Введение.

Глава 1 Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионного оскулирующего элемента орбиты

1.1 Дифференциальные уравнения ориентации орбиты космического аппарата.

1.2 Постановка задачи переориентации, использующая дифференциальные уравнения ориентации орбиты космического аппарата.

1.3 Законы оптимального управления.

1.4 Условия трансверсальности.

1.5 Аналитическое решение уравнений ориентации круговой орбиты космического аппарата.

1.6 Уравнения в безразмерных переменных.

1.7 Численное решение задачи переориентации орбиты космического аппарата.

1.7.1 Описание алгоритма численного решения.

Выводы.

Глава 2 Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата с использованием дифференциальных уравнений ориентации орбитальной системы координат.

2.1 Постановка задачи оптимального управления.

2.2 Законы оптимального управления.

2.3 Условия трансверсальности.

2.4 Аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации орбитальной системы координат.

2.5 Анализ задачи.

2.5.1 Понижение размерности краевой задачи.

2.5.2 Интегрирование дифференциального уравнения линии переключения.

2.5.3 Классификация первых интегралов задачи.

2.6 Нахождение начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений линии переключения оптимального управления.

2.7 Численное решение задачи оптимальной переориентации круговой орбиты космического аппарата . 75 2.7.1 Случай быстродействия

2.8 Численное решение задачи оптимальной переориентации эллиптической орбиты космического аппарата.

2.8.1 Случай быстродействия

2.8.2 Случай минимизации характеристической скорости

2.8.3 Минимизация комбинированных функционалов качества.

Выводы.

Глава 3 Оптимальная переориентация орбиты КА с использованием кватернионных дифференциальных уравнений в отклонениях.

3.1 Дифференциальные уравнения ориентации орбиты космического аппарата в отклонениях.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Законы оптимального управления.

3.4 Условия трансверсальности.

3.5 Аналитические решения фазовых и сопряженных уравнений задачи оптимальной переориентации круговой орбиты космического аппарата.

3.6 Примеры численного решения задачи.

Выводы.

Глава 4 Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления.

4.1 Переориентация орбиты космического аппарата при условии равенства «длин» двух внутренних участков активного движения космического аппарата.

4.2 Переориентация круговой орбиты космического аппарата при условии, что «длины» двух внутренних участков активного движения космического аппарата равны конкретной величине.

4.3 Переориентация орбиты космического аппарата при условии равенства «длин» двух внутренних участков активного движения космического аппарата и двух крайних участков.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата»

Задачам управления движением космического аппарата (КА) посвящено большое число публикаций в нашей стране и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие общих аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.

Многие авторы рассматривают задачу управления угловым движением КА, как с использованием классических моделей в угловых переменных, так. и с помощью кватернионных моделей. Необходимо отметить работы A.B. Мо-лоденкова, Я.Г. Сапункова [49-51], Ю.Н. Челнокова [14-16,55,60,82], посвященные данной тематике.

Изменение ориентации твердого тела в пространстве может быть выполнено различными способами: посредством трех последовательных разворотов вокруг трех связанных осей [46], одним плоским разворотом вокруг эйлеровой оси [3,46,56,93], несколькими плоскими разворотами [94], либо одним пространственным разворотом. Вопросы оптимального управления эйлеровым или экстенсивным [56], разворотом нашли в литературе наиболее полное отражение. Как отмечается в [94], этот способ особенно эффективен, когда эллипсоид инерции близок к сфере или управление осуществляется малыми по величине управляющими моментами. В работе В.И. Гуляева, B.JI. Кошкина, И.В. Савиловой [30] решение задачи оптимального управления ориентацией твердого тела строится в более общем классе пространственных поворотов без дополнительных ограничений на характер результирующего движения

При использовании для описания положения тела какой-либо системы углов, в частности углов Эйлера, возникают трудности, обусловленные наличием в уравнениях движения особенностей, когда угол нутации становится кратным я. Переход от углов Эйлера к кватерниону поворота позволяет устранить особенность в кинематических уравнениях, однако система оказывается управляемой лишь на интегральном многообразии, описываемом первым интегралом кинематических уравнений в параметрических переменных, что затрудняет решение задачи. В работе [30] предлагается подход, при котором задача оптимизации управления формулируется в терминах физических переменных (углах Эйлера), а интегрирование системы уравнений движения и уравнений в вариациях осуществляется в параметрах Родрига-Гамильто-на [16] с последующим использованием при построении оптимального управления регуляризующих матриц перехода.

Большое количество работ посвящено изучению задачи оптимального по быстродействию управления, угловым движением космического аппарата - твердого тела, однако эта задача в общей постановке до настоящего-времени далека от завершения. Среди работ, посвященных решению этой задачи в различных постановках с использованием аппарата кватернионов, отметим работы В.Н. Бранеца [13-17], И.П. Шмыглевского [14-17], М.Б. Чертока,. Ю.В. Казначеева [13], Д.В. Лебедева? [44], А.Н. Сиротина [72-74], A.B. Моло-денкова, Я.Г. Сапункова [50].

Обширный обзор литературы по задаче оптимальной, в смысле быстродействия переориентации космического аппарата содержится в монографии [47]. В этой монографии отмечается, что при исследовании, динамических задач оптимального по быстродействию управления движением объекг тов, когда в качестве управляющего воздействия выступает вектор моментов внешних сил, основная аналитическая трудность заключается в, рассмотрении оптимального по быстродействию управления ориентацией твердого тела. Обычно решение данной задачи разбивается на две подзадачи: торможение (гашение) вращений и переориентация твердого тела (начальное и конечное положения тела заданы и являются состояниями покоя). В работе [47], отмечается, что если торможение вращений достаточно полно исследовано то задача оптимального по быстродействию управления переориентацией твердого тела в полной постановке является задачей нерешенной, тем более далека от завершения общая задача синтеза оптимальных управлений ориентацией твердого тела (с одновременным гашением угловой скорости).

Большое практическое значение имеет задача о встрече управляемого КА с неуправляемым. В различных постановках эта задача рассматривалась

Я.Г. Сапунковым [65-69], Ю.В. Афанасьевой, Ю.Н. Челноковым [5,8,84-86], Ю.П. Улыбышевым [79], A.A. Барановым [10].

В работах В.В. Ивашкина, Г.Г. Райкунова [34, 35] исследована задача оптимизации (с точки зрения минимума характеристической скорости) дву-химпульсного маневра мягкой встречи двух КА, движущихся первоначально по одной круговой орбите в центральном ньютоновском гравитационном поле. Рассмотрены задачи с фиксированным и ограниченным заранее временем перелета, наложены ограничения на расстояния от КА до центра притяжения [34,35] и на время выполнения маневра [35].

Работа К.Б. Алексеева, Г.Г. Бебенина, В.А. Ярошевского [4] посвящена теоретическим основам и методам расчета траектории маневра КА при выполнении операции встречи на орбите, при полете и посадке на Луну, межпланетных полетах и при спуске на Землю. Рассмотрены уравнения* движения КА, записанные с использованием классических угловых элементов орбиты, способы изменения параметров орбитального движения под действием импульсной и непрерывной тяг, а также возможные принципы построения систем управления траекторией снижения КА. Приведены методы измерений параметров траекторий и метод дифференциальной коррекции для определег ния величины корректирующих импульсов.

Задача межорбитального перелета КА значительно упрощается, если начальная и конечная орбиты лежат в одной плоскости. Становится*возможным, аналитически (точно или приближенно) найти оптимальные траектории перехода. Этим обусловлено значительное количество публикаций в данной области. Чаще всего минимизировался расход рабочего тела. Отметим работы И.С. Григорьева, К.Г. Григорьева [20,26,63], С.Н. Кирпичникова с соавторами [41-43]. Задачи оптимального управления решается на основе принципа максимума. Краевые задачи принципа максимума решаются численно методом стрельбы.

В работе В.И. Гурмана [32] на основе результатов работы [31] исследуется задача о плоских оптимальных переходах точки переменной массы между эллиптическими орбитами в центральном ньютоновском поле при свободной ориентации линий апсид заданных орбит. Минимизируется заданный функционал - некоторая функция конечных значений фазовых координат. Если тяга не ограничена, найденные решения могут быть реализованы как двухимпульсные апсидальные переходы.

В работе П.А. Тычины, В.А. Егорова, В.В. Сазонова [78] рассматривается быстрейший перелет КА с плоским зеркально отражающим солнечным парусом между двумя компланарными круговыми гелиоцентрическими орбитами. Проведено численное сравнение построенной квазиоптимальной траектории с оптимальной, найденной в результате численного решения краевой задачи принципа максимума Понтрягина.

В работе Р.З. Ахметшина [9] рассматриваются полеты с малой тягой, представляющие интерес, так как позволяют уменьшить затраты рабочего вещества по сравнению с перелетами с большой тягой, и позволяют уменьшить продолжительность полета, а также снизить вредное влияние радиационных поясов - по сравнению со спиральной раскруткой с низких околокругоых орбит. Предложена методика1 получения начального приближения, для решения краевой задачи принципа максимума. Рассмотрены две задачи, различающиеся моделями малой тяги: постоянно*действующей, и с возможностью включения/выключения. На направление тяги в обоих случаях ограничений« не накладывается. Проведено сравнение этих задач.

В работах В.Е. Mabsout, О.М. Kamel; A.S. Soliman [104,109] рассмотрен межорбитальный переход по схеме Гомана между компланарными эллиптическими орбитами. Получено алгебраическое уравнение четвертого порядка относительно эксцентриситета переходной*орбиты. Показано как, зная решение этого уравнения, найти минимум затрат характеристической скорости. Аналитически найден допустимый интервал для эксцентриситета промежуточной орбиты. Показано, что затраты характеристической скорости есть убывающая аналитическая функция от эксцентриситета промежуточной орбиты. Приведены примеры расчетов по полученным формулам.

BFработах А. Miele, T. Wang [110, 111] в рамках ограниченной задачи четырех тел рассмотрен оптимальный в смысле минимума затрат характеристической скорости или расхода топлива перелет между низкой околоземной орбитой и низкой орбитой около Марса. Орбиты Земли и Марса полагаются круговыми и компланарными. Вдоль всей траектории движения учитывается гравитационное влияние Земли, Марса и Солнца. Приведены примеры численного решения задачи с помощью модифицированного метода градиентного спуска. Показано, что обсуждаемый оптимальный перелет близок к перелету по схеме Гомана, учитывающему лишь влияние Солнца.

В работе S.A. Fazelzadeh, G.A. Varzandian [98] рассмотрены наискорейшие перелеты КА Земля - Луна и Луна - Земля с помощью непрерывной тяги. Перелет между компланарными низкой околоземной орбитой и низкой окололунной. Задача сформулирована в рамках упрощенной ограниченной задачи трех тел в декартовой системе координат. Время перелета не фиксируется. С помощью вариационного исчисления задача дискретизируется во временной области, а результирующие уравнения задачи записываются в конечно-элементной форме; В итоге получена система нелинейных алгебраических уравнений. Оптимальное решение находится с помощью метода Ньютона-Рафсо-на. Произведена проверка точности предложенного метода. Полученные оптимальные траектории» согласуются с ранее опубликованными результатами. Численно исследуется влияние величины эффективной скорости истечения газов из сопла на форму траектории и время перелета. Показано, что на низкой окололунной орбите несколько выгоднее двигаться против, часовой стрелки.

Несмотря на сложность решения задачи оптимизации-(в смысле минимума некоторого функционала)'пространственных межорбитальных перелетов, имеется некоторое количество работ по данной тематике. В отличие от управт ления угловым движением твердого тела, где уже довольно давно применяются кватернионные модели, в подавляющем большинстве работ, посвященных переориентации орбиты КА, используются»уравнения движения в традиционных угловых элементах орбиты. Необходимо отметить, что задача о быстродействии решается редко. В основном минимизируются'затраты рабочего тела или характеристическая скорость. В большинстве работ физическая задача сводится к численному решению нелинейных краевых задач высокой размерности, полученных с помощью применения принципа максимума Л.С. Понт-рягина. Аналитическое исследование дифференциальных уравнений ориентации орбиты в классических угловых элементах (и получающихся краевых задач) - достаточно трудоемкое занятие. Продвижение (понижение размерности краевых задач, отыскание частных решений, аналитическое нахождение оптимальных траекторий) в этой области, по-видимому, может быть получено при введении в рассмотрение новых кватернионных оскулирующих элементов орбиты.

В работе В.Н. Лебедева [45] исследуются способы управления, сохраняющие постоянными значения оскулирующих элементов или наиболее быстро изменяющие их. С помощью метода усреднения исследуются две задачи: анализ движения КА с трансверсально направленной тягой; оптимальный с точки зрения минимизации энергозатрат перелет между круговыми некомпланарными орбитами с одновременным изменением радиуса орбиты и уменьшением угла между плоскостями исходной и заданной орбитами. Приведено решение с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина ряда вариационных задач динамики КА с малой тягой. При решении краевых задач использовался модифицированный метод Ньютона. В большинстве задач минимизируется» время, необходимое для выполнения маневра; в двух задачах минимизируемым функционалом является время работы двигателя; рассмотрена задача о движении с помощью солнечного паруса. Также исследована задача о максимуме полезной нагрузки для некоторых маневров в околопланетном пространстве. Считается, что двигатель работает в течение всего времени выполнения маневра.

В работах Г.Л. Гродзовского; Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева [28,29]систе-матизированно излагается механика космического полета. Предметом этого раздела механики является совместное решение проблем, выбора оптимальных проектных параметров КА, оптимального управления его двигательной системой и оптимальных траекторий полета. Включены разделы, посвященные оптимизации аппаратов с двигателями большой тяги и задачам выбора параметров и управлений в условиях неопределенности (игровой и статистический подходы к проблеме оптимизации).

В работе С.А. Ишкова- [38] исследуется задача выбора оптимальных параметров и программ управления транспортного КА с двигателями малой тяги. При решении динамической и параметрической задач оптимизации учитываются динамика КА относительно центра масс и дополнительные затраты рабочего тела на управление. Предложена итеративная схема совместной оптимизации параметров и законов управления движением. Показано, что усложнение модели проеьсгно-баллистического анализа позволяет значительно улучшить проектные характеристики межорбитальных транспортных КА.

В работе С.А. Ишкова [39] рассматривается задача выбора программы управления и расчета энергетических затрат на маневр плоского перехода КА с двигателем малой тяги между низкой околокруговой и высокой эллиптической орбитами. Уравнения движения КА в центральном ньютоновском гравитационном поле записаны в угловых оскулирующих элементах орбиты. Определена структура управления на витке из условия минимума затрат характеристической скорости. На базе усредненной модели движения сформулирована и численно решена задача об оптимальном межорбитальном перелете в общей постановке. После введения в схему управления ряда упрощений получены выражения для расчета энергетических характеристик перелета в аналитическом виде. Даны оценки неоптимальности предлагаемых схем управления.

В работе С.А. Ишкова, В.А. Романенко [40] исследуется перелет КА с низкой околокруговой на высокоэллиптическую орбиту (рассматриваются как компланарные, так и пространственные межорбитальные переходы, выполняемые посредством малой тяги). Предполагается, что КА оснащен нерегулируемым электрореактивным двигателем, работающим без выключений. На направление вектора тяги ограничений не наложено. Рассмотрен ряд маневров коррекции конечной орбиты. Общая задача изменения элементов орбиты сведена к решению ряда частных оптимизационных задач. Для каждой задачи из условия минимума энергозатрат на маневр определена* оптимальная структура управления в пределах витка. С использованием асимптотических методов оптимального управления решена задача о перелете на орбиту спутника «Молния». Получен ряд приближенных аналитических моделей для определения временных и энергетических характеристик маневра. Приведены оценки неоптимальности предлагаемых схем управления.

В работе В.В. Салмина, В.О. Соколова [64] рассматривается задача отыскания законов управления элементами орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги в нецентральном поле тяготения. Уравнения движения спутника под действием трансверсальной и бинормальной составляющих реактивного ускорения.записываются в угловых оскулирующих элементах орбиты. Общая задача разделяется на серию частных задач управления группами фазовых переменных. Установлена оптимальная структура управления в пределах выделенного витка, получены приближенные аналитические решения задач управления эволюцией орбиты. Получены аналитические зависимости для расчета затрат характеристической скорости на изменение орбиты, ее положения в пространстве и на приведение КА в заданную точку орбиты. Даны оценки методической погрешности приближенных решений, основанные на численном моделировании движения, установлена зависимость энергетики маневра от величины реактивного ускорения.

В работе С.А. Ишкова, В.В. Салмина [37] исследуются программы управления вектором тяги при перелетах КА с двигателем малой тяги между некомпланарными круговыми орбитами. (Круговая орбита характеризуется своим наклонением и радиусом.) Методом усреднения получена модель движения КА. С помощью принципа максимума Понтрягина найдена оптимальная программа управления, минимизирующая расход рабочего тела с учетом ограничений, обусловленных динамикой углового вращения КА. Приведены результаты расчета энергетики межорбитальных переходов с низкой геоцентрической орбиты на орбиту стационарного ИСЗ. Результаты проведенного анализа показывают, что использование усредненных уравнений позволило получить сравнительно простые аналитические решения задачи. Так, удалось определить оптимальную программу изменения ориентации тяги, которая дает существенный выигрыш в характеристической скорости по сравнению с другими программами. Учет вращательного движения КА приводит к существенному усложнению модели движения. Тем не менее задача оптимального управления была решена, что позволило установить качественные особенности оптимального управления ориентацией вектора тяги при межорбитальных переходах между некомпланарными орбитами.

В работе А.Ф. Брагазина, В.В. Леонова; В.М. Руденко [12] рассматривается орбитальное движение спутника, который полагается материальной точкой, в поле Земли с возмущениями, обусловленными гравитационными неоднородностями. В качестве обобщенных координат выбираются элементы кватерниона, определяющего пространственную ориентацию орбиты, а также скоростные параметры. Для анализа уравнений динамики спутника используется модификация метода осреднения, основанная на применении групп Ли. Все вычисления производятся символьно, на ЭВМ, при помощи языка компьютерной алгебры ЫЕОиСЕ. Построена осредненная система в четвертом приближении, которая может быть основой для синтеза эффективных алгоритмов прогноза положения спутника.

В работах Ю.В. Афанасьевой, Д.А. Сергеева, Ю.Н. Челнокова [7,70,90, 91] рассматривается задача оптимального управления ориентацией орбиты КА с помощью управления, ортогонального плоскости орбиты. При таком управлении орбита КА поворачивается в пространстве как неизменяемая фигура. Эта постановка задачи открывает широкие возможности для ее эффективного аналитического изучения и установления свойств и закономерностей оптимальной переориентации орбиты КА, чего нельзя сделать, используя дифференциальные уравнения ориентации орбиты в угловых элементах орбиты. Для решения задачи используется кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты, и принцип максимума Понтрягина. Учет первых интегралов и использование новых кватернионных переменных позволяют понизить порядок полученной системы дифференциальных уравнений краевой задачи 10-го порядка (без ее усложнения) на 5-6 единиц. В случае круговой орбиты размерность краевой задачи понижается еще на единицу. Полученные уравнения позволили авторам разработать алгоритмы и программы численного решения поставленной задачи, позволяющие анализировать оптимальные управления и траектории КА во всем фазовом пространстве. Предложено аналитическое решение задачи переориентации орбиты космического аппарата за фиксированное время. Для построения управления, оптимального в смысле минимума интегрального квадратичного функционала качества использован новый метод теории, устойчивости и управления'движением, предложенный в [88]. Этот метод позволяет заменить традиционное, как правило численное решение рассматриваемой задачи управления в трехмерном пространстве угловых элементов орбиты, содержащем особые точки, регулярным аналитическим решением задачи управления для системы с одной степенью свободы, в качестве фазовой координаты^ которой выступает эйлеров угол поворота орбиты КА.

В работах Ю:Н. Челнокова [81,83,87] рассматривается задача построения оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата в ньютоновском гравитационном, поле. Для решения задачи используются регулярные кватернионные уравнения задачи двух тел в переменных Куста-анхеймо-Штифеля и принцип максимума Понтрягина. Кватернионные уравнения движения центра масс КА, записанные во вращающихся системах координат удобны тем, что позволяют рассматривать общую пространственную задачу оптимального управления движением центра масс КА, как композицию двух взаимосвязанных задач: задачи управления формой и размерами орбиты КА и задачи управления ориентацией орбиты КА и*положением КА на орбите, или как композицию задачи управления формой, размерами орбиты КА и положением КА на орбите и задачи управления ориентацией орбиты КА. Найдено несколько первых интегралов систем уравнений краевых задач принципа максимума; предложены преобразования, понижающие размерности систем дифференциальных уравнений краевых задач (без их усложнения); даны геометрические интерпретации преобразованиям и первым интегралам. Рассмотрена связь векторного первого интеграла одной из полученных систем уравнений краевых задач, являющегося аналогом известного векторного первого интеграла изучаемой задачи оптимального управления, с найденным ква-тернионным первым интегралом.

Работа Ю.Н. Челнокова [92] посвящена обзору и обобщению результатов, полученных в теории оптимального управления движением материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле с использованием принципа максимума Понтрягина и кватернионных моделей орбитального движения. Эта теория имеет важное значение в механике космического полег та, являясь фундаментом решения задач оптимального управления движением центра масс КА. Дается обзора кватернионных моделей движения материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле, анализируются их достоинства и недостатки. Рассматривается постановка задачи, оптимального управления движением материальной точки в* центральном ньютоновском гравитационном поле и ее связь с задачей оптимального управления движением центра масс КА. Исследуются основные проблемы, возникающие при-решении задач оптимального управления движением материальной точки с помощью принципа максимума, в том числе неустойчивость в смысле Ляпунова решения сопряженных уравнений. Показывается, что эффективность аналитического исследования и численного решения связанных с ними краевых задач может быть повышена за счет привлечения кватернионных моделей орбитального движения.

В.работе Т.В. Пимкиной, Ю.Н. Челнокова [59] рассматривается задача об оптимальном управлении орбитальным движением КА в ньютоновском гравитационном поле. Для построения оптимальных управлений и траекторий движения управляемого КА используются уравнения движения центра масс КА, записанные во вращающейся системе координат, и принцип максимума Понтрягина. В качестве минимизируемого функционала используется интегральный квадратичный функционал качества. Управление (вектор ускорения от тяги реактивного двигателя) полагается ограниченным по модулю. Предложены нелинейные преобразования координат, понижающие размерность краевой задачи оптимизации на 6 единиц, причем правые части нелинейных ДУ, описывающих краевую задачу оптимального управления орбитальным движением КА, не только не усложнились, но и упростились.

В работе Ю.В. Афанасьевой, Ю.Н. Челнокова [6] рассматривается задача оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры. Эта задача формулируется как задача оптимального управления сдвижением центра масс КА с подвижным правым концом траектории и сводится к краевой задаче принципа максимума Понтрягина. Дляописания ориентации мгновенной орбиты КА используется новый кватернионный элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты КА. Эта модель позволяет наиболее эффективно рассматривать общую задачу оптимального управления движением КА как композицию двух взаимосвязанных задач: задачи управления формой и размерами орбиты КА и задачи управления ориентацией орбиты КА, поскольку введенный новый кватернионный оскулиру-ющий элемент непосредственно характеризует собой ориентацию мгновенной орбиты КА, в отличие от других, ранее использованных кватернионных переменных. Получены первые интегралы уравнений краевой задачи, установлено условие, при выполнении- которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются.

В работах К.Г. Григорьева, И.С. Григорьева, М.П. Заплетина и др: [19, 21-25,27] исследуются оптимальные пространственные траектории перелетов КА с реактивным двигателем большой ограниченной тяги [28,29; 36]. Управление КА осуществляется величиной и направлением тяги двигателя. Минимизируемый функционал представляет собой компромисс между затратами времени и массы. Краевые задачи принципа максимума [2,62] решаются методом стрельбы. Приведены примеры численных расчетов (задачи о перелетах КА между точками одной и той же круговой орбиты, задача о перелете КА между орбитами искусственных спутников Земли и Луны с минимальными затратами массы при ограниченном времени перелета и тем самым взаимцая ей задача о наискорейшем перелете при ограниченных затратах массы).

В работах В.Г. Петухова [57,58] задача оптимизации траектории межорбитального перелета КА с двигательной установкой малой тяги между некомпланарными эллиптическими орбитами сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью формализма принципа максимума. Для численного решения полученной краевой задачи используются гомотопический метод, модифицированный метод Ньютона или метод продолжения по параметру (в том числе по гравитационному параметру, позволяющий находить экстремальные траектории с заданной угловой дальностью). Правые части дифференциальных уравнений движения при решении краевой задачи численно осредняются. Проведен расчет большого числа оптимальных траекторий. В результате анализа этих численных данных получены новые качественные результаты. В частности, обнаружена бифуркация оптимальных решений, обнаружено существование критического наклонения, проведена частичная» классификация1 структуры оптимального управления.

В работе A.B. Соколова, Ю.П. Улыбышева [75] рассматриваются практ тические решения задач установки, в рабочую точку геостационарной орбиты КА с малой тягой (реактивное ускорение 10г2 - 10~5 м/с2), позволяющее рассчитывать в точной постановке траектории многовитковых маневров продолжительностью до нескольких месяцев на околокруговых орбитах (с эксцентриситетом, до 0.1), используя как сплошные трансверсальные маневры, так и . серии маневров ограниченной продолжительности. Представлена ^математическая модель, основанная на введении для трансверсальных маневров на всех элементарных интервалах (в виде полувитков) их возможного проведения псевдоимпульсов с положительным и отрицательным направлением, что позволяет сформулировать задачу в рамках классического линейного программирования с размерностью, равной учетверенному числу витков маневрирования. Сплошные-многовитковые трансверсальные маневры получаются соединением смежных полувитковых трансверсальных маневров одинакового направления. Коррекция наклонения выполняется с использованием маневров, размещаемых на свободных от трансверсальных маневров участках, с малой тягой, направленной по бинормали к орбите. Методы позволяют достаточно просто учитывать операционные ограничения на проведение маневров. Приводятся иллюстрирующие примеры различных типов траекторий полета КА семейства «Ямал». Разработано программное обеспечение, которое может использоваться при баллистическом обеспечении полета этих КА.

В работе В А. Охорзина [53] используется близость начальной и конечной орбит к круговым, что позволяет линеаризовать уравнения движения относительно опорной круговой орбиты, близкой к конечной, и получить для линеаризованной системы решение задачи быстродействия методом моментов.

В- работе Ч.В. Пака [54] рассматривается задача линейной идеальной коррекции параметров ИСЗ для случая коррекции с помощью жестко связанных с ИСЗ двигателей при ограничении на модуль каждого импульса. Исследуется задача линейного программирования с двусторонними ограничениями, к которой сводится оптимальная задача коррекции. Приводятся результаты численных экспериментов и выяcняeтcяí область возможного использования линейной модели коррекции:

В* работах A.A. Суханова, А.Ф.Б. де А. Прадо [76,77] рассматривается перелет КА с малой тягой между двумя заданными положениями.за заданное время. Предполагается, что двигатель малой тяги является идеально-регулируемым. Рассматриваются линейные неоднородные и однородные ограничения на направление тяги, заданные равенствами- или неравенствами, а также смешанные ограничения. Приводятся примеры ограничений. Оптимальный вектор малой тяги находится аналитически для уравнений движения КА, линеаризованных около некоторой: близкой кеплеровской-орбиты. Все решения получены как для постоянной мощности, так и для.переменной, соответствующей солнечной энергетике. Приводятся результаты расчетов для полета к Марсу с малой тягой.

В работах В.М. Kiforenko, I.Yu. Vasiliev и др. [107,108] рассмотрена задача наискорейшего перехода между двумя произвольными эллиптическими орбитами, оптимальная в смысле быстродействия или минимума затраченной энергии (время перелета фиксировано). Использованы осредненные по малому параметру (величина ускорения от тяги реактивного двигателя) уравнения в классических угловых переменных [28]. Оптимальное направление вектора тяги подлежит определению, рассмотрены случаи как постоянного, так и переменного модуля вектора тяги. Проверено, что характер изменения эксцентриситета во время перелета между круговыми орбитами зависит от разницы в наклонениях начальной и конечной орбит (эксцентриситет может быть или постоянным, или немонотонно изменяющимся). Этот факт был отмечен в работе В.Г. Петухова [57].

В работах 1 КесЫсЬап [105,106] рассмотрены задача наискорейшего перелета перелета между круговыми некомпланарными орбитами, задача межорбитального перелета за фиксированное время при минимальном расходе рабочего тела и задача максимизации наклонения орбиты за фиксированное время с помощью непрерывной тяги. Осредненные уравнения движения центра масс КА записаны в декартовой системе координат и с помощью невы-рождающихся угловых переменных. Показано, что при уменьшении нижней и одновременном увеличении верхней границы для величины тяги пропадают участки активного движения КА, на котороых управление принимает постоянное (минимальное или, соответственно, максимальное)-значение. Приведены примеры численного решения задачи:

В работе У. вао [102] рассматриваются перелеты с малой тягой между околоземными орбитами (низкая околоземная орбита —> геостационарная околоземная орбита; геопереходная орбита —> геостационарная орбита; низкая околоземная орбита —» высокоэллиптическая орбита) при условии, что отношение тяги к весу КА примерно равно 10~5. При этом за время перехода количество витков КА вокруг Земли весьма велико. Предлагается параметризованный оптимальный закон управления для каждого варианта взаимного расположения начальной и конечной орбит. Законы изменения параметров во. времени находятся с помощью интерполирования, через конечное число узловых значений. Для уменьшения объема вычислений используемые невырождающие-ся уравнения в орбитальных равноденственных элементах осредняются. Кроме всего прочего, учитывается нахождение КА в тени-Земли и возмущения. Задача оптимального перелета записывается в виде параметрической вариационной задачи, которая решается с помощью нелинейного программирования. Найдено отображение, связывающее параметрический закон управления и закон управления Ляпунова. На основе этого предложен способ нахождения хороших начальных приближений для оптимизируемых параметров, который расширяет область сходимости прямого оптимизационного метода. В дальнейшем предполагается применить указанный метод к оптимальному по расходу топлива межорбитальному переходу. Приводятся примеры численных расчетов.

В работе S. Da Silva Fernandes [101] найдено полное аналитическое решение первого порядка точности задачи оптимального перелета с двигателем малой тяги между близкими эллиптическими орбитами. Исходная задача формулируется как задача Майера оптимального управления. Фазовые переменные - декартовы координаты и проекции скорости. Минимизируемый функционал имеет смысл расхода энергии на переход между орбитами. На направление и величину управления ограничений не наложено. Время перелета фиксировано. Полагается, что изменения орбиты от тяги двигателя и возмущения от несферичности притягивающего тела есть величины одного порядка. После применения принципа максимума JI.C. Понтрягина и определения оптимального управления декартовы координаты заменяются угловыми орбитальными элементами. Найдены явные аналитические зависимости оптимального управления, сопряженных переменных и затраченной энергии от изменений орбитальных элементов, длительности перелета и возмущений от несферичности притягивающего тела. Эти формулы сильно упрощаются если пренебречь пет риодическими составляющими по сравнению с вековыми. Ранее автор в работах [99,100] решил аналогичную задачу для перехода между близкими почти круговыми орбитами.

В работе В. Dachwald [96]. вместо традиционных численных методов нахождения оптимальных межорбитальных перелетов предлагается способ, основанный на искусственном интеллекте и машинномшбучении. Этот, новый метод не требует нахождения начальных приближений и глубокого знания астродинамики и теории оптимального управления. Для нахождения оптимальных траекторий перелетов КА с малойтягой применяются искусственные нейронные сети и эволюционные алгоритмы. На направление вектора тяги ограничений не наложено. Минимизируются затраты времени или рабочего тела. Приводятся примеры численных расчетов для перелетов к астероиду, находящемуся около Земли; Меркурию и Юпитеру. При этом модуль ускорения КА равен 0.14 мм/с2, 0.10 мм/с2 и 0.05 мм/с2. Перелет длится несколько лет.

В работе V. Coverstone-Carrol, J.W. Hartmann, W.J. Mason [95] описан гибридный метод решения задач механики космического полета с малой тягой, являющийся комбинацией многоцелевого генетического алгоритма и вариационного исчисления. Минимизируется функционал равный взвешенной сумме времени и расхода топлива. Найдены новые парето-оптимальные траектории перелета Земля - Марс и Земля - Меркурий. Наилучшие решения были получены при небольшом числе оборотов вокруг Солнца. Основной недостаток предлагаемого метода заключается в том, что для нахождения оптимального решения требуется много времени (сотни часов). В дальнейшем авторы будут работать над уменьшением продолжительности расчетов (использование более быстрого процессора или параллельных вычислений).

В работе М. Guelman, A. Kogan, A. Gipsman [103] рассмотрен межорбитальный перелет с электрическим двигателем малой тяги (ускорение менее 1 мм/с2; перелет при этом длится больше года, количество витков вокруг Земли достигает нескольких сотен). Минимизируется интегральный квадратичный (в отношении модуля вектора управления) функционал качества. Используются два множества оскулирующих элементов, которые описывают орбиту КА и вектор управления. В осредненных дифференциальных уравнениях движения, полученных с помощью принципа максимума JT.C. Понтряги-на, оставлены лишь «вековые» слагаемые. Осреднение упрощает задачу так, чтобы, ее можно было решать, численно. Разработан алгоритм решения полученной двухточечной краевой задачи, приведен пример численного: решения. При условии, что вектор тяги ортогонален направлению на Солнце и лежит в плоскости панели с фотоэлементами, затраты энергии увеличиваются не более, чем на 10%. Но при данном ограничении намного проще управлять КА.

В настоящей работе исследуется задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата под действием реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. В первой главе рассмотрена модель, использующая дифференциальные уравнения орбиты КА. Построены законы оптимального управления, условия трансверсальности, сформулирована дифференциальная краевая задача с подвижным правым концом траектории. Описаны способ перехода к безразмерным переменным и метод решения краевой задачи. Найдено аналитическое решение уравнений ориентации круговой орбиты КА для случая постоянного управления.

Во второй главе рассмотрена модель, использующая дифференциальные уравнения ориентации орбитальной системы координат. Построены закон оптимального управления, условия трансверсальности, сформулирована дифференциальная краевая задача с подвижным правым концом траектории. Предложен способ понижения размерности краевой задачи с одновременным упрощением уравнений. Получена система нелинейных уравнений для нахождения неизвестных начальных условий интегрирования краевой задачи пониженной размерности. Приведены примеры численного решения указанной системы. Приведены примеры численного решения краевых задач. Выявлены особенности полученных решений.

В третьей главе рассмотрена оптимальная переориентация орбиты КА в отклонениях. Построены закон оптимального управления, условия трансверсальности, сформулирована дифференциальная краевая задача с подвижным правым концом траектории. Найдено аналитическое решение фазовых и сопряженных возмущенных уравнений ориентации круговой орбиты КА для случая постоянного управления. Приведен пример численного решения.

В четвертой главе рассмотрена переориентация орбиты КА при наличии трех точек переключения управления. При условии равенства «длин» двух внутренних участков движения КА построено численное решение полученой системы уравнений для нахождения неизвестных «длин» участков активного движения КА. В частных случаях, когда «длины» двух внутренних участков активного движения КА равны конкретной величине, а также, когда равны " «длины» двух внутренних участков активного движения КА и двух крайних, найдено аналитическое решение задачи.

15

4» 4

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Панкратов, Илья Алексеевич, 2011 год

1. Абалакин, В. К. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К. Абалакин, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников.— М.: Наука, 1976.- 864 с.

2. Алексеев, В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев. — М.: Наука, 1979.-429 с.

3. Алексеев, К. Б. Экстенсивное управление ориентацией космических летательных аппаратов / К. Б. Алексеев.— М.: Машиностроение, 1977.— 121 с.

4. Алексеев, К. Б. Маневрирование космических аппаратов / К. Б. Алексеев, Г. Г. Бебенин, В. А. Ярошевский. — М.: Машиностроение, 1970. — 416 с.

5. Афанасьева, Ю. В. Оптимальное управление орбитальным движением космического аппаратах использованием новых кватернионных оскули-рующих переменных / Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2003. Вып. 5. — С. 144-147.

6. Афанасьева, Ю. В. Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата / Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2005. Вып. 7. — С. 153-155:

7. Афанасьева, Ю. В. К задаче переориентации круговой орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура / Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2006. -Вып. 8.-С. 168-171.

8. Ахметшин, Р. 3. Плоская задача оптимального перелета космического аппарата с малой тягой с высокоэллиптической орбиты на геостационар / Р. 3. Ахметшин // Космические исследования. — 2004. — Т. 42. Вып. 3. — С. 248-259.

9. Баранов; А. А. Оптимальная четырехимпульсная встреча на компланарных почти круговых орбитах / А. А. Баранов, Е. О. Терехова // Космические исследования. — 1995.— Т. 33. Вып. 3.— С. 420-425.

10. Бордовицына, Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики / Т. В. Бордовицына. — М.: Наука, 1984.— 136 с.

11. Аналитическое исследование уравнений динамики низколетящего'искусственной^ спутника Земли методами компьютерной алгебры / А. Ф. Бра-газин, В. В. Леонов, В. М. Руденко, И. П. Шмытевский // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1993. — Ш.- С. 89-94.

12. Бранец, В. Н. Оптимальный разворот твердого тела1 с одной осью симметрии / В. Н. Бранец; М: Б. Черток, Ю. В. Казначеев // Космические исследования. 1984. - Т. 22. - Вып. 3. — С. 352-360.

13. Бранец, В. Н. Применение кватернионов в управлении угловым положением твердого тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1972. — № 4. — С. 24—31.

14. Бранец, В: Н. Кинематические задачи, ориентации во вращающейся системе координат / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1972. — № 6. — С. 36-43.

15. Бранец, В. Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. — М.: Наука, 1973. — 320 с.

16. Бранец, В. Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. — М.: Наука, 1992.-278 с.

17. Брумберг, В. А. Аналитические алгоритмы небесной механики /B. А. Брумберг. — М.: Наука, 1980. — 208 с.

18. Григорьев, И. С. Об одной задаче оптимизации траекторий / И. С. Григорьев // Космические исследования.— 2008.'— Т. 46. Вып. 3.—C. 238-242.

19. Григорьев, К. Г. Оптимальное выведение космического аппарата с поверхности Луны на круговую орбиту ее спутника / К. Г. Григорьев, М. П. Заплетин, Д. А. Силаев // Космические исследования.— 1991.— Т. 29. Вып. 5.- С. 695-704.

20. Григорьев, К. Г Оптимальное выведение космического аппарата с поверхности Луны на круговую орбиту ее спутника / К. Г. Григорьев, Е. В. Заплетина, М. П. Заплетин // Космические исследования. — 1992.— Т. 30. Вып. 3. - С. 321-332.

21. Григорьев, К. Г. О наискорейших маневрах космического аппарата / К. Г. Григорьев // Космические исследования. — 1994. — Т. 32. Вып. 1. — С. 56-69.

22. Григорьев, К. Г. О маневрах космического аппарата при минимальных затратах массы и ограниченном времени / К. Г. Григорьев // Космические исследования. — 1994. — Т. 32. Вып. 2. — С. 45-60.

23. Григорьев, К. Г. Оптимальные перелеты космического аппарата с реактивным двигателем большой ограниченной тяги между компланарными круговыми орбитами / К. Г. Григорьев, А. В. Федына // Космические исследования.— 1995. — Т. 33. Вып. 4.— С. 403-416.

24. Гродзовский, Г. Л. Механика космического полета с малой тягой / Г. Л. Гродзовский; Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев;— М.: Наука, 1966.— 679 с.

25. Гродзовский, Г. Л. Механика космического полета. Проблемы оптимизации / Г. Л. Гродзовский, Ю. Н. Иванов, В. В: Токарев. — М.: Наука, 1975. — 702 с.

26. Гуляев, В. И. Оптимальное по быстродействию управление трехосной ориентацией твердого тела при ограниченных, параметрах управления / В. И. Гуляев, В. Л. Кошкин, И: В. Савилова // Изв. РАН. Механика твердого тела.-1986.-№ 5.-С. 11-15.

27. Гурман, В. И. Об оптимальных траекториях реактивного аппарата в центральном поле / В. И. Гурман // Космические исследования.— 1965. -Т. 3. Вып. 3. — С. 368-373.

28. Гурман, В. И. Об оптимальных переходах между компланарными-эллиптическими орбитами в центральном поле / В. И. Гурман // Космические исследования. — 1966. — Т. 4. Вып. 1. — С. 26-39.

29. Дубошин, Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г. Н. Ду-бошин.- М.: Наука, 1968.- 799 с.

30. Ивашкин, В. В. Оптимизация двухимпульсного маневра встречи двух аппаратов на круговой орбите при наличии ограничений / В. В. Ивашкин, Г. Г. Райкунов // Космические исследования.— 1991. — Т. 29. Вып. 3.— С. 352-366.

31. Ивашкин, В. В. Анализ оптимальности двухимпульсных траекторий встречи двух аппаратов на круговой орбите / В. В. Ивашкин, Г. Г. Райкунов // Космические исследования. — 1993.— Т. 31. Вып. 3.— С. 43-56.

32. Ильин, В. А. Механика космического полета. Проблемы оптимизации /В: А. Ильин, Г. Е. Кузмак. — М.: Наука, 1976.— 744 с.

33. Ишков, С. А. Оптимальные программы управления в задаче межорбитального перелета с непрерывной тягой / С. А. Ишков,. В^ В. Салмин // Космические исследования. — 1984.— Т. 22. Вып. 1. — С. 702-711.

34. Ишков, С. А. Оптимизация траекторий и параметров межорбитальных транспортных аппаратов с двигателями малой тяги / С. А. Ишков // Космические исследования. — 1989.— Т. 27. Вып. 1'.— С. 42-53.

35. Ишков, С. А. Расчет оптимальных межорбитальных перелетов с малой трансверсальной тягой на эллиптическую орбиту / С. А. Ишков // Космические исследования. — 1997. — Т. 35. Вып.2.— С. 178-188.

36. Ишков, С. А. Формирование и коррекция высокоэллиптической орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги / С. А. Ишков, В. А. Романенко // Космические исследования. — 1997.— Т. 35. Вып. 3.— С. 287-296.

37. Кирпичников, С. Н. Минимальные по времени импульсные перелеты между круговыми компланарными орбитами / С. Н. Кирпичников, А. Н. Бобкова, Ю. В. Оськина // Космические исследования.— 1991. -Т. 29. Вып. 3.- С. 367-374.

38. Кирпичников, С. Н. Оптимальные импульсные межорбитальные перелеты с аэродинамическими маневрами / С. Н. Кирпичников, А. Н. Бобкова // Космические исследования. — 1992. — Т. 30. Вып. 6. — С. 800-809.

39. Лебедев, Д. В. К управлению трехосной ориентацией твердого тела при наличии ограничений на параметры управления / Д. В. Лебедев // Прикладная математика и механика.— 1981.— Т. 45. Вып. 3.— С. 545-551.

40. Лебедев, В. Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой / В. H. Лебедев. М.: ВЦ АН СССР, 1968.- 108 с.

41. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. — М.: Физматгиз, 1961.- 824 с.

42. Маланин, В. В. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела / В. В. Маланин, Н. А. Стрелкова. — Москва-Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 204 с.

43. Моисеев, Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем / № Н. Моисеев. — М.: Наука, 1971. — 424 с.

44. Молоденков, А. В. Аналитическое решение импульсной задачи оптимального разворота космического аппарата / А. В. Молоденков, Я. Г. Сапун-ков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2000. Вып. 2. — С. 173-174.

45. Охорзин, В. А. Оптимальный по быстродействию перевод ИСЗ на околокруговой орбите с трансверсальной малой тягой / В. А. Охорзин // Космические исследования. — 1985. — Т. 23. Вып. 6. — С. 933-937.

46. Пак, Ч. В. Использование ограниченных по величине импульсов для коррекции траектории / 4. В. Пак // Космические исследования. — 1998. -Т. 36. Вып. 2.- С. 177-182.

47. Панков, А. А. Исследование кватернионных законов кинематического управления ориентацией-твердого тела по угловой скорости / А. А. Панков,. Ю. Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела.— 1995.— №6.-С. 3-13.

48. Петров, Б. Н. Аналитическое решение задачи управления пространственным, поворотным» маневром / Б. Н. Петров, В.А. Боднер, К. Б. Алексеев // Докл. АН СССР. — 1970.- Т. 192. № 6. - С. 1235-1238.

49. Петухов, В. Г. Оптимизация многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами / В'. Г. Петухов // Космические исследования. 2004. - Т. 42. - Вып. 3. — С. 260-279:

50. Петухов, В. Г. Оптимизация межпланетных траекторий космических аппаратов с идеально-регулируемым двигателем методом продолжения /B. Г. Петухов // Космические исследования; — 2008.— Т. 46. Вып. 3.—C. 224-237.

51. Пимкина, Т. В. Краевая задача оптимального управления орбитальным движением космического аппарата пониженной размерности / Т. В. Пимкина, Ю. Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2003. -Вып. 5.-С. 168-171.

52. Плотников, П. К. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела / П. К. Плотников, А. Н. Сергеев, Ю. Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1991. — № 5. — С. 9-18.

53. Понтрягин, JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1974. — 331 с.

54. Математическая теория оптимальных процессов / JI. С. Понтрягин,B. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1983. — 393 с.

55. Рыжов, С. Ю. К проблеме решения задач оптимизации многовитковых траекторий межорбитальных перелетов КА / С. Ю. Рыжов, И. С. Григорьев // Космические исследования.— 2006.— Т. 44. Вып. 3.—C. 272-280.

56. Салмин, В. В. Приближенный расчет маневров формирования орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги / В. В. Салмин, В. О. Соколов // Космические исследования. — 1991. — Т. 29: Вып. 6.— С. 872-888.

57. Сапунков, Я. Г. Применение ks-переменных к задаче оптимального управления космическим аппаратом / Я. Г. Сапунков // Космические исследования. 1996. - Т. 34. - Вып. 4. - С. 428-433.

58. Сапунков, Я. Г. Кватернионные элементы орбиты в задаче оптимального управление для встречи двух космических аппаратов / Я. Г. Сапунков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2002. Вып. 4.— С. 210-213.

59. Сапунков, Я. Г. Оптимальные траектории и управления в задаче о встрече космических аппаратов / Я. Г. Сапунков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2003. - Вып. 5. - С. 171-174.

60. Сапунков, Я. Г. Оптимальное управление движением космического аппарата в нецентральном поле гравитации Земли / Я. Г. Сапунков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2005. Вып. 7. — С. 192-195.

61. Сергеев, Д. А. Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата / Д. А. Сергеев, Ю. Н: Челноков // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. ИПТМУ РАН; — 2002. — С. 64-75.

62. Сиротин, А. Н: Оптимальноеуправление переориентацией симметричного твердого тела из положения покоя-в положение покоя / А. Н; Сиротин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела: — 1989. — № 1. — С. 36-43.

63. Сиротин, А. Н. О задаче: оптимального по быстродействию управления переориентацией сферически-симметричного вращающегося твердого тела / А; Н. Сиротин // Изв. РАН: Механика твердого тела. — 1995.— №2.-С. 9-16.

64. Сиротин, А. Н. Об оптимальной* по быстродействию пространственной переориентации в положение покоя: вращающегося сферически-симметричного тела: / А. II. Сиротин // Изв; РАН. Механика твердого тела. — 1997.— № 3. — С. 18-27.

65. Соколов, А. В; Многовитковые маневры с малой тягой в окрестности геостационарной орбиты / А. В. Соколов; Ю. П. Улыбышев // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1999. — № 2.— С. 95-100.

66. Суханов, А. А. Оптимизация перелетов» с малой тягой / А. А. Суханов // Космические исследования. — 1999. — Т. 37. Вып. 2. — С. 182-191.

67. Суханов, А: А. Оптимизация перелетов при ограничениях на направление тяги. 1-й / А. А. Суханов, А. Ф. Б. де А. Прадо // Космические исследования.— 2007.— Т. 45. Вып. 5.- С. 443-449; 2008. - Т. 46. -Вып. 1. -С. 51-60.

68. Тычина, П. А. Квазиоптимальный перелет космического аппарата с солнечным парусом между гелиоцентрическими круговыми орбитами / П. А. Тычина, В. Егоров, В. В. Сазонов // Космические исследования.— 1996.- Т. 34. Вып. 4. - С. 420-427.

69. Улыбышев, Ю. П. Оптимизация многорежимных траекторий сближения с ограничениями / Ю. П. Улыбышев // Космические исследования.— 2008.- Т. 46. Вып. 2.- С. 135-147.

70. Челноков, Ю. Н. Об определении ориентации, объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости / Ю. Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1977. — № 3. — С. 11-20.

71. Челноков, Ю. Н. Применение кватернионов,в теории орбитального движения спутника, i, ii / Ю. H. Челноков // Космические исследования. — 1992.- Т. 30. Вып. в.-С. 759-770; 1993. - Т. 31. - Вып. 3. С. 3-15.

72. Челноков, Ю. Н. Управление ориентацией космического аппарата, использующее кватернионы / Ю. Н. Челноков // Космические- исследования. 1994. - Т. 32. - Вып. 3. — С. 2Î-32.

73. Челноков, Ю. Н. Кватернионное построение оптимальных управлений и траекторий движения космического^ аппарата, в ньютоновском гравитационном поле / Ю. Н. Челноков, В. А. Юрко // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1996. — № 6. — С. 3-13.

74. Челноков, Ю. Н. Построение оптимальных управлений и траекторий космического аппарата на основе регулярных кватернионных уравнений задачи двух тел / Ю. Н. Челноков, Я. Г. Сапунков // Космические исследования.— 1996.- Т. 34. Вып. 2.- С. 150-158.

75. Челноков, Ю. Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата, использующее кватернионное описание пространственной ориентации орбиты / Ю. Н. Челноков // Космические исследования. — 1997. Т. 35. - Вып. 5. — С. 534-542.

76. Челноков, Ю. Н. Оптимальное управление движением космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле: применение кватернионовдля описания ориентации орбиты / Ю. Н. Челноков // Космические исследования.- 1999. Т. 37. - Вып. 4.— С. 433-442.

77. Челноков, Ю. Н. Об одной концепции^ теории устойчивости и управления движением твердого тела, основывающейся на теоремах Эйлера-Даламбера и Шаля / Ю. Н. Челноков // Гироскопия и навигация. — 2004. —№3(46).-С. 107-118.

78. Челноков, Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения / Ю. Н. Челноков. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2006.-512 с.

79. Челноков, Ю. Н. Оптимальная переориентация-орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты / Ю. Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2006. -Вып. 8.-С. 231-234.

80. Челноков, Ю. Н. Аналитическое решение задачи переориентации орбиты космического аппарата за фиксированное время / Ю. Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — 2007. Вып. 9.— С. 157-161.

81. Челноков, Ю. Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов / Ю. Н. Челноков // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 5. — С. 18-44.

82. Черноусько, Ф. Л. Управление колебаниями / Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Аку-ленко, Б. Н. Соколов. — М.: Наука, 1980. — 380 с.

83. Coverstone-Carrol, V. Optimal multi-objective low-thrust spacecraft trajectories / V. Coverstone-Carrol, J. W. Hartmann, W. J. Mason 11 Computer methods in applied mechanics and engineering. — 2000.— Vol. 186 № 2-4. - P. 387-402.

84. Dachwald,B. Optimization of very-low-thrust trajectories using evolutionary neurocontrol / B. Dachwald // Acta Astronáutica. — 2005. — Vol. 57. № 2-8. -P. 175-185.

85. Deprit, A. Ideal frames for perturbed keplerian motions / A. Deprit // Celestial Mechanics. 1976. - Vol. 13. - № 2. - P. 253-2621

86. Fazelzadeh, S. A. Minimum-time earth-moon and moon-earth orbital maneuevers using time-domain finite element method / S. A. Fazelzadeh, G. A. Varzandian // Acta Astronáutica.— 2010: — Vol; 66. № 3-4. -P. 528-538.

87. Gao, Y. Direct optimization of low-thrust many-revolution earth-orbit transvers / Y. Gao // Chinese Journal of Aeronautics. — 2009. — Vol. 22. -№ 4. P. 426-433.

88. Guelman, M. Asymptotic optimization of very long, low thrust propelled inter-orbital maneuvers / M. Guelman, A. Kogan, A. Gipsman // Acta Astronáutica. 2000. - Vol. 47. - № 2-9. - P. 489-502.

89. Kamel, O. M. On the optimization of the generalized coplanar hohmann impulsive transfer adopting energy change concept / O. M. Kamel,A. S. Solimán // Acta Astronáutica. 2005. - Vol. 56. - № 4. - P. 431-438.

90. Kechichan, J. Optimal low-thrust transfer using variable bounded thrust / J. Kechichan // Acta Astronáutica. 1995. — Vol. 36. - № 7. - P. 357-365.

91. Kechichan, J. Analysis of optimal and near-optimal continious-thrust transfer problems in general circular orbit / J. Kechichan // Acta Astronáutica.— 2009. Vol. 65. - № 5-6. - P. 879-891.

92. Minimum time transfers of a low-thrust rocket in strong gravity fields /B. M. Kiforenko, Z. V. Pasechnik, S. B. Kyrychenko, I. Yu. Vasiliev // Acta Astronáutica. — 2003.- Vol. 52. № 8. - P. 601-611.

93. Kiforenko, B. M. Quasioptimal interorbit transfers of a low-thrust spacecraft in strong central newtonian gravity field / B. M. Kiforenko, I. Yu. Vasil'ev // Acta Astronáutica. 2009. - Vol. 65. - № 1-2. - P. 82-94.

94. Mabsout, B. E. The optimization of the orbital hohmann transfer / B. E. Mabsout, O. M. Kamel, A. S. Solimán // Acta Astronáutica. — 2009.— Vol. 65. № 7-8. - P. 1094-1097.

95. Miele, A. Optimal transfers from an earth orbit to a mars orbit / A. Miele, T. Wang // Acta Astronáutica. 1999. - Vol. 45. - № 3. - P. 119-133.

96. Miele, A. Near-optimal guidance scheme for a mars trajectory / A. Miele, T. Wang // Acta Astronáutica. — 2002. Vol. 51. - № 1-9. - P. 351-378.