Синтез стабилизирующих управлений и анализ устойчивости в задаче путевой стабилизации колесных роботов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Пестерев, Александр Витальевич

• Пестерев, Александр Витальевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Пестерев, Александр Витальевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Постановка задачи путевой стабилизации. Модели колесных роботов

1.1 Задачи управления движением колесного робота

1.2 Допустимые целевые пути в задаче путевой стабилизации

1.3 Модели неголономных колесных роботов

1.3.1 Кинематическая модель плоского движения колесного робота

1.3.2 Учет динамики механизма привода колес

1.3.3 Колесный робот с прицепом

1.3.4 Уравнения в путевых координатах

1.4 Движение по неровной поверхности

1.5 Математическая постановка задачи путевой стабилизации

2 Синтез линеаризующих законов управления в задаче путевой стабилизации

2.1 Каноническое представление задачи путевой стабилизации

2.2 Синтез стабилизирующего управления для канонической системы

2.3 Приведение к каноническому виду

2.3.1 Случай стационарной системы

2.3.2 Случай нестационарной системы

2.4 Синтез стабилизирующих законов управления для некоторых моделей колесных роботов

2.4.1 Кинематическая модель колесного робота

2.4.2 Модель автомобилеподобного робота

2.4.3 Автомобилеподобный робот с прицепом

2.5 Синтез стабилизирующих законов управления для колесных роботов, движущихся по неровной поверхности

2.5.1 Кинематическая модель

2.5.2 Автомобилеподобный робот

2.5.3 Движение по наклонной плоскости

2.5.4 Численный пример

2.6 Стабилизация движения колесного робота с ограниченным ресурсом управления вдоль прямого целевого пути

2.6.1 Глобальная стабилизируемость кинематической модели колесного робота с ограниченным управлением

2.6.2 Об оптимальном выборе коэффициентов обратной связи101

3 Анализ устойчивости и построение оценок областей притяжения при ограниченном ресурсе управления

3.1 Построение оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы

3.1.1 Сведение задачи оценки области притяжения к исследованию устойчивости нулевого решения канонической системы

3.1.2 Система сравнения для канонической системы

3.1.3 Инвариантные эллипсоиды

3.1.4 Учет фазовых ограничений

3.1.5 Сектор устойчивости

3.1.6 Проверка секторного условия

3.1.7 Оптимизационные постановки задач построения инвариантных оценок

3.2 Аналитическое решение системы линейных матричных неравенств в двумерном случае

3.3 Оценка областей притяжения для кинематической модели

колесного робота

3.3.1 Сведёние задачи нахождения оптимального инвариантного эллипсоида к задаче условной оптимизации функции двух переменных

3.3.2 Оценка области притяжения для колесного робота с обратной связью (3.64)

3.3.3 Оценка области притяжения для колесного робота с обратной связью (3.65)

3.3.4 Сравнение двух законов управления

3.4 Оценка области притяжения для автомобилеподобного робота

3.4.1 Инвариантная область системы сравнения. Сектор устойчивости

3.4.2 Аппроксимация области определения канонической системы эллиптическим цилиндром

3.4.3 Проверка секторного условия

3.4.4 Теорема об инвариантных эллипсоидах

3.4.5 Постановка задачи построения оптимального инвариантного эллипсоида

3.4.6 Алгоритм построения квази-оптимального инвариантного эллипсоида

3.4.7 Численный пример

4 Построение допустимых целевых путей для колесных роботов

4.1 Задача планирования пути для колесных роботов

4.2 Аппроксимация целевого пути кубическими В-сплайнами

4.3 Фэрипг

4.3.1 Критерий качества

4.3.2 Сведение к задаче квадратичного программирования

4.3.3 Численные примеры

4.4 Определение отклонения от В-сплайновой кривой

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез стабилизирующих управлений и анализ устойчивости в задаче путевой стабилизации колесных роботов»

Введение

Актуальность темы. Колесными роботами (далее, КР, или просто роботами) будем называть автоматические транспортные средства с установленными на них навигационным и инерциальным оборудованием. Колесные роботы могут использоваться для выполнения ряда нетривиальных операций, таких как обход препятствий, проникновение в труднодоступные зоны, прецизионное движение по сложным криволинейным траекториям [4]. Мобильность и автономность таких роботов делает привлекательным их использование в самых разнообразных сферах человеческой деятельности, включая военное дело, сельское хозяйство, строительство, домашнее хозяйство и т.п. Многообразие сфер применения колесных роботов и решаемых ими задач определяет многообразие задач управления движением КР. Ряд достаточно общих методов решения задач управления механическими системами, позволяющих эффективно, часто в явном виде, строить управления при наличии различных ограничений, наложенных на управляющие воздействия и фазовые координаты, изложен в монографии [56] (Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А.).

Сложность задач, возникающих в области управления движением колесных роботов, обусловлена, в частности, тем, что КР представляет из себя иеголономную механическую систему. Систематическое изложение механики неголоиомных систем общего вида дано в монографии Неймарка Ю.И. и Фуфаева В.А. [26]. Введение в теорию управления неголономны-ми системами можно найти в книге [95] (Murray R.M., Li Z., Sastry S.). Достаточно полный обзор опубликованной к середине 1990-х литературы по управлению неголономными системами представлен в статье [80] (Kolmanovsky I., McClamroch N.H.). С точки зрения теории управления, принципиальным отличием неголономных систем от голопомпых является то, что полная управляемость неголономных систем достигается с помощью меньшего числа управлений, т.е., число приводов в робототехниче-

ской системе может быть меньше числа степеней свободы этой системы. С другой стороны, задачи планирования движения для иеголоиомных систем значительно труднее аналогичных задач для голономных систем [80,82,95].

Последние тридцать лет активно развивается теория управления движением неголономных колесных систем. Интерес к этой области вызван как важностью задач управления движением с точки зрения практики, так и новизной возникающих здесь математических задач, требующих привлечения новых методов исследования, не применявшихся ранее в классической теории управления. Последние включают, в том числе, методы дифференциальной геометрии [44,59] и геометрической теории управления [1,64]. Множество разнообразных моделей колесных систем и задач управления для них рассмотрено в монографиях [4,24,84,85,93] (Бурдаков С.Ф., Матю-хин В.И., Мирошник И.В., Lamiraux F., Laumond J.P., LaValle S.M., Morin P., Samson, C., Sekhavat S.). Детальное обсуждение кинематики колесных роботов можно найти в статье [57] (Alexander J.С., Maddocks J.H.). Программное управление колесными роботами обсуждается, например, в работах [81,92,109,122] (Fliess M., Lafferriere G., Lévine, J., Liu, Martin P., Monaco S., Normand-Cyrot D., Rouchon P., Sussmann H.J.). Детальный обзор работ по управлению одноколесным роботом содержится в работе [67] (Canudas de Wit С.). Управление с помощью обратной связи более сложных моделей KP (автомобилеподобный робот и робот с прицепами) обсуждается в работах [60,63,68,88,89,112,119] (Bloch A.M., Brockett R.W., Canudas de Wit, De Luca A., McClamroch, N.H., Oriolo G., Reyhanoglu M., Samson C., S0rdalen O.J.).

Одной из важных задач управления движением, возникающей во многих приложениях, является задача путевой стабилизации, под которой понимается выведение транспортного средства на заданный путь, проложенный по ровной поверхности или пересеченному рельефу, и стабилизация его движения вдоль этого пути. Хотя математическая постановка задачи путевой стабилизации известна достаточно давно, в последние два десятилетия наблюдается значительный рост интереса к ней, связанный с появлением и внедрением в повседневную практику спутниковой навигации, которая позволяет определять позицию и ориентацию транспортного средства с высо-

кой (сантиметровой, а иногда и миллиметровой) точностью. Необходимость в решении задач управления движением с такой высокой точностью возникает во многих приложениях. Например, в сельском хозяйстве возник даже специальный термин точное земледелие (precise agriculture), обозначающий совокупность приложений, требующих высокой точности выполнения операций движущимися транспортными средствами (например, задачи, связанные с посадкой растений, внесением удобрений па засеянные участки и т.п.) [69,123,124] (Berducat M., Cariou С., Cordesses L., Lenain R., Martinet P., Thuilot В.). Из вышесказанного следует, что существует реальный запрос на разработку высокоточных методов управления движением колесных роботов, позволяющих решать задачи прецизионного движения вдоль заданной кривой.

Один из часто и успешно применяемых подходов к решению различных задач стабилизации движения, включая задачу путевой стабилизации, основан на точной линеаризации уравнений движения с помощью подходящим образом выбранной обратной связи (feedback linearization) [58,78,88-91,111,113,115] (d'Andrea-Novel D., Di Benedetto M.D., Itoh T., Khalil H.K, De Luca A., Micaelli A., Nakamichi M., Oriolo G., Samson C., Sampei M., Sastry S., Tamura Т.). В рамках этого подхода ищется такая нелинейная обратная связь, замыкание которой делает систему линейной. Применение этого подхода к конкретной системе предполагает приведение уравнений движения к некоторому специальному виду, допускающему такую линеаризацию, так что задача сводится, по существу, к нахождению подходящей замены переменных. В ряде работ искомое представление для кинематической и автомобилеподобной моделей КР, а также для модели робота с прицепами, было выведено из цепной формы уравнений движения [88,113,123,124,127] (Berducat M., Cariou С., Cordesses L., Lenain R., De Luca A., Martinet P., Oriolo G., Samson С., Thuilot В., Walsh G.С., Bushnell L.G.). Цепное представление [94,96] (Murray R.M., Sastry S.S.), являющееся одним из наиболее важных канонических представлений, используемых в области управления колесными роботами, особенно полезно в случае КР с двумя управлениями. Применение цепного преобразования к системе с одним входом (в том числе, к задаче путевой стабилизации) дает неавто-

номную систему, которая легко приводится к линейному виду [88,113,124].

Однако, представление задачи путевой стабилизации, полученное с помощью цепного преобразования, является далеко не единственным представлением, допускающим точную линеаризацию с помощью обратной связи, к тому же приведение уравнений движения к цепному виду является в общем случае нетривиальной задачей. Хорошо известно, что уравнения движения подавляющего большинства моделей KP (включая модели, рассматриваемые в настоящей работе) могут быть представлены в виде аффинной системы [85,88] (системы, нелинейной по переменным состояния и линейной по управлению) с одним или двумя входами. В задаче путевой стабилизации управление скалярно (система управляется поворотом рулевых колес), так что соответствующая аффинная система имеет один вход. Специальными формами аффинных систем, допускающими линеаризацию с помощью обратной связи, являются каноническое и квазиканоническое представления [17-20, 52, 53, 62, 73, 75, 120] (Жевнин Ф.Ф., Клинковский М.Г., Крищенко А.П., Ткачев С.В., Brockett R.W., Hunt L.R., Jacubczyk В., Meyer G., Respondek W., Su R.). Аналогом квазиканонического представления для стационарных аффинных систем с заданным выходом является нормальная форма [65,66,74] (Byrnes С., Isidori А.). Так как выход в задачах путевой стабилизации фиксирован (им обычно служит отклонение KP от целевого пути), нормальная форма аффинной системы представляется наиболее естественным кандидатом на роль искомого представления. Однако известные из литературы методы приведения к квазиканоническому виду или нормальной форме требуют (кратного) дифференцирования дрейфового поля системы по времени и, таким образом, неприменимы в случае, когда скорость робота является априори неизвестной функцией времени и ее производные не могут быть измерены. Поэтому актуальна проблема разработки методов приведения таких аффинных систем к нормальному (каноническому) виду.

Так как ресурс управления реальных колесных систем всегда ограничен, система, замкнутая управлением, синтезированным с помощью методов точной линеаризации, не может быть линейной во всей области определения и, следовательно, стабилизируемость системы при произвольных на-

чальных условиях не гарантируется. Поэтому актуальна задача построения оценки области притяжения целевого пути, которая в случае существования канонического представления сводится к построению оценки области устойчивости нулевого решения нелинейной системы специального вида. Для решения последней задачи Рапопорт Л.Б. [48,49] предложил использовать методы теории абсолютной устойчивости [6,46,54] (Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Пятницкий Е.С., Формальский A.M., Якубович В.А.). Используемый в работе подход основан на введении системы сравнения для рассматриваемой нелинейной системы. В широком смысле, системой (или моделью) сравнения называется более простая по сравнению с исходной система, процессы в которой мажорируют в некотором смысле процессы в исходной сложной системе и из устойчивости которой вытекает устойчивость исходной системы [5,21,22] (Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н., Козлов Р.И., Матросов В.М., Матросова Н.И., Теренгулов А.Э.). В рассматриваемом в работе частном случае системой сравнения служит линейная нестационарная система, правая часть которой имеет ту же структуру, что и правая часть исходной нелинейной системы, и удовлетворяет секторному ограничению, а искомая область ищется в виде инвариантного эллипсоида [45,55] (Поляк Б.Т., Черноусько Ф.Л., Щербаков П.С.) системы сравнения.

Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ и методов стабилизации движения неголономных колесных систем вдоль заданного целевого пути и построения областей притяжения для систем с ограниченным ресурсом управления и фазовыми ограничениями. Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:

- разработка метода приведения уравнений движения колесных роботов к каноническому виду;

- применение разработанного метода приведения уравнений движения колесных роботов к каноническому виду для синтеза стабилизирующих управлений для кинематической и автомобилеподобной моделей колесных роботов;

- разработка методов решения задачи путевой стабилизации при движении по неровной поверхности;

- исследование глобальной стабилизируемости кинематической моде-

ли колесного робота с ограниченным ресурсом управления вдоль прямого целевого пути;

- разработка метода построения оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы при ограниченном ресурсе управления;

- применение разработанного метода построения оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы для нахождения аппроксимаций областей притяжения целевого пути для автомобилеподобно-го робота с ограниченным ресурсом управления и фазовыми ограничениями;

- разработка метода аналитического решения системы двух линейных матричных неравенств второго порядка;

- применение метода аналитического решения системы линейных матричных неравенств для нахождения "наилучшей" эллипсоидальной аппроксимации области притяжения целевого пути для кинематической модели колесного робота с ограниченным ресурсом управления;

- разработка метода построения допустимого целевого пути для ав-томобилеподобного робота с помощью кубических В-сплайнов.

Методы исследования. В диссертации применяются методы дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, математической и геометрической теорий управления, теории устойчивости движения, теории оптимизации, линейной алгебры, линейных матричных неравенств и теории неголономных механических систем.

Научная новизна.

1. Введено не используемое ранее в теории управления движением колесных систем понятие канонического представления задачи путевой стабилизации как представления, легко приводимого к линейному виду с помощью подходящим образом выбранной обратной связи, позволившее разработать единый подход к решению задач путевой стабилизации для широкого класса робототехнических колесных систем, моделями которых являются нестационарные аффинные системы со скалярными входом и выходом.

2. Специфической особенностью рассматриваемых аффинных систем

является то, что дрейфовое поле системы содержит недифференцируемую нестационарность (связанную, в данном случае, с тем, что скорость движения робота меняется со временем и априори не известна). Для таких систем не применимы стандартные методы теории нормальных форм. Показано, что каноническое представление является нормальной формой некоторой промежуточной аффинной системы, полученной из исходной с помощью замены независимой переменной. Установлен общий вид замены независимой переменной, позволяющий избавиться от указанной нестационарности в дрейфовом поле, для уравнений движения, записанных в путевых координатах.

3. Найдены две замены независимой переменной, приводящие к двум различным каноническим представлениям, и с их помощью синтезированы два новых стабилизирующих закона управления для кинематической модели и два новых закона управления для автомобилеподобного робота. Показано, что новые законы управления имеют несомненные преимущества по сравнению с другими, известными из литературы, законами управления, полученными с помощью методов точной линеаризации.

4. Синтезированы стабилизирующие законы управления для кинематической и автомобилеподобной моделей колесных роботов, движущихся по неровной поверхности.

5. Разработан основанный на применении результатов теории абсолютной устойчивости подход к построению оценок областей устойчивости нулевого решения канонической системы при ограниченном ресурсе управления, позволяющий находить эллипсоидальные аппроксимации областей притяжения целевых путей для колесных роботов общего вида. Нахождение указанных аппроксимаций сведено к решению систем линейных матричных неравенств и проверке скалярного условия.

6. Для линейных матричных неравенств второго порядка найдено аналитическое решение, что позволило поставить задачу построения эллипсоидальной аппроксимации области притяжения наибольшей площади для кинематической модели колесного робота. Решение указанной оптимизационной задачи сведено к стандартной задаче условной оптимизации функции двух переменных.

7. Разработан новый метод сглаживания кривизны В-сплайновой аппроксимации целевого пути для автомобилеподобного робота, построенной по зашумленным измерениям.

Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами, результатами численного моделирования и натурными экспериментами.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что предложенные подходы к решению задач синтеза стабилизирующих управлений для колесных роботов и нахождению оценок областей притяжения доведены до конструктивных методов. Стабилизирующие законы управления для кинематических и автомобилеподобных моделей колесных роботов, синтезированные в диссертации, могут быть использованы для управления движением реальных колесных роботов. Один из приведенных в диссертации законов управления, синтезированных для автомобилеподобного робота, был апробирован на колесном роботе, созданном в компании Джавад Джи Эн Эс Эс на базе легкового автомобиля "Нива-Шевроле". Результаты полевых испытаний продемонстрировали высокую эффективность стабилизации в условиях переменной скорости движения в диапазоне скоростей до 5м/с.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях семинаров "Теория автоматического управления" под рук. д.т.н. Поляка Б.Т. (Москва, ИПУ РАН, 2008 и 2011 гг.), "Нелинейные динамические системы и процессы управления" под рук. чл.-корр. РАН Крищенко А.П. (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, июнь и сентябрь 2013), "Проблемы нелинейной динамики и управления" под рук. акад. Емельянова C.B. (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013), "Теория управления и динамика систем" под рук. акад. Ф.Л. Черноусько (Москва, ИПМех РАН, 2013 г.), на международной конференции американского общества инженеров механиков ASME IDETC/CIE (Лас-Вегас, США, 2007, Сан-Диего, США, 2009), на международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008, 2010, 2012 гг.), на 6-й международной конференции EUROMECH ENQC2008 (Санкт-Петербург, 2008), на IX Крымской меж-

дународной математической школе "Метод функций Ляпунова" MFL-2008 (Алушта, Украина, 2008), на XXVI конференции памяти H.H. Острякова (Санкт-Петербург, 2008), на 4-й международной конференции по проблемам управления (Москва, 2009), на 18-м всемирном конгрессе IFAC (Милан, Италия, 2011), на 10-м международном симпозиуме IFAC по управлению роботами (Дубровник, Хорватия, 2012), на IV международной конференции по оптимизации и приложениям OPTIMA2013 (Петровац, Черногория, 2013).

Работа выполнена при поддержке комплексной Программы 22 Президиума РАН, государственной программы поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-1676.2008.1), программы ОЭММПУ № 15, межсекционной программы № 1 ОЭММПУ РАН "Научные основы робототехники и ме-хатроники".

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 научных статьях [11-14,28-31,33,34,38,39,41,42,50,51,98-103,106], в том числе в 12 статьях [13,14,28-31,33,34,39,41,42,51], опубликованных в журналах из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК, и 8 тезисах докладов [10,15,32,35-37,40,104].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых представлены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы, а также содержит 40 рисунков. Общий объём диссертации составляет 212 страниц. Библиография включает 128 наименований.

1. Постановка задачи путевой стабилизации. Модели

колесных роботов

1.1. Задачи управления движением колесного робота

Задачи управления движением колесных роботов можно разбить на следующие три класса в соответствии с различными целями управления [88]:

- Управление движением из одной точки на плоскости в другую (стабилизация точки): Требуется перевести робота из заданной начальной конфигурации в заданную конечную конфигурацию, где под конфигурацией понимается позиция и ориентация робота (а также, возможно, угол поворота колес).

- Движение вдоль заданного пути (задача путевой стабилизации): Требуется вывести робота из заданного начального положения на заданный целевой путь (кривая как геометрическое место точек на плоскости или поверхности) и стабилизировать его движение вдоль этого пути.

- Движения вдоль заданной траектории (задача стабилизации траектории): Требуется вывести робота из заданного начального положения на заданную траекторию (кривая на плоскости, параметризованная временем) и стабилизировать его движение вдоль этой траектории.

Во второй и третьей задачах предполагается наличие математического описания целевого пути, заданного обычно в виде параметризованной кривой. Отличие третьей задачи от второй заключается в том, что робот должен не только следовать заданной кривой, но и находиться в каждой точке кривой в определенный момент времени. Другими словами, фиксирован также скоростной режим прохождения заданного пути.

С точки зрения управления две последние задачи отличаются количеством входов. В обоих случаях, для того, чтобы изменять направление движения, необходимо управлять углом поворота колес. Так как в послед-

ней задаче скоростной режим следования по целевой кривой фиксирован, необходимо также управление линейной скоростью робота. В задаче же путевой стабилизации достаточно одного управления, при этом скорость полагается произвольно заданной функцией времени (например, постоянной) и/или переменных состояния.

Рис. 1.1. Колесный робот, траектория его движения (пунктирная линия) и целевой путь (сплошная линия).

В настоящей работе рассматривается только вторая задача. Термины "целевой путь" и "целевая кривая" всюду далее используются как синонимы. Под выведением робота на заданную целевую кривую и стабилизацией его движения вдоль этой кривой понимается выведение на кривую и стабилизация движения вдоль кривой некоторой фиксированной на платформе КР точки С (так называемой целевой точки). Говоря о траектории КР, мы имеем в виду траекторию, описываемую этой точкой. В качестве целевой

точки колесного робота рассматривается точка, лежащая на середине оси, соединяющей задние колеса. В случае более общей колесной системы (например, колесный робот с прицепами), требуется определить, что понимается под целевой точкой (в общем случае, это зависит от рассматриваемой прикладной задачи). Например, в случае системы с прицепами целевая точка обычно расположена в середине (задней) оси последнего прицепа.

Рисунок 1.1 иллюстрирует задачу путевой стабилизации. На рисунке показаны целевой путь (сплошная линия), начальное положение робота, из которого его требуется привести на кривую, и траектория, реализующая поставленную цель (пунктирная линия).

1.2. Допустимые целевые пути в задаче путевой стабилизации

В качестве целевых путей будут рассматриваться плоские параметрические кривые1, т.е. кривые, заданные парой функций (Х(з), У^)), где и У (в) - х- и у-координаты текущей точки на кривой в некоторой фиксированной системе координат, а« - параметр кривой. Параметрическое задание кривой основывается па представлении о кривой как о совокупности последовательных положений движущейся точки. Поэтому такое задание траектории является наиболее естественным в рассматриваемой задаче. Всюду далее подразумевается натуральная параметризация, т.е. й - длина дуги кривой (впрочем, большинство результатов легко распространяется и на случай других параметризаций). Без потери общности будем полагать, что параметр й может принимать любые действительные значения 5 6 Д1, так как в случае конечной кривой ее всегда можно продолжить в обоих направлениях.

Для того, чтобы обеспечить высокую точность стабилизации, целевой путь должен удовлетворять ограничениям, определяемым неголономными связями, наложенными на систему, т.е. быть допустимым для данного колесного робота. Под допустимым путем мы понимаем такой путь, по которому робот, будучи помещен на него и соответствующим образом ориенти-

'Как будет показано далее, в случае движения по (неилоской) поверхности, целевую траекторию также можно задавать в виде плоской кривой - проекции пространственной целевой кривой на горизонтальную плоскость.

рован, может следовать без отклонений. Другими словами, путь допустим, если найдутся начальные условия и управление, при которых траектория, описываемая целевой точкой, совпадает с целевой кривой. Очевидно, что различным моделям колесных роботов соответствуют вообще говоря различные допустимые кривые. Можно показать (см., например, [88]), что для того, чтобы целевой путь был допустимым для модели колесного робота, описанной системой дифференциальных уравнений порядка п, необходимо, чтобы функции Х(з), У (в) были п — 1 раз дифференцируемы всюду, за исключением конечного числа точек. Наличие в модели конструкционных ограничений, а также ограниченность ресурса управления, накладывают дополнительные ограничения на допустимый целевой путь. Например, для кинематической модели КР (п — 3) с ограниченным углом поворота рулевых колес, максимальная кривизна допустимого целевого пути должна быть ограничена, а для автомобилеподобпого робота (п = 4) с ограниченным ресурсом управления также должна быть ограничена производная кривизны.

Всюду далее будем полагать, что целевые пути допустимы в смысле данного выше неявного определения. Допускающие конструктивную проверку условия на допустимые целевые пути, связанные с конструкционными ограничениями и ограниченностью ресурса управления, будут определяться с помощью данного определения для каждой конкретной модели КР по мере необходимости.

1.3. Модели неголономных колесных роботов

1.3.1. Кинематическая модель плоского движения колесного робота

В простейшем случае колесный робот можно упрощенно представить в виде платформы (плоского твердого тела), установленной на четырех колесах. Два задних колеса являются ведущими, а два передних отвечают за поворот платформы. В общем случае управлениями в данной модели могут служить линейная скорость робота (изменяется нажатием на педаль газа) и угол поворота передних колес (изменяется поворотом рулевого колеса).

В задаче путевой стабилизации, однако, управление осуществляется только поворотом колес, при этом скорость может быть переменной (вообще говоря, неизвестной) функцией времени.

' Хо=(Хо,Уо) /Р

Рис. 1.2. Кинематическая схема колесного робота, движущегося без бокового проскальзывания колес.

Кинематическая модель такого робота изображена на рис. 1.2. Точка С платформы робота, которую требуется вывести на целевую траекторию, называется целевой точкой (в данном случае целевая точка находится в середине задней оси) и имеет координаты Хс = (хс, ус)Т, где символ т обозначает транспонирование (здесь и далее, все векторы считаются столбцами). Ориентация робота в случае плоского движения определяется одним углом в, образованным центральной осью платформы и осью х. Платформа робота в каждый момент времени имеет текущую угловую скорость вращения в. Обозначим через Хг,г = 1,... ,4, мгновенные положения концов осей колес. Условие движения каждого из четырех колес без проскальзывания означает, что векторы мгновенных скоростей Уи г = 1,..., 4, концов осей колес коллинеарны плоскостям колес и нормали к каждому из этих

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пестерев, Александр Витальевич, 2013 год

Литература

1. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968.

4. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001.

5. Васильев С.Н., Теренгулов, А.Э. Теоремы об устойчивости // Вектор-функции Ляпунова и их построение. Новосибирск: Наука, 1980. С. 269-280.

6. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.:Наука, 1978.

7. Гил Ф., Мюррей М., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

8. Гилимьянов Р.Ф. Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий в задачах планирования пути для колесных роботов // Проблемы управления. 2010. № 5. С. 148-156.

9. Гилимьянов Р.Ф. Покомпонентный метод сглаживания кривизны пространственного пути, построенного по зашумленным измерениям в задачах планирования движения роботов // Проблемы управления. 2011. № 6. С. 66-72.

10. Гилимьянов Р.Ф., Пестсрев A.B. Планирование траектории и управление движением колесного робота по данным, полученным с помощью GPS измерений // Труды XLIX науч. конф. МФТИ. Аэрофизика и космические исследования, М.: МФТИ, 2006. С. 221-222.

11. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B. Численный метод улучшения траекторий, построенных по данным GNSS измерений, в задаче управления колесным роботом //II школа-семинар молодых ученых "Управление большими системами". Сб. трудов конф., Воронеж: Научная книга,

2007. Т. 1. С. 14-20.

12. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B. Применение декомпозиции для сглаживания кривизны траекторий, построенных по зашумленным измерениям, в задачах большой размерности // Проблемы управления и информационные технологии (ПУИТ'08). Сб. трудов конф., Казань,

2008. С. 188-191.

13. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Сглаживание кривизны траекторий, построенных по зашумленным измерениям, в задачах планирования пути для колесных роботов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47. № 5. С. 148-156.

14. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47. № 6. С. 158-165.

15. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути, построенного по данным GNSS измерений // Тез. докл. 52-ой науч. конф. МФТИ, Долгопрудный, 2009.

16. Гилимьянов Р.Ф., Рапопорт Л.Б. Метод деформации пути в задачах планирования движения роботов при наличии препятствий // Проблемы управления. 2012. № 1. С. 70-76.

17. Жевнин Ф.Ф., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258. № 4. С. 805-809.

18. Крищенко А.П. Стабилизация программных движений нелинейных

систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 6. С. 108-112.

19. Крищенко А.П. Преобразования нелинейных систем и стабилизация программных движений // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1988. № 512. С. 69-87.

20. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 11. С. 1945-1952.

21. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

22. Матросов В.М., Козлов Р.И., Матросова Н.И. Теория устойчивости многокомпонентных нелинейных систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

23. Матюхин В.И. Управление колесной системой при учете бокового проскальзывания колес // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 4. С. 168-178.

24. Матюхин В.И. Управление механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

25. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами. СПб.: Наука, 2000.

26. Неймарк Ю.И., Фуфаев В.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

27. Пакшин П.В., Поздяев В.В. Критерий существования общей квадратичной функции Ляпунова множества линейных систем второго порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. № 4. С. 22-27.

28. Пестерев A.B. Алгоритм построения инвариантных эллипсоидов в задаче стабилизации движения колесного робота // Автоматика и телемеханика. 2009. № 9. С. 100-112.

29. Пестерев A.B. Построение наилучшей эллипсоидальной аппроксимации области притяжения в задаче стабилизации движения колесного робота // Автоматика и телемеханика. 2011. № 3. С. 51-68.

30. Пестерев A.B. Синтез стабилизирующего управления в задаче следования колесного робота вдоль заданной кривой // Автоматика и телемеханика. 2012. № 7. С. 25-39.

31. Пестерев A.B. Эллипсоидальные аппроксимации области притяжения в задаче путевой стабилизации колесного робота с ограниченным управлением // Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. Т. 51. № 4. С. 131-144.

32. Пестерев A.B. Синтез стабилизирующего управления для колесного робота с ограниченным ресурсом управления// Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XI Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого. М.: ИПУ РАН, 2012. С. 265-267.

33. Пестерев A.B. Синтез линеаризующего управления в задаче стабилизации движения автомобилеподобного робота вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. Т. 52. № 5. С. 153-165.

34. Пестерев A.B., Гилимьянов Р.Ф. Планирование пути для колесного робота // Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Тр. ИСА РАН. M.: URSS. 2006. Т. 25. С. 204-211.

35. Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Построение инвариантных эллипсоидов в задаче стабилизации движения колесного робота вдоль криволинейного пути // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. X Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого. М.: ИПУ РАН, 2008. С. 236-238.

36. Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Построение инвариантных эллипсоидов в задаче стабилизации движения колесного робота вдоль криволинейного пути // Метод функций Ляпунова и его приложения (MFL -

2008). Труды IX Крымской межд. мат. школы, Алушта, 2008. С. 132— 133.

37. Пестерев A.B., Рапопорт JI.B. Оценка инвариантного множества в задаче стабилизации движения колесного робота вдоль криволинейного пути // Тез. докл. XXVI Конференция памяти H.H. Острякова, Санкт-Петербург, 2008. С. 48-49.

38. Пестерев A.B., Рапопорт JI.B. Построение инвариантного эллипсоида максимального размера в задаче стабилизации движения колесного робота // Труды 4-ой Межд. конф. по проблемам управления, М.: ИПУ РАН, 2009. С. 471-478.

39. Пестерев A.B., Рапопорт JI.B. Построение инвариантных эллипсоидов в задаче стабилизации движения колесного робота вдоль криволинейного пути // Автоматика и телемеханика. 2009. № 2. С. 52-67.

40. Пестерев A.B., Рапопорт JI.B. Стабилизация движения колесного робота вдоль криволинейного пути в условиях неровного рельефа // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XI Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого. М.: ИПУ РАН, 2010. С. 318-319.

41. Пестерев A.B., Рапопорт JI.B. Стабилизация движения колесного робота вдоль криволинейной траектории, проложенной по неровной поверхности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. Т. 49. № 4. С. 135-144.

42. Пестерев A.B., Рапопорт JI.B. Каноническое представление задачи путевой стабилизации для колесных роботов // Автоматика и телемеханика. 2013. № 5. С. 80-101.

43. Поздяев В.В. Об аналитическом решении систем матричных неравенств, двойственных к системам неравенств Ляпунова // Управление большими системами / Сборник трудов. Выпуск 28: М.: ИПУ РАН, 2010. С. 58-74

44. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: УРСС, 2003.

45. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управляемость. М.: Наука, 2002.

46. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1970. № 1. С. 5-15.

47. Пятницкий Е.С., Трухан Н.Б., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по аналитической механике. 2-ое изд. М.: Наука, 1996.

48. Рапопорт Л.Б. Оценка области притяжения в задаче управления колесным роботом // Автоматика и телемеханика. 2006. № 9. С. 69-89.

49. Рапопорт Л.Б. Оценка области притяжения с заданным показателем экспоненциальной устойчивости в задаче управления колесным роботом // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71 С. 250-258.

50. Рапопорт Л.Б., Ткаченко, М.Я., Могильницкий В.Г., Хвальков A.A., Пестерев A.B. Интегрированная система спутниковой и инерциалыюй навигации: экспериментальные результаты и применение к управлению мобильными роботами // Труды XIII межд. конф. по интегрированным навигационным системам, Санкт-Петербург, 2006. С. 83-92.

51. Рапопорт Л.Б., Ткаченко, М.Я., Могильницкий В.Г., Хвальков A.A., Пестерев A.B. Интегрированная система спутниковой и инерциальной навигации: экспериментальные результаты и применение к управлению мобильными роботами // Гироскопия и навигация. 2007. Т. 56, № 1. С. 16-28.

52. Ткачев С.Б. Стабилизация нестационарных аффинных систем методом ортогональных выходов// Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № И. С. 1507-1517.

53. Ткачев С.Б. Стабилизация неминимально фазовых аффинных систем методом виртуальных выходов // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010.

54. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.:Наука, 1974.

55. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

56. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

57. Alexander J.С., Maddocks J.H. On the kinematics of wheeled mobile robots // Int. J. of Robotics Research. 1989. V. 8. No. 5. P. 15-27.

58. dAndrea-Novel D., Bastin G., Campion G. Dynamic feedback linearization of nonholonomic wheeled mobile robots // Proc. of the 1992 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Nice, 1992. P. 2527-2532.

59. Bellaiche A., Jean F., Risler J.J. Geometry of nonholonomic systems // Robot Motion Plannning and Control, Laumond J.-P., Ed. Berlin: Springer, 1998. P. 55-92.

60. Bloch A.M., Reyhanoglu M., McClamroch, N.H. Control and stabilization of nonholonomic dynamic systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1992. V. 37. No. 11. P. 1746-1757.

61. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

62. Brockett R.W. Feedback invariants for nonlinear systems // Preprints of the VII IFAC World Congress, Oxford: Pergamon Press, 1978. V. 2. P. 1115—1120.

63. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential geometric control theory, Brockett R.W., Milman R.S., Sussmann H.J., Eds. Boston: Birkhauser, 1983. P. 181—191.

64. Bullo F., Lewis A.D. Geometric control of mechanical systems. Berlin: Springer, 2004.

65. Byrnes C., Isidori A. A syrvey of recent developments in nonlinear control theory // Proc. of the I IFAC Symp. Robot Control, Barselona, 1985. P. 287-291.

66. Byrnes C., Isidori A. New results and examples in nonlinear feedback stabilization // Syst. Contr. Lett. 1989. V. 12. P. 437-442.

67. Canudas de Wit C., Khennouf H., Samson C., S0rdalen O.J. Nonlinear control design for mobile robots // Recent trends in mobile robots, Zheng Y.F., Ed. London: World Sci., 1993. P. 121-156.

68. Canudas de Wit C., S0rdalen O.J. Exponential stabilization of mobile robots with nonholonomic constraints // IEEE Trans, on Automatic Control. 1992. V. 37, No. 11. P. 1791-1797.

69. Cordesses L, Thuilot B., Martinet P., Cariou C. Curved path following on a farm tractor using on a single CP-DGPS // Proc. of the 6th Int. Symp. on Robot Control (SYROCO), Vienna, 2000. P. 13-18.

70. Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents // American J. Math. 1957. V. 79. P. 497-516.

71. Eck M., Hadenfeld J. Local energy fairing of B-spline curves // Computing Supplementum 10. Geometric Modeling. Springer, 1995. P. 129-147.

72. Farin G., Rein G., Sapidis N., et al. Fairing cubic B-spline curves // Comp. Aided Geom. Design. 1987. V. 4. P. 93-103.

73. Hunt L.R., Su R., Meyer G. Design for multiinput nonlinear systems // Diff. Geometric Control Theory. Boston: Birkhauser, 1983. P. 24-30.

74. Isidori A. Nonlinear control systems. London: Springer, 1995.

75. Jacubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bui. L'acad Pol. Sciense. 1980. V. 28., Nos. 9-10. P. 517-522.

76. Jazar R.N. Vehicle dynamics: Theory and applications. N.Y.: Springer, 2008.

77. Kallay M. Constrained optimization in surface design. Modeling in computer graphics. Berlin: Springer, 1993.

78. Khalil H.K. Nonlinear systems. 3-d edition. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2002.

79. Kjellander J.A. Smoothing of cubic parametric splines // Comp. Aided Design. 1983. V. 15. P. 175-179.

80. Kolmanovsky I., McClamroch N.H. Developments in nonholonomic control problems // IEEE Control Syst. 1995. No. 12. P. 20-36.

81. Lafferriere G., Sussmann H.J. Motion planning for controllable systems without drift // Proc. of the 1991 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Sacramento, 1991. P. 1148-1153.

82. Latombe J.-C. Robot motion planning. Boston: Kluwer, 1991.

83. Laumond J.P. Contollability of a multibody mobile robot // IEEE Trans, on Robotics and Automation. 1993. V. 9. P. 755-763.

84. Laumond J.P., Sekhavat S., Lamiraux F. Guidelines in nonholonomic motion planning for mobile robots // Robot motion planning and control / Laumond J.-P., Ed. Springer, 1998. P. 170-253.

85. LaValle S.M. Planning Algorithms. Cambridge University Press. 2006.

86. Lenain R., Thuilot B., Cariou C., et al. Adaptive control for car-like vehicles guidance relying on RTK GPS: Rejection of sliding effects in agricultural applications // Proc. of the IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation (ICRA'03), Taipei, 2003. P. 115-120.

87. Lenain R., Thuilot B., Cariou C., et al. A new nonlinear control for vehicle in sliding conditions: Application to automatic guidance of farm vehicles using RTK GPS // Proc. of the 35th Int. Symp. on Robotics (ISR'04), Paris, 2004. Paper 033.

88. De Luca A., Oriolo G., Samson C. Feedback control of a nonholonomic car-like robot // Robot motion planning and control / Laumond J.-P., Ed. Springer, 1998. P. 170-253.

89. De Luca A., Oriolo G., Kinematics and dynamics of multi-body systems. CISM. 1995.

90. De Luca A., Di Benedetto M.D. Control of nonholonomic systems via dynamic compensation // Kybernetica. 1993. V. 29. No. 6. P. 593-608.

91. Micaelli A., Samson C. Trajectory tracking for unicycle-type and two-steering-wheels mobile robots // Techn. Report, INRIA, 1993.

92. Monaco S., Normand-Cyrot D. An introduction to motion planning under multirate digital control // Proc. of the 31st IEEE Conf. on Decision and Control, Tucson, 1992. P. 1780-1785.

93. Morin P., Samson, C. Motion control of wheeled mobile robots // Springer handbook of robotics, Chap. 34 / Siciliano B., Khatib 0., Eds. Springer, 2008.

94. Murray R.M. Control of nonholonomic systems using chained forms // Fields Inst. Commun. 1993. V. 1. P. 219-245.

95. Murray R.M., Li Z., Sastry S.S. A mathematical introduction to robotic manipulation. CRC Press, 1994.

96. Murray R.M., Sastry S.S. Nonholonomic motion planning: Steering using sinusoids // IEEE Trans, on Automatic Control. 1993. V. 38. No. 5. P. 700-716.

97. Nagy B., Kelly A. Trajectory generation for car-like robots using cubic curvature polynomials // Proc. of the Conf. "Field and Service Robots 2001" (FSR 01), Helsinki, 2001.

98. Pesterev A.V., Rapoport L.B., Gilimyanov R.F. Global energy fairing of B-spline curves in path planning problems // Proc. of the ASME 2007 IDETC, Las Vegas, paper DETC2007-35306, 2007. V. 8. P. 1133-1139.

99. Pesterev A., Rapoport L., Gilimyanov R. Control of a wheeled robot following a curvilinear path // Proc. of the 6th EUROMECH Conf. ENOC2008, St. Petersburg, 2008. CD ROM.

100. Pesterev A., Rapoport L. Ellipsoidal approximations of invariant sets in stabilization problem for a wheeled robot following a curvilinear path // ASME Design Engineering Technical Conferences, San Diego, paper DETC2009-86199, 2009. V. 4. P. 1909-1918.

101. Pesterev A.V. Maximum-volume ellipsoidal approximation of attraction domain in stabilization problem for wheeled robot // Proc. of the 18th IFAC World Congress, Milan, 2011. P. 11869-11874.

102. Pesterev A. Stabilizing control for a wheeled robot following a curvilinear path // Proc. of the 10th Int. IFAC Symp. on Robot Control, Dubrovnik, Croatia, 2012. P. 643-648.

103. Pesterev A. Normal-form representation of the path following problem for wheeled robots // Proc. of the ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Technical Conferences (IDETC/CIE), Portland, USA, 2013. CD ROM, paper DETC2013-12134.

104. Pesterev A. The best ellipsoidal approximation of the attraction domain in the path following problem for a wheeled robot with constrained control resource// Abstracts of the IV International Conference on Optimization Methods and Applications (OPTIMA-2013), Petrovac, Montenegro, 2013. P. 132-133.

105. Pigounakis K.G., Kaklis P.D. Convexity preserving fairing // Comp. Aided Design. 1996. V. 28. P. 981-984.

106. Rapoport L., Gribkov M., Khvalkov A., Matrosov I., Pesterev A., Tkachenko M. Control of wheeled robots using GNSS and inertial navigation: control law synthesis and experimental results // Proc. of the 19th Int. Technical Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation. Fort Worth, USA, Sept. 2006. P. 2214-2221.

107. Reeds J.A., Shepp L.A. Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards // Pacific J. Math. 1990. V. 145. No. 2. P. 367-393.

108. Risler J.-J., Luca F. The maximum of the degree nonholonomy for the car with n trailers // Proc. of the 4th IFAC Symp. on Robot Control (SYROCO), Capri, 1994. P. 165-170.

109. Rouchon P., Fliess M., Levine, J., Martin P. Flatness and motion planning: The car with n trailers // Proc. of the 2nd European Control Conf., Groningen, 1993. P. 1518-1522.

110. Sampei M., Furuta K. On time scaling for nonlinear systems: application to linearization // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. Vol. 31. No. 5. P. 459-462.

111. Sampei M., Tamura T., Itoh T., Nakamichi M. Path tracking control of trailer-like mobile robot// Proc. IEEE/RSJ Workshop Intelligent Robots Systems, Osaka, 1991. P. 193-198.

112. Samson C. Velocity and torque feedback control of a nonholonomic cart // Advanced Robot Control / Canudas de Wit C., Ed. Boston: Birkhauser, 1991. P. 125-151.

113. Samson C. Control of chained systems. Application to path following and timevarying point-stabilization of mobile robots // IEEE Trans, on Automatic Control. 1995. V. 40. No. 1. P. 64-77.

114. Sapidis N., Farin G. Automatic fairing algorithm for B-spline curves // Comp. Aided Geom. Design. 1990. V. 22. P. 121-129.

115. Sastry S. Nonlinear Systems. Analysis, Stability, and Control. New York: Springer, 1999.

116. Shorten R.N., Narendra K.S. Necessary and sufRcent conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov function for a finite number of stable second order linear time-invariant systems // Int. J. of Adaptive Control and Signal Processing. 2002. V. 16. P. 709-728.

117. Shin D.H., Singh S. Path generation for robot vehicles using composite clothoid segments // Techn. Report CMU-RI-TR-90-31, Carnegie-Mellon University, 1990.

118. S0rdalen O.J. Conversion of the kinematics of a car with n trailers into a chained form // Proc. of the 1993 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Atlanta, 1993.

119. S0rdalen O.J., Canudas de Wit C. Exponential control law for a mobile robot: Extension to path following // IEEE Trans, on Robotics and Automation. 1993. V. 9. No. 6. P. 837-842.

120. Su R. On the linear equivalents of nonlinear systems // Syst. & Cont. Letters. 1982. V. 1. P. 48-52.

121. Su B., Liu D. Computational geometry. San Diego: Academic, 1989.

122. Sussmann Y.J., Liu W. Limits of highly oscillatory controls and the approximation of general paths by admissible trajectories // Tech. Rep. SYCON-91-02, Rutgers University, Feb. 1991.

123. Thuilot B., Cariou C., Martinet P., Berducat M. Automatic guidance of a farm tractor relying on a single CP-DGPS // Autonomous Robots. 2002. No. 13. P. 53-61.

124. Thuilot B., Lenain R., Martinet P., Cariou C. Accurate GPS-based guidance of agricultural vehicles operating on slippery grounds // Focus on robotics research / Liu J.X., Ed. Nova Science, 2005.

125. Tilbury D., Laumond J.-P., Murray R.M., Sastry S.S., Walsh G.C. Steering car-like systems with trailers using sinusoids // Proc. of the IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. 1992. V. 2. P. 1993-1998.

126. Tilbury D., Murray R.M., Sastry S.S. Trajectory generation for the N-trailer problem using Goursat normal form // IEEE Trans. Automatic Control. 1995. V. 40. No. 5. P. 802-819.

127. Walsh G.C., Bushnell L.G. Stabilization of multiple input chained form control system // System and Control Letters. 1995. V. 25. P. 227-234.

128. www.javad.com.