Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Белинская Юлия Сергеевна

• Белинская Юлия Сергеевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Белинская Юлия Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИЗВЕСТНЫЕ РАНЕЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1. Задачи терминального управления и стабилизации

1.2. Плоские системы с управлением

1.3. Терминальное управление плоскими системами с учетом ограничений

1.4. Декомпозиция систем с управлением по статической обратной связи

1.5. Геометрия систем с управлением

1.5.1. Распределение Картана

1.5.2. Пространства джетов

1.5.3. Симметрии систем с управлением

1.6. Бесконечномерные модели систем с управлением

1.6.1. Пространства бесконечных джетов и их геометрия

1.6.2. Бесконечные продолжения систем и отображений

1.6.3. Геометрическая интерпретация плоскостности и динамической обратной связи

1.6.4. Интегрируемые симметрии систем

1.7. Решение задач терминального управления предварительным

выбором пути

Выводы по первой главе

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Использование симметрии для решения задач терминального управления

2.2. Описание метода накрытий

2.3. Метод накрытий для плоских систем

3 Стр.

2.4. Орбитальная декомпозиция систем с управлением

2.5. Декомпозиция задач терминального управления

2.6. Метод накрытий для лиувиллевых систем

Выводы по второй главе

Глава 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Решение терминальной задачи для системы, описывающей движение вертолета

3.1.1. Математическая модель движения вертолета

3.1.2. Симметрия задачи о движении вертолета вдоль горизонтальной прямой и синтез программного движения

3.1.3. Накрытия в задаче о движении вертолета вдоль горизонтальной прямой

3.1.4. Построение программного движения

3.1.5. Результаты численного моделирования

3.1.6. Решение задачи терминального управления для движения вертолета в вертикальной плоскости

3.1.7. Результаты численного моделирования

3.2. Управление четырехвинтовым вертолетом

3.2.1. Математическая модель квадрокоптера

3.2.2. Метод динамической обратной связи для математической модели квадрокоптера

3.2.3. Решение задач терминального управления и стабилизации

3.2.4. Результаты численного моделирования

3.2.5. Решение задачи терминального управления для системы

с ограничениями

3.2.6. Результаты численного моделирования

3.3. Управление автомобилем

3.3.1. Реализация маневров поворота и разворота

4 Стр.

3.3.2. Реализация маневра змейка

3.4. Решение задачи терминального управления методом накрытий

для маятника Капицы

3.4.1. Математическая модель маятника Капицы

3.4.2. Метод накрытий для управления маятником Капицы

3.4.3. Результаты численного моделирования

Выводы по третьей главе

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО РАБОТЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений»

Введение

Методы решения задач терминального управления нелинейными динамическими системами разрабатывались многими авторами (см. [13, 15, 28, 38, 70,74,88], а также [53] и библиографию там). Такие задачи возникают при управлении различными механическими (см. [94]) и мехатронными системами, например, летательными аппаратами (см. [67], а также главу 9 в [8]) или мобильными роботами (см. [13,34,72,84]). Задача терминального управления заключается в определении программного движения (программной траектории и программного управления), переводящего динамическую систему из заданного начального в заданное конечное положение. Время движения может быть фиксировано или выбираться из каких-либо дополнительных соображений.

Формулировка задачи терминального управления может содержать ограничения на состояние и управление. Ограничения могут возникать как из физической поставновки задачи, так и из некоторых других соображений. В частности, ограничения могут возникать в ходе преобразования исходной системы к некоторому специальному виду. Независимо от природы ограничений их наличие существенно усложняет решение задачи управления.

Для нелинейных динамических систем подходы к решению задачи терминального управления известны лишь для отдельных классов систем. Например, для аффинных систем, преобразуемых в заданной области к специальному виду, называемому регулярным каноническим видом [90,91], программную траекторию, удовлетворяющую граничным условиям, задают в виде полиномов от времени, порядок которых определяется количеством граничных условий. При таком подходе основным вопросом является выбор времени движения.

Кроме того, для некоторых аффинных систем возможно приведение их к так называемому квазиканоническому виду (см. [95,96,101] и ссылки там). В этом случае сложности возникают из-за того, что в системе квазиканонического вида возможно наличие неуправляемой подсистемы.

Более общим классом нелинейных систем с управлением, включающим в себя аффинные системы, преобразуемые к каноническому виду, являются так называемые плоские системы [10,19,21,62-64,99]. А именно, каждое решение плоской системы однозначно определяется некоторым набором функций, который называют плоским выходом системы. Для этого класса систем также известны достаточно общие подходы к синтезу программных движений [19,99]. Например, распространенный подход состоит в построении линеаризующей обратной связи и полиномиальной зависимости от времени [99]. Этот метод для решения задач терминального управления и стабилизации в случае плоских систем применяется достаточно широко (см. [6,25,32,35,41,43-46,48,52,61,66,74]) в силу его удобства и простоты.

Однако рассмотренные в этих работах подходы не учитывают ограничения на состояние и управление системы. Ограничения могут возникать на область значений плоского выхода и его производные. Плоский выход может быть построен так, что область значений его и его производных не совпадает со всем пространством. Решение в многочленах, найденное упомянутым методом, может не удовлетворять тем или иным ограничениям.

Нелинейная динамическая система не всегда является плоской, и для неплоских систем общие подходы к решению терминальных задач неизвестны.

Среди неплоских систем выделяют, например, лиувиллевы системы (см., например, [65,98]), для которых в частных случаях известны подходы к решению задач управления. Например, в [65] для модели вертолета решена задача синтеза управления, обеспечивающего одновременное смещение в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Как для плоских, так и для неплоских систем актуальна разработка новых методов построения программного движения с применением различных классов функций.

В западной литературе принятым подходом для построения программного движения является решение связанной задачи оптимального (как правило, по

времени) управления (см., например, [1,5,7,13,15,16,28,38,42,51,70,73]). Недостаток этого подхода в том, что его применение связано с большими трудностями, возникающими из-за нелинейности системы и ограничений, которые накладываются на эту систему. Эту проблему, как правило, решают таким образом, что решение задачи оптимального управления ищут в некотором заранее заданном классе допустимых траекторий. Время движения при этом не фиксируется.

Предложенный в [16] подход к решению задачи терминального управления для плоской системы заключается в построении сначала пути в пространстве значений плоского выхода, а затем в построении зависимости параметра пути от времени. Программная траектория на первом этапе выбирается в области, соответствующей точкам покоя системы с управлением, которые удовлетворяют части ограничений задачи. На втором этапе численно решается задача минимизации времени движения с учетом остальных ограничений задачи. Этот подход можно интерпретировать как декомпозицию плоской системы, преобразующую задачу терминального управления в две связанные граничные задачи: для пути следования и для зависимости параметра пути от времени.

В настоящей работе предлагаются, в числе прочих, подходы, основанные на понятии симметрии. Теория симметрий дифференцильных уравнений развивалась бурными темпами последние 40 лет (см. [14,23, 24, 27,33,36, 50, 56, 57,71], а также [83] и библиографию там). Методами этой теории решаются многие задачи математической физики. В этой работе также будет показано, что эта теория применима и для решения некоторых задач терминального управления.

Другим методом, используемым для решения задач терминального управления, применимым как к плоским, так и к неплоским системам, является метод, основанный на понятии накрытия [83]. Он заключается в дополнении системы уравнениями на производные управлений и в построении специального отображения (накрытия) из расширенного фазового пространства

дополненной системы в расширенное фазовое пространство новой системы. При этом любое решение новой системы должно удовлетворять всем начальным условиям терминальной задачи. Программное движение в этом случае может быть найдено как решение двух специально поставленных задач Коши для новой и дополненной систем. Основную сложность здесь представляет нахождение дополнительной системы, которую мы называем г-замыканием исходной системы.

Целью работы является применение дифференциально-геометрических подходов для решения задач терминального управления динамическими системами при наличии ограничений.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Решение задачи нахождения программного управления при известной зеркальной симметрии задачи терминального управления.

2. Разработка метода накрытий для решения задач терминального управления как плоскими, так и неплоскими системами.

3. Формулировка условий применения декомпозиции систем для решения задач терминального управления с учетом ограничений.

Методы исследования. В диссертации используются методы математической теории управления, дифференциальной геометрии, теории устойчивости, численные методы.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Метод накрытий для решения задач терминального управления в случае плоских систем.

2. Метод накрытий для решения задач терминального управления в случае лиувиллевых систем.

3. Решение задачи синтеза программного движения квадракоптера вдоль коридора подбором плоского выхода.

4. Метод решения задач терминального управления с учетом ограничений, основанный на декомпозиции систем.

5. Решение задачи синтеза программного движения вертолета вдоль горизонтальной прямой с применением зеркальной симметрии.

Достоверность и обоснованность научных результатов и математических выводов подтверждается строгостью используемого математического аппарата. Сформулированные в работе допущения обоснованы в рамках содержательной постановки задачи, а также в процессе математического моделирования.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов состоит в том, что реализуемые в работе методы позволяют решать задачи терминального управления при наличии ограничений на состояния и управление для широкого класса систем.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы были доложены на научных семинарах кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2014, 2016); Всероссийской научной конференции «XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014» (Москва, 2014); Международной научной конференции «1st Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems (MICNON-2015)» (Saint-Petersburg, 2015).

Основные научные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в том числе 5 статей в журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертации, и материалах российской и международной конференций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены соискателем лично в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 149 страницах, содержит 49 иллюстраций. Библиография включает 101 наименование.

Глава 1. Известные ранее теоретические результаты

1.1. Задачи терминального управления и стабилизации

Рассмотрим динамическую систему с управлением

х = / (¿,х,и), X еХс , и еЫс кт, (1.1)

где £ — независимая переменная, х = (х1,..., хп) — состояние, вектор и = (и1,..., ит) — управление, X и Ы — области их изменения, f = (/1,..., /п) — гладкая векторная функция, а X = ¿х/йЬ. Под гладкостью здесь и далее понимается бесконечная дифференцируемость.

Задача терминального управления для системы (1.1) ставится, когда заданы начальное х0 в начальный момент времени ¿0 и конечное Xf состояния системы. Заключается она в поиске такой зависимости и(Ь) в классе допустимых управлений, при которой траектория системы переходит из начального состояния х0 в конечное состояние Xf за время tf — ¿0, где время tf может быть задано, а может выбираться из некоторых дополнительных соображений с учетом очевидного требования tf > ¿0.

Пусть для системы (1.1) мы нашли управление и(Ь), которое позволяет следовать желаемой траектории х*(£). Однако на техническую систему могут воздействовать (как правило, случайным образом) внешние силы, которые не учитываются в модели (1.1). В результате этих воздействий система может изменить свое состояние в некоторый момент времени на х(^1) = х*(^1). В этом случае ставится задача стабилизации: используя управление, вернуть систему на заданную траекторию х*(£).

1.2. Плоские системы с управлением

Рассмотрим систему с управлением вида (1.1) и некоторое неотрицательное целое число I. Считая переменные

t, X1, . . . , Хп, , . . . , , ии 1, . . . , иитт,, , . . . ,

независимыми, рассмотрим пространство с такими координатами. Через O(1) будем обозначать какую-либо область этого пространства.

Систему (1.1) называют (дифференциально) плоской в области если на определены функции

Vi = hi(t,x,u,u, ...,u(1)), ..., ут = hm(t,x,u,ú, ...,u(1)), (1.2)

удовлетворяющие следующим двум условиям. Во-первых, переменные x и u выражаются через t, функции (1.2) и их производные в силу системы (1.1) до какого-то конечного порядка:

x = X (t,yi,y/i,...,y[kl),y2,...,yíkm)), (1.3)

u = U(t, yi, yi,..., y[kl+1), y2,..., ymm+i)). (1.4)

Во-вторых, любой конечный набор функций (1.2), их производных в силу системы (1.1) и функции t функционально независим. При выполнении указанных условий набор функций (1.2) называют плоским (или линеаризующим) выходом системы (1.1).

Если в этом определении разрешить преобразовывать еще и независимую переменную, то получится определении орбитально плоской системы [19,47]. Орбитально плоские системы рассмотрим ниже.

Пример 1. Движение автомобиля при отсутствии проскальзывания (см. Рис. 1.1) описывает следующая система [47] дифференциальных уравнений:

X = u cos 0, z = u sin 0,

0 = u tg Ф

где x, z — декартовы координаты середины задней оси автомобиля, u — скорость автомобиля, 0 — угол между осью абсцисс и прямой, проходящей через середины двух осей, Ф — угол поворота колес передней оси относительно

указанной прямой, а I — расстояние между серединами двух осей. Здесь вектор (х, г, в) является состоянием системы, вектор (и, ф) — ее управлением.

Система является плоской в области {и = 0} с плоским выходом у\ = х, у2 = г. В самом деле, и2 = у\ + у|, а при у\ + у| = 0 имеем

!в = агС^ у2, когда у\ = 0 уу11

в = агсС^—, когда у2 = 0. у2

Динамической обратной связью системы (1.1) называют обратную связь вида

£ = а(Ь, х, £, V), и = Ъ(г,х,€,у), £ е V е Кт, (1.5)

с состоянием £, входом (х, V) и выходом и. Динамическую обратную связь можно понимать как преобразование системы (1.1) в систему

х = / (t,x,b(t,x,£,v)), £ = а(£,х,£^) (1.6)

с состоянием (х,£) е К(п+1) и управлением V. Второе равенство в (1.5) определяет отображение из множества решений системы (1.6) в множество решений системы (1.1).

Говорят, что система (1.1) линеаризуема динамической обратной связью (1.5) (или просто динамически линеаризуема), если получающаяся с помощью этой связи система (1.6) преобразуется в эквивалентную систему вида

у^г) = V*, г = 1,т (1.7)

обратимой заменой переменных

t = у = У(^х,£), V = V, (1.8)

где у = (уьуь ... , у(п1-1), у2,... ,Утот-1)) — состояние системы (1.7). Задача терминального управления с граничными условиями

ж(£о) = хо, х(Т) = Xf (1.9)

для динамически линеаризуемой системы (1.1) решается следующим образом. Для вспомогательных переменных £ задаются произвольные начальные и конечные значения, и задача терминального управления ставится для расширенного вектора состояний:

ж(*о) = хо, x(tf ) = Xf, £ (*о) = £о, £ ^ ) = £f. (1.10)

Система (1.6) обратимой заменой переменной вида (1.8) преобразуется в эквивалентную систему (1.7). Применяя преобразование (1.8), получаем для системы (1.7) задачу терминального управления

у(^) = У(^,хо,£о), ) = ,Xf ^). (1.11)

Решение этой задачи обычно ищется в каком-то заранее заданном линейном пространстве функций, например, в пространстве полиномов по t размерности п», где полиномы выбираются так, чтобы выполнялись

условия (1.11). Обозначим это решение за (у*(^-и^)), где = (у*Д0)(пг), г = 1,...,т. Применяя обратную к (1.8) замену переменных, получаем решение (х*^), £*^),-и(^) системы (1.5). Это решение удовлетворяет (1.10) в силу построения. Таким образом, зависимость

решает задачу терминального управления (1.9).

(1.12)

В случае системы (1.1), линеаризуемой динамической обратной связью (1.5), задача стабилизации вдоль заданной траектории х* (^ решается выбором таких функций V = V(^ х,£) и £*^), что (х*^),£*есть асимптотически устойчивое решение системы

х = Д^^К^^

£ = а^,х,£^,х,£)). (1.13)

При этом управление выбирается в виде

и = Ь(^х(0,£ (t),V (Щ,

где x(t) — текущее состояние системы, а £(^ — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.13) с начальным условием £(^) = £*^0).

Для решения задачи стабилизации в окрестности построенной программной траектории х*^) строится обратная связь

щ—1

V* = (y*,i(t))(ni) + £ ъ(у() — (y*,i(t))(j)), г = 1,.., т, (1.14)

¿=0

где значения переменных у^ и функций определяются соотношениями

(1.8), а постоянные коэффициенты находятся из условия асимптотической устойчивости следующей системы линейных дифференциальных уравнений (здесь обозначено е* = у* — у*,«^)):

щ — 1

= ^ил£), г = 1,...,т. ¿=0

Обратная связь (1.14) дает решение задачи стабилизации для системы (1.7). Решение задачи стабилизации для системы (1.1) задается соотношением (1.12), где v(t) — функция (1.14), записанная в переменных х,£.

Метод динамической обратной связи применим к плоским системам, так как любая плоская система динамически линеаризуема [19].

1.3. Терминальное управление плоскими системами с учетом ограничений

Пусть система (1.1) плоская в области с плоским выходом (1.2), и поставлена задача терминального управления с граничными условиями

х^о) = хо, х^) = Xf. (1.15)

А именно, требуется найти такое решение системы (1.1), которое удовлетворяет условиям (1.15).

Используя соотношения (1.3), условия (1.15) переписываются в виде

X (^,у1^о),У1^о),...,уЙт)(^)) = хо, X ^ ),у^),..., )) = Xf.

Чтобы найти граничные значения плоского выхода и его производных, удовлетворяющие этим условиям, следующим образом вводят дополнительные переменные (подробности см., например, в [100]). Выбирают функции £1,..., переменных ^у = (у1, у/1,..., у1к1), у2,..., утот)) так, чтобы матрица Якоби д(х,£)/ду была квадратной и невырожденной. Решая систему нелинейных уравнений, находят зависимость вектора у от ^х,£:

у = ^,х,£). (1.16)

Для вектора £ дополнительных переменных задают начальное (£о) и конечное ) значения. Эти условия можно выбрать произвольными, но с учетом ограничений на £ физического, технического или иного характера. Используя соотношения (1.16), получают граничные условия

у(^) = У(^,хо ,£о), У(tf) = ,Xf, £f). (1.17)

Если нет ограничений на переменные у, ищут многочлены у^),...,уто^), удовлетворяющие этим условиям. А именно, если для каждого г = 1,т функция у^) есть многочлен степени не больше, чем 2 к + 1, то условия (1.17)

представляют собой крамеровскую систему линейных алгебраических уравнений на коэффициенты этих многочленов (см. [89]). Решая эту систему и подставляя полученное решение (у^),... ,утв соотношения (1.3) и (1.4), получают решение исходной задачи (1.15).

Отметим, однако, что область значений функции (1.16) может быть только частью пространства переменных у. Кроме того, на переменные состояния х, управления и и производные управления и,... ,и(1) системы (1.1) могут налагаться некоторые ограничения, которые также преобразуются в условия на у. Задачу терминального управления необходимо решать с учетом всех ограничений на у. При выборе £0 и £/ необходимо учитывать все ограничения на х, и и производные и.

Таким образом, задача терминального управления для плоских систем с учетом ограничениям сводится к следующей задаче. Задана область Ы пространства с координатами (^ у) и условия (1.17), причем х0, £0)) е

Ы, (/, , х/,£/)) е Ы. Требуется найти такие функции у^),...,ут^), t е ], которые удовлетворяют условиям (1.17) и

Й у1 й, у1 й,..., у^со, у2й,..., уткт) М) е Ы, t е [to, /].

Эту задачу можно интерпретировать (см. [19,47,100]) как задачу терминального управления с граничными условиями (1.17) для системы

у^+1) = V*, г = 1,т, (1.18)

с состоянием у и управлением V = (VI,..., vm), определенной в области Ы.

1.4. Декомпозиция систем с управлением по статической обратной связи

Задача декомпозиции нелинейных систем управления была сформулирована Кренером А. Дж. в работе [37]. Отправной точкой его исследований была работа Крона К. Б. и Рода Дж. А. [40], в которой конечные автоматы

декомпозируются в каскады нескольких более простых конечных автоматов. Обобщая эти результаты на динамические системы с управлением, Кренер А. Дж. ввел понятия полугруппы и алгебры Ли системы. А именно, из фазовых потоков векторных полей, соответствующих постоянным управлениям системы, выделяются диффеоморфизмы сдвигов вдоль решений в сторону увеличения времени. Эти диффеоморфизмы пространства состояний системы образуют полугруппу системы. Рассматривая минимальную группу, содер-жающую полугруппу системы, и соответствующую алгебру Ли векторных полей пространства состояний, получаем алгебру Ли системы. Кренером А. Дж. было доказано, что если алгебра Ли системы раскладывается в полупрямую сумму конечномерной алгебры и идеала, то система имеет нетривиальную декомпозицию. Отсюда и из известного факта о конечномерных алгебрах Ли следует, что любая система с конечномерной алгеброй Ли может быть декомпозирована в каскад систем с простыми или одномерными алгебрами Ли. Им также было показано, что алгебры Ли линейных и билинейных систем конечномерны, а значит, такие системы имеют указанную декомпозицию.

Однако алгебры Ли нелинейных систем, как правило, бесконечномерны и трудно вычисляемы, а вопрос о представлении их в виде полупрямой суммы конечномерной алгебры и идеала нетривиален. Кроме того, язык, используемый Кренером А. Дж., оказался неудобным.

С задачей декомпозиции оказались связаны ряд задач теории управления. Задача изоляции возмущений по статической обратной связи (static state feedback disturbance decoupling problem) решалась в работах [26,30]. Используя разные, но эквивалентные подходы, авторы ввели понятие инвариантного распределения нелинейной системы, обобщающее понятие инвариантного подпространства линейной системы. Ими было доказано, что наличие инвариантного распределени определенного типа означает декомпозируемость системы. Кроме того, в работе [30] на языке инвариантных распределений были получены условия разрешимости задачи автономного регулирования

(noninteracting control problem) и задачи изоляции возмущений по динамической обратной связи (dynamic output feedback disturbance decoupling problem).

В работе [12] для решений задач изоляции возмущений и автономного регулирования вместо инвариантных распределений были использованы алгебры Ли векторных полей, порождающие эти распределения. Были введены понятия характеристических чисел системы с входами и выходами, на основе которых был сформулирован алгоритм для решения этих задач.

Собственно декомпозиции по статической обратной связи афинных систем с управлением посвящена работа [60]. Там получены необходимые и достаточные условия декомпозиций двух видов: параллельной, когда обе подсистемы не зависят одна от другой, и каскадной, когда только одна подсистема не зависит от другой.

В работе [54] указана связь задач автономного регулирования и паралелль-ной декомпозиции по статической обратной связи. Получены необходимые и достаточные условия автономного регулирования по статической обратной связи.

В работе [23] устанавливается связь наличия симметрий у системы и ее декомпозируемости. В частности, показано, что нелинейная система управления, обладающая симметрией некоторого типа, допускает локальные декомпозиции, причем структура подсистем определяется группой симметрий. Кроме того, в работе [56] также была отмечена связь между симметриями и декомпозицией: в этой работе авторы определили частичные симметрии и показали, как частичные симметрии могут быть использованы при декомпозиции нелинейных систем.

В работе [18] рассматривается связь между декомпозициями нелинейных систем с расслоениями и идеалами транзитивных алгебр Ли.

В [59] проводится общий обзор эквивалентности исходной нелинейной системы с управлением некоторой другой системе, причем подробно обсуждается, в каких случаях размерность пространства состояний декомпозированной системы не увеличивается по сравнению с исходной.

В [55] обсуждается обобщение декомпозиции линейных систем по входу-выходу на нелинейный случай с помощью различных дифференциально-геометрических подходов, изложенных в [26,30].

В работе [22] исследуются условия управляемости подсистем, полученных в результате декомпозиции управляемой системы.

Наконец, в монографии [29] подробно обсуждаются локальные декомпозиции нелинейных задач управления.

Среди более современных работ можно выделить следующие. В работе [68] исследуется решение задачи терминального управления для нелинейных систем особого вида, а в работе [69] рассматривают понятие факторизации нелинейных систем и условия существования таких факторизаций. Кроме того, в работе [71] обсуждаются такие свойства, как устойчивость и управляемость для нелинейной системы, которую можно представить в виде декомпозиции на некоторые подсистемы меньшей размерности. В работе [58] обсуждаются локальные декомпозиции нелинейных бесконечномерных систем.

Из работ российских авторов можно отметить [86], в которой для нелинейной управляемой динамической системы выводятся определяющие уравнения для симметрий и рассматриваются локальные декомпозиции нелинейных управляемых систем.

Классические результаты, касающиеся декомпозиции по статической обратной связи, получены в работе [60]. В ней автор рассматривает систему с управлением вида

где х Е М, М — аналитическое многообразие размерности п, /, д^, г = 1,к — аналитические векторные поля на М.

к

х(0) = х0 Е М,

(1.19)

Предположим, что координаты (х1,..., хп) на М разбиты на N групп:

X — (X1, . . . , ххр 1) , х (хр1 + 1 , . . . , хр2 ) ,

(1.20)

х (хР№-1 + 1 , . . . , хп) ,

где 1 < р < р2 < ... < -1 < п. Кроме того, пусть существуют такие подмножества ^ С {1,..., к}, ] = 1,... , N, что выполняются условия

Jг П З3 = 0, и^- = {1,...,к}. (1.21)

Говорят, что система (1.19) допускает каскадную декомпозицию в локальных координатах (х1, х2,..., хп), если она в этих координатах с учетом разбиений (1.20) и (1.21) принимает вид

X1 = / 1(х1) + Е ^(х1),

¿€71

X2 = /2(х2) + Е м^^?(х1,х2),

¿€72 (1.22)

Xя = /я(хя)+ Е и^(х1,х2,...,хя).

¿€ 7^

Говорят, что система (1.19) допускает параллельную декомпозицию в локальных координатах (х1, х2,..., хп), если она в этих координатах с учетом разбиений (1.20) и (1.21) принимает вид

X1 = / 1(х1)^ ^(х1),

¿€71

X2 = /2(х2) + Е ^2(х2),

¿€72 (1.23)

Xя = (Xя) + Е ^(Xя).

¿€7^

Для формулировки результатов работы [60] о декомпозиции системы вида (1.19) рассмотрим произвольное подмножество J индексов {1,..., к}. Обозначим через Ьо,7 алгебру Ли, порожденную векторными полями adf г € J,

д > 0, где ad/ д« = [/, д«] — коммутатор полей f и д«, а adf д« = [/, adf-1 д«]. Через Ь0 обозначим алгебру Ли Ь0^ в случае J = {1,... ,к}, а через Ь — алгебру Ли, порожденную полями /,д1,...,дк. Наконец, для алгебры Ли А обозначим через dimA(x) размерность в точке х распределения, определенного этой алгеброй Ли.

Теорема 1.1. Система (1.19) в случае dimЬ0(x) = п в некоторой системе координат допускает параллельную декомпозицию (1.23) тогда и только тогда, когда существуют подмножества С {1,..., к}, ] = 1,... , N, удовлетворяющие свойствам:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белинская Юлия Сергеевна, 2018 год

Литература

1. Ailon A., Zohar I. Motion Planning and Optimal Control in a Kinematic Model of an Automobile // IFAC Proceedings Volumes. 2007. V. 40, № 15. P. 499-504.

2. Beji L., Abichou A., Slim R. Stabilization and Motion Planning of a Four Rotor Mini-rotorcraft for Terrain Missions // Fourth Internetional Conference on Intelligent Systems Dsign and Application (ISDA). 2004. P. 335-340.

3. Beji L., Abichou A. Trajectory and Tracking of a Mini-rotorcraftau // Proceedings of the 2005 Internetioanl Conference on Robotics and Automation. 2005. P. 2618-2623.

4. Belinskaya Yu. S. and Chetverikov V. N. Covering Method for Point-to-Point Control of Constrained Flat System // IFAC-Papers OnLine. 2015. Vol. 48, № 11, P. 924-929.

5. Biggs J.D., Horri N. Optimal Geometric Motion Planning for a Spin-stabilized Spacecraft // Systems & Control Letters. 2012. V. 61, № 4. P. 609616.

6. Bohm T., Meurer T. Trajectory Planning and Tracking Control for the Temperature Distribution in a Deep Drawing Tool // Control Engineering Practice. 2017. V. 64. P. 127-139.

7. Bryson A.E., Ho Y.-C. Applied Optimal Control. Ginn and Company, Waltham, Massachusetts, 1969.

8. Castillo-Garcia P., Hernandez L.M., Gil P. Indoor Navigation Strategies for Aerial Autonomous Systems. 1st Edition. 2016. 300 p.

9. Charlet B., Levine J., Marino R. On Dynamic Feedback Linearization // Systems & Control Letters. 1989. V. 13. P. 143-151.

10. Chetverikov V.N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. 2004. V. 16. P. 903-923.

11. Chetverikov V. N. On the structure of integrable C-fields // Differential Geometry and its Applications. 1991. V. 1. P. 309-325.

12. Claude D. Decoupling of Nonlinear Systems // Systems & Control Letters. 1982. V. 1, P. 242-248.

13. Debreuwere F., Van Loock W., Pipeleers G., Dinh Q.T., Diehl M., De Shutter J., Swevers J. Optimal Robot Path Following for Minimal Time Versus Energy Loss Trade-off Using Sequential Convex Programming // Proceedings of the 2013 IEEE International Conference on Mechatronics (ICM). 2013. P. 316-320.

14. Doubrov B., Zelenko I. Symmetries of Trivial Systems of ODEs of Mixed Order // Differential Geometry and its Applications. 2014. V. 33. P. 123143.

15. Faulwasser T. Optimization-based Solutions to Constrained Trajectory-tracking and Path-following Problems. // Shaker, Aachen, Germany. 2013.

16. Faulwasser T., Hagenmeyer V., Findeisen R. Constrained Reachibility and Trajectory Generation for Flat Systems // Automatica. 2014. V. 50, P. 11511159.

17. Faulwasser T., Hagenmeyer V., Findeisen R. Optimal Exact Path Following for Constrained Differentially Flat Systems // Proceedings of the 18th World Congress IFAC. 2011. P. 9875-9880.

18. Fliess M. Cascade Decomposition of Nonlinear Systems, Foliations and Ideals of Transitive Lie Algebras // Systems & Control Letters. 1985. V. 5, № 4. P. 263-265.

19. Fliess M., Levine J., Martin Ph., Rouchon P. A Lie-Backlund Approach to Equivalence and Flatness of Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. V. 44, № 5. P. 922-937.

20. Fliess M., Levine J. L., Martin Ph., Rouchon P. Flatness and defect of nonlinear systems: introductory theory and examples. // International Journal of Control 61(6). 1995. P. 1327-1361.

21. Fliess M., Levine J., Martin Ph., Rouchon P. Sur les systemes non lineaires differentiellement plats // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1992. V. 315. P. 619624.

22. Grasse K., Wax N. Decomposition and Control // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1987. V. 122, P. 474-484.

23. Grizzle I.W., Markus S.I. The Structure of Nonlinear Control Systems Possessing Symmetries // IEEE Transactions on Automatic Control. 1985. V. 30, № 3. P. 248-258.

24. Giingor F., Torres P.J. Lie Point Symmetry Analysis of a Second Order Differential Equation with Singularity // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2017. V. 451, № 2. P. 976-989.

25. Herrmann L., Broecker M. Flatness Based Control of a Ball in Tube System // IFAC-Papers OnLine. 2015. Vol. 48, № 1, P. 790-795.

26. Hirshorn R.M. (A, B)-Invariant Distributions and Disturbance Decoupling of Nonlinear Systems // SIAM Journal on Control and Optimizations. 1982. V. 19, № 1. P. 1-19.

27. Hoskins J.G., Bluman G. Higher Order Symmetries and Integrating Factors for Ordinary Differential Equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2016. V. 435, № 1. P. 133-161.

28. Houska B., Ferreau M.J., Diehl M. ACADO Toolkit — an Open-source Framework for Automatic Control and Dynamic Optimization // Optimal Control Applications and Methods. 2011. V. 32, № 3. P. 298-312.

29. Isidori A. Nonlinear Control Systems. Berlin: Springer, 1995. 549 p.

30. Isidori A., Krener A.J., Gori-Giorgi C., Monaco S. Nonlinear Decoupling via Feedback: a Differential-geometric Approach // Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Automatic Control. 1981. V. 26. P. 331-345.

31. Jakubczyk B., Fliess M., Hazewinkel, series Mathematics and Its Applications. Algebraic and Geometric Methods in Nonlinear Control Theory. 1986. Springer Netherlands.

32. Josevski M., Abel D. Flatness-based Trajectory Planning for the Battery State of Change in Hybrid Electric Vehicles // IFAC-Papers Online. 2016. V. 49, № 11. P. 134-140.

33. Khor'kova N.G. On Some Constructions in the Nonlocal Theory of Partial Differential Equations // Differential Geometry and its Applications. 2017. V. 54. P. 226-235.

34. Klancar G., Zdesar A., Blazic S., Skrjanc I. Wheeled Mobile Robotics. 1st Edition. 2017. 502 p.

35. Kolar B., Schoberl M., Schlacher K. Properties of Flat Systems with regard to the Parametrization of the System Variables by the Flat Output // IFAC-Papers OnLine. 2016. Vol. 49, № 18, P. 814-819.

36. Kozlov R. On Symmetries of Stochastic Differential Equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012. V. 17, № 12. P. 4947-4951.

37. Krener A.J. A Decomposition Theory for Differentiable Systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 1977. V. 12. P. 813-829.

38. Krishnan J., Rajeev U.P., Jayabalan J., Sheela D.S. Optimal Motion Planning Based on Path Length Minimisation // Robotics and Autonomous Systems. 2017. V. 94. P. 245-263.

39. Krischenko A.P., Kanatnikov A.N., Tkachev S.B. Plannind and Control of Spatial Motion of Flying Vehicles // IFAC Workshop Aerospace Guidance, Navigation and Flight Control Systems AGNFCS'09. Samara, Russia, 2009. Режим доступа: http://lib.physcon.ru/doc?id=b502c4579298 (дата обращения 3.05.2017).

40. Krohn K.B., Rhodes J.L. Algebraic Theory of Machines I. The Main Decomposition Theorem // Transactions of the American Mathematical Society. 1965. V. 11. P. 450-464.

41. Lam D., Manzie C., Good M.C., Bitmead R.R. Receading Horizon Timeoptimal Control for a Class of Differentially Flat Systems // Systems & Control Letters. 2015. V. 83. P. 61-66.

42. Lee E.B., Markuz L. Foundation of Optimal Control Theory // The SIAM Series in Applied Mathematics. John Wiley & Sons. New York, London, Sydney, 1967.

43. Levine J. Analysis and Control of Nonlinear Systems: a Flatness-based Approach // Springer, Berlin. 2009.

44. Liu Q.F., Wang C. Y., Hu Y.F., Chen H. Flatness-based Feedforward and Feedback Control for Fuel Rail System of Gasoline Direct Injection Engine // IFAC-PaperOnLine. 2016. V. 49,№ 11. P. 775-780.

45. Markus E.D., Agee J.T., Jimoh A.A. Flat Control of Industrial Robotic Manipulators. // Robotics and Autonomous Systems. 2016. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.robot.2016.10.009.

46. Markus E.D., Yskander H., Agee J.T., Jimoh A.A. Coordination Control of Robotic Manipulators using Flat Outputs // Robotics and Autonomous Systems. 2016. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.robot.2016.05.006.

47. Martin Ph., Murray R., Rouchon P. Flat Systems // Proceedings of the 4th European Conference. Plenary Lectures and Mini-courses. 1997. P. 211-264.

48. Martin P., Rosier L., Rouchon P. Controllability of the 1D Schrodinger Equation by the Flatness Approach // IFAC Proceedings Volumes. 2014. V. 47, № 3. P. 646-651.

49. Masone C., Giordano P.R., Biilthoff H., Franchi A. Semi-autonomous Trajectory Generation for Mobile Robots with Integral Haptic Shared Control // 2014 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Hong Kong, China. 2014. P. 1-8.

50. Morozov O. I. Deformed Cohomologies of Symmetry Pseudo-groups and Coverings of Differential Equations // Journal of Geometry and Physics. 2017. V. 113. P. 215-225.

51. Neas C.B., Farhood M. A Hybrid Architechture for Maneuver-Based Motion Planning and Control of Agile Vehicles // IFAC Proceedings Volumes. 2011. V. 44, № 1. P. 3521-3526.

52. Nicolau F., Respondek W. Flatness of Mechanical Systems with 3 Degrees of Freedom // IFAC-Papers OnLine. 2015. V. 48, № 13. P. 019-024.

53. van Nieuwstadt M.J. Trajectory Generation for Nonlinear Control Systems // Ph. D. Thesis. Caltech, Pasadena. 1996.

54. Nijmeijer H. Feedback Decomposition of Nonlinear Control Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1983. V. 28, № 8. P. 861-862.

55. Nijmeijer H. On the Input-Output Decoupling of Nonlinear Systems // Algebraic and Geometric Methods in Nonlinear Control Theory. 1986. P .101-119.

56. Nijmeijer H., van der Schaft A.J. Partial Symmetries for Nonlinear Systems // Mathematical systems theory Journal. 1985. V. 18. P. 79-96.

57. Popescu L. Symmetries of Second Order Differential Equations on Lie Algebroids // Journal of Geometry and Physics. 2017. V. 117. P. 84-98.

58. Rams H., Schoberl M., Schlacher K. Local Decomposition And Accessibility of Nonlinear Infinite-Dimensional Systems // IFAC-Papers OnLine. 2016. Vol. 49, № 8, P. 168-173.

59. Respondek W. Global Aspects of Linearization, Equivalence to Polynomial Forms and Decomposition of Nonlinear Control Systems // Algebraic and Geometric Methods in Nonlinear Control Theory. 1986. P .257-284.

60. Respondek W. On Decomposition of Nonlinear Control Systems // Systems & Control Letters. 1982. V. 1. P. 301-308.

61. Rigatos G., Siano P., Tir Z., Hamida M.A. Flatness-based Adaptive Neurofuzzy Control of Induction Generators Using Output Feedback // Neurocomputing. 2016. V. 216. P. 684-699.

62. Saldivar B., Knuppel T., Wolttendek F., Boussada I., Mounier H., Niculescu S.I. Flatness-based Control of Torsional-Axial Coupled Drilling Vibrations // Proceedings of the 19th World Congress IFAC. 2014. P. 7324-7329.

63. Sagert C., Meglio F. Di., Krstic M., Rouchon P. Backstepping and Flatness Approaches for Stabilization of the Stick-Slip Phenomenon for Drilling //

5th IFAC Symposium on System Structure and Control, Grenoble, France, February, 2013.

64. Sira-Ramirez H., Ageawal S.K. Differentially Flat Systems. New York: Marcel Dekker, 2004. 468 p.

65. Sira-Ramirez H., Castro-Linares R., Liceaga-Castro E. A Liouvillian Systems Approach for the Trajectory Planning-based Control of Helicopter Models // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2000. V. 10. P. 301-320.

66. Suryawan F., Dona J.D., Seron M. Flatness-based Minimum-time Trajectory Generation for Constrained Linear Systems Using B-Splines // Proceedings of the 18th World Congress IFAC. 2011. P. 6674-6679.

67. Taalmallah S., Bombois X., Van der Hof P. Trajectory Planning and Trajectory Tracking for a Small-Scale Helicopter in Autorotation // Control Engineering Practice. 2017. V. 58. P. 88-106.

68. Tabuada P., Pappas G.J. Hierarchical Trajectory Generation for a Class of Nonlinear Systems // 42nd IEEE Internetional Conference on Decision and Control. 2004. P. 6090-6095.

69. Tabuada P., Pappas G.J. Quotients of Fully Nonlinear Control Systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2005. V. 43, P. 1844-1866.

70. Verscheure D., Demeulenaere B., Swevers J., De Schutter J., Diehl M. Timeoptimal Path Tracking for Robots: a Convex Optimization Approach // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. V. 54, № 10. P. 2318-2327.

71. Wu P., Antaklis P.J. Symmetry in the Design of Large-Scale Complex Control Systems: Some Initial Results Using Dissipativity and Lyapunov Stability / 18th Mediterranean Conference on Control and Automation. 2010. P. 197-202.

72. Zanchettin A.M., Rocco P. Motion Planning for Robotic Manipulators Using Robust Constrained Control // Control Engineering Practice. 2017. V. 59. P. 127-136.

73. Zips P., Bock M., Kugi A. Fast Optimisation Based Motion Planning and Path-Tracking Control for Car Parking // IFAC Proceedings Volumes. 2013. V. 48, № 23. P. 86-91.

74. Zhuang Y., Ma G., Huang H., Li C. Real-time Trajectory Optimization of an Underactuated Rigid Spacecraft using Differential Flatness // Aerospace Science and Technology. 2012. V. 23, P. 132-139.

75. Белинская Ю.С. Автоматическое управление вертолетом вдоль горизонтальной прямой. XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: труды. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. с. 1524-1535.

76. Белинская Ю.С. Построение автоматического управления горизонтальным движением вертолета // Инженерный журнал: наука и инновации. 2014. № 1 (25). С. 6.

77. Белинская Ю. С. Реализация типовых маневров четырехвинтово-го вертолета // Молодежный научно-технический вестник. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 2. Режим доступа: http://sntbul.bmstu.ru/doc/551872.html (дата обращения 22.03.2017).

78. Белинская Ю.С. Решение задачи терминального управления для плоской системы с учетом ограничений заменой плоского выхода // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2016. № 6 (69). С. 122-134.

79. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Метод накрытий для терминального управления с учетом ограничений // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 12. С. 1629.

80. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Симметрии, накрытия, декомпозиция систем и терминальное управление // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 11. С. 1477.

81. Белинская Ю. С., Четвериков В. Н. Управление четырехвинто-вым вертолетом // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Бау-

мана. Электрон. журн. 2012. № 5. С.157-171. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/397373.html (дата обращения 11.10.2016).

82. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н., Ткачев С.Б. Автоматический синтез программного движения вертолета вдоль горизонтальной прямой // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. С.285-298. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/660675.html (дата обращения 17.01.2017).

83. Симметрии и законы сохранения математической физики. А.В. Бочаров, А.М. Вербовецкий, А.М. Виноградов, С.В. Дужин, И.С. Красильщик, А.В. Самохин, Ю.Н. Торхов, Н.Г. Хорькова, В.Н. Четвериков; под. ред. А.М. Виноградова и И.С. Красильщика //2 изд., испр. и доп. М.: Факториал. 2005, 474 с.

84. Гилимьянов Р.Ф. Планирование пути колесного робота по зашумленным измерениям в задаче управления движением вдоль криволинейной траектории: дис. ... канд. техн. наук. Москва, 2010. 125 с.

85. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Допустимые пространственные траектории беспилотного летательного аппарата в вертикальной плоскости // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 5. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/367724.html (дата обращения 3.05.2017).

86. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Симметрии и декомпозиция нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 11. С. 18801891.

87. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Терминальное управление пространственным движением летательных аппаратов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 5. С. 51-64.

88. Касаткина Т. С. Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений: дис. ... физ-мат. наук. Москва. 2016. 122 с.

89. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. 520 стр.

90. Крищенко А.П. Преобразование нелинейных систем и стабилизация программных движений // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1988. № 512. С. 69-87.

91. Крищенко А.П. Стабилизация программных движений нелинейных систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 6. С. 103-112.

92. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Задача терминального управления для аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1410-1420.

93. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Терминальная задача для многомерных аффинных систем // Доклады Академии Наук. Теория управления. 2013. Т. 452, № 2. С. 144-149.

94. Суров М.О. Планирование и стабилизация траекторий неполнопривод-ных динамических систем: дис. ... канд. техн. наук. Санкт-Петербург. 2013. 103 с.

95. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журнал. 2013. № 10. С. 123-137. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/604151.html (дата обращения 20.01.2017).

96. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2014. № 5. С. 16-31.

97. Четвериков В.Н. Динамически линеаризуемые системы управления и накрытия // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2013. № 19. С.251-264.

98. Четвериков В. Н. Лиувиллевы системы и симметрии // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 40, № 12. С.1665-1674.

99. Четвериков В.Н. Плоскостность динамически линеаризуемых систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 12. С.1665-1674.

100. Четвериков В.Н. Управляемость плоских систем // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С.1518-1527.

101. Шевляков А.А. Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду и построение минимально-фазовых систем: дис. ... физ-мат. наук. Москва. 2013. 123 с.

ОТЗЫВ научного руководителя аспиранта Белинской Юлии Сергеевны

Белинская Юлия Сергеевна 1988 года рождения. В 2013 году с отличием окончила обучение в МГТУ им. Н.Э. Баумана, защитив на кафедре «Математическое моделирование» дипломную работу и получив квалификацию Инженер-математик по специальности «Прикладная математика». В том же году поступила в очную аспирантуру кафедры «Математическое моделирование». В 2017 году завершила работу над диссертацией на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, представив ее в Ученый совет федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (национальный исследовательский университет). Ею полностью сданы экзамены кандидатского минимума.

Научной работой Белинская Юлия Сергеевна начала заниматься с 5 курса обучения в МГТУ, проявляя знание дифференциальной геометрии и большой интерес к применению геометрических методов в теории управления. После окончания обучения по материалам курсовых и дипломной работ опубликовала в соавторстве и самостоятельно две научные статьи на тему управления четырехвинтовым вертолетом.

Белинская Юлия Сергеевна - сформировавшийся научный сотрудник, способный самостоятельно формулировать и решать задачи в области теории управления. Следует отметить умение Белинской Юлии Сергеевны работать в научном творческом коллективе, проявляя требовательность к себе, исполнительность и трудолюбие.

В диссертационной работе Белинская Юлия Сергеевна разработала новые подходы к решению задач терминального управления динамическими системами с учетом ограничений. Результаты работы обсуждались на Международных конференциях и симпозиумах.

По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 5 статей - в журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов. Результаты доложены на двух Международных конференциях и симпозиумах.

Считаю, что диссертация Белинской Юлии Сергеевны «Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений» соответствует требованиям ВАК при Министерстве образования и науки РФ, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, машиностроение), а Белинская Юлия Сергеевна заслуживает присуждения искомой степени.

Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического моделирования федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (национальный исследовательский университет)

Адрес: 2-я Бауманская, д.5, стр. 1 Тел.: [phone] E-mail: k_fn [e-mail]

Четвериков Владимир Николаевич