Упрочнение анизотропных материалов при динамических нагрузках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Козлова, Мария Александровна

• Козлова, Мария Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлова, Мария Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

1.1. Основные уравнения математической модели упругопластического деформирования сплошной среды.

1.2. Метод конечных элементов.

1.3. Численная схема метода конечных элементов применительно к задачам описания упругопластического течения анизотропных сред.

1.4. Постановка задачи ударного нагружения анизотропной преграды.

1.5. Тестовые расчеты.

2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ КОНЕЧНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

2.1. Условия пластичности анизотропных сред.

2.2. Пятимерное векторное пространство напряжений и деформаций А. А. Ильюшина.

2.3. Постулат изотропии и принцип запаздывания векторных свойств.

2.4. Применение теории упругопластических процессов к задачам удара.

2.5. Виды траекторий деформаций, возникающие при динамических нагружениях.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО И ИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

3.1. Моделирование упрочнения изотропных сред.

3.2. Модели упрочнения анизотропных сред.

3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния преграды с учетом изотропного и кинематического упрочнения среды.

4. УСРЕДНЕНИЯ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ МЕТОДАМИ РЕЙССА И ФОГТА

4.1. Усреднение упругих постоянных методом Фогта.

4.2. Усреднение упругих податливостей методом Рейсса.

4.3. Влияние анизотропии упругих и пластических свойств на результаты расчетов напряженно-деформированного состояния алюминиевой преграды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Упрочнение анизотропных материалов при динамических нагрузках»

Экспериментальное и теоретическое изучение упругопластического деформирования материалов, в том числе и обладающих анизотропией механических свойств, подвергающихся динамическим нагрузкам, является одной из актуальных задач в области механики деформируемого твердого тела. Прежде всего, данный аспект обусловлен тем, что в инженерной практике строительства объектов различного эксплуатационного назначения уже много лет используются материалы, обладающие анизотропией механических свойств, такие как бетон, железобетон, древесина, фанера, большинство легких сплавов в неотожженном состоянии, композиционные материалы.

После деформирования металлов и сплавов не только предел прочности, но и предел упругости и текучести, а также характеристики пластичности обнаруживают анизотропию. Например, после обработки давлением металлов (прокатка) неметаллические включения вытягиваются и располагаются в листовом прокате в виде тонких пленок, образуя так называемою строчечную структуру. По характеру анизотропии такой металл близок к слоистым материалам со слабыми прослойками.

Сам процесс пластической деформации вызывает анизотропию первоначально изотропного материала. Начальная анизотропия различных механических свойств материала может быть следствием волочения проволоки или прокатки листа, когда создаются остаточные напряжения и вызывается поворот зерен в преимущественных направлениях, с преимущественной ориентацией микроструктурных элементов - включений, пор, дополнительных фаз или границ зерен [1]. При этом отмечают различную анизотропию механических свойств, а именно упругих, пластических, прочностных. Так, например, характерной особенностью некоторых магниевых сплавов является то, что у горячекатаных и нагартованных изделий предел текучести в продольном направлении во многих случаях ниже, чем в поперечном («обратная» анизотропия). Обратная анизотропия характерна так же для сплавов титана, цинка. Как отмечают авторы [2, 3] обратная анизотропия присуща также и другим сплавам и металлам с гексагональной решеткой. Максимальная степень анизотропии у металлов и сплавов проявляется, как правило, у прочностных характеристик. Например, относительное сужение материала в «шейке» при разрушении у некоторых алюминиевых сплавов Д16Т в различных направлениях в образце составляет от 2,3 до 9,9% (Приложение 1, табл.2).

Критерии предельного состояния часто записываются в напряжениях, но не обязательно соответствуют состоянию полного разрушения материала. Критерии предельного состояния могут характеризовать начальные проявления процесса разрушения, например текучесть, предшествующую полному разрушению. В связи с широким спектром интерпретаций критериев предельного состояния практически невозможно охарактеризовать их с высокой степенью определенности. В сущности, критерий предельного состояния для конкретного материала представляет собой эмпирическую формулировку процесса выхода из строя или потери материалом несущей способности. Однако использование критериев предельного состояния применяется в большинстве расчетов. Данные критерии должны быть в известной степени достаточно общими и обладать практической применимостью [4].

Как известно, прочностные характеристики различных эксплуатационных конструкций зависят не только от верных инженерных расчетов для конкретного объекта, но и от прочностных свойств материалов из которых будут выполнены те или иные сооружения. Одним из наиболее распространенных способов повышения прочности является сообщение структуре материала упорядоченности в ориентации свойств. В задачах о качественном повышении прочности материалов распростронненым решением также является армирование материала (иногда элементами с отличной от основного материала кристаллографической текстурой) упрочняющими элементами. В рамках выше описанного случая сформирован широкий класс композиционных материалов - матрица и включения, в которых структурируются в макроскопический многофазный материал. Вследствие этого достигается повышение определенных физических свойств до уровня, который недостижим в случае однородного материала. Практически все композиционные материалы имеют резко выраженную анизотропию различных физических характеристик [5].

Разрушение анизотропных материалов в процессе динамического нагружения в своем проявлении имеет различную физическую природу. Характер разрушения зависит от ориентации нагрузки, вида напряженного состояния и других факторов. Например, в одном направлении разрушение может быть хрупким, а в другом пластичным. В связи с этим геометрически нелинейная теория пластичности является одним из наиболее интересных разделов механики деформируемой среды. Четкое математическое обоснование и развитие данной теории является необходимым условием для более реального подхода к определению запасов прочности конструкций и деталей машин. Этот подход также позволит применять более качественный контроль над такими технологическими процессами как прокатка, прессование и протяжка.

В работе рассмотрены материалы (алюминиевые сплавы, например Д16Т, АМгб, АМцС), анизотропные в исходном состоянии (анизотропия, возникающая в процессе технологических операций - волочения, ковки, прессования и т.д. - связанных с производством полуфабрикатов) в которых причиной возникновения анизотропии является пластическая деформация. Однако известно, что металлические сплавы проявляют не высокую степень анизотропии, по сравнению с различными композиционными материалами. Сплавы имеют анизотропию большинства механических характеристик: упругих, пластических, пределов текучести, прочности твердости, микротвердости и т.д. Как правило, эти материалы обладают симметрией механических свойств, т.е. являются ортотропными или транстропными. Такая симметрия свойств обусловлена особенностями технологии заготовок, а именно: прокатка для обработки листового металла, штамповка, обработка давлением, резанье.

Упругопластические деформации встречаются во многих процессах механической и термодинамической обработки материалов. Необходимость в разработке точных методов расчета таких деформаций и возникающих при этом напряжений, связана с дальнейшим проектированием изделий, имеющих высокие эксплуатационные параметры.

Использование для изготовления элементов конструкций материалов, обладающих анизотропией механических свойств, обуславливает необходимость создания адекватных моделей описания упругопластического деформирования и разрушения анизотропных сред.

Большинство экспериментальных и теоретических исследований по изучению механических свойств анизотропных металлов проводились в нашей стране в середине прошлого столетия [1,4-6, 68, 72, 96-97].

В первой половине двадцатого столетия получила развитие теория пластического течения сред без учета упрочнения. В основу исследований пластического деформирования сплошных сред положены предположения Сен-Венана-Мизеса, без рассмотрения упругих деформаций, и Прандтля-Рейса с учетом упругих деформаций. Также принимается гипотеза о том, что материал при пластическом течении несжимаем. В экспериментальных работах было обнаружено, что полные деформации могут быть разделены на две составляющие - упругую и пластическую деформации [6].

В двадцатых годах прошлого столетия возникла теория пластичности упрочняющегося первоначально изотропного материала в виде простейшей математической теории. Ведущее место в изучении данной теории занимали работы Надаи [7] и Генки [8]. Позднее был предложен некоторый гипотетический закон связи напряжений и деформаций для упругопластического материала, а также после ряда экспериментальных работ было отмечено, что объемная деформация упруга и тем самым возможно рассматривать задачу о связи девиаторов напряжений и деформаций.

Мизес [9] обобщил теорию пластического течения Сен-Венана на случай объемного напряженного состояния и сформулировал некоторые физические предположения, такие как: 1) среда в пластическом состоянии несжимаема;

2) направляющие тензоры скоростей деформации и напряжений совпадают. Деформации, которые описывает теория Сен-Венана-Мизеса, происходят при постоянных напряжениях. Данная теория расходится с экспериментами в случае так называемой «несвободной» пластической деформации материалов, обладающих упрочнением.

Теория пластического течения Прандтля-Рейсса содержит следующие предположения, предложенные Рейссом [10]:

1) упругие деформации подчиняются закону Гука в форме закона упругого изменения объема и закону упругого изменения формы;

2) условие пластического течения принимается в форме Мизеса;

3) пластическое изменение объема отсутствует;

4) скорость полных деформаций формоизменения является суммой скоростей упругих и пластических деформаций.

Описанные выше предположения в теории Прандтля-Рейсса не содержат в явном виде время.

К середине двадцатого столетия теории пластического течения и пластического упрочнения материалов получили строгое обоснование математического аппарата - в законах связи напряжений и деформаций в работах Сен-Венана, Леви, Мизеса, Рейса, Прагера, Хоэнемзера, Одквиста, Шмидта, Тейлора, Ильюшина и др. [11-15].Для обоснования и проверки вводимых математических предположений были проведены многочисленные экспериментальные работы. Были введены понятия процессов нагружения и деформирования, простого и сложного нагружения, определены направляющие тензоры напряжений и деформаций, скоростей деформаций, что позволило определить иерархию процессов нагружения, предложенную в своих работах А. А. Ильюшиным [15].

Разработанные в 40е годы прошлого столетия варианты теории пластичности и анализ экспериментальных данных показали, что в классе простых нагружений комбинации соотношений (напряжение, деформация, время и температура) имеют тождественное совпадение, а так же соответствуют опытным данным. Итогом данного анализа явилось создание общей теории для класса простых нагружений любых первоначально изотропных твердых тел. Теория напряжений и деформаций малого элемента тела, созданная Коши и Навье, Ильюшиным была дополнена, а именно, было установлено, что механические свойства твердых тел подразделяются на векторные и скалярные. Для процессов, характеризующихся траекториями деформации малой кривизны (по классификации Ильюшина), за исключением конечного числа точек излома на кривой деформации, в отличие от процессов простого нагружения, получены новые соотношения не совпадающие с ранее известными и являются существенно более сложными [15].

Основной проблемой при формулировке любой частной теории механики деформируемого твердого тела, в том числе и теории пластичности, является установление определяющих соотношений. В механике сплошных сред на настоящий момент общая теория определяющих соотношений является математически более строгой и завершенной, чем большинство частных теорий. Данное положение обусловлено несколькими факторами. С одной стороны, несмотря на универсальность определяющих соотношений, общая теория оперирует с вполне конкретным видом функциональных связей, приведение к которому физических уравнений частных теорий представляет сложную задачу. С другой, некоторые частные теории, для которых до настоящего времени не удалось показать противоречивость принятых гипотез постулатам и теоремам общей теории, являются достаточно хорошей аппроксимацией для описания поведения материала в рассматриваемом диапазоне изменения параметров, характеризующих процесс деформирования конкретной среды. Наконец, поведение реальных деформируемых сред обладает более богатым содержанием, чем предписываемое общей теорией определяющих соотношений механики сплошных сред. Поэтому частные теории, опирающиеся на эксперимент и сформулированные для вполне определенных классов материалов и диапазонов изменения параметров, описывающих поведение деформируемой среды, оказываются более приемлемыми для конкретных целей.

Теоретическое обоснование процессов деформирования материалов в задачах, рассматриваемых в рамках настоящей работы, базируется на основных положениях и аксиомах механики сплошной среды и связи напряжений и деформаций, обоснованных в работах А. А. Ильюшина [15, 17, 18].

Основным содержанием теории упругопластических процессов Ильюшина является идея о функциональной зависимости физических величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние (НДС), от истории нагружения (деформирования). До появления в 5Ох годах работ Ильюшина определяющие соотношения в различных теориях пластичности имели вид функций, связывающих параметры НДС в данный момент времени, независящие от истории деформирования.

В работах [17, 19] Ильюшин показал необходимость анализа процесса упругопластического деформирования. Однако подобный подход к исследованию упругопластического деформирования мог повлечь за собой непреодолимые трудности. Действительно, если НДС каждой материальной частицы определяется процессом ее деформирования (нагружения), отличающимся от процессов деформирования других частиц, то для определения параметров, входящих в определяющие функциональные соотношения, требуется бесчисленное множество экспериментов. Разработанные Ильюшиным А. А. , Ленским В. С. [20, 21] и их учениками постулаты и гипотезы теории упругопластических процессов, получившие в настоящее время широкое экспериментальное подтверждение, позволили устранить эти «непреодолимые» препятствия на пути к практическому использованию теории упругопластических процессов.

Особое значение в теории упругопластических процессов имеет принцип запаздывания (в работе Р. А. Васина [21], «принцип памяти»), В данной теории принцип запаздывания сформулирован для векторных и скалярных свойств. В 1932г. Хоэнемзером [13] и Прагером [12] было обнаружено запаздывание векторных свойств, но авторы не обратили внимания на данное явление как на некоторое общее свойство упругопластического деформирования материалов.

Первые экспериментальные работы, по обоснованию самого факта запаздывания и исследованию векторных свойств некоторых металлов, были выполнены В. С. Ленским [20, 22]. Смысл его заключается в том, что материал «помнит» не весь процесс нагружения, а лишь тот участок, который непосредственно предшествует исследуемому моменту. К векторным свойствам материала относится ориентация вектора приращения пластической деформации к поверхности нагружения (отклонение вектора приращения пластической деформации от нормали к поверхности нагружения). Это свойство имеет особое значение в случае применения теории течения к моделированию пластического деформирования анизотропных сред. Необходимым условием применения теории течения является сохранение ортогональности вектора приращения пластической деформации к поверхности нагружения (постулат Друккера).

В настоящее время анизотропные материалы широко применяются в инженерной практике конструкций различного эксплуатационного назначения, испытывающих динамические нагрузки. В то же время теоретическая и экспериментальная база о свойствах анизотропных материалов при динамических нагрузках весьма ограничена. В большинстве имеющихся публикаций отображены особенности поведения анизотропных материалов в случае статического нагружения [23-25] в работах зарубежных авторов например [26], посвященных математическому моделирования процессов упругопластического деформирования анизотропных материалов сводится к постановке с весьма существенными упрощениями (рассматриваются двумерные модельные задачи, в большинстве случаев в приближениях теории оболочек).

В связи с трудностями, которые возникают при экспериментальном исследовании процессов динамического нагружения преград, необходимо численное моделирование подобных задач.

В работах Н.Х. Ахмадеева [27, 28], В.Н. Аптукова [29, 30], А.И. Глушко [31], H.H. Яненко, В.М. Фомина, А.И. Гулидова [32-34], В.А. Гридневой, А.И. Корнеева, H.H. Белова, А.П. Николаева, Н.Т. Югова, A.B. Радченко и других авторов [35-52] представлен обширный спектр различных вопросов посвещенных моделированию поведения материалов (в том числе и анизотропных) при ударно-волновых нагрузках. Из числа зарубежных исследователей, занимающихся изучением особенностей деформационного поведения материалов в условиях динамического нагружения, следует отметить Anderson С. Е., Сох Р. А., Johnson G. R., Maudlin P. J. A, M. Wilkins, G. R. Johnson [64-66, 77].

Поскольку все металлы и сплавы после процессов обработки обладают анизотропией различных механических свойств в различной мере возникает проблема определения необходимости учета анизотропии этих свойств при ударном нагружении анизотропных материалов. Несмотря на то, что небольшая анизотропия упругих свойств металлов и сплавов приводит к небольшой разнице (3-5%) в скоростях распространения волн сжатия и разрежения вдоль различных осей, суммарно при динамическом нагружении необходимо исследовать влияние анизотропии упругих, пластических свойств (в том числе и различных законов упрочнения материалов), что может привести к более детальному исследованию картины деформирования и разрушения металлических конструкций. В данной работе ставится задача исследования этой проблемы методом численного моделирования (метод конечных элементов, модифицированный Johnson G. R. для задач удара) в трехмерной постановке.

Диссертация состоит из введения, содержащего обзор литературы, четырех разделов, заключения и списка литературы. Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы цели и задачи работы. Второй и третий разделы предваряются кратким обзором рассматриваемых в них вопросов. В первом разделе диссертационной работы приводятся основные уравнения механики сплошной среды и уравнения, связывающие напряжения и деформации при упругом и пластическом деформировании анизотропной среды. Упругое деформирование описывается с помощью обобщенного закона Гука, а пластическое - ассоциированного закона течения. Приведено используемое условия пластичности Ковальчука-Косарчука, которое в частных случаях трансформируется в условие Мизеса-Хилла и условие Треска, модифицированное для анизотропных материалов. Приведены законы изотропного (Хилла и Ходжа) и кинематического (Циглера) упрочнений анизотропного материала, которые используются в численной модели, применяемой в расчетах. Приведена разностная схема метода конечных элементов, модифицированная Р. Джонсоном для задач удара с учетом определения полей напряжений в пятимерном пространстве Ильюшина и постановка задачи ударного нагружения. В подразделе 1.5 показаны результаты тестовых расчетов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Козлова, Мария Александровна

Выводы:

1. Применена гипотеза кинематического упрочнения материала Циглера, учитывающая эффект Баушингера к задаче численного моделирования ударного нагружения анизотропных металлических преград. Установлено, что распределение зон упрочнения на растяжение и на сжатие в преграде в трех взаимноперпендикулярных направлениях не влияет на интегральную характеристику процесса-торможение ударника при взаимодействии с преградой.

2. Установлено, что учет изотропного упрочнения в задачах численного моделирования упругопластического деформирования анизотропных металлических преград при ударном нагружении приводит к более интенсивному падению скорости торможения ударника для любой формы ударника.

3. Установлено, что усреднение методами Рейсса и Фогта упругих постоянных и упругих податливостей для металлических сплавов приводит к близким значениям модуля Юнга и модуля сдвига. Показано, что использование в численных расчетах упругопластического деформирования анизотропных преград усредненных упругих постоянных и анизотропных -приводит к подобным картинам распределения напряженно-деформированного состояния преграды.

4. Показано, что использование условия текучести Мизеса (изотропного условия пластичности) и анизотропных условий пластичности, в рамках применения ассоциированного закона течения для анизотропных материалов, приводит к существенным различиям в распределении напряженно-деформированного состояния материала преграды. 5. Построены траектории деформации в различных точках преграды для задач динамического нагружения анизотропных преград. Показано, что некоторые имеют в зоне пластического деформирования максимум по одному излому, связанному с приходом волн разгрузки от свободных поверхностей ударника. Установлено, что теорию течения при численном моделировании ударного нагружения анизотропных преград можно применять для преград конечной толщины и выполненных из материалов, имеющих при разрушении пластическую деформацию не более 10%, а также, при скоростях нагружения (300-800)м/с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлова, Мария Александровна, 2007 год

1. Ашкенази Е. К. Анизотропия машиностроительных материалов. JI. Машиностроение 1969г. 111С.

2. Микляев П. Г., Фридман Я. Б. Анизотропия механических свойств металлов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Металлургия, 1986. 224 С.

3. Добаткин В. И., Микляев П. Г., Синявский В. С.-В кн.: Алюминиевые сплавы. Структура и свойства полуфабрикатов из алюминиевых сплавов: Справочник. 2-е изд. М.: Металлургия, 1984, С. 37 45.

4. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов/Под. ред. Ю.М. Тарнопольского. М.: Мир, 1982. - 334 С.

5. By Э. М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред//В кн.: Механика композиционных материалов.- М.: Мир, 1985. С. 563 -С. 401-491.

6. Янг Ю. И., Шишмарев О. А. Некоторые результаты исследования границ упругого состояния пластически растянутых образцов никеля. ДАН СССР, И 9, №1,1958.

7. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Иностранная литература, 1954. 647 С.

8. Hencky H. Über die Form des Elastiyitatsgesetyes bei ideall elastischen Stoffen.ßYtschr. techn. Phzs., 1928, Bd. 9, S. 214-227.

9. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии//Теория пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

10. Рейс Е. Учет упругой деформации в теории пластичности//Теория пластичности. М.: Иностр. Литература, 1948. С. 206-222.

11. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых телах за пределом упругости//Теория пластичности. Изд-во иностр. литературы, 1948. С. 20-23.

12. Прагер В. Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: Иностр. литература, 1963. 311С.

13. Хоэнемзер К. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 407 С.

14. Шмидт Р. О зависимости между напряжениями и деформациями в области упрочнения//Теория пластичности. М.: Иностр. Литература, 1948. С. 231-256.

15. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во. АН СССР, 1963. 271С.

16. Поздеев А. А., Няшин Ю. И., Трусов П. В. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986.

17. Ильюшин А. А., Ленский В. С. О соотношениях и методах современной теории пластичности. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, С. 240-255.

18. Ильюшин А. А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред. ПММ, 1954г., т. 18, вып.6, С. 641 -666.

19. Ильюшин А. А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред. Прикл. математика и механика, 1954, т. 18, вып. 6 С. 641-666.

20. Ленский В. С. Некоторые новые данные о пластичности металлов при сложном нагружении//известия академии наук СССР, механика и машиностроение. 1960. - № 5. - С. 93 - 100.

21. Васин Р. А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МТУ, 1971, вып. 1,С. 59-126.

22. Ленский В. С. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладных аспектах. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1978, вып. 5, С. 65 -96.

23. Жуков A. M. Прочность и пластичность сплава Д16Т при сложном напряженном состоянии. Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1954, №6, С. 61-70.

24. Писаренко Г. С., Лебедев А. А., Матвеев В. В. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях. Киев: Наук, думка, 1981. -495 С.

25. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Киев: Наук, думка, 1980, Т. 1,2.

26. Brüning M. Nonlinear analysis and elastic-plastic behavior of anisotropic structures//Finite Elements in Analysis and Design, 20(1995) 155 177p.

27. Ахмадеев H. X. Динамическое разрушение твердых тел в волнах напряжений. Уфа: БНЦ УО СССР, 1988. 167 С.

28. Ахмадеев H. X., Нигматулин Р.И. Моделирование откольного разрушения при ударном деформировании. Анализ схемы мгновенного откола/ЛТМТФ. 1984. - № 3. - С. 120-128.

29. Аптуков В. Н. Модель термоупруговязкопластической поврежденной среды. Приложение к откольному разрушению//ФГВ. 1986. - т. 22. -№ 2. - С. 120-130.

30. Аптуков В. Н., Белоусов B.J1. Модель анизотропной поврежденности тел. Сообщение 1. Общие соотношения//Проблемы прочности. 1994. - № 2. -С. 28-34.

31. Глушко А. И. Исследование откола как процесса образования микропор//Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 5. - С. 132-140.

32. Гулидов А. И., Фомин В.М., Яненко H. Н. Численное моделирование проникания тел в упругопластическом приближении//Проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука, 1983. - С. 71-81.

33. Гулидов А. И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Численное моделирование разрушения сдвигом//Механика быстропротекающих процессов. Новосибирск, 1984. С. 48-51.

34. Фомин В. М. Численное моделирование высокоскоростного взаимодействия тел. Новосибирск: НГУ, 1982. - 92 С.

35. Гриднева В. А., Корнеев А. И., Трушков В. Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения пластины конечной толщины при ударе бойками различной формы//Изв. АН СССР. МТТ 1977. - № 1. - С. 146157.

36. Белов Н. Н., Корнеев А. И., Николаев А. П. Численный анализ разрушения в плитах при действии импульсных нагрузок//ПМТФ. 1985. - №3.-С. 132-136.

37. Югов Н. Т. Численный анализ трехмерного процесса деформирования и разрушения цилиндра и пластины при наклонном соударении//Изв. АН СССР. 1990.-№ 1.-С. 112-117.

38. Белов Н. Н., Коняев А. А., Симоненко В.Г., Стуканов А. JL, Хабибулин М. В., Югов Н. Т. Влияние полиморфных фазовых превращений на процесс взрывного обжатия стальных шаров//ФГВ. 1997. - т. 33. №5.-С. 128-136.

39. Радченко А. В. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе//Механика композиционных материалов и конструкций.-1998.-т.4.-№4.-С. 51-61.

40. Радченко А. В. Разрушение и ударно-волновые процессы в анизотропных материалах/Материалы XV Международной школы по моделям механики сплошной среды им. Акад. H.H. Яненко. СПб: изд-во СПбГУ, 2000.-С.32-47.

41. Радченко А. В., Гальченко Н. К. Разрушение изотропных и анизотропных конструкционных сталей при динамических нагрузках//Физико-химическая механика материалов.-1992.-Т. 28.-№ З.-С. 8083.

42. Radchenko A. V., Kobenko S. V., Marcenuk I. N., Khorev I. E., Kanel

43. G. I., Fortov V. E. Research of features of behaviour isotropic and anisotropic of materials under impact//Int. J. Impact Eng., 1999, Vol. 23 (l-lO).-p. 745-756.

44. Радченко А. В., Кобенко С. В. Зависимость разрушения анизотропного материала от ориентации упругих и прочностных свойств при ударе//Доклады AH.-2000.-t. 373.-№ 4.-С. 479-482.

45. Радченко А. В., Кобенко С. В., Кривошеина М. Н. Моделирование ударного нагружения твердого топлива скрепленного с ортотропной оболочкой//Механика композиционных материалов и конструкций.-2000,-т.6.-№3.-С.343-358.

46. Радченко А. В., Кобенко С. В. Влияние ориентации упругих и прочностных свойств на разрушение ортотропных материалов при ударе//Механика композиционных материалов и конструкций.-1999.-т. 5.-№ 4.-С. 8-16.

47. Радченко А. В., Кобенко С. В. Зависимость разрушения анизотропного материала от ориентации упругих и прочностных свойств при нормальном и косом ударе//Химическая физика.-2002.-т.21.-№ 9.-С.55-59.

48. Радченко А. В. Модель поведения хрупких анизотропных материалов при динамических нагрузках и ее приложения//Вестник томского государственного архитектурно-строительного университета. 2003. - № 2. -С. 179-193.

49. Радченко А. В., Кривошеина М. Н., Кобенко С. В., Марценюк И. Н. Влияние анизотропии свойств оболочки на инициирование детонации в твердом топливе при ударных и импульсных нагрузках//Химическая физика.-2001 ,-т.20.-№6.-С. 123-128.

50. Радченко П. А., Радченко А. В. Численный анализ ударного взаимодействия двух анизотропных тел//Физическая мезомеханика-2005. -Т.8. С. 51-55.

51. Радченко А. В. Проблемы моделирования ударно-волновых процессов и разрушения в анизотропных материалах//Физика экстремальных состояний вещества-2006.- Черноголовка.-2006.-С.110-112.

52. Радченко А. В. Разрушение и ударно-волновые процессы в анизотропных материалах//Матер. конф. "Математическое моделирование процессов в синергетических системах", Улан-Удэ Томск. 20-23 июля 1999. -изд-во Том. ун-та, 1999. С. 107-108.

53. Орлов Ю. H., Радченко А. В. Сравнение аналитической и численной методик расчета взаимодействия жесткого ударника с пластиной//В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Изд-во Том. ун-та, 1992. С. 29-34.

54. Радченко А. В. Разрушение и ударно-волновые процессы в анизотропных материалах//Материалы XV Международной школы по моделям механики сплошной среды им. Акад. H.H. Яненко. С-Пб.: СпбГУ, 2000. С. 32-47.

55. Радченко А. В. Применение метода конечных элементов к расчету течений в двухфазных средах//В кн.: Численные методы механики сплошной среды Ч.П., Красноярск. 1989. С. 106-107.

56. Высокоскоростное взаимодействие тел. Фомин В. М., Гулидов А. И., Сапожников Г. А. и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 600 С.

57. Johnson G. R. High Velocity Impact Calculations in Three Dimension//! Appl. Mech. March. - 1977. - P. 95-100.

58. Anderson С. E., Cox P. A., Johnson G. R., Maudlin P. J. A Constitutive Formulation for Anisotropic Materials Suitable for Wave Propagation Computer program-II//Comp. Mech. 1994. - vol. 15. - P. 201-223.

59. Johnson G. R. Three-dimensional analysis of sliding surface during high velocity impact//J. Appl. Mech. 1977. - № 6. - P. 771-773.

60. Кривошеина M. H. Упругопластическое деформирование анизотропных материалов при динамических нагрузках//Физическая мезомеханика. 2006. - Т. 2, - № 2. - С. 37 - 42.

61. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-415 С.

62. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -192 С.

63. Кобенко С. В. Численное моделирование анизотропных тел при ударных нагрузках, к. физ.-мат. Наук. Томск, 2002. - 118 С.

64. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов/Под. ред. Ю.М. Тарнопольского. М.: Мир, 1982. - 334 С.

65. Шишмарев О. А. Экспериментальное исследование границ текучести стали при простом и сложном нагружении//Механика твердого тела. 1968. - № 2. - С. 187 - 190.

66. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И., Лебедев А. А. Теория пластического течения анизотропных сред. Сообщение 1. Определяющие соотношения//Пробл. прочности. 1986. - №4. - С. 50-56.

67. Прасолов П. Ф. Деформационное условие пластичности анизотропных материалов//Пробл. прочности. 1993. - №1. - С. 35-40.

68. Вавакин А. С., Златомрежев С. А., Касатиков В. Н., Степанов JL П. Экспериментальное исследование упругопластических свойств алюминиевых сплавов АМгб и Д16 при пропорциональном деформировании. М.: Ин-т пробл. механики АН СССР, 1984. - 42С.

69. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред,-М.: Мир, 1976.-464 С.

70. Wilkins М. L., Guinan М. W. Impact of cylinders on a rigid boundary//.!. Applied Physics. 1973. - № 3. - P. 45.

71. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук, думка, 1976. -415 С.

72. Лебедев А. А., Ковальчук Б. И., Воронина О. Б., Косарчук В. В. Деформационная теория пластичности трансверсально-изотропных сред//Пробл. прочности. 1998. - №1. - С. 5-14.

73. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И. К формулировке закона запаздывания векторных свойств начально-анизотропных материалов//Пробл. прочности. -1986.-№11.-С. 3-6.

74. Ковальчук Б. И., Косарчук В. В. Определяющие уравнения процессов деформирования малой кривизны для материалов, не удовлетворяющих постулату изотропии//Пробл. прочности. 1988. - №10. -С.3-7.

75. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И., Лебедев А. А. Экспериментальное исследование законов упрочнения начально анизотропных материалов//Пробл. прочности. 1982. - №9. - С. 3-9

76. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И., Мельников С. А. Экспериментальная проверка определяющих соотношений теории пластического течения анизотропных сред//Пробл. прочности. 1991. - №11. - С. 19 - 25.

77. Прасолов П. Ф. Упругий потенциал деформируемого анизотропного тела//Пробл. прочности. 1991. - №3. - С. 38 - 40.

78. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.

79. Бот 3. Е., Арр1. РИув., 20, 15 (1949).

80. Зубчанинов В. Г. Математическая теория пластичности.- Тверь.: ТГПУ, 2002. -300С.

81. Ильюшин А. А. Вопросы общей теории пластичности. ПММ, 1960г., т. 24, вып. 3. С. 399-411.

82. Поздеев А. А., Няшин Ю. И., Трусов П. В. Остаточные напряжения: теория и приложения. М.: Наука, 1982, 112 С.

83. Андреев Л. С. Экспериментальное исследование пластического деформирования при двухзвенных траекториях нагружениях. Изв. АН СССР. МТТ, 1971, №4, С. 143-149.

84. Давранов Ю. Об экспериментальном исследовании соотношений между напряжениями и деформациями для траекторий деформации в виде двухзвенных ломаных.- В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1981, №63, С. 81-94.

85. Коровин И. М. Некоторые вопросы пластичности материалов пи нагружении по траектории с точкой излома. Изв. АН СССР. МТТ, 1969, №3, С. 152- 158.

86. Баш Ю. М. Васин Р. А., Веге К. Э. Об учете деформационной анизотропии в теории течения. В кн.: вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961, С. 83-91.

87. Васин Р. А., Ибрагимов А. Б. О виде матрицы деформационной анизотропии. Докл. АН АзССР, 1965, т. 21, № 9, С. 8-11.

88. Жуков А. М. Поведение материалов при разгрузке и повторной нагрузке. Инж. журн. МТТ, 1961, т. 1, №1, С. 124-133.

89. Шишмарев О. А., Кузьмин Е. А. О зависимости упругих постоянных металла от пластических деформаций. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961, №3, С. 167 - 169.

90. Ленский В. С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций//Вопросы теории пластичности -М. Изд-во АН СССР, 1961, С. 58 82.

91. Ильюшин А. А. Метод СН-ЭВМ в теории пластичности. В кн.: Проблемы прикладной математики и механики. М.: наука, 1971, С. 166-178.

92. Вайнберг М. М. Вариационный метод и методы монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 416 С.

93. Koiter W. Т. Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a singular yield surface. Quart. Appl. Math. 1 1, 350 -354(1953).

94. Батдорф С. Б., Будянский Б. математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения//Механика: Периодический сборник переводов иностранных статей. М. Изд-во иностр. лит., 1962. Т. I. С. 135-155.

95. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. - 600с.

96. Одквист Ф. Упрочнение стали и ей подобных материалов. М.: Иностр. Литература, 1948. С. 283-289.

97. Ziegler Н., A modification of Prager's hardening rule, Quart. Appl. Math. 17, № 1, 55-65 (1959).

98. Сэндерс Дж. Соотношения между напряжениями и деформациями в пластической области, основанные на линейных функциях нагружения. -Механика. Период, сб. пер. иностр. авторов, 1956, №3, С. 99-109.

99. Кривошеина М. Н., Конышева И. Ю., Козлова М. А. Разрушение и упругопластическое деформирование анизотропных материалов при динамическом нагружении. Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. - Т. 12. - №4. - С. 502-513.

100. Козлова М. А., Конышева И. Ю., Кривошеина М. Н. Упрочнение и разрушение ортотропных металлов при динамическом нагружении//Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9.- Спец. выпуск, - С. 5357.

101. Кривошеина М. Н., Козлова М. А. Моделирование упрочнения ортотропных металлов//Труды XII международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии», Томск, 27 марта 31 марта 2006г. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - Т. 1. - С. 413-415.

102. Томск, 26 марта 30 марта 2007г. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - Т. 2. - С. 115-117.

103. Козлова М. А.Моделирование упрочнения анизотропных материалов при динамическом нагружении//Тезисы XXI Международной конференции "Уравнения состояния вещества" Эльбрус-2006, С. 58-59.

104. Кривошеина М. Н., Козлова М. А. Численное моделирование упругопластического деформирования анизотропных преград//Тезисы XXII Международной конференции "Уравнения состояния вещества" Эльбрус-2007, С. 101

105. Кривошеина М. Н., Козлова М. А. Моделирование кинематического и изотропного упрочнения анизотропной среды в задачах динамического нагружения//Тезисы докладов Международной конференции «XVIII сессия

106. Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов, 27 августа 1 сентября 2007. - Саратов: Изд-во СГУ, 2007. С. 66-67.

107. Седов Л. И. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1976. Т. 2. - 574 С.

108. Седов Л. И. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1976. Т. 1. - 536 С.

109. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. -М., Физматлит, 2001, 704С.

110. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. -М., Физматлит, в 2-х Т., 2001-2002.

111. Работнов Ю. Н. Моделирование пластичности. ПМТФ, 1961.