Численное исследование моделей волновой и квантовой физики в постановке обратной параметрической спектральной задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Во Чонг Тхак

• Во Чонг Тхак
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Во Чонг Тхак

Содержание

Введение

Глава 1. Вычислительные схемы и комплексы программ для

решения обратной параметрической спектральной задачи

1.1. Непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН) и его дискретное представление

1.1.1. Итерационная схема на основе НАМН

1.1.2. Алгоритмы вычисления итерационного параметра тк

1.1.3. Дискретное представление и оценка точности вычислительной схемы

1.2. Методы решения прямых задач дискретного спектра

1.2.1. Задача Штурма-Лиувилля как нелинейное уравнение

1.2.2. Задача для уравнения Шредингера и ее аппроксимация как задачи Штурма-Лиувилля

1.2.3. Алгоритм решения частичной задачи Штурма-Лиувилля

1.2.4. Модифицированный алгоритм

1.2.5. Дискретное представление по переменной х

1.2.6. Алгоритм вычисления начальных приближений

1.2.7. Комплексы программ SLIPM и SLIPH4M

1.2.8. Численные примеры

1.3. Метод решения задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах

1.3.1. Задача рассеяния как нелинейная граничная задача

1.3.2. Итерационная схема на основе НАМН

1.3.3. Программа SCAPES

1.3.4. Численный пример. Рассеяние на потенциале Морзе 63 1.4. Комплексы программ для решения обратной параметрической спектральной задачи

1.4.1. Комплекс программ PIPES для решения обратной задачи в дискретном спектре

1.4.2. Численный пример восстановления параметров потенциала Морзе по данным дискретного спектра

1.4.3. Комплекс программ DISCAPESM для решения обратной параметрической задачи рассеяния

1.4.4. Численный пример решения обратной задачи рассеяния на потенциале Морзе

Глава 2. Численное исследование моделей физических систем в постановке обратной параметрической задачи дискретного спектра

2.1. Модель градиентного оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод

2.1.1. Постановка задачи и численный метод решения

2.1.2. Зависимость спектра Еу от параметров модели

2.1.3. Модификация профиля показателя преломления

2.2. Исследование моделей в рамках обратной параметрической

задачи для уравнения Шредингера

2.2.1. Коррекция потенциала для расчета спектра молекулы водорода

2.2.2. Уточнение среднеквадратичного радиуса ядра гелия-6101

Глава 3. Численное решение прямой и обратной задачи рассеяния для сферически симметричных потенциалов, зависящих от параметров (на примере потенциала ВудсагСаксона)

3.1. Рассеяние на потенциале Вудса-Саксона

3.2. Обратная задача рассеяния для потенциала Вудса-Саксона

3.3. Задача восстановления параметров потенциала по фиксированному набору фаз рассеяния и исследование точности от величины шума

3.4. Численное исследование влияния шума, налагаемого на заданные фазы, на собственные значения дискретного спектра

3.5. Исследование точности восстановления параметров потенциала в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния

Заключение

Публикации по теме диссертации

Список цитируемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование моделей волновой и квантовой физики в постановке обратной параметрической спектральной задачи»

Введение

Общая характеристика работы

В диссертации предложен и численно реализован подход к исследованию математических моделей волновой и квантовой физики, которые могут быть сведены к частичной задаче Штурма-Лиувилля на конечном интервале или полуоси [1, 2]. В последнем случае это задачи дискретного или непрерывного спектра для радиального уравнения Шредингера [3].

В частичной задаче Штурма-Лиувилля для линейного дифференциального уравнения

</?(1)(А, У) = + 2р(х)4- + Я(х) - \г(х)}у(х) = О, а < х <Ь, (0.1)

dx2 dx

с граничными условиями

= 0, (0.2)

ах x=xii)

г = 1,2; хЫ = а, = Ь и условием нормировки

= [di(X:x)^ + МХ,х)}у(х)

b

[y(x)]2dx -1 = 0, (0.3)

где A - числовой параметр, р(х), q(x), r(x), di(\,x), fi(\,x) - заданные функции, {di{A, х)2 + /j(A, х)2 > 0), требуется вычислить собственное значение А = А* и соответствующее ему решение у{х) = у*(х) задачи (0.1)—(0.3) или конечную последовательность {А^, т = 0,1,..., mmax собствен-

ных значений А = А^ и соответствующих решений у{х) = у^{х). Для радиального уравнения Шредингера

+ 2ME - - V(x)}y(x) = 0, 0 < х < оо, (0.4)

где М > 0 - приведенная масса квантовой системы, Е - энергия, L = 0,1, 2,... - орбитальный момент, V(x) - потенциал взаимодействия, ограни-

ченные нетривиальные решения у(х) - волновые функции, удовлетворяющие условию регулярности

2/(0) = 0, (0.5)

в дискретном спектре Е = Е^ (Е < 0, v ~ 0,1, 2,... - вибрационное число) имеют экспоненциально убывающую асимптотику

у(х) сф{Е,х) = сехр(—2МЕ'х), х оо, (0.6)

где с - постоянная.

Частичная задача дискретного спектра состоит в вычислении конечной последовательности значений энергии Е = Е^ и соответствующих волновых функций у(х) = у^(х), v = 0,1, 2,..., г»тах.

В непрерывном спектре (Е > 0) нетривиальные волновые функции у(х) задачи (0.4)-(0.5) существуют для всех значений Е и имеют осциллирующую асимптотику

Lit

у(х) —> Asin(kx--— + 6L), х —> оо, (0.7)

где к = л/2ME - импульс, Л - амплитуда, 5l = _ фаза рассеяния.

Частичная задача непрерывного спектра заключается в вычислении для заданной конечной последовательности значений импульса к — ki волновых функций у(х) = y(ki, х) и соответствующих значений фаз рассеяния = fa(ki), г = 1.2,..., гтах. Рассматриваются такие математические модели, зависимость которых от дополнительных параметров р = (pi, ...,рп) приводит к зависимости от этих параметров спектральных задач (0.1)—(0.3), (0.4)-(0.6) и (0.4),(0.5),(0.7) и их решений.

Предполагается, что решения этих задач существуют. В рамках рассматриваемых моделей теоретические значения изучаемых характеристик физических систем являются функционалами от спек-

тральных характеристик, то есть решений указанных спектральных задач

{А*т(р),у^(х,р)}, т = 0,1,..., штах; задача (0.1) - (0.3), {^(Й^М}, V — 0,1,...,г?тах; задача (0.4) - (0.6), (0.8)

к {йь(кг,Р),у{кг,х,р)}, г = 1,2,..., гтах; задача (0.4), (0.5), (0.7).

Таким образом, для каждой исследуемой модели возникает обратная параметрическая спектральная задача: по заданным (экспериментальным или тестируемым) значениям характеристик физической системы требуется в допустимой области О, параметров модели р € П восстановить спектральную задачу (то есть найти р = р*), с помощью которой обеспечивается минимальное отклонение заданных значений характеристик от теоретических.

Решение этой задачи можно свести к задаче минимизации по параметрам р = (р1,р2, Рп) £ ^ функционала квадратичного типа

ттФ(р) = ][>ЛЛ - Ф¿(г(р))}\ (0.9)

3=1

где ¡з - заданные (экспериментальные или предлагаемые для исследования) значения характеристик моделируемой физической системы, Ф$(г{р)) - функционалы, соответствующие теоретическим значениям этих характеристик и зависящие от решений г(р) (0.8) параметризованной спектральной задачи математической модели, - весовые коэффициенты (с^- > 0), 5 - количество заданных данных. Относительный минимум в задаче (0.9) всегда существует в выбранной области П. По его величине и близости к абсолютному значению " 0" можно судить как о соответствии параметризации спектральной задачи и выбранной области в математической модели изучаемой физической системы, так и о точности определения параметров модели.

Актуальность работы. Проверка применимости математической

модели, формализованной в виде уравнений, зависящих от параметров, для

7

описания наблюдаемых характеристик изучаемой физической системы является важным шагом при обосновании этой модели. В диссертации численно исследованы характеристики физических систем в рамках следующих математических моделей, которые приведены к обратной параметрической спектральной задаче (0.9):

1. Модель градиентного оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод [4, 5].

Задача конструирования оптического волновода с эквидистантным спектром, исследованная в Главе 2, является актуальной, поскольку для регистрации выходного сигнала такого волновода проще изготовить разрешающую оптическую линейку.

2. Коррекция потенциала для расчета спектра молекулы водорода.

Задача вычисления спектра (уровней энергии и соответствующих волновых функций) молекулы водорода (#2) служит хорошим тестом для компьютерных программ решения уравнения Шредингера в дискретном спектре (0.4)-(0.6). Точность численных результатов определяется их сравнением с высокоточными данными спектроскопических измерений уровней энергии Н2 [6]. По этим же данным в работе [6] восстановлена потенциальная кривая (то есть приближенно решена обратная спектральная задача), представляющая таблично заданную функцию на отрезке 0.4 < х < 10 с неравномерным шагом. Метод преобразования этой таблицы для задания потенциала V(ж) в конкретной программе зависит от реализованного в ней алгоритма решения задачи (0.4)—(0.6), точность воспроизведения спектроскопических уровней энергии #2 также зависит от этого метода.

Возникает задача о повышении точности воспроизведения экспериментальных значений уровней энергии при заданных параметрах алгоритма решения задачи (0.4)-(0.6) за счет коррекции построенного по таблице по-

тенциальной кривой потенциала У(х). Один из подходов к решению этой задачи заключается в параметризации потенциала У{х) — У{х,р) и сведении ее к обратной параметрической спектральной задаче (0.9).

Отметим, что при решении стационарного трехмерного уравнения Шре-дингера методом Л.В. Канторовича оно приводится к бесконечной системе радиальных уравнений. Актуальной является задача построения эффективных приближений этой системы с помощью систем небольшого числа (одно, два) уравнений при условии сохранения асимптотик потенциалов, определяющих непрерывный спектр, и воспроизведения с необходимой точностью заданных точек дискретного спектра [7]. В цитируемой работе для решения этой задачи применяется метод продолжения по параметру, которым служит эффективная масса М квантовой системы. Предложенный в диссертации подход является развитием этого метода.

3. Уточнение среднеквадратичного радиуса ядра гелия—6.

В моделях ядерной физики широко используется потенциал Вудса-Сак-сона, который имеет вид [8]

и(х) = \/о(1 + ехр(^——

(X

где Ц, Я, а - параметры.

Для изучения рассеяния нейтроноизбыточных ядер гелия—6 (6Не) высокой энергии на ядрах углерода—12 (12С) в работе [9] использовалась На- модель, в которой ядра 6Не рассматривались как кластер, составленный из двух фрагментов: ядра 4Не и динейтрона (2п). Характеристики взаимодействия фрагментов описываются в терминах задачи дискретного спектра (0.4)-(0.6). Для перехода в систему единиц /га-модели в уравнении (0.4) необходимо выполнить следующие подстановки: Е = —А, 2М = 0.06380480686 - константа, выражающаяся через приведенную массу фраг-

ментов, потенциал У{х) имеет вид

У(х) = У(х,р) = -2 МЩх),

где р = (Уо, Я, а) - вектор параметров.

В Главе 2 проведено численное исследование этой проблемы, проведено сравнение и уточнение теоретических значений среднеквадратичного радиуса ДГ7П5 ядра 6#е, представляющего интерес для развития моделей ядра. Эта задача может быть рассмотрена в постановке обратной параметрической спектральной задачи (0.9) в физически допустимой окрестности О, значений параметров потенциала Вудса-Саксона с учетом экспериментального значения энергии развала Е ядра 6 Не и проверяемых значений В рамках /га-модели по величине минимума (0.9) можно судить о точности каждого значения Игтв-

4. Обратная задача рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров.

Обратная задача рассеяния - фундаментальная задача теоретической физики, решение которой позволяет установить взаимодействие фрагментов физической системы по экспериментально наблюдаемым характеристикам их рассеяния.

В рамках уравнения Шредингера (0.4) эта задача о восстановлении потенциала У{х) по известным асимптотическим свойствам (0.7) его решений является некорректной, а условия полноты наблюдаемой информации, необходимые для разрешимости задачи, практически не выполняются.

В отличие от математической постановки обратной задачи квантовой теории рассеяния, для которой решены вопросы существования и единственности решения (см., например, [10, с. 200-223]), предлагается упрощенный вариант, но более приближенный к физической постановке. В этой постановке предполагается, что потенциал У(х) в уравнении (0.4) дополнительно

зависит от параметров квантовой системы. Восстановить потенциал У(х)

10

в рамках выбранного параметрического семейства У(х,р), где р - вектор параметров из заданной области по заданному набору значений фаз рассеяния 8*ь = {6*ь(кг),1 = 1,2,...,га} означает найти вектор параметров р*, для которого достигается минимум функционала

т

г=1

где 5ь{кг,р) - значение найденной фазы рассеяния в задаче (0.4), (0.5), (0.7) с выбранным потенциалом У(х,р), р Е О при к = к^ и заданным значением Ь. В частности, потенциалом У{х,р) может быть один из модельных потенциалов, применяемых в различных разделах квантовой механики (например, [8]). Задача минимизация функционала (0.10) представляет частный случай задачи (0.9). Такой подход к решению обратной задачи рассеяния не является строгим, однако, даст возможность преодолеть трудности, обусловленные некорректностью задачи и ограниченностью экспериментальных данных.

Рассмотренные модели, описываемые прямыми спектральными задачами, решения которых определяют теоретические характеристики физических систем, объединены единым подходом к их исследованию в рамках обратной параметрической спектральной задачи. Параметризация прямой задачи зависит от изучаемой модели. Она может быть выполнена как введением дополнительных параметров для сдвига части дискретного спектра, (например, [11]) так и естественным образом, когда потенциалы (коэффициенты) прямой задачи зависят от параметров модели. Однако, аналитическое решение спектральных задач для этих моделей практически невозможно. Поэтому важную роль в таком подходе играет эффективный вычислительный аппарат для расчета теоретических характеристик физических систем, включая численное решение прямых спектральных задач, и вычисление параметров модели, обеспечивающих минимальное отклонение теоретических

характеристик от заданных.

В диссертации для решения спектральных задач (0.1)-(0.3), (0.4)-(0.6) и (0.4), (0.5), (0.7) используются итерационные схемы на основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) [12] с выбором итерационного параметра, обеспечивающего оптимальную сходимость итераций в зависимости от невязки приближенного решения. Сингулярные задачи (0.4)-(0.6) и (0.4), (0.5), (0.7) аппроксимируются регулярными на конечном интервале 0 < х < Ъ путем переноса асимптотических условий (0.6) и (0.7) в достаточно удаленную точку х = 6 > 1. Приближенная задача дискретного спектра доопределяется условием нормировки (0.3), скорректированным для учета асимптотики на полуоси, а граничное условие при х — Ъ имеет вид (0.2). Приближенная задача рассеяния формулируется как граничная задача с нелинейным граничным условием при х = Ь, в котором неизвестная фаза рассеяния исключена. Фаза определяется после вычисления с помощью итераций волновой функции с учетом ее асимптотики. Для дискретной аппроксимации задач применяется разностная схема с точностью аппроксимации О (к4), где Н - шаг равномерной сетки.

Выбранный численный метод обеспечивает устойчивое решение прямых спектральных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с контролируемой точностью в достаточно широких областях дискретного и непрерывного спектра. Он легко обобщается на многоканальные задачи для систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений [12].

Для решения обратной параметрической спектральной задачи (0.9) используются проверенные алгоритмы минимизации: классический метод покоординатного спуска [13] и современный метод Нелдера-Мида (например, [14]), не требующие вычисления производных функционала.

Разработка комплексов программ, реализующих алгоритмы решения

поставленных спектральных задач, на языке МАРЬЕ является актуальной, поскольку восполняет их отсутствие в этой среде и позволяет дополнить пользовательский интерфейс современными средствами компьютерной аналитики и графики.

Работы по теме диссертации выполнены в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ при поддержке РФФИ (гранты 09-01-00770-а, 10-01-00467-а, 12-01-00396-а, 13-01-00595-а).

Цели и задачи исследований

Цель диссертации: разработка комплексов программ на основе эффективных вычислительных схем и исследование с их помощью моделей оптического волновода и квантовых систем, описываемых спектральными регулярными и сингулярными задачами Штурма-Лиувилля, зависящими от параметров моделей, в рамках обратной задачи определения параметров, обеспечивающих минимальные отклонения заданных характеристик физических систем от теоретических.

Для достижения этой цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Развитие имеющейся программы [15] численного решения задачи Штурма-Лиувилля (0.1)—(0.3), использующей разностную аппроксимацию задачи с точностью О (/г4), где 1ъ - шаг равномерной сетки, и итерационную схему Ньютона с итерационным параметром, оптимизирующим сходимость итераций в зависимости от изменения невязки приближенного решения. Включение в программу процедур уточнения разностного решения на последовательности сгущающихся сеток [16], а также вычисления начального значения итерационного параметра для уменьшения числа итераций. Разработка программы БЫРВДМ на языке системы МАРЬЕ. Выполнение тестовых расчетов примеров задачи (0.1)-(0.3) и задачи дискретного спектра уравнения Шредингера (0.4)-(0.6) в приближенной постановке на конеч-

ном интервале путем переноса асимптотического условия (0.6) в достаточно удаленную точку ж = i) > 1 и доопределения условием нормировки (0.3). Численное исследование влияния параметров вычислительной схемы на сходимость и точность результатов.

2. Разработка алгоритма численного решения задачи рассеяния (0.4), (0.5), (0.7) в постановке граничной задачи с нелинейным граничным условием для волновой функции в достаточно удаленной точке, в котором фаза рассеяния исключена [17], с помощью итерационной схемы Ньютона с параметром. Вывод формулы для вычисления фазы волновой функции, вычисленной с помощью итерационной схемы Ньютона с требуемой точностью. Разработка программы SCAPES на языке системы MAPLE с использованием процедур, общих с программой SLIPH4M. Выполнение тестовых расчетов для численного исследования сходимости и точности вычислительной процедуры.

Отметим, что для решения регулярных и сингулярных задач Штурма-Лиувилля существуют процедуры устойчивого вычисления спектральных параметров, основанные на фазовом методе, с помощью которого спектральная задача преобразуется в задачу Коши для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка относительно плавно меняющейся фазовой функции [13, с. 282-284], [18, 19].

Обоснованием выбора в диссертации вычислительной схемы решения спектральных задач на основе НАМН служит устойчивость и точность, обеспечиваемые назначением ее параметров, а также возможность непосредственного использования вычисленных волновых функций, например, для построения специальных базисов разложения решений задач большой размерности [20]. Схему без принципиальных сложностей можно развить для систем уравнений, используя в программах матричные операции, тогда как фазовый метод для систем представляет сложность [19, с. 166-173].

3. Разработка на языке MAPLE процедур минимизации функционала (0.9) квадратичного типа, не использующих вычисления производных, в заданной области изменения параметров. Процедуры реализуют: а) метод покоординатного спуска [13, с. 203-207], методы одномерной минимизации - метод золотого сечения [13, с. 196-198] и модификацию метода парабол [13, с. 198-200]; б) метод деформированного многогранника Нелдера-Мида [14, с. 9-18].

4. Разработка на языке MAPLE комплекса программ PIPES для вычисления параметров модельных потенциалов регулярной и сингулярной задачи Штурма-Лиувилля, минимизирующих функционалы, которые описывают отклонения экспериментальных данных от соответствующих теоретических величин, зависящих от собственных значений и собственных функций параметризованных уравнений.

5. Разработка на языке MAPLE комплекса программ DISCAPESM с включением в него программы SCAPES для решения прямой и обратной задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров.

6. Численное исследование моделей оптического волновода и квантовой физики, включая построение функционалов в задаче (0.9), численное исследование сходимости и точности результатов. В обратной параметрической задаче рассеяния численное исследование точности восстановления параметров потенциала в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния и от величины шума, накладываемого на заданные значения фаз. Численное исследование влияния ошибок в заданных фазах рассеяния на собственные значения дискретного спектра.

Научная новизна.

1. Развитие оригинального подхода к исследованию математических моделей волновой и квантовой физики, приводящих к численному анали-

зу регулярных и сингулярных задач Штурма-Лиувилля, зависящих от параметров модели. Подход основан на постановке обратной задачи для вычисления параметров моделей, обеспечивающих в заданных областях минимальные отклонения теоретических характеристик физических систем, выражающихся через решения соответствующих спектральных задач, от заданных.

2. В обратной задаче рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров, для прямой задачи адаптирована ее постановка как граничной задачи с нелинейным граничным условием, решение которой осуществляется итерационной схемой на основе НАМИ.

3. Реализация на единой основе НАМН подхода к численному решению задач дискретного и непрерывного спектра в вычислительной схеме решения обратной параметрической спектральной задачи.

4. Новые комплексы программ решения обратной параметрической спектральной задачи на языке системы аналитических вычислений и компьютерной алгебры МАРЬЕ.

5. Новые результаты численного исследования моделей конкретных физических систем:

а) вычисление параметров экспоненциального профиля показателя преломления градиентного оптического волновода, обеспечивающих приближенную эквидистантность спектра волноводной моды; модификация профиля, обеспечивающая более высокую точность эквидистантности спектра.

б) сравнение теоретических значений среднеквадратичного радиуса ядра гелия-6 с вычисленными другими авторами в двух различных моделях ядра.

в) повышение точности воспроизведения экспериментальных значений уровней энергии молекулы водорода.

г) численное исследование точности восстановления параметров потен-

циала Вудса-Саксона в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния и от величины шума, налагаемого на задаваемые фазы.

Практическая значимость.

Комплексы программ SLIPM [Bl], [В6]-[В9], SLIPH4M [В2], PIPES [ВЗ, В4, BIO] и DISCAPESM [В5] с подробным описанием и тестовыми задачами сданы в библиотеку стандартных программ ОИЯИ JINRLIB. Адреса их размещений на сайтах:

http://wwwinfo .jinr.ru/programs/j inrlib/slipm/index. html http: //wwwinfo. j inr.ru / programs/j inrlib / sliph4m / index, html http: / / wwwinfo. j inr.ru/programs/j inrlib/pipes/index, html http: //wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrHb/discapesm/mdex.html

Комплексы программ можно использовать для численного анализа математических моделей, приводящих к задачам Штурма-Лиувилля на конечном отрезке или полуоси, как для решения прямых спектральных задач, так и задачи о соответствии модели, зависящей от параметров, наблюдаемым характеристикам изучаемой физической системы.

Положения, выносимые на защиту.

1. Постановка обратной параметрической спектральной задачи для математической модели, описываемой задачей Штурма-Лиувилля на отрезке или полуоси, зависящей от параметров модели. Задача состоит в минимизации в допустимой области изменения параметров функционала в виде суммы квадратов отклонений заданных характеристик моделируемой физической системы от их теоретических значений, являющихся функционалами от решений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

2. Итерационная схема на основе НАМИ решения задачи рассеяния для радиального уравнения Шредингера, основанная на ее постановке как граничной задачи с нелинейным граничным условием в точке из асимптотической области для волновой функции.

3. Комплекс программ на языке системы MAPLE для решения обратной параметрической спектральной задачи, в котором решение задач дискретного и непрерывного спектра единообразно реализовано с помощью итерационных схем на основе НАМН.

4. Численное исследование параметров моделей оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод, спектра молекулы водорода, нейтроноизбыточного ядра гелия-6 и обратной задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах в постановке обратной параметрической спектральной задачи.

Достоверность результатов основана на всестороннем тестировании разработанных комплексов программ, включая сравнения результатов расчетов с известными аналитическими и численными результатами, а также численные проверки сходимости и точности дискретных решений в зависимости от параметров дискретизации и их согласованности с теоретическими оценками [21]. При исследовании конкретных моделей также выполнен численный анализ, дающий достоверные оценки точности результатов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях:

1. "Mathematical Modeling and Computational Physics. MMCP'2009" (July 7- 11 2009, LIT JINR, Dubna, Russia), http://mmcp2009.jinr.ru;

2. "XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии"(19 - 23 апреля 2010, РУДН, г. Москва), htt р: / / www .conference.sci.pfu.edu.ru/node/47;

3. "Международная молодёжная конференция-школа. Современные проблемы прикладной математики и информатики. MPAMCS'2012"

(22 - 27 августа 2012, ОИЯИ, г. Дубна), http://mpamcs2012.jinr.ru

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 10

печатных работах, представленных отдельным списком, из них 5 статей

18

([В1]-[В5]) - в изданиях из списка ВАК и 5 работ ([В6]-[В10]) - в сборниках трудов конференций и в виде препринтов ОИЯИ.

Личный вклад автора.

Автор диссертации самостоятельно адаптировал и расширил возможности базовых программ решения задач Штурма-Лиувилля на языке системы МАРЬЕ. Он самостоятельно разработал вычислительные схемы и комплексы программ решения обратной параметрической спектральной задачи, выполнил комплексное тестирование программ. Он провел все расчеты, относящиеся к численному исследованию представленных в диссертации моделей и оценке точности результатов. Автор участвовал в постановке задач и анализе полученных результатов совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Список цитированной литературы содержит 50 наименований. Отдельным списком представлены работы автора по теме диссертации. Полный объем диссертации 137 страниц машинописного текста, включая 20 рисунков и 23 таблицы. Главы диссертации разбиты на параграфы, параграфы разделены на пункты. Нумерация формул, таблиц и рисунков сквозная в пределах каждой главы.

Краткое содержание работы

Введение содержит описание класса исследуемых математических моделей. Даны постановки частичных спектральных задач Штурма-Лиувилля и задач дискретного и непрерывного спектра для радиального уравнения Шредингера. Сформулирована обратная параметрическая спектральная задача для прямых спектральных задач, зависящих от параметров, описывающих модели волновой и квантовой физики. Она сводится к минимизации по параметрам в заданной области функционала, характеризующего отклонения экспериментальных данных от их теоретических значений в изучаемых

математических моделях физики. Приведены конкретные модели, представляющие предмет исследований. Рассмотрены методы численного решения поставленных задач и вопросы разработки необходимых комплексов программ. Обсуждаются актуальность и новизна исследований, их практическая применимость. Сформулированы положения, выносимые на защиту, дано обоснование достоверности полученных результатов.

Глава 1 представляет описание вычислительных схем и комплексов программ для решения обратной параметрической спектральной задачи, ориентированных на исследование конкретных моделей. Рассмотрен общий подход к построению итерационных схем на основе НАМИ, алгоритмы вычисления итерационного параметра в зависимости от изменения невязки приближенного решения. Обсуждается методика оценки точности численного решения нелинейного функционального уравнения, полученного с помощью итерационной схемы. На основе общего подхода рассмотрены итерационные схемы для численного решения задачи Штурма-Лиувилля и задачи дискретного спектра для уравнения Шредингера, приведенного к задаче Штурма-Лиувилля путем переноса асимптотики волновой функции из бесконечности в достаточно удаленную конечную точку. Дано описание комплекса программ SLIPH4M на языке системы MAPLE для численного решения задачи Штурма-Лиувилля. Комплекс SLIPM имеет аналогичную структуру.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Во Чонг Тхак, 2013 год

Список цитируемой литературы

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. — М.: Физматгиз. 1961. 437 с.

2. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. — М.: Физматгиз. 1963. 338 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.: Наука. 1974. 752 с.

4. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир. 1984. 512 с.

5. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир. 1974. 574 с.

6. Sharp Т.Е. Potential-energy curves for molecular hydrogen and its ions // Atomic Data and Nuclear Data Tables. - 1971. — Vol. 2. — Pp. 119-169.

7. Виницкий С.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Простое эффективное адиабатическое представление в задаче трех тел и моделирование перехода квазистационарного состояния в слабосвязанное для dtp-мезомолекулы // Ядерная физика. — 1992. — Т. 55, Вып. 12. — С. 3271-3277.

8. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. — М.: Мир. 1974. Т. 1. 341 с, T .2. 315 с.

9. Lukyanov V.K., Zemlyanaya E.V., Lukyanov K.V. Estimation of the breakup cross sections in 6He+12C reaction within high-energy approximation and microscopic optical potential // International Journal of Modern Physics E. - 2011. - Vol. 20, No. 9. - Pp. 2039-2047.

10. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова Думка. 1977. 330 с.

11. Захарьев Б.Н., Костов Н.А, Плеханов Е.Б. Точно решаемые одно- и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции I) // ЭЧАЯ. — 1990. - Т. 21, Вып. 4. - С. 914-962.

12. Пузынин И.В., Амнрханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П., Стриж Т.А., Лахно В.Д. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых квантово-полевых моделей // Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 1999. - Т. 30, Вып. 1. - С. 210-265. http://wwwl .jinr.ru/Рерап / v-30-1 / v-30-l-5.pdf

Puzynin I.V., Amirkhanov I.V., Zemlyanaya E.V., Pervushin V.N., Puzynina T.P., Strizh T.A. and Lakhno V.D. The generalized continuous analog of Newton's method for the numerical study of some nonlinear quantum-field models //Physics of Particles and Nuclei. — 1999. — Vol. 30, No. 1. - Pp. 87-110.

13. Калиткин H.H. Численные методы. — M.: Наука. 1978. 512 с.

14. Математический синтез оптических наноструктур. Учеб. пособие / Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А., Паукшто М.В., Бикеев О.Н. — М.: РУДН. 2008. 213 с.

15. Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж T.A. SLIPH4 - Программа для численного решения задачи Штурма-Лиу вил-ля // - Сообщения ОИЯИ, Р11-87-332, Дубна. - 1987. http: //wwwinfo. j inr. ru/programs / j inrlib/slip/

16. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. — М.: Наука. 1979. 320 с.

17. Huss R., Kalaba R., Vasudevan R. On a boundary value problem for integro-differential equations // J. Math. Phys. — 1974. — Vol. 15, — No. 8. — Pp. 1285-1287.

18. Bailey P.B., Everitt W.N. and Zettl A. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code // ACM Trans. Math. Software. - 2001. - Vol. 21. - Pp. 143-192.

19. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — М.: Мир. 1972. 296 с.

20. Ponomarev L.I., Puzynina Т.P., Somov L.N. Non-adiabatic Matrix Elements Connecting the Discrete and Continuous Spectra of Two-Centre Problem in Quantum Mechanics //J. Phys. B: Atom. Mol. Phys. — 1977.

- Vol. 10, No. 4. - Pp. 1335-1345.

21. Самарский A.A. Теория разностных схем. — M.: Наука. 1983. 616 с.

22. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Известия Вузов. Математика. — 1958. - Т. 5(6). - С. 18-31.

23. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики // Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 1973. - Т. 4, Вып. 1. - С. 127-166. Zhidkov Е.Р., Makarcnko G.I., Puzynin I.V. Continuous analog of the Newton method in nonlinear physical problems // Sov. J. Particles Nucl.

- 1973. - Vol. 4, No. 1. - Pp. 53-69.

24. Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона // ЖВМиМФ. - 1981. - №2. - T.21. - С. 491-497.

25. Пузынин И.В., Бояджиев T.JI., Виницкий С.И., Земляная Е.В., Пузынина Т.П., Чулуунбаатар О. О методах вычислительной физики для исследования моделей сложных физических процессов / / Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 2007. - Т. 38, Вып. 1. - С. 144-232. http://wwwinfo.jmr.ru/publish/Pepan/2007-v38/v-38-l/pdf/03_puz.pdf

Puzynin I.V., Boyadzhiev T.L., Vinitskii S.I., Zemlyanaya E.V., Puzynina

134

Т.P., Chuluunbaatar О. Methods of computational physics for investigation of models of complex physical systems // Physics of Particles and Nuclei.

- 2007. - Vol. 38, No. 1. - Pp. 70-116.

26. Гавурин M.K. Лекции no методам вычислений. —M.: Наука. 1971. 248 с.

27. Канторович JI.B. Приближенное решение функциональных уравнений // У.М.Н. -1956. - Т.11, Вып. 6(72). - С. 99-116.

28. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика.

- М.: Мир. 1969. 448 с.

29. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. — М.: Мир. 1979. 312 с.

30. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука. 1970. 564 с.

31. Акишин П.Г., Пузынин И.В. Реализация метода Ньютона в разностной задаче Штурма-Лиувилля //— Сообщение ОИЯИ, 5-10992, Дубна.

- 1977.

32. Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Программа приближенного решения задачи Штурма-Лиувилля с помощью непрерывного аналога метода Ньютона. В сб.:Collection of scientific papers in collaboration of JINR, Dubna, USSR and Central Research Institute for Physics. - Budapest, Hungary. KFKI-74-34. - 1974. - C. 93-112. http: / / wwwinfo. j inr. ru/programs / j inrlib/slip/

33. Robert J. Lopez. Classroom Tips and Techniques Eigenvalue Problems for ODEs. Partl-PartS. — Maplesoft. http://www.maplesoft.com/

34. Peter J. Mohr, Barry N. Taylor, and David B. Newell. CODATA

recommended values of the fundamental physical constants: 2006 //Reviews of Modern Physics. - April-June 2008. — Vol.80. - Pp. 633-730.

35. Вабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.: Наука. 1976. 287 с.

36. Жидков Е.П., Пузынин И.В. Применение непрерывного аналога метода Ньютона для приближенного решения одной нелинейной граничной задачи // Доклады АНСССР. - 1968. - Т. 180. - № 1. - С. 18-21.

37. Alhassid Y., Gursey F., Iachello F. Group Theory Approach to Scattering // Annals of Physics. - 1983. - Vol. 148. - Pp. 346-380.

38. Melezhik V. S. Continuous analog of Newton method in the multichannel scattering problem // Journal of Computational Physics. — 1986. - Vol. 65, No. 1. - Pp. 1-17.

39. Виницкий С.И., Пузынин И.В., Смирнов Ю.С. Решение задачи рассеяния на основе многопараметрических ньютоновских схем. Однока-нальное рассеяние // Ядерная Физика. — 1990. — Т.52, Вы.4(10). — С. 1176-1189.

40. Жидков Е.П., Козлова О.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния при наличии собственных функций и значений // Математическое моделирование. —• 2006. — Т. 18. — №2. - С. 120-128.

41. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир. 1975. 558 с.

42. Polyanskiy М. Refractive Index Database, http://refractiveindex.info/

43. Соболев А.В., Яфаев Д.Р. Фазовый анализ в задаче рассеяния на радиальном потенциале // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций ЛОМИ, 147. — Л.: Наука, Ленинградское отд. — 1985. — С. 155—178.

136

44. Князьков О.М., Кухтина И.Н., Фаянс С.А. Квазиупругое рассеяние легких экзотических ядер // Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 1997. - Т. 28, Вып. 4. - С. 1061-1114.

45. Логунов А.А., Тавхелидзе А.Н., Фаустов Р.Н. Квазипотенциальный подход в квантовой теории поля //XII Международная конфереция по физике высоких энергий. — Т. 1. — М.: 1966. — С. 222.

46. Logunov А.А., Nguyen Van Hieu. On some consequences of analiticity and unitarity // Topical Conference on High-Energy Collisions of Hadrons. Vol. II, CERN, Geneva, 15-18 January 1968 - Geneva: CERN 68 - 7, 29 February 1968. — Pp. 74-92.

47. Гарсеванишвили В.P., Матвеев В.А., Слепченко Л.А. Рассеяние адронов при высоких энергиях и квазипотенциальный подход в квантовой теории поля // Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 1970. - Т. 1. - С. 91-130.

48. Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В., Малышев Р.В., Хоромский Б.Н., Христов Е.Х., Улегла И. Итерационные методы решения обратной задачи рассеяния // Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 1978. - Т. 9, Вып. 3. - С. 710-768.

49. Abramov D.I. Quantum inverse scattering problem as a Cauchy problem // Journal of Computational Physics. - 1991. - Vol. 97. - Pp. 516-534.

50. Быков A.A., Дремин И.М., Леонидов А.В. Потенциальные модели квар-кония // Успехи физических наук. — 1984. — Т. 143, Вып. 1. — С. 3-32.