Ньютоновские вариационно-итерационные схемы для численного исследования трехчастичных квантовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чулуунбаатар, Очбадрах

• Чулуунбаатар, Очбадрах
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чулуунбаатар, Очбадрах

Введение

Глава 1 Ньютоновская итерационная схема с вариационным функционалом Швингера для решения задачи рассеяния

1.1 Непрерывный аналог метода Ньютона

1.2 Формулировка задачи рассеяния как задачи на собственные значения на основе вариационного функционала Швингера

1.2.1 Задача рассеяния на полуоси.

1.2.2 Задача рассеяния на всей оси.

1.3 Численные примеры и обсуждение

1.3.1 Потенциал Морзе.

1.3.2 Потенциал сферическои-.ямы . . ^.

1.4 Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона с зависимостью от вектор-параметра 39 1.4.1 Потенциал Вудса-Саксона.

1.5 Специальные схемы повышенного порядка точности построенные для вычисления фазового сдвига

Глава 2 Итерационные схемы для решения многоканальной задачи рассеяния и задачи на связанные состояния

2.1 Общая постановка задачи трех частиц

2.2 Задача трех частиц в адиабатическом представлении 51 2.2.1 Задача дискретного спектра в многоканальном приближении

2.2.2 Многоканальное рассеяние с одним открытым каналом

2.2.3 Многоканальное рассеяние

Глава 3 Вычисление факторизованных коррелированных гелиевых изоэлектронных связанных состояний

3.1 Новое факторизованное коррелированное представление

3.2 Приведение к алгебраической задаче обобщенной задачи на собственные значения

3.3 Сравнение вычислений методов факторизованного коррелированного представления

Глава 4 Применение вариационных функций для расчета процессов ионизации атома гелия быстрыми электронами

4.1 Двенадцати компонентная однопараметрическая функция основного состояния атома гелия

4.2 Исследование процессов (е, 2е) и (е, Зе) ионизации атома гелия быстрыми электронами

4.2.1 Теория.

4.2.2 Результаты расчетов и их обсуждение.

4.3 Исследование реакций р Не —> Н + Не+ и р + Не —>• Н + Не++ + е при сверхмалых углах рассеяния водорода

4.3.1 Теория.

4.3.2 Результаты расчетов и их обсуждение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ньютоновские вариационно-итерационные схемы для численного исследования трехчастичных квантовых систем»

Актуальность проблемы. Задача трех квантовых частиц представляет классическую проблему и используется в качестве модели для описания физических процессов в различных областях: мезокатализ, захват антипротонов в смеси атомов гелия и молекул водорода, ионизация атомов гелия быстрыми электронами и протонами, фрагментация ядер и т.д. Теоретические подходы для изучения этих процессов тесно связаны с компьютерным моделированием. Вычисление с заданной точностью энергий и волновых функций атома гелия и гелиеподобных атомов, сечений реакций ионизации (е,2е) и (е, Зе) атома гелия быстрыми электронами, а также исследование реакций простого захвата протона р + Не Н + Не+ и захвата протона с ионизацией атома гелия р + Не —>-Н-\-Не++ + е являются актуальными задачами для интерпретации новых экспериментов по лазерной и электронной спектроскопии в современной атомной физике [1, 2, 3, 4, 5]. Разработка устойчивых и эффективных методов численного анализа задачи трех квантовых частиц - одна из фундаментальных проблем математического моделирования широкого класса физических процессов.

В ядерной физике для корректного решения задачи нескольких частиц с короткодействующими парными взаимодействиями широко используется методы биполярных [6] и гиперсферических гармоник [7] и поверхностных однопараметрических функций [8, 9, 10]. В этих подходах исходная задача редуцируется методом Галеркина или Канторовича [11] к спектральным задачам для систем интегро-дифференциальных или обыкновенных дифференциальных уравнений с гиперрадиусом в качестве независимой переменной. Особый интерес вызывают задачи с сингулярными взаимодействиями, например, центробежными взаимодействиями [12, 13, 14, 15], взаимодействиями нулевого радиуса в виде 5- функций [16], и задачи с граничными условиями третьего рода [17]. Дело в том, что дифференциальная постановка таких задач вызывает трудности. Чтобы их избежать используется формулировка задачи в виде системы интегральных уравнений, в которой все трудности преодолеваются выбором подходящего параметрического базиса и аппроксимацией алгебраической задачей с полностью заполненными матрицами. Поэтому актуальной задачей является разработка устойчивых итерационных схем и алгоритмов решения спектральных задач для систем фредгольмовых интегральных уравнений.

Указанные задачи имеют единообразную постановку в рамках различных вариационных принципов Рэлея-Ритца, Хюльтена, Швингера [17], а также проекционных методов Галеркина и Канторовича [11]. Для решения квантовой задачи нескольких частиц с короткодействующими парными потенциалами используется вариационный функционал Швингера [17], на основе которого разработаны различные итерационные схемы [18, 19]. В ряде случаев такие схемы для многоканальной задачи рассеяния не обеспечивают устойчивого вычисления необходимых физических параметров [19, 20]. Для решения подобных спектральных задач широкое применение получил непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН), являющийся основой для построения устойчивых и эффективных итерационных схем [21, 22, 23]. В рамках формулировки задачи на связанные состояния и задачи рассеяния как сингулярной задачи на собственные значения с некоторым дополнительным нелинейным вариационным функционалом возможно единообразное построение ньютоновских итерационных схем [24, 25]. Поэтому разработка устойчивых вариационно-итерационных схем, полученных с помощью НАМН, на основе объединения вариационных принципов и проекционных методов является актуальной проблемой численного моделирования квантовомеханических трехчастичных систем.

Цель работы. Построение и реализация вариационно-итерационных алгоритмов для решения с заданной точностью: задачи рассеяния трех квантовых частиц с короткодействующими взаимодействиями в гиперсферическом и адиабатическом представлениях и задачи на связанные трехчастичные состояния в случае парных кулоновских потенциалов. Анализ и апробация разработанных алгоритмов на известных точно решаемых задачах и интегрируемых моделях трех квантовых частиц. Вычисление с прецизионной точностью энергий и волновых функций основного состояния атома гелия и гелиеподобных атомов нерелятивистском приближении. Расчет сечений реакций ионизации атома гелия быстрыми электронами и протонами в импульсном приближении.

Научная новизна работы и значимость ее результатов. На основе вариационного функционала Швингера и метода разложения Канторовича, дана формулировка задачи рассеяния и задачи на связанные состояния для трех квантовых частиц с короткодействующими парными потенциалами в виде многоканальной спектральной задачи на собственные значения для систем связанных фредголъмовых интегральных уравнений.

Разработаны новые устойчивые ньютоновские вариационно-итерационные схемы и алгоритмы решения с заданной точностью спектральных задач для систем связанных фредгольмовых интегральных уравнений.

Исследована сходимость адиабатического разложения в методе Канторовича и эффективность предложенных итерационных схем для двумерной интегрируемой модели трех тождественных частиц на прямой с парными притягивающими или отталкивающими потенциалами нулевого радиуса ниже трехчастичного порога и в окрестности выше трехчастич-ного порога.

Построен новый однопараметрический базис факторизованных коррелированных вариационных функций для расчета связанных состояний гелиеиодобных атомов в нерелятивистском приближении. Получены новые более точные верхние оценки основного состояния изоэлектронных атомов гелия и некоторых изотопов этого атома.

Создана программа, позволяющая воспроизводить на персональном компьютере табличные значения новой двенадцатикомпонентной одно-параметрической вариационной функции основного состояния атома гелия, необходимой для расчетов процессов ионизации. Эффективность выбранной параметризации продемонстрирована сравнением вычисленных сечений с известными экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью многопараметрических вариационных функций.

Программное обеспечение написано на языке Фортран с двойной и четверной точностью, что дает возможность присоединять к нему различные модули пользовательских программ. Тексты разработанных программ доступны, их блок-схемы и программа для двенадцати компонентной функции основного состояния атома гелия приведены в приложении диссертации

Разработанные в диссертации подходы, итерационные схемы и алгоритмы могут быть применены для расчета характеристик квантовых трехчастичных систем в рамках краевых задач для уравнения Шредин-гера. При этом исходная задача сводится к спектральной задаче для системы связанных фредгольмовых интегральных уравнений (с помощью гиперсферических гармоник или поверхностных однопараметрических функций) или к спектральной алгебраической задаче (с помощью вариационных функций).

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах Лаборатории информационных технологий и Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, на семинарах института математики Монгольского государственного университета, а также на следующих конференциях:

The 2nd Int. Conf. Modern Trends on Computational Physics", Dubna, Russia, July 2-6, 2000,

Int. Conf. On Mathematics", UlaanBaatar, Mongolia, August 26-Septem-ber 3, 2001,

Int. Conf. On Laser Physics and Photons, Spectroscopy and Molecular Modeling", Saratov, Russia, October 2-6, 2001,

Int. Conf. On electron and photon impact ionization and related topics", Metz, France, July 18-20, 2002,

Int. Workshop and Seminar On Microscopic Chaos and Transport in Many-Particle Systems", Berlin, Germany, August 12-25, 2002.

Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях [26, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 33, 34, 35] в виде статей в журналах Journal of Physics A. Mathematical and General, Journal of Physics B. Atomic and Molecular Physics, Journal of Computational methods in Sciences and Engineering, Proceedings of SPIE (The International Society for Optical Engineering) и Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, в препринтах и сообщениях ОИЯИ.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 140 страницах, включая 81 рисунков и 19 таблиц, и состоит из введения, четырех глав, четырех приложений и списка литературы из 95 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чулуунбаатар, Очбадрах

Заключение

В диссертации построены и реализованы вариационно-итерационные алгоритмы для решения с заданной точностью: задачи рассеяния в системе трех квантовых частиц с короткодействующими потенциалами в гиперсферическом и адиабатическом представлении и задачи на связанные трехчастичные состояния в случае парных кулоновских взаимодействий. Проведённый анализ разработанных алгоритмов на известных точно решаемых задачах трёх частиц и расчётах с прецизионной точностью энергий и волновых функций атома гелия и гелиеподобных атомов, а также сечений реакций ионизации (е,2е) и (е,3е) атома гелия быстрыми электронами показал их эффективность. Разработанные алгоритмы и программы позволяют исследовать и проводить расчеты характеристик подобных трехчастичных и четырехчастичных систем, в рамках краевых задач для уравнения Шредингера, редуцированных с помощью гиперсферических гармоник или поверхностных однопараметрических функций к спектральным задачам для системы одномерных связанных интегральных уравнений, или с помощью вариационных функций к спектральным алгебраическим задачам.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям профессору И.В. Пузынину и С.И. Виницкому, а также соавторам и коллегам профессору М.С. Касчиеву, Ю. В. Попову, С.И. Ларсену, и А.А. Гусеву, В.И. Коробову, Д.В. Проскурину, Д.В. Павлову, Ф.М. Пенькову, Т.Т. Рахмонову за постоянное внимание и поддержку.

Я бесконечно благодарен моим учителям профессору Т. Жанлаву, X. Цооху, А. Мекею, полномочному представителю Монголии в ОИЯИ профессору Ц. Ганцогу а также своей жене Ц. Тансаг.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чулуунбаатар, Очбадрах, 2002 год

1. G.Tanner, K.Richter, J.M. Rost, Rev. Mod. Phys., 2000, v.72, p.497.

2. V.G. Neudatchin, Yu.V. Popov, Yu.F. Smirnov, Physics Uspekhi, 1999, v.42, p.1017.

3. A. Mergel, Ph.D. thesis, Univ. Frankfurt Main, Shaker Verlag, 1996.

4. A. Mergel et al., Phys. Rev. Lett., 1997, v.79, p.387.

5. A. Mergel et al., Phys. Rev. Lett., 2001, v.86, p.2257.

6. С.П. Меркурьев, Л.Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для системы нескольких частиц. Москва, Наука, 1985.

7. Р.И. Джибути, К.В. Шитикова, Метод гиперсферических функций в атомной и ядерной физике. Москва, Энергоатомиздат, 1993.

8. J.L. Ballot, М. Fabre de la Ripelle, J.S. Levinger, Phys. Rev. A, 1987, v.35, p.4919.

9. S.Y. Larsen, The Hyperspherical Way. In: Few Body Methods, p.467. Singapore: World Scientific, 1986.

10. С.И. Виницкий, Б.JI. Марковски, А.А. Сузько, ЯФ, 1992, т.55, с.669.

11. Л.В. Канторович, В.И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, издание четвертое, ГИТТЛ, М.: Л, 1952.

12. V.V. Pupyshev, Phys. Lett. А, 1989, v. 140, p.151.

13. V.Y. Pupyshev, Few-Body Systems, 1990, v.8, p. 105.

14. V.V. Pupyshev, Phys. Part. Nuc., 1999, v.30, p.689.

15. B.B. Пупышев, Препринт ОИЯИ, P5-2001-28, Дубна, 2001.

16. Ю.Н. Демков, В.Н. Островский, Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд. ЛГУ, 1975.

17. Ф.М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики. Москва, 1958.

18. Э. Шмидт, X. Цигельман, Проблема трех тел в квантовой механике. Москва, Наука, 1979.

19. A.JI. Зубарев, Вариационный принцип Швингера в квантовой механике. Москва, Энергоиздат, 1981.

20. А.Л. Зубарев, ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.2, с.453.

21. М.К. Гавурин, Известия высших учебных заведений, 1958, т.5, вып.6, с.18.

22. Е.П. Жидков, Г.И. Макаренко и И.В. Пузынин, ЭЧАЯ, 1973, т.4, вып.1, с.127.

23. И.В. Пузынин, И.В. Амирханов, Е.В. Земляная, В.Н. Первушин, Т.П. Пузынина, Т.А. Стриж, В.Д. Лахно, ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, вып.1, с.210.

24. С.И. Виницкий, И.В. Пузынин и Ю.С. Смирнов, ЯФ, 1990, т.52, с.1176.

25. L.I. Ponomarev, I.V. Puzynin, Т.P. Puzynina, L.N. Somov, Ann. Phys., 1978, v.110, p.247.

26. O. Chuluunbaatar, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, Preprint JINR, Ell-2000-190, Dubna, 2000.

27. О. Чулуунбаатар, И.В. Пузынин, С.И. Виницкий, Препринт ОИЯИ, Р11-2001-61, Дубна, 2001.

28. О. Чулуунбаатар, И.В. Пузынин, Д.В. Павлов, А.А. Гусев, С.И. Ларсен, С.И. Виницкий, Препринт ОИЯИ, Р11-2001-255, Дубна, 2001.

29. О. Chuluunbaatar, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, J. Phys. B, 2001, v.34, p.L425.

30. O. Chuluunbaatar, I.V. Puzynin D.V. Pavlov , A.A. Gusev, S.Y. Larsen,

31. S.I. Vinitsky, Eds. V.L. Derbov, L.A. Melnikov, L. Babkov, Proc. SPIE, 2002, v.4706, p.163.

32. O. Chuluunbaatar, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering, 2002, v.2, p.31.

33. O. Chuluunbaatar, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering, 2002, v.2, p.37.

34. О. Чулуунбаатар, Ю.В. Попов, С.И. Виницкий, Препринт ОИЯИ, Р4-2002-134, Дубна, 2002.

35. Yu.V. Popov, О. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky, L.U. Ancarani, C.Dal Cappello, P.S. Vinitsky, Preprint JINR, E4-2002-140, Dubna, 2002.; ЖЭТФ., 2002, T.122, c.717.

36. O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev,S.Y. Larsen, S.I.Vinitsky, J. Phys. A, 2002, v.35, pp.L513.

37. Т. Жанлав и И. В. Пузынин, ЖВМ и МФ, 1992, т.32, вып.1, с.З.

38. Т. Жанлав и И. В. Пузынин, ЖВМ и МФ, 1992, т.32, вып.6, с.846.

39. Ю.С. Смирнов, Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.м.н., Дубна, 1993.

40. В.В. Ермаков, Н.Н. Калиткин, ЖВМ и МФ, 1981, т.21, с.491.

41. Р.К. Петеркоп, Теория ионизации атомов электронным ударом. Рига, Зинатне, 1975.

42. М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям. Москва, Наук, 1979.

43. Т.Ю. By, Т. Омура, Квантовая теория рассеяния. Москва, Наука, 1969.43. 3. Флюгге, Задачи по квантовой механике, т.1, Москва, Мир, 1974.

44. Y. Alhasid et al., Ann. Phys., 1983, v. 148, p.346.

45. E.W. Schmid, G. Spitz, W. Losch, Theoretical physics on the personal computer. New York, 1987.

46. А. Мессиа, Квантовая механика, т.2, Москва, Наука, 1979.

47. J.B. McGuire, J. Math. Phys., 1964, v.5, p.622.

48. J.B. McGuire, C.A. Hurst, J. Math. Phys., 1972, v.13, p.1595.

49. J.B. McGuire, C.A. Hurst, J. Math. Phys., 1988, v.29, p.155.

50. L.R. Dodd, J. Math. Phys., 1970, v.ll, p.207.

51. P.B. Kurasov and Yu.B. Melnikov, in Topological phases in quantum theory, Eds. B.Markovski, S.Vinitsky, World Scientific, Singapore, 1989, p.204.

52. J.J. Popiel, S.Y. Larsen, Few-Body Systems, 1993, v.15, p. 129.

53. A. Amaya-Tapia, S.Y. Larsen, J.J. Popiel, Few-Body Systems, 1997, v.23, p.87.

54. С.И. Виницкий, С.И. Ларсеи, Д.В. Павлов, Д.В. Проскурин, ЯФ, 2001, т.64, с.29.

55. W. Gibson, S.Y. Larsen, J.J. Popiel, Phys. Rev. A, 1987, v.35, p.4919.

56. S. Albeverio, L. Dabrowski, S.M. Fei, Int.J. Mod. Phys. B, 2000, v.14, p.721.

57. S. Albeverio, S.M. Fei, P. Kurasov, quant-ph, 2002, p.0205145.

58. K. Frankowski, C. L. Pekeris, Phys. Rev., 1966, v.146, p.46.; 1966, v.150, p.336(E).

59. S.P. Goldman, Phys. Rev. A, 1998, v.57, p.R667.

60. G.W.F. Drake, Phys. Scr., 1999, v.83, p.83.

61. H.A Bethe, E.E. Salpeter, Quantum mechanics of one and two electron atoms. Springer-Verlag, Berlin, 1957.

62. E. Hylleraas, The Schrodinger Two-Electron Problem, in Advances in Quantum Chemistry, v.l, Academic Press: New York, 1964, pp.24-25.

63. R.A. Bonham, D.A. Kohl, J. Chem. Phys., 1966, v.45, p.2471.

64. Н. Schmidt-Bocking et al., (submitted to Phys. Rev. Lett/

65. JI. Ландау, E. Лифшиц, Квантовая механика. т.З, Москва, Наука, 1989.

66. Г. А. Емельяненко и др. Препринт ОИЯИ Р11-2000-287, Дубна, 2000.

67. Л. Александров, Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, вып.7, с.1281.

68. Л. Александров, ЖВМ и МФ, 1971, т.11, с.36.

69. S.I. Vinitsky, B.L. Markovsky, A.A. Suzko, Yad. Fiz., 1992, v.55, p.669.; Sov. J. Nucl. Phys., 1992, v.55, p.371.

70. B.B. Вабиков, Метод фазовых функций в квантовой механике. Москва, Наука, 1988.

71. Г. Сеге, Ортогональные многочлены. Москва, 1962.

72. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва, 1962.

73. B.N. Parlett, The symmetric eigenvalue problem. Englewood Cliffs, New Jersey, 1980.

74. K.J. Bathe, Finite element procedures in engineering analysis. Englewood Cliffs, Prentice Hall, New York, 1982.

75. В.И. Коробов, Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.м.н., Дубна, 1988.

76. V.I. Korobov, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, Muon Catal. Fusion, 1992, v.7, p.63.

77. E.R. Cohen, B.N. Taylor, Phys. Today., 1997, v.50, p.BG7.

78. A.J. Thakkar, T. Koga, Phys. Rev. A, 1994, v.50, p.854.

79. C.J. Umrigar, X. Gonze, Phys. Rev. A, 1994, v.50, p.3827.

80. D.E. Freund, B.D. Huxtable, J.D. Morgan III, Phys. Rev. A, 1984, v.29, p.980.

81. V.I. Korobov, Phys. Rev. A, 2000, v.61, p.064503.

82. C.H. Соколов, И.Н. Силин, Препринт ОИЯИ, Д-810, Дубна, 1961.

83. И.Н. Силин, Препринт ОИЯИ, 11-3362, Дубна, 1967.

84. Yu.V.Popov, L.U.Ancarani, Phys. Rev. A, 2000, v.62, p.42702.

85. Yu.V. Popov, C.D. Cappello, K. Kuzakov, J. Phys. B, 1996, v.29, p.5901.

86. Yu.V. Popov, C.D. Cappello, B. Joulakian, N.M. Kuzmina, J. Phys. B, 1996, v.27, p. 1599.

87. Yu.V. Popov, C.D. Cappello, B. Joulakian, I.V. Farnakeev, JETP, 1995, v.80, p.179.

88. A. Giardini-Guidoni, R. Camilloni, G. Stefani, in Coherence and Correlation in Atomic Collisions, Eds H. Kleinpoppen, J.M. Williams, New York: Plenum Publ. Corp., 1979, p. 13.

89. Dr Belkic, R. Gayet, A.Salin, Phys. Rep., 1979, v.56, p.281.

90. В.И. Лендьел, В.Ю. Лазур, М.И. Карбованец, Р.К. Янев, Введение в теорию атомных столкновений., изд Выща школа, Львов, 1989, гл. 5.

91. L.H. Thomas, Proc. R. Soc. London Ser B, 1927, v.114, p.561.; J.S. Briggs, K. Taulbjerg, J. Phys. B, 1979, v.12, p.2565.

92. S.G. Tolmanov, J.H. McGuire, Phys. Rev. A, 2000, v.62, p.32711.

93. A.M. Бродский, B.C. Потапов, В.В. Толмачев, ЖЭТФ, 1970, т.58, с.264.

94. М.В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальнных уравнений. Москва, Наука, 1983.

95. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников, Дифференциальные уравнения. Москва, Физматлит, 1998.