Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ветчанин, Евгений Владимирович

• Ветчанин, Евгений Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ветчанин, Евгений Владимирович

Сокращения и обозначения

Введение

1 Перемещение за счет изменения центра масс.

1.1 Методы исследования движения тел в сопротивляющихся средах

1.2 Математические модели гидродинамики движения твердых тел

1.3 Численные методы решения гидродинамических задач.

1.4 Конструктивные схемы.

2 Методы численного решения задачи движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы

2.1 Методы дискретизации уравнений гидродинамики

2.1.1 Метод конечных объемов.

2.1.2 Дискретизация по времени.

2.2 Методы решения СЛАУ.

2.3 Построение конечнообъемных сеток в исследуемых областях

2.3.1 Алгебраические методы.

2.3.2 Методы на основе конформных отображений.

2.4 Численное решение уравнений Навье-Стокса проекционными методами.

2.5 Алгоритм совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела.

3 Движение тел с переменным распределением массы.

3.1 Расчет присоединенных масс.

3.2 Тестирование применяемых численных методов.

3.2.1 Прямолинейное движение сферы.

3.2.2 Расчет сил сопротивления.

3.2.3 Падение пластины

3.3 Падение тел в вязкой жидкости.

3.4 Исследование движения тел с нейтральной плавучестью за счет изменения центра масс.

3.5 Вращательное движение тел с переменным распределением массы

3.6 Исследование движения тел в жидкости с возможностью управления по вертикали.

4 Управление нестационарным движением цилиндрического тела с переменным распределением массы.

4.1 Аппроксимация сил сопротивления.

4.2 Результаты решения задачи управления движением тела

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы»

Актуальность работы. В настоящее время значительное внимание уделяется разработке новых средств передвижения. Практический интерес представляют устройства с жесткой внешней оболочкой без внешних движителей, управляемые за счет изменения центра массы. Подобные устройства в некоторых работах называются вибрационными роботами, так как за изменение центра массы отвечает вибропривод.

Для успешного проектирования мобильных устройств, предназначенных для передвижения в водной среде, необходима информация о гидродинамических процессах, сопровождающих движение. Эти процессы обладают сильной нестационарностью, которую необходимо учитывать при разработке аппарата и оценке его эффективности.

Теоретические исследования движения в идеальной среде или с заданным законом сопротивления объектов с переменным распределением массы представлены в работах академика РАН В.В. Козлова, академика РАН Ф.Л. Черноусько, докторов наук С.М. Рамоданова, Д.А. Онищенко, Н.Н. Болотника, С.Ф. Яцуна.

Высокий уровень развития современной вычислительной техники позволяет применять для исследования гидродинамики движения методы численного моделирования, позволяющие выявить особенности взаимодействия тела с жидкостью и получить данные о гидромеханических параметрах, таких как поля давления и скорости.

В немногочисленных работах S. Childress, S.E. Spagnolie, Т. Tokieda, В.А. Тененева, С.М. Рамоданова рассматривались вопросы численного моделирования гидродинамики движущегося тела с изменяемым центром массы на основе совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела в двумерной постановке.

Экспериментальные исследования, позволяющие получить информацию об особенностях движения в реальных условиях, практически отсутствуют.

Количество работ, посвященых пространственной гидродинамике движения тел с переменным распределением массы немногочисленно, динамические характеристики данных объектов в вязкой среде изучены недостаточно, данные об особенностях трехмерного движения неизвестны. Поэтому вопросы математического моделирования нестационарного движения в жидкости тел с изменяемым центром массы являются актуальными.

Объектом исследования является гидродинамика взаимодействия вязкой жидкости с нестационарно движущимся телом.

Предметом исследования являются математические модели и численные методы расчета движения в вязкой жидкости тел с фиксированными границами с переменным распределением массы.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании гидродинамических характеристик нестационарного пространственного движения тел с переменным распределением массы.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение математической модели движения в вязкой жидкости жестких тел с переменным распределением массы.

2. Реализация численных методов совместного решения уравнений На-вье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, описывающих поведение в вязкой среде тел с переменным распределением массы.

3. Проведение численного моделирования процесса движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

4. Построение алгоритма управления телом с переменным распределением массы.

Методы исследования. В диссертации используются конечно-объемные численные методы совместного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела.

Достоверность и обоснованность полученных данных обеспечена использованием фундаментальных законов сохранения, апробированными методами решения и подтверждением результатов расчетов экспериментальными данными.

Научная новизна диссертационного исследования и результатов, полученных лично автором:

1. Построена математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

2. На основе совместного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела получены характеристики движения тел с переменным распределением массы и окружающей тело жидкости.

3. Определены значения сил и моментов, с которыми вязкая жидкость действует на нестационарно движущееся тело с переменным распределением массы.

4. Установлено влияние частоты асимметричных колебаний на всплытие (погружение) тел с произвольной плавучестью.

5. Разработан метод решения задачи об управлении движением тела с переменным распределением массы по заданной траектории.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для проектирования мобильных устройств, управляемых изменением центра массы. Методы, изложенные в диссертации, позволяют рассчитывать движение аппаратов различной формы и учитывать влияние гидродинамических процессов на движение тела.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости тела с переменным распределением массы.

2. Численный метод совместного решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса и уравнений динамики твердого тела, описывающих движение тел с жесткой внешней границей и перемещающимися внутренними массами.

3. Результаты численного моделирования пространственного движения жестких тел различной формы с переменным распределением массы.

4. Результаты анализа зависимостей сил и моментов сопротивления вязкой жидкости от динамики внутренних материальных точек.

5. Метод и результаты решения задачи управления телом посредством перемещения внутрених масс.

Личный вклад. Автором выполнено численное моделирование процессов движения в вязкой жидкости тел с переменным распределением массы, проведено сравнение движения тел сферической и каплеобразной форм. Выявлены особенности движения тела и течения жидкости вблизи тела. Получены нечеткие правила оптимального управления движением тела. Анализ полученных результатов проведен под руководством профессора В.А. Тене-нева.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Региональная научная конференция студентов и молодых ученых ИжГТУ (Ижевск, 2009 г.); Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики (Алушта, 2009 г.); XXXVI Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2010 г.); Региональная научно-техническая конференция, посвященная 10 - летию факультета «Прикладная математика» (Ижевск, 2010 г.); Девятая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010 г.); XXII Юбилейный семинар с международным участием «Струйные, отрывные и нестационарные течения» (Санкт-Петербург, 2010 г.); Седьмая Всероссийская конференция «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и ствольных системах» (ICOC-2011) (Ижевск, 2011 г.); XXXVII Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2011 г.); II Всероссийская научная-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Измерения, контроль и дигно-стика — 2012» (Ижевск, 2012 г.): IUTAM Symposium «From mechanical to biological systems — an integrated approach» (Ижевск, 2012 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ, из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемых источников. Работа изложена на 127 страницах машинописного текста, включает 8 таблиц и 78 рисунков. Список используемых источников содержит 86 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ветчанин, Евгений Владимирович

Выводы по главе 4

Управление движением тела с переменным распределением массы возможно рассчитать с помощью апроксимирующих зависимостей сил, заданных либо аналитическим выражением, либо некоторыми правилами.

В рассмотренных примерах управления движением смена ориентации тела в пространстве проиходит заранее.

Получаемые управления обеспечивают движение тела в нектором коридоре около заданной траектории.

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы и привести результаты:

1. Построена математическая модель трехмерного нестационарного движения в вязкой жидкости жестких тел с переменным распределением массы.

2. В результате проведенного численного моделирования показано, что эффект присоединенной массы при ненулевом ускорении учитывается интегрированием давления по поверхности тела.

3. Решена трехмерная нестационарная задача движения в вязкой жидкости тел с переменным распределением масс. Показана возможность увеличения средней скорости за счет повышения частоты колебаний. Расстояние, проходимое телом за каждый период, является переменным и асимптотически стремится к постоянной величине, определяемой гидродинамическими характеристиками тела и частотой колебаний внутренней массы. Для шара диаметром 0,2 м с соотношении масс основного тела и внутренней материальной точки 1:1 при повышении частоты колебаний с 1 Гц до 2,5 Гц средняя скорость передвижения в водной среде возрастает в 5 раз.

4. Сравнительные расчеты перемещения сферического тела диаметром 0,09 м и каплеобразного с диаметром основания 0,09 м и длиной 0,2 м показали, что средняя скорость в водной среде каплеобразного тела при продвижении в направлении острия больше на 5%, чем у сферического. Установлено, что вращение каплеобразного тела просходит в 3 раза медленнее, чем сферического.

5. Показана возможность преодоления силы тяжести телом с отрицательной плавучестью за счет асимметричных колебаний внутренней массы. Сферическое тело диаметром 0,2 м с плавучестью —0,001 и соотношением масс основного тела и внутренней материальной точки 1:1 всплывает при частоте колебаний 2,5 Гц. Для удержания около начального положения тела с плавучестью —0,003 частота колебаний внутренней массы должна быть в пределах от 2,5 до 5 Гц.

6. Реализован метод расчета управления телом с переменным распределением массы на основе решения задачи оптимального управления типа Лагранжа. Алгоритм управления обеспечивает движение вблизи заданной траектории.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ветчанин, Евгений Владимирович, 2012 год

1. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Движение каплеобразного и сферического тел с переменной геометрией масс в вязкой жидкости / / Интеллектуальные системы в производстве 2012. №1. С. 11-23

2. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Моделирование управления движением в вязкой жидкости тела с переменной геометрией масс // Компьютерные исследования и моделирование 2011. Т.З. №4. С.371-381

3. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Расчет внутренних течений в широком диапазоне чисел Маха // Интеллектуальные системы в производстве 2011. т. С.12-18

4. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 368 с.

5. Волкова Л.Ю., Яцун С.Ф. Управление движением трехмассового робота, перемещающегося в жидкой среде // Нелинейная динамика 2011. Т.7. №4. С.845-857

6. Григорьев Ю.М., Алехин В.В. Кватернионный метод граничных элементов // Сиб. журн. индустр. матем. 1999, Т.2. №1. С.47-52

7. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 303 е., ил.

8. Гущин В.А., Матюшин П.В. Математическое моделирование пространственных течений несжимаемой жидкости // Математическое моделирование 2006 г. Т. 18 №5, С.5-20

9. Калиткин H.H. Численные методы. Под редакцией Самарского А. А.

10. M. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука" 1978

11. Козлов В.В., Онищенко Д.А. О движении тела с жесткой оболочкой и переменной геометрией масс в бесконечном объеме идеальной жидкости // М: ФИЗМАТЛИТ 2003. С.465-476

12. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении в идеальной жидкости тела с жесткой оболочкой и переменной геометрией масс // ДАН, 2002. Т.382. Ш. С.592-601

13. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // ПММ, 2001. Т.65. №4. С.592-601.

14. Короткин А.И. Присоединенные массы судостроительных конструкций: Справочник. — СПб.: Мор Вест, 2007. — 448 е., ил.

15. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1.: М. Физматгиз, 1963 г., 584 с.

16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа 2003. — 840 е., 311 ил., 22 табл. — (Классики отечественной науки)

17. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 660 е., ил.

18. Патанкар C.B. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. — М. Энергоатомиздат, 1984. — 152 е., ил.

19. Рамоданов С.М., Тененев В.А. Движение тела с переменной геометрией масс в безграничной вязкой жидкости // Нелинейная динамика 2011. Т.7. №3. С.635-647

20. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1978. 592 с. с илл.

21. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие: Для вузов. — 3-е изд., доп. — М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1992. — 442 с.

22. Тененев В.А., Ветчанин Е.В. Управляемое движение тела в жидкости при возвратно-поступательном перемещении внутренней материальной точки // Интеллектуальные системы в производстве 2011. №2. С.62-72

23. Тененев В.А., Якимович Б.А. Генетические алгоритмы в моделировании систем. — Ижевск: изд-во ИжГТУ, 2010. — 308 с.

24. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, перев. с немецкого, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», Москва, 1974

25. Уилсон Р. Введение в теорию графов: Пер. с англ. Изд-во «Мир» Москва 1977

26. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие: Для вузов. — М.: Изд-во Моск. физ-техн. ин-та, 1994. — 528 с.

27. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир 1991. — 504 е., ил.

28. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир 1991. - 552 е., ил.

29. Черноусько Ф.Л., Болотник H.H. Мобильные роботы, управляемые движением внутренних тел // Тр. ИММ УрО РАН 2010. Т. 16. №5. С.213-222

30. Черноусько Ф.Л. О перемещении тела в жидкости за счет колебаний присоединенного звена // ДАН, 2010. Т.431. М. С.46-49

31. Черноусько Ф.Л. Оптимальное перемещение многозвенной системы в среде с сопротивлением // Тр. ИММ УрО РАН 2011. Т.17. Ш С.240-255

32. Яцун С.Ф., Безмен П.А., Сапронов К.А., Рублев С.Б. Динамика мобильного вибрационного робота с внутренней подвижной массой / / Известия Курского государственного технического университета 2010. Т.31. №2. С.21-31

33. Anderson J.D. Computational Fluid Dynamics. The Basic with Applications // McGraw-Hill 1995

34. Barth T.J., Jespersen D.C. The Design and Appliction of Upwind Schemes on Unstructured Meshes // AIAA Paper 89-0366

35. Biesheuvel A., Hagmeijer R. On the force on a body moving in a fluid // Fluid Dynam. Res. 2006. Vol.38. P.716-742

36. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Apllications // Elsevier 2001

37. Blom F.J. Considerations on the spring analogy // Int. J. Num. Meth. Fluids 2000. Vol.32. P.647-668

38. Bozkurttas M., Mittal R., Dong H., Lauder G. V., Madden P. Low-dimensional models and performance scaling of a highly deformable fish pectoral fin // J. Fluid Mech. 2009. Vol.631. P.311-342

39. Calmet I., Magnaudet J. Large-eddy simulation of high-Schmidt number mass transfer in a turbulent channel flow // Phys. Fluids 1996. Vol.9. P.438-455

40. Ceberi T., Shao J.P., Kafyeke F., Laurendeau E. Computational Fluid Dynamics for Engineers / / Springer 2005

41. Childress S., Spagnolie S.E., Tokieda T. A bug on a raft: recoil locomotion in a viscous fluid //J. Fluid Mech 2011. Vol.669. P.527-556

42. Chiu P.H., Lin R.K., Sheu T.W.H. A differentially interpolated direct forcing immersed boundary method for predicting incompressible Navier-Stokes equations in time-varying complex geometries // J. Comp. Phys. 2010. Vol.229. P.4476-4500

43. Choi Y.-H., Mercle C.L. Application of Time-Iterative Schemes to Incompressible Flows // AIAA Journal 1985. Vol.23. №10. P. 1518-1524

44. Date A.W. Introduction to Computational Fluid Dynamics // Cambridge university press 2005

45. Dong H., Bozkurttas M., Mittal R., Madden P., Lauder G.V. Computational modelling and analysis of the hydrodynamics of a highly deformable fish pectoral fin // J. Fluid Mech. 2010 Vol.645. P.345-373

46. Eldredge J.D., Colonius T., Leonard A. A Vortex Particle Method for Two-Dimensional Compressible Flow //J. Comput. Phys. 2002. Vol.179. P.371-399

47. Eldredge J.D. Numerical simulations of undulatory swimming at moderate Reynolds number // The Journal of Experimental Biology. 2009. Vol.1. S19-S24

48. Farhat C., Degand C., Koobus B., Lesoinne M. Torsional springs for two-dimensional dynamic unstructured meshes // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. Vol.163 P.231-245

49. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics // Springer 2002

50. Galper A.R., Miloh T. Hydrodynamics and stability of a deformable body moving in the proximity of interfaces // Phys Fluid 1999. Vol.11. №4

51. Gibou F., Fedkiw R.J., Cheng L.T., Kang M. A second-order-accurate symmetric discretization of the Poisson equation on irregular domains //J. Comput. Phys. 2002. Vol.176. P.205-227

52. Giiler I., Behr M., Tezduyar T. Parallel finite element computation of free-surface flows // Computational Mechanics 1999. Vol.23. P. 117-123

53. Henshaw W.D., Schwendeman D.W. Moving overlapping grids with adaptive mesh refinement for high-speed reactive and non-reactive flow // J. Comp. Phys. 2006. Vol.216. P.744-779

54. Hirch C. Numerical Computation of INTERNAL AND EXTERNAL FLOWS. Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows // JOHN WILEY & SONS

55. Hoffmann K.A., Chiang S.T. Computational fluid dynamics. Volume 1. // Engineering Education System 2000

56. Howe M.S. On the force and moment on a body in an incompressible fluid, with application to rigid bodies and bubbles at high and low Reynolds numbers // Q.J. Mech. Appl. Math. 2005. Vol.48 P.401-426

57. Jasak H. Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method with Applications to Fluid Flows. Thesis submitted for the Degree of Doctor of Philosophy of the University of London and Diploma of Imperial College 1996

58. Karagiozis K., Kamakoti R., Pantano C. A low numerical dissipation immersed interface method for the compressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 2010. Vol.229. P.701-727

59. Kidron Y., Yair M.-Y., Levy Y. Robust Cartesian Grid Flow Solver for High-Reynolds-Number Turbulent Flow Simulation // AIAA Journal 2010. Vol.48. №6 P. 1130-1140

60. Kim J., Kim D., Choi H. An Immersed-Boundary Finite-Volume Method for Simulations of Flow in Complex Geometries // J. Comput. Phys. 2001. Vol.171. P. 132-150

61. Koiller J., Ehlers K., Montgomery R. Problems and progress in microswimming //J. Nonlinear Sei. 1996. Vol.6 P.507-541.

62. Le D.V., White J., Peraire J., Lim K.M., Khoo B.C. An implicit immersed boundary method for three-dimensional fluid-membrane interactions // J. Comput. Phys. 2009. Vol.228. P.8427-8445

63. Lighthill M.J. On the Squirming Motion of Nearly Spherical Deformable Bodies Through Liquids at Very Small Reynolds Numbers // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1952, vol. 5, №2, pp. 109-118

64. Mahadevan L., Ryu W.S., Samuel A.D.T. Tumbling cards // Phys. Fluids, 1999, vol. 11, №, P.l-3

65. Mittal R., Dong H., Bozkurttas M., Najjar F.M., Vargas A. A versatile sharp interface immersed boundary method for incompressible flows with complex boundaries //J. Comp. Phys. 2008. Vol.227. P.4825-4852

66. Mougin G., Magnaudet J. The generalized Kirchhof equations and their application to the interaction between a rigid body and an arbitrary timedependent viscous flow // Int. Journal of Multiphase Flow 2002. Vol.22. P. 1837-1851

67. Murman S.M., Aftosmis M.J., Berger M.J. Simulations of 6-DOF Motion with a Cartesian Method // AIAA Paper 2003-1246

68. OpenFOAM. The Open Source CFD Toolbox. Programmer's Guide. Version 2.1.0 15th December 2011

69. Perot B., Nallapati R. A moving unstructured staggered mesh method for the simulation of incompressible free-surface flows //J. Comp. Phys. 203. Vol.184. P. 192-214

70. Peskin C.S. Flow Patterns Around Heart Valves: A Numerical Method //J. Comp. Phys. 1971. Vol.10. P.252-271

71. Petrila T., Trif D. Basic of fluid mechanics and introduction to computational fluid dynamics // Springer 2005

72. Rai M.M., Moin P. Direct simulations of turbulent flow using finite-difference schemes //J. Comp. Phys. 1991. Vol.96. №1. P. 15-53

73. Saffman P.G. The self-propulsion of a deformable body in a perfect fluid // J. Fluid Mech. 1967. Vol.2, part 2. P.385-389.

74. Sahin M., Mohseni K., Colin S.P. The numerical comparison of flow patterns and propulsive performances for the hydromedusae Sarsia sp. and Aequorea victoria. // The Journal of Experimental Biology. 2009. Vol.212. P.2656-2667

75. Spagnolie S.E., Shelley M.J. Shape-changing bodies in fluid: Hovering, ratcheting, and bursting // Phys. Fluid. 2009. Vol.21. P.013103

76. Stone H.L. Iterative solution of implicit approximations of multidimensional partial differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1968. Vol.5. №3 P.530-558

77. Thompson J.F. Handbook of Grid Generation / Joe F. Thompson, Bharat Soni, Nigel Weatherill, editors. CRC Press 1999

78. Trottenberg U., Oosterlee C. W., Schüller A. Multigrid // Academic press

79. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method // Longman Scientific &; Technical 1995

80. Weiss J.M., Smith W.A. Preconditioning applied to variable and constant density flows // AIAA Journal 1995. Vol.33. №11. P.2050-2057

81. Vetchanin E.V., Tenenev V.A. Spatial hydrodynamics of bodies with variable mass center //IUTAM Symposium. Book of abstracts. 2012. P.66-67

82. Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics // Springer 2001.

83. Wesseling P. An introduction to multigrid methods // Jhon Wiley &; Sons

84. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Fifth Edition. Volume 3: Fluid Dynamics // Butterworth-Heinemann 2000