Численное моделирование двумерных задач гидродинамики в многосвязных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сироченко, Владимир Прохорович

• Сироченко, Владимир Прохорович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сироченко, Владимир Прохорович

Введение

1. Математические модели двумерных задач гидродинамики в многосвязных областях

1.1. Уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в естественных переменных скорость - давление.

1.2. Постановки задач в переменных функция тока - завихренность

1.2.1. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.

1.2.2. Свободно-конвективное течение вязкой жидкости

1.2.3. Течение идеальной несжимаемой жидкости.

1.3. Постановки задач в переменных скорость - завихренность

1.3.1. Вязкая несжимаемая жидкость.

1.3.2. Свободная конвекция вязкой жидкости.

1.4. О работах по численному решению двумерных задач динамики вязкой жидкости в многосвязных областях.

2. Методы численного решения нестационарных задач вязкой жидкости в многосвязных областях

2.1. Простейшие разностные операторы.

2.2. Алгоритмы приближенного решения задач гидродинамики в переменных функция тока - завихренность в многосвязных областях.

2.3. Согласованные разностные схемы для давления и завихренности

2.4. О расчете граничных условий при численном решении двумерных задач вязкой жидкости в переменных функция тока

- завихренность.

2.5. Экономичный метод численного моделирования нестационарных задач вязкой жидкости на основе уравнения Гельм-гольца для функции тока.

3. Численное моделирование задач гидродинамики в переменных функция тока - завихренность в многосвязных областях

3.1. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с периодически расположенными препятствиями.

3.1.1. Единственность решения периодических задач

3.1.2. Расчет обтекания пластинок, перпендикулярных стенкам канала.

3.2. Численное моделирование нестационарной свободной конвекции вязкой жидкости в двумерной полости с внутренними телами.

4. Приближенное решение двумерных задач гидродинамики в сложных областях

4.1. Метод фиктивных областей для приближенного решения задач математической физики в сложных областях.

4.2. Применение метода фиктивных областей для уравнений гидродинамики в переменных скорость - завихренность в односвязных областях.

4.3. Метод дополнительных областей для (и, v, ш) - постановки в многосвязных областях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование двумерных задач гидродинамики в многосвязных областях»

Изучение законов движения жидкостей всегда играло важную роль в развитии техники и естествознания. Исследования в этой области стимулируются потребностями авиации, кораблестроения, теплоэнергетики, атомной энергетики, геофизики и др. За последние десятилетия сфера исследования и применения явлений, связанных с движением жидкостей, значительно расширилась. Она включает как ведущие направления техники (химическая технология, металлургия, нефтеразработка и т. д.), так и основные естественные науки (биология, физика атмосферы и океана и ДР-)

Различного рода задачи, возникающие при изучении динамики жидкостей, могут быть исследованы теоретическим путем или с помощью тщательно поставленного физического эксперимента. Во многих случаях моделирование явлений, имеющих место при течении жидкостей, в лабораторных и натурных условиях чрезвычайно затруднено. Физические эксперименты, направленные на подробное исследование движений жидкости, часто технически сложны, трудоемки и дороги. Кроме того, данные опытных измерений в общем случае носят весьма ограниченный характер. По этим причинам значительную роль в гидродинамических исследованиях играет математическое моделирование.

Во многих практических случаях жидкость можно с большой достоверностью считать вязкой несжимаемой ньютоновской средой, и происходящие в ней процессы моделировать с помощью уравнений Навье-Стокса [10, 51, 59, 63]. Реальные течения жидкости характеризуются многообразием режимов [1]. Описывающие их уравнения Навье-Стокса имеют сложный характер, их специфическими свойствами являются нелинейность, многомерность, нестационарность, наличие малого параметра при старшей производной. Задачи для уравнений Навье-Стокса часто приходится решать в областях со сложной геометрией, с неизвестной заранее границей. Многие результаты по теоретическому обоснованию корректности начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса содержатся в монографиях О. А. Ладыженской [58], Ж.-Л. Лионса[62], Р. Темама[110], Дж. Серрина [92].

В настоящее время при исследовании задач гидродинамики активно используется численное моделирование [16]. Существует много численных методов, которые применяются в динамике жидкостей. Литература по этому направлению обширна [82, 2, 112, 76, 116, 5, 75, 69, 45]. Большая часть из известных алгоритмов для задач гидродинамики использует метод конечных разностей и метод конечных элементов [29, 84, 85, 86, 88, 68]. Экономичные алгоритмы для решения многомерных задач для уравнений Навье-Стокса основаны на разнообразных методах расщепления, позволяющих свести многомерную задачу к последовательности несложно реализуемых одномерных задач [120, 67].

В диссертации рассматриваются проблемы, возникающие при численном моделировании двумерных течений вязкой жидкости в многосвязных областях. Многосвязные области имеют большое значение в механике жидкости. Неодносвязность области, занятой жидкостью, может вызываться различными причинами, например, присутствием в потоке твердых тел, газовых каверн, точечными источниками (стоками). Например, течение, создаваемое длинным твердым цилиндром, движущимся в направлении нормали к своей оси, происходит в двусвязной области. Актуальность темы исследования обусловлена тем, что задачи гидродинамики в многосвязных областях приходится решать при моделировании многих реальных течений жидкости. К необходимости рассмотрения многосвязных областей приводят все двумерные задачи, относящиеся к одной из важнейших проблем гидродинамики — проблеме обтекания жидкостью одного или нескольких тел. Задачи такого рода возникают в гидроаэродинамике летательных аппаратов (обтекание аэродинамических профилей и крыльев) и подводных судов, в теплоэнергетике (течение около препятствий, обтекание пучков труб в теплообменниках), при изучении движения рыб и подводных животных [44].

Численные методы, разработанные для расчета плоских течений в многосвязных областях, могут применяться при решении многих практических задач. Например, при иследовании задач авиационно- космической техники, где наиболее остро стоит проблема получения полей обтекания летательных аппаратов и определения их характеристик. Практическая важность изучения сложных течений жидкости делает актуальной разработку эффективных методов численного моделирования задач гидродинамики в многосвязных областях.

Использование для численного решения задач динамики вязкой жидкости уравнений Навье-Стокса в естественных переменных скорость -давление приводит к определенным вычислительным трудностям. Это связано с отсутствием уравнения для давления и особой ролью уравнения неразрывности. При решении задачи для уравнения неразрывности обычно вводятся специальные процедуры [2, 112, 5]. Попытки преодоления этих трудностей связаны обычно с выбором новых неизвестных функций путем преобразования уравнений Навье-Стокса. Это позволяет избежать явного присутствия давления в уравнениях, а также непосредственного использования уравнения неразрывности.

В настоящее время с этой целью для плоских течений в большинстве случаев вводится в рассмотрение функция тока. Введение уравнения переноса для завихренности позволяет получить описание течения в переменных функция тока - завихренность. По сравнению с уравнениями Навье-Стокса в естественных переменных количество уравнений уменьшается с трех до двух, а для решения параболического уравнения для завихренности и эллиптического уравнения для функции тока могут быть применены эффективные численные методы для уравнений математической физики [84, 68, 120, 67].

Однако, в случае двумерных многосвязных областей функция тока и завихренность должны удовлетворять кроме соответствующих уравнений, начальных и граничных условий еще некоторым интегральным соотношениям, которые эквивалентны однозначности давления в жидкости [119, 55]. В многосвязной области функция тока является определенной только на одной из границ, а на остальных определена с точностью до аддитивных функций времени, которые должны находиться в процессе решения задачи. Количество этих функций совпадает с количеством интегральных условий. Таким образом, условия однозначности давления замыкают задачу и позволяют однозначно определить функцию тока во всей многосвязной области, в том числе и на границах.

Следует отметить, что во многих опубликованных работах при расчете течений жидкости в многосвязных областях условия однозначности не учитываются. Это приводит к тому, что граничные условия для функции тока ставятся неправильно, а найденное решение не соответствует моделируемому течению. В качестве примера можно указать известную работу Фромма [113], в которой с помощью предложенного численного метода в плоском канале исследовано образование вихревых дорожек в застойной зоне за препятствием. Имеется много других публикаций, где математическая постановка задачи не содержит условий однозначности давления (см. обзор в параграфе 1.4.). В работах, использующих эти условия, они представлены обычно в частном виде. Для их включения в математическую формулировку задачи привлекаются, как правило, физические соображения типа непрерывности давления. Иногда для этого используются несложные математические выкладки (см. обзор 1.4.).

Для математического моделирования течений вязкой жидкости применяются и другие постановки, получающиеся из уравнений Навье-Стокса путем исключения давления [112, 30]. Одной из них является постановка в переменных скорость - завихренность. В случае двумерных многосвязных областей она также должна содержать условия однозначности давления [35, 54].

Целью диссертационной работы является обоснование постановок задач о движении жидкостей в двумерных многосвязных областях; построение вычислительных алгоритмов для моделирования ламинарных течений жидкости в областях, имеющих внешнюю и внутренние границы, в том числе со сложной геометрией; численное исследование конкретных задач гидродинамики в многосвязных областях. Исследование проводится на основе построенных численных алгоритмов для расчета течений как однородной, так и теплопроводной жидкости.

Следует отметить, что в работе не обсуждаются степень строгости, условия применимости (ограничения на число Рейнольдса и т.п.) используемых уравнений движения жидкости. Они рассматриваются как некоторые математические модели, подлежащие численной алгоритмизации.

В диссертационной работе выписаны общие математические постановки для задач гидродинамики в многосвязных областях относительно переменных функция тока, функция тока - завихренность, скорость - завихренность. Приведенные постановки описывают нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости, однородной вязкой несжимаемой жидкости, а также вязкой теплопроводной жидкости в произвольной двумерной многосвязной области. В последнем случае в постановках задач в приближении Буссинеска [59] появляется дополнительная переменная — температура и уравнение теплопроводности для нее. Все математические модели включают интегральные условия однозначности давления, записанные в общем виде.

Обоснование различных постановок задач гидродинамики в многосвязных областях заключается в доказательстве их эквивалентности достаточно хорошо изученной начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса относительно естественных переменных скорость - давление. Для задач теплопроводной жидкости устанавливается эквивалентность начально-краевой задаче относительно переменных скорость - давление - температура. В диссертации проведено математическое доказательство эквивалентности для постановок в переменных функция тока, функция тока -завихренность, скорость - завихренность для течений идеальной несжимаемой, однородной вязкой несжимаемой, а также вязкой теплопроводной жидкостей (при соответсвующем добавлении соотношений для температуры в изучаемые постановки). Существенную роль в установлении эквивалентности играют интегральные условия однозначности давления. При упрощающих задачи конкретных предположениях для условий однозначности давления выписаны также более простые представления.

Для рассматриваемых в работе математических моделей динамики жидкости в многосвязных областях относительно переменных функция тока - завихренность - температура построены численные алгоритмы на основе явных и неявных аппроксимаций. Для решения сложных задач, линейных на верхнем слое по времени, с неизвестными граничными значениями функции тока применяется метод суперпозиции, позволяющий свести исходную задачу к последовательности более простых вспомогательных задач с известными граничными условиями. В нелинейном случае вспомогательные задачи должны решаться на каждой итерации. Для определения функции тока на границе многосвязной области используются условия однозначности давления.

В работе предлагается экономичный разностный метод решения нестационарных двумерных задач вязкой несжимаемой жидкости. При разработке метода в качестве исходной постановки берется начально-краевая задача для нестационарного дифференциального уравнения четвертого порядка относительно функции тока. Особенностью уравнения является наличие первой производной по времени от лапласиана функции тока, что не дает возможности непосредственно применить экономичный метод дробных шагов [120, 67]. Дифференциальное уравнение приближенно заменяется возмущенным уравнением с малым параметром е путем добавления слагаемого со второй производной по времени от функции тока. При этом повышается порядок уравнения по времени, и в постановку задачи добавляется необходимое начальное условие. Для возмущенной задачи построена экономичная разностная схема метода дробных шагов с весами типа стабилизирующей поправки.

Для задач гидродинамики в односвязных областях со сложной геометрией в диссертации предложены приближенные методы на основе метода фиктивных областей [15]. Методы используют постановки относительно переменных скорость - завихренность - температура. При численном решении задач в переменных скорость - завихренность в многосвязных областях основная трудность заключается в обеспечении выполнения интегральных условий однозначности давления. В работе для решения этой проблемы предлагается метод, заключающийся в том, что в дополнительных областях, ограниченных внутренними контурами, решаются некоторые задачи. При этом связь с уравнениями в исходной области реализуется через условия сопряжения на внутренних границах. Приближенный метод формулируется в терминах ^-аппроксимации. Проведен качественный анализ предложенных методов.

Разработанные методы применялись для расчета течений жидкости в односвязных и многосвязных областях. Проведено численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с периодически расположенными препятствиями. Картины течения жидкости около препятствия в форме прямоугольной пластинки, полученные на основе численных расчетов, хорошо согласуются с фотографиями движения реальной жидкости. Решены нестационарные задачи свободной тепловой конвекции вязкой жидкости в двумерной полости с внутренними телами.

Выписанные в диссертации математические модели и разработанные численные методы могут быть использованы при численном моделировании широкого круга прикладных задач, связанных с течением жидкости в многосвязных областях и в областях с нерегулярной границей.

Остановимся на содержании работы.

В первой главе обсуждаются математические модели течений жидкости в многосвязных областях. В первом параграфе выписаны уравнения Навье-Стокса в естественных переменных скорость - давление для вязкой несжимаемой жидкости и приводятся известные сведения о разрешимости соответствующих стационарных и нестационарных краевых задач. В следующих двух параграфах для течений однородной идеальной и вязкой несжимаемой жидкости, а также теплопроводной вязкой жидкости рассматриваются постановки задач для других зависимых переменных: функция тока, функция тока - завихренность, функция тока - завихренность - температура, скорость - завихренность, скорость - завихренность - температура. Математически доказана эквивалентность различных постановок. Завершает первую главу четвертый параграф, содержащий обзор работ по численному моделированию плоских течений вязкой жидкости в многосвязных областях.

Во второй главе разработаны численные алгоритмы для задач относительно функции тока, завихренности, температуры. В первом параграфе второй главе выписаны обозначения и простейшие разностные аппроксимации, используемые в дальнейшем. Во втором параграфе приводятся алгоритмы решения задач гидродинамики относительно переменных функция тока - завихренность - температура в многосвязных областях, основанные на явных и неявных аппроксимациях. Разработка алгоритмов осуществляется для дифференциально-разностных задач, полученных проведением дискретизации по времени. Аппроксимация пространственных дифференциальных операторов не конкретизируется. Такой подход дает возможность получить достаточно универсальные алгоритмы без усложнения изложения несущественными для данной главы деталями. В третьем параграфе получены аппроксимации для интегральных условий однозначности давления, согласованные с разностными схемами для завихренности. Такие аппроксимации обеспечивают независимость на разностном уровне интегралов от ломаных, по которым они вычисляются. Четвертый параграф содержит краткий обзор методов расчета граничных условий при численном решении задач вязкой жидкости в переменных функция тока - завихренность. В последнем пятом параграфе разработан экономичный безытерационный алгоритм численного решения нестационарных двумерных задач вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнения Гельмгольца для функции тока. Исходная задача заменяется вспомогательной задачей с малым параметром е, для которой на основе трехпараметрического семейства однородных разностных схем построены экономичные схемы типа стабилизирующей поправки. Проведено исследование аппроксимации и устойчивости полученных разностных схем. Приводятся результаты тестовых расчетов.

В третьей главе алгоритмы и методы, разработанные во второй главе, применяются для решения конкретных задач, сформулированных в терминах функции тока и завихренности. В первом параграфе третьей главы дана математическая постановка задачи обтекания в плоском канале периодически расположенных препятствий. В предположении существования классического решения поставленной задачи доказана его единственность. На основе алгоритма из второй главы, использующего явные аппроксимации, с соответствующей конкретизацией пространственных аппроксимаций численно исследовано течение с препятствиями в форме прямоугольных пластинок, ортогональных стенкам канала. Получены картины течения, графики зависимости от времени значения функции тока на пластинке, графики коэффициентов сопротивления и подъемной силы, действующих на пластинку со стороны жидкости. Во втором параграфе проведено численное моделирование свободной тепловой конвекции вязкой жидкости в двумерной полости с внутренними телами с использованием алгоритма с неявными аппроксимациями.

Четвертая глава посвящена решению задач вязкой жидкости в двумерных нерегулярных областях. В первом параграфе этой главы, имеющем вводный характер, для эллиптических и параболических уравнений второго порядка приводятся основные положения метода фиктивных областей. Во втором параграфе на основе метода фиктивных областей предложены приближенные методы для задач вязкой жидкости в переменных скорость - завихренность - температура в односвязных областях. В третьем параграфе формулируется приближенный метод для задач относительно переменных скорость - завихренность в многосвязных областях. Материалы диссертации докладывались на VII (Махачкала, 1978 г.), X (Новосибирск, 1984 г.), XI (Свердловск, 1988 г.) Всесоюзных школах-семинарах по численным методам механики вязкой жидкости; на 5-ой Всероссийской научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1992 г.); на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Самара, 1993 г.); на XIV и XVI Международных школах-семинарах по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1994 и 1998 г.г.); на Международной конференции "Optimization of Finite Element Approximations" (St.-Petersburg, Russia, 1995); на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 1995 г.); на Международной конференции "Numerical Methods and Computational Mechanics in Science and Engineering" (Miskolc, Hungary, 1996); на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" ( Красноярск, 1997 г.); на II и III Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование и компьютерные технологии" ( Кисловодск, 1998 и 1999 г.г.); на научных конференциях Самарского государственного университета; на семинаре отдела вычислительной аэрогидродинамики ИТПМ СО АН СССР и кафедры вычислительных методов механики сплошной среды НГУ "Численные методы механики сплошной среды" (рук. д.ф.-м.н. В.М.Ковеня и к.ф.-м.н. Б.Г.Кузнецов).

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 14 работах [26, 53, 54, 55, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 139, 140].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сироченко, Владимир Прохорович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Выписаны математические постановки для двумерных задач гидродинамики относительно переменных функция тока, функция тока - завихренность, функция тока - завихренность - температура, скорость -завихренность, скорость - завихренность - температура, описывающих нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости, однородной вязкой несжимаемой жидкости и вязкой теплопроводной жидкости в произвольных многосвязных областях. Все математические модели содержат кроме дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий интегральные условия однозначности давления в жидкости, записанные в общем виде.

2. Доказана эквивалентность приведенных постановок соответствующим задачам в естественных переменных скорость, давление, температура. Существенную роль в установлении эквивалентности играют интегральные условия однозначности давления.

3. Построены численные алгоритмы на основе явных и неявных аппроксимаций для решения задач динамики вязкой жидкости в переменных функция тока - завихренность - температура в многосвязных областях. Получены аппроксимации для интегральных условий однозначности давления, согласованные с разностными схемами для завихренности. Такие аппроксимации обеспечивают независимость на разностном уровне интегралов от ломаных, по которым они вычисляются.

4. Предложен экономичный безытерационный разностный метод решения нестационарных двумерных задач вязкой несжимаемой жидкости. Метод основан на замене уравнения Гельмгольца для функции тока возмущенным уравнением, содержащим вторую производную по времени с малым параметром е. Для возмущенной задачи на основе трехпараметри-ческого семейства однородных разностных схем построена экономичная схема метода дробных шагов с весами типа стабилизирующей поправки. Исследованы аппроксимация и устойчивость полученных разностных схем. Проведены тестовые расчеты.

5. Предложены приближенные методы на основе метода фиктивных областей для стационарных и нестационарных двумерных задач динамики вязкой жидкости в переменных скорость - завихренность - температура в односвязных областях. Сформулирован приближенный метод для задач относительно переменных скорость - завихренность в многосвязных областях. Проведен качественный анализ предложенных методов.

6. Проведено исследование задачи обтекания в плоском канале периодически расположенных препятствий. В предположении существования классического решения задачи доказана его единственность. Численно решена задача с препятствиями в форме прямоугольных пластинок, ортогональных стенкам канала. Получены картины течения, графики зависимости от времени значения функции тока на пластинке, коэффициентов сопротивления и подъемной силы, действующих на пластинку со стороны жидкости. Картины течения жидкости, полученные на основе численных расчетов, хорошо согласуются с фотографиями движения реальной жидкости.

7. Численно решены нестационарные задачи свободной тепловой конвекции вязкой жидкости в двумерной полости с внутренними телами. Приведены изолинии функции тока, завихренности, температуры и графики изменения со временем значений функции тока на границе.

Приведенные в диссертации математические модели и разработанные численные методы могут найти применение при численном моделировании широкого круга прикладных задач, связанных с течением жидкости в многосвязных областях и в областях с нерегулярной границей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сироченко, Владимир Прохорович, 1999 год

1. Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ. / Сост. М. Ван-Дайк.-М.: Мир, 1986.-184 е., ил.

2. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1, 2.-М.: Мир, 1990.

3. Астраханцев Г.П. Метод фиктивных областей для эллиптических уравнений второго порядка с естественными граничными условиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1978.-Т. 18.-№ 1.-С. 118-125.

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1984.-520 с.

5. Браиловская И.Ю., Кускова Т.В., Чудов Л.А. Разностные методы решения уравнений Навъе-Стокса // Вычислительные методы и программирование. Вып. XI. Сб. работ МГУ.-М.: Изд-во МГУ, 1968.

6. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей в уравнениях относительно функции тока для вязкой несжимаемой жидкости // Препринт, 1977.-Новосибирск, ИМ СО АН СССР.

7. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы V Всесоюзной конференции. Ч. 2.-Новосибирск, 1978.-С. 24-35.

8. Бугров А.Н., Смагулов Ш. Метод фиктивных областей в краевых задачах для уравнений Навъе-Стокса // Математические моделитечений жидкости. -Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР.-1978.-С. 79-90.

9. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.-М.: Мир, 1973.-758 с.

10. Вабищевич П.Н. Реализация краевых условий при решении уравнений Навъе-Стокса в переменных "функция тока, вихрь скорости" // Докл. АН СССР. -1983.-Т. 273.-Na 1.-С. 22-26.

11. Вабищевич П.Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навъе-Стокса в переменных функция тока — вихрь // Дифференциальные уравнения.-1984.-Т. 20 -№ 7.-С. 1135-1144.

12. Вабищевич П.Н. Численная реализация метода фиктивных областей для нестационарных уравнений Навъе-Стокса // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1985.-Т. 16.-№ 6.-С. 19-37.

13. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.-164 с.

14. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.-156 с.

15. Вабищевич П.Н. Численное моделирование: Учебное пособие -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.-152 с.

16. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Численное решение стационарных задач вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения.-1983.-Т. 19 5.-С. 852-860.

17. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Об одном подходе к приближенному решению задач стационарной конвекции вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения.-1983.-Т. 19 -№ 7.-С. 1131-1140.

18. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Численное решение стационарных задач вязкой несжимаемой жидкости на основе метода фиктивных областей // Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ.-М.: МГУ. -1985.-С. 255-262.

19. Вабищевич П.Н., Илиев О.П. Численное решение сопряженных задач тепло и массопереноса с учетом фазового перехода // Дифференциальные уравнения.-1987.-Т. 23 -№ 7.-С. 1127-1132.

20. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численные расчеты симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. -Новосибирск: Наука, 1966. с. 186-192.

21. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н., Леонтьев H.A. Расчет свободной конвекции в кольцевой области при пониженной гравитации // Численные методы динамики вязкой жидкости: Труды IX Всесоюзной школы-семинара.-Новосибирск, 1983. -С. 85-89.

22. Воеводин А.Ф., Овчарова A.C. О вычислении функции-вихръ на границе замкнутой круговой области // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1991.-Т. 5(22).-№ 1.-С. 113-120.

23. Воеводин А.Ф. Устойчивость и реализация условий Тома для разностной краевой задачи Стокса // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1992.-Т. 6(23).-№ 1.-С. 37-47.

24. Воронко В.П. Метод эквивалентных преобразований // Динамика многофазных сред: Материалы VI Всесоюзного семинара "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости", -Новосибирск, 1983.-С. 320-324.

25. Воронко В.П., Сироченко В.П. Точная постановка граничного условия для вихря при расчетах течений вязкой несжимаемой жидкости // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1981. -Т. 12.-№ 6.-С. 25-30.

26. Войцеховский С. А. Метод фиктивных областей для эллиптических уравнений второго порядка // Деп. в ВИНИТИ,-№ 2455-81. 1981.

27. Герасимов Б.П., Ермаков Ю.А., Чурбанов А.Г. Численное исследование вынужденной конвекции несжимаемой вязкой жидкости в двухсвязной области. -М., 1987.-21 с. (Препринт/ АН СССР. Ин-т прикл. матем.; № 207).

28. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы-М.: Наука, 1973.-400 с.

29. Громов В.П., Кузнецов Б.Г. Об одной новой постановке задач вязкой жидкости // Труды всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости (II).-Новосибирск, 1969.-С. 64-73.

30. Данаев Н.Т., Смагулов Ш.С. Об одной методике решения уравнений Навъе-Стокса в переменных (ф, и) // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1991.-Т. 5(22).-№ 4.-С. 38-47.

31. Дайковский А.Г., Чудов JI.A. Влияние схемных факторов при расчете следа за плохо обтекаемым телом // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1975.-Т. 6.-№ 5.-С. 34-44.

32. Деннис С., Станифорт А. Численный метод для расчета начальной стадии течения вязкой жидкости около цилиндра // Численные методы в механике жидкостей.-М.: Мир, 1973.-С. 242-252.

33. Джакупов К.Б., Кузнецов Б.Г. Численный расчет одного плоского неустановившегося течения вязкой несжимаемой жидкости // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук.-1967.-№ 8.-вып. 2.-С. 49-53.

34. Джакупов К.Б., Кузнецов Б.Г. Об одном методе расчета задач вязкой несжимаемой жидкости // Труды всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости (II).-Новосибирск, 1969.-С. 96-106.

35. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навъе-Стокса // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1968.-Т. 8.-№ 2.-С. 393-402.

36. Жидков Н.П., Корнейчук A.A., Крылов A.JL, Мостинская C.B. Плоскопараллелъное движение вязкой жидкостимежду вращающимися цилиндрами // Вычислительные методы и программирование.-М.: изд-во МГУ, 1962. Вып. 1.-С. 152-167.

37. Захаренков М.Н. Об аппроксимации граничного условия для завихренности // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1982.-Т. 13. 2-С. 64-81.

38. Зеленов И.В., Шкадов В.Я. Обтекание профиля крыла потоком вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.-1986.-№ 4.-С. 29-36.

39. Кажихов A.B., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1979.-Вып. 40.-С. 127-133.

40. Калис Х.Э. О постановке граничных условий для решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функциях тока и вихря скорости // Труды VIII Всесоюзной школы-семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск, 1981.-С. 93-103.

41. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. -Новосибирск: Наука, 1981.-304 с.

42. Кокшайский Н.В. Очерк биологической аэро и гидромеханики (полет и плавание животных).-М.: Наука, 1974.-256 с.

43. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости.-JL: Судостроение, 1979.

44. Коновалов А.Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // ДАН СССР.-1962.-147, № 1.

45. Коновалов А.Н. Об одном варианте метода фиктивных областей / / Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики.-Новосибирск, 1975. -С. 191-199.

46. Копченов В.Д. Приближенное решение задачи Дирихле методом фиктивных областей // Дифференциальные уравнения.-1968.-Т. 4 -№ 1.-С. 151-164.

47. Копченов В.Д. Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач // Труды МИ АН СССР.-№ 131.-1974.-С. 119-127.

48. Корявов П.П., Павловский Ю.П. Численное решение задачи о движении кругового цилиндра в потоке вязкой жидкости // Проблемы прикладной математики и механики.-М.: Наука, 1971.-С. 247-261.

49. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х т. / Под редакцией И.А. Кибеля.-М.: Физматгиз, 1963. Часть 2.-728 с.

50. Кузнецов Б.Г., Мошкин Н.П., Смагулов Ш. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах сложной геометрии при задании перепадов давления // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1983.-Т. 14.-№ 5.-С. 87-99.

51. Кузнецов Б.Г., Сироченко В.П. Об одной разностной схеме для расчета плоских течений вязкой жидкости // Численные методы в механике жидкости и газа: Сб. научн. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. механики.-Новосибирск, 1980.-С. 78-83.

52. Кузнецов Б.Г., Сироченко В.П. Численный метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в многосвязных областях // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чувашский ун-т.-Чебоксары, 1993.-С. 151-161.

53. Кузнецов Б.Г., Сироченко В.П. О постановке задач гидродинамики в многосвязных областях // Вычислительные технологии: Сб.научн. трудов -Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995.-Т. 4. -№ 12.-С. 209-218.

54. Кускова Т.В. Разностный метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные методы и программирование.-М.: изд-во МГУ, 1967. Вып. VII.

55. Кускова Т.В., Чудов JI.A. О приближенных граничных условиях для вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные методы и программирование.-М.: изд-во МГУ, 1968. Вып. XI.-C. 27-31.

56. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости-М.: Наука, 1970.-288 с.

57. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: В 10-ти т. Т. VI. Гидродинамика-М.: Наука, 1986.-736 с.

58. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1964 -Т. 4.-Na З.-С. 449-465.

59. Левина Г.В. Численное исследование перистальтического прокачивания при значительных деформациях стенки канала и конечных числах Рейнольдса [ Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1983.-Т. 14.-№ 5.-С. 100-110.

60. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир, 1972.

61. Лойцянский Л.В. Механика жидкости и газа-М.: Наука, 1987.-840 с.

62. Люгт X., Оринг С. Вращающийся тонкий эллиптический цилиндр в параллельном потоке вязкой жидкости / / Численное решение задач гидродинамики. -М.: Мир, 1977.-С. 135-142.

63. Люгт X., Хослинг Г. Ламинарный поток за плоской пластинкой, обтекаемой под разными углами атаки // Численные методы в механике жидкостей. -М.: Мир, 1973.-С. 269-276.

64. Люлька В.А. Численное решение задачи о вращении цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. математики и мат. физики-1977. -Т. 17.-№ 2.-С. 470-480.

65. Марчук Г.И. Методы расщепления -М.: Наука, 1988.-264 с.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука, 1989.

67. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навъе-Стокса / В.И.Полежаев, А.В.Бунэ, Н.А.Верезуб и др. -М.: Наука, 1987.

68. Меллер H.A. Обтекание эллиптического цилиндра потоком вязкой жидкости // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1978.-Т. 18. -№ 2.-С. 445

69. Мошкин Н.П. Метод численного решения задачи протекания в переменных "функция тока, вихрь" // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1984.-Т. 15.-№ З.-С. 98-114.

70. Мызникова Б.И., Тарунин Е.Л. Применение метода фиктивных областей для решения уравнений Навъе-Стокса в переменных функция тока и вихрь скорости // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи.-Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981-С. 45-57.

71. Номофилов Е.В. Определение оптимальных параметров численного решения и значения функции завихренности на границе при течении жидкости в коллектор е.-Обнинск, 1978.-(Препринт/ ФЭИ-816).

72. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения систем уравнений со многими неизвестными.-М.: Мир, 1975.

73. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.-М.: Наука, 1984.

74. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости.-Л.\ Гидрометеоиздат, 1986.-352 с.

75. Пирсон К.Е. Численный метод для задач вязкого потока // Механика.-1965.-№ 6(94).-С. 65-77. См. также Pearson С.Е. А computational method for viscous flow problems // J. of Fluid Mechanics.-1965.-21 .-№ 47-pp. 611-622.

76. Полежаев В.И., Грязнов В.JI. Метод расчета граничных условий для уравнений Навъе-Стокса в переменнывх "вихрь, функция тока" // ДАН СССР.-1974.-Т. 219.-№ 2.-е. 301-304.

77. Прандтль Л., Титьенс О. Гидр о- и аэромеханика, т. 2. -М.—Л.: ОНТИ, 1935.

78. Рагулин В.В. К задаче протекания вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора // Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1976.-Вып. 27.-С. 78-92.

79. Ривкинд В.Я. Об оценках скорости сходимости решения разностных уравнений к решениям эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и об одном численном методе решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР.-1963.-Т. 149.-№ 6.-С. 1264-1267.

80. Роуч П. Вычислительная гидродинамика-У.\ Мир, 1980.

81. Руховец Л.А. Замечание к методу фиктивных областей // Дифференциальные уравнения.-1967.-Т. 3 -№ 4.-С. 698-701.

82. Самарский A.A. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.-656 с.

83. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.-М.: Наука, 1976.

84. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973.-416 с.

85. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. -М.: Высшая школа, 1987.

86. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-589 с.

87. Самарский A.A., Фрязинов И.В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики // УМН.-1976.-Т. 31.-№ 6. -С. 167-197.

88. Саульев В.К. Об одном методе автоматизации решения краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах // Докл. АН СССР.-1962. -Т. 144.-№ З.-С. 497-500.

89. Саульев В.К. О решении некоторых краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах методом фиктивных областей // Сиб. математ. журнал.-1963.-Т. 4.-№ 1.-С. 912-925.

90. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости-М.: ИЛ, 1963.

91. Симуни JI.M. Решение некоторых задач движения вязкой жидкости, связанных с обтеканием цилиндра и шара // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук.-1967.-№ 8.-вып. 2.-С. 23-28.

92. Сироченко В.П. Численное решение одной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в двусвязной области // Числен, методы механ. сплошной среды.-Новосибирск, 1977.-Т. 8.-№ 1. -С. 119-134.

93. Сироченко В.П. О единственности решения некоторых периодических задач для уравнений Навъе-Стокса // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1980.-Т. 11.-№ 6.-С. 123-129.

94. Сироченко В.П. Решение двумерных задач динамики вязкой жидкости в многосвязных областях // Дифференциальные уравнения