Быстроменяющиеся асимптотические решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Миненков, Дмитрий Сергеевич

• Миненков, Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Миненков, Дмитрий Сергеевич

Оглавление

Введение

Общая характеристика работы

Краткое содержание работы

1 Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема

1.1 Сравнение различных методов осреднения, па примере ангармонического осциллятора с медленно зависящим от времени потенциалом и некопссрвативным возмущением

1.1.1 Постановка задачи и формулировка результатов

1.1.2 Возмущение начальных данных и потенциала, "неустойчивость" асимптотик

1.1.3 Доказательство теоремы 1

1.1.4 Пример

1.1.5 Метод Кузмака-Уизема

1.2 Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза

1.2.1 Нелинейное уравнение Клейна-Гордона

1.2.2 Однофазовое решение уравнения Кортевега-де-Фриза

2 Системы уравнений мелкой воды

2.1 Замены, приводящие одномерные системы уравнений

мелкой воды к волновому уравнению со скоростью звука

с2 =х

2.1.1 Системы нелинейных уравнений мелкой воды

2.1.2 Линеаризация систем уравнений мелкой воды, основанная на точечных преобразованиях

2.1.3 Преобразования Кариера-Гринспена и близкие исследования

2.1.4 Точные решения линейной системы

2.1.5 Нули Якобианов и "дополнительные" решения

2.2 Асимптотические решения одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростью общего вида

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Замена для выравнивания с2(.г) (дна)

2.2.3 Линеаризация, основанная па преобразовании Кариера-Гринспена

2.2.4 Построение асимптотики с помощью метода теории возмущений

2.2.5 Пример, иллюстрирующий отражение волны от берега в нелинейном случае

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Быстроменяющиеся асимптотические решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных»

Введение

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования. Асимптотические методы широко используются при решении различных задач. Потребность в них возникает, во-первых, когда точное решение задачи неизвестно, и во-вторых, когда с известным точным решением по тем или иным причинам трудно работать, и возникает потребность в простых для приложений асимптотических формулах.

С появлением и развитием таких программных пакетов, как МаШетайса, МаЛЬаЬ и им подобные, возникла возможность компьютерной реализации быстрых аналитико-численных алгоритмов для моделирования волновых процессов, что позволяет анализировать зависимость решения от параметров в режиме "он-лайн". Однако, существующие формулы для асимптотических решений не всегда подходят для подобных целей, и есть потребность в модификации существующих и получении новых формул для асимптотических решений.

Целью работы является построение однофазных асимпготических решений в форме анзаца Кузмака-Уизема для задачи Коши для ангармонического осциллятора, нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, причем окончательный ответ ищется в виде, который является равномерным относительно перехода от "сильно-нелинейного" случая к "слабо-нслинсйному" (не зависит от величины начальных данных). Кроме того строятся асимптотические решения для одномерной нелинейной системы мелкой воды с вырождающейся скоростью общего вида вблизи точки вырождения (соответ-

ствующей берегу). Построенные асимптотические решения эффективно реализуются на компьютере.

Общая методика исследования основана па сочетании адиабатического и квазиклассического приближений, методов осреднения и теории возмущений.

Научная новизна определяется следующими основными результатами:

1. Для задачи Коши для уравнения ангармонического осциллятора с малым неконсервативным членом построено одпофазовое формальное асимптотическое решение. Доказано, что фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи на систему уравнений, из которых определяется эволюция фазы и переменных типа действия, с соответствующим образом подобранными начальными условиями; Доказана равномерность полученного представления относительно перехода от "сильно-нелинейного" случая к "слабонелинейному".

2. Построены однофазовые (формальные) асимптотические решения для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, которые являются регулярными относительно перехода от "сильно-нелинейного" случая к "слабо-нелинейному"; Доказано, что для этих уравнений фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи для системы уравнений Уизема с соответствующим образом подобранными начальными условиями;

3. Для нелинейной системы мелкой воды в одномерном случае с вырождающейся скоростью получены (формальные) асимптотические решения вблизи точки вырождения и предложена замена переменных, которая переводит эту систему в нелинейную с малой нелинейностью.

4. Получено представление в виде точечных преобразований для преобразований, связывающих три одномерные системы: уравнений

мелкой воды на ровном дне, на дне постоянного уклона и линеаризованных уравнений мелкой воды. С помощью этих преобразований исследовано решение в виде бегущей волны с переменной скоростью для уравнений мелкой воды на дне постоянного уклона и соответствующее решение для уравнений мелкой воды на ровном дне.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Асимптотические методы решения задач математической физики сами по себе представляют теоретический интерес. Асимптотические решения часто объясняют ключевые свойства точных решений, получаемых численно или экспериментально. Рассматриваемые задачи описывают несколько практически важных явлений, например, поведение жидкости в каналах или динамику волн цунами. Полученное представление, равномерное относительно перехода от "сильнонелинейного" случая к "слабо-нелинейному", позволяет описывать динамику цуга волн, когда на хвосте цуга амплитуда решения небольшая и ситуация "слабо-нелинейная", а у пика - "сильно-нелинейная".

Личное участие автора. Задача построения асимптотических решений одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростью изучена автором самостоятельно. Некоторые результаты получены совместно с научным руководителем С.Ю. Доброхотовым (Институт Проблем Механики РАН, Московский Физико-Технический Институт) и С.Б. Медведевым (Институт вычислительных технологий СО РАН, Московский государственный университет). Здесь вклад автора заключается в проведении конкретных вычислений и доказательств, а также в реализации полученных асимптотических формул на компьютере.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на Международных конференциях "Дни дифракции" (в 2010-2012 годах, Санкт-Петербург), на международной конференции "Mathematical analysis of Asymptotic and Applications" (в 2010 году, IIMAS, UNAM, Mexico City, Mexico), на научной конференции МФТИ

(2012, Москва), на международной конференции "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (2013, Уфа) и на международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (2013, Новосибирск). Также результаты били представлены и обсуждались на научных семинарах под руководством В.М. Бабича в ПОМИ РАН (2012, Санкт-Петербург) и под руководством Л.А. Каляки-на в Институте Математики с ВЦ УНЦ РАН (2013, Уфа).

Публикации. Основное содержание работы отражено в четырех публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Рабо1ы опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий и журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени киндидата и доктора наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав и списка литературы. Материал диссертации изложен на 105 страницах. Список литературы содержит 68 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются задачи и основные результаты работы.

Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Унзема

В первой главе проводится обзор методов осреднения, разработанных Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, Ю. Л. Митропольским [6,26] и другими, и приводятся результаты, связанные с процедурой определения фазового сдвига в анзаце Кузмака-Унзема при построении быстро-осциллирующих асимптотических решений в нелинейных уравнениях.

Согласно стандартной схеме, примененной Г. Е. Кузмаком (в 1959) [27] для обыкновенных дифференциальных уравнений и Г. Б. Уиземом (1965) [66,67] для уравнений в частных производных, главный член асимптотического разложения определяется из нелинейного уравнения, а поправки к нему из линейных уравнений. Главный член разложения может быть представлен в форме . 1{1)А), где фаза 3, "мед-

ленно меняющийся" параметр или параметры I и так называемый фазовый сдвиг ф определяются из системы "осрсдпснных" уравнений -условий совместности уравнений для поправок. Вопрос о вычислении фазового сдвига возник давно и обсуждался для уравнений в частных производных С. Ю. Доброхотовым и В. П. Масловым (1981) [13], а также Р. Хаберманом (1988) [59]. Для обыкновенных дифференциальных уравнений этот вопрос обсуждался в работах Р. Хабермана и соавт оров.

Основная сложность при определении фазового сдвига состоит в том, что в "сильно-нелинейном" случае для вычисления фазового сдвига достаточно рассмотреть уравнение на первую поправку к главному члену разложения, а в линейном и "слабо-иелинсйном" случае необходимо также исследовать уравнение для второй поправки и для этого необходимо определить первую поправку, что является нетривиальной задачей. Это препятствие имеет топологический характер: при пе-

реходе от "сильно-нелинейного" случая к "слабо-нелинейному" размерность коядра соответствующего линейного оператора в вариациях уменьшается на 1. Практический результат, основанный на идеях работ С.Ю. Доброхотова и В. П. Маслова [13], и работ Р. Хабермана [58,59], заключается в том, что можно учесть фазовый сдвиг ел если рассмотреть его как часть фазы 5, и при этом соответствующим образом изменить начальные данные для уравнения на /. Построенные представления для главного члена асимптотического разложения являются инвариантными относительно перехода от "силыю-нслинсйного" случая к "слабо-нелинейному". Это позволяет, например, описывать динамику цуга волн, когда на хвосте цуга ситуация "слабо-нелинейная", а у пика

- "сильно-нелинейная".

В пункте 1.1 первой главы рассматривается одномерный нелинейный осциллятор с потенциалом У(.г.ет), медленно зависящим от времени т, и малым неконсервативным членом £д(х. х. ет), описывающим трение или (и) "накачку", где с <С 1 - малый параметр. Соответствующий математический объект - задача Коши для неизвестного положения х(т, е) и скорости (момента) р(т. е) — х —

Р= -УХ(.Г,€Т) - £/1(р..г,ст). ¡=р. <(=> V + 1(1.ст) + СП{\, г.гт) = 0, (0.1)

.т|г=0 = х°, р\т~о ~ |г=0 = Р^■ (0.2)

Здесь / = Ух = ~{хЛ). У(хЛ). у - гладкие функции, д(р.х.Ет)

- нечетная функция р. Обычно переменную т называют "быстрым" временем в противоположность "медленному" времени i = ет} Задачу (0.1), (0.2) можно переписать, используя медленное время /, тогда она примет форму так называемой сингулярно возмущенной задачи:

С^Х* (¿Х (1 £

=0, х\,=0 = Л = (0.3)

Мы предполагаем, что по крайней мере локально, потенциал У имеет форму потенциальной ямы на интервале (х/. х,) с минимумом в точ-

'В классической теории осреднения обычно принято обошачать "быстрое" и "медленное" время соответственно через £ и т. Здесь же мы приняли дру! не обозначения, а именно 1С, коюрые используются в следующем разделе в случае уравнений в частых производных.

V(x) 2 г

Xup(r) \lr) I ■

Ï

1 0 -r

г

Рис. 1: The potential V(x,t) and E for various /: / = 0.1, t = 0.2 (left). The example of a fast oscillating solution (right).

КС ОС — тш il € {xi,xr). Потенциал V, функция f так же как и начальные значения х°,р° могут зависеть регулярным образом от некоторого действительного параметра (или параметров) ¡j G [0.р()], например, можно рассмотреть потенциал V = u(t)x'2/2 I- /i\/l(r. t). Vl( r. t) = 0(r3). Параметр р может быть связан с парамефом в простейшем случае fi = е. Обычно, ситуацию, когда V = u{i)r2 ¡2 f sVl(r.f), называют слабонелинейным случаем в противоположность сильнонелинейному случаю, когда ф 0. Хорошим примером слабонелинейного случая служит осцилятор Ван-дер-Поля: х I х — ¿a i (1 — х2) = 0. В качестве примера сильнонелинейного случая мы рассмотрим задачу Коши для физического маятника с медленноменяющейся частотой сo(t) и нелинейным неконсервативным членом, описывающим трение при a(t) < 0 и накачку при a (t) > 0: х + u2(t) мн.г - sa(í) х соьх = 0.

Упомянутое разделение на "слабо-" и "сильнонелинейные" случаи является несколько искусственным и зависит oí начальных условий

т°,р°. Действительно, предполагая, что \

£Х°,р° =

i С

Oil

- АПТ

и х" = = л/Ёр0, после замены переменных х = л/ех.р = \/ер

мы получим слабонелинейное уравнение с V = +

Для упрощения обозначений, мы не будем включать параметр // в У.д,х°,р0 и другие функции и параметры, но будем держать в уме такую возможность.

Понятно, что обычно точное решение задачи Коши (0.1), (0.2) неизвестно, и можно говорить только об асимптотическом решении при

£ « 1. Интересно, что построение таких асимптотик возможно на больших временах, по крайней мере т ~ В переменных медленного времени t = ет "большйе времена" означают t е [0.0(1)], и желаемые решения являются быстроосциллирующими (см. рис. 1). В теории нелинейных колебаний существуют различные асимптотические методы, которые обычно называются методами осреднения. Существует большое число статей и монографий, посвященных методам осреднения, подробную библиографию можно найти в книгах В. И. Арнольда, В. В. Козлова и А. И. Нейштадта [1,2], H.H. Боголюбова и Ю. А. Мит-ропольского [6], J.D. Cole, J. Kevorkian [46]. Несмотря па то, что методы осреднения основаны на похожих идеях, их реализация различается. Можно условно разбить их на две группы: методы, связанные с "заменой переменных" и методы "прямого расчета". Так метод Крылова-Боголюбова [6], теория KAM [1,2] и им подобные попадут в первую группу, а так называемый метод Кузмака [27,44,46] и его обобщение на случай уравнений в частных производных - метод Уизема [60, 66J или нелинейный метод ВКБ следует отнести ко второй группе.

Заметим, что задачи, рассматриваемые в первой главе относятся к так называемым сингулярно возмущенным, которые допускают асимптотики с составляющей типа пограничного слоя. Исследованию последних посвящены, в частности, работы В.Ф. Бутузова, А. Б. Васильевой, М. И. Вишика, С. А. Ломова, Л. А. Люстериика, Н. Н. Нефедова, А. Н. Тихонова, и других. В отличие от таких асимптотик, в диссертации рассматриваются асимптотики, имеющие быстрые осцилляции.

Задача (0.1), (0.2) решена в статье F. J. Boiiiiand and R. Haberman [44] (см. также книгу J.D. Cole, J. Kevorkian [46] и статью A.M. Ильина [22]), посредством метода Кузмака-Уизема, с использованием некоторых идей, предложенных в работе С.Ю. Доброхотова и В. П. Масло-ва [13]. Окончательный ответ представлен в двух разных формах: для слабонелинейного случая (см. также [22]) и для сильнонелинейпого случая (при этом нет перехода от одного к другому). Основной результат данной главы - единая асимптотическая формула, работающая в

обоих случаях. В этом разделе сформулирована и доказана следующая теорема [50]: Теорема 1

Пусть существуют положитетьиые чист а, Ь, /о, такие что дпя

X е [а, ь], г е [ол0}:

(11) вектор-функция (Х(0,1Л). Р(в.1Л)) - 2тг-периодическая по О и является решением невозмущенной системы с " заморолсенныи " временем t:

'>

р=-Н,(хЛ), х = Н,,. II + У{хЛ)., 9,1 - переменные "действие-угол" для невозмущенной системы

1(1) = -1- Г х/2(Я(/.0 - У(гЛ))с1г. в = П{1Л), Щ1Л) = ///(/. £) - тг/ /

и x±{t) - корни уравнения У(х, t) =

(Í2) Элл £ £ [0, ¿o] существует решение Х(/. s) С [аЛ)}, Ф(/.£") задачи Коши для "осредненных" уравнений

<1Ф clX d Ф г/Х

^ = ^(х.í), ^ = О ^ ^ = 0- ^ = -ср. 0

£(/,£) = [ Х0{0.1Л) ■ С]{Г{0.1Л).Х{0.1Л)Л)С10. 2тг Уо

с начальными условиями:

Х|т=0 = /VV) + Ф|т=() ^

где 0°, определяются из условий Х(ф°. 0) = Р(0°. 7°, 0) = р{\

и поправка /[' равна

I

Г,(Л'(0'./о,О).О)г/0') (10 Ь

Тогда для главного члена асимптотического разложения х(т,е), р{т.е) для задачи Коиш (0.1), (0.2) на временах т € [0./о//>] справедливо следующее представление

Основная цель данного раздела в том, чтобы показать, чго этот (и более сильный) результат может быть доказан при помощи теоремы А. И. Нейштадта [35], которая развивает группу методов "замены переменных", а также сравнить эффективность обоих подходов: методов "замены переменных" и методов "прямого счета". По нашему мнению, методы осреднения, связанные с заменой переменных, лучше подходят для рассмотренной задачи Коши (0.1), (0.2), а привлекательность метода Кузмака-Уизема (или нелинейного метода 13КБ) состоит в том, что он естественным образом обобщается на случай уравнений в частных производных.

В пункте 1.2 первой главы рассмотрены одпофазовые (формальные) асимптотические решения в форме Кузмака-Уизема для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза. В этом случае главный член асимптотического решения также ищется в форме анзаца Кузмака-Уизема X{S(x,t)/e -f Ф(.т . t)). I(x.t). x.t) + 0(e), где е 1 - малый параметр, фаза S(x. t) и медленно меняющиеся параметры I(x,t) находятся из системы "осредпепных" уравнений Уизема. Вообще говоря, уравнение для фазового сдвига Ф(.т,£) получается из исследования второй поправки к главному члену. При этом соответ-

ствующая процедура нахождения фазового сдвига неравномерна относительно перехода к линейному (и слабонелинейному) случаю.

Здесь представлены результаты [15], где показано, как, подправляя на О (г) подходящим образом решения уравнений Упзема (мало изменяя начальные условия для них), можно добиться запуления фазового сдвига в анзаце Кузмака-Уизема для главного члена. Тем самым эволюция главного члена полностью определяется решениями уравнений Уизема.

Именно, сформулированы и доказаны следующие теоремы. Рассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения Клейна-Гордона:

где У(и.хЛ), с(хЛ), г/°(.г) и ui](x) € R - гладкие функции; / С /?, х £ R\ 0 < е -С 1 - малый параметр. От функции У(и.хЛ) потребуем выполнения условия, обеспечивающего существование у уравнения (0.4) быстроосциллирующих веществеинозначных асимптотических решений [13]: пусть существуют гладкие функции о(х. t) < b(x. /), такие что при каждых фиксированных хЛ на интервале а < Е < b уравнение У(и,хЛ) = Е имеет по крайней мере два решения ^mia(^) t-, Е), итах(х, Е). ит[п < иШАХ, гладко зависящих от хЛ.Е и таких, что Уи{ит-т1хЛ) ф 0,yu(iim,)x.i\i) ^ 0 и }/Г(и.хЛ) < Е при

Теорема 2 Пусть существует положительное число /о и гладкие функции а{х,{) < Ь(хЛ), такие что для / £ [0./()]. 1(хЛ) € [а(х, £), Ь(х, £)] выполнены условия:

^х) Существует 2тт-периодичное по переменной 0 решение Х(в,хЛ) = Х(в,1(х^).х,1) уравнения нулевого приближения

£2(utt - с2(х. t)Au) + Уп{и. X. I) =- 0.

(0.4) (0.5)

и(хЛ,£) |f=0 = U°(x). £2р{хЛ.£) |/=П = V°(x).

П'2(х, t)Xoe + Vv(X, xj) — 0. Это решение задается неявной формулой

fx(e.x,t) d

e = ±Q(x,t) / -

Лт„. л/2(E(I.,.t)-V(z. Г./))

il{x,t) =7Т/ I

ii,

2 (Ш. к/) - \ ' ( ~. ? . /

где для параметризации использована переменная типа действия:

*) = £ С;:

(¡2) Существует решение ¿¡{хЛ.е). 1{хЛ.г) задачи Кош и для системы Уизема:

1

tt(I.x.t)

c2{xJ)(\7,r77^—zVS) = 0.

{¡(i.x.i:

(где операторы дифференцирования во втором уравнении действуют также на функцию 1{х. 1,е)), удовлетворяются начальным условиям:

S(x,t,e) |,=0 = £Фи(х), 1{хЛ.е) |/=0 = Г\х) + еГЦх).

где поправка /['(.г) определяется формулой

1 О

1°(х) = -——— / - {\]){x.0)d0.

m*»

9

Jo

Тогда главный член асимптотического разлоэ/сения для решения исходной задачи Коши (0.4), (0.5) на временах t G [0. in] определяется формулой с "нулевым фазовым сдвигом":

и(х, t, е) = + Ф(.т, L). /(.T. t), .т, t) + 0(e).

£

Рассмотрим теперь уравнение Кортевега-де-Фриза

ut — Guu, + £2и, , , = 0. x <Е /?. t > 0 (0-6)

где 0 < е -С 1 - как и раньше, малый параметр. Некоторые формальные асимптотические решения этого уравнения представляются в виде анзаца Кузмака-Уизема. Дифференциальное уравнение, из которого определяется главный член асимптотического разложения Х(6.х.(), в этом случае имеет вид:

П{х, t)Xe - СК{х. 1)ХХе + К\х. I)Хт = 0.

где K(x,t) = ST(x,t), fi(x,i) = Sf(x.t) - волновое число и частота. Здесь также 9 - периодическая переменная, .т. / - "замороженные" переменные. Для параметризации функция Х{в.хЛ) удобно использовать корни Eq, Ei, Е2 многочлена R2(z. г. /) = ,;3 - тщтуу-2 + Ai 0Г- + А2(х, t) = (z-E0)(z-E1){z-E2) (см. статью G. В. Whitham (1965) [67], книгу Н. И. Ахиезера (1970) [3], препринт В. Б. Матвеева (1976) [61], статьи А. В. Гуревича и JI. П. Питаевского (1971) [10], Б. Л. Дубровина,

B. Б. Матвеева и С. П. Новикова (1976) [20], А. Р. Мтса и В. Б. Матвеева (1976) [23], Н. Flaschka, М. Forest, D. McLaughlin (1980) [56],

C.Ю. Доброхотова и В. П. Маслова (1980) [13], R. Habcrman (1988) [59]. Формула для функции Х(в, Е) найдена в [23], ее можно представить в терминах ^-функции Якоби (см. [13]). Система уравнений Уизема при параметризации через концы зон Eq.Ei.Eo имеет простую структуру (получена Н. Flaschka, М. Forest и D. McLaughlin (1980) [56], см. также статью И. М. Кричевера [25]):

%-Е, = /- 0.1.2.

ot их

(Формулы для коэффициентов А](Е) приведены в тексте диссертации.) Волновое число К и частота S1 выражаются через концы зон, после чего фаза находится интегрированием уравнения dS = i}(x,t)dL + k(x,t)dx. Чтобы получить уравнение на фазовый сдвиг Ф, необходимо исследовать уравнение второго приближения. В 'Геореме 3 рассматривается задача Коши для уравнения Кортевега-де-Фриза с начальными условиями из того же класса, что и строящиеся асимптотики.

Показано, что, так же как и в случае волнового уравнения, уравнение на фазовый сдвиг можно не решать, если включить его в фазу S(x,t,e) = S(x,t) +сФ(х,£) и одновременно скорректировать концы зон E(x,t.e) = Е(х. £) + £ 6Е(х, t). Приведены формулы для поправок 6EQ = ÖE\t=a к начальным условиям для концов зон.

Полученное представление для главного члена асимптотического разложения (Теоремы 1, 2 и 3) является равномерным относительно перехода к "слабо-нелинейному" случаю, и поэтому его можно использовать для расчета динамики волнового пакеi а. Хо1я это1 факт установлен для двух уравнений в частных производных, тем не менее, как надеется автор, то же имеет место и для других нелинейных уравнений. Хотя, конечно, этот факт требует доказательства, и в первую очередь его стоит проверить для асимптотик уравнений, интегрируемых методом обратной задачи (см. [25]), и уравнений Навье-Стокса [30].

Системы уравнений мелкой воды

Во второй главе рассматривается система нелинейных уравнений для волн на воде в приближении мелкой воды. Одномерные уравнения мелкой воды являются одной из простейших моделей распространения жидкости в каналах (см. книгу J.J. Stoker, 1958 [64]). Кроме юго, эш уравнения могут быть использованы для исследования цунами (см. работы E.H. Пелиновского и P. X. Мазовой [37,62]). В случае ровного дна уравнения могут быть сведены к линейным уравнения с помощью преобразования годографа (см. книгу R. Courant, 1962 [47]). При постоянном наклоне дна уравнения также могут быть сведены к линейным уравнениям с помощью преобразования годографа, после приведения их к римановым инвариантам. Однако, возможны дальнейшие преобразования зависимых и независимых переменных, которые позволяют выразить параметрически решения исходных уравнений через два параметра и функцию от них (см. G. F. Carrier, H. P. Greenspan, 1958 [45]). При этом функция является решением линейного волнового уравнения. Преимущество такого представления состоит, во-первых, в том, что ре-

шение нелинейной системы первого порядка сводится к решению линейного волнового уравнения, во-вторых, подвижная точка уреза (точка, в которой глубина жидкости равна нулю) переходит в нулевую точку для линейного уравнения.

Хотя рассматриваемая система является бездисперсионной, но вопрос о фазовом сдвиге все равно возникает. Для уравнений мелкой воды фазовый сдвиг связан со скачком индекса Маелова при прохождении особой точки специального типа, в которой вырождается скорость распространения волны. Это объясняет известную метаморфозу профиля волны, которая описывается преобразованием Гильберта и состоит например в том, что "размазанное" ¿-образное решение переходит в так называемую N-волну. В целом оказывается, что решение системы мелкой воды другого типа, чем рассматриваемые в Главе 1, и никаких новых эффектов, связанных с фазовым сдвигом, нелинейность не дает.

В пункте 2.1 второй главы приведены точечные преобразования, связывающие три системы уравнений первого порядка: уравнения мелкой воды над ровным дном D(z) — О

уравнения мелкой воды над дном постоянного уклона Г){х) — с}(х) = х:

и линейной системы, которая получается формальной линеаризацией:

Все найденные преобразования сохраняют дивергентный вид уравнений. Также приведены преобразования, связывающие линеаризованную систему и линейное волновое уравнение, выведенное в работе G.F. Carrier, Н. P. Greenspan [45]. Кроме того, представлены форму-

лы специального решения линеаризованной системы в виде волны, бегущей с переменной скоростью (полученного С. Ю. Доброхотовым и С. Я. Секерж-Зеньковичем [17]), и показана связь полученного решения с решением двумерного волнового уравнения с постоянной скоростью звука.

В пункте 2.2 второй главы рассматриваем система нелинейных уравнений мелкой воды в одномерном случае над неровным дном D(x) = с2(х) (с(х) - скорость распространения волн):

r}t+{D{x)u+r]u), = 0. щ+{г}+и2/2), - 0. г > xmm{t). t G R (0.7)

для уровня свободной поверхности Г/ = 1](х. /) и скорости и = и(х. /,) (см. например, книги J.J. Stoker [64] и E.H. Пелиновского [37]). Считаем, что точка х = 0 соответствует берегу, а именно sign(/)(r)) = sign(j;). Значения D{x) < 0 отвечают "отрицательной глубине", т.е. высоте берега над уровнем водоема. Задача состоит в построении некоторых ограниченных решений рассматриваемых уравнений в области с переменной левой границей х G [.г1иш(/). ос), 1де х]пт(() определяется ИЗ условия D(xmin) + фтш- t) = 0.

Решения этой задачи в случае линейного дна, когда D(x) = у2х изучались в работах J. J. Stoker [64], E.H. Пелиновского и P.X. Мазовой [37,62], G.F. Carrier, H. P. Greenspan [45], T. Vukasinac и P. Zhevanclrov (2002) [65], С. Ю. Доброхотова и Б. Тироцци (2010) [19], причем, в последней получено семейство точных решений, представленных в виде алгебраических функций.

Мы будем рассматривать дно в виде D(x) — ^2xf(sx). /(0) — f{k\0 = гДе характерный размер "неровностей" дна D(x)

определяется малым параметром £ « 1, Изменением масштаба (?■—>■ x,t —> tf7,77 72т],г1 —> 7и) можно сделать о — 1. Решаем задачу Ко-ши с начальным условием, удаленным от берега па расстояние порядка длины волны:

l\t=o = r,°(x), if(x)~yV{x-l). u|/=o = 0. (0-8)

19

Здесь V"(£) - гладкая финитная функция supp V С [—1/2,1/2], |V(£)| < 1, параметр и характеризует амплитуду в начальный момент времени. Будем считать, чго амплшуда волны в начальный момент достаточно мала по сравнению с глубиной v -С D( 1), чтобы волна дошла до берега без опрокидывания. Это достаточно часто бывает для волн цунами (как показано в pa6oiax E.H. Пелиновского и Р. X. Мазовой [37,62]).

Основной результат заключается в следующем (см. [34]). Вблизи берега существует замена переменных (l.t) —> (--Т). (ll(l.t) Ll(l.l)) —> (N(z.t),U(z,t)), которая сведет исходную задачу к задаче Коши для нелинейной системы, представляющей собой слабовозмущенную линейную систему:

NT + (zU), = efi(z. N. U)M. UT + V- = :j»(:. .V V)N. (0.9) 7V|r=0-^°(z). U |^o = 0. (0.10)

Указанная замена переменных строится как композиция двух замен. Сначала проводится замена переменных для "выравнивания дна", которая переводит исходную систему в систему мелкой воды с дном постоянного уклона и с малой правой частью.К полученной системе применяются формулы линеаризации методом Карпера-Грииспена [45] (см. также книгу E.H. Пелиновского [37]) в форме, представленной в статье С.Ю. Доброхотова и Б. Тироцци [19]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миненков, Дмитрий Сергеевич, 2013 год

Литература

1. В. И. Арнольд, "Математические методы классической механики", 3-е изд. — М.: Наука, 1989;

English trans. Springer, 1997.

2. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, "Математические аспекты классической и небесной механики", М.: ВИНИТИ, 1985; English trans. Springer, Berlin, 2006.

3. Н.И. Ахиезер, "Элементы теории эллиптических функций", "Наука", Москва, 1970. English trans. Trans, of Math.Monographs, v.79, Amer.Math. Soc., RI, 1990

4. Г. И. Баренблатт, Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

5. М.Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, "Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве", Ленинград, Ленинградский Университет, 1980.

6. Н.Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний", "Наука", Москва, 1974; English trans. New York, Gordon and Breach, 1961.

7. Й. Брюнинг, С.Ю. Доброхотов, M.A. Потсряхин, "Об усреднении для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой и малыми амплитудами", Матем. заметки, 2001, 70:5, 660-669;

Engl, transl. Math.Notes, v.70, N 5, 2001, pp.599-607.

8. Й. Брюнинг, С. Ю. Доброхотов, М.А. Потеряхин, "Интегральная формула для аналитического решения уравнения yf'r — xf = д(х,уУ\ Матем. заметки, 2002, 72:4, 633-634;

English transi. Math.Notes, v.72, N 4, 2002, pp. 583-585.

9. И. С. Градштейн, И. M. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М. Физматгиз, 1963

English trans. New York: Acad. Press, 1980.

10. A.B. Гуревич, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 60, 2155 (1971).

11. С.Ю. Доброхотов, Б. И. Волков, С. Я. Секерж-Зенькович, Б. Тироц-ци, "Асимптотическое описание волн цунами в рамках поршневой модели: общие конструкции и явно решаемые примеры", Фундаментальная и прикладная гидрофизика, Санкт-Петербургский научный центр РАН 2 (4), 15-29 (2009).

12. С.Ю. Доброхотов, И.М. Кричсвср, "Многофазные решения уравнения Бенджамина-Оно и их усреднение", Матем. заметки, 49:6 (1991), 42-58.

13. С. Ю. Доброхотов, В. П. Маслов, "Консчиозоипые почти периодические решения в ВКБ-приближениях", Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, т. 15, 1980. Eng. transi. J. of Soviet Math., 16, No.6, 1981, 1433-1486.

14. С. Ю. Доброхотов, С. Б. Медведев, Д. С. Минепков, О заменах, приводящих одномерные системы уравнений мелкой воды к волновому уравнению со скоростью звука с2 = х, Матем. заметки, 2013, 93 (5), 725-736.

15. С.Ю. Доброхотов, Д. С. Миненков, "О фазовом сдвиге в анзаце Кузмака-Уизема", ТМФ, 2011, 166(3), 350-365.

16. С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, Б. Тироцци, "Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вы-

рождающейся скоростью и локализованными начальными данными " Алгебра и анализ 22 (6), 67-90 (2010).

17. С. Ю. Доброхотов, С. Я. Секерж-Зенькович, Один класс 1очных алгебраических локализованных решений мноюмерного волнового уравнения, Матем. заметки, 88:6, 2010, 942-945,

18. С.Ю. Доброхотов, С. Я. Секерж-Зенькович, Б. Тироцци, Т. Я. Тудо-ровский, "Описание распространения волн цунами на основе канонического оператора Маслова", Доклады, Математика, 409 (2) 171, 2006.

19. С.Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, "Локализованные решения одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды со скоростью с = ^/х", УМН, 65:1(391), 2010, 185-186.

20. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков, "Нелинейные уравнения типа Кортевега—дс Фриза, конечпозонные линейные операторы и абелевы многообразия", Успехи мат. наук, 1976, 31, № 1, 55—136 (РЖМат, 1976. 7Б972).

21. С. К. Жданов, Б. А. Трубников, Квазигазовые неустойчивые среды, М.: Наука, 1991.

22. А. М. Ильин,"О методе двух масштабов в задаче о возмущении од-ночастотного колебания", ТМФ, 1999, 118:3, 383-389.

23. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, "Об одном классе решений уравнений Кортевега—де-Фриза", в сб. Пробл. маг. физ. № 8, Л., Ленингр. ун-т, 1976, 70-92 (РЖМат, 1977, 2Б635).

24. И. Л. Кароль, К теории краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, Матем. сб. 38 (80), 3, 1956, 261283.

25. И. M. Кричевер, "Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений", функциональный анализ и его приложения, 1988, т.22, вып. 3, стр. 37-52.

26. Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов, "Введение в нелинейную механику", 1937

27. Г. Е. Кузмак, "Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами", Прикл. мат. мех., 23, 1959, pp. 515-526.

Also appears in English translation.

28. А.Я. Мальцев, "Лоренц-инвариантная деформация системы Уизсма для нелинейного уравнения Клейна-Гордона", Функц. анализ и его прил., 2008, том 42, вып. 2, С. 28-43

29. В. П. Маслов, "Операторные методы", Паука, М., 1973.

30. В. П. Маслов, "Когерентные структуры, резонансы и асимптотическая неединственность для уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса", Успехи математических паук, 1986, т.41, вып. 6(252), стр. 19-35. English transi., Russ. Math. Surv. 41, (1986), 6, 19-35.

31. В.П. Маслов, M.B. Федорюк, "Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики", Паука, М., 1976;

English transi. Dordrecht, Reidel, 1981.

32. В. П. Маслов, M.B. Карасев, "Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование", Наука, 1991;

English transi. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

33. С. Б. Медведев, Законы сохранения нулевого порядка для одномерных уравнений гидродинамики с правой частью, Вестник НГУ, сер. А. Т.10, вып. 1, 2010, С. 70-88.

34. Д. С. Миненков, "Асимптотические решения одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростью", Математические заметки, 2012, 92 (5), 721-730.

35. А. И. Нейштадт, "О разделении движений в спермах с быстровра-щающейся фазой", ПММ, 48:2, 1984, 197-204.

English trans. "The separation of motions in systems with rapidly rotating phase", Prikladnaya Mat. i Mechanika v.48, No. 2, 1984, pp.197-205.

36. JI. В. Овсянников, Лекции по основам газовой динамики, М.: Наука, 1981. (также: Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003).

37. Е. Н. Пслиновский, "Гидродинамика волн цунами", Нижний Новгород, ИПФ РАН, 1996.

38. А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям магматической физики, М.: Физматлит, 2001.

39. М.М. Смирнов, Задачи по уравнениям математической физики, М.: Наука, 1975.

40. М.М. Смирнов, Уравнения смешанного типа, М.: Наука, 1970.

41. А. Н. Тихонов, "Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных", Матем. сборник, 31 (73) (1952), 575-586.

42. Б. А. Трубников, Теория плазмы, М.: Энергоатомиздат, 1996.

43. М. В. Федорюк, "Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений n-того порядка", Диффсрснц. уравнения, 2, № 4, (1966), 492-507

44. F. J. Bourland and R. Haberman, "The modulated phase shift for strongly nonlinear slowly varying, and weakly damped oscillators", SIAM J. Appl. Math., 48, 1988, pp.737-748.

45. G.F. Carrier, H. P. Greenspan, J. Fluid Mech., 4, 1958, 97-109.

46. J. D. Cole, J. Kevorkian, "Multiple scale and singular perturbation methods", Springer, 1996.

47. R. Courant, Partial differential equations, New York, 1962.

48. I. Didenkulova, E. Pelinovsky, Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework), Nonlinearity 24, 2011, R1-R18.

49. Digital Library of Mathematical Functions, National Institut of Standards and Technology, http://dlmf.nist.gov/10.51

50. S. Yu. Dobrokhotov, D. S. Minenkov, "On Various Averaging Methods for a Nonlinear Oscillator with Slow Time-dependent Potential and a Nonconservative Perturbation", Regular and Chaotic Dynamics, 2010, Vol. 15, No. 2-3, pp. 285-299.

51.S.Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, B. Tirozzi, "Asymptotic Solution of the One-Dimensional Wave Equation with Localized Initial Data and with Degenerating Velocity: I", Russ. J. Math. Phys. 17 (4), 434-447 (2010).

52. S. Yu. Dobrokhotov, R. Nelcrasov, and B. Tirozzi, "Asymptotic solutions of the linear shallow-water equations with localized initial data," J. Engng. Math. 69 (2), 225-242 (2011).

53. S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B. Volkov, "Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model," Russ. J. Earth Sci. 8 (ES403), 1-12 (2006).

54. S.Yu. Dobrokhotov, A.I. Shafarevich, and B. Tirozzi, "Localized wave and vortical solutions to linear hyperbolic systems and their application to the linear shallow water equations," Russ. J. Math. Phys. 15 (2), 192-221 (2008).

55. S.Yu. Dobrokhotov, B. Tirozzi, and C.A. Vargas, "Behavior near the focal points of asymptotic solutions to the Cauchy problem for the linearized Shallow water equations with initial localized perturbations,11 Russ. J. Math. Phys. 16 (2), 228-245 (2009).

56. H. Flaschka, M. Forest, D. McLaughlin, "Multiphase averaging and the inverse spectral solutions of the KdV equation", Comm. Pure. Appl. Math 33 (1980), pp. 739-784.

57. V. Gelfreich, L. Lerman, "Almost invariant elliptic manifold in a singularly perturbed Ilamiltonian system", Nonlincarity, v. 15, 2002, 447-457.

58. R. Haberman, "Standard Form and a Method of Averaging for Strongly Nonlinear Oscillatory Dispersive Traveling Waves", SIAM J. Appl. Math., Vol. 51, No.6, pp. 1638-1652, December 1991.

59. R. Haberman, "The Modulated Phase Shift for Weakly Dissipated Nonlinear Oscillatory Waves of the Korteweg-dc-Vries Type", Studies in Applied Mathematics 78:73-90 (1988).

60. J. C. Luke, "A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems", Proc. R. Soc. London, Ser.A, 292, 1966, pp.403-412.

61. V. B. Matveev, "Abelian functions and solitons", Inst. Theor. Phys., Univ. Wroclaw, Preprint N 373, 1976.

62. E.N. Pelinovsky, R. Kh. Mazova, "Natural Hazards", 6:3 (1992), 227-249.

63. S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, "Simple asymptotic solution to the Cauchy-Poisson problem for leading waves," Russ. J. Math. Phys. 16 (2), 215222 (2009).

64. J. J. Stoker, "Water Waves: The Mathematical Theory with Applications", John Wiley and Sons, New York, 1958 (repr. in 1992).

65. T. Vukasinac, P. Zhevandrov, "Geometric Asymptotics for a Degenerate Hyperbolic Equation", Russ. J. Math. Phys. 9 (3), 371-381 (2002).

66. G. B. Whitham, "Two-timing, variational principals and waves", J. Fluid Mech., 44, 1970, pp. 373-395.

67. G.B. Whitham, "Non-linear Dispersive Waves", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Math and Phys Sciences, Vol.283, No.1393 (Jan.6, 1965), pp.238-261.

68. Wolfram Mathematica®, www. wolfram. com.