Волновые и диффузионные процессы в жидком слое конечной толщины: аналитические решения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Гиниятуллин, Айрат Рафаэлевич

• Гиниятуллин, Айрат Рафаэлевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Гиниятуллин, Айрат Рафаэлевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

введение

глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ОБОБЩЕННЫМ УРАВНЕНИЕМ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА

Введение

§1.1. Обобщенное уравнение Кортевега-де В риза для волн в двухслойном потоке с

учетом эффектов поверхностного натяжения

£ 1.1.1. Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной

жидкости

$ 1.1.2. Анализ коэффициентов уравнения (1.66) и различные частные случаи 24 $ 1.1.3. Стационарные локализованные решения уравнения Гарднера-Кава-

хары (1.68) и их свойства

$ 1.2. Уединенные волны в рамках уравнения Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью

$ 1.2.1. Формальный вывод уравнения /о^-КдВ

§1.2.2. Стационарные решения

$ 1.2.3. Обоснование вывода гауссовых уединенных волн

$ 1.2.4. Спектральная устойчивость уединенных волн Гаусса

1.3. Универсальные спектры опрокидывающихся волн в среде с произвольной

нелинейностью без учета дисперсии

$ 1.3.1. Степенная асимптотика при обрушении волн

$ 1.3.2. Малые дисперсионные и диссипативные эффекты

Выводы

глава 2. ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОМ

ДВУХСЛОЙНОМ ПОТОКЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Введение

§ 2.1 Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины

§ 2.1.1. Бегущие волны в двухслойном потоке переменной сечения

£ 2.1.2. Конфигурации бассейна, допускающие безотражательное

распространение внутренних волн

2.1.3. Структура бегущей внутренней волны в безотражательном канале 71 £ 2.2. Отражение внутренней волны в критической точке, где двухслойный поток

переходит в однослойный

§ 2.2.1. Аналогия между задачами наката поверхностных и внутренних волн

§ 2.2.2. Накат внутренней волны на откос

§2.2.3. Обрушение волны на откосе

§ 2.3. Адиабатическая трансформация солитонов внутренних волн в двухслойном

потоке переменной глубины

§ 2.3.1. Теоретическая модель, основанная на обобщенном уравнении Корте-

вега-де Вриза

§2.3.2. Уединенные внутренние волны (солитоны)

§ 2.3.3. Адиабатическая трансформация солитона внутренних волн в потоке переменной глубины

Выводы

глава 3. ИНТРУЗИЯ ВОДНОГО ПОТОКА В ВОЗДУШНОЙ СРЕДЕ

НАД РОВНЫМ ДНОМ

Введение

§ 3.1. Физическая модель интрузии водного потока в воздух на ровном дне

§ 3.2. Локальное существование решения линейной задачи для контактной линии

на границе вода-воздух

§ 3.2.1. Решение для постоянной скорости контакта V(t) = Vo

§ 3.2.2. Решение первоначальной проблемы с V(t)

§ 3.3. Формирование особенностей при вхождении движущегося жидкого потока

в воздух

§ 3.3.1. Априорные оценки энергии

§ 3.3.2. Автомодельные решения для формирования особенностей

§3.3.3. Точечные уравнения

Выводы

заключение

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновые и диффузионные процессы в жидком слое конечной толщины: аналитические решения»

Введение

В настоящее время многие практические задачи механики жидкости решаются численно в рамках уравнений Эйлера или Навье-Стокса с использованием специальных вычислительных комплексов. Некоторые из них находятся в свободном пользовании через Интернет, и они достаточно известны (MITgcm, Gerris, OpenFOAM, Thetis and Truchas). Отметим лишь некоторые применения подобного рода вычислительных комплексов в близкой для нас области описания волновых движений на мелкой воде: моделирование наката волн цунами на побережье Японии [Kim et al, 2013], волны, вызванные движением деформируемого оползня [Abadie et al., 2010], обрушение волн как с «разбрызгивающимися», так и «разрушенными» бурунами [Lubin et al., 2006; Jacobsen et al., 2012], взаимодействие волн и потоков со структурами [Formaggia et al., 2008], внутренние волны и их разрушение [Talipova et al, 2013]. Как отмечается в только что опубликованной работе [Wroniszewski et al, 2014], в силу разнообразия и сложности различных вычислительных комплексов необходимо иметь единые тестовые задачи (benchmarks), позволяющие сопоставлять точность вычислений по различным программам. Большим подспорьем для разработки таких тестов являются аналитические решения уравнений гидродинамики, получаемые в рамках различных приближений. Ввиду многообразия определяющих параметров геофизических процессов (неоднородная стратификация плотности и течений, переменная глубина, нелинейность, дисперсия, диссипация) выделение качественно разных процессов и явлений наиболее просто делается в рамках теоретических подходов, и это должно проводиться прежде, чем использовать прямое численное моделирование. Именно поэтому так важны аналитические исследования гидродинамических процессов. В одних случаях они позволяют исследовать физику происходящих процессов, в других - понять ограничения имеющихся моделей и выяснить природу численных неустойчивостей.

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению некоторых задач волновых и диффузионных процессов в жидком слое конечной толщины.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертационной работы является изучение волновых и диффузионных процессов в слое жидкости конечной толщины. В частности, предполагается: 1. Исследовать структуру нелинейных волн, описываемых различными обобщениями уравнения Кортевега-де Вриза, а именно: уравнением Гарднера-Кавахары, уравнением Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью; бездисперсионным пределом обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза.

2. Дать анализ трансформации внутренней волны в двухслойном потоке переменной толщины, в том числе в окрестности зоны перехода двухслойного потока в однослойный.

3. Исследовать структуру языка интрузийного потока между двумя движущимися границами и математические свойства возникающей здесь линеаризованной задачи в рамках модели [Веш1оу, Ууппуску, 2013].

Научна» новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Выведено обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для описания длинных внутренних волн на границе раздела двух жидкостей при учете капиллярных эффектов. Показано, что в окрестности двойной критической точки (когда коэффициент квадратичной нелинейности и коэффициент дисперсии обращаются в нуль) оно сводится к неинтегрируемо-му уравнению Гарднера-Кавахары. Численно исследованы стационарные решения этого уравнения в виде уединенных волн. В зависимости от величины капиллярных эффектов уединенная волна близка к солитону Гарднера (слабая капиллярность) или к осциллирующему пакету (капиллярные эффекты превалируют).

2. В рамках логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза, описывающего сильно нелинейные волны в средах с нулевой линейной скоростью распространения, найдены точные солитонные решения этого уравнения, представляющие собой гауссовы импульсы, амплитуда которых зависит от скорости распространения, а ширина остается постоянной. Доказана устойчивость солитонов в рамках этого уравнения.

3. Исследовано «полиномиальное» уравнение Буссинеска, в котором нелинейный и дисперсионный слагаемые содержат иа, и ряд нелинейных дискретных моделей цепочек Ферми-Паста-Улама, допускающих солитонные решения. Показано, что при стремлении а к единице гауссовы импульсы являются хорошей аппроксимацией найденных численно солитонных решений этих уравнений.

4. Доказано существование универсальной степенной асимптотики в спектре одномерной обрушивающейся волны Римана в недиспергирующих средах с произвольной нелинейностью. Численно показано, что она сохраняется в течение длительного времени при учете слабой диссипации или слабой дисперсии.

5. Показано, что в узких стратифицированных бухтах переменного сечения могут распространяться бегущие внутренние волны малой амплитуды без отражения при специальном законе изменения глубины и ширины канала.

6. В рамках линейной теории мелкой воды исследована динамика длинных волн в окрестности точки перехода двухслойного потока в однослойный. Предложен аналитический

критерий обрушения внутренней волны на откосе. Оценены амплитуды обрушивающихся внутренних волн различного периода на откосе.

7. Дан асимптотический анализ трансформации уединенной волны малой, но конечной амплитуды (солитона) в двухслойном потоке с уменьшающейся глубиной. Рассчитано изменение амплитуды уединенной волны от толщины нижнего слоя. Показано, что амплитуда внутренней волны может не монотонно возрастать при приближении к берегу.

8. Доказано локальное существование решения линеаризованной задачи [ВепПоу, Ууппуску, 2013], описывающей интрузию водного потока в воздух между двумя движущимися твердыми параллельными границами, и найдена асимптотика волнового поля вблизи особенностей (сингулярностей) в решении. Теоретическая формула затем была подтверждена в численных экспериментах [РеНпоувку, Хи, 2013].

Положения, выносимые на защиту

1. Вывод обобщенного уравнения Коргевега-де Вриза для волн на границе раздела двухслойного потока с учетом эффектов поверхностного натяжения.

2. Точные солитонные решения в виде гауссовых импульсов логарифмического уравнения Кортевега-де Вриза, описывающего сильно нелинейные волны в средах с нулевой линейной скоростью распространения.

3. Универсальная степенная асимптотика в Фурье-спектре одномерной обрушивающейся волны Римана в недиспергирующих средах с произвольной нелинейностью.

4. Точные аналитические решения, описывающие «безотражательное» распространение линейных длинных внутренних волн в стратифицированном канале переменной глубины и сечения.

5. Точные решения линейной задачи, описывающей отражение внутренней волны в критической точке, где двухслойный поток переходит в однослойный. Критерий обрушения внутренних волн на откосе.

6. Немонотонный характер возрастания амплитуды солитона внутренних волн в двухслойном потоке с уменьшающейся глубиной.

7. Асимптотика волнового поля вблизи особенностей в решении "интрузийной" задачи [Вепйоу, Ууппуску, 2013], подтвержденная затем численно [РеНпоуэку, Хи, 2013].

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обоснована выбором апробированных физических моделей, математической корректностью постановок задач, строгим использованием аналитических и численных методов, обсуждением на научных семинарах и конференциях.

Практическая значимость результатов работы

Полученные в работе результаты могут применяться для изучения природных процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Одним из практических приложений обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза, выведенного в диссертации, является его использование в задачах о течении тонких плёнок несмешива-ющихся жидкостей для управления процессом. Полученные точные решения в модели языка интрузии водного потока в воздух [Benilov, Vynnycky, 2013] позволили оценить пределы применимости данной модели. Предложенный критерий обрушения внутренних волн на откосе окажется полезным для интерпретации натурных данных о волновых процессах в прибрежной зоне морей. Наконец, точные аналитические решения, найденные в диссертации, могут быть использованы для тестирования численных схем решения задач механики жидкости.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: II Международной конференции «Геоинформатика: технологии, научные проекты» (Барнаул, 2010); Пятой Сахалинской молодежной научной школе «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2010); Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2010); Двенадцатой Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Звенигород, Московская область, 2010); IX Междуна-родной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010); XVII Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2011); X Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2011); XXII Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2012» (Нижний Новгород, 2012); XI Международной научной конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Алушта, 2012); Шведской конференции по морским наукам (Кальмар, Швеция, 2012); 1A1IS-1APSO-IASPEI IUGG конференция «Knowledge for the future» (Гетеборг, Швеция, 2013).

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автор диссертации являлся руководителем работ в рамках Государственного контракта № 14.740.11.1206 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами в следующих областях: «математика; механика», в рамках мероприятия 1.3.2 ФЦП «Науч-

ные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы», а также был исполнителем следующих грантов:

• Грант Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых - докторов наук МД - 99.2010.5 «Прогнозирование шельфовых динамических процессов, индуцированных длинными поверхностными и внутренними волнами, в рамках усовершенствованных математических моделей» (2010-2011);

• Государственный контракт № П851 «Проведение поисковых научно-исследовательских работ по направлению «Геофизика» в рамках мероприятия 1.2.1 ФЦП «Научные и научио-педагогические кадры инновационной России на 2009 -2013 годы»;

• Государственный контракт № 14.В37.21.1141, мероприятие 1.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами научно-образовательных центров по научному направлению «Науки о Земле» в области «Океанология»»;

• Государственный контракт № 14.В37.21.0868 Мероприятие 1.5 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами под руководством приглашенных исследователей по научному направлению «Математика, механика, информатика» в области «Механика»»;

• Государственный контракт № 14.В37.21.0881 Мероприятие 1.5 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами под руководством приглашенных исследователей по научному направлению «Науки о Земле» в области «Океанология».

Публикации

По теме диссертации опубликовано более 20 печатных работ, из них 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 3 статьи в рецензируемых журналах и 12 тезисов докладов на международных и всероссийских конференциях.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК: Г1. Пслиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р. О формировании особенностей в линейном уравнении адвекции-диффузии с переопределенным граничным условием // Вестник МГОУ. Сер. «Физика - Математика». 2012. №3 С. 14 - 24. Г2. Талинова Т.Г., Пслиновский E.H., Куркина O.E., Рувинская Е.А., Гиниятуллин А.Р., Наумов A.A. Безотражателыюе распространение внутренних волн в канале перемен-

ного сечения и глубины // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т.6. № 3. С. 46-53.

ГЗ. Pelinovsky D., Pelinovsky Е., Kartashova Е., Talipova Т., Giniyatullin A. Universal power law for the energy spectrum of breaking Riemann waves // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. Вып. 4. P. 265-269.

Г4. Гиниятуллнн А.Р., Куркин A.A., Куркина O.E., Степанянц Ю.А. Обоба^нное уравнение Кортевега-де Вриза для внутренних волн в двухслойной жидкости // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2014. Т. 7. № 3.

Г5. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Куркина O.E., Гиниятуллнн А.Р. Отражение длинных внутренних волн малой амплитуды от подводного откоса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50. № 4. С. 484-488. Статьи в рецензируемых журналах:

Г6. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Куркина O.E., Диденкулова И.И., Родин A.A., Панкратов A.C., Наумов A.A., Гиниятуллнн А.Р., Николкина И.Ф. Распространение волны конечной амплитуды в стратифицированной жидкости переменной глубины // Современная наука. 2012. №2 (10). С. 144- 150.

Г7. Пелиновский Д.Е., Гиниятуллнн А.Р., Панфилова Ю.А. О решениях упрощенной модели динамической эволюции контактных линий // Труды НГТУ им. P.E. Алексеева. 2012. №4 (97). С. 45-60.

Г8. Пелиновский Д.Е., Гиниятуллнн А.Р., Панфилова Ю.А., Шургалина Е.Г., Родин A.A. Аналитические приближения уединенных волн в зернистых кристаллах // Труды НГТУ им. P.E. Алексеева. 2013. № 3 (100). С. 55 - 69 Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Г9. Тюгин Д.Ю., Куркин A.A., Куркина O.E., Гиниятуллнн А.Р. Численное моделирование распространения внутренних гравитационных волн в Мировом океане на основе линейных и нелинейных моделей // Материалы XVII международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2011». Нижний Новгород, 2011. С. 427.

Г10. Giniyatullin A., Tyugin D., Kurkina О., Kurkin A. GIS for studying internal gravity waves // Geophysical Research Abstracts, 2011. V. 13. EGU 2011 -4361.

Г11. Тюгин Д.Ю., Гиниятуллнн A.P., Куркина O.E., Куркин A.A. Оценка зависимости кинематических и нелинейных параметров длинных внутренних гравитационных волн в мировом океане от выбора источника гидрологических данных // Будущее технической науки: тезисы докладов IX Международной молодежной научно-технической конференции. - II. Новгород: Изд-во НГТУ, 2010. С. 462.

, Г12. Гиниятуллин А.Р., Тюгин Д.Ю., Куркин А.А., Куркина О.Е. Геоинформационная система для исследования длинных высокочастотных внутренних гравитационных волн в Мировом океане // Геоинформатика: технологии, научные проекты. Тезисы II Международной конференции, 20 - 25 сентября 2010 г., Барнаул. - Барнаул: Изд-во APT, 2010. С. 32-33.

Г13. Giniyatullin A., Tyugin D., Polukhina О., Kurkin A. Influence of hydrological data sources upon the geographical and seasonal distribution of kinematic and nonlinear parameters of long internal gravity waves // Geophysical Research Abstracts. 2010. V. 12. P. 6070.

Г14. Владыкина E.A., Гиниитуллин A.P., Куркин А.А. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн в двухслойном бассейне переменной глубины // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. - М.: Изд-во Физ. Ф-та МГУ, 2010. С. 13-14.

Г15. Тюгин Д.Ю., Гиниятуллин А.Р., Куркина О.Е., Куркин А.А. Влияние источников гидрологических данных на характеристики длинных внутренних гравитационных волн // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: тезисы докладов Пятой Сахалинской молодежной научной школы, Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 г./ отв. ред. О.Н. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН, 2010. С. 68 - 70.

Г16. Куркина О.Е., Куркин А.А., Гиниятуллин А.Р. О переносе частиц при распространении уединенных внутренних гравитационных волн // Труды Математического центра имени II.И. Лобачевского. 2011. Т. 44. С. 192 - 195.

Г17. Kurkina О.Е., Didenkulova 1.1., Giniyatullin A.R., Talipova T.G., Pelinovsky E.N. Weakly Nonlinear Internal Waves in Two-layer Flow of Variable Depth // Abstracts of the Swedish Marine Science Conference 2012, Kalmar, Sweden, p. 20.

Г18. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Giniyatullin A.R., Stepanyants Yu.A. Extended Weakly Nonlinear Theory for Internal Gravity-capillary Waves in Two-layer Fluid. // Abstracts of the Swedish Marine Science Conference 2012, Kalmar, Sweden, p. 51.

Г19. Крюков И.А., Куркин A.A., Куркина O.E., Гиниятуллин А.Р., Семин С.В. Сравнитель-ный анализ эффективности геофизических расчетов с использованием аппаратных вычислительных средств различных классов на примере трехмерного моделирования внутренних гравитационных волн в жидкой среде // 22-я Всероссийская научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2012». Материалы конференции. Нижний Новгород, 2012. С. 42-43.

Г20. Giniyatullin A.R., Kurkin А.А., Kurkina О.Е., Rouvinskaya E.A., Tyugin D.Y. Extreme

internal waves in the horizontally inhomogeneous ocean and its action on the bottom sediment transport // Abstracts of the IAHS-IAPSO-IAPSEI Joint Assembly. 2013. Abstract number PS 1PS.07.

Личный вклад автора

Во всех работах автору принадлежит выполнение большинства расчетов, а также непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. Идея проведения исследований внутренних волн с учетом капиллярных эффектов [Г4] принадлежит Ю.А. Степанянцу, A.A. Куркину и O.E. Куркиной, внутренних волн в неоднородном слое жидкости [Г2, Г5, Г6] - E.H. Пелиновскому и Т.Г. Талиповой, уравнений интрузии водного потока в воздух [Г1, Г7] - Д.Е. Пелиновскому. В расчетах, описанных в [Г7, Г8], принимали участие аспиранты Родин А.А и Шургалина Е.Г., а также студентка Панфилова Ю.А. В подготовке данных для работ [Г9 - Г13, Г15, Г20], принимал участие аспирант Тгогин Д.Ю. В разработке и реализации некоторых численных алгоритмов [Г 14, Г20] принимала участие аспирантка Рувинская (Владыкина) Е.А.

Выражаю огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Куркину A.A. за большую помощь и безграничное терпение, проявленное при обсуждении настоящей диссертации. Благодарю всех своих соавторов за плодотворную совместную работу.

Также благодарю коллектив кафедры «Прикладная математика» и научно-исследовательской лаборатории «Моделирования природных и техногенных катастроф в интересах устойчивого промышленного развития страны и региона» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева за создание благожелательной, творческой атмосферы, позволившей автору эффективно подготовить диссертацию.

Большое спасибо моей семье за поддержку и терпение.

Глава 1. Нелинейные волны, описываемые обобщенным уравнением Кортевега-де Вриза

Введение

Уравнение Кортевега-де Вриза является эталонным уравнением в теории нелинейных волн, которое описывает волны различной физической природы при условии малой высокочастотной дисперсии и слабой нелинейности. Выведенное еще в 1895 году для гравитационно-капиллярных волн на поверхности слоя жидкости, оно показало возможность существования бегущих уединенных волн, впоследствии названных солитонами. В 1967 году было доказана его полная интегрируемость с помощью метода обратной задачи теории рассеяния. Литература по уравнению Кортевега-де Вриза огромна, и здесь достаточно упомянуть несколько книг [Уизем, 1977; Абловиц, Сегур, 1987; Ныоелл, 1989; Островский, Потапов, 2003]. В механике жидкости уравнение Кортевега-де Вриза применяется для описания поверхностных волн (что уже упоминалось), внутренних волн [Пелиновский и др., 1977; Миропольский, 1981], волн Россби и топографических волн Россби [Одуло, Пелиновский, 1978]. Оно выводится из исходных уравнений Эйлера в первом порядке теории возмущений по малым параметрам нелинейности и дисперсии, которые предполагаются одинаковыми. Между тем во многих физических ситуациях баланс между параметрами нелинейности и дисперсии нарушается, и необходимо учитывать следующие порядки теории возмущений. Наиболее известно так называемое расширенное уравнение Кортевега-де Вриза или уравнение Гарднера, учитывающее в одном порядке квадратичный и кубический нелинейные члены [Kakutani, Yamasaki, 1978; Miles, 1979; Gear, Grim-shaw, 1983; Funakoshi, Oikawa, 1986]. Этим, однако, не исчерпывается семейство уравнений типа Кортевега-де Вриза, и в этой главе будут рассматриваться ряд других модификаций уравнения Кортевега-де Вриза, которые мы объединяем термином обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза.

Данная глава посвящена обсуждению результатов исследования нелинейных волн, описываемых обобщенным уравнением Кортевега-дс Вриза. В § 1.1 приведен вывод обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для волн в двухслойном потоке с учетом эффектов поверхностного натяжения и найдены его стационарные локализованные решения (солитоны) и исследованы их свойства. В § 1.2 рассматриваются уединенные волны в рамках уравнения Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью. Для этого уравнения удается доказать ряд математических утверждений о локальном существовании решений. Нелинейная деформация волны в недиспергирующей среде с произвольной не-

12

линейностью в рамках бездисперсионного предела обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза рассматривается в § 1.3; показано, что в момент обрушения в спектре нелинейных волн возникает универсальная асимптотика. Она же сохраняется как промежуточная асимптотика в решениях обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза. В заключении приведены полученные результаты.

Основные результаты этой главы опубликованы в статьях [ГЗ, Г4, Г8].

§ 1.1. Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для волн в двухслойном потоке с учетом эффектов поверхностного натяжения

Хорошо известно, что для описания длинных нелинейных внутренних волн в стратифицированных средах широко используется уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) [Пе-линовский и др., 1977; Миропольский, 1981; Абловиц, Сигур, 1987] и его разнообразные обобщения, содержащие слагаемые, ответственные за диссипацию, неоднородность среды, сдвиговые течения, вращение жидкости как целого и т.д. [Островский, 1978; ОБЦоУБку, 81ерапуап1з, 1990; СпгшЬа\у et а1., 1998; НоПолуау а!., 1999; Пелиновский и др., 2000; Опгт1га\у е! а1., 2002; Оэ^оУБку, 81ерапуаШ5, 2005; Аре1 е1 а1., 2007; КакЩаш, М^иисЫ, 1975].

В данном разделе представлен последовательный вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для внутренних волн в двухслойном потоке с учётом поверхностного натяжения между слоями (жидкости могут быть при этом не смешивающимися). Он не связан с предположением о потенциальности движений в жидкостях, поэтому в равной степени приложим как к потенциальным движениям, так и к непотенциальным. В последнем случае без особого труда в рассмотрение могут быть включены такие эффекты, как вязкость, неоднородность (включая вертикальный сдвиг скорости основного течения), завихренность и т.п. эффекты. Отметим, что последовательный вывод обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для поверхностных волн с учётом вязкости был выполнен в работе [КакШаш, МЫэиисЫ, 1975], а для внутренних волн во вращающемся плавно стратифицированном океане - в работе [Островский, 1978].

Выведенное уравнение анализируется с целью выявления отдельных частных случаев, представляющих интерес как с точки зрения изучения их математической структуры и особенностей их решений, так и с прикладной точки зрения в механике жидкости. Отметим, что в упомянутых частных случаях полученное уравнение может быть применимо для описания внутренних волн в океане, а также для описания внутренних волн в тонких слоях несмешивающихся жидкостей, например, на границе керосин-вода, нефть-вода или других комбинаций жидкостей.

ф 1.1.1. Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной жидкости

Рассмотрим распространение внутренней волны на границе раздела слоев в двухслойной жидкости (рис. 1.1), ограниченной ровным плоским дном и поверхностью, на которую наложено условие твердой крышки. Как известно [Бреховских, Гончаров, 1982], это

условие позволяет отфильтровать поверхностные волны и выделить интересующие нас внутренние волны в «чистом виде». Толщину нижнего слоя обозначим через /г\, а верхнего - через И2. Плотность и давление жидкости в нижнем слое примем равными р1 при соответственно, а в верхнем - р2 (< р! для устойчивости движений) и рг. Введем следующие обозначения: .г - горизонтальная координата, г - вертикальная координата, I - время; "Л (х, () - отклонение границы раздела слоев от горизонтального положения, и\- горизонтальные компоненты, а уу^ - вертикальные компоненты возмущения скорости, при этом индексы 1 и 2 относятся к нижнему и верхнему слоям, соответственно. Жидкость предполагается идеальной и не сжимаемой.

и

/>\

/ / , , 1 /

Рис. 1.1. Схематическое изображение волн в двухслойной жидкости

Выпишем уравнения Эйлера несжимаемой идеальной жидкости для каждого из сло-

ев:

ди, 5и>,

—ч--^ = 0 при — /г, < г <г\,

дх дг

ди2 ды^

—-ч--- = 0 при г\<г <п2,

дх дг

ди

, ди. ди, ) др, _ .

+ их-1 + -1 + = 0 При -Г\ <2<Г[,

дх ^

Рг

v

(ди

V

, ди, дщ - + и2 —- + —-

д1 дх

Г

дн>, ди?.

дг

дх

+ = О при г\<г<Н2, дх

д1 дх дг

Ф|

дг

+ ы, —1 + и^ + g I + = 0 при -}\<г<т\,

(1.1) (1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

с

Р2

д\у2 д\\>-, ди>2 Л др2 „ . ,. ,,

—- + —-~ + п2 —^ + ё\ + = 0 при Т1 <г<И2. (1.6)

5/ дх дг ) дг

Учтём кинематические и динамические граничные условия на границе раздела между слоями:

дп дп

--(- и. -= IV,,

81 1 дх 1

дц дп

--— = и',,

д1 дх 2

Рг-Рх

т п-3/2

г = т\(х,0 (1.7)

где (у — коэффициент поверхностного натяжения между слоями жидкости с различными физическими свойствами. Здесь динамическое условие (третье уравнение в (1.7)) записано в полно нелинейном виде. Однако дальнейшие выкладки показывают, что с принятой в данной работе точностью при выводе окончательного уравнения достаточно ограничиться линейным приближением при учёте эффекта поверхностного натяжения. Это следует уже из первого поправочного члена в разложении кривизны поверхности раздела

Л« 1 "КЛг)2] ~Лсг— 3(г|г)2/2]. Как видно отсюда, поправочный член является кубичным по амплитуде и четвёртого порядка малости по дисперсии (эти параметры будут введены ниже), что выходит за пределы точности нашего уравнения. Во избежание ненужных усложнений выкладок в дальнейшем ограничиваемся традиционным представлением кривизны поверхности как г|„.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гиниятуллин, Айрат Рафаэлевич, 2014 год

Библиографический список

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. 480 с.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 271 с.

3. Бреховских JJ.M. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. 343 с.

4. Бреховских Л.М., Гопчаров В.В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Наука, 1982. 335 с.

5. Булатов В.В., Владимиров Ю.В Динамика негармонических волновых пакетов в стратифицированных средах. - М.: Наука, 2010. 470 с.

6. Ботчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. 757 с.

7. Власенко В.И. Генерация внутренних волн в стратифицированном океане переменной глубины // Известия РАН ФАО. 1987. Т. 23. № 3. С. 225 - 230.

8. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах // Изв. ВУЗов Радиофизика. 1971. Т. 14. № 9. 1453 -1462.

9. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1997.217 с.

10. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Взаимодействие и связанные состояния солитонов как классических частиц // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. Вып. 2. С. 585 - 593.

11. Гурбатов СЛ., Малахов А.И., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. -М.: Наука, 1990. 214 с.

12. Гурбатов С.Н., Саичев А.И. Якушкин И.Г. Нелинейные волны и одномерная турбулентность в средах без дисперсии // УФН. 1983. Т. 141. С. 221 - 255.

13. Диденкулова И.И., Заибо К, Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Крутизна и спектр нелинейно деформируемой волны на мелководье // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2006. Т. 42. № 6. С. 839 - 842.

14. Диденкулова И.И., Пелиновский Е.Н. Накат длинных волн на берег: влияние формы подходящей волны // Океанология. 2008. Т. 48. № 1. С. 5 - 10.

15. Диденкулова И.И., Пелиновский Д.Е., Тюгин Д.Ю., Гиниятуллин А.Р., Пелиновский Е.Н. Бегущие длинные волны в водных прямоугольных каналах переменного сечения // Вестник МГОУ. Серия «Естественные науки». 2012. № 5. С. 89 - 93.

16. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1992. 272 с.

17. Краусс В. Внутренние волны. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 272 с.

18. Кузнецов Е.А. Турбулентные спектры порожденные сингулярностями // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 80. С. 928 - 934.

19. Куркина O.E., Куркин A.A., Рувинская Е.А., Пелиповский E.H., Соомере Т. Динамика солитонов неинтегрируемой версии модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95. Вып. 2. С. 98 - 103.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 2001. 736 с.

21. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 420 с

22. Мирополъский ЮЗ. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

23. Молотков И.А. Аналитические методы в теории нелинейных волн. - М.: Физматлит. 2003. 208 с.

24. Морозов Е.Г. Океанские внутренние волны. - М.: Наука, 1985. 151 с.

25. Ныоэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. 324 с.

26. Одуло А.Б., Пелиновский E.H. О нелинейных топографических волнах Россби // Океанология. 1978. Т. 18. № 1. С. 16 - 19.

27. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане // Океанология. 1978. Т. 18. Вып. 2. С. 181 - 191.

28. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. - М.: Физматлит, 2003. 400 с.

29. Пелиновский E.H. Спектральный анализ простых волн // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 3. С. 373 -383.

30. Пелиновский E.H. Гидродинамика волн цунами. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996. 275 с.

31. Пелиновский E.H., Полухина O.E., Лэмб К. Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению // Океанология. 2000. Т. 40. № 6. С. 805815.

32. Пелиновский E.H., Родин A.A. Нелинейная деформация волны большой амплитуды на мелководье // Доклады РАН. 2011. Т. 438. № 3. С. 337 - 340.

33. Пелиновский E.H., Родин A.A. Трансформация сильно нелинейной волны в мелководном бассейне // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2012. Т. 48. № 3. С. 343-349.

34. Пелиновский E.H., Степанянц Ю.А., Талипова Т.Г. Моделирование распространения нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородном океане // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т. 30. № 1. С. 79 - 85.

133

35. Пелиновский Е.Н., Шаврацкий С.Х., Раевский М.А. Уравнение Кортевега - де Вриза для нестационарных внутренних волн в неоднородном океане // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. Т. 13. № 3. С. 325 - 328.

36. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. - М.: Наука, 1975. 384 с.

37. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н. Трансформация внутренних волн над неровным дном: аналитические результаты // Океанология. 2011. Т. 51. № 4. С. 621 - 626.

38. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Гримиюу Р. Трансформация солитона через точку нулевой нелинейности // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 65. С. 120 - 125.

39. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н. Ламб К., Гимшоу Р., Холловэй П. Эффекты кубической нелинейности при распространении интенсивных внутренних волн // Доклады Академии Наук. 1999. Т. 364. № 6. С. 824 - 827.

40. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Петрухин Н.С. О проникновении длинной внутренней волны в толщу океана // Океанология. 2009. Т. 49. № 5. С.673 - 680.

41. Тюгин Д.Ю., Куркина О.Е., Куркин А.А. Программный комплекс для численного моделирования внутренних гравитационных волн в мировом океане // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2011. Т. 4. № 2. С. 32-44.

42. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М. Мир, 1977. 638 с.

43. Abadie S., Morichon D., Grilli S., Glockner S. Numerical simulation of waves generated by landslides using a multiple-fluid Navier-Stokes model // Coast. Eng. 2010. V. 57. P. 779 -794.

44. Ablowitz M.J. Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons, Cambridge Texts in Applied Mathematics. - Cambridge: Cambridge University Press, 2011. 348 p.

45.Acary V., Brogliato B. Concurrent multiple impacts modelling: Case study of a 3-ball chain // Proc. of the MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, (K.J. Bathe, Ed.), Elsevier Scicnce, 2003. P. 1836 - 1841.

46. Afshari E., Hajimiri A. Nonlinear transmission lines for pulse shaping in silicon // IEEE Journal of Solid-State Circuits. 2005. V. 40. P. 744-752.

47.Ahnert K., Pikovsky A. Compactons and chaos in strongly nonlinear lattices // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. P. 026209. '

48. Ambrose D.M., Simpson G., Wright J.D., Yang D.G. Ill-posedness of degenerate dispersive equations // Nonlinearity. 2012. V. 25. P. 2655 - 2680.

49. Apel J., Ostrovsky L.A., Stepanyants Y.A., Lynch J.F. Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 121. No. 2. P. 695 - 722.

50. Bambusi D., Ponno A. On metastability in FPU // Comm. Math. Phys. 2006. V. 264. P. 539 -561.

51. Benilov E.S., Vynnycky M. Contact lines with a 180° contact angle // J. Fluid Mech. 2013. V. 718. P. 481 -506.

52. Benney D.J., Timson W.J. The rolling motion of a viscous fluid on and off a rigid surface // Stud. Appl. Math. 1980. V. 63. P. 93 - 98.

53. Bialynicki-Birula I., Mycielski J. Nonlinear Wave Mechanics // Annals of Physics. 1976. V. 100. P. 62-93.

54. Boyer T.P., Antonov J.I., Garcia H.E. et al. World Ocean Database 2005 // Ed. S. Levitus. NOAA Atlas NESDIS 60. - U.S. Government Printing Office. Wash. D.C., 2006. 190 p.

55. Bulalov V. V., Vladimirov Yu. V. Internal gravity waves: theory and applications. - M.: Nauka, 2007. 304 p.

56. Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Wave dynamics of stratified mediums. - M.: Nauka, 2012. 584 p.

57. Campbell D.K., Rosenau P., Zaslavsky G.M. Introduction: The Fermi-Pasta-Ulam problem -The first fifty years // Chaos. 2005. V. 15. No. 1. P. 015101.

58. Chanson II. Tidal Bores, Aegir, Eagre, Mascaret, Pororoca: Theory and Observations. -Singapore: World Scientific, 2011. 220 p.

59. Chugunova M., Pugh M., Taranets R. Nonnegative solutions for a long-wave unstable thin film equation with convection // S1AM J. Math. Anal. 2010. V. 42. P. 1826 - 1853.

60. Chugunova M., Taranets R. Qualitative analysis of coating flows on a rotating horizontal cylinder// Int. J. Diff. Eqs. 2012. V. 2012. Article ID 570283-1-30.

61. Didenkulova I. Tsunami runup in narrow bays: the case of Samoa 2009 tsunami // Natural Hazards. 2013. V. 65. P. 1629-1636.

62. Didenkulova I., Pelinovsky E. Runup of tsunami waves in U - shaped bays // Pure and Applied Gcophysics. 201 la. V.168. No. 6-7. P. 1239 - 1249.

63. Didenkulova I., Pelinovsky E. Nonlinear wave evolution and runup in an inclined channel of a parabolic cross-section // Phys. Fluids. 201 lb. V. 23. Issue 8. P. 086602.

64. Didenkulova I., Soomere T. Formation of two-scction cross-shore profile under joint influence of random short waves and groups of long waves. // Marine Geology. 2011. V. 289. P. 29-33.

65. Didenkulova I., Pelinovsky E., Soomere T. Long surface wave dynamics along a convex bottom // J. Geophysical Research - Oceans. 2009. V. 114. C.C07006.

66. Djordjevic V.D., Redekopp L.G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography // J. Phys. Oceanogr. 1978. V. 8. No. 6. P. 1016 — 1024.

67. Dohnal D., decker II. Coupled-mode equations and gap solitons for the 2D Gross-Pitaevskii equation with a non-separable periodic potential // Physica D. 2009. V. 238. P. 860 - 879.

68 .Don Q., Cuevas J., Eilbeck J.C., Russell F.M. Breathers and kinks in a simulated breather experiment// Discrete Contin. Dyn. Syst. 2011. Ser. S4. P. 1107 - 1118.

69. Dubovsky O.A., Orlov A. V. Emission of supersonic soliton wave beams - generators of restructuring of nanocrystals under atom bombardment, and the self-organization of a dynamic superlattice of complexes of soliton atomic vibrations // Phys. of solid state. 2010. V. 52. P. 899-903.

70. Dubrovin B. On Hamiltonian perturbations of hyperbolic system of conservation laws. II. Universality of critical behavior//Comm. Math. Phys. 2006. V. 267. P. 117- 139.

71. Eckhaus W., Van Harten A. The Inverse Scattering Transformation and Solitons: An Introduction, Math. Studies 50. - Amsterdam: North-Holland, 1984.

72. Engelbrecht J.K., Fridman V.E., Pelinovsky E.N. Nonlinear Evolution Equations, Pitman Res. Not. Math. Ser. 180. - London: Longman, 1988. 122 p.

73. English J.M., Pego R.L. On the solitary wave pulse in a chain of beads // Proc. Amer. Math. Soc. 2005. V. 133. No. 6. P. 1763 - 1768.

74. Formaggia L., Miglio E., Mola A., Parolini N. Fluid-structure interaction problems in free surface flows: application to boat dynamics // Int. J. Numer. Methods Fluids. 2008. V. 56. P. 965-978.

75. Friesecke G., Pego R.L. Solitary waves on FPU lattices: I. Qualitative properties, renormalization and continuum limit // Nonlinearity. 1999. V. 12. P. 1601 - 1627.

76. Friesecke G., Pego R.L. Solitary waves on FPU lattices : II. Linear implies nonlinear stability // Nonlinearity. 2002. V. 15. P. 1343 - 1359.

77. Friesecke G., Pego R.L. Solitary waves on FPU lattices: III. Ilowland-type Floquet theory // Nonlinearity. 2004. V. 17. P. 207 - 227.

78. Friesecke G., Pego R.L. Solitary waves on FPU lattices: IV. Proof of stability at low energy // Nonlinearity. 2004. V. 17. P. 229 - 251.

79. Friesecke G., Wattis J.A. Existence theorem for solitary waves on lattices // Commun. Math. Phys. 1994. V. 161. P. 391 -418.

80. Funakoshi M, Oikawa M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid. // J. Phys. Soc. Japan. 1986. V.55. No. 1. P. 128 - 144.

81. Gallavotti G. The Fermi-Pasta-Ulam Problem. A Status Report. Lecture Notes in Physics. V. 728. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.

82. Gear J., Grimshaw R. A second order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 14-29.

83. Gorshkov K.A., Ostrovsky L.A., Papko V. V., Pikovsky A.S. On the existence of stationary multisolitons // Phys. Lett. A. 1979. V. 74. No. 3-4. P. 177 - 179.

84. Gorshkov K.A., Ostrovsky L.A., Stepanyants Yu.A. Dynamics of soliton chains: From simple to complex and chaotic motions // In: Long-Range Interactions, Stochasticity and Fractional Dynamics, eds. A. Luo and V. Afraimovich. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. P. 177 — 218.

85. Grimshaw R., Helfrich K.R. The effect of rotation on internal solitary waves // IMA J. Appl. Math.. 2012. V. 77. P. 326-339.

86. Grimshaw R.H.J., Helfrich K., Johnson E.R. The reduced Ostrovsky equation; integrability and breaking // Stud. Appl. Math. 2012. V. 129. P. 414-436.

87. Grimshaw R.H.J., Ostrovsky L.A., Shrira V.I., Stepanyants Yu.A. Long nonlinear surface and internal gravity waves in a rotating ocean // Surveys in Geophysics. 1998. V. 19. No. 4. P. 289-338.

88. Grimshaw R., Pelinovsky E., Poloukhina O. Higher-order Korteweg de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002. V. 9. P. 221 - 235.

89. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modeling internal solitary waves in the coastal ocean // Survey in Geophysics. 2007. V. 28. № 4. P. 273 - 298.

90. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Fission of a weakly nonlinear interfacial solitary wave at a step // Geophysics and Astrophysics Fluid Dynamics. 2008. V. 102. № 2. P. 179 — 194.

91. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Non-reflecting internal wave beam propagation in the deep ocean // J. Phys. Oceanography. 2010a. V. 40. № 4. P. 802 - 913.

92. Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E. Ilomogenization of the variable - speed wave equation // Wave Motion. 2010b. V. 47. No. 12, P. 496 - 507.

93. Helfrich K.R., Melville W.K. Long nonlinear internal waves // Annual Review Fluid Mech. 2006. V. 38. P. 395-425.

94. Hinch E.J., Saint-Jean S. The fragmentation of a line of ball by an impact // Proc. R. Soc. London. Ser. A. 1999. V. 455. P. 3201 -3220.

95. Hoffman A., Wayne C.E. Counter-propagating two-soliton solutions in the Fermi-Pasta-Ulam lattice// Nonlinearity. 2008. V. 21. P. 2911 -2947.

137

96. Hoffman A., Wayne C.E. Asymptotic two-soliton solutions in the Fermi-Pasta-Ulam model // J. Dyn. Diff. Equat. 2009. V. 21. P. 343 - 351.

97. Hoffman A., Wayne C.E. A simple proof of the stability of solitary waves in the Fermi-Pasta-Ulam model near the KdV limit // Fields Institute Communications. 2013. V. 64. P. 185 -192.

98. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T. A generalised Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone // J. Geophys. Res. 1999. V. 104. No. 18. P. 333 -350.

99. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. A Nonlinear Model of Internal Tide Transformation on the Australian North West Shelf // J. Physical Oceanography. 1997. V. 27. No. 6. P. 871-896.

100. Hutter K. (Editor) Nonlinear internal waves in lakes. - Berlin: Springer, 2012. 294 p.

101. lian B., Weinstein M. Band-edge solitons, nonlinear Schrodinger (Gross-Pitaevskii) equations and effective media // Multiscale Model. Simul. 2010. V. 8. P. 1055 - 1101.

102. Iooss G. Travelling waves in the Fermi-Pasta-Ulam lattice // Nonlinearity. 2000. V. 13. P. 849-866.

103. Jacobsen N.G., Fuhrman D.R., FredsoeJ. A wave generation toolbox for the open source CFD library: OpenFOAM® // Int. J. Numer. Methods Fluids. 2012. V. 70. P. 1073 - 1088.

104. Job S., Meló F., Sokolow A., Sen S. Solitary wave trains in granular chains: Experiments, theory and simulations // Granular Matter. 2007. V. 10. P. 13 - 20.

105. Johnson K.L. Contact mechanics. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. 452 p.

106. Kakutani T., Matsuuchi K. Effect of viscosity on long gravity waves // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V. 39. P. 237-246.

107. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45. P. 674-679.

108. Kalyakin L.A. Long wave asymptotics. Integrable equations as asymptotic limits of nonlinear systems // Russian Math. Surveys. 1989. V. 44. P. 3-42.

109. Kapitula T., Stefanov A. A Hamiltonian - Krein (instability) index theory for KdV-like eigenvalue problems // arXiv: 1210.6005. 2012.

110. Kartashova E., Pelinovsky E., Talipova T. Fourier spectrum and shape evolution of an internal Riemann wave of moderate amplitude // Nonlinear Processes in Geophysics. 2013. V. 20. P. 571 -580.

111. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. P. 260-264.

112. Kawahara T., Takaoka M. Chaotic motions in oscillatory soliton lattice // J. Phys. Soc. Japan. 1988. V. 57. No. 11. P. 3714-3732.

113. Khatri D., Ngo D., Daraio C. Highly nonlinear solitary waves in chains of cylindrical particles // Granular Matter. 2012. V. 14. P. 63 - 69.

114. Kim D.C., Kim K.O., Pelinovsky E., Didenkulova I., Choi B.H. Three-dimensional tsunami runup simulation at the Koborinai port, Sanriku coast, Japan // Journal of Coastal Research. SI. 2013. V. 65. P. 266 - 271.

115. Kit E., Pelinovsky E. Dynamical models for cross-shore transport and equilibrium bottom profiles // J. Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering. 1998. V. 124. No. 3. C. 138 -146.

116. Klein C., Roidot K. Numerical study of shock formation in the dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation and dispersive regularizations // arXiv: 1304.6513. 2013.

117. Knickerbocker C., Newell A. Internal solitary waves near a turning point // Physics Letters. 1980. V. 75A. P. 326 - 330.

118. Koop C., Butler G. An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system // J. Fluid Mech. 1981. V. 112. P. 225 - 251.

119. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Soomere T., Pelinovsky E.N., Rouvinskaya E.A. Higher-order (2+4) Korteweg-de Vries-like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid // Physics of Fluids. 2011. V. 23. Issue 11. Article Number. 116602.

120. Lee Ch.-Y., Beardsley R.C. The generation of long nonlinear internal waves in a weakly stratified shear flows // J. Geophys. Res. 1974. T. 79. No. 3. P. 453 - 457.

121. Liu C., Zhao Z., Brogliato B. Frictionless multiple impacts in multibody systems. I. Theoretical framework // Proc. R. Soc. A-Math. Phys. Eng. Sci. 2008. V. 464. P. 3193 -3211.

122. Liu C., Zhao Z., Brogliato B. Frictionless multiple impacts in multibody systems. II. Numerical algorithm and simulation results // Proc. R. Soc. A-Math. Phys. Eng. Sci. 2009. V. 465. P. 1 -23.

123. Lubin P., Vincent S., Abadie S., Caltagirone J.P. Three-dimensional large eddy simulation of air entrainment under plunging breaking waves // Coast. Eng. 2006. V. 53. P. 631 -655.

124. MacKay R.S. Solitary waves in a chain of beads under Hertz contact // Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 191 - 192.

125. Mielke A., Patz C. Dispersive stability of infinite-dimensional Hamiltonian systems on lattices // Applicable Analysis. 2010. V. 89. P. 1493 - 1512.

126. Miles J. W. On internal solitary waves //Tellus. 1979. V. 31. P. 456-462.

139

127. Miller P. Applied Asymptotic Analysis. Graduate Studies in Mathematics. - AMS Publication. Providence. 2006. 75 p.

128. Mizumachi T. Asymptotic stability of lattice solitons in the energy space // Commun. Math. Phys. 2009. V. 288. P. 125 - 144.

129. Mizumachi T. JV-Soliton States of the Fermi-Pasta-Ulam Lattices // SIAM Journal of Mathematical Analysis. 2011. V. 43. P. 2170 - 2210.

130. Mizumachi T. Asymptotic Stability of N -Solitary Waves of the FPU Lattices // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2013. V. 207. P. 393 - 457.

131. Murdoch J.A. Perturbations: Theory and Methods. - Philadelphia: SIAM, 1987.

132. Nesterenko V.F. Propagation of nonlinear compression pulses in granular media // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 1983. V. 24. P. 733 - 743.

133. Nesterenko V.F. Dynamics of heterogeneous materials. - Berlin: Springer Verlag, 2001. 522 p.

134. Ngan C.G., Dussan V.E.B. The moving contact line with a 180° advancing contact angle // Phys. Fluids. 1984. V. 24. P. 2785 - 2787.

135. Ngo D., Griffiths S., Khatri D., Daraio C. Highly nonlinear solitary waves in chains of hollow spherical particles//Granular Matter. 2013. V. 15. P. 149-155.

136. Nguyen N.-S., Brogliato B. Shock dynamics in granular chains: numerical simulations and comparison with experimental tests // Granular Matter. 2012. V. 14. P. 341 - 362.

137. Obregon M.A., Stepanyants Yu.A. 1998. Oblique magneto-acoustic solitons in rotating plasma // Phys. Lett. A. 1998. V. 249. No. 4. P. 315 - 323.

138. Ostrovsky L.A., Helfrich K.R. Strongly nonlinear, simple internal waves in continuously-stratified, shallow fluids //Nonlinear Processes in Geophysics. 2011. V. 18. P. 91 - 102.

139. Ostrovsky L.A., Stepanyants Yu.A. Nonlinear surface and internal waves in rotating fluids // In: Nonlinear Waves. 3. Physics and Astrophysics, Berlin Heidelberg: Springer, 1999. P. 106-128.

140. Ostrovsky L.A., Stepanyants Y.A. Internal solitons in laboratory experiments: Comparison with theoretical models // Chaos. 2005. V. 15. P. 037111-1-28.

141. Pankov A. Travelling waves and periodic oscillations in Fermi-Pasta-Ulam lattices. -London: Imperial College Press, 2005. 194 p.

142. Pelinovsky D.E. Spectral stability of nonlinear waves in KdV-type evolution equations // Proceedings of the workshop "Spectral analysis, stability, and bifurcation in modern nonlinear physical systems". 2013.

143. Pelinovsky D., Schneider G. Justification of the coupled-mode approximation for a nonlinear elliptic problem with a periodic potential // Appl. Anal. 2007. V. 86. P. 1017 -1036.

144. Pelinovsky D., Schneider G., MacKay R. Justification of the lattice equation for a nonlinear elliptic problem with a periodic potential // Comm. Math. Phys. 2008. V. 284. P. 803 - 831.

145. Pelinovsky D.E., Stepanyants Y.A. Convergence of Petviashvili's iteration method for numerical approximation of stationary solutions of nonlinear wave equations // SIAM J. Numerical Analysis. 2004. V. 42. No. 3. P. 1110 - 1127.

146. Pelinovsky D.E., Xu C. On numerical modelling of contact lines in fluid flows // Preprint of McMaster University, Hamilton, Canada, 2013. 14 p.

147. Pelinovsky E., Polukhina O., Slunyaev A., Talipova T. Internal solitary waves // Ch. 4. Solitary Waves in Fluids. - Southampton, Boston: WIT Press, 2007. P. 85 - 110.

148. Pomeau Y., Berre M.L., Guyenne P., Grilli S. Wave-breaking and generic singularities of nonlinear hyperbolic equations //Nonlinearity. 2008. V. 21. P. T61 -T79.

149. Pomeau Y., Jamin T., Le Bars M., Le Gal P., Audoly B. Law of spreading of the crest of a breaking wave // Proc. Royal Society London. 2008. V. 464. P. 1851 - 1866.

150. Rybkin A. Pelinovsky E.N., Didenkulova I. Nonlinear wave run-up in bays of arbitrary cross-section: generalization of the Carrier-Greenspan approach. // J. Fluid Mechanics. 2014. V. 748. P. 416-432.

151. Sakai T., Redekopp L.G. Models for strongly-nonlinear evolution of long internal waves in a two-layer stratification // Nonlinear Processes in Geophysics. 2007. V. 14. P. 31 - 47.

152. Schneider G., Wayne C.E. Counter-propagating waves on fluid surfaces and the continuum limit of the Fermi-Pasta-Ulam model // In B. Fiedler, K. Groger and J. Sprekels, editors, International Conference on Differential Equations Appl. 1998. V. 5(1). P. 69 - 82.

153. Sekimoto K. Newton's cradle versus nonbinary collisions // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 104. P. 124302.

154. Simpson J.E. Gravity Currents: In the Environment and the Laboratory. - Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

155. Slefanov A., Kevrekidis P.G. On the existence of solitary traveling waves for generalized Hertzian chains // J. Nonlinear Sci. 2012. V. 22. P. 327 - 349.

156. Sulem C., Sulem P.-L., Frisch H. Tracing complex singularities with spectral methods // J. Computational Physics. 1983. V. 50. P. 138- 161.

157. Sun D., Daraio C., Sen S. Nonlinear repulsive force between two solids with axial symmetry// Phys. Rev. E. 2011. V. 83. P. 066605.

141

158. Sun D., Sen S. Nonlinear grain-grain forces and the width of the solitary wave in granular chains : a numerical study // Granular Matter. 2013. V. 15. P. 157-161.

159. Talipova T., Terletska K, Maderich V., Brovchenko I., Kyung Tae Jung, Pelinovsky E., Grimshaw R. Internal solitary wave transformation over the bottom step: loss of energy // Phys. Fluids. 2013. V. 25. P. 032110.

160. Tsuji Y., Yanuma T., Murata /., Fujiwara C. Tsunami ascending in rivers as an undular bore // Natural Hazards. 1991. V. 4. P. 257-266

161. Varley E., Seymour B. A method for obtaining exact solutions to partial differential equations with variable coefficients // Studies Applied Mathematics. 1988. V. 78. P. 183 -225.

162. Vlasenko V., Stashchuk N., Hutter K. Baroclinic Tides. - N.Y.: Cambridge University Press, 2005. 372 p.

163. Weinan E., Khanin W.E.K., Mazel A., Sinai Y. Probability distribution functions for the random forced Burger equation // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. No. 10. P. 1904 - 1907.

164. Wroniszewski P, Verschaeve J., Pedersen G. Benchmarking of Navier—Stokes codes for free surface simulations by means of a solitary wave // Coastal Engineering. 2014. V. 91. P. 1 - 17.

165. Zahibo, N., Slunyaev, A., Talipova, T., Pelinovsky, E., Kurkin, A., and Polukhina, O. Strongly nonlinear steepening of long interfacial waves // Nonlinear Processes in Geophysics. 2007. V. 14. No. 3. P. 247-256.

166. Zahibo N„ Didenkulova I., Kurkin A., Pelinovsky E. Steepness and spectrum of nonlinear deformed shallow water wave // Ocean Engineering. 2008. V. 35. No. 1. P. 47 - 52.

167. Zhou X., Grimshaw R. The effect of variable currents on internal solitary waves // Dynamics Atmospheric and Oceans. 1989. V. 14. P. 17 - 39.