Дисперсионные ударные волны в нелинейной оптике, бозе-эйнштейновских конденсатах и других системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Иванов Сергей Константинович

• Иванов Сергей Константинович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов Сергей Константинович

Введение

Глава 1. Бездисперсионная эволюция

1.1 Динамика разлета двухкомпонентного бозе-эйнштейновского конденсата

1.1.1 Фазовая диаграмма для удерживаемого в ловушке конденсата

1.1.2 Автомодельное решение

1.2 Столкновение волн разрежения в бозе-эйнштейновском конденсате

1.3 Эволюция светового импульса на однородном фоне в

нелинейной среде с насыщением

1.3.1 Общее решение

1.3.2 Решение в виде простой волны

Глава 2. Распад начального разрыва

2.1 Несмешивающийся двухкомпонентный бозе-эйнштейновский конденсат

2.2 Смешивающийся двухкомпонентный бозе-эйнштейновский конденсат

2.2.1 Простые волны

2.2.2 Сильное взаимодействие

2.2.3 Слабое взаимодействие

2.3 Распространение света в световоде: эффект самоукручения

2.3.1 Линейные волны

2.3.2 Пределы малых дисперсии и нелинейности

2.3.3 Периодические решения и уравнения Уизема

2.3.4 Основные элементы

2.3.5 Классификация

2.3.6 Уравнение Чена-Ли-Лю

2.4 Распространение света в волноводе: эффект Рамана

2.4.1 Линейные волны

Стр.

2.4.2 Предел малой амплитуды и слабой дисперсии

2.4.3 Формирование дисперсионной ударной волны

Глава 3. Неинтегрируемые уравнения

3.1 Полностью нелинейная теория мелкой воды

3.1.1 Положительный импульс

3.1.2 Отрицательный импульс

3.2 Формирование дисперсионных ударных волн в среде с насыщением234

3.2.1 Положительный импульс

3.2.2 Отрицательный импульс

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дисперсионные ударные волны в нелинейной оптике, бозе-эйнштейновских конденсатах и других системах»

Введение

Изучение нелинейных волн является одной из увлекательных тем в современной науке и привлекает всё большее внимание во многих различных областях исследований. Одним из важнейших объектов классической нелинейной физики являются ударные волны [1-3]. Математическая теория таких волн, созданная в 19-20 веках, нашла многочисленные применения и стала важной главой прикладной математики. Проблема описания таких волн первоначально возникла в виде парадокса, который обнаружил Д. Г. Стокс [4]. Этот парадокс связан с возникновением многозначных решений уравнений газовой динамики, описывающих эволюцию изначально гладкого импульса. Классический подход к решению этой проблемы физически основан на учете диссипативных эффектов, приводящих к образованию ударных волн вместо нефизических многозначных решений, что с формальной математической точки зрения означает необходимость пользоваться уравнениями Навье-Стокса, учитывающими вязкость газа, вместо уравнений Эйлера идеальной газовой динамики. Можно сказать, что возникновение ударных волн является следствием взаимного действия двух эффектов — нелинейности, ведущей к укручению фронта волны, и вязкости, размывающей этот фронт и останавливающей «опрокидывание» волны.

Такое явление можно наблюдать при преодолении самолётом звукового барьера, когда образуется ударная волна, характеризуемая скачком плотности воздуха и его давления. Ещё более интенсивные ударные волны, обладающие огромной разрушительной силой, образуются при ядерных взрывах. Однако данная картина существенно опирается на одно достаточно уникальное свойство воздуха, а именно, то, что в воздухе в широком диапазоне длин волн скорость звука не зависит от его длины волны. На языке физики и прикладной математики это свойство выражают словами, что в воздухе отсутствует дисперсия, то есть зависимость скорости волнового распространения от длины волны. Развитие современной нелинейной физики показало ограниченность такого подхода, так как выяснилось, что в огромном количестве других сред, как, например, в плазме, в нелинейных оптических средах или в бозе-эйнштей-новских конденсатах имеет место сильная дисперсия и классическая теория ударных волн оказывается неприменимой. Первоначальные исследования по-

казали, что в этом случае резкий скачок обычной ударной волны при учёте достаточно сильной дисперсии преобразуется в протяжённую осциллирующую волновую структуру, получившую название дисперсионной ударной волны.

Впервые интерес к таким волновым структурам, как дисперсионные ударные волны, возник в теории так называемых «ундулярных бор», наблюдавшихся во время морских приливов, когда такая бора соединяла два уровня воды в реке или заливе — начальный уровень и повышенный, возникший в результате прилива морской воды в русло реки навстречу её течению или же в залив [5]. Физическая общность этого явления была осознана Р. З. Сагдеевым [6] на начальном этапе развития современной нелинейной физики в 50-60-е годы 20-го века при исследовании нелинейных волн в плазме и нелинейной оптике. В настоящее время дисперсионные ударные волны признаны универсальным физическим явлением, встречающимся в различных областях науки (см., например, [7; 8]). Они наблюдались в волнах на воде [9-11], внутренних волнах и волнах над неровным дном [12-14], атмосферных слоях [15; 16], лабораторной [17; 18] и космической плазме [19], бозе-эйнштейновских конденсатах [20;21], интенсивных электронных пучках [22], ферми газах [23] и нелинейной оптике [24; 25].

Теоретически дисперсионные ударные волны представляются в виде промодулированных нелинейных периодических волн, а затем процесс их формирования и эволюции описывается теорией модуляции Уизема. В своей основополагающей работе [26] Д. Б. Уизем ввел в теорию нелинейных волн несколько фундаментальных идей, которые легли в основу разработки обширной теории, называемой сейчас теорией Уизема. Во-первых, он обобщил идею медленной эволюции огибающих линейных гармонических волновых пакетов на описание эволюции нелинейных промодулированных волн, динамика которых определяется нелинейными волновыми уравнениями. В этой идее подразумевается, что в рассматриваемой задаче существуют два различных масштаба пространства и времени. С одной стороны переменная поля нелинейной волны (плотность, интенсивность или высота поверхности воды) колеблется в масштабах длины волны Ь и периода Т волны, тогда как такие параметры, как, например, сама длина волны Ь, амплитуда а, фазовая скорость V, медленно изменяются в пространственном масштабе х ^ Ь ив масштабе времени £ ^ Т. Это приводит ко второй идее усреднения законов сохранения эволюционного уравнения по быстрым локальным колебаниям аналогично методу усреднения

Крылова-Боголюбова, развитому в теории нелинейных колебаний. Однако, в отличие от динамических зависящих от времени систем, переменные поля теперь зависят от времени и одной (или более) пространственных координат, и в результате усреднения законов сохранения Уизем получил систему уравнений в частных производных первого порядка, которая теперь называется уравнениями Уизема. Наконец, в качестве третьей идеи Уизем предположил, что его уравнения модуляции можно привести по аналогии с динамикой сжимаемой жидкости к диагональной форме Римана, то есть форме, в которой в каждое уравнение системы входят производные лишь от одной переменной, а связь между самими уравнениями осуществляется через зависимость коэффициентов от этих переменных. Он реализовал эту идею для случая промодулированных нелинейных «кноидальных» волн, эволюция которых определяется уравнением Кортевега-де Фриза [27]. Такое название ввели Кортевег и де Фриз, которые назвали своё решение «кноидальной волной» по аналогии с косинусоидальной волной линейной теории, так как решение для такой волны выражается через основные эллиптические функции Якоби, которыми мы будем пользоваться в этой работе. В своей первой статье [26] Уизем предположил, что полученные им уравнения модуляции являются гиперболическими. Как было вскоре отмечено (см. [28]) на основе подхода Уизема, переформулированного в терминах метода Лагранжа [29], уравнения модуляции Уизема могут быть эллиптическими, что указывает на неустойчивость соответствующей периодической волны. Это наблюдение было сделано в связи с экспериментальным открытием неустойчивости глубоководных волн [30;31], которое было теоретически изучено Уиземом [32] с использованием его подхода.

Первый важный вклад в теорию дисперсионных ударных волн, основанный на модуляционных уравнениях Уизема, был сделан А. В. Гуревичем и Л. П. Питаевским [33], которые показали, что бесстолкновительные ударные волны, описывающиеся уравнением Кортевега-де Фриза, могут быть представлены в виде расширяющейся колеблющейся структуры, которая может быть аппроксимирована промодулированной кноидальной волной, эволюция которой подчиняется уравнениям Уизема. На одном из краев дисперсионная ударная волна приближается к последовательности солитонов, а на противоположном — к гармонической волне с малой амплитудой. Гуревич и Питаевский изучали автомодельные решения уравнений Уизема для типичных примеров эволюций начального распределения в виде разрыва.

Разработанная для уравнения Кортевега-де Фриза теория нашла применение во многих областях физики. Однако обобщение этой теории на другие нелинейные волновые уравнение стало достаточно трудной задачей. Оказалось, что Уизему удалось найти специальные функции, носящие название «римановых инвариантов» и являющиеся постоянными вдоль характеристик уравнений в частных производных, для случая уравнения Кортевега-де Фриза и преобразовать уравнения модуляции к диагональной форме Римана. Гуре-вич и Питаевский в своей работе использовали именно эту форму уравнений модуляции. Позже стало ясно [34], что диагонализация Уизема уравнений модуляции возможна благодаря особому свойству, обнаруженному в [35], полной интегрируемости уравнения Кортевега-де Фриза. Решение таких «полностью интегрируемых уравнений» можно найти с помощью метода обратной задачи рассеяния, открытого независимо от теории Уизема [35-37]. Выяснилось, что этот метод, обобщенный на квазипериодические ситуации [38; 39], дает квазипериодические решения уравнения Кортевега-де Фриза, которые параметризуются непосредственно римановыми инвариантами, имеющими в этом случае очень простой математический смысл: они являются краевыми точками промежутков в спектре линейного уравнения (Шрёдингера), связанного с уравнением Кортевега-де Фриза в методе обратной задачи рассеяния. В результате И. М. Кричевером в [40] был разработан общий метод вывода уравнений Уизема для широкого класса интегрируемых уравнений, что привело к серии приложений теории интегрируемых уравнений к задачам, связанным с дисперсионными ударными волнами, и более глубокому пониманию качественных свойств этого явления.

До настоящего времени акцент был сделан на полностью интегрируемых уравнениях, однако с физической точки зрения понятно, что образование дисперсионных ударных волн тесно связано с эффектами нелинейности и дисперсии, которые присущи и уравнениям, которые не являются полностью интегрируемыми. В частности, численное моделирование задачи о распаде начального разрыва для системы, описывающей динамику двухтемператур-ной бесстолкновительной плазмы, показало, что качественные характеристики дисперсионных ударных волн, описываемых уравнением Кортевега-де Фриза, справедливы и для ионно-акустических дисперсионных ударных волн конечной амплитуды, в то время как количественно существуют значительные различия. Фактически в отличие от метода обратной задачи, который применим

только к интегрируемым системам, теория Уизема в [26] сформулирована в достаточно общем виде, хотя и была неявно связана с полной интегрируемостью уравнения Кортевега-де Фриза, но только при применении этой теории к кноидальным волнам этого уравнения. Поэтому для нахождения характерных параметров дисперсионной ударной волны в общей ситуации следует прибегнуть к анализу уравнений Уизема в недиагональной форме, когда они не имеют римановых инвариантов и не могут быть интегрированы с помощью метода обобщенного годографа Царева [41], являющегося способом решения уравнений гидродинамического типа с числом зависимых переменных больше двух. Такой анализ был проведен Г. А. Элем в работе [42; 43] в важном частном случае, когда начальное условие имеет вид «ступеньки». Этот метод позволил найти основные параметры дисперсионной ударной волны, возникающей в процессе эволюции начального разрыва во многих неинтегрируемых ситуациях (см., например, [44-48]).

Недавно было показано в [49], что метод Эля может быть существенно обобщен на произвольные начальные условия в виде простой волны, то есть волны, для которой один из инвариантов Римана постоянен. Когда такая простая волна опрокидывается, то, согласно Элю, мы знаем предельные выражения для характеристических скоростей системы Уизема на краях дисперсионной ударной волны: из простых физических соображений можно заключить, что они равны либо групповой скорости волны на малоамплитудном краю, либо скорости солитона на солитонном краю. Этой информации вместе с известным гладким решением бездисперсионного предела достаточно для нахождения законов движения соответствующих краев ударной волны для произвольного начального профиля типа простой волны. На сегодняшний день этот подход требует обобщения и применения к различным физическим системам.

Другим примером, когда задачу нельзя разрешить стандартными методами, является случай, когда уравнение эволюции мало отличается от полностью интегрируемого. Такая разница может возникнуть из-за учёта малых эффектов диссипации или слабой неоднородности среды. Как уже указывалось Уизе-мом [26], эти эффекты приводят к модуляции нелинейных периодических волн и могут рассматриваться в рамках усредненных уравнений модуляции. В таком случае уравнения модуляции Уизема могут быть изменены за счёт этих дополнительных малых эффектов. Один из наиболее частых случаев возникает при учёте малой вязкости, когда такое возмущение за достаточно большое

время становятся сопоставимыми с небольшой модуляцией волны, что может привести к стабилизации дисперсионной ударной волны, приобретающей таким образом стационарный профиль в согласии с представлениями Сагдеева.

Актуальность. В настоящее время эта область науки активно развивается, о чем свидетельствует большое количество публикаций, посвященных методу Уизема в области нелинейной оптики, динамики бозе-эйнштейновских конденсатов, теории волн на воде и так далее (см., например, обзоры [8; 50]). Особое внимание также уделяется экспериментальному наблюдению дисперсионных ударных волн в различных средах (см., например, [51-53]). Поэтому развитие математических методов, позволяющих существенно расширить область применимости теории Уизема, представляется чрезвычайно важным. На практике весьма часто приходится иметь дело с не полностью интегрируемыми уравнениями. Поэтому существует насущная потребность развития более общего подхода к решению таких уравнений. Реализация этих подходов в конкретных ситуациях позволит решить большое число актуальных задач современной нелинейной физики.

Целью данной работы является развитие теории дисперсионных ударных волн, описываемых интегрируемыми и неинтегрируемыми уравнениями, в различных физических системах: разработка теории модуляций Уизема для систем, описываемых возмущёнными интегрируемыми уравнениями, применение общей теории эволюции дисперсионных ударных волн при их образовании после опрокидывания простых волн, распространяющихся в покоящуюся среду, для систем, эволюция которых описывается неинтегрируемыми уравнениями, а также разработка и применение общего метода, позволяющего находить волновые структуры в системах, подчиняющихся «невыпуклой» дисперсионной гидродинамике. Под «невыпуклостью» здесь понимается, что в бездисперсионном пределе в уравнениях динамики, записанных в виде законов сохранения, потоки не являются выпуклыми функциями переменных. Полученные результаты будут приложены к конкретным задачам теории дисперсионных ударных волн. Для реализации данной цели поставлены следующие задачи: 1. Развить теорию разлёта бозе-эйнштейновского конденсата после его высвобождения из гармонической и прямоугольной ловушки. Найти условия, при которых разлёт может сопровождаться генерацией дисперсионных ударных волн, теория которых описывается методом Уизема. Рассмотреть случай, когда такая дисперсионная ударная волна образу-

ется вследствие воздействия одной компоненты сжатого конденсата на другую.

2. Разработать общий метод, позволяющий находить структуру дисперсионных ударных волн в системах, подчиняющихся невыпуклой дисперсионной гидродинамике. Отличительной чертой таких систем является то, что каждому решению уравнений Уизема отвечает несколько волновых структур. Такая неоднозначность связи между инвариантами Римана для уравнений Уизема и параметрами волны реализуется автоматически в варианте метода конечнозонного интегрирования. Применить метод к различным физическим ситуациям, представляющим практический интерес.

3. Исследовать эволюцию интенсивных световых импульсов в нелинейных одномодовых волокнах. Динамика света в таких волокнах описывается нелинейным уравнением Шредингера с рамановским членом, возникающим из-за вынужденного рамановского саморассеяния. Показать, что при учете рамановского эффекта дисперсионные ударные волны могут асимптотически приобретать стационарный профиль.

4. Рассмотреть эволюцию волновых импульсов с образованием дисперсионных ударных волн в рамках полностью нелинейных уравнений мелкой воды. Применить к этой задаче общую теорию, не опирающуюся на полную интегрируемость уравнений, для нахождения движения краев дисперсных ударных волн. Найти основные характеристики дисперсионной ударной волны. Кроме того, использовать данную теорию для исследования формирования дисперсионных ударных волн в интенсивном световом импульсе, распространяющемся через насыщающуюся нелинейную среду. Определить значение измеряемых в эксперименте величин, таких как время опрокидывания волны или положение краев ударной волны.

Научная новизна. В работе представлены ранее не исследованные общие методы описания дисперсионных ударных волн, описываемых не полностью интегрируемыми и не истинно нелинейными уравнениями, то есть уравнениями, нелинейные члены в которых обращаются в нуль при некотором конечном значении амплитуды волны. Постановка задач является новой, так как вплоть до настоящего времени не было видно подходов к их решению. Бла-

годаря развитию теории Уизема появились новые возможности, на реализацию которых нацелена работа.

Теоретическая и практическая значимость. Одной из основных задач, относящихся к исследованию конденсата Бозе-Эйнштейна, является изучение динамики его разлёта после выключения ловушки, удерживающего этот конденсат, поскольку во многих экспериментах результаты фиксируются после разлёта конденсата до состояния, когда размеры облака достаточно велики для проведения измерений. Поэтому развитая в первой главе данной работы теория разлёта двухкомпонентного конденсата является практически значимой.

Во второй главе данной работы решена задача об эволюции начального разрыва, когда в начальный момент времени имеется разрыв у одной или нескольких переменных в одной из точек пространства. Такая задача интересна не только сама по себе: исторически она послужила тем элементом, на основе которого были созданы высокоэффективные методы численного расчета произвольных одномерных движений газа, и развиты качественные математические методы доказательства теорем существования и единственности более широких классов обобщенных решений. Большое число реальных физических задач может быть сведено к обсуждению эволюции начального разрыва. Стоит также отметить, что найденные во второй главе результаты можно наблюдать экспериментально в системах, подобных тем, которые использовались, например, в эксперименте [54].

На практике весьма часто приходится иметь дело с не полностью интегрируемыми уравнениями. Поэтому в третьей главе развит общий метод описания эволюции интенсивных импульсов различной физической природы с образованием дисперсионных ударных волн, описываемых неинтегрируемы-ми уравнениями. Теория дает достаточно простые аналитические формулы для асимптотической стадии эволюции изначально локализованных импульсов. Этот подход позволяет решить большое число актуальных современных задач. В частности, дает возможность предсказать характерные параметры дисперсионных ударных волн в таких экспериментах, как, например, [25]. Таким образом, полученные теоретические результаты полезны как для эксперимента, так и для нелинейной физики в целом.

Методология и методы исследования. Суть явления бозе-эйнштей-новской конденсации заключается в том, что бозоны при температуре ниже некоторой критической конденсируются в наинизшем квантовом состоянии. Ес-

ли газ таких частиц достаточно разрежен, то взаимодействие частиц можно считать слабым и описывать конденсат единой волновой функцией с учетом того, что теперь атомы движутся в неком среднем силовом поле, создаваемым их взаимодействием друг с другом. В этом приближении среднего поля динамика конденсата подчиняется уравнению Гросса-Питаевского, в которое могут быть включены члены, учитывающие взаимодействие с внешним потенциалом ловушки. Расширение конденсата Бозе-Эйнштейна после выключения ловушки, удерживающей этот конденсат — одна из основных проблем динамики конденсата. Существуют достаточно простые подходы описания такого движения в гидродинамическом приближении для случая гармонических ловушек, когда начальное состояние бозе-эйнштейновского конденсата достаточно точно описывается параболическим распределением Томаса-Ферми, а динамика конденсата после выключения ловушки будет автомодельной. Однако задача существенно усложняется, когда конденсат состоит из нескольких компонент, например, из нескольких видов атомов. Тогда в такой ловушке компоненты могут формировать различные виды профилей плотности в зависимости от силы взаимодействия частиц внутри одной компоненты и частиц разных компонент. Такое различие состояний может привести к кардинально разной динамике системы после выключения ловушки, тем не менее приближение Томаса-Ферми остается справедливым, хотя оно и становится более сложным. Более того, если ловушка негармоническая, то расширение уже не является автомодельным, и некоторые характерные особенности начального распределения могут сохраняться в течение достаточно длительного периода эволюции, чтобы стать заметными экспериментально. В таком случае распределение плотности может приобрести довольно сложный вид, отличный от параболических автомодельных распределений. Чтобы решить эту проблему аналитически, мы используем мощный метод Римана, разработанный в динамике сжимаемой жидкости с довольно общим уравнением состояния. Этот метод основан на том, что можно искать решение волнового уравнения, сразу учитывая начальные условия задачи, вместо того, чтобы сначала найти общее решение, выраженное через произвольные функции, а затем конкретизировать эти функции с помощью начальных условий. Такой подход также справедлив для динамики профиля интенсивности света, проходящего через нелинейную среду с насыщением, в том числе, когда эволюция гладкого распределения происходит на однородном фоне интенсивности. В таком случае эволюция амплитуды огибающей света

подчиняется обобщённому нелинейному уравнению Шрёдингера, где у нелинейности появляется насыщение при больших интенсивностях света. В пределе малых интенсивностей это уравнение сводится к форме, совпадающей с уравнением Гросса-Питаевского для «двумерного» конденсата и с играющей роль времени осью, вдоль которой распространяется пучок. В оптической тематике оно обычно называется нелинейным уравнением Шрёдингера, поскольку первые два линейных члена аналогичны уравнению Шрёдингера для свободной частицы.

Бездисперсионная эволюция импульсов зачастую приводит к укручению фронта волны, опрокидыванию профиля волны и последующему образованию дисперсионной ударной волны. Подход Гуревича и Питаевского даже в случае одного из самых простых видов начального состояния в виде скачка требует серьезных обобщений. Например, в случае уравнений, подчиняющихся невыпуклой дисперсионной гидродинамике, используется общий метод, позволяющий находить структуру дисперсионных ударных волн. Отличительной чертой таких систем является то, что каждому решению уравнений Уизема отвечает несколько волновых структур. Такая неоднозначность связи между инвариантами Римана для уравнений Уизема и параметрами волны реализуется автоматически в варианте метода конечнозонного интегрирования. Эта схема дополняется анализом структуры области гиперболичности уравнений бездисперсионного предела с её разбиением на участки истинной нелинейности.

Хотя довольно большое число уравнений нелинейной физики относится к типу интегрируемых уравнений, тем не менее ещё большее их число не является полностью интегрируемыми, что требует развития более общей теории. Предлагаемый подход в таком случае основан на анализе свойств вырождения системы модуляционных уравнений Уизема на краях дисперсионной ударной волны, когда её характеристические скорости превращаются в этом пределе в известные выражения для групповых скоростей и скоростей солитонов, выраженных как функции амплитуды граничащего с дисперсионной волной гладкого бездисперсионного решения. Поскольку бездисперсионное решение для простых волн без труда выражается через начальный профиль, то в результате можно найти закон движения соответствующего края границы. Кроме того, метод даёт либо характерное волновое число, либо амплитуду солитона на этой границе, что предоставляет важную информацию об основных свойствах дисперсионной ударной волны. Таким образом, в этом методе обходятся слож-

ности решения полной системы уравнений Уизема и используется либо лишь универсально применимое в рамках теории Уизема уравнение «сохранения числа волн», либо его солитонный аналог, который хотя и имеет ограниченную область применимости, тем не менее справедлив для широкого класса простых волн, распространяющихся в область покоящейся среды. В результате чрезвычайно сложная для аналитической теории задача решения системы уравнений Уизема сводится к анализу существенно более простого бездисперсионного предела и исследованию законов дисперсии линейных волн.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Представлен общий метод описания эволюции нелинейного импульса, применимый для любого типа нелинейности, в случае достаточно гладкого профиля волны, когда дисперсионным эффектами можно пренебречь. Данный подход важен для описания стадий бездисперсионной эволюции импульса, предшествующих опрокидыванию волны, и последующему образованию дисперсионной ударной волны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов Сергей Константинович, 2021 год

- - I - -

дг+дг — г+ — r— \ дг+ дг —

idW dW\

\ дг+ дг — /

= 0. (1.91)

Характеристиками этого уравнения в частных производных второго порядка являются прямые r+ = Е = const, г — = n = const, параллельные осям координат в плоскости годографа. Метод Римана основан на идее, что решение уравнения Эйлера-Пуассона можно найти в форме, аналогичной решению волнового уравнения Д'Аламбера, с явным учетом начальных условий, заданных на некоторой кривой АВ в плоскости годографа (см. рис. 8(а)). Эти данные по характеристикам переносятся в область зависимости D, так что функцию W можно найти в любой точке Р(Е, n) ^ D.

Риман показал (см., например, [100; 101]), что W(Р) можно представить в виде

1 , 1,

Vв

W(Р)_-(RW)а + -(RW)в + / (Vdr+ + Udr_), (1.92)

2 7 2

А

где

и = - „л,

2 \ дг - дг -) г+-г- (193)

V = 1 („дЛ-нШ--вай-Шн, '

2 \ дг+ дг+) г+ - гШ в правой части представляет значения Ш вдоль граничной дуги АВ в плоскости годографа (см. рис. 8(а)) и Е есть функция Римана, которая удовлетворяет уравнению

д2Н вав (дЕ дЯ \ 2вавЕ Л ^ .

+ ^ - - ' ^2 = 0 (1.94)

дг+дг- r+ — r_ \дг+ дг^ (г + - г-)2

и его решение можно выразить через гипергеометрическую функцию ^(а, Ь;с;г) (см. [100])

'r+-r\Kd (в 1 в ;1) (r+- Q(r--П)

- * (Pad,1 - Pad ,1,Z), Z_~-—--,

^ - n ) (r+-r_)(£ - n)

где £ и n — координаты точки Р в плоскости годографа (г + , г_). Теперь мы можем обратиться к нашей задаче столкновения двух волн разрежения в бозе-эйнштейновском конденсате.

В бозе конденсате мы имеем yad _ 2 и, следовательно, |3ad _ 1/2, поэтому уравнения (1.85) для римановых инвариантов г± _ и/2принимают форму

я* 2 дХ (1.96)

д 1 д

-Ж + 2 + 1дх _0'

До момента столкновения, то есть для t < I/с0, с0 _ д/ро, волны разрежения задаются простыми волновыми решениями системы (1.96),

1 д W

г+ _ со, х--(с0 + 3r-)t _ —— _ I, I - c0i ^ х ^ I + 2c0i;

2 дг-

1 д W

Г- _ - со, х--(3r+ - c0)t _ —— _ -I, - I - 2 c0i ^ х ^ -I + c0i,

2

(1.97)

и конденсат остается в покое с плотностью р0 в области —I + c0t ^ х ^ I — Cot. После момента I/с0 область общего решения системы (1.96) появляется в интервале Xi(t) ^ х ^ xr(t), где оба инварианта Римана переменны во времени и пространстве, и это общее решение совпадает с простыми волнами (1.97) в точках Xb(t) и хд(£). Это означает, что в плоскости годографа функция W должна удовлетворять граничным условиям

W

д— = !> при r+ = со,

Ш , (1.98)

—- = — I при Г- = — СО,

дг+

то есть

W = — 1(г+ — г—) (1.99)

на сторонах АС и СВ прямоугольника АСВР, показанного на рис. 8(b). Если мы решим уравнение Эйлера-Пуассона (1.91) (вad = 1/2) с этим граничным условием, то мы можем найти W в точке Р(Е, n) и тогда значения г+ = Е, т— = n инвариантов Римана в этой точке связаны с х и t формулами (1.88), то есть

1 дW 1 дW

X — 2(3Е + n)t = ^, х — 2 (Е + 3n)i = • (1.100)

Чтобы найти решение уравнения (1.91), мы используем формулу Римана (1.92), где для вая =1/2 функцию Римана (1.95) можно преобразовать в более удобное выражение

R = 2 • Г+ — Г—=К(ш),

П V(:+(—п)(е)—г—) (1.101)

ш =(Г + — E)(n — , 0 ^ш < 1, — n)(E — г—)

где К(т) — эллиптический интеграл первого рода (см. [104]). Подстановка уравнения (1.99) в уравнение (1.92) с последующим интегрированием по частям с учетом (1.93) дает

3/ Г Г° Г1 "I

W(P) = (RW)c + Мг+ + у , (1.102)

где первый интеграл взят вдоль стороны АС прямоугольника на рис. 8(Ь), второй — вдоль стороны СВ, а в точке С имеем г+ = со, г_ = _со, т = то,

(со _ Е)(со + П) (л 1Поч

то = 7-г^Т?-7 • (1.103)

(со + Е)(со _ п)

Изменение интегрирования по г+ и г- на интегрирование по соответствующей переменной т дает окончательное выражение

ч 81с2 К (то) 3/ Гг- Г0 , ч

№ (£,п) =----= + - У^-Л Р (£,п,т)^т, (1.104)

п уЧ Со + £)(Со - п) п ^0

где

Р(£пт)- I (Го + ^о + п)3/2 , (го - ^)3/2(^о - п)3/2 !(1 т)К(т)

Р(^'Л'т) — 1[го + п - (го + £)т]5/2 + [го - £ - (го - л)т]5/^(1 - т)К(т)

(1.105)

Эти формулы вместе с уравнениями (1.100) неявно определяют инварианты Римана как функции от ж и £ и, следовательно, от значений плотности и скорости потока,

р —1(£ - п)2, и —£ + п. (1.106)

Сравним на рис. 9 аналитические результаты (пунктирные линии) с численным решением уравнения Гросса-Питаевского (сплошная линия), соответствующим начальному условию (1.82) с ро — 1, I — 10, и временем эволюции £ — 300. Как видно, согласие очень хорошее почти везде, кроме краев волны вблизи границ с вакуумом, где появляются области малых колебаний. Такие колебания генерируются за счет дисперсионных эффектов и возникают из-за резкой зависимости начального распределения (1.82) плотности от х на краях х — ±1. Таким образом, гидродинамическое приближение дает достаточно точное описание волны, возникающей при столкновении двух волн разрежения в конденсате.

Хотя приведенные выше формулы обеспечивают полное решение задачи, её анализ может быть значительно упрощен следующим замечанием. Условие совместимости д2х/д£дп — д2х/дцд£ уравнений (см. уравнения (1.87)) дх 1 _ Хд1 дх 1,

- - _(£ + 3п)д1 — 0 дп - 2(3£ + п)дп — 0' (1Л07)

дает уравнение Эйлера-Пуассона для функции — ( , п) ,

^ 3 (^ - ^ 1 — 0. (1.108)

д£дп 2(£ - п) \д£ дп)

Его решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям, может быть найдено тем же методом, что и уравнение (1.94) (см. [100]), и дается формулой

, —_^_р

(со + £)3/2(со - п)3/2

3 3; 1 (со - £)(со + п)

2'2; ;(со + £)(со -п)]

(1.109)

(a)

t = 0

(b)

P

t = 3

-10 -5 0 5 10 X

-15 -10 -5 0 5 10 15 X

(c)

P

t = 300

-500 -250 0 250 500

X

Рисунок 9 — Распределение плотности р в момент Ь = 0, Ь = 3 иЬ = 300. Начальное распределение задается уравнением (1.82) с ро = 1, I = 10. Сплошная (синяя) линия показывает численное решение уравнений Гросса-Питаевского, а пунктирная (красная) линия соответствует гидродинамическому приближению. Символы хе и хь на вертикальных пунктирных линиях указывают на границы между общим решением и

простыми волнами.

где ^ снова является гипергеометрической функцией. Эта формула дает зависимость времени £ от Е и п во всей области общего решения.

На правой границе между общим решением и волной разрежения имеем Е = с0, поэтому уравнение (1.109) упрощается:

2у/21

1/2

t= Г ", (1.110)

(Со - п)3/2

и исключение из этого уравнения п, а также учёт первого уравнения (1.97) (с Г- = п) для волны разрежения, дают закон движения этой границы,

xR(¿) = / + 2cot - 31 / . (1.111)

XR

300-

200100 -

50

100

150

200

t

Рисунок 10 — Траектория границы хи(£) между общим решением и правой простой волной. Сплошная синяя линия показывает численное решение, а пунктирная красная линия показывает график аналитической формулы

(1.111).

Рис. 10 демонстрирует хорошее согласие этой аналитической формулы с численными результатами.

В центре распределения имеем п = —Е, так что уравнение (1.109) дает в неявном виде зависимость Е от

t =

81 с0

(со + Е)3

F

3 3 f со - Е \

2'2'1 ' Uo + Ej

(1.112)

Поскольку здесь скорость потока и обращается в нуль и, следовательно, р = Е2, эта формула дает зависимость плотности р от времени в центре волны при х = 0. Для асимптотически большого времени £ ^ I/с0 получаем с логарифмической точностью

2 ^ 1п ^ 1

Р - Ро

2

1

+

П Со(t - to) П2 \Co(t - to)

о( - о)

to = -—- (7 - AjEui - 5 ln2 - 4ф(3/2) + lnп + ^(3/2)) - 0,353988( l/со), 2n co

(1.113)

где jEui — 0,577216 — постоянная Эйлера и "ф(^) = Г'(х)/Г(х). Даже первый член здесь дает очень хорошее приближение к точному выражению (1.112) во всей области t > 1.

0

2

р(0,£)

0.1

0.4

0.3

0.2

0 5 10 15 20 25 £

Рисунок 11 — Зависимость плотности р конденсата в центре волны при х = 0 от времени Ь. Начальные параметры равны ро = 1, 1 = 1. Точное численное решение показано сплошной синей линией, а аналитическое приближение красной пунктирной линией.

Аналитическая зависимость р(0, £), полученная в бездисперсионном приближении, сравнивается с численным решением уравнения Гросса-Питаевского на рис. 11. Мы выбрали здесь начальную ширину распределения, равную I = 1, чтобы показать, что существует некоторая разница между аналитической теорией и точным решением на начальной стадии эволюции, если начальный размер потенциала составляет около одной корреляционной длины. При больших временах £ > 5 эта разница исчезает, и если I ~ 10, она пренебрежимо мала для всех значений времени £ > I/с0.

Таким образом, рассматриваемая задача демонстрирует, что процесс свободного расширения бозе-эйнштейновского конденсата, выпущенного из ловушки, может быть более сложным, чем такое расширение в случае гармонических потенциальных ловушек. Для масштабов, превышающих корреляционную длину, гидродинамическое бездисперсионное приближение уравнения Гросса-Питаевского является очень удобным инструментом для аналитических исследований по следующим причинам. Во-первых, в нашем распоряжении имеется очень хорошо разработанный аппарат динамики сжимаемого газа, который может быть успешно применен для решения конкретных задач, как это и было продемонстрировано для задачи столкновения двух волн разрежения. Во-вто-

рых, аналитическое решение предоставляет основные характерные параметры волны, такие как, например, размер облака конденсата или его плотность в центре в любой момент времени, что может быть полезно для количественных оценок и сравнения с экспериментом. Наконец, бездисперсионное решение может быть частью более сложных волновых структур, как это происходит, например, в экспериментах с образованием дисперсионных ударных волн в конденсате [105] или в аналогичных экспериментах в нелинейной оптике [25]. По материалам данного раздела опубликована статья [99], соавтором которой является автор диссертации.

1.3 Эволюция светового импульса на однородном фоне в нелинейной среде с насыщением

Гидро- и газодинамические понятия играют важную роль также в такой области физики, как нелинейная оптика. Примером может послужить распространение интенсивного света в среде, где показатель преломления п = у/ё зависит от интенсивности света. Такие среды как раз и называют нелинейными. Мы же остановимся на одной из самых простых зависимостей диэлектрической проницаемости £ от интенсивности света р:

£ = £о + 6ё(р), (1.114)

где £0 — значение диэлектрической проницаемости для света малой интенсивности (р ^ 0), ё(р) — нелинейная поправка. Например, в случае керровской нелинейности эта поправка в первом приближении просто пропорциональна р,

6ё(р) = £1 • р, (1.115)

а в случае нелинейной среды с насыщением при больших р,

6ё(р) = —. (1.116) 1+ур у у

Для простоты выберем такую систему единиц, что интенсивность р равна просто квадрату комплексной амплитуды поля Е:

р = |Е |2. (1.117)

Электрическое поле Е световой волны колеблется с оптической частотой ш ~ 1015 сек-1, так что мы можем считать любые измерения интенсивности со временем бесконечно медленными по сравнению с периодом ~ ш—1 и предполагать, что Е удовлетворяет стационарному волновому уравнению

2

(1.118)

-Е + Л±Е + ^ еЕ = 0,

-Z2 с2

где мы выделили ось г, вдоль которой распространяется пучок, и ввели обозначение

д2 д2

(1.119)

дх2 ду2'

для «поперечного» лапласиана. Если бы волна была плоской и слабой, то напряжённость поля равнялась бы

Е = Ео

ikz

(1.120)

где

2

к2 = — ео,

2

(1.121)

и Е0 = const. Но для ограниченных пучков амплитуда огибающей Е0 становится функцией координат x, у, z причём зависимость Е0 от координаты z вдоль пучка гораздо слабее, чем зависимость, определяемая множителем е гкг,

- 2Ео

O 2

к

ОЕо

O

(1.122)

В этом случае подстановка (1.120) в (1.118) даёт

ОЕ ^2

- к2Ео + 2i к—о + Л±Ео + (ео + 6е)Ео = 0,

O 2

(1.123)

или, учитывая (1.122),

i -Ео + 1 Л±Ео + А беЕо = 0

-z 2к 2ео

(1.124)

Если мы имеем дело с керровской нелинейностью (1.115), то уравнение приобретает вид

ОЕо

1

+ 2к Л^Ео + 2:i|Ео|2Ео = 0

ке_1|Е |2 2ео

(1.125)

совпадающий по форме с уравнением Гросса-Питаевского для «двумерного» конденсата и с осью z, играющей роль времени. Однако в оптической тематике оно обычно называется нелинейным уравнением Шрёдингера, поскольку первые два линейных члена аналогичны уравнению Шрёдингера для свободной частицы, движущейся в данном случае в плоскости х, у в зависимости от «времени» z. Последний кубичный по Е0 член вводит в теорию нелинейное самодействие поля Е0. Второй же член описывает дифракционные эффекты в приближении так называемого параболического уравнения.

Пусть поперечный размер пучка имеет характерную величину а. Тогда расстояние Zdi/, на котором проявляются дифракционные эффекты, имеет порядок величины длины Рэлея Zdi/ — ка2. С другой стороны, дифракционные и нелинейные эффекты сравниваются при напряжённости поля порядка

|C1 г

Поэтому естественно определить безразмерные переменные как

'Ео1 - i /щ- (1Л26)

г' = ко?' Х = Х< У' = i' * = \ 2Ёк«Ео, (1.127)

kUi и и у 2 со

при переходе к которым нелинейное уравнение Шрёдингера (1.125) трансформируется в

т + 2 Л±Ф ±1"Ф|2"Ф = 0, (1.128)

где мы опустили штрихи у новых переменных. Знак нелинейного члена определяется знаком коэффициента £1 в нелинейной поправке к диэлектрической проницаемости. Если £1 > 0, то поправка положительна и показатель преломления увеличивается в области луча; в этом случае нелинейная среда является фокусирующей. Если же £1 < 0, то, соответственно, среда дефокусирует интенсивный световой пучок в силу нелинейных эффектов.

Если же мы имеем дело с насыщающейся нелинейностью (1.116), то мы придем к обобщенному нелинейному уравнению Шрёдингера

4Е0 + 2? Л±Ео + А ,2 Ео = 0. (1.129)

ох 2к 2ё01+ у|Е0|2

В таком случае нелинейный показатель преломления часто записывают в форме

Ьп = - ^ОгззЕ^—. (1.130)

2 Р + Pd

Здесь по — линейный показатель преломления, Ер — приложенное электрическое поле, тзз — электрооптический индекс, а p,i — интенсивность насыщения. Мы определяем безразмерные единицы, выбирая некоторое референсное значение интенсивности pref, в качестве которого может рассматриваться интенсивности фона, например, в ситуации, рассмотренной в экспериментальных работах [25; 106], где было изучено формирование дисперсионных ударных волн. Другим естественный выбором может быть pref = psat. Определяем безразмерные переменные как

t =1 коп&ззЕрZ, x = копох \гззЕр-^Х,

2 pd V 2 pd (1 131)

у = кощ\ ¿гззЕр^^ Y., ^ = y/p^j А. V 2 Pd

Мы рассматриваем геометрию, где поперечный профиль зависит только от одной координаты x. Тогда безразмерное обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера принимает вид

Wt + 1 ^хх - 1 ,2Ф = 0, (1.132)

2 1 + у|"ф|2

где у = pref/Pd. Когда интенсивность света мала по сравнению с интенсивностью насыщения, то есть когда у|"ф|2 ^ 1, уравнение (1.132) сводится к обычному дефокусирующему нелинейному уравнению Шрёдингера (1.128). Однако здесь при большой интенсивности нелинейность насыщается.

Зачастую в нелинейной оптике встречаются задачи, когда приходится рассматривать одномерное начальное состояние в виде некоторого возмущения интенсивности на однородном фоне (см., например, [25; 107; 108]). Будем рассматривать случай, когда начальный профиль интенсивности света имеет форму параболы, находящейся на стационарном фоне. Если этот профиль достаточно гладкий, разделение начального профиля на два направленных в различные стороны импульса можно описать бездисперсионным подходом. Сложность заключается в том, что исходный профиль не является простой волной в гидродинамическом смысле. Это означает, что существуют области, в которых оба инварианта Римана зависят от положения. Следовательно, чтобы изучить эту проблему, мы должны прибегнуть к методу годографа Римана, детали которого были рассмотрены в предыдущем разделе. Поскольку исходный профиль интенсивности имеет разрыв первой производной, то в процессе эволюции на краях формируются две простые волны разрежения, а центральная

1 г Pref

часть будет являться областью, в которой следует использовать преобразование годографа. Из-за нелинейности профили на обоих концах импульса постепенно становятся всё более и более крутыми, и это приводит к опрокидыванию волны после некоторой конечной длины образца или, что эквивалентно, некоторого конечного «времени», которое мы обозначаем как время опрокидывания волны £ wв. Обычно это происходит в области, где переменным является только один инвариант Римана, и соответствующие дисперсионные ударные волны возникают в результате опрокидывания простой волны. Такой случай будет рассматривается в последующих главах настоящей работы.

Пока же остановимся на достаточно гладких волновых структурах, когда можно пренебречь последним дисперсионным членом гидродинамической системы уравнений. Тогда начальная эволюция системы описывается бездисперсионными уравнениями, которые можно представить в виде уравнений, эквивалентным уравнениям невязкой газовой динамики:

с2(Р)

Р* + (ри)х = 0, щ + иих +--рх = 0, (1.133)

р

где р — безразмерная интенсивность света, и — «наклон луча к оси х», играющий роль скорости течения, а

с(р) = (1.134)

у у 1+ ур к 7

локальная скорость звука в среде. Эти уравнения можно привести к диагональному виду, введя инварианты Римана

, , и(х,1) , 1 Гр(х'*} с(р') 7 ,

и(х,Ь) 1 ,—-—-

=—-— ± —= arctaп у/ ур(х,£), 2 у/У

чья эволюция описывается следующими уравнениями

дд++^=0 (11зба> о

+ V— (т +, т _) — = 0, (1.136б)

(1.135)

д1 дх

с римановыми скоростями

У± = и ± с.

(1.137)

В этом последнем уравнении зависимость и и с от г+ и г- получается из уравнений (1.135). Это дает

и = г+ + г-, (1.138)

тогда как с можно найти из выражения

г+ -г- = Г dрf, (1.139)

ио Р

что дает

1 2

Р —tg2

Y

у/У, \

— (г + — Г-)

(1.140)

а далее можно получить с(р(г+ — г-)) из (1.134). Как только решение уравнений (1.136) найдено, и инварианты Римана известны, физические переменные находятся из (1.138) и (1.140).

Здесь следует применять уже известный нам метод Римана. Уравнение Эйлера-Пуассона в данном случае запишется в виде

+ а(г+,г _)---уЬ(г+,г-)-— = 0, (1.141)

дг+дт— ' дг+ ' дг-

где

/ ч ,/ ч 1 dv+ 1 — с'(г+ — г_) „ .

а(г+,г—) = — Ь(г+,г—) =--—+ =--—-, (1.142)

v + — v—dr — 2с( г+ — г—)

где с. (г) = dc/dr и с вычисляется как функция от г = г+ — г— из выражений (1.134) и (1.140). Характеристиками уравнения в частных производных второго порядка (1.141) являются прямые r+ = Е = const и r— = n = const, параллельные координатной оси в плоскости годографа.

Как было показано в предыдущем разделе (также см., например, [100; 101]), функцию W(Р) можно представить в виде

1 1 гв

W(Р) =-(RW)А + ~(RW)в — / (Vdr+ + Udr—), (1.143)

22 J А

где точки А и В являются проекциями точки «наблюдения» Р на С вдоль оси г+ и г— соответственно. Здесь

и = 1 Ш — W ™ ) + aWR,

2 V дГ— дГ—' (1144)

v = 1 (w^r — r^w) — bWR, ( . '

2 \ дг+ дг + J

где Я(г+, г_; £,,п) — функция Римана, удовлетворяющая уравнению

о2я _ ад^_ (д^ + д^^ Я = 0 (1145)

дг+дг _ дг + дг _ \дг + дг _) '

с дополнительными условиями:

дЯ

дг+ дЯ д

_ ЬЯ =0 вдоль характеристики г_ = п, _ аЯ =0 вдоль характеристики г+ = £,,

(1.146)

и Я(£,п; £,п) = 1.

Глядя на уравнение (1.145), можно подумать, что мы не продвинулись в нахождении решения уравнения (1.141). Однако надо заметить, что мы заменили произвольные начальные условия для уравнения (1.141) стандартными граничными условиями (1.146) для уравнения (1.145), независящими от начальных значений р и и. Знание начальных свойств потока заключено в известное значение W вдоль С, которое появляется в правой части уравнения (1.143).

1.3.1 Общее решение

Теперь рассмотрим конкретный тип начального условия, для которого и(х, 0) = 0, с начальным параболическим профилем р(х, 0) = р(х):

|р°+(р- _ р°м1 _ х2), N ^ ь (ЛЛЛГ7.

р(х) = I \ 1 ) (1.147)

[р°, |х| > I,

характерной ширины I (см. левый верхний рисунок на рис. 12). Здесь р° — постоянный фон интенсивность и рто — максимальная интенсивность исходного профиля. Такое начальное распределение является четной функцией х. Обобщение на несимметричные распределения очевидно. Если I ^ рто _ р°, то отклонение точного решения от его гидродинамического приближения пренебрежимо мало почти везде, кроме небольших областей на границах. Обозначим исходные параметры инварианта Римана как г° = г (х = ±1= 0) и гт = г (х = 0,Ь = 0) (см. левый рисунок в среднем ряду рис. 12). Удобно обозначить через

х(г) положительную ветвь обратной функции г(х,Ь = 0):

4-

х(г) = 1\ ---г—. (1.148)

У(Р0 - рт)

Теперь кривая С представлена антидиагональю г_ = — г+ = —г, вдоль которой уравнения (1.88) с Ь = 0 дают

х(г_) = —, х(г+) = —. (1.149)

Следовательно

W(= [ х(г)(г + [ х(г)(г (1.150)

00

дает необходимое W на С. Тогда W(_г, г) = 0, и уравнения (1.144) сводятся к

и = 1х(г)Я(г, _ г; £,,п), V = _ 1х(г)Я(г, _ г; £,,п). (1.151)

2 2

Верхний ряд на рис. 12 показывает эволюцию огибающей света для разных £. Средний ряд представляет соответствующие распределения инвариантов Ри-мана. При заданном значении £ ось х можно рассматривать как разделенную на несколько областей, каждая из которых имеет собственный тип решения. Каждая область характеризуется определенным поведением римановых инвариантов, что можно увидеть в среднем ряду рис. 12. Области, в которых оба римановых инварианта зависят от х, обозначены арабскими цифрами, а области, в которых только один инвариант Римана зависит от х, обозначены римскими цифрами. Как отмечалось выше, в начальный момент г+ = _г_ (левый рисунок среднего ряда на рис. 12). В следующий момент один из инвариантов Римана начинает двигаться в положительном направлении оси х, а другой движется в отрицательном направлении этой оси. Такое поведение изначально приводит к конфигурации, представленной во втором столбце на рис. 12, где появились две области простых волн. Для более длинных образцов (третий рисунок среднего ряда на рис. 12) область 2 сохраняется, в то время как области 1 и 3 исчезают, а новые области простых волн 11] и 11г проявляются. При еще больших длинах (правый рисунок среднего ряда на рис. 12) область 2 также исчезает, и сохраняются только области простых волн: начальный импульс разделился на два импульса простых волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

2 1 г = 0 ' 2 г = 10

рт

1.5 1.5

ср 1 з\ р I ~Ч /12 зШ— т

1 1 V ;

0.5 Ро_| т 0.5 р_/ Т

-40 -20 0 20 40 х

-40 -20 0 20 40 х

1

0.8 0.6

-н -0.6

-0.8

-1

-0.6 -0.7 ^-0.8 -0.9 1

Гт

Го

-Го

-40 -20 0 20 40 х

; го г т -

- ГоГЧ. -

т -

0.6 0.7 0.8 0.9 1

Г+

1

0.8 0.6

-н -0.6

-0.8

-1

-0.6 -0.7

-0.8 -0.9 1

1 \\А\ ,

Гт

-40 -20 0 20 40 х

о

0.6 0.7 0.8 0.9 1

+

2 1.5 1

0.5 1

0.8 0.6

-н -0.6

-0.8

-1

-0.6 -0.7

-0.8 -0.9 1

г = 40

Ш 2 \Иг III

аЛ ДА

: : : :

-40 -20 0 20 40 х

2 1.5 1

0.5

?Н II;

г = 100

1 'Ли Пг

1—1 4

-100 -50 0 50 100 х

1

Гт

0.8

го

0.6

-н

-0.6 0.8

-4С -20 0 20 40 х

; Гт :

- Го "'■ ■... III иг

I

-гт I I; N

1

100 50 0

50 100

-0.6

-

-0.7

-0.8 0.9

0.6 0.7 0.8 0.9 1

+

1

; го Г т

'Ч.. III , Ит

I, II; ""

т

0.6 0.7 0.8 0.9 1

+

Рисунок 12 — Поведение характерных величин системы. Каждый столбец соответствует заданному значению Ь. В верхней строке показано распределение интенсивности света р(х, ¿), построенное как функция от х. Показаны численное решение уравнения (1.132) (красные толстые кривые) и аналитическое бездисперсионное решение (синие кривые). Начальное состояние представлено на левом верхнем рисунке и соответствует уравнению (1.147) с р0 = 0,5, рт = 2, I = 20. Динамика системы

определяется уравнением (1.132) с у = 1. В средней строке отображаются (аналитический! результат) римановы инварианты г+(х, ¿) (г + е [г0, гт]) и г-(х, ¿) (г- е [—гт, — г0]) в виде функций от х. Римские цифры указывают на области простых волн, арабские соответствуют областям, в которых оба инварианта Римана зависят от координаты. Нижний ряд представляет поведение римановых инвариантов в плоскости годографа. Пунктирные линии показывают границы области [г0, гт] х [—гт, — г0]. Арабские и римские цифры соответствуют обозначениям регионов из верхних рядов рисунка.

Стоит отметить, что опрокидывание волны соответствует перекрытию между различными областями, что приводит к многозначному решению. Если мы рассмотрим, например, импульс распространяющийся вправо, то в момент опрокидывания волны область имеет многозначное решение, а таже может перекрываться с областью 11Г. Эти две конфигурации соответственно проиллюстрированы в столбцах £ = 40 и £ = 100 на рис. 12. Мы не будем подробно

р

т

—Г

т

Рисунок 13 — Те же кривые, что и в нижнем ряду рис. 12, развернутые на четыре поверхности. Красная линия соответствует входному импульсу, в то время как другие цвета соответствуют другим значениям Ь. Изогнутые стрелки указывают направление разворачивания области [го,тт] х [—гт, —го]. Весь регион выше красной линии недоступен для исходного рассматриваемого распределения.