О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тулькубаев, Ринат Закирович

• Тулькубаев, Ринат Закирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тулькубаев, Ринат Закирович

0 Введение

1 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами

1.1 Асимптотика спектра и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка.

1.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами.

2 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя

2.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения Бесселя.

2.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя.

3 Асимптотика спектра и формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка

3.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения четвертого порядка.

3.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями»

В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи.

Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.

Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта.

Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Наймарка [23].

Теоретико-операторныо методы rio-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13].

Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.

К настоящему времени • разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных значений в случае негладких потенциалов [3], [4] и даже для потенциалов, содержащих ^-функцию [5].

Теория следов линейных операторов берет свое начало с инвариантности матричного следа линейного оператора В и совпадение его со спектральным следом в конечномерном пространстве n n n k=l к=1 к=1 где {Afc} - собственные числа оператора В, а {Фк}^=и {фк}^i ~ Два произвольных базиса пространства.

Этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом - иначе называемых ядерными, а именно, доказано утверждение (см. [11]), если В - ядерный оператор, то для любой пары {'/'fcjfcLi ортонормированных базисов справедливо оо оо

Wfc, фк) = Ы- (0-2) к=1 к=1

Доказано равенство, известное как теорема В.Б. Лидского ( [12], [16]), оо оо к=1 к=1 где fik ~ собственные числа оператора В.

Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.

Дальнейшее развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой [19], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.

Так как для неядерных операторов В ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно возникает следующая постановка задача: указать класс операторов и соответствующую пару базисов {(j>k}kLi, {v^fclbU таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение оо

Г [{Вфк, фк) - (В<рк, <рк)} = 0. (0.4) fc=i

Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется из спектральной подстановки (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {<pk}^=i оператора В. Для подбора второго базиса оператор В представляется в виде суммы В = V, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору В$\ и второй базис строится из собственных векторов {фк}%Li оператора В0. Тогда формула (0.4) приобретает следующий вид оо оо [ Ф*) - = J2 к(Яо + у)фк, фк) - ((Btpk, <рк)] = к=1 к=1

00

0, (0.5) к=1 где Л к ~ собственные числа оператора Bq, ~ собственные числа оператора В.

Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица [19], М.Г. Крейна [11] и И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [8].

И. М. Гельфанд и Б.М. Левитан [8] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q(x) получили формулу, названную впоследствии формулой Гелъфанда-Левитана: где со = - f g(x)dx. И почти сразу Л.А. Дикий в работе [9] показал, п о что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству т.е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана член (Уфк,фк) в формуле (0.5), который есть для оператора Штурма-Лиувилля самим методом - разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях - был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.

Такой подход, при котором член (Уфк,фк) разбивается на расходящуюся часть, которая выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Во, а сходящая часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути открывается связь теории следов с теорией дзета - функций операторов.

7Г

7Г о

И.М. Гельфанд [7] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил формулы регуляризованных следов высших порядков: оо

J2(A~Ak(n))=B(k), п=1 где Ak(n) - расходящаяся часть разложения по степеням собственных чисел Ап, В (к) - сумма сходящейся части разложения которая в конечном виде выражается через q(x) и ее производные.

В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [40], [41], [42]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора В0 с ядерной резольвентой ряды оо оо к=1 к=1 сходятся, доказали равенство

00 оо к~1 к=1 Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А.Г. Костюченко в его докторской диссертации [10].

В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины

60-х годов основным направлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В.А. Садовничим [28], [29], [30], [31]; особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функций в исследовании дзета-функции оператора в работах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [17], [18]. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и Ю. Беллабасси [35], [36].

С конца 70-х годов на первый план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений /&) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [33], [34].

Принципиальным прорывом в теории следов является метод исследования и доказательства регуляризованного следа для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, предложенный Х.Х. Муртазином и З.Ю. Фазуллином в статье [22]. Этими авторами доказаны формулы регуляризованных следов с вычитаниями одной поправки теории возмущений при более слабых, "близких" к необходимых, условиях на функцию распределения спектра невозмущенного оператора в зависимости от возмущения, чем во всех известных ранее результатах. В работе [39] предложена методика исследования формул следов для операторов в частных производных. Данный метод используется в диссертации.

Для оператора Штурма-Лиувилля значительным продвижением в этом направлении следует отметить результаты работ [26], [6] и [27]. Савчук A.M. [26] и независимо Винокуров В.А. и Садовничий В.А. [6] получили формулы регуляризованных следов для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащим J-функ-цию. Также в работе Савчука A.M. и Шкаликова А.А. [27] получена формула регуляризованного следа для операторов Штурма-Лиувилля на отрезке с сигулярными потенциаломи, не являющимися локально интегрируемыми функциями. Достаточно полный обзор истории теории следов дан в [37], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В первой главе изучается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г]

-у" {г) + V{r)y(r) = А у(г), 2/(0) = у(тт) = 0, (0.6) где V(r) - измеримая(комплекснозначная) функция, которая не обязательно суммируема, но удовлетворяет условию: при некотором е € [0,1] r£(ir-rY\V{r)\dr < оо. (0.7)

J о

Примером потенциала является функция

N Лк , Л0 Вс ^ гак(.п - гУк + г2(\\пг\Ш1 + 1) + (тг-г)2(|1п(тг-г)Г2 + 1)' где 0 < ак < 2, 0 < (Зк < 2, 1 < ик (в (0.7) при \А0\ + \В0\ = 0 £ < 1, а при |Л0| + \В0\ ф 0 £ = 1).

Исследованию задачи (0.6), в случае регулярных коэффициентов, посвящено много работ [15] и в цитированных выше работах. Отметим, что в работах [3]-[4] с помощью довольно тонкого анализа системы первого порядка, к которой сводится уравнение Штурма-Лиувилля, исследована асимптотика спектра и соответствующих собственных функций краевых задач с суммируемым потенциалом.

В § 1 изучается асимптотика спектра задачи (0.6).

Спектральная задача (0.6) при Л ф n2, п G N эквивалентна интегральному уравнению в банаховом пространстве С[0,7г] y(r)+ [ RQ(r,t,X)V(t)y{t)dt = 0, J о где RQ(r,t,\) ядро интегрального оператора Rq(X) = (Hq — Л)-1, Н0 - невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением —d?y(x)/dr2 и нулевыми граничными условиями. Спектр ) = оператора

Щ состоит из чисел Хк = /г2, соответствующие нормированные собственные функции суть fk(r) = \/2/и sin кг.

Ядро Ro(r: t, Л) оператора Rq(X) имеет вид Rq(t, t, Л) = G(r, t, Л) -f g(r,t,\), где

1 cos л/\г sin y/Xt, t < r C?(r,f,A) = -= 1 " ,

V a I sin V Ar cos V At, t > r g(r, t, А) = — !lJL!L sin y/\r sjn y/~\t v A причем Im\/A > 0 при Л ф (О, оо)).

Все дальнейшие построения основаны на проекционном методе, где показано, что в асимптотических формулах для собственных чисел и собственных функций, важную роль играет часть резольвенты невозмущенного оператора Ron(Л) = Ylk^n^k — A)1Pfc, где Рф = (h, fk)fk> (•> •) - скалярное произведение в Ь2[0,7г]. Имеет место

Лемма 1.2-1.3 Пусть |А — Ап| < Тогда для всех (r,t) €

О, тг] х [0, тг]

Доп(М,А)| < ^ \Ron(r,t, А)| < |i«r,t, А)| <

7Ъ 7Ъ ТЪ

Лемма 1.4 Если V(r) принадлежит классу (0.7), то для нормы ||-йоп(А)У|| оператора Ron(X)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение lim sup ||#on(A)V|| = 0.

Пусть {finl^Li - спектр краевой возмущенной задачи (0.6), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая

Теорема 1.1 Пусть V(r) комплекснозначная функция и г(-7Г — г) |V(r)| dr < оо.

J о

При п 1 собственное число /in лежит в круге \z — Ап| < При этом цп есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция

Фп(А) = An + (Vfn, fn) - (VRn(X)Vfn, fn), а интегральный оператор Rn(X) определяется из уравнения Rn(А) + Л0п(Л)^Яп(А) = Л0в(А).

Теорема 1.3 Пусть выполнено условие (0.7), тогда для всех п 1 справедливо асимптотическое разложение + (0.8) k=1 где

4П) - / (* - An) tr [Ro(z)Vlk Ro(z)dz, tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.8) (3{ш] =

Lm+1 представляется в виде = У (z- А„) tr [Mz)V]m R(z)VRo(z)dz к-АпНг^ и допускает оценку fiffl < m{fit)e, где С- постоянная, не зависящая от п.

Следствие 1.1 Если в (0.7) е < 1, и число т удовлетворяет условию т > (1 + £)(1 — £)-1. Тогда справедливо представление т, где £ ffl < оо. п) о к=1 п

В частности, если в (0.7) £ = 0, то есть V(r) 6 L[0,7r], то имеем

Vn = K + (Vfn, fn) - (W*on(An)V7n, fn) + 0(n~2).

В § 2 получена формула следа задачи (0.6).

Ядро До(г, t, А) интегрального оператора Ro(X) можно представить в другом виде о {г, t, А) = Gx{r, t, Л) + pi (г, t, Л), где

Gi(r,i,A) =

1 I ехр (гл/Аг) sin VA I sin лДг л. ехр (гл/А-я-) . /г . /г,

7i (г, t, А) = —у=--=г- sin V А г sin V A t

V A sin V А7Г причем Imy/X > 0 при А ^ (0, оо)).

Лемма 1.5 При n > 1, £ £ [0,1], An = (An + An+i)/2; s Е R t£(-K -1)£

Яо(г,£, An + «s) C

An + is l-£)/2' где С > 0, С - абсолютная постоянная.

Лемма 1.6 Если V(r) принадлежит классу (0.7), то для нормы ||i?o(<z)V|| оператора Rq(z)V в пространстве С[0,7г] имеем оценку:

Ro(\n + is)V 7п п + is

1-е 2 lim 7n = 0. n—»00

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 1.4 Пусть б (0.7) 0 < s < 1, am- минимальное натуральное число, такое, чтот > (1+£)(1—е)-1. Тогда справедлива формула следов оо £

П=1

Рп- ЛП - £ Щ. т к=1 0, (0.9) где ряд сходится абсолютно, а числа а^ равны

4П) = f ztr [Bo{z)V\k Mz)dz. z-An|=

27raQ

Замечание 1.1 Если в (0.7) £ = 0, то есть V(r) G L[0,7г]; то т — 2 и формула (0.9) представляется в виде оо

Y, - An - (V/„, /„) + {VBvn{\n)Vfni /„)] = 0. n=l

Если же V(r) принадлежит пространству Соболева И^2[0,7г] (иначе говоря, V'{r) е -Z>2[0,то в (0.9) т = 1 и последовательность

Ап — (У/п, /п) абсолютно суммируема и 00

J2&n-\n-(VfnJn)}= О, п=1 откуда вытекает известная формула следов Гельфанда-Левитана.

В главе II рассматривается спектральная задача Дирихле на отрезке [0, -к] z/2 1

-У" + —р^у + Vy(r) = Ау(г), I/ > -, у(0) = 0, у(тг) = 0, (0.10) где V- оператор умножения на (вообще говоря, комплекснозначную) функцию из Ь2[0,7г], удовлетворяющая условию (0.7).

Отметим, что задача (0.10) получается при разделение переменных оператора Лапласа — A+V заданного в шаре или на плоскости в круге радиуса 7г.

Спектр {Ап}^=1 невозмущенной задачи (0.10) хорошо известен и определяется из уравнения <Л,(\/А^7г) = 0, а нормированная последовательность соответствующих собственных функций имеет вид г) = /L y/fJv(VА) г, xJlWK 71") где Jv{z) - функция Бесселя и-го порядка.

Резольвента Ro(X) = (Lq — А)-1 есть интегральный оператор с ядром До (г, t, А) = G(r, t, А) + g(r, t, А), где тс Y„(V\ г) J„(y/Xt), t<r

G(r,t,X) = ~Vrt<

2 [ Jv(V\r)Yv(VXt), t >r g(r,t,\) = l^^^Vx^ViMVxti

4 Ju[y Л7Г) где Yv(z) - функция Неймана индекса v.

Пользуясь асимптотическими разложениями функций Jv{z) и Y^z), мы получим следующие оценки:

ЯопМ, An)| < \R0n(r,t,Xn)\ < п nl £ где ao = const > 0, (далее, все a^ = const > 0, i — 1,2,3 .).

При |A — An| < и для всех (r, t) G [0,7г] x [0,7г] справедливы следующие неравенства:

2a0t£ |D ^ + 2a0(ir-t)£

П1 С. с.п1е

Если V(r) принадлежит классу (0.7) , то для нормы ||Доп(А)У|| оператора Ron(\)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение

Пусть спектр задачи (0.10), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Для данной задачи справедливы следующие теоремы

Теорема 2.1 Пусть V(r) комплекс-позначная функция и г{-к — r)V(r) £ L[0,7г]. При n » 1 собственное число ^in лежит в круге \z — Ап| < При этом есть решение уравнения А = ФП(А), где сжимающая функция

Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (0.7) , тогда для всех п 1 справедлива асимптотическое разложение lim sup ||Яоп(А)У|| = 0. —оо |ААп,< «

Ф»(А) = An + (Vfn, fn) - (VRn(\)Vfn, fn) а интегральный оператор Rn{А) определяется из уравнения

Rn( А) + RonWVRniX) = Доп(А).

00

0.11)

Jfe=l где tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.11) 0, п) т

Ylh=m+1представляется в виде (-l)m+1

2т j> {z- Хп) tr [Ro{z)V]m R{z)VRo{z)(k

2ffOo Д n) m

С > 0 - постоянная, не и допускает оценку зависящая от п.

Основным результатом параграфа § 4 является следующая теорема о следе для задачи (0.10).

Теорема 2.3 Пусть в (0.7) 0 < е < \, am- минимальное натуральное число, такое, чтот > (1+£)(1—£)-1. Тогда справедлива формула следов

00 п=1 т

Ц>п~ Ап — ^ al"> 0, где ряд сходится абсолютно, а числа а^ равны (-1) fc+i к =

27гг ztr г-А„|=

27toq

В третьей главе изучается спектральная задача Дирихле четвертого порядка на отрезке [0,7г] у(Л0(г) + у у (г) = Ay (г),

0.12) у(0) = у(тг) = у'(0) = у'{ тг) = 0,

0.13) где у(г) = p2(r)y"(r) + Pi{r)y'{r) + p0(r)y{r), (0.14) комплекснозначные функции Pi{r)(i — 0,1,2) удовлетворяют условиям: при некотором е Е [0,1) re(ir-r)e\p2(r)\dr < оо, (0.15)

J о ге+1(7Г - r)E+1 |pi(r)| dr < ОО, (0.16)

Jo I ге+2(тг - r)£+2 \p0(r)\dr < оо,. (0.17) 0

Спектр задачи y^IV\r) — vAy{r) с краевыми условиями (0.13) определяется из уравнения cos и-к ch vk = 1, и ик = к + \ + ак, ак = ехр(—(АГ+ 1/2)тг) + О (ехр(-2Ьг)), к > 1.

Пусть Но - невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением d ffl и граничными условиями (0.13). Через {fk}kLi обозначим ортонормированные собственные функции оператора Hq, и fk(r) = Ак {cos щг - sin vkr - ехр(~ukr) + Вк (sh vkr - sin vkr)} , где

Ak = — (l~ 4+(-1)*9ехр(-^тг) + Q ехр(-2^тг)Л лМ 4?r vk Vk /'

Bk = 2(-l)A:exp(-i/fc7r) + 0(ex р(-2^7г)).

Пусть Ro(r,t, Л) ядро оператора .Ro(A) = (#о — А)-1, А = И. Лемма 3.1 Ядро Ro(r:t:X) резольвенты Ro(X) имеет вид

Ro(r,t,X) = G(r, t, A) + g(r, t, A), где

G(r,t, А)

1 I exp(iur) smut — exp(—ur) shut, t<r

2i/3 sin ur exp(iut) — sh*/r exp(—ut), t > r a , . sh ur . . sini/r . g(r,t, A) = "2^3- exp(—1/£) - —exp(ti/i)+ uj\{t, i/)(cos 1/1— ch i/r) + u^i, ^)(sin ur — sh ur), где

4г/3Ф(1/) sin u{t — 7г) — sh i/(i — 7r))(sin + sh uir)— —(cos u(t — 7г) — chi/(£ — it))(cos uir — chuir)], a;2(t, u)

4и3Ф(и) sini/(i — ir) — shz/(£ — 7r)) (cos uir — ch.uir)+ +(cos u(t — ir) — chu(t — 7r))(sinuir — shuir)],

Ф(^) = 1 — cos итт ch U7T.

Лемма 3.2 Для любого е € [0,1) справедливы следующие оценки: а0г2(тг - r)2te(ir - t)£

Ron(r,t, А„)| < п

1-е d dr

Rqn(r, t, \n) aor(n — r)te(ir — t)£ n

1-е dr2

Ron{r,t, An) a0t£(ir -1)( n

1-е

Имеют место следующие утверждения

Лемма 3.3-3.4 Пусть |А — А„| < Тогда для всех (r,t) G

0,7г] х [0,7г] справедливы следующие неравенства:

Ron{r,t, А)| < Ц, |Доп(г,*,А)| < ^

Лоп(г,«,А)| < аог2(7Г — r)2t а0г2( 7г — г)2(7г — £) е

Введем пространство 5[0,7г], состоящий из дважды непрерывных дифференцируемых на отрезке [0,7г] функций /(г), таких, что /(г) и /'(г) обращаются в нуль в точках 0 и 7г. Норму в этом пространстве определим равенством:

Демма 3.5 Если V(r) принадлежишь классу (О.Ц), то для нормы ||JRon(A)V|| оператора Ron(\)V в пространстве В[0,7г] при |А — Ап| < п3 имеет место неравенство

Пусть {fin}n=i ~ спектр задачи (0.12)-(0.13), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (0.15)-(0.17), тогда для всех 1 справедливо асимптотическое разложение

И/МИ = |/»|)

Ron(X)V\\ < ~ т) 1 с.

ОО

0.18) где (-1) fc+1 ak =

2m f (z — An) tr [Rt{z)V]k Ro{z)dz, tr - след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.18) = YlT=m+1 представляется в виде

-l)m+1 2т

У (z- Хп) tr [Ro(z)V]m R(z)VRo(z)dz z-\„

2na0 A n(m+i)(i-£)-3, где С- постоянная, не и допускает оценку ^т зависящая от п.

Ядро Ro(r, t, Л) интегрального оператора Rq(X) можно представить в другом виде

Ro(r,t,X) = G(r,t,X) + g(r,t,X),

I ехр(гг/г) sin i/t — exp(—vr) shut, t<r где G(r, t, A) = 2^3 <

I sin it exp(ivt) — shi/r exp(—i>t), t > r a g(r,t. A) = uJi(t, г/)(sin г/г — sh vr) +u>2(t, v)(cosvr — ch vr) — iG(r, t, A) |r=o v sh i/г, где i/) =

2Ф(и) г/ sh vir) (sin z/7r -f- sh г/7г)+ fg(r,t,A)|r=7r + jG(r,t,X) ^ v v ch vir) (cos г/7Г — ch vtt)

W2(t, v) =

2Ф(и) г/ sh 1/7г) (cos 1/7г — ch viг) — и и ch v 7г) (sin г/7г — sh i/7r)

Лемма 3.6 Пусть Xn — (An -I- An+i)/2, s e R. Тогда при n 1 и e [o, l) С

Яо(г, t, Xn + is)

An -f- zs

3/4' s

Яо(г, An + is)

Cr2(7T-r)2^(7r-t)£

An + is l-e)/4 ' dr

Ro(r,t, Xn + is)

Cr{iг - r)if(7r - ty

Xn + is l-e)/4

До(г, t, Xn + is)

Cte{ir - ty

Xn + is

1-0/4' где С > О, С - абсолютная постоянная.

Лемма 3.7 Если V(r) принадлежит классу (О.Ц), то для нормы Ц-йо^УЦ оператора Rq(z)V имеем оценку:

Ro(Xn + is)V

In

Хп + is

1-е)/4> где {7n} - положительная последовательность, такая, что lim 7„ = 0. п—>00

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 3.2 Пусть в (0.15)-(0.17) 0 < £ < 1, am - минимальное натуральное число, такое, чтот > (3+£:)(1—е)-1. Тогда справедлива формула следов п=1

Vn а к=1 0, где ряд сходится абсолютно, а числа ocjf* равны а (-1) it+i

2ттг

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тулькубаев, Ринат Закирович, 2010 год

1. Ахмерова Э.Ф., Муртазин Х.Х. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов // Доклады АН, 388:6 (2003), 731 - 733.

2. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М. : ИЛ. 1949.

3. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Об асимптотике решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме Лиувилля // Дифференциальные уравнения, 34:8 (1998), 1137-1139.

4. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения, 34:10 (1998), 1423-1426.

5. Винокуров В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 6 функции // Дифференциальные уравнения, 38:6 (2002), 735 -751.

6. Винокуров В.А., Садовничий В.А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 5-функции // Доклады РАН, 376:4 (2001), 445-448.

7. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // Успехи математических наук, 11:1 (1956), 191-198.

8. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 88 (1953), 593-596.

9. Дикий Л.А. Об одной формуле Гелъфанда-Левитана. // Успехи математических наук, 8:2 (1953), 119-123.

10. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов: Дисс. .д-ра физ.-мат. наук // М. 1966.

11. Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений. // Математический сборник, 33:3 (1953), 597-626.

12. Гохберг И.Ц. Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

13. Курант и Гильберт (R. Courant, D. Hilbert) Методы математической физики, т. I и II, Гостехиздат, 1951.

14. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. Гостехиздат, 1950.

15. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

16. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след. // ДАН СССР, 125:3 (1959), 485-488.

17. Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения, 1:2 (1967), 52-59.

18. Лидский В.В., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций. // Математический сборник, 1968. Т. 75(117). №4. С. 558-566.

19. Лифшиц И.М.Об одной задачи теории возмущений, связанной с квантовой статистикой. // Успехи математических наук, 7 (1952), 173-180.

20. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А., Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами // Доклады АН, 416:6 (2007), 740-744.

21. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А., Тулькубаев Р.З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 44:12 (2008), 1628-1637.

22. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Математический сборник, 196:12 (2005), 123-156.

23. Наймарк М. А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка на полуоси // Труды Московского математического об-ва, 3 (1954), 181—270.

24. Рапопорт И. М. О сингулярной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР, 79 (1951), 21-24.

25. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фунд. напр., 64 (1989), 248 с.

26. Савчук A.M. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с S-потенциалом // Успехи математических наук, 55:6 (2000), 155-156.

27. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / / Математические заметки, 69:3 (2001), 427-442.

28. Садовничий В.А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. // Дифференциальные уравнения, 2:12 (1966), 1611-1624.

29. Садовничий В.А. О следах дифференциальных операторов высших порядков. II Математический сборник, 72:2 (1967), 293317.

30. Садовничий В.А. Формулы следов для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. / / Математические заметки, 1:2 (1967), 179-188.

31. Садовничий В.А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка. // Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика, 3 (1967), 37-47.

32. Садовничий В.А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Соотношения для нулей функции Бесселя. // Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика, 3 (1971), 77-86.

33. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов. // Дифференциальные уравнения, 13:7 (1977), 1264-1271.

34. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных. // Дифференциальные уравнения, 13:11 (1977), 2033-2042.

35. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа. // Доклады АН СССР, 256:4 (1981), 794-798.

36. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белаббаси Ю. О нулях целых функций одного класса. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 8(1982), 211-217.

37. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи математических наук, 61:5 (2006), 89-156.

38. Титчмарш Е.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. ИЛ, т. I, 1960; т. II, 1961.

39. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора. // Математический сборник, 192:5 (2001), 87-124.

40. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for a perturbed operator. // Duke Math. J. 1963. V. 30. №2. P. 275-286.

41. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for powers of Sturm-Liuoville operator. // Canad. J. Math. 1964. V. 16. №4. P. 412-422.

42. Halberg C.J.A., Kramer V.A. A generalization of the trace concept. /1 Duke Math. J. 1960. V. 27. №4. P. 607-628.

43. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. d Physik, Folge IV 79(1926), P. 361-376.

44. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. d. Physik, Folge IV 79(1926), P. 489-527.

45. Sturm C. Memoire sur les equations differentielles lineaires du second ordre J. Math. Pures Appl. 1836. - T.l. - P. 106 - 186.

46. Weil H. Uber gewdhnliche Differentialgleichungen mit Singuldritaten und die zugekorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen. // Math. Ann. 68 (1910), 220 269.I7.Ь