Функционально-дифференциальные операторы с инволюцией и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Бурлуцкая Мария Шаукатовна

• Бурлуцкая Мария Шаукатовна
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Бурлуцкая Мария Шаукатовна

графе

2.2.1 Определение интегрального оператора на графе

2.2.2 Структура оператора А-1

2.2.3 Краевая задача для резольвенты оператора А

2.2.4 Теорема равносходимости

§ 2.3 О сходимости средних Рисса разложений по собственным

функциям интегрального оператора на графе

3 ФДО с инволюцией в случае дифференцируемого потенциала и их приложения

§ 3.1 Спектральная задача для оператора с инволюцией и система Дирака

§ 3.2 Асимптотика фундаментальной системы решений уравнения Дирака с гладким потенциалом

§ 3.3 Асимптотика собственных значений

§ 3.4 Асимптотика собственных функций

функционально-дифференциального оператора

§ 3.5 Простейшие смешанные задачи для дифференциального

уравнения с инволюцией

3.5.1 Явная формула для решения простейшей задачи

с инволюцией

3.5.2 Явная формула решения в случае симметричного потенциала

§ 3.6 Смешанная задача для дифференциального уравнения с

инволюцией в случае произвольного потенциала

3.6.1 Преобразование формального решения

3.6.2 Классическое решение

§ 3.7 Метод Фурье в смешанной задаче с инволюцией

на графе

3.7.1 Случай симметричного потенциала в задаче на графе

3.7.2 Асимптотика собственных значений и собственных функций спектральной задачи в случае произвольного потенциала

3.7.3 Решение смешанной задачи в общем случае

4 Система Дирака с непрерывным потенциалом и ее приложения

§ 4.1 Фундаментальная система решений уравнения Дирака . . 174 § 4.2 Система Дирака с недифференцируемым потенциалом в

случае условий типа Дирихле

4.2.1 Асимптотика собственных значений

4.2.2 Асимптотика собственных функций

4.2.3 Базисность по Риссу системы с.п.ф

§ 4.3 Система Дирака с недифференцируемым потенциалом в

случае периодических условий

4.3.1 Асимптотика собственных значений. Полнота системы с.п.ф

4.3.2 Базисность по Риссу системы с.п.ф

§ 4.4 Оператор Дирака с симметричным потенциалом и периодическими краевыми условиями

4.4.1 Операторы L и L+

4.4.2 Операторы L и L-

4.4.3 Проекторы Рисса

4.4.4 Базисы Рисса

§ 4.5 Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом

4.5.1 Спектральная задача

4.5.2 Преобразование формального решения

4.5.3 Вспомогательные утверждения

4.5.4 Решение эталонной задачи

4.5.5 Исследование формального решения

4.5.6 Обобщенное решение

5 Резольвентный подход в методе Фурье

§ 5.1 О свойствах решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения с инволюцией, рассматриваемого в классе разрывных решений

§ 5.2 Смешанная задача для волнового уравнения с периодическими краевыми условиями

5.2.1 Схема резольвентного подхода

5.2.2 Спектральная задача и резольвента оператора

5.2.3 Решение эталонной задачи

5.2.4 Исследование формального решения

5.2.5 Классическое решение задачи

§ 5.3 Смешанная задача для волнового уравнения на простейшем графе

5.3.1 Спектральная задача и резольвента оператора

5.3.2 Исследование компонент формального решения

5.3.3 Решение эталонной задачи

5.3.4 Классическое решение

5.3.5 Случай суммируемого потенциала

§ 5.4 Смешанная задача для волнового уравнения с суммируемым потенциалом в случае двухточечных граничных условий разных порядков

5.4.1 Исследование формального решения

5.4.2 Классическое решение

5.4.3 Обобщенное решение

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функционально-дифференциальные операторы с инволюцией и их приложения»

Введение

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию спектральных свойств функционально-дифференциальных операторов (далее ФДО), задаваемых дифференциальным выражением вида

l(y) = ay'(x) + ßy'(1 — x)+ pi(x)y(x)+ P2(x)y(1 — x), x e [0,1], (0.1)

связанных с ними систем Дирака, и их приложениям в задачах на геометрических графах и в обосновании метода Фурье в смешанных задачах для дифференциальных уравнений в частных производных.

Оператор вида (0.1) относится к операторам с инволюцией. Инволюцией, или инволютивным отклонением, называется отображение v(x) такое, что v2(x) = v(v(x)) = x. Отдельные дифференциальные уравнения с инволюцией известны уже давно (см., например, работу Ch. Babbage [154] 1816 года). Современные же исследования задач с инволюциями, стимулированные работами Т. Карлемана [156], И.Г. Петровского [106], Ч. Данкля [159], привели к большому количеству результатов (см., например, монографии [92], [68]). Дифференциальные уравнения с различными видами инволюций активно исследуются в работах как отечественных, так и зарубежных математиков: изучены вопросы корректности постановок задач, качественные свойства решений, разрешимости как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных, спектральные задачи. Отметим здесь только наиболее близкие нам работы J. Wiener [41, 177, 178], А.А. Андреева [1, 2] (см. также библиографию в [1]), С.С. Платонова [107], W.T. Watkins [176], а также недавние работы Л.В. Крицкова, А.М. Сарсенби [70, 71, 166, 167], F.A.F. Tojo, A. Cabada [173], А.Г. Баскакова [5], [155] (см. также работы [91], [118], [153], [165], и др.).

Отображение v(x) = 1 — x в выражении (0.1) представляет наиболее простой вид инволюции на отрезке [0,1]. Однако, уравнения с такой инволюцией замечательны уже тем, что имеют тесную связь с двумя важными классическими уравнениями: уравнением Штурма-Лиувилля

и уравнением Дирака. Так, простейшее уравнение вида у'(х) + р(х)у(1 — х) = Ау(х), х Е [0; 1],

(0.2)

эквивалентно хорошо известной системе Дирака с необходимым условием совпадения компонент в точке х = 1/2. Более того, как установлено в работе, если рассмотреть уравнение (0.2) в классе решений, разрывных в точке х = 1/2 (неподвижной точке инволюции), то оно эквивалентно уже произвольной системе Дирака на отрезке [0,1/2]. Далее, уравнение Штурма-Лиувилля, заданное на [0,1/2], оказывается частным случаем уравнения (0.2) с разрывным в точке х = 1/2) решением. В свою очередь, главная часть 10[у] = ау'(х) + ¡Зу'(1 — х) дифференциального выражения (0.1) обладает тем свойством, что ^[у] = (а2 — (32)у''(х), т.е. 1(у) является обобщением квадратного корня из у''.

Интересной и перспективной в различных приложениях является и описанная в работе связь между смешанными задачами для уравнения в частных производных первого порядка с инволюцией и для волнового уравнения.

Впервые операторы, заданные дифференциальным выражением вида (0.1), были выделены как отдельный объект исследования в 2007 г. в работе [6]. Появление этих операторов навеяно исследованиями А.П. Хромова, начатыми в 1998 г., по вопросам сходимости разложений интегральных операторов с ядрами, разрывными на линиях £ = х и £ = 1 — х [131, 72]. В ряде случаев (0.1) представляет собой дифференциальную часть оператора А-1, где А — интегральный оператор вида

В работе прежде всего исследуются спектральные свойства операторов вида (0.1). Спектральная теория и, в частности, вопросы сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям (далее с.п.ф.) для различных дифференциальных операторов, начиная с основополагающих работ В.А. Стеклова, Г. Биркгофа, Я.Д. Тамаркина, М. Стоуна, развивались многими математиками. Большой вклад здесь внесли отечественные математики: М.В. Келдыш, М.А. Наймарк, Б.М. Левитан,

А/ = А1 (1 — х,Ъ)/(£) + а A2(x,t)f (£) АЪ.

В.А. Марченко, В.А. Ильин, А.А. Шкаликов, А.П. Хромов, и др. Будут обсуждаться и вопросы базисности по Риссу, впервые исследовавшиеся для дифференциальных операторов в работах Г.М. Кесельмана [69], В.П. Михайлова [100], Н. Данфорда [53], и получившие в дальнейшем широкое развитие. Отметим некоторые близкие нам исследования в работах В.В. Власова [42], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева [65, 66, 102], И.С. Ломова [93, 94, 95], А.А. Шкаликова [147, 148], А.С. Макина [98], К.А. Мирзоева [101] и др.

Для операторов с инволюцией спектральные вопросы исследовались А.П. Хромовым и его учениками: достигнуто много результатов как для интегральных операторов с инволюцией в верхнем пределе [132, 73, 74, 86], интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях или имеющими скачки производных на диагоналях [72, 126] (см. также [135, 78, 80, 46, 127]), так и для функционально-дифференциальных операторов, заданных выражением (0.1) [7, 87, 88, 96]. Рассматривались классические вопросы спектральной теории (о равносходимости, о суммируемости средних Рисса и базисности по Риссу, достаточные условия сходимости ряда Фурье по с.п.ф к заданной функции). В указанных работах техника исследования сходимости разложений по с.п.ф. опирается на метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты, и при этом связана с переходом к краевым задачам в пространстве вектор-функций и Ь-диагонализацией полученных систем.

В настоящей работе, продолжая развитие этой техники, привлекаются новые результаты о равносходимости на всем отрезке рядов a(x)S(/) и S(а/), являющиеся аналогами известной теоремы Штейнгауза из теории тригонометрических рядов. Впервые получены уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций ФДО с инволюцией в случае дифференцируемого потенциала с привлечением приема в исследовании соответствующей системы (системы Дирака), не использующем Ь-диагонализацию.

Как приложения, получены новые результаты о разложениях по с.п.ф. операторов, заданных на геометрических графах. Интенсивные исследо-

вания различных задач на геометрических графах начались с 80-х годов прошлого столетия (см., например, [108, 152, 158, 169, 175], и библиография в [108]), и наиболее полно отражены в работах Ю.В. Покорного, А.В. Боровских, К.П. Лазарева, О.М. Пенкина, В.Л. Прядиева, С.А. Шаброва (см. [108], и библиографию в [108]). Спектральные вопросы для операторов второго и четвертого порядков исследовались в работах М.Г. Завгороднего [58]-[61], Р.Ч. Кулаева [82, 84], О.М. Пенкина [55, 56], В.В. Провоторова [109]-[111], обратные спектральные задачи в работах А.М. Гомилко, В.Н. Пивоварчик [47], В.А. Юрко [149, 150], для операторов первого и второго порядков и операторов с инволюцией на графе эти вопросы рассматривались ранее автором в [6], [7]. Исследованием различных задач для уравнений в частных производных занимались Р.Ч. Кулаев [81, 83], В.В. Провоторов [43, 112], В.Л. Пряди-ев [113, 114], М.Б. Зверева, С.А. Шабров [62, 45, 179]. Отметим также работы [44, 49, 164].

Задачу на графе мы рассматриваем как систему (точнее, набор) скалярных уравнений, каждое из которых содержит одну неизвестную функцию, и решения которых связаны краевыми условиями, заложенными в структуре графа. Такая геометрическая интерпретация краевых условий оказывается очень удобной при анализе регулярности по Биркгофу соответствующих спектральных задач (см. [7]). Так, простейшей является система двух дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей графу из двух ребер, одно из которых образует цикл (наличие цикла — необходимое условие для уравнения первого порядка [7]). Оператор дифференцирования с регулярными краевыми условиями на таком графе невозможен, но если на ребре, выходящем из цикла, вместо у' задать 1(у) из (0.1), то краевые условия становятся регулярными (см. [7]). Таким образом, здесь снова существенную роль играет ФДО: являясь обобщением квадратного корня из оператора у'', он улучшает свойства оператора дифференцирования. Минимальность графа позволяет избежать громоздких вычислений, присущих более сложным системам, однако исследование задач на таком графе уже содержит в себе все труд-

ности общего случая и допускает обобщения на более сложные структуры. Такой простейший граф и изучается в работе. Будут исследованы вопросы о базисности по Риссу собственных функций функционально-дифференциального оператора с инволюцией и вопросы сходимости для интегральных операторов.

Другим важным приложением ФДО с инволюцией является изучение новых свойств хорошо известной системы Дирака [90]:

(Т — знак транспонирования), которая первоначально служила лишь вспомогательным инструментом для исследования ФДО (см., например, [6]). Но, если в [6] (см. также [7, 80, 135], и первые две главы настоящей работы) исследование спектральных свойств базируется на преобразовании системы Дирака (так называемой, Ь-диагонализации), на тонких оценках резольвенты соответствующих простейших операторов и интегрировании по замкнутым контурам комплексной плоскости (при этом Q(x) предполагалась дифференцируемой), то для решения рассматриваемых нами далее смешанных задач, этой техники оказывается недостаточно. Потребовалась разработка методов получения асимптотических формул для собственных значений и собственных функций изучаемых ФДО с инволюцией и операторов Дирака. Приведенные в работе приемы позволили не только решить вопрос получения таких асимптотик, но и развить методы исследования системы Дирака в недифференцируемом случае.

Отметим, что системы Дирака очень активно изучаются. Несмотря на то, что это простейшая система всего лишь двух уравнений, она достаточно сложна в исследовании, и вызывает интерес своими приложениями. Спектральным свойствам оператора Дирака в последние годы посвящено много работ. Существенные трудности возникают в случае негладкого потенциала Q(x). Основополагающие результаты здесь получены П.В. Джаковым и Б.С. Митягиным [54, 160] . Ими показано, что

(Ьх)(х) = 1[х](х) = Бх'(х) + Q(x)z(х), х е [0,1],

где Б

т

в случае произвольной матрицы Q(x) с компонентами из L2[0,1] система с.п.ф. оператора Дирака (рассматривались периодические, антипериодические, общие регулярные краевые условия) образует базис Рисса (или базис Рисса со скобками). В частном случае краевых условий такой результат также доказывался И. Трушиным, М. Ямомото в [174]. В работе А.Г. Баскакова, А.В. Дербушева, А.О. Щербакова [4] к изучению базисов Рисса системы Дирака с квадратично суммируемым потенциалом применялся метод подобных операторов. Исследование асимптотик решений и базисов Рисса в случае произвольного суммируемого потенциала проведено А.А. Шкаликовым, А.М. Савчуком, И.В. Садовничей [120, 121, 122, 171], и А.А. Луневым, М.М. Маламудом, Л.Л. Оридороги в [97, 170]. Отметим также работы [119], [151] (обширная библиография приводится в [171]).

В [12, 13] для системы Дирака с недифференцируемым потенциалом предложены отличные от указанных выше работ сравнительно простые приемы исследования, опирающиеся на L-диагонализацию системы, и использование для ее общего решения формул типа операторов преобразования. Эти приемы позволяют получить нужные нам асимптотики для системы Дирака и дать новое компактное доказательство теорем П. Джакова, Б.С. Митягина о базисах Рисса для операторов Дирака в случае условий Дирихле и периодических краевых условий. При этом, для оператора Дирака с периодическими краевыми условиями приходится сталкиваться с дополнительными трудностями из-за близости серий собственных значений. Отметим, что в этом случае привлечение операторов с инволюцией позволило указать потенциал специального симметричного вида, при котором результаты П. Джакова, Б.С. Митягина уточняются (система с.п.ф. дает перестановочный базис, а не базис со скобками) [15, 22].

Наиболее важными приложениями спектральных свойств изучаемых операторов являются существенные продвижения в обосновании метода Фурье для смешанных задач, который, являясь одним из распространенных методов решения краевых задач для уравнений в частных про-

изводных, оказал огромное влияние на формирование многих разделов математики и до сих пор широко используется в прикладных задачах. Он активно разрабатывался крупнейшими учеными, среди которых Д. Бер-нулли, Л. Эйлер, Ж-Б.Ж. Фурье, С.Д. Пуассон, Ж. Лиувилль, О. Коши, А. Пуанкаре, Д. Гильберт, В.А. Стеклов, А.Н. Крылов, И.Г. Петровский.

Традиционно обоснование метода Фурье опирается на доказательство равномерной сходимости ряда, представляющего формальное решение задачи, и рядов, полученных его почленным дифференцированием нужное число раз, что приводит к завышенным требованиям гладкости начальных данных задачи. По мнению В.А. Стеклова, впервые строго обосновавшего метод Фурье, необходимость такого доказательства «вытекает из самой сущности метода Ляме-Фурье (Эйлера-Бернулли), дающего выражение искомой функции в виде бесконечного ряда, просуммировать который или преобразовать к виду, удобному для дифференцирования, не представляется возможным» [124, стр. 224]. В.А. Стеклов считал, что ослабление условий гладкости является трудной проблемой, которую можно устранить лишь в частных случаях [124, с. 205]. Другие затруднения в применении метода Фурье связаны с необходимостью получения уточненных асимптотик собственных функций, наличием кратных собственных значений и присоединенных функций. Такие трудности привели к большому количеству исследований и успешных результатов (см., например, [106, 89, 63]).

Способ исследования гладкости суммы ряда, не прибегая к почленному дифференцированию, был предложен А.Н. Крыловым [79]. Решая конкретные прикладные задачи, он исследовал дифференцируемость рядов с помощью следующего приема: используя асимптотику коэффициентов Фурье, первоначальный ряд представлялся в виде суммы двух рядов, один из которых медленно сходился, но его сумма явно вычислялась, а второй сходился достаточно быстро и допускал почленное дифференцирование. Свой прием А.Н. Крылов применял в конкретных задачах, но предполагал, что «изложенный прием усиления быстроты сходимости рядов Фурье» может быть использован для проверки решений диффе-

ренциальных уравнений [79, стр. 227]. Таким образом, А.Н. Крыловым намечен новый путь в решении проблемы обоснования метода Фурье.

Идеи А.Н. Крылова были использованы В.А. Чернятиным [145] в применении к задачам для волнового уравнения, в том числе неоднородного, для уравнения Шредингера и уравнения теплопроводности. Другие приложения идей А.Н. Крылова по ускорению сходимости рядов Фурье можно найти в [105, 168].

В данной работе рассмотрен ряд новых смешанных задач для уравнения первого порядка с инволютивным отклонением вида:

^ = Т (х)и(х,{)' (0.3)

в которых, реализуя идеи А.Н. Крылова, на основе найденных ранее уточненных асимптотик собственных значений и собственных функций спектральной задачи, получены классические решения при минимальных условиях гладкости начальных данных. Используемая техника обобщается для задачи на геометрическом графе. Далее, в том числе и как приложение исследований для оператора Дирака с негладким потенциалом, изучена смешанная задача для системы уравнений первого порядка с непрерывными потенциалом, трудности которой потребовали снова специальных приемов. Здесь получено как классическое, так и обобщенное решение (под обобщенным решением мы понимаем предел классических решений, полученных при гладких аппроксимациях заданной начальной функции).

Дальнейшему развитию метода Фурье послужили как идеи по ускорению сходимости рядов, так и приемы по исследованию сходимости рядов по с.п.ф. и базисности системы с.п.ф., примененные, например, в [8, 87]. Но теперь использован иной подход, не связанный с асимптотикой собственных функций, а опирающийся на метод Коши-Пуанкаре интегрирования по спектральному параметру резольвенты соответствующего оператора. При таком резольвентном подходе достаточно знать лишь главные части асимптотики для собственных значений, и совсем не используется какая-либо информация о собственных и присоединенных функциях. Другим важным достоинством резольвентного подхода

является возможность применения его в смешанных задачах, у которых соответствующая спектральная задача оказывается несамосопряженной или имеет близкие серии собственных значений.

Реализацию нового резольвентного подхода мы приводим для волнового уравнения, как одного из основных уравнений математической физики, имеющего самую богатую историю. Отметим также, что соответствующее (0.3) простейшее дифференциальное уравнение с д(х) = 0 замечательно тем, что квадрат (в смысле дифференцирования) его дифференциальной части дает уравнение струны (см. [139]). Кроме того, как устанавливается в работе, смешанная задача для волнового уравнения тесно связана с задачами для уравнений с инволюцией в классе разрывных решений. Эта тесная связь объясняет место волнового уравнения среди приложений по исследованию операторов и уравнений с инволюцией.

Резольвентный подход является очень удобным в применении и открывает новые большие возможности при исследовании краевых задач методом Фурье. В этом направлении достигнуто много успехов прежде всего при получении классических решений. Уже в работе [16] (см. также [19]), в которой А.П. Хромов впервые применил резольвентный подход к исследованию смешанной задачи с закрепленными концами, диссертантом рассматривается случай и периодических условий, когда возникают дополнительные трудности из-за возможной кратности собственных значений. Были получены классические решения этих задач при минимальных условиях на начальные данные. А.П. Хромовым и В.В. Корневым рассматривались все типы двухточечных краевых условий [75, 140] (включая случаи, когда спектральная задача может давать присоединенные функции в любом количестве [76]), ими же решалась задача для неоднородного волнового уравнения [77], А.П. Хромовым, А.П. Гуреви-чем, В.П. Курдюмовым рассматривалась задача для волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью [52], автором диссертационной работы исследовалась задача для волнового уравнения на геометрическом графе [18].

Эффективным резольвентный подход оказался на пути дальнейшего ослабления требований на начальную функцию и на потенциал, вплоть до самых предельных случаев. В ряде задач, привлекая глубокие факты из теории функций, включая неравенство Хаусдорфа-Юнга и известную теорему Карлесона-Ханта [157, 163] о сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье произвольной функции из Ьр[0,1] при р > 1, устанавливается сходимость формального решения почти всюду в случае ^(х) е Ьр[0,1} при р > 1 и доказывается, что ряд формального решения является обобщенным решением смешанной задачи. В работе рассматривается случай суммируемого потенциала и двухточечных краевых условий. Другие результаты в этом направлении получены в работах А.П. Хромова, В.В. Корнева, В.П. Курдюмова [144, 143, 142, 52], по сути охватив все модификации задачи для волнового уравнения.

Цель диссертационной работы. Разработка новых методов исследования функционально-дифференциальных операторов с инволюцией V(х) = 1 — х, и связанных с ними операторов Дирака. Получение новых приложений этих операторов в спектральной теории дифференциальных и интегральных операторов на графах и в смешанных задачах для уравнений в частных производных.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций вещественной и комплексной переменной, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа. При исследовании спектральных вопросов применяется как лиувиллевский подход, использующий уточненные асимптотики собственных значений и собственных функций, так и метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты операторов по замкнутым контурам комплексной плоскости. В решении смешанных задач методом Фурье используется прием А.Н. Крылова ускорения сходимости рядов Фурье. Также применяется новый резольвентный подход в методе Фурье, в разработке которого автор данной работы принял прямое участие.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:

1. Новые свойства функционально-дифференциальных операторов и уравнений с инволюцией, характеризующие тесную связь с системой Дирака и уравнением Штурма-Лиувилля: произвольная система Дирака является эквивалентной, а уравнение Штурма-Лиувилля является частным случаем простейшего уравнения с инволюцией V(х) = 1 — х, рассматриваемого в классе разрывных решений. Установлена связь между решениями смешанных задач для волнового уравнения и для уравнений с инволюцией, рассматриваемых в классе разрывных решений.

2. Методы исследования спектральных свойств функционально-дифференциальных операторов с инволюцией и тесно связанных с ними операторов Дирака, основанные на модификации приема Ь-диаго-нализации систем, а в случае системы Дирака с недифференцируе-мым потенциалом — на использовании для ее решения формул типа операторов преобразования. Развитые методы позволили получить уточненные асимптотические формулы для собственных функций исследуемых операторов, а также дать новые, достаточно элементарные доказательства базисности по Риссу системы с.п.ф.

3. Новые приемы, дающие существенные продвижения в методе Фурье и расширяющие границы его применения, позволяющие найти точные границы требований гладкости начальных данных в исследовании смешанных задач. Доказательство существования классических и обобщенных решений ряда смешанных задач для уравнения с инволюцией, систем уравнений в частных производных, волнового уравнения.

4. Для операторов первого порядка на графах базовым является граф из двух ребер с циклом. Доказательство базисности по Риссу (со скобками) системы с.п.ф. для ФДО с инволюцией на таком графе. Построение класса интегральных операторов на графе, для которо-

го справедливы теоремы равносходимости с тригонометрическим рядом.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Установлена тесная связь функционально-дифференциальных операторов и уравнений с инволюцией с системой Дирака и уравнением Штурма-Лиувилля: произвольная система Дирака является эквивалентной, а уравнение Штурма-Лиувилля является частным случаем простейшего уравнения с инволюцией V(х) = 1 — х, рассматриваемого в классе разрывных решений. Установлена связь между решениями смешанных задач для волнового уравнения и для уравнений с инволюцией, рассматриваемых в классе разрывных решений.

2. Предложены новые методы исследования спектральных свойств функционально-дифференциальных и интегральных операторов с инволюцией и тесно связанных с ними операторов Дирака на основе модификации Ь-диагонализации. Получены необходимые в дальнейшем уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций ФДО в случае дифференцируемого потенциала. Доказательство теорем равносходимости для ФДО и интегральных операторов с инволюцией проведено с привлечением полученных аналогов теоремы Штейнгауза из теории тригонометрических рядов.

3. Для оператора Дирака в случае недифференцируемого потенциала использован отличный от существующих простой метод получения асимптотик собственных значений и собственных функций, базирующийся на Ь-диагонализации системы и формулах типа операторов преобразования. Даны новые компактные доказательства базисно-сти по Риссу системы с.п.ф. операторов Дирака в случае условий Дирихле и базисности по Риссу со скобками в случае периодических краевых условий. Для оператора Дирака с периодическими краевыми условиями и потенциалом, обладающим специальной симметри-

ей, с привлечением операторов с инволюцией доказано, что система с.п.ф. образует базис Рисса (без скобок).

4. В исследовании смешанных задач развиты приемы, позволяющие получить классическое решение при минимальных условиях гладкости начальных данных задачи и использующие идеи по ускорению сходимости рядов. Эти приемы основаны как на применении уточненных асимптотических формул для собственных функций, так и на использовании разработанного резольвентного подхода. Найдены точные границы требований гладкости начальных данных:

— для существования классического решения в смешанных задачах для уравнения первого порядка с инволюцией (случай дифференцируемого потенциала) на отрезке и на геометрическом графе;

— для существования классического и обобщенного решений в смешанной задаче для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывным потенциалом (спектральная задача в которой приводит к системе Дирака);

— для существования классического решения в смешанных задачах для волнового уравнения с непрерывным потенциалом на отрезке (в случае периодических краевых условий) и на простейшем геометрическом графе из двух циклов;

— для существования классического и обобщенного решений в смешанной задаче для волнового уравнения с суммируемым потенциалом в случае разнопорядковых двухточечных граничных условий.

5. Введен базовый для операторов первого порядка граф из двух ребер с циклом. Установлена базисность по Риссу (со скобками) системы с.п.ф. для ФДО с инволюцией на таком графе. Построен широкий класс интегральных операторов на графе, для которого доказана теорема равносходимости с тригонометрическим рядом, найдены достаточные условия сходимости в равномерной метрике обобщенных средних Рисса.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов обоснована строгими математическими доказательствами.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бурлуцкая Мария Шаукатовна, 2019 год

Список литературы

[1] Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом / А.А. Андреев // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 5. — С. 1126-1128.

[2] Андреев А.А. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области / А.А. Андреев, И.Н. Саушкин // Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2005. — № 34. — С. 10-16.

[3] Бари Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари — М.: Физматгиз, 1961. — 936 с.

[4] Баскаков А.Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / А.Г. Баскаков, А.В. Дербушев, А.О. Щербаков // Изв. РАН. Серия матем. — 2011. — Т. 75, № 3. — С. 3-28.

[5] Баскаков А.Г. Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов / А.Г. Баскаков, Н.Б. Ускова // Уфимск. матем. журн. — 2018. — Т. 10, № 3, С. 11-34.

[6] Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, А.С. Луконина, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 414, № 4. — С. 1309-1312.

[7] Бурлуцкая М.Ш. Разложение по собственным функциям дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов на геометрических графах: дисс. ...канд.физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.Ш. Бурлуцкая. — Воронеж, 2007. — 146 с.

[8] Бурлуцкая М.Ш. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций одного класса функционально-дифференциальных операторов на графе / М.Ш. Бурлуцкая // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 763-771.

[9] Бурлуцкая М.Ш. Классическое решение для смешанной задачи с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. - 2010. - Т. 435, № 2. - С. 151-154.

[10] Бурлуцкая М.Ш. Теорема Штейнгауза о равносходимости для функционально-дифференциальных операторов / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Матем. заметки. - 2011 - Т. 90, № 1 - С. 22-33.

[11] Бурлуцкая М.Ш. Метод Фурье в смешанной задаче для уравнения первого порядка с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. -

2011. - Т. 51, № 12. - С. 2233-2246.

[12] Бурлуцкая М.Ш. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями / М.Ш. Бурлуцкая, В.В. Корнев, А.П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52, № 9. - С. 1621-1632.

[13] Бурлуцкая М.Ш. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 443, № 4. - С. 414-417.

[14] Бурлуцкая М.Ш. Смешанная задача с инволюцией на графе из двух ребер с циклом /М.Ш. Бурлуцкая // Доклады Академии наук. -

2012. - Т. 447, № 5. - С. 479-482.

[15] Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальные операторы с инволюцией и операторы Дирака с периодическими краевыми условиями / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 454, № 1. - С. 15-17.

[16] Бурлуцкая М.Ш. Резольвентный подход в методе Фурье / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 458, № 2. - С. 138-140.

[17] Бурлуцкая М.Ш. О смешанной задаче для уравнения первого порядка с инволюцией и с периодическими краевыми условиями /

М.Ш. Бурлуцкая // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 1. — С. 3-12.

[18] Бурлуцкая М.Ш. Метод Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения на графе / М.Ш. Бурлуцкая // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 465, № 5. —- С. 519-522.

[19] Бурлуцкая М.Ш. Резольвентный подход для волнового уравнения / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 2. — С. 51-63.

[20] Бурлуцкая М.Ш. Смешанная задача для волнового уравнения с суммируемым потенциалом в случае двухточечных граничных условий разных порядков / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 505-515.

[21] Burlutskaya M. On a resolvent approach in a mixed problem for the wave equation on a graph / M. Burlutskaya // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 72. — P. 37-44.

[22] Бурлуцкая М.Ш. Оператор Дирака с потенциалом специального вида и периодическими краевыми условиями / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 592-601.

[23] Бурлуцкая М.Ш. Классическое и обобщенное решение смешанной задачи для системы уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом /М.Ш. Бурлуцкая // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2019. — Т. 59, № 3. — С. 380-390.

[24] Бурлуцкая М.Ш. Теорема равносходимости для интегрального оператора на простейшем графе с циклом / М.Ш. Бурлуцкая // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2008. — Т. 8, вып. 4. — С. 8-13.

[25] Бурлуцкая М.Ш. Об одной теореме равносходимости на всем отрезке для функционально-дифференциальных операторов / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер.

Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Т. 9, вып. 4. — С. 3-10.

[26] Бурлуцкая М.Ш. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций функционально-дифференциального оператора с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. — 2011. — № 2. — С. 64-72.

[27] Бурлуцкая М.Ш. Теорема Жордана-Дирихле для функционально-дифференциального оператора с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2013. — Т. 13, вып. 3. — С.9-14.

[28] Бурлуцкая М.Ш. Явное решение одной смешанной задачи с инволюцией на графе / М.Ш. Бурлуцкая // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. — 2014. — № 3. — С. 79-88.

[29] Бурлуцкая М.Ш. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом / М.Ш. Бурлуцкая // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2016. — Т. 16, вып. 2. — С. 145-151.

[30] Бурлуцкая М.Ш. О некоторых свойствах дифференциальных уравнений и смешанных задач с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. — 2019. — № 1. — С. 91-100.

[31] Бурлуцкая М.Ш. О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям интегрального оператора на графе из двух ребер с циклом / М.Ш. Бурлуцкая // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). — Воронеж, 2008. — №3. — С.14-31.

[32] Бурлуцкая М.Ш. О равносходимости для интегрального оператора с инволюцией с периодическими краевыми условиями / М.Ш. Бурлуцкая // Актуальные проблемы математики и информатики (труды матем. факультета). — Воронеж, 2009. — № 2. — С. 3-13.

[33] Бурлуцкая М.Ш. О классическом решении одной смешанной задачи с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов // Актуальные проблемы математики и информатики (труды матем. факультета). — Воронеж, 2010. — № 1. — С. 3-9.

[34] Бурлуцкая М.Ш. Об асимптотике решения одного дифференциального уравнения первого порядка с непрерывным потенциалом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории краевых задач: труды Воронежской весен. мат. шк. «Понтрягинские чтения XXI» (сборник статей). — Воронеж, 2010. — С. 3-8.

[35] Бурлуцкая М.Ш. Уточненные асимптотические формулы для собственных функций системы Дирака с недифференцируемым потенциалом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы. 16-й Саратов. зимн. школы. — Саратов: Изд-во ООО «Научная книга», 2012. — С. 33.

[36] Бурлуцкая М.Ш. Асимптотика собственных значений и собственных функций системы Дирака с квадратично суммируемым потенциалом / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы. 16-й Саратов. зимн. школы. — Саратов: Изд-во ООО «Научная книга», 2012. — С. 34.

[37] Бурлуцкая М.Ш. Классическое решение смешанной задачи для уравнения с инволюцией и двухточечными краевыми условиями / М.Ш. Бурлуцкая, С.А. Череднинкова // Вестник Воронеж. гос. унта. Сер.: Физика. Математика. — 2016. — № 3. — С. 71-79.

[38] Бурлуцкая М.Ш. Классическое решение смешанной задачи с инволюцией на графе / М.Ш. Бурлуцкая, И.В. Колесникова, Е.А. Шай-на // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. — 2018. — № 1. — С. 60-68.

[39] Бурлуцкая М.Ш. О смешанной задаче для уравнения с инволюцией с непрерывным потенциалом /М.Ш. Бурлуцкая // Совр. методы теории функций и смежные проблемы: материалы Междунар.

конф.: Воронежская зимняя математическая школа. — Воронеж: Изд. дом ВГУ, 2019. — С. 60-62.

[40] Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов / А.И. Вагабов. — Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского госуниверситета, 1994. — 160 с.

[41] Винер И.Я. Дифференциальные уравнения с инволюциями / И.Я. Винер // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5, № 6. — С. 1131-1137.

[42] Власов В.В. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории / В.В. Власов, Д.А. Медведев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 30. — С. 3-173.

[43] Волкова А.С. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе / А.С. Волкова, Ю.А. Гнилицкая, В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. — 2013. — Т. 51, № 1. — С. 11-15.

[44] Глотов Н.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах: дисс. ...канд.физ.-мат. наук: 01.01.02 / Н.В. Глотов. — Воронеж, 2007. — 93 с.

[45] Головко Н.И. О возможности применения метода Фурье к разнопорядковой математической модели / Н.И. Головко, Ф.В. Голованева, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. — 2017. — № 1. — С. 91-98.

[46] Голубь А.В. Теорема равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с инволюцией, допускающей разрывы / А.В. Голубь, А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2007. — Т. 7, вып. 2. — С. 5-10.

[47] Гомилко А.М. Обратная задача Штурма-Лиувилля на графе в виде восьмерки / А.М. Гомилко, В.Н. Пивоварчик // Укр. мат. журн. -2008. - Т. 60, № 9. - С. 1168-1188.

[48] Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1965. - 448 с.

[49] Грищенко А.В. Об одной асимптотике функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка на геометрическом графе / А.В. Грищенко, В.Л. Прядиев // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика, Математика. - 2006. - №2. -С. 194-197.

[50] Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Изв. высших учебн. заведений. Математика. - 2001. - Т. 471, № 8. - С. 38-50.

[51] Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. - 2001. - Т. 37, № 6. -С. 809-814.

[52] Гуревич А.П. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью / А.П. Гу-ревич, В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. - 2016. - Т. 16, № 1. - С. 13-29.

[53] Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. - М.: Изд-во «Мир», 1962.

[54] Джаков П.В. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Дирака / П.В. Джаков, Б.С. Митягин // Успехи мат. наук. - 2006. - Т. 61, № 4. - С. 77-182.

[55] Диаб А.Т. О кратности собственных значений в задаче Штур-ма-Лиувилля на графах / А.Т. Диаб, Б.К. Калдыбекова, О.М. Пен-кин // Матем. заметки. — 2016. — Т. 99, № 4. — С. 489—501.

[56] Диаб А.Т. Оценка первого собственного значения лапласиана на графе / А.Т. Диаб, П.А. Кулешов, О.М. Пенкин // Матем. заметки.

— 2014. — Т. 96, № 6. — С. 885—895.

[57] Дьяченко М.И. Мера и интеграл / М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов.

— М.: Факториал Пресс, 2002.

[58] Завгородний М.Г. Квадратичные функционалы и невырожденность краевых задач на геометрическом графе / М.Г.Завгородний // Дифференциальные уравнения. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 20.

[59] Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графах / М.Г. Завгородний // Успехи мат. наук. - 1991. — Т. 46, № 6. - С.199-200.

[60] Завгородний М.Г. Сопряженные и самосопряженные краевые задачи на геометрическом графе / М.Г.Завгородний // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 446.

[61] Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М.Г. Завгородний // Доклады Академии наук. — 1994. — Т. 335, № 3. — С.281-283.

[62] Зверева М.Б. Об адаптации метода конечных элементов для решения граничной задачи с дифференциалами Стилтьеса на геометрическом графе / М.Б.Зверева, С.А. Шабров, Е.В. Лылов // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. — 2014. — № 1. — С. 97-105.

[63] Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений / В.А. Ильин // Успехи мат. наук. — 1960. — Т. 15, вып. 2. — С. 97-154.

[64] Ильин В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенно-

го дифференциального оператора / В.А. Ильин // Труды МИАН СССР. - 1976. - Т.112. - С. 148-155.

[65] Ильин В.А. Об условиях базисности системы корневых функций несамосопряженных операторов / В.А. Ильин // Избранные вопросы математики, механики и их приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - С. 223-229.

[66] Ильин В.А. Базисность системы корневых функций несамосопряженных операторов и интегрируемость ассоциированных представлением Лакса нелинейных эволюционных уравнений. I / В.А. Ильин, К.В. Мальков, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25, № 11. - С. 1956-1970.

[67] Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. - 1980.

- Т. 16, № 6. - С. 980-1009.

[68] Карапетянц Н.К. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения / Н.К. Карапетянц, С.Г. Самко. - Ростов-на-Дону: Ростовский госуниверситет, 1988. - 188 с.

[69] Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов / Г.М. Кесельман // Известия вузов. Математика. - 1964. -№ 2.

- С. 82-93.

[70] Крицков Л.В. Спектральные свойства одной нелокальной задачи для диф-ференциального уравнения второго порядка с инволюцией / Л.В. Крицков, А.М. Сарсенби // Дифференциальные уравнения.

- 2015. - Т. 51, № 7. - С. 990-996.

[71] Крицков Л.В. Базисность Рисса системы корневых функций для оператора второго порядка с инволюцией / Л.В. Крицков, А.М. Сарсенби // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53., № 1. - С. 35-48.

[72] Корнев В.В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Матем. сборник. — 2001. — Т. 192, № 10. — С.33-50.

[73] Корнев В.В. Абсолютная сходимость разложений по собственным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Изв. РАН. Сер. мат. — 2005. — Т. 69, № 4. — С. 59-74.

[74] Корнев В.В. Оператор интегрирования с инволюцией в верхнем пределе интегрирования / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 422, № 4. — С. 459-462.

[75] Корнев В.В. Резольвентный подход к методу Фурье в одной смешанной задаче для волнового уравнения / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 4. — С. 621-630.

[76] Корнев В.В. Резольвентный подход в методе Фурье для волнового уравнения в несамосопряженном случае / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 7. — С. 1156-1167.

[77] Корнев В.В. Резольвентный подход к методу Фурье в смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2016. — Т. 16, № 4. — С. 403-413.

[78] Королева О. А. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для интегрального оператора с ядром, имеющим скачки на ломаных линиях / О.А. Королева // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2013.--Т. 13, № 1. — С. 14-23.

[79] Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах / А.Н. Крылов. — ГИТТЛ. Л, 1950. — 368 с.

[80] Кувардина Л.П. О равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора с инволюцией / Л.П. Кувардина, А.П. Хромов // Известия вузов. Математика. -2008. - № 5. - С. 67-76.

[81] Кулаев Р.Ч. Применение конечных интегральных преобразований на графе к решению задач математической физики / Р.Ч. Кулаев // Владикавк. матем. журн. - 2007. - Т. 9, № 4. - С. 15-25.

[82] Кулаев Р.Ч. К вопросу о геометрической кратности собственных значений краевой задачи на графе / Р.Ч. Кулаев // Владикавк. матем. журн. - 2008. - Т. 10, № 3. - С. 23-28.

[83] Кулаев Р.Ч. Теорема существования для параболической смешанной задачи на графе с краевыми условиями, содержащими производные по времени / Р.Ч. Кулаев // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 139-148.

[84] Кулаев Р.Ч. О функции Грина краевой задачи на графе-пучке / Р.Ч. Кулаев // Известия вузов. Математика. - 2013. - № 2. -С. 56-66.

[85] Кулаев Р.Ч. Неосцилляция уравнения четвертого порядка на графе / Р.Ч. Кулаев // Матем. сборник. - 2015. - Т. 206, № 12. -С. 79-118.

[86] Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования / В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Матем. заметки. - 2004. - Т. 76, № 1. - С. 97-110.

[87] Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения / В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 2. - С. 196-204.

[88] Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального оператора перемен-

ной структуры / В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Известия вузов. Математика. — 2010. — № 2. — С. 39-52.

[89] Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О.А. Ладыженская. — М.: Гостехиздат, 1953. — 282 с.

[90] Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

[91] Линьков А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с ин-волютивным отклонением / А.В. Линьков // Вестник СамГУ. — 1999. — Т. 12, № 2. — С. 60-65.

[92] Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук — М.: Наука, 1977. — 448 с.

[93] Ломов И.С. Свойство базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка / И.С. Ломов // Дифференциальные уравнения. — 1991. — Т. 27, № 1. — С. 80-93.

[94] Ломов И.С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная ба-зисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов / И.С. Ломов // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика. — 1992. — № 5. — С. 33-43.

[95] Ломов И.С. Оценки скорости сходимости и равносходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов / И.С. Ломов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2015. — Т. 15, вып. 4. — С. 405-418.

[96] Луконина А.С. О сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием / А.С. Луконина // Математика. Механика: сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 7. — С. 67-70.

[97] Лунев А.А. О базисности Рисса системы корневых векторов для 2 х 2-системы типа Дирака / А.А. Лунев, М.М. Маламуд // Доклады Академии наук. — 2014. — Т. 458, № 3. — С. 1-6.

[98] Макин А.С. О базисности систем корневых функций регулярных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля / А.С. Макин // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 12. - С. 16461656.

[99] Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения /

B.А. Марченко. - Киев: Наукова Думка, 1977. - 340 с.

[100] Михайлов В.П. О базисах Рисса в Ь2[0,1] / В.П. Михайлов // Докл. АН СССР. - 1962. - Т. 144, № 5. - С. 981-984.

[101] Мирзоев К.А. Об асимптотике решений одного класса линейных дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами / К.А. Мирзоев, Н.Н. Конечная // Матем. заметки. - 2016. - Т. 100, № 2. - С. 312-317.

[102] Моисеев Е.И. О базисности собственных функций одной обобщенной газодинамической системы Франкля / Е.И. Моисеев, Н. Абба-си // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 436, № 4. - С. 439-442.

[103] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М. : Наука, 1969. - 528 с.

[104] Найдюк Ф.О. Численное решение задач о колебаниях / Ф.О. Най-дюк, Е.Н. Десятирикова, Д.К. Проскурина // Вестник Воронежского государственного университета. Сер.: Системный анализ и информационные технологии. - 2013. - № 1. - С. 55-60.

[105] Нерсесян А.Б. Ускорение сходимости разложений по собственным функциям / А.Б. Нерсесян // Доклады НАН Армении. - 2007. -Т. 107, № 2. - С. 124-131.

[106] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М: Наука, 1970. - 280 с.

[107] Платонов С.С. Разложение по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов / С.С. Платонов // Тр. Петрозавод. гос. ун-та. Сер. мат. - 2004. - Вып. 11. -

C. 15-35.

[108] Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный [и др.] — М.: Физматлит, 2004. — 272 с.

[109] Провоторов В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке / В.В. Провоторов // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 3. — С. 50-62.

[110] Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде / В.В. Провоторов // Матем. сборник. — 2008. — Т. 199, № 10. — С. 105-126.

[111] Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе / А.С. Волкова,

B.В. Провоторов // Известия вузов. Математика. — 2014. — № 3. —

C. 3-18.

[112] Провоторов В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе / В.В. Провоторов, А.С. Волкова. — Воронеж: Издательство «Научная книга», 2014. — 188 с.

[113] Прядиев В.Л. Один подход к описанию конечной формы решения волнового уравнения на пространственной сети / В.Л. Прядиев // Spectral and Evolution Problems: Proc. of the 15-th Crim. Autumn Math. School-Symposium. Sept. 17-29, 2004, Sevastopol, Laspi. — Simferopol, 2005. — Vol. 15. — С. 132-139.

[114] Прядиев В.Л. Структура решения смешанной задачи для волнового уравнения на компактном геометрическом графе в случае ненулевой начальной скорости / О.В. Коровина, В.Л. Прядиев // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Т. 9, № 3. — С. 37-46.

[115] Прядиев В.Л. Численная схема решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на одномерной пространственной сети при обобщённо-гладких условиях трансмиссии / В.Л. Прядиев // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. — 2008. — Т. 67, № 8/2. — C. 195--202.

[116] Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И.М. Рапопорт. - Киев: Издат. Академии Наук Украинской ССР, 1954. - 287 с.

[117] Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений / М.Л. Расу-лов. - М.: Наука, 1964. - 464 с.

[118] Романова Е.Ю. Спектральный анализ дифференциального оператора с инволюцией / Е.Ю. Романова // Вестн. НГУ. Сер.: Матем., мех., информ. - 2014 - Т. 14, № 4. - С. 64-78.

[119] Романова Е.Ю. Спектральный анализ оператора Дирака в лебеговых пространствах / Е.Ю. Романова // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика. - 2015. - № 2. - С. 142-149.

[120] Савчук А.М. Асимптотические формулы для фундаментальных решений системы Дирака с комплекснозначным суммируемым потенциалом / А.М. Савчук, И.В. Садовничая // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49, № 5. - С. 573-584.

[121] Савчук А. М. Базисность Рисса со скобками для системы Дирака с суммируемым потенциалом / А.М. Савчук, И.В. Садовничая // Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22-29 августа, 2014). Часть 1. - СМФН, 58, РУДН, М. - 2015. -С. 128-152.

[122] Савчук А.М. Базисность Рисса из подпространств для системы Дирака с суммируемым потенциалом / А.М. Савчук, И.В. Садовничая // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 462, № 3. - С. 274.

[123] Садовничая И.В. ^ равносходимость спектральных разложений для системы Дирака с Ьк потенциалом / И.В. Садовничая // Доклады Академии наук. - 2016. - Т. 467, № 6. - С. 641-644.

[124] Стеклов В. А. Основные задачи математической физики / В.А. Стеклов. - М.: Наука, 1983. - 432 с.

[125] Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений / Я.Д. Тамаркин. — Петроград, 1917.

[126] Халова В.А. Конечномерные возмущения интегральных операторов с ядрами, имеющими скачки производных на диагоналях: дисс. ...канд.физ.-мат. наук: 01.01.01 / В.А. Халова. — Саратов, 2006. — 123 с.

[127] Халова В.А. Интегральный оператор с негладкой инволюцией /

B.А. Халова, А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2013 — Т. 13, вып. 1. —

C. 40-45.

[128] Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов: дисс. ...докт.физ.-мат. наук: 01.01.01 / Новосибирск, 1973. — 242 с.

[129] Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов / А.П. Хромов // Матем. заметки. — 1974. — Т. 16, вып. 4. — С. 669-680.

[130] Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов / А.П. Хромов // Матем. сборник. - 1981. - Т. 114(156), № 3. - С. 378-404.

[131] Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях / А.П. Хромов // Матем. заметки. — 1998. — Т. 64, № 6. - С. 932-949.

[132] Хромов А.П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования / А.П. Хромов // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: сборник статей. — М.: Изд-во АФЦ, — 1999. — С. 255-266.

[133] Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов / А.П. Хромов // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2004. — Т. 10. — С. 3-163.

[134] Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования / А.П. Хромов // Инф. бюллетень журнала «Интегральные преобразования и специал. функции». — М., 2006. — Т. 6, № 1. - С. 46-55.

[135] Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломанных линиях / А.П. Хромов // Матем. сборник. — 2006. — Т. 197, № 11. — С. 115-142.

[136] Хромов А.П. Интегральный оператор с периодическими краевыми условиями / А.П. Хромов // Теор1я оператор1в диференщальш р1вняння i теор1я функцш / В1дп. ред.: А.В. Покровський // Зб1р-ник праць 1н-ту математики НАН Украши. — 2009. — Т.6, № 1. — С. 321-329.

[137] Хромов А.П. Смешанная задача для дифференциального уравнения с инволюцией и потенциалом специального вида / А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2010. — Т. 10, вып. 4. — С. 17-22.

[138] Хромов А.П. Асимптотические формулы для собственных значений системы Дирака в недифференцируемом случае / А.П. Хромов // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы. 16-й Сарат. зимн. школы. — Саратов: Изд-во ООО «Научная книга». — 2012. — С. 189-192.

[139] Хромов А.П. Классическое решение методом Фурье смешанных задач при минимальных требованиях на исходные данные / А.П. Хромов, М.Ш. Бурлуцкая // Известия Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2014. — Т. 14, вып. 2. — С. 171-198.

[140] Хромов А.П. Смешанная задача для волнового уравнения с произвольными двухточечными краевыми условиями / А.П. Хромов // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 462, № 2. — С. 148-150.

[141] Хромов А.П. О классическом решении одной смешанной задачи для волнового уравнения / А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2015. — Т. 15, вып 1. — С. 56-66.

[142] Хромов А.П. О сходимости формального решения по методу Фурье волнового уравнения с суммируемым потенциалом // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2016. — Т. 56, № 10. — С. 1795-1809.

[143] Хромов А.П. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения с суммируемым потенциалом / А.П. Хромов, В.В. Корнев // Доклады Академии наук. — 2016. — Т. 468, № 5. — С. 505-507.

[144] Хромов А.П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения / А.П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2016. — Т. 56, № 2. — С. 239-251.

[145] Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных / В.А. Чернятин. — М.: Изд-во МГУ. — 1991. — 112 с.

[146] Шкаликов A.A. О свойстве базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / A.A. Шкаликов // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1.: Матем., мех. — 1982. — № 6. — С. 12-21.

[147] Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях / А.А. Шкаликов // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. — 1983. — Т. 9. — С. 190-229.

[148] Шкаликов А.А. Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром / А.А. Шкаликов // УМН. — 2016. — Т. 71, вып. 5(431). — С. 113—174.

[149] Юрко В.А. Обратная задача для операторов Штурма-Лиувилля на графе-еже / В.А. Юрко // Матем. заметки. — 2011. — Т. 89, № 3.

— С. 459-471.

[150] Юрко В.А. Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространственных сетях / В.А. Юрко // Успехи мат. наук. — 2016. — Т. 71, № 3 (429). — С. 149-196.

[151] Albeverio S. Inverse spectral problems for Dirac operators with summable potentials / S. Albeverio, R. Hryniv, Ya. Mykytyuk // Russian J. Math. Phys. — 2005. — Vol. 12, no. 4. — P. 406-423.

[152] Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. — 1994. — V. 80.

[153] Ashyralyev A. Well-posedness of an elliptic equation with involution / A. Ashyralyev, A. Sarsenbi // Electronic Journal of Differential Equations — 2015 — Vol. 2015, № 284. — P. 1-8. — URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu ftp ejde.math.txstate.edu

[154] Babbage Ch. An essay towards the calculus of functions / Ch. Babbage // Philosophical transactions of the Royal Society of London. — 1816.

— V. 11. — P. 179-226.

[155] Baskakov A.G. Spectral analysis of a differential operator with an involution / A.G. Baskakov, I.A. Krishtal, E.Yu. Romanova // J. Evolut. Equat. — 2017. — V. 17. — P. 669-684.

[156] Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications / T. Carleman // Verhandl. des Internat. Mathem. Kongress. Zurich.

— 1932. — P. 138-151.

[157] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series / L. Carleson // Acta math. — 1966. — V. 116, № 1. — P. 135-157.

[158] Cattaneo C. D'Alambert formula on finite one-dimensional networks / C. Cattaneo, L. Fontana // J. of Math. Anal. and Appl. — 2003. — V. 284, N 2. — P. 403-424.

[159] Dankl Ch.G. Differential-difference operators associated to reflection groups / Ch.G. Dankl // Trans. Amer. Math. Soc. - 1989. - V. 311, № 1. - P. 167-183.

[160] Djakov P. Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators / P. Djakov, B. Mityagin // Math. Nachr. — 2010. — 283:3. — P. 443-462.

[161] Djakov P. 1D Dirac operators with special periodic potentials / P. Djakov, B. Mityagin // arXiv:1007.3234v1, 2010

[162] Dunford N. A survey of the theory of spectral operators / N. Dunford // Bull. Amer. Math. Soc. — 1958 — V. 64, no. 5. — P. 217-274.

[163] Hunt R. On the convergence of Fourier series. Jn Book: Orthogonal expansions and their continuons analogues / R. Hunt — Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale JL. — 1968. — P. 235-255.

[164] Ignatyev M. Yu. Spectral analysis for the Sturm -Liouville operator on sun-type graphs / M.Yu. Ignatyev, G. Freiling // Inverse Problems. — 2011. — Vol. 27, № 9. — 17 p.

[165] Kalman R. E. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory / R.E. Kalman, R. Bucy // ASME J. Basis Eng. — 1961. — Vol. 83. — P. 95-108.

[166] Kritskov L.V. Basicity in Lp of root functions for differential equations with involution / L.V. Kritskov, A.M. Sarsenbi // Electronic Journal of Differential Equations. — 2015. — Vol. 2015, № 273. — P. 1-9.

[167] Kopzhassarova A. Basis properties of eigenfunctions of second-order differential operators with involution / A. Kopzhassarova, A. Sarsenbi // Abstract and Applied Analysis. — 2012. — V. 2012. — p. 576843.

[168] Lanczos C. Discourse of Fourier Series / C. Lanczos. — N.-Y.: Hafner. 1966.

[169] Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer // Lect. Notes Math. - 1980. - V. 787. - P. 219234.

[170] Malamud M.M. On the completeness of root subspaces of boundary value problems for first order systems of ordinary differential equations / M.M. Malamud, L.L. Oridoroga //J. Funct. Anal. - 2012. - № 263.

- C. 1939-1980.

[171] Savchuk A.M. Dirac operator with complex-valued summable potential / A.M. Savchuk, A.A. Shkalikov // Mathematical Notes. - 2014. -V. 96, № 5. - P. 777-810.

[172] Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. - 1926. - Vol.28, № 4. -P. 695-761.

[173] Tojo F. A. F. Existence results for a linear equation with reflection, non-constant coefficient and periodic boundary conditions / F. A. F. Tojo, A. Cabada //J. Math. Anal. Appl. - 2014. - № 412. P. 529-546.

[174] Trooshin I. Riesz basis of root vectors of a nonsymmetric system of first-order ordinary differential operators and application to inverse eigenvalue problems / I. Trooshin, M. Yamamoto // Appl. Anal. -2001. - № 80. - P. 19-51.

[175] Von Below J. Classical solvability of linear parabolic equations on networks / J. von Below //J. Differential Equation. - 1988. - V. 72.

- P. 316-337.

[176] Watkins W.T. Asymptotic properties of differential equations with involutions / W.T. Watkins // Int. J. Math. Math. Sci. - 2008. -V. 44(4). P. 485.

[177] Wiener J. Boundary value problems for differential equations with reflection of the argument / J. Wiener A.R. Aftabizadeh // Internat. J. Math. Math. Sci. - 1985. - V. 8 № 1. - P. 151-163.

[178] Wiener J. Generalized solutions of functional-differential equations / J. Wiener. - World Scientific. - 1993. - 410 p.

[179] Zvereva M. A String Oscillations Simulation with Nonlinear Conditions / M. Zvereva // Mem. Differential Equations Math. Phys. — 2017 — № 72. — P. 141-150.