Аппроксимация дифференциальных включений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Скоморохов, Виктор Викторович

• Скоморохов, Виктор Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скоморохов, Виктор Викторович

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНЕШНИМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения

§ 1.1. Аппроксимация дифференциального включения с внешними возмущениями

§ 1.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями.

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ

С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§2.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений с внешних возмущений

§ 2.2. Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями.

Глава 3. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНУТРЕННИМИ

И ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§3.0. Основные определения и вспомогательные утверждения

§3.1. Аппроксимация дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями

§3.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними возмущениями.

§ 3.3. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений

§ 3.4. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ С ВНУТРЕННИМИ И ВНЕШНИМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§ 4.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений.

§ 4.2. Устойчивость в аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего отображения.

§4.3. Устойчивость в аппроксимации возмущенных периодических и многоточечных краевых задач . 96 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Rn - пространство n-мерных вектор-столбцов с евклидовой нормой | • | и порожденной ею метрикой р( •, •); р(х, у) = \х — у\. comp[Mn] - совокупность всех непустых компактных подмножеств из пространства Мп;

V - замыкание множества V; со V - выпуклая оболочка множества V, coV = coV^ ext V - множество всех крайних точек множества V, ext V = ext V

Множество называется замкнутым шаром пространства Мп с центром в точке и и радиусом г > 0; В [и, 0] = {и}.

Если V С М" и £ > 0, то множество

B[u,r] = {х е кп : р{и,х) < г} называется замкнутой г-окрестностью множества V; V0 = V.

Обозначим через sup IУ

- норму множества F в пространстве Жп.

- расстояние между точкой х и множеством F, p[x,F} = inf р(х,у) h+{FuF2} = sup{p[y,F2\:yeFl}

- полуотклонение по Хаусдорфу между множествами Fi и F2 в пространстве Мп, а

- расстояние по Хаусдорфу между множествами Fl и F2.

Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] —> Мп с нормой ж||с = тах{|х(^)| : £ е [а, &]};

Ьп[а,Ь] - пространство суммируемых по Лебегу функций х : [а, Ь] —» Мп с нормой х\\ь = / п[а, Ь] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —> М" с нормой ж||£> = \х(а)\ + / coF : [а, Ь] —■» сотр[Мп] - отображение, определенное равенством (со^Х*) = где ^ : [а, 6] сотр[Мп]; ext F : [а, 6] —> comp[IRn] - отображение, определенное равенством ext F)(t) = ext (F(i)), где F : [а, 6] comppfT];

Обозначим через S(F( ■)) - множество всех измеримых селекторов (ветвей) отображения F : [а, Ъ] comp[Kn]; 5(F( •)) = {i/( •) <Е Ln[a,b] : y(t) G F(t) при почти всех t e [а, 6]};

F(i, •) - t фиксировано и F : [а, 6] x Rn —» comp[Kn] рассматривается как отображение только второго аргумента;

F( •, х) - х фиксировано и F : [a, b] х 1R" —> comp[Rn] рассматривается как отображение только первого аргумента;

F(-,x(-)) - суперпозиция отображений F : [a,b} x Шп —» comp[Mn] и x : [а, 6] -»■ 3Rn; со F( •, x{ ■)) - суперпозиция отображений со F : [а, Ь] х IRn comp [К71] ((со F) (£, ж) = co(F(i, ж))) и х : [а, 6] ОТ;

Обозначим через K([a,b] xRnx [0, оо)) множество всех функций г/ : [а, Ь] х Шп х [0, сю) —> [0, оо), обладающих следующими свойствами: a) при каждых (х, 6) G IRn х [0, оо) функция г)( •, х, 6) измерима; b) при почти всех t G [а, Ь] и всех 6 Е [0, оо) функция rj(t, •, 6) непрерывна; c) для каждых U G сотр[М™] и 6 G [0, оо) существует такая суммируемая функция ти,б ■ [а,Ь] —> [0, оо), что при почти всех t G [a,b] и всех х G U и т G [0, <5] выполняется неравенство r)(t, х, т) ^ Tnu,ö(t)\ d) при почти всех £ G [а, 6] и каждого xgR" выполняются равенства lim5l~o+o ^ = Х: =

К ([а, Ь] хШп х [0, оо)) - множество всех функций г)( •, •, ■) е K([a,b] х xlnx [0,оо)), обладающих свойством: для каждого U G comp[Mn] и 6 Е [0, оо) найдется такая функция •), определяющая множество

К ([а, Ь] х Шп х [0, оо)), что она представляет собой константу.

Р([а,Ь] х Шп х [0, оо)) - множество всех функций г) : [a,b] х Mn х х [0, оо) —> [0,оо), обладающих всеми свойствами из множества функций К([а,Ь] х Мп х [0, оо)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U G comp[]Rn] и 5 G (О, оо) найдутся такие числа r(U,S) > 0 и ß(U,ö) ^ 0, что при почти всех t G [а, Ь] всех х G U число r(U,6) удовлетворяет неравенству r(U,6) ^ r)(t,x,S), а для числа ß{U,6) при почти всех t € [а, Ь] всех х G U и г G [0,5] имеет место оценка r){t, х, т) ^ ß(U,S).

К ([О, и>] х!"х [0, оо)) - множество всех функций 77 : (—сю, сю) хГ х х [0, сю) —>■ [0, оо), о;-периодических по первому аргументу и на [0,^] обладающих свойствами из класса функций К ([а, Ь] х М.п х [0, сю)).

Р([0, о;] х Жп х [0, оо)) - множество всех функций 77 : (—оо, оо) хГх х [0, оо) —> [0, оо), ^-периодических по первому аргументу и на [0,о;] обладающих свойствами из класса функций Р([а,Ь] х К" х [0, оо)).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация дифференциальных включений»

Теория дифференциальных включений в настоящее время сформировалась как самостоятельный раздел общей теории дифференциальных уравнений.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах прошлого столетия в работах А. Marchaud (Маршо) [102], S. Zaremba (Заремба) [111]. Кроме того интенсивно развивающейся в шестидесятых годах теория оптимального управления и устанавленная А.Ф. Филипповым связь дифференциальных включений и управляемых систем (лемма о неявных функциях) послужило стимулом к всестороннему изучению дифференциальных включений.

В форме дифференциальных включений можно представить довольно широкий класс математических объектов: дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории дифференциальных игр и математической экономики. Дифференциальные включения можно рассматривать и как непосредственное обобщение дифференциальных уравнений на случай, когда правая часть многозначна. Поэтому в теории дифференциальных включений возникают все задачи, присущие дифференциальным уравнениям (теоремы существования решений, вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности и др.). В то же время многозначность правой части дифференциальных включений порождает целый ряд специфических вопросов, такие, как, например, устойчивость "возмущенных" дифференциальных включений, замкнутость, выпуклость семейства решений, выбор решений с заданными свойствами и многие другие.

Отметим, что данными вопросами занимались многие математики: Н.В. Азбелев, Ю.И. Алимов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, A.B. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С. А. Брыкалов, А.И. Булгаков, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ганго,

Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, H.H. Красовский, А.Б. Кур-жанский, A.A. Леваков, JI.H. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимханов, Б.Н. Садовский, А.Б. Самаров, А.Н. Сесекин, А.И. Субботин, С.И. Суслов, A.A. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Фил-липов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Цалюк, H.A. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papar georgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, T. Wazewski, P. Zecca и др.

В диссертации рассматриваются дифференциальные включения где отображение F : [а, b] —comp[IRn] удовлетворяет условиям Каратео-дори.

Будем говорить, что многозначное отображение F : [a,b} xl"x х [0, ос) —> comp[Kn] аппроксимирует отображение F : [а, 6] х IRn —> —» comp[En], если найдется такая функция £( •, •, •) G К(\а, b] х IRn х х [0, ос)), что при почти всех t G [а, 6] и всех (х, ö) Е Шп х [0, оо) выполняется оценка

Отображение F(■, •, •) будем называть аппроксимирующим отображение ■, •) или просто аппроксимирующим. Функция £(•,•,•) £ К([а,Ь\ хГх [0, сю)) в неравенстве (3) определяет степень близости значения F(t,x,5) в точке (£, х) 6 [а, Ь] х Кп к значению х) для каждого фиксированного 8 е [0, оо). Эту функцию •, •, •) x(t) G F(t, x(t)), t G [a, b} x(t) G со Fit, x(t)), te[a,b]

1) (2)

3) будем называть степенью аппроксимации отображения F : [а, 6] х хГ ^ сотр[Мп] отображением Р : [а,Ь] хГх [0, оо) сотр[Мп] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что •, •, •) определяет способ или метод аппроксимации отображения Р(-, •). Пару (.Р( •, •, •),£(•, •, •)) будем называть аппроксимацией отображения F(•, •), а если при почти всех £ 6 [а, Ь] и всех (х,6) <Е Мп х [0, оо) выполняется включение С Р^,х,5), то аппроксимацией вложением.

Рассмотрим также для каждого 5 6 [0, оо) дифференциальные включения

З^х^)^), *е[а,Ь], (4) е te[a,Ъ], (5) где отображение С^г! : [а, Ь] х М." х [0, оо) —сотр[Кп] задано равенством

ЭГ1(г,х,б) = Р(г,х,б)г'№\ (6) а отображение : [а,Ь] х!п х [0,оо) —> сотр[Мп] определено равенствами

Р0(Ьх,6) = Р^В^МЬ^б^б), (7) дТ)оГ}(г,х,б) = (Ро(^х,5))^'6К

Будем считать, что функции •, •, •), т)( •, •, •) е К ([а, Ь] х Мп х х [0, оо)) задают соответственно радиус внутренних и внешних возмущений аппроксимирующего отображения Р( •, •, •). Дифференциальное включение (4) будем называть аппроксимирующие дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями, а дифференциальное включение (5) аппроксимирующие дифференциальное включение (1) с внутренними и внешними возмущениями.

В настоящей диссертации рассмотрены условия, при которых множества решений включений (4) и (5) сходятся к множеству решений задачи (1) для любых возмущений.

Под решением включения (1) или (2) понимается абсолютно непрерывная функция х : [а, b] —» Мп при почти всех t G [а, 6] удовлетворяющая включению (1) или (2). Каждое решение дифференциального включения (4) или (5) при фиксированном ö > 0 называется ^-решением дифференциального включения (1) и определяется аналогично.

Понятие приближенного решения (^-решения) дифференциального включения введено А.Ф. Филипповым (см. [81, с.60]). Это определение имеет важное значение для изучения дифференциальных включений с выпуклозначной и полунепрерывной сверху правой частью, поскольку пределы сходящихся последовательностей приближенных решений являются решениями (см. [81, с.60]). Отличие от сформулированного здесь и приближенного решения по А.Ф. Филиппову заключается в том, что значения многозначных отображений, определяющие "приближенные дифференциальные включения", не "овыпукляются". Как оказалось, такое определение приближенного решения полезно для исследования аппроксимаций дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

Задачи, связанные с методами аппроксимации дифференциальных включений возникают в различных приложениях, например, когда значения многозначного отображения F : [а, b] х Шп —» comp[Mn] или значения аппроксимирующего отображения F : [а, 5] xlnx [0, оо) —> comp[Mn] известны с некоторой степенью точности (погрешностью), которая определяется функциями £( -,-,•) и ?](•,•,•) из множества К ([а, b] х Mn х х [0, оо)), соответственно. В то же время значения решения х : [а, Ь] —> Шп дифференциального включения могут быть известны с некоторой степенью точности, которая определяется r]o(t,x,S). Причем эти погрешности неравномерны относительно фазовой переменной х G Мп. В связи с этим изучение дифференциальных включений (4) и (5) приобретает особую актуальность и представляет не только теоретический, но и практический интерес.

В работах [4], [5], [72], [80], [81], [84], [106], [107] для задачи Коши показано, что если отображение F( ■, • ) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу или расстояние по Хаусдорфу между значениями многозначного отображения оцениваются функцией Камке, то замыкание в пространстве непрерывных функций множества решений включения (1) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). В общем случае такого равенства может и не быть. Подтверждением этому служит пример А. Плиса (A. Plis) [108], [80]. Данная работа посвящена исследованию структуры множества решений "овыпукленного" включения в общем случае. В ней доказывается, что, если внешние возмущения г)( -,-,•) G К ([a, b\ х Шп х [0, оо)) сравнимы со степенью аппроксимации £(-,-,■) G K(\a,b] х IRn х [0, оо)) отображения F( •, • ), то пересечение замыканий в пространстве непрерывных функций множеств приближенных решений (^-решений) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). Отметим, что результаты первой и третьей главы расширяют границы представления множества решений "овыпукленного" дифференциального включения и представляют собой усиление и уточнение результатов А.И. Булгакова, Л.И. Ткача [20], [21], [22], [23], [26], [27], Н. Hermes [98], [99] и продолжают исследования, опубликованные в работах [24], [28], [29].

На упомянутые выше утверждения опирается изучение проблемы устойчивости множеств решений дифференциального включения (не обладающего свойством выпуклости правой части) к различного рода возмущениям, изложенное в главах 2 и 4. При этом устойчивость множеств решений понимается в естественном смысле, т. е. "небольшие" изменения как самого заранее заданного множества V С Сп[а, Ь], которому принадлежат решения дифференциального включения, так и правой части включения должны "мало" изменять множество решений. Такие задачи представляют особый интерес, поскольку в отличии от дифференциальных уравнений для дифференциальных включений даже незначительные погрешности, вызванные вычислениями значений правой части включения (1), могут существенно изменить множество решений дифференциального включения, определенного даже на конечном отрезке.

В работе получены необходимые и достаточные условия, когда аппроксимация дифференциального включения является устойчивой относительно внутренних и внешних возмущений, т.е. когда "небольшие" изменения (в смысле расстояния по Хаусдорфу) правой части включения приводят к "небольшому" изменению множества решений.

Этим условием является плотность множества решений дифференциального включения (1) с невыпуклой правой частью во множестве решений "овыпукленного" включения (2) (см. ниже).

Вышеописанные результаты далее применяются для исследования аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач. Полученные утверждения дополняют результаты работ А.Е. Ирисова, Е.Л. Тонкова [38], G. Colombo [89].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава посвящена изучению аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями. В параграфе 1.0 приводятся некоторые общие сведения из теории многозначных отображений и теории дифференциальных включений, а также вводятся понятия аппроксимирующего отображения, степени аппроксимации отображения F : [a, b} —comp[Rn] (см. выше) и модуля непрерывности отображения F : [а,Ь] —»• comp[Mn], радиуса непрерывности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скоморохов, Виктор Викторович, 2003 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Барбашин Е.А. Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. ВУЗов. Сер. матем., 1962, №1. С. 3-13.

3. Влагодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений // Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P. 26-67.

4. Влагодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

5. Влагодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194-252.

6. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховскии В.В. Многозначные отображения // Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 127-231.

7. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховскии В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103 с.

8. Булгаков А.И. К вопросу о свойствах множеств решений дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №6. С. 971-977.

9. Булгаков А.И. О существовании обобщенного решения функционально-интегрального включения // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №3. С. 514-520.

10. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №5. С. 876-884.

11. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами : Дис. . канд. физ.-матем. наук. Горький, 1979.

12. Булгаков А.И. Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №8. С.1362-1374.

13. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №10. С. 16591670.

14. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, №10. С. 1659-1668.

15. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространствах суммируемых функций // Матем. сб., 1988. Т. 136, №2. С. 292-300.

16. Булгаков А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений //Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №10. С.1678-1690.

17. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №11. С. 1872-1878.

18. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальныевключения // Матем. сб., 1990. Т. 181, №11. С. 1427-1442.

19. Булгаков А. И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб., 1992. Т. 183, №10. С. 63-86.

20. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств ¿-решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып.З. С. 294-298.

21. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб., 1998. Т. 189, №6. С. 3-32.

22. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Асимптотическое представление множеств приближенных решений дифференциальных включений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т. 3. Вып.4. С. 394-400.

23. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. ВУЗов. Мат., 1999. №3. С. 3-16.

24. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств 5-решений дифференциального включения // Матем. заметки, 1999. Т. 65, №5. С. 775-778.

25. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып.4. С. 461-469.

26. Булгаков А.П., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, №12. С. 1587-1598.

27. Булгаков А.П., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. О необходимых и достаточных условиях устойчивости дифференциальных включений // Материалы симпозиума "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Воронеж, 2000. С. 38.

28. Данфор Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

29. Демидович Б. П. Лекции по теории математической устойчивости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 480 с.

30. Завалищин С. Т. Об одном способе оптимального синтеза при неизвестных возмущениях // Труды ин-та матем. и механ. Уральск, науч. центр АН СССР, 1979. Вып.32. С. 45-70.

31. Завалищин С. Т. Устойчивость обобщенных процессов. I, II // Дифферент уравнения. 1966. Т. 2, №7. С.872-881; 1967. Т.З, №. С.171-179.

32. Завалищин С. Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №6. С.1138-1140.

33. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

34. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С. 32-38.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.Н. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

36. Клейменов А.Ф. Задачи конфликтного управления. ПММ, 1975, 39. №2.

37. Клейменов А.Ф. Равновесные коалиционные контрстратегии в дифференциальных играх многих лиц. ПММ, 1982, 46. №5.

38. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

40. Красовский А.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 520 с.

41. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

42. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

43. Куратовский К. Топология. Т. 2. М.: Мир, 1969.

44. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, №10. С.1800-1809.

45. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

46. Куржанский А.Б., Филиппова Т. Ф. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: The evolution equation // Ann. Ynst. H.Poincare, 1989. V.6. Suppl. P.339-363.

47. Люстерник JI.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

48. Натансон И.Т. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

49. Никольский М.С. Одно замечание к лемме Филиппова // Вестн. МГУ. Вычисл. мат. и кибернет., 1982, №2. С.76-78.

50. Никольский М. С. Дифференциальные включения в вариациях для дифференциального уравнения с негладкой правой частью // Докл. по мат. и ее прил. Изд-во МИАН СССР, ТулПИ, 1988. Т. 2, №2. С.197-207.

51. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

52. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №8. С.1427-1433.

53. Плотников В.А., Зверкова Т. С. Метод усреднения для систем стандартного вида с разрывными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, №6. С.1091-1093.

54. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. Периодические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед.ин-т им. Герцена, 1970. Т. 464. С. 235-242.

55. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1972. Т. 541. С. 145-154.

56. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

57. Понтрягин Л.С. , Болтнянский В.Г., Гамирелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимального управления. М.: Наука, 1961.

58. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

59. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.

60. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решенияпервой краевой задачи для управляемого параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №9. С. 1587-1595.

61. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР, 1989. Т. 305, №5. С. 1056-1059.

62. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1992. 112 с.

63. Сумин В.И., Чернов A.B. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. №10. С. 1402-1411.

64. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат., №11. Новосибирск, 1989. С. 14.

65. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип II. Бесконечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат., №12. Новосибирск, 1989. С. 18.

66. Толстоногое A.A., Финогенко И.А. О функционально-дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью // ДАН СССР, 1980. Т. 254, №1. С. 45-49.

67. Толстоногое A.A., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. №6. С. 144-159.

68. Толстоногое A.A., Финогенко И.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве // Матем. сб., 1984. Т. 125, №2. С. 199-230.

69. Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

70. Тонкова B.C., Тонкое E.JI. Некоторые свойства усредненных решений системы регулирования с разрывной нелинейностью // Дифферент уравнения. 1973. Т. 9, №2. С. 278-289.

71. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1959. №2. С. 25-32.

72. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сб. 1960. Т. 51. №1. С.99-128.

73. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью // ДАН СССР. 1963. Т. 151. №1. С.65-68.

74. Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 1971. Т. 10. №3. С. 307313.

75. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. №3. С. 16-26.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

77. Цалюк В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №2. С.258-263.

78. Цалюк В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями // Матем. физика. Республ. межвед. сборн. Киев, 1980. Вып.28. С. 34-40.

79. Чугунов П. И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые сиситемы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ, Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С. 155-179.

80. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.

81. Antosiewicz H.A., Cellina A. Continuous selections and differential relations // J. Different. Equations. 1975. V.19. №2. P.386-398.

82. Antosiewicz H.A., Cellina A. Continuous extensions of multifunctions // Ann. polon. math. 1977. V.34. №. P.108-111.

83. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems // Boll. Unione Math. Italiana, suppl., 1980. V.l. P.53-59.

84. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuous differential inclusions // Ref. S.I.S.S.A, 85 M (June 1990), 13 p.

85. Davy J.L. Properties of the solution set of a generalised differential equation // Bull. Austral. Math. Soc., 1972. T.6, №. C.379-398.

86. De Blasi F.S., Piangiani G. A Baire category approach to the existence of solutions of multivalued differential inclusions in Banach Spaces // Funkcial. Ekvac. 1982. V.25. №2. P.153-162.

87. De Blasi F.S., Piangiani G. Differential inclusions in Banach Spaces // J.Differential Equations. 1987. V.66. P.208-229.

88. De Blasi F.S., Piangiani G. Non-convex valued differential in Banach Spaces // J. Math. Anal. Appl. 1991. V.157. P.469-494.

89. De Blasi P.S., Piangiani G. On the density of extremal solutions of differential inclusions // Ann. Polon. Math. 1992. V.56. №2. P.133-142.

90. Frankowska H., Olech Cr. Boundary solutions of differential inclusion // J. Differ. Equat., 1982. V.44, №2. P.156-165.

91. Fryszkowski A. Existence of solutions of functional-differential inclusion in nonconvex case // Ann. pol. math., 1985. V.45, №2. P.121-124.

92. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of nonconvex multivalued maps // Studia math., 1983. V.76, №2. P.163-174.

93. Hermes H. The generalized differential equation x € R(t, x) // Advances Math., 1970, V.4, №2, P.149-169.

94. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1971. V.29, №3. P.535-542.

95. Kikuchi N. Control problem of contingent equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., ser. A, 1967. V.3, №1. C.85-99.

96. Lasota A., Opial Z. An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1965, V.13, №11-12, P.781-786.

97. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs intégrales // Comp. Math., 1936, V.3, №1, P.89-127.

98. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bang-bang" principle // Mathematical theory of control. N.Y.: Acad press, 1967. P.35-45.

99. Opial Z. Sur l'équation différentielle ordinaire du premier ordre dont le second membre satisfait aux conditions de Caratheodory // Annales polon. math., 1960. V.8, №1. C.23-28.

100. Papargeorgiou N.S. Functional-differential inclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side // Funkcial. Ekvac., 1989. V.32. P.145-156.

101. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations // J. Different. Equations, 1977. V.25, №. P.30-38.

102. Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1963. V.ll, №6. P.369-370.

103. Plis A. On trajectories of orientor fields // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., 1965. V.13, №8. P.571-573.

104. Turowicz A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d'une system de commande nonlineaire // Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys., 1963, V.ll, №6. P.367-368.

105. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1962, V.10, №. P.ll-15.

106. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent // Bull. Sci. Math., 2 ser., 1936. V. 60. №. P. 139-160.