Возмущенные включения и функционально-дифференциальные включения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Григоренко, Анна Александровна

• Григоренко, Анна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григоренко, Анна Александровна

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1.Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

§1.3. Свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств

Глава 2. Возмущение компактнозначного отображения многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами

§2.1. Возмущение линейной краевой задачи для функционально дифференциальных уравнений.

§2.2. Существование и оценки близости решений возмущенного включения к наперед заданным функциям

§2.3. Квазирешения и принцип плотности

§2.4. "Бэнг - бэнг" принцип

§2.5. Возмущенное включение с внешними возмущениями

Глава 3. Применение теории возмущенных включений к дифференциальным включениям.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возмущенные включения и функционально-дифференциальные включения»

В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного"включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [3], [17], [48], [21], [49]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [67], S. Zaremba (Заремба) [74] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторов-ский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Кра-совский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, JI.H. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимха-нов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, С.И. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногое, Е.Л. Тон-ков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филлипов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Ца-люк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi,

M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и др.)

В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Изучению подобных включений посвящена вторая глава предлагаемой диссертации. Такие включения здесь называются возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какутани[§1.2;32], принцип сжимающих отображений [§1.2;18]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Основы теории возмущений заложены в работах [20], [21], [22], [23], в которых для случая, когда "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы, рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [22] оценок доказан принцип плотности и "бэнг -бэнг" принцип. Доказательство этих свойств в [22] основывалось на теореме Майкла [§1.2;23], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле "минимальной" непрерывной ветви у "хорошего" многозначного отображения с выпуклыми образами. Здесь не предполагается, что "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла [§1.2;23] для исследования такого возмущенного включения невозможно. Исследования в этом случае здесь осуществляется на основе теоремы 2.2.1, доказанной в § 2.2 главы 2.

Третья глава диссертации посвящена приложению полученных результатов главы 2 к исследованию краевых задач для функционально -дифференциальных включений.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григоренко, Анна Александровна, 2003 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука,1991. 280с.

2. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений //Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P.29-67.

3. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

4. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194252.

5. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103с.

6. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений //Матем. сб. 1992. Т.183. N 10. С.63-86.

7. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенное включение с нелинейным оператором //Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001, №5. С. 31-33.

8. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Об одной оценки решения возмущенного включения //"Понтрягинские чтения -11"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 26.

9. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Бэнг бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 427-429.

10. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением //Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика 2000, №1. С. 33-40.

11. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. К теории возмущенных включений //"Понтрягинские чтения 13"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2002. С. 27-28.

12. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Квазилинейные краевые задачи функционально дифференциальных включений //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2003. С. 44,45.

13. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2003, Т.8. Вып.З С. 351-352

14. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 1999.Т4, вып. 4. С.461-470.

15. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1587-1598.

16. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем. сб. 2002. Т. 193, №2. С.35-52.

17. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 5 -решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

18. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. N6. С.3-32.

19. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Мат. 1999. N3. С.3-16.

20. Григоренко А.А. О реализации расстояний от точки до образа решений многозначного отображения возмущенных включений // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.31-33.

21. Григоренко А.А. О замыкании множества решений возмущенного включения //Симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 73.

22. Григоренко А.А. Существование экстремальных решений возмущенного включения //"Понтрягинские чтения 11" на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 43.

23. Григоренко А.А. Квазирешения крайних точек возмущенного включения //Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тезисы докладов. Воронеж, 2000. С. 83.

24. Григоренко А.А. Об одной оценки решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 436-437.

25. Григоренко А.А. О существовании периодических экстремальных решений дифференциальных включений //Державинские чтения -5. Материалы научн. конфер. преподавателей и аспирантов. Тамбов, 2000. С.25.

26. Григоренко А.А. Возмущение замкнутозначного оператора вызванное многозначным отображением типа Гаммерштейна //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, 1999. С. 45.

27. Григоренко А.А. О непрерывности многозначного оператора с выпуклыми по переключению значениями и порождающего его отображения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 2003.Т8, вып. 1. С.158.

28. Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Вольтерровость сопряженного оператора //Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, 2001. С.99.

29. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896с.

30. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (СМБ). М.: Наука, 1968. 448с.

31. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

32. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752с.

34. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496с.

35. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 450с.

36. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

37. Куратовский К. Топология. T.l. М.: Мир. 1966.

38. Куратовский К. Топология. Т.2. М.: Мир. 1969.

39. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520с.

40. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480с.

41. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512с.

42. Панасенко Е.А. О свойстве сечений измеримого многозначного отображения // Вестн. Тамб. ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.111.

43. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О переодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1972. Т.541. С.145-154.

44. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

45. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

46. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

47. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N11. Новосибирск, 1989. С.14.

48. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип И. Бесконечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N12. Новосибирск, 1989. С.18.

49. Толстоногое А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296с.

50. Толстоногов А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. N6. С.144-159.

51. Толстоногов А.А., Финогенко И.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве //Матем. сб. 1984. Т.125,№ 2.С. 199-230.

52. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. N3. С. 16-26.

53. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224с.

54. Функциональный анализ. (СМБ). / Под общ. ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1972. 544с.

55. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы //Прикл. математика и пакеты прикл. программ, Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С.155-179.

56. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360с.

57. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems //Boll. Unione Math. Italiana, suppl.,1980. V.l. P.53-59.

58. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuons differential inclusions // Ref. S.I.S.S.A, 85 M (Iune 1990), 13 c.

59. Hermes H. The generalized differential equation x E R(t, x) // Advances Math., 1970, V.4, N2, P.149-169.

60. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations //Proc. Amer. Math. Soc., 1971. V.29, N3. P.535-542.

61. Lasota A., Opial Z. An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1965 V.13, N11-12 P.781-786.

62. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs integrales // Сотр. Math., 1936, V.3, N1, P.89-127.

63. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bang-bang" principle //Mathematical theory of coutrol. N.Y.: Acad press, 1967. P.35-45.

64. Papargeorgiou N.S. Functional-differential unclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side //Funkcial. Ekvac., 1989. V.32. P.145-156.

65. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations //J.Different. Equations, 1977. V.25, N1. P.30-38.

66. Plis A. On trajectories of orientor fields //Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. math., 1965. V.13., N8. P.571-573.

67. Plis A. Traejectories and quasitrajectories of an orientor field //Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. math. Astron. Phys. 1963. V. 11. N6. P. 369-370.

68. Wazewski T. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent //Bull. Acad. Pol. Sci. ser. Sei. Math. Astron. Phys. 1962. V.10, N1. P. 11-15.

69. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent //Bull. Sci. Math., 2 ser., 1936. V.60, N5, P.139-160.