Обобщенные решения возмущенных включений с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений и функционально-дифференциальные включения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Беляева, Ольга Петровна

• Беляева, Ольга Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беляева, Ольга Петровна

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

Глава 2. Обобщенное решение возмущенного включения

§2.1. Выпуклая по переключению оболочка множества в пространстве суммируемых функций и "овыпукленное" по переключению отображение.

§2.2. Обобщенное решение возмущенного включения

§2.3. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее

§2.4. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, состоящим только из нулевого элемента

Глава 3. Краевые задачи для обобщенных решений функционально-дифференциальных включений.

§3.1. Квазилинейная краевая задача функциональнодифференциального включения.

§3.2. Существование обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений

§3.3. Обобщенные квазирешения и "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные решения возмущенных включений с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений и функционально-дифференциальные включения»

В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не'обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного" включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [17], [18], [19], [30], [41], [64], [70], [78]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [75], S. Zaremba (Заремба) [82] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.А. Григоренко, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, JI.H. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обу-ховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Ра-гимханов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, С.И. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филиппов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Чепцов, П.И. Чугунов, З.Б. Цалюк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi,

M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и многие другие). В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые или замкнутые выпуклые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Такие включения здесь называются возмущенными. Термин "возмущенные включения" связан с тем, что "плохое" многозначное отображение оказывает существенное влияние на топологические свойства значений этого отображения, порожденного правой частью этого включения. Дело в том, что замкнутые образы, не говоря уже о выпуклости значений, такого оператора нельзя получить ни при каких малых значениях "плохого" многозначного отображения. В связи с этим, все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какута-ни [42], принцип сжимающих отображений [40]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Основы теории возмущений заложены в работах [24]-[28], [33]-[36], где "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые или просто замкнутые образы, а "плохое" многозначное отображение является композицией линейного непрерывного интегрального оператора и многозначного отображения, имеющего выпуклые по переключению образы. Для этого случая рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [27], [35], [36] оценок доказан принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Если предположить, что в "плохом" операторе многозначное отображение не имеет выпуклые по переключению значения, то как показывают простые примеры (см. замечание (2.3.16)), нарушается равенство между множеством квазирешений возмущенного включения и множеством решений "овыпукленного" возмущенного включения. Дело в том, что в рассматриваемом случае замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) значений многозначного отображения не совпадает с его замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствии чего, не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не обладающего свойством выпуклости по переключению образов. Это обстоятельство еще раз подтверждает высказанное профессором В.М. Тихомировым утверждение о том, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений, математическом моделировании и т.д.

В диссертации утверждается, что выход из данной ситуации можно найти с помощью введения понятия обобщенного решения, которое определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций. Это обобщенное решение наследует многие свойства классического решения возмущенного включения. И, кроме того, если многозначное отображение в произведении регулярно, т.е. имеет выпуклые по переключению значения, то обобщенное решение совпадает с классическим.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беляева, Ольга Петровна, 2005 год

1. Азбелев Н.В., Ли Муи Су, Рагимхаиов Р.К. К вопросу об определении понятия решений интегрального уравнения с разрывным оператором. //ДАН СССР, 1966. Т.171, № 2.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280с.

3. Азбелев Н.В., Рагимханов Р.К., Фадеева Л.Н. Интегральные уравнения с разрывным оператором // Дифференц. уравнения, 1969. Т 5, № 5. с.862-873.

4. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А. К теории возмущенных включений и о ее приложениях.//Матем. сб. 2005. Т.196. № 10. С.21-78.

5. Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначршм отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Удмуртского университета 2005. № 1. С.3-20.

6. Беляева О.П., Булгаков А.И., Мачина А.Н. Обобщенные и классические решения функционально-дифференциального включения.//"Понтрягинские чтения 16м. Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач".Воронеж. 2005. С.31-33.

7. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А.,Пучков Н.П., Скоморохов В.В. О некоторых задачах возмущенных включений и их приложениях к дифференциальным включениям. Часть 1. //Вестник ТГТУ 2004. Т.10. № 4. С.712 730.

8. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А.,Пучков Н.П., Скоморохов В.В. О некоторых задачах возмущенных включений и их приложениях к дифференциальным включениям. Часть 2. //Вестник ТГТУ 2004. Т.10. № 4А. С. 1053 1073.

9. Беляева О.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А. Обобщенное решение возмущенного включения. //An International Conference Extremal problem and approximation. Dedicated to the 70th birthday of V. M. Tikhomirov. December 2004. MSU. Moskow. P.29-30.

10. Беляева О.П., Булгаков А.И., Коробко А.И. Аппроксимация возмущенного включения вложением в среднем.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004, Т.9. Вып.2 С. 259-263.

11. Беляева О.П., Булгаков А.И. Априорные оценки решений и нелокальная разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений с разрывным оператором.//Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2004, Т.5. Вып. 1 С. 102-103.

12. Беляева О.П., Булгаков А.И. Обобщенное решение задачи Коши функционально-дифференциального включения.//Вестн. Тамб. унта. Сер. Естеств. и техн. науки. 1995. Т. Вып. С.23-25.

13. Беляева О.П., Булгаков А.И. Краевые задачи функционально-дифференциальных включений.//"Понтрягинские чтения 6". Воронеж. 1995. С.15.

14. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений //Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P.29-67.

15. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

16. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАП СССР, 1985. Т.169. С.194-252.

17. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103с.

18. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений //Матем. сб. 1992. Т.183. N 10. С.63-86.

19. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространстве суммируемых функций //Матем.сб.1988.Т.136. № 2. С.292-300.

20. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Квазирешения возмущенных включений с нелинейным оператором //"Понтрягинские чтения 12"на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 2001. С.39.

21. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Бэнг бэнг принцип для возмущенного включения с компактнозначным отображением //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2000, Т.5. Вып. 4 С. 427-429.

22. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением //Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика 2000, №1. С. 33-40.

23. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2003, Т.8. Вып.З С. 351-352

24. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений //Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 1999.Т4, вып. 4. С.461-470.

25. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1587-1598.

26. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором // Дифференц. уравнения, 1979. Т.15, № 5. с.876-884.

27. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем. сб. 2002. Т.193, №2. С.35-52.

28. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 5 -решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

29. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. N6. С.3-32.

30. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Мат. 1999. N3. С.3-16.

31. Григоренко А.А. О непрерывности многозначного оператора с выпуклыми по переключению значениями и порождающего его отображения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. науки. 2003.Т8, вып. 1. С.158.

32. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896с.

33. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (СМБ). М.: Наука, 1968. 448с.

34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

35. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752с.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496с.

38. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 450с.

39. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

40. Куратовский К. Топология. Т.1. М.: Мир. 1966.

41. Куратовский К. Топология. Т.2. М.: Мир. 1969.

42. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520с.

43. Ляпин Л.Н., Муромцев Е.Л. Гарантированная оптимальная программа управления на множестве состояний функционирования //Автоматика и телемеханика. 1993. Т. 24, № 3. С.85-93.

44. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480с.

45. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512с.

46. Панасенко Е.А. О свойстве сечений измеримого многозначного отображения // Вестн. Тамб. ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 2002. Т.7. Вып.1. С.111.J