Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Филиппова, Ольга Викторовна

• Филиппова, Ольга Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Филиппова, Ольга Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с

импульсными воздействиями

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 30 § 1.1. Основные свойства обобщенных решений импульсного функционально-дифференциального включения с отображением, не обладающим свойством выпуклости

по переключению значений

§ 1.2. Априорная ограниченность и оценки обобщенных

решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с отображением, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений,

и с импульсными воздействиями

§1.3. Обобщенные квазирешения и принцип плотности для обобщенных решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями 78 Глава 2. Управляемая импульсная система, зависящая от параметров, с фазовыми ограничениями

по управлению и запаздыванием

§2.1. Основные свойства допустимых пар управляемой

импульсной системы, зависящей от параметра, с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием 86 § 2.2. Оценки фазовых траекторий управляемой импульсной системы с параметром, фазовыми ограничениями

по управлению и запаздыванием

§ 2.3. Непрерывная зависимость фазовых траекторий задачи Коши для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием

от параметров и начальных условий

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

К71 - п-мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |; сотр[Мп] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства Мп;

X - нормированное пространство с нормой || • ||х;

- открытый шар пространства X с центром в точке х Е X и радиусом е > 0;

рх[х',и] - расстояние от точки х £ X до множества II в пространстве X; К^и^Щ = вир рх[х,и] - полуотклонение по Хаусдорфу множества [Д С

С X от множества и в пространстве X;

Ь>х[и1,11) = та5 ^1]} ~ расстояние по Хаусдорфу между множествами II\ и и в пространстве X;

сотр[Х] - множество всех непустых компактов пространства X; 2х -множество всех непустых ограниченных подмножеств пространства X; Сп[а, 6] - пространство непрерывных функций х : [а, Ъ] —> Еп с нормой ||а;||с,г = тах{|ж(£)| : £ € [а, 6]};

Т)п[а,Ь] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —>• Мп

ь

с нормой ||ж||в>,ч = + /|£(з)| ¿в]

а

¡л - мера Лебега; Ы С [а, Ъ] - измеримое множество р(Ы) > 0; Ьп(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы —У Кп с нормой ЦжЦ^п^) =

и

- пространство суммируемых функций х : Ы —> Мп с р-ой степенью и нормой = ^/¡¡ф)!^^ ;

Sw(Ln[a, 6]) - множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а, 6];

С2(Ц1[а, Ь}) - множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ьп[а, Ь];

6])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а, Ь]; Г2((5(Ьп[а, 6])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых подмножеств пространства Ьп[а, Ь]\

Ь] (1Д[а, &]) - конус неотрицательных функций пространства

С1 [а, Ь] (Г^М);

¿А; £ [а, 6] (а < ¿1 <

делы справа в точках к = 1, 2,..., га, с нормой ||#Исп[аь] = 8иР{12:(01 : I е [а, 6]};

С+[а, 6] - множество неотрицательных функций пространства С [а, Ъ];

ТЬ

С [а, т] - пространство функций х : [а, т] —>• Мп, являющихся сужениями на отрезок [а, г] (г (Е (а, Ь]) элементов из С [а, 6] с нормой ||£||с'г[ат] = - вирЦжО)! : Ь Е [а, г]};

I

вшФ - совокупность всех элементов вида у = ^ ГДе £

г=1

I - любое натуральное число, а произвольные измеримые множества

г = 1,1, осуществляют разбиение отрезка [а, 6], т. е. Ы{ = 0 при г I

и и ^ = [а> Щ > х(") ~ характеристическая функция;

-¿=1

¿шУФ - замыкание множества й-шФ в пространстве Ьп[а, &].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями»

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные включения - один из наиболее интенсивно развивающихся в настоящее время разделов теории дифференциальных уравнений. Возникнув первоначально, как естественное обобщение обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальные включения проникли в различные разделы науки благодаря своим многочисленным приложениям. В форме дифференциальных включений можно представить дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории управления, дифференциальных игр, математической экономики.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах прошлого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [94], S. Zaremba (Заремба) [102]. Интенсивно развивающаяся теория оптимального управления и установленная А.Ф. Филипповым связь дифференциальных включений и управляемых систем (лемма о неявной функции) послужили толчком к всестороннему изучению дифференциальных включений.

Важный вклад в развитие дифференциальных и интегральных включений внесли работы Н.В. Азбелева, М.А. Айзермана, A.B. Арутюнова, Ю.И. Алимова, А.Г. Баскакова, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянского, Ю.Г. Борисовича, A.B. Богатырева, А.И. Булгакова, Е.А. Ганго, Р.В. Гамкрелидзе, Б.Д. Гельмана, А.Г. Иванова, А.Д. Иоффе, А.Е. Ири-сова, М.И. Каменского, А.Ф. Клейменова, Б.Г. Колмановского, H.H. Кра-совского, A.B. Кряжимского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Ледяева, JI.H. Ля-пина, В.П. Максимова, М.С. Никольского, В.П. Носова, В.В. Обуховско-го, Ю.С. Осипова, В.А. Плотникова, А.И. Поволоцкого, Е.С. Половинки-на, Е.А. Панасенко, Л.С. Понтрягина, Е.С. Пятницкого, Л.И. Родиной, Д.Б. Силина, С.Н. Слугина, А.И. Субботина, М.И. Сумина, В.И. Сумина, С.И. Суслова, В.М. Тихомирова, Л.И. Ткача, A.A. Толстоногова, Е.Л. Тон-кова, А.Ф. Филиппова, Т.В. Филипповой, И.А. Финогенко, В.З. Цалюка, А.Г. Ченцова, П.И. Чугунова, H.A. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, F.S. De Blasi, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, A. Lasota, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou. G. Pianigiani, A. Plis, A. Ponossov, A. Turowicz, A. Wazewski, P. Zecca и др.. Различные задачи для дифференциальных и интегральных включений продолжают интересовать многих математиков как в России, так и за

рубежом (см., например, [3], [35], [93], [52], [82], [83], [92], [95]).

Дифференциальные включения можно рассматривать как обобщение дифференциального уравнения х = f(t,x) на случай, когда правая часть многозначна. В связи с этим, для дифференциального включения

xeF(t,x), (1°),

где •) - многозначная функция, возникают задачи, подобные задачам теории дифференциальных уравнений. В то же время многозначность правой части дифференциальных включений порождает целый ряд специфических вопросов, такие, как, например, замкнутость, выпуклость семейства решений, принцип плотности, "бэнг-бэнг"принцип, выбор решений с заданными свойствами (например, почти реализации (или реализации) расстояния до произвольной суммируемой функции).

Исследования, посвященные дифференциальному включению (1°). можно разбить на два класса: включение (1°) с многозначной функцией F(-,-), имеющей выпуклые значения, и включение (1°) с многозначной функцией F(-, •), не обладающей свойством выпуклости. Методы исследований этих классов дифференциальных включений и свойства их решений различны. Это связано с тем, что в первом случае многозначный оператор Немыцкого N : Сп[а, 6] Ln[a, b], определенный равенством

N(x) = {у е Lп[а, 6] : y{t) £ F(t, x(t)) при почти всех t G [а, &]},

обладает свойством ослабленной замкнутости (т. е. если последовательности Xi € С п[а, 6], yi (Е N(xi),(i = 1,2,...) сходятся Хг —> х в Сп[а, Ь] по норме, yi —У у слабо в Ln[a, b] при г —> оо, то у G N(x)). Из выпуклости значений функции и свойства ослабленной замкнутости

оператора N следует, что значения произведения AN (здесь оператор

t

Л : Ln[a, b] —У Сп[а,Ь] определен равенством (Лz)(t) = xq + f z(s)ds)

a

являются выпуклыми множествами, а сам оператор AN имеет замкнутый график. В связи с этими обстоятельствами доказательства теорем о разрешимости, продолжаемости решений, замкнутости множества решений проводятся по тем же схемам, что и для дифференциального уравнения. Таким образом, если значения функции F выпуклы, то основные свойства решений и методы доказательства этих свойств остаются такими же.

как и для решений дифференциальных уравнений. Если же отказаться от требования выпуклости значений функции F, то оператор Немыцкого N не будет ослаблено замкнутым и значения композиции AN уже не будут выпуклыми замкнутыми множествами. В этом случае известные методы неподвижных точек (теорема Какутани, принцип сжимающих отображений для многозначных отображений) оказываются неприменимыми к изучению включения (1°).

Впервые вопрос о разрешимости дифференциальных включений с невыпуклой правой частью был решен А.Ф. Филипповым [69]. В 1975 году H.A. Antosiewicz и А. Cellina (см. [79], [80]) предложили оригинальную методику изучения включения (1°). Они доказали, что у непрерывного (в метрике Хаусдорфа) невыпуклозначного оператора Немыцкого найдется непрерывная однозначная ветвь g : Сп[а, 6] —> Lп[а, 6] (см. также работу A. Bressan, G. Colombo [85]). Таким образом, вопрос о разрешимости, например, задачи Коши, для включения (1°) сводится к вопросу о разрешимости задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения

х = д(х): х(а) = xq (x(t) G lRn). (2°)

Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: непрерывная ветвь g : Сп[а: b] —> Lп[а: Ь] многозначного оператора Немыцкого, определенная на множестве непрерывных функций, может и не быть оператором Немыцкого. Таким образом, уравнение х = д{х) может и не быть обыкновенным дифференциальным уравнением: это, вообще говоря, функционально-дифференциальное уравнение. Именно поэтому для получения утверждений о разрешимости включения (1°) на основе разрешимости задачи (2°) следует обратиться к соответствующим разделам теории функционально-дифференциальных уравнений (см. [1]-[3]). Такое обращение оказывается необходимым при исследовании краевых задач (см. [11],

[17])-

Изучение дифференциального включения (1°) с помощью методики Антосиевича-Челлины свелось к изучению функционально-дифференциального уравнения (2°). Многозначный оператор Немыцкого N : Сn[a,b] —> Ln[a, 6], порожденный многозначной функцией F (правой частью включения (I0)), можно заменить общим оператором Ф : Сп[а,Ь] —> Q(Ln[a, b]), определенным на множестве непрерывных функций, со значе-

ниями, которые, вообще говоря, могут быть и невыпуклыми множествами в пространстве суммируемых функций. Поэтому естественно рассматривать задачу Коши для функционально-дифференциального включения вида

х = Ф(ж), х(а) = х0 (х0 е Еп). (3°)

Изучение включения (3°) наталкивается на принципиальные трудности. Простые примеры показывают, что условий непрерывности или полунепрерывности снизу, слабой компактности и замкнутости образов многозначного отображения Ф : Сп[а, 6] —> <3(ЬП[а, Ь]), порождающего функционально-дифференциальное включение (3°), недостаточно. Для построения содержательной теории этого включения, охватывающей классическую теорию включения (1°) с невыпуклозначной функцией Е, требуется дополнительное предположение о структуре многозначного отображения Ф . Таким предположением является выпуклость по переключению значений многозначного оператора Ф (определение см. ниже). Это еще раз подтверждает высказанное профессором В. М. Тихомировым предложение о том, что выпуклость по переключению (разложимость) является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве.

Выпуклость по переключению значений многозначных отображений неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений и т. д.. Если отказаться от требования выпуклости по переключению, то известные методы исследований многозначных отображений нельзя применить даже для изучения вопроса разрешимости включения. Кроме того, в этом случае нарушится равенство между множествами квазирешений исходного включения и "овыпукленно-го" включения, впервые установленное Т. Важевским для обыкновенных дифференциальных включений [101]. Это связано с тем, что замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) невыпуклых по переключению значений многозначного отображения не совпадает с их замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствие чего не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг"принцип (см., например, [15], [16], [18], [59], [60], [93], [96]). Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не об-

ладающего свойством выпуклости по переключению образов. Выходом из данной ситуации, как доказано в диссертации, служит введение понятия выпуклой по переключению оболочки правой части включения.

Отметим далее, что полуотклонения выпуклых замкнутых оболочек компактных подмножеств банахова пространства не превосходят полуотклонений самих множеств. Это свойство широко используется при исследовании овыпукленного многозначного отображения в банаховом пространстве. Для исследования овыпукленного по переключению многозначного отображения это свойство нельзя применить, поскольку в пространстве суммируемых функций выпуклая оболочка заданного множества и его выпуклая по переключению оболочка это два разных понятия. Кроме того, подмножества пространства суммируемых функций, как правило, являются некомпактными даже в случае компактности множеств их значений. В связи с этими обстоятельствами А.И. Булгаковым был разработан метод равномерных оценок полуотклонений относительно сужений подмножеств пространства суммируемых функций на измеримые подмножества области определения функций. Этот метод позволил не только описать топологические свойства овыпукленного по переключению отображения, но и получить оценки расстояния между множеством обобщенных решений включения (3°) и наперед заданной функцией.

Основные положения теории функционально-дифференциальных включений разработаны А.И. Булгаковым, В.В. Васильевым, Б.Д. Гельманом, A.A. Григоренко, А.Г. Ивановым, М.И. Каменским, H.H. Красов-ским, A.B. Кряжимским, А.Б. Куржанским, В.П. Максимовым, В.В. Обу-ховским, Е.А. Панасенко, Л.И. Родиной, В.М. Тихомировым, A.A. Толсто-ноговым, E.JI. Тонковым, И.А. Финогенко, В.З. Цалюком, А.Г. Ченцовым. П.И. Чугуновым, А. Ponossov, Р. Zecca и др..

В работах [9], [10], [20]-[25], [59], [62]-[64] для функционально-дифференциальных включений исследованы вопросы разрешимости, получены оценки решений, аналогичные оценкам А. Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений.

Вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, представление множеств приближенных решений функционально-дифференциального включения рассмотрены в ра-

ботах [6], [52], [62], [63]. В работах [28], [29], [93] рассмотрены возмущенные функционально-дифференциальные включения с внешними и внутренними возмущениями. Доказано, что "небольшими" внутренними и внешними возмущениями нельзя пренебрегать, поскольку они могут существенно изменить множество решений возмущенного включения.

В [9], [18], [19] введено и исследовано понятие квазирешения, показана связь множества решений функционально-дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, с множеством решений "овыпукленного" включения (принцип плотности).

В последние годы интенсивно изучаются функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями (см., например, [20]-[25], [81]-[83], [92]). В случае, когда физические законы выражаются разрывными функциями (разрывная зависимость силы трения от скорости в случае сухого трения [33], модель Прагера - Ишлинского упруго-пластического элемента [36]) или, когда в связи с отказом тех или иных приборов и устройств объекты мгновенно перескакивают с одной фазовой траектории на другую, в качестве математической модели можно использовать функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. К таким включениям сводятся многие классы дифференциальных включений (обыкновенные дифференциальные, функционально-дифференциальные, дифференциальные включения с запаздыванием и т.д.).

Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями нашли приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах биологии, медицины, социологии, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается. Таким образом, изучение функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями представляет не только теоретический интерес, но и важное практическое значение.

Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями были исследованы в монографиях Е.А. Барбашина, С.Т. Завалищина-А.Н. Се-секина, В.М. Матросова, А.Д. Мышкиса-А.М Самойленко, А.М Са-мойленко-Н.А. Перестюка, В.В. Обуховского-М.И. Каменского-Р. Zecca, Е.С. Пятницкого, А.Ф. Филиппова, А. Халанай-Д. Векслера. В работах

[2]. [39], [56], [72], [76] рассматривались уравнения со скачками в заданные моменты времени, или при выходе решения на заданные поверхности. Величины скачков решений или заданы заранее, или зависят от значения решения в точке, в которой происходит скачок. Рассматривались вопросы о существовании и единственности решений, продолжаемости решений, непрерывной зависимости решений от параметров [38], [48], [55].

В [37] известная формула Коши, выражающая решение линейного неоднородного уравнения через его правую часть и реакцию однородного уравнения на импульсное воздействие, обобщается на линейные уравнения общего вида с обобщенными функциями. Дается общее интегро-дифференциальное представление решений таких уравнений.

В работе [90] для уравнения Каратеодори ослабляется требование непрерывности правой части по х. В работах [47], [71] проводится обзор различных определений решения и их сравнение. Обзор истории вопроса о понятии решения разрывной системы дается в работе М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого (см. [4]).

В диссертации исследуется задача Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями в наиболее сложной для исследования ситуации, когда многозначное отображение не обладает свойством выпуклости по переключению значений. Предполагается, что в фиксированные моменты времени решения могут испытывать разрывы первого рода, величина которых определяется значением решения в этих точках. Правая часть рассматриваемого функционально-дифференциального включения представляет собой вольтерровое по А.Н. Тихонову многозначное отображение, не обладающее свойством выпуклости по переключению значений. Для применения к этой задаче общих методов исследования эволюционных систем вводится банахово пространство кусочно-непрерывных вектор-функций и исследуются свойства многозначных отображений, определенных на этом пространстве. В работе получены условия локальной разрешимости, доказаны теоремы о продолжаемости решений задачи Коши. В диссертации предложено понятие априорной ограниченности множества всех решений задачи Коши и доказано, что если множество решений априорно ограничено, то все решения продолжаемы на весь отрезок [а, Ь], и в пространстве кусочно непрерывных функций существует выпуклый компакт, содержащий в себе множество всех реше-

ний задачи Коши. Выведены условия априорной ограниченности множеств решений задачи Коши. Введено понятие почти реализации и реализации расстояния до произвольной суммируемой функции. Доказано, что если множество всех локальных обобщенных решений рассматриваемой задачи априорно ограничено, то множество обобщенных решений почти реализует расстояние до произвольной суммируемой функции. Если же правая часть рассматриваемого включения выпуклозначна то множество обобщенных решений реализует расстояние до произвольной суммируемой функции. С помощью свойства почти реализации найдены способы оценок нормы разности обобщенного решения задачи Коши функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями и наперед заданной кусочно-непрерывной функции. Доказан обобщенный принцип плотности для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, правая часть которого не обладает свойством выпуклости по переключению значений.

Полученные в диссертации результаты исследования импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой правой частью позволили распространить многие классические результаты на управляемые дифференциальные уравнения с фазовым ограничением по управлению, импульсными воздействиями и запаздыванием. Доказано, что если в какой-то точке параметра управляемая импульсная системы, зависящая от параметров, с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием априорно ограничена, то она будет априорно ограничена и в некоторой окрестности этой точки. Получены оценки допустимых траекторий управляемой импульсной системы, с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием. Установлена непрерывная зависимость фазовых траекторий задачи Коши для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием от параметров и начальных условий.

Сформулируем основные утверждения, доказанные в диссертации. В работе рассматривается задача Коши для функционально-дифференциальных включений не обладающих свойством выпуклости по переключению (разложимостью) значений следующего вида

х € Ф(ж), (1)

Ах(Ь) = 1к(х(гк)), ¿ = 1,2,...,т, (2)

х(а) = ж0, (3)

71

где отображение Ф : С [а, Ь] —> С}(1>п[а,Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а,Ь] образ Ф(II) ограничен суммируемой функцией и найдется такое непрерывное и симметричное отображение Р : С [а, Ь] х С [а, Ъ] —» 1Д[а, Ь], что для любых х,у Е Е С [а, 6] и любого измеримого множества С [а, 6] выполняется оценка

^[ФМ.ФЫКИ^.ЙИь^г/); (4)

отображения 1к : Мп —Мп непрерывны, = х^к + 0) — ж(^),

/с = 1, 2,..., т.

По заданному многозначному отображению Ф : Сп[а, 6] —>• —> (^(^[атЬ]) определим оператор Ф : С п[а,Ь] —>> Б-ЦЬ^а, Ь}) равенством Ф(ж) = ТмиФ(ж), где ТГш(') - выпуклая по переключению замкнутая оболочка множества. Отображение Ф : Сп[а, Ь] —у 8ду(1/п[а, &]) будем называть овыпукленным по переключению отображением.

Для задачи (1) — (3) в §1.1 вводится понятие обобщенного решения и изучаются его свойства. Под обобщенным решением задачи (1) —(3) понимается функция х Е Сп[а:Ь]: для которой существует такое q Е Ф(ж), что при всех £ Е [а, Ь] имеет место представление

1 т

х(г) = х0+ / д(з)(18 + 1^21к{х(1к))х(ьк,ъ}^)- (5)

а к=1

Функцию q Е Ф(ж), удовлетворяющую уравнению (5) будем называть производной обобщенного решения х : [а, Ь] —> Мп .

Данное определение отличается от определения обобщенного решения, введенного А.Ф. Филипповым для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Предложенное здесь обобщенное решение удовлетворяет свойствам локальной разрешимости и продолжаемости, сформулированным А.Ф. Филипповым для обобщенных решений дифференциального уравнения (см. [67]). В то же время, это обобщенное решение не удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к обобщенным решениям дифференциальных уравнений с разрывной правой частью

в смысле монографии [67]). Так, например, предел обобщенных (в терминологии данной работы) решений может не быть обобщенным решением. Это связано с тем, что многозначное отображение, порожденное правой частью включения, не обладает свойством замкнутости в слабой топологии пространства суммируемых функций, поскольку оно может быть невы-пуклозначно. При этом, если Ф(ж) является выпуклым по переключению, то 1япФ(х) = Ф(ж), и тогда обобщенное решение совпадает с "классическим".

Будем говорить (см. [61]), что оператор Ф волътерров по А.Н. Тихонову (или волътерров), если из условия х\Т = у|т, г Е (а, Ь), следует равенство (Ф(ж))|т = (Ф(у))|г, где г\т— сужение функции г £ Сп[а,Ь] на отрезок [а, г], а (Ф(г))|т— множество сужений функций из множества Ф(г) на отрезок [а, т].

Далее предположим, что оператор Ф : Сп[а, Ь] —> (^(Ьп[а, Ъ]) (правая часть включения (1)) вольтерров. Из этого условия вытекает, что овыпук-ленный по переключению оператор Ф также вольтерров.

Пусть т Е (а, 6]. Определим непрерывное отображение

тг р„г т , пг ( и/л / есЛИ te[a,т]\

Ут : С [а,т\ —» С [а,о\ равенством = < ;

I х(т), если £ Е (г, Ь\.

Будем говорить, что функция х € Сп[а,т] является обобщенным решением задачи (1) —(3) на отрезке [а, т], т Е (а, 6], если существует такое д Е (Ф(Т/г(ж)))|г, что функция х : [а, г] —>• Мп представима в виде

г

х(г) = х0 + J q(s)ds + Ь^кШ^ф)- (6)

а к-Лке[а,т]

Далее, будем говорить, что функция ж : [а, с) —>■ Мп является обобщенным решением задачи (1) —(3) на [а, с), если для любого т Е (а, с) сужение х\т Е Сп[а, т], и найдется такая функция д : [а, с) —» Мп, что для любого т Е [а, с) Е (Ф(Уг(ж)))|г, и для любого £ Е [а, с) имеет место равенство (6), где Е [а, с).

Обобщенное решение ж : [а, с) —>• Мп задачи (1) —(3) будем называть непродолжаемым, если не существует такого обобщенного решения у задачи (1) —(3) на [а, т], (здесь г Е (с, 6], если с < Ь и т = Ь, если с — Ь). что для любого t Е [а, с) выполнено равенство = Обобщенное

решение задачи (1) —(3) на [а, Ь] считается непродолжаемым.

Отметим, что при определенных выше предположениях относительно отображений обобщенное решение функционально-дифференциального включения с вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором и импульсными воздействиями обладает свойствами локальной разрешимости и продолжаемости. В диссертации доказаны следующие утверждения

Теорема 1.1.1. Найдется такое т Е (а, 6], что обобщенное решение задачи (1) —(3) существует на отрезке [а, г].

Терема 1.1.2. Для того, чтобы обобщенное решение

х : [а, с) —> Мп задачи (1) — (3) было продолжаемым на некоторый

отрезок [а, г], т £ (с, 6], если с < Ь, и на отрезок [а, Ь], если с — Ъ,

необходимо и достаточно, чтобы lim < оо.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Филиппова, Ольга Викторовна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений/ Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. - М.: Наука, 1991. - 280 с.

2. Азбелев Н. В. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. - М.: Высшая школа. - 1987.

3. Азбелев Н.В. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, П.М. Симонов// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2009. - № 1. - С. 3-23

4. Айзермаи М.А. Основы теории разрывных систем. I, II / М.А. Ай-зерман, Е.С. Пятницкий// Автоматика и теле-мех. - 1974. - N2 7. -С. 33-47; № 8. - С. 39-61.

5. Арутюнов A.B. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной / A.B. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский// Дифференциальные уравнения. - 2011. -Т. 47. - № 11. - С. 1523-1537.

6. Влагодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. / В.И. Влагодатских. - М.: Изд-во МГУ, 1979.

7. Влагодатских В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В.И. Влагодатских, А.Ф. Филиппов// Тр. МИАН СССР. - 1985. - Т. 169. - С. 194-252.

8. Влагодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория) / В.И. Влагодатских. - М.: Высш. шк., 2001. - 239 с.

9. Борисович Б.Г. Ведение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Б.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. - КомКнига, 2005. - 216 с.

10. Булгаков А.И. О существовании обобщенного решения функционально-интегрального включения / А.И. Булгаков// Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15. - № 3. - С. 514-520.

11. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с воль-терровыми операторами : дис. ... канд. физ.-матем. наук / Булгаков Александр Иванович. - Горький. - 1979.

12. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения / А.И. Булгаков// Дифференциальные уравнения. - 1986. -Т. 22. - № 10. - С. 1659-1670.

13. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы / А.И. Булгаков// Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 10. - С. 1659-1668.

14. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространствах суммируемых функций / А.И. Булгаков// Математический сборник. -1988. - Т. 136. ~ № 2. - С. 292-300.

15. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью / А.И. Булгаков// Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26. - № 11. - С. 1872-1878.

16. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I, II, III / А.И. Булгаков// Дифференциальные уравнения. - 1992. -Т. 28. - № 3. - С. 371-379;

17. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений / А.И. Булгаков// Математический сборник. - 1992. - Т. 183. - № 10. -С. 63-86.

18. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений / А.И. Булгаков, О.П. Беляева, А.Н. Мачи-на// Вестник Удмуртского университетата. Математика, механика. -2005. - № 1. - С. 3-20.

19. Булгаков А.И. О принципе плотности для функционально-дифференциального включения нейтрального типа / А.И. Булгаков, В.В. Васильев, A.A. Ефремов// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2001. - Т. 6. Вып. 3. -С. 308-315.

20. Булгаков А.И. Некоторые вопросы функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, А.И. Коробко, O.B. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2007. - Т. 12. -Вып. 4. - С. 414-418.

21. Булгаков А.И. К теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями/ А.И. Булгаков, А.И. Коробко, O.B. Филиппова// Вестник Удмуртского университета. Математика. - Ижевск. - 2008. - Вып. 2. - С. 23-26.

22. Булгаков А.И. Априорная ограниченность решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями /

A.И. Булгаков, А.И. Коробко, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов.

- 2008. - Т. 13. - Вып. 1. - С. 24-27.

23. Булгаков А.И. К теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, А.И. Коробко, О.В. Филиппова// Вестник Удмуртского университета. Математика.

- Ижевск. - 2008. - Вып. 2. - С. 23-26.

24. Булгаков А.И. Полунепрерывная снизу зависимость от параметров множеств решений функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2009. - Т. 14. - Вып. 4. -С. 671-673.

25. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1 - 6 / А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. -- 2009. - Т. 14. -Вып. 6. - С. 1256-1302.

26. Булгаков А.И. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами / А.И. Булгаков.

B.П. Максимов// Дифференциальные уравнения. - 1981. - Т. 17. -№ 8. - С. 1362-1374.

27. Булгаков А.И. Дифференциальные включения с импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, Д.Н. Протасов, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки.

- Тамбов. - 2007. - Т. 12. - Вып. 1. - С. 54-56.

28. Булгаков А.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами / А.И. Булгаков, Л.И. Ткач// Известия ВУЗов. Математика. - 1999. -№ 3. - С. 3-16.

29. Булгаков А.И. Возмущенные включения с компактнозначным отображением / А.И. Булгаков, A.A. Григоренко, Е.С. Жуковский// Вестник Удмуртского университета. - 2000. - № 1. - С. 40.

30. Булгаков А.И. Принцип плотности - фундаментальное свойство возмущенных включений / А.И. Булгаков, A.A. Григоренко, Е.С. Жуковский// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2003. - Т. 8. - № 3. - С. 351-352.

31. Булгаков А.И. О продолжаемости обобщенных решений функционально-дифференциальных включений с вольтерровым оператором и

импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, О.В. Филиппова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2009. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 676-680.

32. Гельман Б. Д. О новых результатах в теории многозначных отображений.II. Анализ и приложения / Б.Д. Гельман, В.В. Обуховский// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. -1991. -Т. 29. - С. 107-159.

33. Железцов H.A. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с "комбинированным" трением / H.A. Железцов// ПММ. - 1949. - Т. 13. - № 1. - С. 3-40.

34. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра / Е.С. Жуковский// Математический сборник. -2006. - Т. 197. - № 10. - С. 33-56

35. Жуковский Е.С. О неподвижных точках многозначных отображений метрических пространств и дифференциальных включениях / Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - Ижевск. - 2013. -№ 2. - С. 12-26.

36. Забрейко П.П. Осциллятор на упруго-пластическом элементе / П.П. Забрейко, М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц// ДАН СССР. -1970. - Т. 190. - № 2. - С.'266-268.

37. Завалищин С. Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях / С.Т. Завалищин// Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9. - № 6. - С. 1138-1140.

38. Завалищин С. Т. Об одном способе оптимального синтеза при неизвестных возмущениях / С.Т. Завалищин// Труды института математики и механики. Уральский научый центр АН СССР. - 1979. -Вып. 32. - С. 45-70.

39. Завалищин С. Т. Импульсные процессы. Модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. - М.: Наука, 1991. -225 с.

40. Иоффе АД. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. - М.: Наука, 1974. - 480 с.

41. Канторович Л.В. Функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г.Н. Акилов. - М.: Наука, 1984. - 752 с.

42. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 572 с.

43. Красовский А.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата / А.Н. Красовский. - М.: Наука. 1985. - 520 с.

44. Кряжимский А.В О динамической регуляризации при случайных помехах / A.B. Кряжимский, Ю.С. Осипов// Дифференциальные уравнения и топология. II. Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН. - 2010. -С. 134-147.

45. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием / A.B. Куржанский// Дифференциальные уравнения. - 1970. -Т. 6. - № 10. - С. 1800-1809.

46. Курцвейль Я. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра / Я. Курцвейль, 3. Ворель// Чехословацкий математический журнал. - 1957. - Вып. 7. - № 4. - С. 568-583.

47. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I, II / В.М. Матросов// Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3. - № 3. - С. 395-409.

48. Мышкис А.Д. Системы с толчками в заданные моменты времени / А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко// Математический сборник. - 1967. -Т. 74. - № 2. - С. 202-208.

49. Никольский М. С. Одно замечание к лемме Филиппова / М.С. Никольский// Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. -1982. - № 2. - С. 76-78.

50. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений / Е.С. Поло-винкин. - М.: МФТИ, 1982.

51. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимального управления / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтнянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1961.

52. Пучков Н.П. О некоторых задачах функционально-дифференциальных включений / Н.П. Пучков, А.И. Булгаков, A.A. Григорен-ко, А.И. Коробко, Е.В. Корчагина, А.Н. Мачина, О.В. Филиппова. И.В. Шлыкова// Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2008. - Т. 14. - № 4. - С. 947-974.

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973.

54. Садовничий В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий М.: Высш. шк, 1999. - 368 с.

55. Самойленко A.M. Об устойчивости решений системы с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, H.A. Перестюк// Дифференциальные уравнения. - 1981. - Т. 17. - № 11. - С. 1995-2001.

56. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями / A.M. Самойленко, H.A. Перестюк. - К.: Вища шк., 1987.

57. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления с распределенными системами. Часть I /

B.И. Сумин. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1992. - 112 с.

58. Сумин В.И. Операторы в пространствах измеримых функций: воль-терровость и квазинильпотентность / В.И. Сумин, A.B. Чернов// Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34. - № 10. - С. 1402-1411.

59. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай / С.И. Суслов// Препр. АН СССР СО Ин-т мат. - Новосибирск. -1989. И. -С. 14.

60. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип II. Бесконечномерный случай / С.И. Суслов// Препр. АН СССР СО Ин-т мат. - Новосибирск. - 1989. 12. - С. 18.

61. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики /А.Н. Тихонов // Бюллетень Московского университета. Секция А. - 1938. - Т. 1. -№ 8. - С. 1-25.

62. Толстоногое A.A. О функционально-дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью /A.A. Толстоногое, И.А. Финогенко// ДАН СССР. - 1980. - Т. 254. - № 1.-

C. 45-49.

63. Толстоногое A.A. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве / A.A. Толстоногов, П.И. Чугунов// Сибирский математический журнал. - 1983. - Т. 24. - № 6. - С. 144-159.

64. Толстоногов A.A. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве / A.A. Толстоногов, И.А. Финогенко// Математический сборник. - 1984. - Т. 125. - № 2. - С. 199-230.

65. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / A.A. Толстоногов. - Новосибирск: Наука, 1986. - 296 с.

66. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А.Ф. Филиппов// Вестник МГУ. Серия: Математика, механика. - 1959. - № 2. - С. 25-32.

67. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов// Математический сборник. - 1960. - Т. 51. -№ 1. - С. 99-128.

68. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью / А.Ф. Филиппов// ДАН СССР. - 1963. - Т. 151. - № 1. -С. -65-68.

69. Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений / А.Ф. Филиппов// Математические заметки. -1971. - Т. 10. - № 3. - С. 307-313.

70. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью /А.Ф. Филиппов// Вестник МГУ. Серия: Математика, механика. - 1967. - № 3. - С. 16-26.

71. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях / А.Ф. Филиппов// Диффе-рециальные уравнения. - 1979. - Т. 15. - № 10. - С. 1814-1823.

72. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - 224 с.

73. Филиппова О.В. Оценка А.Ф. Филиппова для функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями/ О.В. Филиппова/ / Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Тамбов. - 2009. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 818-821.

74. Финогенко И.А. О скользящих режимах регулируемых разрывных систем с последействием / И.А. Финогенко// Известия РАН. Серия: Теория и системы управления. - 2004. - № 4. - С. 19-26.

75. Финогенко И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно непрерывной правой частью / И.А. Финогенко// Дифференциальные уравнения. -2005. - Т. 41.- №5. С.647-655.

76. Халанай А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д Векслер. - М.: Мир, 1971. - 396 с.

77. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II / А.Г. Ченцов. - Екатеринбург УГТУ-УПИ, 2010.

78. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые сиситемы / П.И. Чугунов// Прикладная математика и пакеты прикладных программ. - Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР. - 1980. - С. 155-179.

79. Antosiewicz H.A. Continuous selections and differential relations / H.A. Antosiewicz, A. Cellina// J. Differential Equations. - 1975. -V. 19. - № 2. - P. 386-398.

80. Antosiewicz H.A. Continuous extensions of multifunctions / H.A. Antosiewicz, A. Cellina// Ann. polon. math.. - 1977. - V. 34. -№ 1. - P. 108-111.

81. Arutyunov A.V. On constrained impulsive control problems / A.V. Arutyunov, D.Y. Karamzin, F.L. Pereira// Journal of Mathematical Sciences. - 2010. - T. 165. - № 6. - C. 654-688

82. Benedetti I. Existense of solutions on contakt and non-contact intervals for semilinear impulsive differential inclusions with delay / I. Benedetti and P. Rubbioni// Topol. Methods Nonlinear Anal. - 2008. - V. 32. -№ 2. - P. 227-245.

83. Benedetti I. Controllability for impulsive semilinear functional differential inclusions with a non-compact evolution operator / I. Benedetti, V. Obukhovski and P. Zecca// Differential Inclusions, Control and Optimization. - 2011. - V. 31. - P. 39-69.

84. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems / A. Bressan// Boll. Unione Math. Italiana, suppl.. - 1980. - V. 1. -P. 53-59.

85. Bressan A. Boundary value problems for lower semicontinuous differential inclusions / A. Bressan, G. Colombo// Réf. S.I.S.S.A, 85 M, (June 1990). -13 p.

86. De Blasi F.S. Differential inclusions in Banach Spaces / F.S. De Blasi,

G. Piangiani// J.Differential Equations. - 1987. - V. 66. - P. 208-229.

87. De Blasi F.S. On the density of extremal solutions of differential inclusions / F.S. De Blasi, G. Piangiani// Ann. Polon. Math.. - 1992. - V. 56. -№ 2. - P. 133-142.

88. Frankowska H. Boundary solutions of differential inclusion /

H. Frankowska, Cr. Olech// J.Differential Equations. - 1982. - V. 44. -№ 2. - P. 156-165.

89. Fryszkowski A. Existence of solutions of functional-differential inclusion in nonconvex case / A. Fryszkowski// Ann. pol. math.. - 1985. - V. 45. -№ 2. - P. 121-124.

90. Guintini S. Equazioni differentiali ordinarie con secondo membro discontinuo / S. Guintini, G. Pianigiani// Attiemin. mat. e fiz. Univ. Modena. - 1974. - V. 23. - № 2. - P. 233-240. P>KMaT, 1976.

91. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations / H. Hermes// Proc. Amer. Math. Soc.. - 1971. - V. 29. - № 3. - P. 535-542.

92. Liu B. Controllability impulsive neutral funcrional differential inclusions with infinite delay / B. Liu// Nonlinear Anal. - 2005. - V. 60. - № 8. -P. 1533-1552.

93. Machina A. Generalized Solutions of Functional Differential Inclusions / A. Machina, A. Bulgakov, A. Grigorenko// Abstract and Applied Analysis. - 2008. - Article ID 829701. - P. 1-35.

94. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs intégrales / A. Marchaud// Comp. Math.. - 1936. - V. 3. - № 1. -P. 89-127.

95. Obukhovski V. Controllability for systems gouerned by semilinear differential inclusions in a Banach space with a non-compact semigroup, / V. Obukhovski and P. Zecca// Nonlinear Anal. - 2009. - V. 70. - № 9. -P. 3424-3436.

96. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bang-bang" principle / C. Olech // Mathematical theory of control. N.Y.: Acad press. -1967. - P. 35-45.

97. Papargeorgiou N.S. Functional-differential inclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side /N.S. Papargeorgiou// Funkcial. Ekvac.. -1989. - V. 32. - P. 145-156.

98. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations / G. Pianigiani// J. Different. Equations. - 1977. - V. 25. -

1. - P. 30-38.

99. Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field / A. Plis// Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys.. - 1963. - V. 11. -№ 6. - P. 369-370.

100. Turowicz A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d'une system de commande nonlineaire / A. Turowicz// Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys.. - 1963. - V. 11 - № 6. - P. 367-368.

101. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent / A. Wazewski// Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys.. - 1962. - V. 10. - № 1. - P. 11-15.

102. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent / S.C. Zaremba// Bull. Sci. Math., 2 ser.. - 1936. - V. 60. - №5. - P. 139-160.